0. Johdanto. Tällaisia yksinkertaistuksia (eli malleja) voidaan luokitella niiden toteuttamistavan
|
|
- Teuvo Nurmi
- 2 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 2 STOKASTISET PROSESSIT 0. Johdanto 0.1. Satunnaisuudesta ja sen mallintamimisesta. Tällä urssilla äsittelemme urssin nimen muaisesti stoastisia prosesseja. Tulitsemme sanan stoastinen taroittavan satunnaista ja sanan prosessi taroittavan ilmiötä, joa muuttuu ajan uluessa eli riippuu ajasta. Stoastisilla prosesseilla taroitamme siis satunnaisia ilmiöitä, jota muuttuvat ajan uluessa. 1 Kurssilla tulemme tarastelemaan muutamia ysinertaisia satunnaisia malleja. Nämä mallit ovat ysinertaistusia meitä iinnostavista ilmiöistä, joita esiintyy esimerisi luonnossa, aupanäynnissä tai vaia uhapeleissä. Misi haluamme tarastella ilmiöitä satunnaisina, sillä varsin yleinen ysymys onin, että ono satunnaisia ilmiöitä tai satunnaisuutta oieasti olemassaaan. Tätä ysymystä väistämme äytännöllisistä syistä, sillä joa tapausessa maailma on pullollaan tapahtumia, joiden tulevaa äytöstä on vaiuttaa olevan täysin mahdotonta ennaoida. Kuitenin näitä tapahtumia tai niiden tiettyjä iinnostavia piirteitä pyritään mallintamaan, jotta tapahtumista saataisiin edes jotain seloa. Tällaisia ysinertaistusia (eli malleja) voidaan luoitella niiden toteuttamistavan muaan. On orean tason äsitteellisiä malleja, joista tehtävät päätelmät ovat heuristisia. Yleensä tällaisten mallien pohjalta ei ole taroitusen muaista tehdä päätelmiä, vaan malleja pyritään saamaan lasettavampaan muotoon. Tällöin voimme puhua esimerisi matemaattisista, stoastisista tai tilastollisista malleista. Kuina nämä viimesi mainitut mallit sitten eroavat toisistaan? Vastaus tähän ysymyseen vaihtelee yleensä vastaajan muaan. Stoastiset (eli satunnaiset) ja matemaattiset mallit ymmärrämme tällä urssilla molemmat matemaattisisi malleisi, mutta erottavana teijänä pidämme satunnaisuuden muanaoloa tai sen puuttumista. Tilastollisessa mallissa mittaustapahtuma seä mittausdata on yleensä muana tarastelussa, mutta muuten tilastollinen malli on myös satunnaismalli. Tarastellaan lyhyesti äsitteellisellä tasolla erään ilmiön matemaattista seä satunnaista mallia ja niiden yhteysiä. Lämpöyhtälö on(eräs) fysiiasta tuttu matemaattinen malli lämmön johtumiselle. Tämä malli osoittaa, että lämpötila appaleessa pyrii tasoittumaan siten, että lämpö virtaa uumemmista ohdista ylmempiin. 2 Matemaattisesti lämpöyhtälö on toisen ertaluvun lineaarinen 1 Yleisestiin tämä tulinta on oiea, mutta aia ei yleisessä tilanteessa vastaa intuitiivista äsitystämme ajasta 2 tai ylmyys virtaa ylmemmistä ohdista uumempiin
2 STOKASTISET PROSESSIT 3 osittaisdifferentiaaliyhtälö t u = 2 x 1 u x n u ja mallin antamat ennusteet saadaan tarastelemalla tätä yhtälöä ja sen rataisujen äyttäytymistä. Lähemmin tarasteltuna lämpötila on uitenin seuraustaappaleen pienimpien raennusosasten lämpöliieestä, joa on raennusosasten hyvin epäsäännöllistä liiettä appaleen idehilassa. Kappaleen ohta on sitä uumempi, mitä voimaaammin sen osaset liiuvat. Lämmön johtuminen seuraa nyt osasten törmäysistä