QCD:n numeerinen ratkaisu hilalla
|
|
- Väinö Toivonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 QCD:n numeerinen ratkaisu hilalla Teemu Rantalaiho Teoreettisen fysiikan laudatur seminaari, Helsingin yliopisto 12. marraskuuta 2009
2 Agenda 1 Linkkivariaabeli ja plakettivaikutus Yang-Mills vaikutus ja fermionit Hila-QCD:n statistiikkaa Tärkeysotannat Metropolis algoritmi Pseudofermionit ja Hybridi Monte Carlo metodi Tulosten laskenta Rajankäynti jatkumoon, skaalaus ja asymptoottinen skaalaus Staattinen potentiaali Massalaskut Toteutus käyttäen CUDA-arkkitehtuuria Mikä CUDA? Tuloksia ja yhteenveto
3 Linkkivariaabeli ja plakettivaikutus 2 U µ (x 4 ) = U µ(x 4 a µ ) U µ(x + a ν ê ν ) ψ(x 5 ) U ν (x 3 ) U ν(x) U ν (x + a µ ê µ ) ψ(x 1 ) Uµ (x 1 )U µ (x 2 ) x Uµ (x)
4 Plakettivariaabeli 3 Määritellään linkkivariaabeli U µ (x) seuraavasti: { U µ (x) = P exp ( x+aµ i dx µ A µ (x) )} e ia µ(x)a µ, kun a µ 0 x Ja plakettivariaabeli: P µν (x) = U ν(x)u µ(x + a ν ê ν )U ν (x + a µ ê µ )U µ (x) U µ(x + a ν ê ν ) U ν(x) U ν (x + a µ ê µ ) x Uµ (x) Muunnosominaisuudet mittamuunnoksessa:p µν(x) = Λ(x)P µν (x)λ 1 (x), Mikä tahansa suljettu polku linkkivariaabeleista mittainvariantti: tr { 1 U µi (x i ) } = tr { U µn (x n ) U µ1 (x 1 ) } = tr { 1 U µ i (x i ) } i=n i=n
5 Vaikutusintegraali 4 Plakettivariaabeli mittakentän funktiona: P µν (x) = exp { ia µ a ν ( µ A ν (x) ν A µ (x) + i [A µ (x), A ν (x)] ) + io(a 3 ) } = exp { ia µ a ν F µν (x) + io(a 3 ) } Sen jälki on tr P µν (x) = tr ˆ1 N N tr { ia µ a ν F µν (x) + O(a 3 ) } (a µa ν ) 2 ( { tr Fµν (x) 2}) + O(a 6 ) 2 Termi O(a 3 ) muotoa: [A, [A, B]] [B, [A, B]] +..., joten sen jälki katoaa Vertaamalla tätä Yang-Mills Lagrangen tiheyteen 1 tr { F 2g 2 µν F µν} huomataan, että 4 tr { 1 P µν (x) } 4 = tr { 2 ( P µν (x) + P µν(x) )} 4 = 2 Re tr { 1 P µν (x) } µ,ν=1 = µ<ν=1 4 µ<ν=1 µ<ν=1 (a µ a ν ) 2 tr { F µν (x)f µν (x) } + O(a 6 ), 2 Josta saadaan Yang-Mills vaikutus hilalla (a µ = a ν ): S YM (U µ ) = 2 4 Re tr { 1 P g 2 µν (x) } 1 2g 2 x L µ<ν=1 d 4 x tr { F µν (x)f µν (x) }
6 Fermionit hilalla 5 ψ(x) muuntuu vektorina mittamuunnoksessa Λ(x): ψ (x) = Λ(x)ψ(x) ψ (x) = ψλ 1 (x) Siten mikä tahansa avoin jatkuva ketju x 1:stä x n:än linkkivariaabeleita pitkin on triviaalisti mittainvariantti: ψ (x n )U µ n 1 (x n 1 ) U µ 1 (x 1 )ψ (x 1 ) = ψ(x n )U µn 1 (x n 1 ) U µ1 (x 1 )ψ(x 1 ) U µ (x 4 ) = U µ(x 4 a µ ) ψ(x 5 ) U ν (x 3 ) ψ(x 1 ) Uµ (x 1 )U µ (x 2 )
7 Wilsonin fermioni-vaikutus 6 Kovariantti derivaatta linkkivariaabeleiden avulla: U 1 (x + dx µ )ψ(x + dx µ ) ψ(x) D µ ψ(x) = lim dx µ 0 dx µ Joten ensimmäinen yrite diskreetiksi fermioni-vaikutukseksi on S q = x L ( ψ(x)mψ(x) 1 2 S q : aiheuttaa fermionien tuplausongelman ±4 µ=±1 [ ψ(x + ˆµ)γ µ U µ (x)ψ(x) ]), Wilsonin ratkaisu: kovariantin derivaatan diskretisointiin lisätermejä tuplatilojen massat saadaan kääntäen verrannollisiksi a :sta. Sq W = S q + 4 a µ r( (Dµ ψ(x)) γ 0)( D µ ψ(x) ), 2 x L µ=1 r 0 Wilsonin parametri usein r = 1 Wilsonin vaikutus dimesiottomien parametrien avulla: S W q = x L ( ψ(x) ( m + 4r ) ψ(x) 1 2 ±4 µ=±1 [ ψ(x + ˆµ)(γ µ + r)u µ (x)ψ(x) ])
