Lahopuuinventoinnin menetelmien vertailu Nuuksion ulkoilualueilla

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Lahopuuinventoinnin menetelmien vertailu Nuuksion ulkoilualueilla"

Transkriptio

1 Metsätietee aikakauskirja t i e d o a t o Aika Kagas, Tuomas Aakala, Haa Alae, Maarit Haavisto, Jai Heikkilä, Au Kaila, Sami Kakaapää, Hau Kämäri, Olli Leio, Atti Mäkie, Eeva Nurmela, Sami Oksa, Atti Saari, Saa-Maria Tikkae ja Mikael Wathé Lahopuuivetoii meetelmie vertailu Nuuksio ulkoilualueilla Kagas, A., Aakala, T., Alae, H. Haavisto, M., Heikkilä, J., Kaila, A., Kakaapää, S., Kämäri, H., Leio, O., Mäkie, A., Nurmela, E., Oksa, S., Saari, A., Tikkae, S-M. & Wathé, M Lahopuuivetoii meetelmie vertailu Nuuksio ulkoilualueilla. Metsätietee aikakauskirja /2004: Tutkimuksessa vertailtii ykyisi sovellettuja ivetoitimeetelmiä (ympyräkoeala- ja kaistaivetoiti) lija-leikkaus-otataa (Lie Itersect Samplig LIS) lahopuu ivetoiissa. Tarkoitus oli vertailla äide kahde ivetoititava käyttökelpoisuutta, tuottavuutta ja luotettavuutta Nuuksio ulkoilualueella tehdyssä testissä. Testissä kaikille alueille laskettii kaksi tai kolme riippumatota ivetoititulosta eri meetelmillä. LIS-meetelmässä tehtyje havaitoje määrä (yhtä aluetta lukuu ottamatta) lijakilometriä kohde oli samaa luokkaa kaistaivetoii kassa. Kaista oli tässä tapauksessa ii kapea, ettei se juuri poikeut LIS-meetelmästä. Pieillä ympyräkoealoilla tehtii vähite havaitoja. Luotettavuudeltaa LIS-ivetoiti oli jokaisella alueella paras, mutta ku suhteutettii luotettavuus lija pituutee, mittausaikaa tai mitattuihi puihi, muut meetelmät osoittautuivat usei tehokkaammiksi. Paratuut luotettavuus ei siis riittäyt kompesoimaa lisäätyyttä lija pituutta. Tämä saattoi kuiteki johtua ryhmie ja alueide välisestä erosta, sillä yhdellä alueella, jossa lijat olivat täsmällee samat, LIS oli tehokkaampi myös suhteessa lija pituutee. Asiasaat: lahopuu, kaista, koeala, lija, luotettavuus, tuottavuus Yhteystiedot: Helsigi yliopisto, metsävaroje käytö laitos, PL 27, 0004 Helsigi yliopisto. Sähköposti aika.kagas@helsiki.fi Hyväksytty

2 Metsätietee aikakauskirja /2004 Taustaa Moimuotoisuude arvioiissa lahopuusto määrä o ykyisi keskeie tieto (Siitoe ym. 2000). Lahopuu määrä o luoometsissä suurimmillaa heti sukkessio alussa, palo, myrsky tai muu vastaava suure häiriö jälkee. Myös vahoissa luoometsissä lahopuuta o paljo, luootilaisista metsistä vähite lahopuuta o keski-ikäisissä metsissä. Luootilaisessa metsässä lahopuu määrä voi olla m 3 /ha (Siitoe 998, 2000). Pohjois-Suomessa määrä o alempi kui Etelä-Suomessa, oi m 3 /ha, kitumailla ja metsärajalla määrä pieeee edellee ja o keskimääri oi 20 m 3 /ha (Siitoe 2000). Sama suutaisia lahopuumääriä o havaittu myös moissa muissa maissa (Lee ym. 997, Pedlar ym. 2002). Valtakua metsie 9. ivetoii tulokset lahopuumittauksista ovat saatavissa Etelä-Suome osalta. Alueella o miimimitat (0 cm) täyttävää kuollutta puuta keskimääri 2,44 m 3 /ha (Toteri ja Siitoe 200, taulukko ). Pohjois-Karjala tulokset eivät olleet tässä taulukossa vielä mukaa, mutta tiedot ovat jo olemassa. Siellä lahopuuta o keskimääri 4,5 m 3 /ha (Korhoe ym. 200). Luootilaisissa metsissä suuri osa lahopuu tilavuudesta voi olla järeitä puita, mutta talousmetsissä piete puide, hakkuutähtee ja katoje osuus lahopuu tilavuudesta voi olla suuri. Nykyisi sovelletut puusto arvioitii käytettävät ivetoitimeetelmät eivät kuitekaa ole lahopuu ivetoitii tehokkaita meetelmiä, koska lahopuuta o metsissä vähä ja se sijaitsee ryhmittäi. Tällöi tulokset ovat joko hyvi epäluotettavia tai ivetoiti kuluttaa paljo resursseja. Lahopuu ivetoitii o kuiteki kehitetty erityisesti Ruotsissa uusia meetelmiä (esim. Ståhl 998, Ståhl ja Lämås 998, Rigvall 2000, Gove ym. 2002). Käyttöö o myös otettu aiemmi esimerkiksi hakkuutähtee arvioiissa käytettyjä meetelmiä (esim. Lee ym. 997, Lämås ja Ståhl 998). Useimmat äistä meetelmistä perustuvat alueelle vedettyihi lijoihi, joille osueet ja/tai tiety sääö mukaisesti äkyvät lahopuurugot lasketaa ja mitataa. Eroa koealaivetoitii o, että havaiot kirjataa koko kuljetulta matkalta. Tällöi lahopuide havaitsemise todeäköisyys Tiedoato Taulukko. Lahopuu määrä eri metsäkeskuste alueella VMI IX: mukaa (Toteri ja Siitoe 200). Alue Pystypuu Maapuu Yhteesä m 3 /ha % m 3 /ha % m 3 /ha Ahveamaa, , ,8 Etelä-Pohjamaa 0, ,72 6,8 Häme-Uusimaa,9 39,87 6 3,06 Keski-Suomi 0,54 8 2,46 8 3,00 Kymi 0,82 35, ,32 Louais-Suomi 0, ,99 54,82 Pirkamaa 0,78 32, ,45 Pohjois-Savo 0,54 8 2, ,93 Raikko,22 40,8 60 3,03 o maastossa suuri ja kasvaa lahorugo pituude kasvaessa. Silloi havaitoja saadaa paljo alueella kuljettua kilometriä kohti, jolloi ivetoiti o sekä tuottava että luotettava. Myös kaistaivetoiissa havaitoja tehdää koko kuljetulta matkalta, mutta puita mitataa myös lija vierestä, jolloi lija vetämie ja puide mittaus o työläämpää ja vaatii rusaasti resursseja. Suomessa Metsähallitus o tehyt selvitykse, joka mukaa kaistaivetoiti osoittautui periteisistä ivetoitimeetelmistä lahopuuivetoitii parhaite soveltuvaksi (Korhoe 998). Metsähallitukse alueilla myös lahopuuivetoiteja o tehty joki verra (Siitoe ym. 2000). Uusia, lahopuuivetoitii varta vaste kehitettyjä meetelmiä, kute lie trasect samplig, lie itersect samplig, trasect relascope samplig (e.g. Shiver ja Borders 996, Ståhl 998), ei ole Suomessa testattu laikaa. Ruotsissaki, jossa meetelmiä o kehitetty, testit ovat perustueet lähiä tietokoesimuloiteihi sekä pieii maastoivetoiteihi. Tämä tutkimukse tarkoituksea o vertailla periteisiä koealaivetoiteja uudempii, lahopuuivetoitii suoraaisesti kehitettyihi meetelmii, sekä työ tuottavuude että tuloste luotettavuude suhtee. Tutkimus tehtii Helsigi kaupugi Nuuksio järviylägö ulkoilualueilla (Luukkaa, Pirttimäki ja Karjakaivo). Kuki alue kuljettii läpi kahde maastoryhmä voimi. Toie ryhmä käytti joko periteistä koealaivetoitia tai kaistaivetoitia ja toie uutta testattavaa meetelmää. Molempie meetelmie luotettavuus arvioitii otatateoria meetelmi ja 44