naapureihinsa, sillä voimaaimmin liiuvat osat törmäävät vieressä oleviin osiin voimaaammin uin hitaammin liiuvat ja luovuttavat vastaavasti enemmän liie-energiaansa törmäysissä uin sitä törmäysessä saavat. Tämä saa esiarvomielessä aiaan samanlaisen mallin uin edellä ollut osittaisdifferentiaaliyhtälömalli. Ysittäisen pienen raennusosasen liiettä on äytännössä paras mallintaa puhtaasti satunnaisena liieenä. Voimme siis pitää tätä lämpömallia stoastisena mallina. Tämä on ysi esimeri tilanteesta, milloin mallia on järevää pitää satunnaisena. Seuraavassa esitämme muutaman tyypillisen satunnaisuuden lähteen. Lähtötilanteen epävarmuus. Käytännön malleissa on usein hanalaa saada mitattua tarasti mallinnettavan systeemin lähtötilanne. Josus vain erilaisten lähtötilanteiden esiintymisertojen suhteita voidaan mitata tai arvioida. Tällöin malli on satunnainen, sillä lähtötilanne voidaan mallintaa vain satunnaisena. Heryys lähtötilanteen muutosille. Jos tarasteltava ilmiö on luonteeltaan aoottinen eli pienet muutoset lähtötilanteessa voivat saada aiaan suuria muutosia mittaustulosissa, niin vaia malli olisiin deterministinen, niin äytännössä se vaiuttaisi lähes satunnaiselta. Ilmiötä voi olla tällöin järevää mallintaa ysinertaisemmin analysoitavana stoastisena mallina. Epätäydellinen mallinnus. Usein mallin teoreettinen pohja on hatara eli vain osia mallinnettavan ilmiön piirteistä yetään uvailemaan deterministisellä mallilla. Tällöin varsinaisen mallin äytös muuttuu ennustamattomasi ja sisi sitä on parempi mallintaa satunnaisena ilmiönä. Oleellinen mallin satunnaisuus. Viimeisenä ohtana voi pitää tilanteita, jota vastaavat ysymyseen Ono satunnaisuutta olemassa? myönteisesti. Esimerisi nyyaiainen vanttiteoria perustuu ajatuseen ilmiöiden perinpohjaisesta satunnaisuudesta. Esimerisi ysittäisen fotonin päätöstä heijastua tai olla heijastumatta lasin pinnasta ei voi mitenään ennustaa, joten sitä on pidettävä puhtaan satunnaisena.
3 4 STOKASTISET PROSESSIT Tällä ursilla emme jatossa ota enää antaa mallinusellisiin ysymysiin vaan esitymme ysinertaisiin stoastisiin malleihin. Jotta saisimme niissä olevan satunnaisuuden uriin, tulemme tarastelemaan aiea satunnaisuutta ysinertaisen todennäöisyyslasennan einoin Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä. Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja. Kaien satunnaisuuden äsittelyn taana on (mahdollisesti suuri) musta laatio, jota nimitetään todennäöisyysavaruudesi. Tämä on olmio (Ω, F, P). Jouo Ω on aiien aleistapahtumien muodostama jouo. Kurssin annalta tällä jouolla ei ole juuriaan meritystä eli suurimmasi osasi jouoa Ω voi pitää äärellisenä tai numeroituvasti äärettömänä jouona. Jouo F on aleistapahtumien jouon osajouojen P(Ω) osajouo, eli niin sanottujen tapahtumien jouo. Käytännössä tällä urssilla aii mahdolliset jouon Ω osajouot ovat tapahtumia. Yleisessä tilanteessa aleistapahtumia voi olla liiaa, joten välttämättä aiien aleistapahtumien osajouojen ei tarvitse olla tapahtumia, mutta ainain Ω on aina tapahtuma. Yleisestiin tapahtumat on uvailtavissa seuraavilla säännöillä Määrittelevät