8 Hila QCD:n statistiikkaa 7 Hila-QCD:n vaikutus Euklidisessa avaruudessa: S[ψ, ψ, U] = x L ψ(x) ( m + 4r ) ψ(x) g 2 4 µ<ν=1 ±4 µ=±1 Re tr { 1 P µν (x) } [ ψ(x + ˆµ)(γ µ + r)u µ (x)ψ(x) ] Mielivaltainen vakuumi-vakuumi odotusarvo polkuintegraalina: F [ ψ, ψ, U ] = 1 ( d Z ψ(x) 4 ) dψ(x) du µ (x) F [ ψ, ψ, U ] e S[ψ, ψ,u], xinl µ=1 missä normitustekijä Z = xinl d ψ(x) dψ(x) 4 µ=1 du S[ψ, ψ,u] µ(x) e Vaikutus S alhaalta rajoitettu ensemble-odotusarvo Boltzmannin painolla e S kyseessä kanoninen jakauma! Statistista fysiikkaa! d ψ(x) ja dψ(x) Grassmann-muuttujia du µ (x) :t ovat Haar-Hurewitzin, eli mitta-invariantteja, mittoja.
9 Monte Carlo simulaatio ja tärkeysotanta 8 Unohdetaan hetkeksi materiakentät Mittakentän integraalien suora laskeminen ei käytännössä onnistu Monte Carlo integroinnilla saataisiin ensemble tasaisesti jakautuneita kenttäkonfiguraatioita {U i }: F [ ψ, ψ, U ] i F [U i]e S[U i], i e S[U i] mutta suurimmalla osalla konfiguraatiosta paino e S 1. Jos olisi mahdollista laskea ensemble {U i }, joka toteuttaa Boltzmannin jakauman e S, niin integraalia voitaisiin approksimoida triviaalisti: F [ ψ, ψ, U ] 1 n F [U i ] n ja tämän lisäksi laskentateho saataisiin käytettyä järkevästi. i=1 Tälläinen otatanta tunnetaan nimellä tärkeysotanta
10 Metropolis-algoritmi 9 Tärkeysotanta käytännössä usein Markovin ketjulla: 1) Valitaan lähtökonfiguraatio U 0 satunnaisesti 2) Luodaan uusi konfiguraatio U i varioimalla satunnaisesti edellisestä konfiguraatiota U i 1 siten että U i = P U i 1 3) Toistetaan kohtaa 2), kunnes approksimaatio on tarpeeksi tarkka Transitiotodennäköisyyden P pitää toteuttaa vahva ergoidisuusehto: P (U U) > 0, U, U Ja tasapaino ensemblen W c = lim n P n W 0, W 0 = {U 0 } pitää toteuttaa tarkka tasapainoehto: P (U U)W c = P (U U )W c, U, U Metropolis algoritmi: W c [U] = e S[U] P (U U) = 1 { n min 1, W c[u ] } W c [U]
11 Lämpökylpy-algoritmi SU(3)-mittakenttäteorialle 10 1) Alusta N m satunnaista SU(3)-matriisia 2) Alusta hilan kaikki linkkivariaabelit U µ (x) satunnaisesti 3) Jokaiselle linkkivariaabelille U µ (x): Luo uusi linkkivariaabeli kertomalla vanhaa satunnaismatriisilla Laske Boltzmann-tekijän muutos e S, missä S = S[U ] S[U] Valitse satunnaismuuttuja x tasaisesta jakaumasta x U(0, 1) Tallenna uusi linkkimuuttuja hilaan, jos e S > x S[U] = β 4 Re tr { 1 P µν (x) } N c x L µ<ν=1 S[U µ(x)] = β 4 Re tr { 1 P µν (x) } N c ν ν=1 U µ (x)