3 Kagas ym. Lahopuuivetoii meetelmie vertailu Nuuksio ulkoilualueilla meetelmie luotettavuutta suhteessa tuottavuutee verrattii. Tutkimukse tavoitteea oli löytää lahopuu arvioitii Suome oloissa tehokas ja luotettava meetelmä. 2 Otatameetelmät 2. Lija-leikkaus-otata Kaikilla mitatuilla alueilla testattavaa meetelmää sovellettii Lie Itersect Samplig -meetelmää (LIS) eli s. lija-leikkaus-otataa. Meetelmässä sijoitetaa tutkittavalle alueelle lijoja, joilta mitataa kaikki lijalle osueet kaatueet puut. Tällöi otaassa puu todeäköisyys tulla valituksi otoksee o suoraa verraollie se pituutee. Tulokset saadaa estimoitua s. Horwitz-Thompso-estimaattorilla, jossa tutkittava muuttuja kokoaismäärä estimaatti saadaa, ku jaetaa havaitut tuuste arvot puu todeäköisyydellä sisältyä otoksee. LIS-otaa tapauksessa estimaattori tuukse määrälle pita-alayksikköä kohti saadaa kaavasta (esim. Shiver ja Borders 996) ˆ π m yi T = ( ) 2L l i= i L = kuljetu lija pituus (m) l i = mitatu puu i pituus (m) y i = kiiostava tuukse arvo (tässä tapauksessa tilavuus) puulla i m = havaittuje puide määrä Jos määritellää puu tilavuus ympyrälieriö kaavalla (myös s. Huberi tilavuuskaava) 2 di Vi = π li ( 2) 2 d i = puu i läpimitta (cm), ii pituus supistuu kaavasta pois, ja tilavuus voidaa laskea kaavalla (Shiver ja Borders 996) π 2 m 2 i= Tˆ = d ( ) 8L i 3 Kaava 3 ataa tällöi tilavuude suoraa kuutiometreiä hehtaaria kohti, koska pituude ja läpimita eri yksiköide aiheuttamat muuoskertoimet supistuvat kaavasta pois (Shiver ja Borders, s ). LIS-meetelmässä riittää, että kustaki lijalle osueesta puusta mitataa läpimitta siitä kohdasta, jossa lija leikkaa se. Lieriö kaava ataa rukoje kapeemise vuoksi hiema harhaisia tilavuuksia (aliarvioita), sitä suurempia mitä pidempiä pätkät ovat (Kagas ja Päivie 2000, s. 44). Täsmällisemmät tulokset saadaa, jos sovelletaa jotaki muuta tilavuuskaavaa. Kokoaisilla puilla voidaa soveltaa esimerkiksi Laasaseaho tilavuusyhtälöitä (Laasaseaho 982), katkeeilla puilla taas esimerkiksi Newtoi kaavaa (Kagas ja Päivie 2000) tai katkaistu kartio kaavaa. Newtoi kaavassa oletetaa tuetuksi puu läpimitta molemmissa päissä sekä keskellä, katkaistu kartio tapauksessa molemmissa päissä. Tällöiki pituus voidaa supistaa kaavasta pois, jos tilavuus o se suhtee lieaarie. Muussa tapauksessa LIS-meetelmässäki puide pituudet o mitattava eriksee. Tässä tutkimuksessa kokoaiste rukoje tilavuus laskettii Laasaseaho (982) tilavuusmallilla ja pätkie (kahta poikkeusta lukuu ottamatta, joissa sovellettii katkaistu kartio kaavaa) lieriö kaavalla. LIS-meetelmä keskivirhe voidaa estimoida lijoje välisestä vaihtelusta kaavalla (esim. Shiver ja Borders 996) S Tˆ = Lj( T ˆ j T ˆ) j= ( ) L j= j 2 ( 4) = lijoje määrä ˆT j = hehtaarikohtaie tilavuus lijalla j L j = lija j pituus ˆT = lijoje (lija pituudella paiotettu) keskitilavuus Keskivirhee estimoiissa oletetaa, että lijat o alueella vedetty satuaisii suutii tai vastaavasti että puut ovat alueella kaatueet satuaisii suutii. Mikäli äi ei ole, yllämaiitut kaavat voivat tuottaa harhaisia tuloksia. Tässä tutkimuksessa o kuiteki kautta lija oletettu, että puut ovat kaatueet satuaisii suutii. 45