ominaisuudet. jouo Ω on varma tapahtuma jos A on tapahtuma, niin jouo A C := Ω \ A on myös tapahtuma (ns. omplementtitapahtuma) jos { A : = 0, 1, 2,... } ovat tapahtumia, niin niiden yhdiste {A tapahtuu jollain = 0, 1, 2,... } on tapahtuma jos { A : = 0, 1, 2,... } ovat tapahtumia, niin niiden leiaus on tapahtuma. {A tapahtuu joaisella = 0, 1, 2,... } Kosa tapahtumat {A 1, A 2,... ja A d } ovat varsin yleisiä, niin äytämme näille lyhennysmerintää 0.2. Merintä. Kun A 1,..., A d ovat tapahtumia, niin äytämme merintää A 1 A 2... A d := {A 1, A 2,... ja A d }. Kuvaus P liittää uhunin tapahtumaan sen todennäöisyyden, miä on luu suljetulla välillä [0, 1] ja se toteuttaa seuraavat ehdot:
4 0.3. Määrittelevät ominaisuudet. STOKASTISET PROSESSIT 5 varman tapahtuman Ω todennäöisyys P ( Ω ) = 1 jos A on tapahtuma, niin omplementtitapahtuman A C := Ω \ A todennäöisyys on P ( A C ) = 1 P ( A ) ja jos (A ) N ovat pistevieraita tapahtumia, niin P ( A tapahtuu jollain N ) = N P ( A ) Mallintaasemme stoastisia ilmiöitä tarvitsemme vielä satunnaismuuttujan seä ehdollisen todennäöisyyden äsitteet. Palautamme ensin mieleen satunnaismuuttujat. Satunnaismuuttuja X on (lähes) mielivaltainen uvaus todennäöisyysavaruudesta tilajouoon S. Kurssilla S on yleensä join äärellinen tai numeroituvasti ääretön jouo. Tällöin satunnaismuuttuja X voidaan tulita mielivaltaisesi uvausi Ω S. Yleisemmässä tapausessa, meidän tulisi asettaa myös tilajouoon sen säännölliset eli mitattavat tapahtumat. Tällöin vaatimus olisi vain: jos A S on tilajouon miä tahansa säännöllinen tapahtuma, niin jouon {X A} on oltava tapahtuma todennäöisyysavaruudessa Ω. Olemme nyt saaneet errattua todennäöisyysavaruuden ja satunnaismuuttujan äsitteet. Jatossa emme enää irjoita allaolevaa todennäöisyysavaruutta Ω näyviin lainaan. Puhumme vain tapahtumista ja todennäöisyysistä. Satunnaismuuttujien ohdalla tarvitsemme vain tiedon tilajouosta S ja siten satunnaismuuttujaa X voimme pitää tilajouon tuntemattomana aliona X S ja jota voimme äsitellä taralleen samoin uin tilajouon aliota. Tarvitsemme vielä muutaman äsitteen seä merinnän. Kun satunnaismuuttujan X tilajouo S = {i 0, i 1,... } on join positiivisten reaaliluujen R + numeroituva osajouo, niin satunnaismuuttujan X odotusarvo E X on positiivinen reaaliluu (tai mahdollisesti ääretön ) (0.4) E X := i P ( X = i ). =0 Jos tilajouo S C on äärellinen, niin sama määritelmä on voimassa, mutta jos tilajouo on numeroituvasti ääretön omplesiluujen osajouo, niin satunnaismuuttujalla on odotusarvo, jos myös itseisarvolla X on äärellinen odotusarvo. Käytännössä urssilla satunnaismuuttujat ovat positiivisia 3 tai niillä on odotusarvo. Yleisessä tapausessa tilajouo S voi olla ylinumeroituva omplesiluujen osajouo, ja tällöin tarvitsisimme hieman lisätietoja odotusarvosta. Tällaisia 3 eli tilajouo on R + :n osajouo