12 Pseudofermionit 11 Fermioni-integraalit Grassmann-muuttujia Suora simulointi tietokoneella ei onnistu Fermionivaikutus voidaan kirjoittaa muodossa: S q = x,y L ψ(x)ax,y [U]ψ(y), F [ψ, ψ, U] = ψ(x 1 )... ψ(x n ) ψ(y 1 )... ψ(y n ) F U [U µ ] Grassmann-integraalit voi laskea analyyttisesti: ( d ψ(x) ) dψ(x) F [ ψ, ψ, U ] e S[ψ, ψ,u] = F U [U]e S Y M[U] xinl missä Saadaan G(A[U]) = ( 1) n(n 1) 2 F [ ψ, ψ, U ] = 1 Z P xinl µ=1 π(p )A 1 x 1 y p1 [U]... A 1 x n y p n [U] S eff [U] = S Y M [U] ln det A[U] = S Y M [U] tr ln A[U] det A[U] G(A[U]), 4 du µ (x) F U [U]e Seff[U] G(A[U]),
13 Pseudofermionit 2 12 Dirac matriisi A iso det A mahdoton laskea Lisäksi det A[U] on epälookaali lämpökylpyalgoritmi hidas! Jos kaksi degeneraattia fermionimakua A = QQ: { det(q Q) = N 1 dφ dφ exp x,y φ (x) [ Q Q ] } 1 xy φ(y), missä φ:t ovat skalaari-kenttiä! Determinantin lasku saadaan kääntämällä matriisi [ Q Q ] Ongelma palautuu (yllättäen) muotoon: Ax = b
14 Konjugaattigradientti-algoritmi 13 Jos Dirac matriisi A on positiivi-definiitti voidaan käyttää konjugaattigradientti-algoritmia 1. Alkuyrite x 0 (esimerkiksi x 0 = b) 2. r 0 = b Ax 0 mittaa yritteen virhettä 3. p 0 = r 0 askelsuunta 4. Iteroidaan missä x i+1 = x i + α i p i r i+1 = r i α i Ap i p i+1 = r i+1 + β i+1 p i, α i = r i r i p i Ap, β i = r i r i i r i 1 r i 1
15 Hybridi Monte Carlo metodi 14 Fermionimatriisin kääntö kallis Edullista päivittää koko hila per kääntö Periaatteessa mahdollista päivittää koko hila satunnaisesti ja sitten tehdä Metropolistesti, mutta Metropolistestin läpäisyn todennäköisyys olematon Molekylaaridynamiikka apuun: Ajatellaan indeksi τ, ensemblessä {U τ } aikaparametriksi Määritellään linkkivariaabeleille U µ (x) konjugaattimomentit: Sekä Hamiltonin funktio: H[P, π, U, φ] = 1 2 P µ (x) = x,µ,k N 2 1 k=1 P µ,k (x) t k P µ,k (x) π (x)π(x) + S[U, φ] x Dynamiikka Markovin ketjun indexi-parametrin τ suhteen Hamiltonin liikeyhtälöistä: dp i dτ = H dq i q i dτ = H, p i
16 π (x), π(x) ovat pseudofermionien φ (x), φ(x) momentit Wilsonin fermionimatriisi on muotoa Q x,y = δ xy κ ±4 µ=±1 Linkkivariaabelin U µ (x) aikaderivaatta : du µ (x) dτ = τ e iα k(τ)t k = k δ y+ˆµ,x (r + γ µ )U µ (x) it k ( dαk (τ) dτ ) U µ (x) 15 koska τ α k (τ) = H P µ,k (x) = P µ,k(x) saadaan du µ (x) dτ = i k t k P µ,k (x)u µ (x) = ip µ (x)u µ (x) Derivaatta linkkivariaabelin parametrin α k suhteen on F [U] F [eiαktk] F (x) = = it k U F [U ] α k α k x x=u α k linkkivariaabeleiden momenteille liikeyhtälöt: dp µ,k (x) dτ = it k U F (x) x = S YM[U] α µ (x) ([ Q Q ] 1 ) (Q Q) ([ φ Q Q ] 1 ) φ, α µ (x), x=u