4 Metsätietee aikakauskirja /2004 Tiedoato Meetelmä etua o se, että mittauksia tarvitaa vai läpimitoista, mikäli tyydytää ympyrälieriö kaavaa. Työ o opeaa mittauste määrää ähde. Huooa puolea o, että esimerkiksi kasvupaikkoje osuuksia ei voida arvioida mittaamatta lija pituutta kussaki luokassa. Voidaa vai laskea, mite suuri osuus havaituista lahopuista oli ki kasvupaikkaluokassa. Pystykuolleide puide mittaamisee meetelmä ei myöskää sovellu. LISmeetelmä suurimpaa heikkoutea voidaaki pitää sitä, ettei se välttämättä sovellu kovi hyvi käytettäväksi tilateissa, joissa tarvitaa maapuu määrä lisäksi myös elävää/pystypuustoa koskevia tuloksia. 2.2 Vertailumeetelmät Vertailumeetelmää tässä tutkimuksessa käytettii yhtä lukuu ottamatta kaikilla alueilla lijoittaista ympyräkoealaivetoitia. Ympyräkoeala-arvioiissa mitataa joko ) kaikkie iide puide tuukset, joide sytypiste o koealalla tai 2) koeala sisäpuolelle osuva kaatuee puu tilavuus. Ympyräkoealaivetoiissa voidaa soveltaa samoja tilavuusyhtälöitä kui LIS-meetelmässäki. Ympyräkoealaivetoiissa puusto hehtaarikohtaie tilavuus kullaki koealalla lasketaa kaavalla m v j Vi = = A i ij v ij = puu j tilavuus koealalla i m = mitattuje puide määrä koealalla i A i = koeala i pita-ala ( 5) Aluee keskitilavuus saadaa edellee koealoje tilavuuksie keskiarvoa. Keskiarvo keskivirhe estimoitii tässä tapauksessa yksikertaise satuaisotaa kaavalla s2 s S vˆ = = ( 6 ) s = koealoje tilavuuksie keskihajota = koealoje määrä Yksikertaise satuaisotaa keskivirhee estimoiissa oletetaa, että koealat o sijoitettu alueelle satuaisesti, tai että lahopuut sijaitsevat alueella täysi satuaisesti jakaatueia. Mikäli lahopuide määrässä kuiteki o trediomaista vaihtelua aluee eri osissa, tämä kaava todeäköisesti hiema yliarvioi todellista keskivirhettä. Jaksoittaise vaihtelu tapauksessa o mahdollista, että virhee arvio o aliarvio. Yhdellä alueella sovellettii vertailumeetelmää kaistaivetoitia. Kaistaivetoiti voidaa käsittää ikää kui koealaivetoitia, jossa kaistat muodostavat suuria koealoja. Ogelmaa o, että kaistat ovat eri pituisia, jolloi iillä o kullaki myös eri pita-ala. Tällöi kaistoje keskiarvo käyttö keskitilavuude estimaattia johtaa harhaisee tuloksee (Shiver ja Borders 996). Parempaa tuloksee päästää käyttämällä tuloste laskeassa suhde-estimoitia, jossa kaista pita-alaa käytetää aputietoa. Tällöi kokoaistilavuude estimaatti saadaa (esim. Shiver ja Borders 996) Vi Tˆ RA ˆ i R = T = = AT ( 7) Ai i= V i = lahopuu kokoaistilavuus kaistalla i A i = kaista i pita-ala A T = aluee koko pita-ala Jos halutaa tietää vai tilavuus hehtaaria kohti, riittää estimoida Rˆ = Vi Ai ( 8) i= i= Koska tässä suhde-estimaattorissa sekä mitattuje kaistoje pita-ala että iide tilavuus vaihtelevat otoksesta toisee, ei ole mahdollista estimoida suhtee keskivirhettä täsmällee. Estimaati likimääräie keskivirhe saadaa kaavalla (esim. Cochra 977, s. 33) 46

5 Kagas ym. Lahopuuivetoii meetelmie vertailu Nuuksio ulkoilualueilla Taulukko 2. Käytetyt meetelmät ja valittu otoskoko alueittai. Alue Meetelmä Lijaväli, Suuta Koealakoko, Koalaväli, Kaistaleveys, Miimim m 2 m m läpimitta, cm Karjakaivo-Pirttimäki LIS 00 Louas-koillie - pohjoisosa Ympyräkoeala 50 Louas-koillie Karjakaivo-Pirttimäki LIS Etelä-pohjoie 5 eteläosa LIS 300 Etelä-pohjoie 5 Kaista 600 Etelä-pohjoie 0 5 Luukkaa LIS 00 Itä-läsi 0 Ympyräkoeala 50 Itä-läsi Tytimäki LIS 50 Itä-läsi 5 Ympyräkoeala 50 Itä-läsi S2 u N SRˆ = ( 9) µ 2 N S 2 u x V 2 R2 A2 i + ˆ i 2Rˆ AiVi = i= i= i= A = = kaistoje keskimääräie koko N µ x T = mitattuje kaistoje määrä N = alueelle mahtuvie kaistoje määrä Tässä estimaatissa otettii huomioo myös populaatio äärellisyyskorjaus (N ) / N, toisi kui koealoihi perustuvassa kaavassa 6. Tämä johtuu siitä, että kaistaivetoii tapauksessa N o huomattavasti pieempi kui koealoje tapauksessa. (Koealaivetoii tapauksessa voidaa myös olettaa, että koealakeskipisteitä voidaa sijoittaa alueelle ääretö määrä, jolloi äärellisyyskorjausta ei tarvita.) Suhtee keskivirheestä päästää edellee kokoaistilavuude keskivirheesee kertomalla tulos aluee pita-alalla A T. Myös tässä tapauksessa joudutaa tekemää oletus, että lahopuut ovat jakautueet alueelle satuaisesti. Kaistaivetoii suurimpaa heikkoutea o se työläys. Sekä kaista- että ympyräkoealaivetoiti mahdollistavat myös pystykuolleitte puitte ivetoii, jote keskimääri äillä meetelmillä saatava lahopuu tilavuude tulisi olla korkeampi kui samalle alueelle LIS-meetelmällä saatu. 2.3 Mittaukset ja lasketa Mittaukset toteutettii hiema toisistaa poikkeavilla meetelmillä eri alueilla. Mittausajakohta oli heiä syyskuu Aluekohtaiset meetelmät esitelty taulukossa 2. Koska kulleki alueelle tuli vähitää kaksi erillistä estimaattia, aluee lopullie lahopuu tilavuus saatii äide estimaattie paiotettua keskiarvoa. Koska eri meetel oli erilaiset lijavälit, paiotettii estimaatteja kääteisesti suhteessa iide variassii. Yhdistetylle estimaatille o mahdollista laskea myös luotettavuusarvio (esim. Scott 984). Se kuiteki vaatii eri meetelmie vapausasteet, ja koealaivetoii koealamäärä ja LIS: kaistamäärä riastamie o vaikeaa. Ogelmia aihetti myös se, että osassa estimaateista oli mukaa myös pystypuu, osassa ei. 3 Tulokset Erilaisista alueista ja erilaisista meetelmistä johtue mittauste määrä vaihteli eri alueilla (taulukko 3). Mitattuja puita lijakilometriä kohti tuli eite LIS- ja kaistaivetoiissa, oi kpl, poikkeuksea Karjakaivo-Pirttimäe eteläosa toi- 47