5 6 STOKASTISET PROSESSIT tietoja äsitellään lähemmin todennäöisyysteorian urssilla, mutta myös Mitta- ja integraali urssilla, sillä yleisesti odotusarvo on vain mittaintegraali todennäöisyysmitan P suhteen. Tällaista oneistoa emme uitenaan urssilla tule tarvitsemaan, sillä rajoitumme ysymysiin, joita pystymme tarastelemaan ysinertaisimmilla äsitteillä. Odotusarvolla on seuraavia ominaisuusia: odotusarvo on lineaarinen eli jos α, β C ja X seä Y ovat satunnaismuuttujia, niin E (αx + βy ) = αe X + βe Y jos 0 X 0 X 1,... ovat satunnaismuuttujia ja lim X n = X, niin (0.5) E X = lim n E X n. Näitä ahta ominaisuutta tulemme jatossa tarvitsemaan usein. Tulemme myös äyttämään seuraavaa niin sanotun Iversonin 4 notaatiota tai haasulumerinnän. Jotain vastaavaa merintää tarvitaan eri tilanteissa niin usein, että on järevää äyttää mahdollisimman lyhyttä, seleää seä yhtenevää merintää oo ajan Merintä. Iversonin haasulumerintä taroittaa uvausta väitteiltä luvuille {0, 1}, joa määritellään seuraavasti: 1, jos väite on tosi, [ väite ] := 0, jos väite ei ole tosi. Tämän merinnän erioistapausena saamme esimerisi Kronecerin deltan, sillä δ ij = [ i = j ]. Tutustutaan lyhyesti tämän merinnän ominaisuusiin. Voimme esimerisi irjoittaa joaisen satunnaismuuttujan X, jona tilajouo on join luujouo, ysinertaisena summana X = S [ X = ]. Yleistämme merinnän tapahtumille A seuraavasti 0.7. Merintä. Jos A on tapahtuma, niin [ A ] on satunnaismuuttuja, jolle 1, jos ω A, [ A ](ω) := [ ω A ] = 0, jos ω / A, 4 Kenneth Eugene Iversonin muaan lähteenä Donald Erwin Knuthin The Art of Computer Progamming, Vol I
6 STOKASTISET PROSESSIT 7 Jatossa emme tule irjoittamaan aleistapahtumaa ω näyviin, joten jos A on tapahtuma, niin [ A ] on satunnaismuuttuja, jona tilajouona on asio {0, 1}. Erityisesti havaitsemme, että odotusarvon määritelmän muaan (0.8) E [ A ] = 0 P ( [ A ] = 0 ) + 1 P ( [ A ] = 1 ) = P ( A ), sillä {[ A ] = 1} = A. Siispä indutioilla voimme päätellä, että jos satunnaismuuttujan X tilajouo S = {i 0, i 1,..., i d }, niin odotusarvon lineaarisuuden seä identiteetin (0.8) avulla voimme johtaa esittämämme odotusarvon määritelmän, sillä ( ) E X = E i [ X = i ] = i E [ X = i ] = i P ( X = i ). Myös suorana sovellusena Iversonin notaatiosta voimme lasea satunnaismuuttujan f(x) odotusarvon, sillä ( ) E f(x) = E f(i )[ X = i ] = f(i )P ( X = i ). Summausen ja odotusarvon järjestystä voi aina vaihtaa, un tilajouo S on äärellinen. Äärettömän tilajouon tapausessa voimme yleensä perustella summausen ja odotusarvon järjestysen vaihdon soveltamalla odotusarvon rajaarvo-ominaisuutta (0.5). Todennäöisyyslasennan piaertausessa tarvitsemme vielä ehdollisen todennäöisyyden äsitteen Merintä. Meritsemme tapahtuman A todennäöisyyttä ehdolla, että tapahtuma B on tapahtunut, seuraavasti P ( A B ) := P ( AB ) P ( B ) Ehdollinen todennäöisyydellä on samat ominaisuudet uin tavallisella todennäöisyydellä, joten sitä vastaa myös ehdollinen odotusarvo: Merintä. Meritsemme satunnaismuuttujajan X ehdollista odotusarvo ehdolla, että tapahtuma B on tapahtunut, seuraavasti E (X B) := i P ( X = i B ). Ehdollisen todennäöisyyden avulla voimme määritellä tapahtumien riippumattomuuden Määritelmä. Sanomme, että tapahtumajouo { A λ : λ I } on riippumaton, jos joaisella äärellisellä osajouolla {λ 0,..., λ d } I on voimassa P ( A λd A λ0 A λ1... A λd 1 ) = P ( Aλd ).