17 Pseudofermionivariaabeleiden liikeyhtälöt: 16 dφ(x) dτ = π(x) dπ(x) dτ = y [ Q Q ] 1 x,y φ(y) Yksityiskohtainen tasapaino toteutuu leapfrog -integraatiolla: 1) Integroidaan P µ (x) ja π (x), π(x) puolikkaalla aika-askeleella τ 2 2) Integroidaan U µ (x) ja φ (x), φ(x) kokonaisella aika-askeleella τ 3) Integroidaan P µ (x) ja π (x), π(x) kokonaisella aika-askeleella τ 4) Toistetaan 2):a ja 3):a kunnes tuotettu tarpeeksi konfiguraatioita ja integroidaan vielä kerran U µ (x) ja φ (x), φ(x) puolikkaalla aika-askeleella τ 2 Klassinen integrointi antaa (lähes) deterministisen trajektorin faasiavaruudessa Kehno ergoidisuus Potentiaalin S[U, φ] minimi ei välttämättä löydy Tasapaino jakauma oletettavasti jotain muuta kuin Boltzmannin jakauma e S Ajoittainen Metropolis-testi korjaa jakauman Momenttivariaabeleiden päivitys lämpökylvystä (gaussinen jakauma) parantaa ergoidisuutta Näin saatua algoritmia kutsutaan Hybridi Monte Carlo-algoritmiksi
18 Tulosten tuottaminen 17
19 Staattinen kvarkkipotentiaali 18 Aiemmin opittu että staattinen kvarkkipotentiaali voidaan laskea Wilsonin loopista: tv (r) = ln tr W r t + C Missä Wilsonin looppi on: W r t = U 4 (x)u 4 (x 0 + ˆ4)... U 4 (x + (t 1)ˆ4) U µ(x + tˆ4)... U µ(x + tˆ4 + (r 1)ˆµ) U 4 (x + (t 1)ˆ4 + rˆµ)... U 4 (x + rˆµ) U µ (x + (r 1)ˆµ)... U µ (x) U µ (x + 3ê 4) U µ (x + 4ê µ + 3ê 4 ) U 4 (x + 2ê 4) U 4 (x + 5ê µ + 2ê 4 ) U 4 (x) ê 4 x U µ (x) U µ (x + 4ê µ ) U 4 (x + 5ê µ ) ê µ Teoria ennustaa V (r) = α r + C + σr,
20 Massalaskut 19 Hadronien massojen lasku tärkeä sovellus Onnistuu tutkimalla aikakorrelaatiofunkioita suurella aika-parametrin arvoilla: C(t) = Ω ˆT { O(t)O(0) } Ω, ˆT aikajärjestelyoperaattori ja O(t) = e Ht O(0)e Ht on operaattori, jolla on halutut kvanttinumerot esim. mesoneille sopii O(t) = x L Ψ(x, t)γ Ψ(x, t), missä Γ on jokin Dirac-matriiseista Korrelaattori C(t), t > 0 voidaan kirjoittaa energian ominaistilojen avulla: C(t) = Ω e Ht O(0)e Ht O(0) Ω = n Ω e Ht O(0)e Ht E n E n O(0) Ω = n e (E n E 0 )t E n O(0) Ω 2 = n e E nt a n, kun E 0 = 0 Toisaalta hilalla periodiset reunaehdot: C( t) = Ω O(0)O( t) Ω = a n e E nt,
21 joten 20 C(T t) = C( t) = a n e E nt C(t) = n a n e E n(t t) Yhdistämällä tulokset saadaan koko hilan yli pätevä tulos: C(t) = n a n ( e E n t + e E n(t t) ), 0 t T C(t) simulaatiosta sovittamalla yllä oleva kehitelmä voidaan ratkoa a n ja E n Helpoissa tapauksissa O(t) kytkeytyy vahvasti vakuumiin ja matalimman tason eksponentiaalinen muoto näkyy helposti suurella t:n arvoilla vieressä tulos Thomas DeGrandin paperista [1]
22 Rajankäynti jatkumoon, Skaalaus ja asymptoottinen skaalaus 21 Jatkumoraja saavutetaan kun a 0 ja V = a 4 N 4 Järkevä rajakäyttäytyminen: Fyysiset, mitattavat observaabelit vakioita lähestyttäessä rajaa Paljaat parametrit g, kvarkkien massat vaativat säätöä QCD:n kriittinen piste on g c = 0 joten pitää varmistaa että g 0 kun a 0 Simulaatio tuottaa dimensiottmia lukuja hila-vakio a tai skaala Λ L voidaan määrätä sovittamalla yksi kokeellinen tulos simulaation ennusteeseen Λ L Staattisen potentiaalin ratkaisusta [2]: Λ L = 1 a ( β0 g 2) β 1 2β 2 0 exp { 1 2β 0 g 2 } [1 + O(g 2 ) ] Tämän avulla mikä tahansa massa on m = c m Λ L { } Toisaalta renormalisaatioyhtälö a a β(g) g m(a, g) = O(a 2 m 2 ) antaa antaa massojen m 1, m 2 suhteelle m 1 = c [ ] O(a 2 m 2 ) m 2 c 2