6 Metsätietee aikakauskirja /2004 Tiedoato Taulukko 3. Mittauste määrä eri alueilla ja eri meetelmillä. Alue Meetelmä Lija, Koealoja, Mittausaika, Puita, km kpl h kpl Karjakaivo-Pirttimäki pohjoisosa LIS 58, - 44 h 492 Ympyräkoeala 39, h 45 mi 74 Karjakaivo-Pirttimäki eteläosa LIS 33,8-27 h 0 mi 935 LIS 7,8 - h 30 mi 93 Kaista 7, 6 7 h 45 mi 63 Luukkaa LIS 49,8-65 h 43 mi 90 Ympyräkoeala 33, h 0 mi 680 Tytimäki LIS 9,4-7 h 30 mi 24 Ympyräkoeala 9, h 30 mi 97 Taulukko 4. Kuollee puu tilavuus/ha ja estimaati absoluuttie ja suhteellie keskivirhe alueittai eri meetelmillä. Alue Meetelmä Tilavuus, Keskivirhe, Keskivirhe, Luotettavuus, Luotettavuus/ m 3 /ha m 3 /ha % % lija pituus Karjakaivo-Pirttimäki LIS 3,23 0,44,3 88,7,53 pohjoisosa Ympyräkoeala 2,54 0,83 33, 66,9,69 Karjakaivo-Pirttimäki LIS 3,42 0,25 7,3 92,7 2,74 eteläosa LIS,43 0,26 8,2 8,8 4,60 Kaista 3,78 0,76 20,0 80,27 Luukkaa LIS 5,5 0,55 0,0 90,8 Ympyräkoeala 0,4,8,4 88,6 2,63 Tytimäki LIS 4,65,2 26,0 74 7,87 Ympyräkoeala 3,6,05 29,2 70,8 7,53 e LIS-ivetoiti, jossa puita lijakilometriä kohti oli vai. Kaista oli tässä tutkimuksessa ii kapea, että mitattavaa ei kertyyt se eempää kui LIS-meetelmässäkää. Se sijaa ympyräkoealoilla mitattuja puita oli lijakilometriä kohti huomattavasti vähemmä. Ku koealakoko oli kolme aaria, mitattuja puita tuli vai oi kaksi lijakilometriä kohti. Isommalla koealakoolla päästii jo lähemmäksi muita meetelmiä, oi 0 20 puuhu. Yhdessä miuutissa mitattii LIS-meetelmässä keskimääri 0,2 0,6 puuta, ku ympyräkoealameetelmällä huooimmillaa saatii miuutissa 0,04 mittausta. Jos ivetoii kustaukset arvioidaa kulutettua aikaa mitattua puuta kohti, yksikkökustaukset olivat suurimmat ympyräkoealaivetoiissa, moikertaiset verrattua muihi meetelmii. Suuri osa ivetoii kustauksista kuiteki muodostuee lija kävelystä, joka suhtee erot meetelmie välillä olivat huomattavasti pieemmät. Tällöiki ympyräkoealameetelmä yksikkökustaukset muihi meetelmii ähde olivat suurimmat lukuu ottamatta Karjakaivo- Pirttimäe pohjoisosaa, jossa koealat olivat pieiä ja piete puide mittaus hidasti LIS-meetelmä soveltamista. Myös luotettavuude suhtee LIS-meetelmä tulokset olivat keskimääri hiema parempia kui muilla meetelmillä, erityisesti verrattua ympyräkoealaa ja pieii koealoihi. Luotettavuus määriteltii tässä tutkimuksessa kaavalla R = 00 s e% (0) 48

7 Kagas ym. Lahopuuivetoii meetelmie vertailu Nuuksio ulkoilualueilla Taulukko 5. Kuollee puu määrä jaoteltua kuolleesee pysty- ja maapuuhu alueittai. Alue Pystypuu Maapuu m 3 /ha Karjakaivo-Pirttimäki pohjoisosa,25,29 Karjakaivo-Pirttimäki eteläosa,9 2,59 Luukkaa 4,9 5,5 0 % 32 % 6 % 29 % 23 % 0 cm 20 cm 2 30 cm 3 40 cm 4 50 cm Kuva. Lahopuide lukumäärä ja tilavuude jakautumie läpimittaluokkii Karjakaivo-Pirttimäe aluee pohjoisosa LIS-ivetoiissa. Tulokset eivät kuitekaa ole suoraa vertailukelpoiset, koska eri ivetoitie kustauksia ei ollut vakioitu. Ku mittaukset suhteutetaa kustauksii, joiksi tässä tilateessa voidaa määritellä mittausaika, kuljettu matka ja mitatut puut, tilae o toie. Vaikka luotettavuus LIS-meetelmässä oli paras, suhteutettua mitatu lija pituutee kaistaivetoiti oli paras (taulukko 4). Samalaie tilae oli suhteessa mittausaikaa. Mitattua puuta kohti ympyräkoealameetelmä pieillä koealoilla oli luotettavuudeltaa paras. Jos taas mitataa tuottattavuutta puukohtaiste yksikkökustauste ja suhteellise keskivirhee tulolla, ympyräkoealaivetoiti o suurte kustaustesa vuoksi tehottomi. Nämä erot voivat kuiteki osi selittyä ryhmie ja alueide välisillä eroilla, esimerkiksi eroilla havaitussa keskitilavuudessa. Tytimäessä lijat olivat molemmissa meetel samat, ja tällöi LIS-meetelmä oli luotettavi myös suhteessa lija pituutee ja aikaa (taulukko 4). Karjakaivo-Pirttimäkialuee pohjoisosasta mitattii myös pieiläpimittaie lahopuu. Se osuus lahopuide lukumäärästä o valtava, mutta tilavuudesta pieiläpimittaie, alle 0 cm puu muodosti tälläki alueella vai 23 % (kuva ). Piete puide mittaus heikesi merkittävästi LIS-meetelmä tehokkuutta sekä aja että mitattuje puide suhtee tällä alueella. Taulukossa 4 o esitetty kullaki alueella aluee kuollee puu tilavuus/ha ja se keskivirhe sekä suhteellie keskivirhe. Suhteellie keskivirhe o saatu jakamalla keskivirhe aluee keskitilavuudella. Aluee keskimääräiset tulokset saatii virhee kääteisluvulla paiotettua meetelmie keskiarvoa. Nämä arvot olivat 3,07 m 3 /ha Karjakaivo-Pirttimäe pohjoisosalle, 2,53 m 3 /ha eteläosalle, 6,37 m 3 /ha Luukkaa alueelle sekä 4,05 m 3 /ha Tytimäelle. Tosi o muistettava, että LIS-estimaateissa ei ole mukaa pystykuolleita puita, jote ylläolevat keskiarvot ovat harhaisia kokoaistilavuude estimaatteja. Pysty- ja maapuut pystyttii erottelemaa vai kaista- ja ympyräkoealaivetoieissa (taulukko 5). Tytimäe alueella erottelua ei kuitekaa tehty. 4 Tuloste tarkastelu Harviaiste ilmiöide, kute lahopuu määrä, ivetoiissa epävarmuus o ormaalia puustoivetoitia suurempi. Nyt tehdyssä ivetoiissa lahopuusto keskivirheet olivat 7 ja 33 proseti välissä, pieimmät arvot ovat lähellä tyypillistä elävä puusto koealaivetoitia, ja suurimmat jopa heikompia kui elävälle puustolle yksittäiselle kuviolle kuvioittaisella arvioiilla saadut tulok- 49