7 8 STOKASTISET PROSESSIT Sanomme, että satunnaismuuttujajouo { X λ : λ I } on riippumaton, jos aina, un { B λ : λ I } on perhe tilajouon tapahtumia, niin vastaava tapahtumajouo on riippumaton. { {X λ B λ } : λ I } Olemme nyt äsitelleet lyhyesti tarvittavat todennäöisyyslasennan äsitteet. Johdatus todennäöisyyslasentaan urssilla esitettyjä malleja ja jaaumia emme tässä ertaa vaan palautamme ne mieleen tarpeen tullessa Ensimmäinen stoastinen malli. Voimme nyt aloittaa urssin pääsisällön, eli stoastisten prosesien tarastelun. Aloitamme esimerillä, jossa mallinnetaan sadepäiviä ja niiden todennäöisyysiä. Seuraava esimeri on Guttorpin irjasta. Mallin pohjana olevat havainnot on tehty Yhdysvaltoissa, paiassa nimeltä Snoqualmie Falls, joa sijaitsee Länsi-Washingtonissa Esimeri (Sadepäivämalli). Jaamme päivät areasti ahteen luoaan: sadepäiviin ja poutapäiviin. Päivä on sadepäivä, jos päivänä aiana sataa ennalta määrätty vähimmäismäärä vettä, muuten päivä on poutapäivä. Snoqualmie Fallsissa tehtyjen sademäärämittausten perusteella vuosien tammiuun päivistä poutapäiviä oli 325 ja sadepäiviä 791. Kosa sää on tunnetusti vaieasti ennustettavissa oleva tapahtuma, yritämme mallintaa sitä stoastisena prosessina. Meritään X ij = [ tammiuun i. päivänä vuonna j satoi ]. Tässä i = 1, 2,..., 31, j = 1948,..., 1983 ja unin satunnaismuuttujan X ij tilajouona on {0, 1} = {pouta, sade}. Ysinertaisin satunnaismalli, jolla sateensattumistodennäöisyyttä voisi selittää, on seuraava: oletamme, että aii päivät ovat samanlaisia ja täysin toisistaan riippumattomia ja X ij Bin(1, p), missä p on sateen todennäöisyys. Tätä mallia voitaisiin nimittää Bernoullin mallisi. Ysinertainen lasu antaa mittaustulosen usottavuusfuntion ( ) ( ) L(p) = P X ij = 791 p 791 (1 p) 325. ij Tästä saamme suurimman usottavuuden estimaatin ˆp todennäöisyydelle p, joa on tässä tapausessa ˆp = i,j X ij /n = 791/1116 0, 709.
8 STOKASTISET PROSESSIT 9 Tänään pouta Tänään sataa Yhteensä Eilen pouta 186 (91) 123 (223) 309 Eilen satoi 128 (223) 643 (543) 771 Yhteensä Kuva 1. Sademääräjaaumahavainnot Tämän avulla voimme arvioida otosesihajontaa p(1 p)/n ja saamme ˆp(1 ˆp)/n 0, 709 0, 291/1116 0, 014. Kuina hyvin tämä Bernoullin malli sopii mittausdataan? Tämän selvittämisesi mallin avulla voi lasea ennusteita tapahtumille ja verrata näitä todellisiin tulosiin. Eräs on määrätä ennuste niiden päivien luumäärälle, jolloin päivänä i on pouta ja myös päivänä i + 1 on pouta, päivänä i sataa ja myös päivänä i + 1 sataa. Bernoullin mallin muaan P ( tänään ja huomenna poutaa ) = (1 p) 2, joten arviolta (1 ˆp) 2 91 päivää 1080:sta toteuttaisi tämän. Kuitenin havaintotauluon muaan on helppo havaita, että metsään menee. Tauluossa suleissa oleva arvo on Bernoullin mallin antama ennuste. Havaitsemme, että havainnot tuevat väitettä, että sadepäivän jäleen seuraava päivä on useammin myös sadepäivä, uin mitä riippumattomuusoletus ehdottaisi. Sama pätee myös poutapäiville. Voimme siis pitää riippumattomuusoletusta varsin epäilyttävänä tässä tapausessa. Voiin ysyä, että uina tätä mallia voisi muuttaa, jotta se selittäisi sadejaaumahavainnoissa esiintyvän orrelaation paremmin? Jos luovumme riippumattomuusoletusesta, niin emme voi äyttää aavaa P ( X 0 = i 0, X 1 = i 1,..., X n = i n ) = P ( X 0 = i 1 ) P ( X n = i n ) satunnaismuuttujien yhteisjaauman määräämisesi. Ehdollisen todennäöisyyden määritelmän muaan voisimme yllä irjoittaa P ( X 0 = i 0, X 1 = i 1,..., X n+1 = i n+1 ) = P ( X 0 = i 1,..., X n = i n ) P ( X n+1 = i n+1 X 0 = i 1,..., X n = i n ), eli meidän tulisi määrätä ehdolliset todennäöisyydet (0.13) P ( X n+1 = i n+1 X 0 = i 1,..., X n = i n ).