23 Toteutus CUDA-arkkitehtuurilla 22
24 Mikä CUDA? 23 Tulee sanoista Compute Unified Device Architecture NVIDIA Inc:n kehittämä ohjelmisto- ja mikroprosessoriarkkitehtuuri rinnakkaislaskentaan grafiikkasuorittimilla Moderni Grafiikkasuoritin sisältää hyvin monia suhteellisen yksinkertaisia ytimiä Laskenta nk. SIMD -periaatteella ( Same Instruction Multiple Data ) Erikoistumisesta hyötyjä: Vähemmän välimuisteja Enemmän transistoreja laskentaan Käskykanta yksinkertaisempi Mahdollistaa suurien datamäärien käytön (nykyään jo yli 100 Gigatavua/s) Rinnakkaistuvissa ongelmissa nopeutus luokkaa 10x-500x Haittoja: Kaikki ongelmat eivät rinnakkaistu Datan siirto CPU:n ja GPU:n välillä verkkaista (PCI-Express x16 v2: 8Gb/s, v3: 16Gb/s) Joidenkin asioiden rinnakkaistaminen edelleen vaivalloista
25 CUDAn toiminta 24
26 TCLFirstSim Hila QCD simulaattorirunko 25
27 Tavoitteena helposti kehitettävä simulaattorirunko Toisaalta vaatimuksena tehokkuus Haasteita: Ohjelmointiympäristön kankeus abstraktioon Helppokäyttöisyys vs. tehokkuus Tällä hetkellä simulaattorirungon toimii korkealla tasolla seuraavasti: Käyttäjäkoodi käännetään rungon kanssa omaksi simulaattorikseen Rungon alustus: varaa muistista tilaa käyttäjän määrittelemille hila-kentille ja tuloksille jne. Hilan alustus Hilan päivitys ja ajoittainen välitulosten lasku: Jokaisen hilapisteen kaikki kentät päivitetään kerralla Käyttäjäkoodi voi lukea vierekkäisten hilapisteiden kenttiä ja tallentaa oman pisteensä kentän Tulosten laskenta vain joka n:n päivityksen välein, jolloin vältetään autokorrelaatio Lopputulokset kirjoitetaan levylle U µ (x) 26
28 Lopputuloksen hyviä ominaisuuksia: 27 Runko tukee hyvinkin erilaisia simulaatiovaatimuksia esim. hilan dimensio, kentät yms. vapaasti valittavissa Tarpeeksi helppokäyttöinen (kenttien luku ja kirjoittaminen yksinkertaista ja runko toteuttaa paljon apufunktioita) Käyttäjäkoodi CUDA-C:tä mahdollistaa mikro-optimointia Suorituskyky mukava: Suorituskyky omalla GPU:lla n. 34x verrattuna CPU:un hilalla päivitystä: n.5-6 min vs 3tuntia Tuloslaskujen kanssa n. 20min vs 11 tuntia Ja huonoja: Lisäominaisuuksien lisääminen itse runkoon vaivalloista C:n esiprosessori on kehno, mutta sitä tarvitaan paljon simulaattorin parametrisaatiossa Suorituskykyä jätetty pöydälle ainakin n. 20% helppokäyttöisyyden takia Tärkeitä ominaisuuksia tekemättä Muistiluku vanhemmilla arkkitehtuureilla hidastaa simulaattoria
29 Tuloksia ja pohdintaa 28 Rungon sovelluksena yksinkertainen lämpökylpy-simulaatio quenched -approksimaatiossa Testiajoja 16 4 kokoisella hilalla Mitattiin staattinen potentiaali ja sen avulla String tension eli säikeen jännitys betan arvolla β = 6.1 Saatu String tension : a 2 σ = Tunnetusta tuloksesta σ = 440MeV: Hilan koko oli n. (2.7fm) 4 a = m = fm.