8 Metsätietee aikakauskirja /2004 Tiedoato Taulukko 6. Tilavuus/ha, variassi ja hajota kolmella eri pituude määritystavalla Karjakaivo-Pirttimäe aluee eteläosassa. Lijoje pituus Tilavuus / ha Variassi Hajota Karta mukaie 3, ,066 0,257 Korjattu (kartta + 3 %) 3, ,063 0,250 Korjattu järvet 3, ,06 0,247 set. Pieempie ositteide, kute kasvupaikkoje tilavuusosuudet taas saattavat vaihdella paljoki, koska iille osuu vai muutamia havaitoja. Tässä työssä o kulleki alueelle tehty vähitää kaksi riippumatota ivetoitia. Niide tulokset ovat samaa suuruusluokkaa, lukuu ottamatta Luukkaa aarialuee tuloksia, jossa kahde eri ivetoii tulokset poikkesivat selvästi. Tämä ero kuiteki selittyy täysi sillä, että LIS-ivetoii tuloksista puuttuu pystykuollut puu: maapuu määrät arvioitii molemmissa ivetoieissa samoiksi. Tämä ataa tukea sille, että tulokset ovat riittävä luotettavia. LIS-meetelmä vaikutti yksikertaisuutesa ja tehokkuutesa vuoksi soveltuva hyvi käytäö ivetoitii, mutta se heikkoutea o kuolleitte pystypuitte arvioiti. Kuolleet pystypuut pitäisiki ivetoida samoilta lijoilta eri meetelmällä, esimerkiksi mittaamalla kaikki lijoilta havaitut kuolleet pystypuut ja etäisyys lijalta havaittuu puuhu (s. lie trasect samplig, esim. Shiver ja Borders 996). Suuret heitot luotettavuuksissa alueide ja meetelmie välillä kuiteki vaikeuttavat selvie johtopäätöste tekoa meetelmie keskiäisistä tehokkuuseroista. Oletus lahopuide riippumattomasta jakautumisesta alueelle ja kaatumissuutie satuaisuudesta ei välttämättä ole täysi realistie. Kaatueide puide jakaatumie alueelle voi riippua esimerkiksi kasvupaikkoje ja ikäluokkie jakaumasta. Vallitsevat kovie tuulte suuat voivat myös aiheuttaa se, että kaatueita maapuita o eemmä tässä suuassa kui muissa suuissa. Tällöi lijoihi ja kaistoihi perustuvat otokset voivat olla herkemmät harhoille kui koealaivetoiit. Tehdyissä ivetoieissa o otatavirhee lisäksi muitaki virhemahdollisuuksia. Näitä ovat esimerkiksi mittausvirheisii, puulaji tai lahopuuluoka määritysvirheisii, lijoje paikauksee ja lijoje pituude määrittelemisee liittyvät virheet. Näitte virheitte vaikutuksia ei kuitekaa voida aalyyttisesti huomioida tuloksissa. Lijoje pituude vaikutuksesta tehtii yhdellä alueella herkkyysaalyysi, joka osoitti, että tulokset eivät olleet kovi herkkiä lija pituude pieille heitoille. Herkkyysaalyysissä lijoje pituudet mitattii kolmella tavalla. Esimmäie arvo o tarkka lijapituus koordiaateista laskettua. Toisee o lisätty 3 %: korjaus, joka ryhmä arvioi karta ja askelparimittauksie avulla todelliseksi kävelymatkaksi. Kolmas matka-arvo o korjattu matka väheettyä järvie ja lampie pituuksilla lijoilla (taulukko 6). Lijoje paikausvirhe voi mahdollisesti aiheuttaa harhaa tuloksii. Jos mittaajat siirtävät lijaa (alitajuisesti) sie, maapuita o, tulee tuloksii systemaattie yliarvio ja päivastoi. GPS-paikaus osoittautui tässä mielessä pettymykseksi: se toimita oli epävarmaa peitteisillä alueilla, tosi käytössä oli taskukokoisia Etrex-malleja eikä tarkempia reppumalleja. Suuripuustoisissa otkelmissa bussoli, kartta ja kompassi ovat vielä ykyisellää välttämättömyys. Osittai erot ajameekeissä voivat olla myös seurausta eroista ryhmie kokemuksessa maastossa liikkumisesta ja suuistamisessa. Tätä ei voitu ottaa koejärjestelyssä huomioo, ryhmie kulkuopeutta ei voitu vakioida. Mittauksii kuluvaa aikaa ei myöskää eritelty työlajeittai, jolloi olisi voitu selvittää pysty- ja maapuu mittaamisee tai lijavetoo ja puide mittaamisee kuluut aika eriksee. Tutkimus o toteutettu opiskelijoide harjoitustyöä, jolloi eri alueide meetelmiä ja kustauksia ei voitu vakioida (tehtävä opetuksellise luotee kärsimättä). Otoskoo vaihtelu lisäksi piei mitattu läpimittaluokka aiheuttaa tuloksii ylimääräistä vaihtelua. Luotettavuusvertailu olisi myös ollut mielekkäämpi pelkästää maapuulle. Tutkimuksesta olisiki saaut eemmä irti, jos ivetoiit olisi toteutettu koesuuittelu periaattei. Saadut tulokset atavat kuiteki melko hyvä arvio eri meetelmie käyttökelpoisuudesta, tuottavuudesta ja luotettavuudesta käytäö mittauksissa. 50

9 Kagas ym. Lahopuuivetoii meetelmie vertailu Nuuksio ulkoilualueilla Kiitokset Tekijät haluavat kiittää FT Juha Heikkistä ja aoyymiä tarkastajaa avusta kirjoitukse viimeistelyssä ja Helsigi kaupukia rahallisesta avusta. Kirjallisuus Gove, J.H., Ducey, M.J. & Valetie, H.T Multistage poit relascope samplig ad radomized brach samplig for dowed coarse woody debris estimatio. Forest Ecology & Maagemet 55: Kagas, A. & Päivie, R Metsä mittaus. 3. uudistettu paios. Silva Carelica s. Korhoe, K.T., Tomppo, E., Hettoe, H., Ihalaie, A., Toteri, T. & Tuomaie, T Pohjois-Karjala metsäkeskukse aluee metsävarat Metsätietee aikakauskirja 3B/200: Korhoe, P Väliraportti kuollee puu mittausmeetelmästä. Metsähallitus, Kehittämisyksikkö, Raportti 5. 5 s. Laasaseaho, J Taper curve ad volume fuctios for pie, spruce ad birch. Commuicatioes Istituti Forestalis Feiae s. Lee, P.C., Crites, S., Nietfeld, M., va Nguye, H. & Stelfox, J.B Characteristics ad origis of deadwood material i aspe-domiated boreal forests. Ecological Applicatios 7: Lämås, T. & Ståhl, G O the accuracy of lie trasect samplig of rare forest objects. EFI proceedigs 8. s Pedlar, J.H., Pearce, J.L., Veier, L.A. & McKeey, D.W Coarse woody debris i relatio to disturbace ad forest type i boreal Caada. Forest Ecology & Maagemet 58: Rigvall, A Assessmet of sparse populatios i forest ivetory. Developmet ad evaluatio of probability samplig methods. Acta Uiversitatis Agriculturae Sueciae Silvestria 5. s. 33. Scott, C.T A ew look at samplig with partial replacemet. Forest Sciece 30: Shiver, B.D. & Borders, B.E Samplig techiques for forest resources ivetory. 356 s. Siitoe, J Lahopuu merkitys metsäluoo moimuotoisuudelle kirjallisuuskatsaus. Julkaisussa: Aila, E. (toim.). Moimuotoie metsä. Metsäluoo moimuotoisuude tutkimusohjelma väliraportti. Metsätutkimuslaitokse tiedoatoja 705. s Lahopuusto ja säästöpuut metsäsuuittelussa. Julkaisussa: Kagas, J., Kokko, A., Jokimäki, J. & Store, R. (toim.). Tutkimuksia ekologise iformaatio liittämisestä metsäsuuitteluu. Metsätutkimuslaitokse tiedoatoja 858. s Siitoe, P., Taskae, A. & Lehtie, A Metsie moimuotoisuude arvioiti. Osa 3. Pisteytys- ja optimoitimeetelmät MoiWi ja MoiOpti. Metsähallitukse metsätaloude julkaisuja s. + liitteet. Ståhl, G Trasect relascope samplig a method for the quatificatio of coarse woody debris. Forest Sciece 44(): & Lämås, T A simulator for samplig of rare forest objects. EFI Proceedigs 4. s Toteri, T. & Siitoe, J Lahopuu talousmetsissä 9. valtakua metsie tuloste mukaa vertailu luoometsii. Julkaisussa: Siitoe, J. (toim.). Moimuotoie metsä. Metsäluoo moimuotoisuude tutkimusohjelma loppuraportti. Metsätutkimuslaitokse tiedoatoja 82. s viitettä 5