9 10 STOKASTISET PROSESSIT Tulemmein oo urssin ajan tarastelemaan sademallia vastaavaa tilanetta, un oletamme, että ehdollinen todennäöisyys (0.13) riippuuin vain tiedosta {X n = i n }. Esimerissämme tämä oletus taroittaa seuraavaa: sen sijaan, että olettaisimme satunnaismuuttujien X ij Bin(1, p) olevan riippumattomia, oletamme että p 00 := P ( X (n+1),j = 0 X nj = 0 ) = 186/309 0, 602 p 01 := P ( X (n+1),j = 1 X nj = 0 ) = 123/309 0, 398 p 10 := P ( X (n+1),j = 0 X nj = 1 ) = 128/771 0, 166 p 11 := P ( X (n+1),j = 1 X nj = 1 ) = 643/771 0, 834 un n = 1,..., 30. Edelleen oletamme, että P ( X (n+1),j = i n+1 X 1j = i 1,..., X nj = i n ) = P ( X(n+1),j = i n+1 X nj = i n ). Vuosien ajattelemme (ainain vielä) olevan riippumattomat.
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
Lisätiedot3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus
30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista
LisätiedotSattuman matematiikkaa III
Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
LisätiedotLuku kahden alkuluvun summana
Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
Lisätiedot2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un
LisätiedotVakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15
SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen
9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen
LisätiedotTodennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
Lisätiedotfunktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
LisätiedotJoulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotOHJ-2300 Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan Syksy 2008
OHJ-2300 Johdatus tietojenäsittelyteoriaan Sysy 2008 1 2 Organisaatio & aiataulu Luennot: prof. Tapio Elomaa P1: Ti 14-16 TC 103 ja to 14 16 TC 133 P2: Ti 14-16 TB 219 ja to 12 14 TB 224 26.8. 20.11. Jussi
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotHanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
LisätiedotC (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)
http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.
LisätiedotJ1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
LisätiedotDISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa
Lisätiedottermit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)
LisätiedotTalousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut
Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:
LisätiedotModaalilogiikan harjoitusteht vi Aatu Koskensilta 1 Harjoitusteht v t Teht v 100 a) Osoitamme, ett Th(F 1 F 2 ) Th(F 1 ) [ Th(F 2 ) vastaesim
Modaalilogiian harjoitusteht vi Aatu Kosensilta 1 Harjoitusteht v t 16.4 1.1 Teht v 100 a) Osoitamme, ett Th(F 1 F 2 ) Th(F 1 ) [ Th(F 2 ) vastaesimerin avulla. Otamme ehysisi F 1 = hz? ;?i ja F 1 = hz
Lisätiedot4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet
4.3 Erillisten jouojen yhdisteet Ongelmana on pitää yllä ooelmaa S 1,..., S perusjouon X osajouoja, jota voivat muuttua ajan myötä. Rajoitusena on, että miään alio x ei saa uulua useampaan uin yhteen jouoon.
LisätiedotEnnen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen
LisätiedotVALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA
VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q
LisätiedotK-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä
Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 Sisältö 1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET 2 1.0.1 Kertoma/Factorial......................
LisätiedotEPOP Kevät
EPOP Kevät 2012 16.1.2012 Projeti 1 Muutosilmiöt Piirianalyysi 1:ssä äsitellyt tasa- ja vaihtovirta-analyysit ovat jatuvan tilan menetelmiä, joissa oletetaan, että piirin herätteet (riippumattomat lähteet)
LisätiedotEksponentti- ja logaritmiyhtälö
Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg
Disreeti Matematiia Paja Rataisuja viiolle 5. (28.4-29.4 Jeremias Berg Yleisiä ommeteja: Näissä tehtävissä aia usei rataisua oli ysittäie lasu. Kuitei vastausee olisi hyvä lisätä ommeteja siitä misi jou
Lisätiedot2.1. Bijektio. Funktion kasvaminen ja väheneminen ********************************************************
.. Funtion asvainen ja väheneinen.. Bijetio. Funtion asvainen ja väheneinen Palautetaan ieleen funtion äsite. ******************************************************** MÄÄRITELMÄ Oloot ja B asi ei-tyhjää
LisätiedotHARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ 1. yön tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus ässä työssä tutustut jasolliseen, määrätyin aiavälein toistuvaan liieeseen,
LisätiedotONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV. Suomen Aktuaariyhdistyksen vuosikokousesitelmä
ONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV Suomen Atuaariyhdistysen vuosioousesitelmä 27.2.2006 2 Sisällysluettelo: sivu 1. Tasoitusvastuujärjestelmän uvaus
LisätiedotMAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan
3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa
LisätiedotPyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta
Lisätiedot[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
LisätiedotVALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 1. Työn tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus Tässä työssä tutit valoa aaltoliieenä. Ensimmäisessä osassa tutustut valon taipumiseen eli
LisätiedotTehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2
Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista
LisätiedotValon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa
Jväslän Ammattioreaoulu, IT-instituutti IXPF24 Fsiia, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pasi Repo Valon diffratio hdessä ja ahdessa raossa Laatija - Pasi Vähämartti Vuosiurssi - IST4S1 Teopäivä 2005-2-17 Palautuspäivä
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus diskreettiin matematiikkaan (Syksy 2008) 4. harjoitus Ratkaisuja (Jussi Martin)
Matematan ja tlastoteteen latos Johdatus dsreettn matemataan (Sysy 28 4. harjotus Ratasuja (Juss Martn 1. Kertomus Hotell Kosmosesta jatuu: Hotellyhtymän johdolta tul määräys laata luettelo asta mahdollssta
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Meaniian jatourssi Fys10 Sysy 009 Jua Maalampi LUENTO 6 Harmonisen värähdysliieen energia Jousen potentiaalienergia on U ( x missä on jousivaio ja Dx on poieama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen,
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2.
/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO : Tasoehän palielementti, osa. NELJÄN VAPAUSASTEEN PALKKIELEMENTTI Kun ahden vapausasteen palielementin solmuihin lisätään loaalin -aselin suuntaiset siirtmämittauset,
Lisätiedotz z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotLuento Otosavaruus, tapahtuma. Otosavaruus (sample space) on kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien (sample) ω joukko.
Luento odennäöisyyslasentaa Otosavaruus, tapahtuma ja todennäöisyys Ehdollinen todennäöisyys, tilastollinen riippumattomuus, Bayesin teoreema, oonaistodennäöisyys Odotusarvo, varianssi, momentti Stoastiset
Lisätiedotb 4i j k ovat yhdensuuntaiset.
MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä
LisätiedotLuento Otosavaruus, tapahtuma. Otosavaruus (sample space) on kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien (sample) ω joukko.
Luento 0 odennäöisyyslasentaa Otosavaruus, tapahtuma ja todennäöisyys Ehdollinen todennäöisyys, tilastollinen riippumattomuus, Bayesin teoreema, oonaistodennäöisyys Odotusarvo, varianssi, momentti Stoastiset
Lisätiedot(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA
Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.
Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.
LisätiedotProjekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-0401 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg alto-yliopisto 30. syysuuta 2015 1 Jouo-oppi ja logiia Prediaattilogiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O 3 Kombiatoriia
LisätiedotLaskennallisen kombinatoriikan perusongelmia
Laseallise obiatoriia perusogelia Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, jouoje ts luuääriä, o taustalla joi uutaista peruslasetatavoista tai lasetaogelista Tässä esitelläälyhyesti
LisätiedotVakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.
1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg 1 Jouo-oppi ja logiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O alto-yliopisto 12. maalisuuta 2015 3 Kombiatoriia ym. Summa-,
Lisätiedot7.1 Taustamelun estimoinnista
7 Puheen ehostus Puheen ehostamisea taroitetaan seaisia menetemiä, joia puheen aatua pyritään parantamaan. Kuuostaa ysinertaiseta, mutta mitä sitten taroitetaan aadua? Siä voidaan taroittaa ainain seeyttä
LisätiedotLuku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt
SMG-00 Piirianalyysi II Harjoitustehtävät Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T u u T u T u, jossa ja
LisätiedotS-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face
S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä äyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin taristus: ZN-Face Kalle Korhonen sorhon@cc.hut.fi 13.4.2000 Tiivistelmä: Raportissa tutustutaan aupalliseen
LisätiedotEETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA. Kandidaatintyö
EETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA Kandidaatintyö Tarastaja: Lehtori Konsta Koppinen Jätetty tarastettavasi 11. tououuta 2009 2 TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tietoliienne-
LisätiedotHeilurin differentiaaliyhtälö
LUKU 4 Heilurin differentiaaliyhtälö 4.. Konservatiiviset systeemit Fysiaalisissa sovellutusissa täreitä ovat ns. onservatiiviset systeemit. Ysiulotteinen onservatiivinen systeemi (tai onservatiivinen
LisätiedotTutkimustiedonhallinnan peruskurssi
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,
LisätiedotMiehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa
S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että
LisätiedotAPTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET
APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPEUSTEET Koooma 28.3.2006. Viimeisin perustemuutos on ahistettu 16.1.2003. APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKU-
Lisätiedot6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia
6 Lineaarisen ennustusen sovellusia Lineaarisella ennustusella on hyvin täreä asema monessa puheenäsittelyn sovellusessa. Seuraavassa on esitetty esimerejä siitä miten lineaarista ennustusta voidaan hyödyntää.
Lisätiedot4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotESIM. ESIM.
1 Vierintäita f r lasetaan samannäöisellä aavalla uin liuuitain: Ihmisunnan erästä suurimmista esinnöistä eli pyörää äytetään sen taia, että vierintäitaerroin µ r on paljon pienempi uin liuuitaerroin:
LisätiedotTuomo Mäki-Marttunen Stokastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaikannuksessa
TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Luonnontieteiden ja ympäristöteniian tiedeunta Tuomo Mäi-Marttunen Stoastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaiannusessa Diplomityö Aihe hyväsytty tiedeuntaneuvostossa
LisätiedotKaurialan kaavarunko SITO OY, 31.1.2013
Kaurialan aavuno, 31.1.2013 Sisältö lusanat lusanat Kaupuniraenneanalyysi Suunnittelualueen nyytilanne Voimassa oleva asemaaava Nyyiset tontit Suunnitelma Rataisuvaihtoehdoista Suunnitelman havainneuva
LisätiedotLuku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt
SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
Lisätiedot3. Täydellisyys ja Banachin avaruus. ominaisuutta sanotaan täydellisyydeksi. Toisena esimerkkinä mainitaan avaruus
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 25 3. Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaaliluujen jouo R (varustettuna normilla x y ) eroaa rataisevasti rationaaliluujen jouosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella:
LisätiedotEksponenttifunktio. Johdanto. Määritelmä. Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto
Solmu 3/08 3 Esponenttifuntio Pea Alestalo Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Jodanto Esponenttifuntio e x on eräs täreimmistä matematiiassa ja varsinin sen sovellusissa esiintyvistä
LisätiedotAMBIGUITEETTIONGELMA KANTOAALLONVAIHEMITTAUKSESSA. JUKKA TOLONEN Teknillinen korkeakoulu Maanmittaustieteiden laitos jotolone@cc.hut.
MIGUITEETTIONGELM KNTOLLONVIHEMITTUKSESS JUKK TOLONEN Tenillinen oreaoulu Maanmittaustieteiden laitos otolone@cc.hut.fi . Johdanto Satelliittipaiannus perustuu vastaanottimen a satelliittien välisen etäisyyden
Lisätiedot3 x ja 4. A2. Mikä on sen ympyräsektorin säde, jonka ympärysmitta on 12 ja pinta-ala mahdollisimman
HTKK, TTKK, LTKK, OY, ÅA/Insinööriosastot alintauulustelujen matematiian oe 900 Sarja A A Lase äyrien y, (Tara vastaus) y, ja rajaaman äärellisen alueen inta-ala A Miä on sen ymyräsetorin säde, jona ymärysmitta
LisätiedotM y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y
36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien
LisätiedotRATKAISUT: 21. Induktio
Physica 9 2. painos 1(6) ATKAISUT ATKAISUT: 21.1 a) Kun magneettienttä muuttuu johdinsilmuan sisällä, johdinsilmuaan indusoituu lähdejännite. Tätä ilmiötä utsutaan indutiosi. b) Lenzin lai: Indutioilmiön
Lisätiedotx k x j < ε Seuraavat kolme lausetta kertovat Cauchy jonojen perusominaisuudet. kaikilla n m ε. x k y + y x j < ε 2 + ε 2 = ε.
28 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 3. Täydellisyys ja Banachin avaruus Reaaliluujen jouo R (varustettuna normilla x y ) eroaa rataisevasti rationaaliluujen jouosta Q seuraavan ominaisuutensa perusteella:
LisätiedotEulerin φ-funktion ominaisuuksia
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Jua Peltola Eulerin φ-funtion ominaisuusia Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Marrasuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PELTOLA, JUKKA: Eulerin
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotNaulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle
LAUSUNTO NRO VTT-S-04256-14 1 (6) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö ITW Construction Products Oy Jarmo Kytömäi Timmermalmintie 19A 01680 Vantaa 18.9.2014 Jarmo Kytömäi VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
Lisätiedot