30 Static Quark-Antiquark potential Quenched Approximation - no Tadpole Improvement a * V(r / a) Beta = 6.1 Fit, sigma = r / a
31 Yhteenveto 30 Hila-QCD:n linkkivariaabeli Gluonivaikutukset suljettuina ketjuina Massakentät avoimina Hila QCD statistisena systeeminä Lämpökylpy-algoritmi kätevä pelkälle SU(N) mittakenttäteorialle Fermionit Grassmann-muuttujia Pseudofermionimenetelmä Hybridi Monte Carlo metodi Yhteys jatkumofysiikkaan Skaalaus ennen asymptoottista skaalausta Fyysiset variaabelit vakioita, paljaat muuttuvia Soveltuvuus rinnakkaislaskentaan CUDA toteutus
32 Kysymyksiä? 31 Figure 1: Bissey et. al gluonikenttäjakauma baryonissa [3]
33 References 32 [1] Thomas DeGrand Lattice QCD and the CKM matrix, [ [2] Jan Smit Introduction to Quantum Fields on a Lattice:a robust mate, Cambridge University Press 2002, The Edinburgh Building, Cambridge CB2 2RU, United Kingdom, Cambridge Lecture Notes in Physics [3] F. Bissey and F-G. Cao and A. Kitson and B. G. Lasscock and D. B. Leinweber and A. I. Signal and A. G. Williams and J. M. Zanotti Gluon field distribution in baryons, 2005 [ [4] Heinz J. Rothe Lattice Gauge Theories: An Introduction, World Scientific Publishing Company 2005, Hackendsack, N.J. [5] István Montvay and Gernot Münster Quantum Fields on a Lattice, Cambridge University Press 1994, The Edinburgh Building, Cambridge CB2 2RU, United Kingdom, Cambridge Monographs on Mathematical Physics
LASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä
LASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä. Diffuusio yksiulotteisessa epäjärjestäytyneessä hilassa E J ii, J ii, + 0 E b, i E i i i i+ x Kuva.:
LisätiedotSyventävien opintojen seminaari
Syventävien opintojen seminaari Sisällys 1 2 3 4 Johdanto Kvanttikenttäteorioiden statistinen fysiikka on relevanttia monella fysiikan alalla Kiinteän olomuodon fysiikka (elektronisysteemit) Kosmologia
LisätiedotQCD vahvojen vuorovaikutusten monimutkainen teoria
QCD vahvojen vuorovaikutusten monimutkainen teoria Aleksi Vuorinen Helsingin yliopisto Hiukkasfysiikan kesäkoulu Helsingin yliopisto, 18.5.2017 Päälähde: P. Hoyer, Introduction to QCD, http://www.helsinki.fi/~hoyer/talks/mugla_hoyer.pdf
LisätiedotFYSA2031 Potentiaalikuoppa
FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali
LisätiedotIntegrointialgoritmit molekyylidynamiikassa
Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Markus Ovaska 28.11.2008 Esitelmän kulku MD-simulaatiot yleisesti Integrointialgoritmit: mitä integroidaan ja miten? Esimerkkejä eri algoritmeista Hyvän algoritmin
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 16. lokakuuta 2013 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 13. lokakuuta 2014 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
Lisätiedot3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics
3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics Course MAT-66000: Quantum mechanics and the particles of nature Ilkka Kylänpää Tampere University of Technology 14.10.2010 Sisältö Johdattelua Klassinen action
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotTutkimustiedonhallinnan peruskurssi
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,
LisätiedotTILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)
TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on
LisätiedotP (A)P (B A). P (B) P (A B) = P (A = 0)P (B = 1 A = 0) P (B = 1) P (A = 1)P (B = 1 A = 1) P (B = 1)
Harjoitustehtäviä (erä 1) 1 1. Käytetään yksinkertaisesti Bayesin kaavaa: P (A B) = P (A)P (B A). P (B) Tapauksessa B = 1 saadaan P (A = 0 B = 1) = P (A = 1 B = 1) = P (A = 0)P (B = 1 A = 0) P (A = 1)P
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotTASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.
TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
Lisätiedotf (28) L(28) = f (27) + f (27)(28 27) = = (28 27) 2 = 1 2 f (x) = x 2
BMA581 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 4, Syksy 15 1. (a) Olisiko virhe likimain.5, ja arvio antaa siis liian suuren arvon. (b) Esim (1,1.5) tai (,.5). Funktion toinen derivaatta saa
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
. Lasketaan valmiiksi derivaattoja ja niiden arvoja pisteessä x = 2: f(x) = x + 3x 3 + x 2 + 2x + 8, f(2) = 56, f (x) = x 3 + 9x 2 + 2x + 2, f (2) = 7, f (x) = 2x 2 + 8x + 2, f (2) = 86, f (3) (x) = 2x
LisätiedotLuento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
Lisätiedot3. Simulaatioiden statistiikka ja data-analyysi
[5B] TIETOKONESIMULAATIOISTA Luennolla esiteltiin fysiikan alan tietokonesimulaatiomenetelmiä. Esimerkkien puitteissa koodejakin katsellen tarkastelimme samalla joitakin vähemmälle huomiolle jääneitä aiheita
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 2 To 8.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 2 To 8.9.2011 p. 1/33 p. 1/33 Lukujen tallennus Kiintoluvut (integer) tarkka esitys aritmeettiset operaatiot
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotTilastotieteen aihehakemisto
Tilastotieteen aihehakemisto hakusana ARIMA ARMA autokorrelaatio autokovarianssi autoregressiivinen malli Bayes-verkot, alkeet TILS350 Bayes-tilastotiede 2 Bayes-verkot, kausaalitulkinta bootstrap, alkeet
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 11 Ti 11.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 11 Ti 11.10.2011 p. 1/34 p. 1/34 Automaattiset integrointialgoritmit Numeerisen integroinnin tarkkuuteen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedotẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),
Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso
LisätiedotThe Metropolis-Hastings Algorithm
The Metropolis-Hastings Algorithm Chapters 6.1 6.3 from Monte Carlo Statistical Methods by Christian P. Robert and George Casella 08.03.2004 Harri Lähdesmäki The Metropolis-Hastings Algorithm p. 1/21 Taustaa
LisätiedotTampere University of Technology
Tampere University of Technology EDE- Introduction to Finite Element Method. Exercise 3 Autumn 3.. Solve the deflection curve v(x) exactly for the beam shown y,v q v = q z, xxxx x E I z Integroidaan yhtälö
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 6, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 6, Kevät 2018 Päivityksiä: Ratkaisuja päivitetty paljon. 1. Fiktiivisellä saarella asuu pieniä otuksia, joiden elinkaari on seuraavanlainen: jokainen
LisätiedotCUDA. Moniydinohjelmointi 17.4.2012 Mikko Honkonen
CUDA Moniydinohjelmointi 17.4.2012 Mikko Honkonen Yleisesti Compute Unified Device Architecture Ideana GPGPU eli grafiikkaprosessorin käyttö yleiseen laskentaan. Nvidian täysin suljetusti kehittämä. Vuoden
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotOsakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 11. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 11 () Numeeriset menetelmät / 37
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 11 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 11 () Numeeriset menetelmät 24.4.2013 1 / 37 Luennon 11 sisältö Numeerisesta integroinnista ja derivoinnista Adaptiiviset
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotParametrin estimointi ja bootstrap-otanta
Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista
Lisätiedotinfoa tavoitteet E = p2 2m kr2 Klassisesti värähtelyn amplitudi määrää kokonaisenergian Klassisesti E = 1 2 mω2 A 2 E = 1 2 ka2 = 1 2 mω2 A 2
infoa tavoitteet Huomenna keskiviikkona 29.11. ei ole luentoa. Oppikirjan lukujen 12-13.3. lisäksi kotisivulla laajennettu luentomateriaali itse opiskeltavaksi Laskarit pidetään normaalisti. Ymmärrät mitä