Pysty- ja maalahopuuston inventointi relaskooppiotannan avulla

Pysty- ja maalahopuuston inventointi relaskooppiotannan avulla Metsätietee aikakauskirja t i e d o a t o Olli Leio, Markus Holopaie, Atti Mäkie, Haa Happoe, Tarja Kiviaho ja Riia Tuomie Olli Leio Pysty- ja maalahopuusto ivetoiti relaskooppiotaa avulla Leio, O., Holopaie,

Lisätiedot

Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauman käyttö päättelyssä Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus

Lisätiedot

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä

Otantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria

Lisätiedot

4.3 Signaalin autokorrelaatio

4.3 Signaalin autokorrelaatio 5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.

Todennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa. Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3 LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

Metsätieteen aikakauskirja

Metsätieteen aikakauskirja Metsätietee aikakauskirja t u t k i m u s a r t i k k e l i Pekka Hyvöe Pekka Hyvöe Kuvioittaiste puustotuuste ja toimepide-ehdotuste estimoiti k-lähimmä aapuri meetelmällä Ladsat TM -satelliittikuva,

Lisätiedot

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA

Tunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat

Lisätiedot

pq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489

pq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489 Perusjoukko ja otos Kvatitatiiviset meetelmät Sami Fredriksso Yleie valtio-oppioppi Havaitoyksikkö o empiirise mittaukse kohde Perusjoukko o kaikkie havaitoyksiköide muodostama kokoaisuus Otos o perusjoukkoa

Lisätiedot

Kantobiomassan määrän mallintaminen leimikoissa hakkuukonemittausten avulla

Kantobiomassan määrän mallintaminen leimikoissa hakkuukonemittausten avulla Metsätietee päivä, 6.0.0 Katobiomassa määrä mallitamie leimikoissa hakkuukoemittauste avulla Heikki Ovaskaie, Itä Suome yliopisto Pirkko Pihlaja, UPM Kymmee Teijo Palader, Itä Suome yliopisto Johdato Suomessa

Lisätiedot

Tilastollinen todennäköisyys

Tilastollinen todennäköisyys Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole

Lisätiedot

Työ 55, Säteilysuojelu

Työ 55, Säteilysuojelu Työ 55, Säteilysuojelu Ryhmä: 18 Pari: 1 Joas Alam Atti Tehiälä Selostukse laati: Joas Alam Mittaukset tehty: 7.4.000 Selostus jätetty: 1.5.000 1. Johdato Tutkimme työssämme kolmea eri säteilylajia:, ja

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut

Lisätiedot

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.

10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen. 10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).

Lisätiedot

LASKENNALLISEN TIETEEN ERIKOISKURSSI kl 2000

LASKENNALLISEN TIETEEN ERIKOISKURSSI kl 2000 LASKENNALLISEN TIETEEN ERIKOISKURSSI kl 2000 Laskuharjoitus Detaljibalassi Osoita, että siirtymätodeäköisyydet π m α m ; ρ, m ρ α m ----- ; ρ < ρ, m m π m, m m ja π m ρ α m ------------------ ρ +, m π

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma

Lisätiedot

- menetelmän pitää perustua johonkin standardissa ISO 140-5 esitetyistä menetelmistä

- menetelmän pitää perustua johonkin standardissa ISO 140-5 esitetyistä menetelmistä RAKENNUKSEN ULKOVAIPAN ÄÄNENERISTYSTÄ KOSKEVAN ASEMAKAAVAMÄÄRÄYKSEN TOTEUTUMISEN VALVONTA MITTAUKSIN Mikko Kylliäie, Valtteri Hogisto 2 Isiööritoimisto Heikki Helimäki Oy Piikatu 58 A, 3300 Tampere mikko.kylliaie@helimaki.fi

Lisätiedot

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).

1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ). HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä

Lisätiedot

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia?

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) Kysymys Mite mitata raha arvo muutoksia? Kuluttajahitaideksi (KHI) o sovittu kulutustavaroide ja palveluide hitakehitykse mittari. KHI muodostetaa paiotettua keskiarvoa eri pääryhmie

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.

Sisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla. Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli

Lisätiedot

S Laskennallinen systeemibiologia

S Laskennallinen systeemibiologia S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude

Lisätiedot

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen

T Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide

Lisätiedot

Kuolleen puuston määrä Etelä- ja Pohjois-Suomessa 2004 2007

Kuolleen puuston määrä Etelä- ja Pohjois-Suomessa 2004 2007 Metsätieteen aikakauskirja m e t s ä v a r a t Antti Ihalainen ja Helena Mäkelä Antti Ihalainen Kuolleen puuston määrä Etelä- ja Pohjois-Suomessa 24 27 Ihalainen, A. & Mäkelä, H. 29. Kuolleen puuston määrä

Lisätiedot

HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN

HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN S-08-0 OPTIIKKA /6 HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN Laboratoriotyö S-08-0 OPTIIKKA /6 Sisällysluettelo Teoria... 3 Työ suoritus... 4. Kokoaisheijastus... 4. Brewsteri kulma... 5 3 Mittauspöytäkirja... 6 S-08-0

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,

Lisätiedot

Metsätieteen aikakauskirja

Metsätieteen aikakauskirja Metsätietee aikakauskirja t u t k i m u s a r t i k k e l i Matti Närhi, Matti Maltamo, Petteri Packalé, Heli Peltola ja Jae Soimasuo Matti Närhi Kuuse taimikoide ivetoiti ja taimikohoido kiireellisyyde

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6

Lisätiedot

Suomen metsävarat 2004-2005

Suomen metsävarat 2004-2005 Suomen metsävarat 24-2 Korhonen, K.T., Heikkinen, J., Henttonen, H., Ihalainen, A., Pitkänen, J. & Tuomainen, T. 26. Suomen metsävarat 24-2. Metsätieteen Aikakauskirja 1B/26 Metsäntutkimuslaitos Skogsforskningsinstitutet

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

Harjoitukset 1 : Tilastokertaus

Harjoitukset 1 : Tilastokertaus 31C99904, Capstoe: Ekoometria ja data-aalyysi TA : markku.siikae(a)aalto.fi & tuuli.vahapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 1 : Tilastokertaus (Palautus 10.1.2017) Palautellaa mielii hiema tilasto-oppia ja todeäköisyyslasketaa.

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Tilastolliset luottamusvälit

Tilastolliset luottamusvälit Luku 8 Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 8.1 Piste-estimaatti ja väliestimaatti Edellisessä luvussa opittii määrittämää parametreille estimaatteja suurimma uskottavuude

Lisätiedot

PUUTAVARA- PÖLKKYJEN MITTAUS

PUUTAVARA- PÖLKKYJEN MITTAUS PUUTAVARA- PÖLKKYJEN MITTAUS PUUTAVARAPÖLKKYJEN MITTAUS Metsähallitus Metsäteollisuus ry Yksityismetsätalouden Työnantajat ry Puu- ja erityisalojen liitto Ohje perustuu alla lueteltuihin maa- ja metsätalousministeriön

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI Mikko Kylliäinen Insinööritoimisto Heikki Helimäki Oy Dagmarinkatu 8 B 18, 00100 Helsinki kylliainen@kotiposti.net 1 JOHDANTO Suomen rakentamismääräyskokoelman

Lisätiedot

ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla:

ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla: 10 a) Valo opeus levyssä o vakio v 0 = c / 0, jote ajaksi matkalla L laskemme L t0 = = 0 L. v0 c b) Valo opeus levyssä riippuu z:sta: c c v ( z) = = ( z ) 0 (1 + 3az 3 ) ja läpäisyaika lasketaa (esim)

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Luento 7 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 7 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Lueto 7 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio Aalto-yliopisto perustieteide korkeakoulu PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi Määritelmä Tarkasteltava

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Lueto 6 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi ja-erik.holmberg@aalto.fi Määritelmä Tarkasteltava yksikö luotettavuus

Lisätiedot

Aineisto ja inventoinnit

Aineisto ja inventoinnit Pienialaisen täsmäpolton pitkäaikaisvaikutukset kääpälajiston monimuotoisuuteen Reijo Penttilä¹, Juha Siitonen¹, Kaisa Junninen², Pekka Punttila³ ¹ Metsäntutkimuslaitos, ² Metsähallitus, ³ Suomen ympäristökeskus

Lisätiedot

Parametrien oppiminen

Parametrien oppiminen 38 Parametrie oppimie Tilastollise malli (Bayes-verkko rakee o kiiitetty, se umeeriste parametrie (ehdolliste todeäköisyyksie arvot pyritää määräämää Oletamme havaitoe oleva täydellisiä; s.o., okaise datapistee

Lisätiedot

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit 2. Mittaus ja data 2.. Johdato Voidaksemme keksiä tosimaailma relaatioita tarkastelemme sitä kuvaavaa dataa, jote esiksi selvitämme, mitä data perimmiltää o. Data kerätää kuvaamalla mielekiitoaluee oliot

Lisätiedot

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP) 10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista

Lisätiedot

TILASTOT: johdantoa ja käsitteitä

TILASTOT: johdantoa ja käsitteitä TILASTOT: johdatoa ja käsitteitä TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Tilastotietee tehtävää o esittää ja tulkita tutkimuskohteesee liittyvää havaitoaieistoa eli tilastoaieistoa. Tutkitaa valittua joukkoa ja se

Lisätiedot

Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Satelliittipaikannuksen tarkkuus hakkuukoneessa. Timo Melkas Mika Salmi Jarmo Hämäläinen

Satelliittipaikannuksen tarkkuus hakkuukoneessa. Timo Melkas Mika Salmi Jarmo Hämäläinen Satelliittipaikannuksen tarkkuus hakkuukoneessa Timo Melkas Mika Salmi Jarmo Hämäläinen Tavoite Tutkimuksen tavoite oli selvittää nykyisten hakkuukoneissa vakiovarusteena olevien satelliittivastaanottimien

Lisätiedot

Valvontakortit. Sovelletun Matematiikan Erikoistyö. Pastinen Tommi 23.4.2010

Valvontakortit. Sovelletun Matematiikan Erikoistyö. Pastinen Tommi 23.4.2010 Valvotakortit Sovelletu Matematiika Erikoistyö Pastie Tommi 3.4. Tässä työssä perehdytää valvotakortteihi tilastollisessa laaduvalvoassa perusteoria ja esimerkkitapauste kautta. Sisältö Johdato... 3 Tilastollisesta

Lisätiedot

Lahopuu ja tekopökkelöt: vaikutukset lahopuukovakuoriaislajistoon. Juha Siitonen, Harri Lappalainen. Metsäntutkimuslaitos, Vantaan toimintayksikkö

Lahopuu ja tekopökkelöt: vaikutukset lahopuukovakuoriaislajistoon. Juha Siitonen, Harri Lappalainen. Metsäntutkimuslaitos, Vantaan toimintayksikkö Lahopuu ja tekopökkelöt: vaikutukset lahopuukovakuoriaislajistoon Juha Siitonen, Harri Lappalainen Metsäntutkimuslaitos, Vantaan toimintayksikkö Lahopuusto, aineisto ja menetelmät Lahopuut 1 cm mitattiin

Lisätiedot

Lajiston palautuminen ennallistamisen jälkeen: lahopuun määrän ja ympäröivän maiseman vaikutukset

Lajiston palautuminen ennallistamisen jälkeen: lahopuun määrän ja ympäröivän maiseman vaikutukset Lajiston palautuminen ennallistamisen jälkeen: lahopuun määrän ja ympäröivän maiseman vaikutukset Reijo Penttilä 1,2, Raimo Virkkala 1, Juha Siitonen 2, Pekka Punttila 1, Heikki Kotiranta 1, Raimo Heikkilä

Lisätiedot

Sormenjälkimenetelmät

Sormenjälkimenetelmät Sormejälkimeetelmät Matti Risteli mristeli@iksula.hut.fi Semiaariesitelmä 23.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta

Lisätiedot

Uusimmat metsävaratiedot

Uusimmat metsävaratiedot Uusimmat metsävaratiedot Kari T. Korhonen & Antti Ihalainen Valtakunnan metsien 11. inventoinnin (VMI11) tulosten julkistamistilaisuus 18.3.2015 Suomi on Euroopan metsäisin maa Metsätalousmaata 26,2 milj.

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut:

Lasketaan kullekin a euron maksuerälle erikseen, kuinka suureksi erä on n vuodessa kasvanut: Varsi arkiäiväisiä, geometrise joo teoriaa liittyviä käytäö sovellutuksia ovat jaksottaisii maksuihi ja kuoletuslaiaa (auiteettilaiaa) liittyvät robleemat. Tällaisii joutuu lähes jokaie yhteiskutakeloie

Lisätiedot

Puun kasvu ja runkomuodon muutokset

Puun kasvu ja runkomuodon muutokset Puun kasvu ja runkomuodon muutokset Laserkeilaus metsätieteissä 6.10.2017 Ville Luoma Helsingin yliopisto Centre of Excellence in Laser Scanning Research Taustaa Päätöksentekijät tarvitsevat tarkkaa tietoa

Lisätiedot

Metsäsuunnittelusta metsän suunnitteluun puuntuotannon rinnakkaistavoitteiden turvaaminen. Puukauppaa yksityismetsänomistajien kanssa vuosittain

Metsäsuunnittelusta metsän suunnitteluun puuntuotannon rinnakkaistavoitteiden turvaaminen. Puukauppaa yksityismetsänomistajien kanssa vuosittain Metsäsuunnittelusta metsän suunnitteluun puuntuotannon rinnakkaistavoitteiden turvaaminen Metsätieteen päivä 17.11.2015 Sami Oksa Päällikkö, ympäristö ja kestävä kehitys UPM ja metsä 50M Tainta istutetaan

Lisätiedot

Puutavaran tukkimittarimittauksessa käytettävä tyvisylinterin pituus ja tarkastusmittauksen mittaussuunta

Puutavaran tukkimittarimittauksessa käytettävä tyvisylinterin pituus ja tarkastusmittauksen mittaussuunta Puutavaran tukkimittarimittauksessa käytettävä tyvisylinterin pituus ja tarkastusmittauksen mittaussuunta Puutavaranmittauksen neuvottelukunnan suosituksen 12.10.2017 taustamateriaali Suositusta muutettu

Lisätiedot

Vaihtoehtoisia malleja puuston kokojakauman muodostamiseen

Vaihtoehtoisia malleja puuston kokojakauman muodostamiseen Vaihtoehtoisia malleja puuston kokojakauman muodostamiseen Jouni Siipilehto, Harri Lindeman, Jori Uusitalo, Xiaowei Yu, Mikko Vastaranta Luonnonvarakeskus Geodeettinen laitos Helsingin yliopisto Vertailtavat

Lisätiedot

tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien

tilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien Semiklassie johtavuusmalli Metalleissa vastus aiheutuu virrakuljettajie törmäyksistä, joita karakterisoi relaksaatioaika τ Oletetaa, että ifiitesimaalisella aikavälillä dt elektroi törmäystodeäköisyys

Lisätiedot

Mittaustulosten tilastollinen käsittely

Mittaustulosten tilastollinen käsittely Mittaustulosten tilastollinen käsittely n kertaa toistetun mittauksen tulos lasketaan aritmeettisena keskiarvona n 1 x = x i n i= 1 Mittaustuloksen hajonnasta aiheutuvaa epävarmuutta kuvaa keskiarvon keskivirhe

Lisätiedot

Metsätieteen aikakauskirja

Metsätieteen aikakauskirja Metsätietee aikakauskirja t u t k i m u s a r t i k k e l i Pekka Hyvöe, Assi Pekkarie ja Sakari Tuomie Pekka Hyvöe Ilmakuvasegmetteihi perustuva kaksivaiheise otaa luotettavuus puustotuuste ei-parametrisessa

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

Syyskylvön onnistuminen Lapissa

Syyskylvön onnistuminen Lapissa Metsänuudistaminen pohjoisen erityisolosuhteissa Loppuseminaari 15.03.2012, Rovaniemi Syyskylvön onnistuminen Lapissa Mikko Hyppönen ja Ville Hallikainen / Metsäntutkimuslaitos Skogsforskningsinstitutet

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k = Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat: Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,

Lisätiedot

TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT)

TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT) 2012/MAT814 ISSN 1797-3457 (vekkojulkaisu) ISBN (PDF) 978-951-25-2408-2 TIIVISTELMÄRAPORTTI (SUMMARY REPORT) Vaiheistettu heijastipita valemaalia Joha Ste, Päivi Koivisto, Ato Hujae, Tommi Dufva, VTT,

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat: Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia Todeäköisyyslasketa I, kesä 207 Helsigi yliopisto/avoi yliopisto Harjoitus 3, ratkaisuehdotuksia. Aikaisemma viiko teemaa. Edessäsi o kaksi laatikkoa A ja B. Laatikossa A o 8 palloa, joista puolet valkoisia.

Lisätiedot

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja. MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998.

TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET. Kokooma 23.1.2008. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Kokooma 23.1.2008. Viimeisi perustemuutos o vahvistettu 3.2.1998. TYÖNTEKIJÄIN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET Sisällysluettelo

Lisätiedot

Laserkeilauksella kattavaa tietoa kaupunkimetsistä

Laserkeilauksella kattavaa tietoa kaupunkimetsistä Laserkeilauksella kattavaa tietoa kaupunkimetsistä Topi Tanhuanpää HY, Metsätieteiden osasto / UEF, Historia- ja maantieteiden osasto Kaupunkimetsät: Mitä ne ovat? Kaupungissa ja sen laitamilla kasvavien

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

METKA-maastolaskurin käyttäjäkoulutus 9.12.2010 Tammela Matti Kymäläinen METKA-hanke 27.3.2014 1

METKA-maastolaskurin käyttäjäkoulutus 9.12.2010 Tammela Matti Kymäläinen METKA-hanke 27.3.2014 1 METKA-maastolaskurin käyttäjäkoulutus 9.12.2010 Tammela Matti Kymäläinen METKA-hanke 27.3.2014 1 METKA-maastolaskuri: Harvennusmetsien energiapuun kertymien & keskitilavuuksien laskentaohjelma Lask ent

Lisätiedot

Määräys. sähköverkkotoiminnan tunnuslukujen julkaisemisesta. Annettu Helsingissä 2 päivänä joulukuuta 2005

Määräys. sähköverkkotoiminnan tunnuslukujen julkaisemisesta. Annettu Helsingissä 2 päivänä joulukuuta 2005 Dro 1345/01/2005 Määräys sähköverkkotoimia tuuslukuje julkaisemisesta Aettu Helsigissä 2 päivää joulukuuta 2005 Eergiamarkkiavirasto o määräyt 17 päivää maaliskuuta 1995 aetu sähkömarkkialai (386/1995)

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude

Lisätiedot

Puuston mittaus etäisyyden- ja kulmanmittauslaitteella

Puuston mittaus etäisyyden- ja kulmanmittauslaitteella Metsätieteen aikakauskirja t i e d o n a n t o Jouko Laasasenaho Jouko Laasasenaho, Jyrki Koivuniemi, Timo Melkas ja Minna Räty Puuston mittaus etäisyyden- ja kulmanmittauslaitteella Laasasenho, J., Koivuniemi,

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille

Lisätiedot

Trestima Oy Puuston mittauksia

Trestima Oy Puuston mittauksia Trestima Oy Puuston mittauksia Projektissa tutustutaan puuston mittaukseen sekä yritykseen Trestima Oy. Opettaja jakaa luokan 3 hengen ryhmiin. Projektista arvioidaan ryhmätyöskentely, projektiin osallistuminen

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi

Lisätiedot

Jakaumamallit MELA2009:ssä. MELA käyttäjäpäivä Kari Härkönen

Jakaumamallit MELA2009:ssä. MELA käyttäjäpäivä Kari Härkönen Jakaumamallit MELA29:ssä MELA käyttäjäpäivä 11.11.29 Kari Härkönen Metsäntutkimuslaitos Skogsforskningsinstitutet Finnish Forest Research Institute www.metla.fi Aineistonmuodostuksessa useita vaihtoehtoisia

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi lyhyesti. a) a, c, e, g, b),,, 7,, Ratkaisut: a) i ja k - oikea perustelu ja oikeat kirjaimet, annetaan

Lisätiedot