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
LisätiedotEste- ja sakkofunktiomenetelmät
Este- ja sakkofunktiomenetelmät Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Luennon kulku Este- ja sisäpistemenetelmät LP-ongelmat ja logaritminen estefunktio Polun seuranta Newtonin menetelmällä Sakkofunktiomenetelmistä
LisätiedotSatunnaislukujen generointi
Satunnaislukujen generointi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Satunnaislukujen generointi 1/27 Kevät 2003 Lähteet Knuth, D., The Art of Computer Programming,
LisätiedotLuento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
LisätiedotPotentiaali ja potentiaalienergia
Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti,
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotOsakesalkun optimointi
Osakesalkun optimointi Anni Halkola Epäsileä optimointi Turun yliopisto Huhtikuu 2016 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Taustatietoja 2 3 Laskumetodit 3 3.1 Optimointiongelmat........................ 4 4 Epäsileän
LisätiedotJohdatusta moniskaalamallinnukseen. malleissa on usein pieniä/suuria parametreja. rajaprosessi voi johtaa laadullisesti erilaiseen rajayhtälöön
Johdatusta moniskaalamallinnukseen malleissa on usein pieniä/suuria parametreja rajaprosessi voi johtaa laadullisesti erilaiseen rajayhtälöön ratkaisussa useampi pituusskaala epäsäännölliset häiriöt monen
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotMarkov-ketjut pitkällä aikavälillä
2A Markov-ketjut pitkällä aikavälillä Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia lukemaan siirtymämatriisista tai siirtymäkaaviosta, milloin Markov-ketju on yhtenäinen ja jaksoton; oppia tunnistamaan, milloin
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
Lisätiedot3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4
Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
Lisätiedot= ( F dx F dy F dz).
17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta
Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona
LisätiedotPoisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotFr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:
15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa II
MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotReaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
LisätiedotDifferentiaalilaskennan tehtäviä
Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
LisätiedotTIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Evoluutiopohjainen monitavoiteoptimointi MCDM ja EMO Monitavoiteoptimointi kuuluu
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotJATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos)
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Jatkuvat jakaumat 1 JATKUVAT JAKAUMAT Laplace-muunnos (Laplace-Stieltjes-muunnos) Määritelmä Ei-negatiivisen satunnaismuuttujan X 0, jonka tiheysfunktio on f(x), Laplace-muunnos
LisätiedotVektorilaskenta, tentti
Vektorilaskenta, tentti 27102017 Tentin kesto n 3 tuntia Vastaa NELJÄÄN tehtävään Jos vastaat kaikkiin, niin neljä PARASTA otetaan huomioon Kuvat vievät tilaa, joten muista kurkistaa paperin toiselle puolelle
LisätiedotMCMC-menetelmien ongelmakohtia ja ratkaisuja
MCMC-menetelmien ongelmakohtia ja ratkaisuja Aleksi Saari 72 Lähteet: Mackay: Introduction to Monte Carlo Methods Neal: Suppressing Random Walks in Markov Chain Monte Carlo Using Ordered Overrelaxation
LisätiedotUseita oskillaattoreita yleinen tarkastelu
Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää
LisätiedotBM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 2016
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 2016 1. (a) Anna likiarvo lineaarisen approksimaation avulla sille mitä on T (100.5), kun T (100) = 45 ja T (100) = 10. (b) Käyttäen lineaarista
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot