Simo Ali-Löytty Kalmanin suodatin ja sen laajennukset paikannuksessa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Simo Ali-Löytty Kalmanin suodatin ja sen laajennukset paikannuksessa"

Transkriptio

1 TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tenis-luonnontieteellinen osasto Simo Ali-Löytty Kalmanin suodatin ja sen laajennuset paiannusessa Diplomityö Aihe hyväsytty osastoneuvostossa Tarastaja: professori Robert Piché (TTY)

2 Esipuhe Aloitin työsentelyn Matematiian laitosen henilöohtaisen paiannusen algoritmien tutimusryhmässä eväällä Työsentelin alusi Personal Positioning Algorithms -projetissa osa-aiaisesti, viime tououusta lähtien olen työsennellyt projetin parissa täysipäiväisesti. Tänä aiana on syntynyt myös diplomityön irjallinen osuus. Kalmanin suodatin ja sen laajennuset paiannusessa on ollut erittäin mieleniintoinen ja muaansa tempaava aihe. Työni ohjaajana ja tarastajana on toiminut Robert Piché. Häntä haluan lämpimästi iittää projetiin muaan ysymisestä ja luuisista opetusista, joita olen saanut henilöohtaisen palautteen lisäsi myös useista hänen pitämistään ursseista. Suuri iitos uuluu myös työn rahoittajalle Noian tenologiaysiölle. Rahoitusen lisäsi haluan iittää myös asiantuntijalausunnosta, mittauslaitteiston lainaamisesta ja luuisista hyödyllisistä näöulmista, joita projetin palavereissa on noussut esille. Monet iitoset uuluvat myös työaverille Niilo Sirolalle useista orjausehdotusista, ideoista, pähäilyistä ja avusta tietooneen anssa ommunioinnissa. Kiitoset myös Kari Heineelle monista antoisista esusteluista suodatusongelman ympärillä. Haluan iittää aiia ihmisiä, jota ovat tavalla tai toisella olleet annustamassa opintojen aiana. Erityinen iitos raaalle vaimolleni Anna-Marianalle ieliasua osevista neuvoista, rohaisemisesta opinnoissa ja olemassaolosta. Suurimman iitoseni haluan antaa taivaalliselle Isälle. Tampere, 16. marrasuuta 2004 Simo Ali-Löytty Insinöörinatu 59 B Tampere Puh

3 Sisältö Tiivistelmä 4 Abstract 5 Lyhenteet 6 Merinnät 8 1 Johdanto 12 2 Suodatus Yleinen ongelman asettelu Kalmanin suodatin Kalmanin suodattimen ongelman asettelu Kalmanin suodattimen algoritmi Tilan paras estimaattori Estimaattori yleisemmille ongelmille Stoastinen differentiaaliyhtälö Epävarmuus ja heryys mallinnusvirheille Kalmanin suodattimen soveltaminen epälineaariseen systeemiin Kalmanin suodattimen erilaisia laajennusia Toisen asteen laajennettu Kalmanin suodatin GPS- ja tuiasemapaiannus GPS GPS-mittausyhtälöt GPS-mittausien virhearviot Tuiasemapaiannus Hybridipaiannus Suodatus paiannusessa Käyttäjän tilamalli Laajennettu Kalmanin suodatin Pseudoetäisyysmittauset Pseudoetäisyysien derivaattamittauset Tuiasemien etäisyysmittauset

4 Mittausmalli Toisen asteen laajennettu Kalmanin suodatin Epälineaarisuus satelliittimittausissa Epälineaarisuus tuiasemamittausissa Vertailu EKF2 vs. EKF Paiarataisun Kalmanin suodatin Epävarmuus PKF:ssa Simulaatiot ja testaus Suodattimien vertailu Tasan- ja ylimäärätty systeemi Alimäärätty systeemi PKF:n epävarmuus EKF:n ja EKF2:n hairahtuminen Tasanmäärätty systeemi Alimäärätty systeemi Suodattimien toiminta oiealla reitillä Yhteenveto ja jatotutimus 74 Lähdeluettelo 76 A Kalmanin suodattimen johto 81 B Algoritmeja 88

5 Tiivistelmä TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tenis-luonnontieteellinen osasto Matematiian laitos Ali-Löytty, Simo: Kalmanin suodatin ja sen laajennuset paiannusessa Diplomityö, 80 sivua ja 9 liitesivua Tarastaja: professori Robert Piché Käsitellään osastoneuvostossa jouluuussa 2004 Tämä diplomityö on tehty Matematiian laitosen henilöohtaisen paiannusen algoritmien tutimusryhmässä. Diplomityössä on alusi selvitetty irjallisuustutimusen avulla matemaattisia perusteita Kalmanin suodattimen ja sen laajennusien soveltuvuudesta paiannuseen. Tässä työssä paiannus perustuu seä satelliiteista että matapuhelimien tuiasemista tuleviin mittausiin. Diplomityössä on esitytty laajennettuun Kalmanin suodattimeen (EKF, Extended Kalman Filter), toisen asteen laajennettuun Kalmanin suodattimeen (EKF2, Second Order Extended Kalman Filter) ja paiarataisun Kalmanin suodattimeen (PKF, Position Kalman Filter). Nämä edustavat laajasti paiannussovelluseen sopivia Kalmanin suodattimen laajennusia. Suodattimien ysityisohtaiset algoritmit paiannussovellusessa on esitetty tässä työssä. Nämä suodattimet on myös toteutettu Matlab-ohjelmalla, jolla on tehty erilaisia simulaatiota ja vertailuja. Simulaatioiden ja teorian perusteella voidaan todeta, että yseiset suodattimet toimivat hyvin ylimäärätyissä systeemeissä, eli systeemeissä joissa mittausia on joaisena ajanhetenä enemmän uin mitä ysiäsitteiseen paiarataisuun tarvitaan. Alimäärätyissä systeemeissä PKF ei toimi optimaalisesti, osa se hylää mittausia. Toisaalta EKF ei alimäärätyissä tapausissa toimi useinaan onsistentisti, eli EKF:n ennustama virhe on paljon pienempi, uin mitä virhe on todellisuudessa. Simulaatioiden muaan EKF2 toimi luotettavammin uin EKF, osa EKF2 ottaa huomioon mittausmallissa olevaa epälineaarisuutta. Kuitenin myös EKF2:ssa oli samoja ongelmia uin EKF:ssa. EKF:ssa ja EKF2:ssa ongelmia esiintyy lähinnä silloin un tiheysfuntiot eivät muistuta normaalijaauman tiheysfuntioita. PKF:lla ei ole vastaavanlaisia ongelmia onsistenttiuden anssa. 4

6 Abstract TAMPERE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Department of Science and Engineering Institute of Mathematics Ali-Löytty, Simo: Kalman Filter and Its Extensions in Navigation Master of Science Thesis, 80 pages and 9 pages appendices Examiner: professor Robert Piché Evaluated by department council in December 2004 This thesis was done in the Personal Positioning Algorithms Research Group of the Institute of Mathematics. In this thesis, the mathematical foundations of the Kalman filter and its extensions were studied by literature survey, concentrating on navigation applications based on signals from satellites and from mobile phone networ base stations. In this thesis, we concentrate on Extended Kalman Filter (EKF), Second Order Extended Kalman Filter (EKF2) and Position Kalman Filter (PKF). These extensions widely represent extensions of Kalman filter in navigation. Algorithms of these filters are presented in this thesis. These filters were also programmed in Matlab. The following results are based on simulations and theory. All studied filters wor well on overdetermined systems that contain at every time instant more measurements than what we need for an unambiguous position solution. For underdetermined systems, PKF does not wor optimally because it ignores some measurements. On the other hand, EKF does not usually wor consistently and actual errors are much larger than EKF predicts. EKF2 wors better than EKF, because EKF2 taes into consideration the nonlinearity of the measurement models. Nevertheless, EKF2 has also similar problems as EKF, especially when the probability density function does not resemble the normal probability density function. PKF does not have this ind of consistency problems. 5

7 Lyhenteet 3G AOA BLUE BS CDF CDMA Cell-ID DD1 DoD EKF EKF2 ENU GPS GSM IEKF KF LKF LRKF MAP NLOS PF olmas suupolvi (Third Generation) saapumisulmamittaus (Angle of Arrival) paras lineaarinen harhaton estimaattori (Best Linear Unbiased Estimator) tuiasema (Base Station) esierotussuodatin (Central Difference Filter) siirtoteniiamenetelmä (Code Division Multiple Access) solutunniste (Cell Identity) ensimmäisen asteen jaettu erotussuodatin (First Order Divided Difference Filter) Yhdysvaltain puolustusministeriö (Department of Defence) laajennettu Kalmanin suodatin (Extended Kalman Filter) toisen asteen laajennettu Kalmanin suodatin (Second Order Extended Kalman Filter) loaalinen itä-pohjois-oreus-oordinaatisto (East-North-Up) maailmanlaajuinen paiannusjärjestelmä (Global Positioning System) toisen suupolven mataviestinjärjestelmä (Global System for Mobile Communications) iteroitu laajennettu Kalmanin suodatin (Iterated Extended Kalman Filter) Kalmanin suodatin (Kalman Filter) linearisoitu Kalmanin suodatin (Linearized Kalman Filter) lineaarisen regression Kalmanin suodatin (Linear Regression Kalman Filter) masimi-a-posteriori (Maximum a Posteriori) epäsuora eteneminen (Non-Line of Sight) partielisuodatin (Particle Filter) 6

8 LYHENTEET 7 PKF RSS RTD RTT SA SI SV TA TDOA TOA UERE UKF US CDMA WLS paiarataisun Kalmanin suodatin (Position Kalman Filter) vastaanotetun signaalin voimauusmittaus (Received Signal Strength) uluaiamittaus (Round Trip Delay) RTD-mittaus 3G verossa (Round Trip Time) rajoitettu saatavuus (Selective Availability) ansainvälisen mittaysiöjärjestelmä (Système International d Unités) satelliitti (Space Vehicle) RTD-mittaus GSM verossa (Timing Advance) saapumisaiaerotusmittaus (Time Difference of Arrival) saapumisaiamittaus (Time of Arrival) vastaanottimen oonaisetäisyysvirheen sigma (User Equivalent Range Error) hajuton Kalmanin suodatin (Unscented Kalman Filter) Yhdysvaltojen CDMA-järjestelmä (IS-801) (United States Code Division Multiple Access) painotettu pienin neliösumma (Weighted Least Squares)

9 Merinnät integraali yseessä olevan avaruuden yli (s. 15) ääretön (s. 24) integraali alueen A yli (s. 27) A 1 vetori, jona aii aliot ovat yösiä (s. 45) ei oreusmittausta äytössä (s. 63) ei ysiäsitteistä paiarataisua (s. 64) α min(α o, α t ) (s. 24) α o ohjattavuusmatriisin alaraja (s. 23) α t tarailtavuusmatriisin alaraja (s. 23) β Brownin liie (s. 21) β max(β o, β t ) (s. 24) β o ohjattavuusmatriisin yläraja (s. 23) β t tarailtavuusmatriisin yläraja (s. 23) b vastaanottimen ellopoieama (s. 36) ḃ vastaanottimen ellopoieaman aiaderivaatta (s. 37) C ohjattavuusmatriisi (s. 23) det matriisin determinantti (s. 17) D yleinen differenssiuvausmatriisi (s. 46) D 1 [I 1] työssä äytetty differenssiuvausmatriisi (s. 52) Diag operaattori, joa teee vetorista diagonaalimatriisin (s. 62) diag diagonaalioperaattori, poimii matriisin diagonaalin vetorisi (s. 46) t t +1 t aia-aseleen pituus (s. 44) E odotusarvo-operaattori (s. 17) E(x y) ehdollinen odotusarvo (satunnaismuuttuja) (s. 18) E(x y = y) ehdollinen odotusarvo ehdolla y = y (realisaatio) (s. 17) e i arteesisen oordinaatiston i. antavetori (s. 33) e 0 aluehdon odotusarvon itä-omponentti (s. 71) exp esponenttifuntio (s. 17) ɛ satunnaismuuttuja, joa sisältää mittausienvirhetermit (s. 40) ɛ ρ s i i. satelliitin pseudoetäisyysmittausen virhetermi (s. 36) ɛ ρ s i i. satelliitin pseudoetäisyysderivaattamittausen virhetermi (s. 37) ɛ ρ t i i. tuiaseman etäisyysmittausen virhetermi (s. 38) Φ tilansiirtomatriisi (s. 17) Φ e i tilansiirtofuntion i. omponentin Hessen matriisi (s. 33) 8

10 MERKINNÄT 9 F erroinmatriisi stoastisessa differentiaaliyhtälössä (s. 21) f tilansiirtofuntio (s. 16) F jouon Ω σ-algebra (s. 15) f(x), f x (x) satunnaismuuttujan x tiheysfuntio (s. 15), jälimmäistä merintää äytetään joissain tapausissa seleyden vuosi (s. 27). f(x, y) satunnaismuuttujien x ja y yhdistetty tiheysfuntio (s. 15) f(x y) satunnaismuuttujan x ehdollinen tiheysfuntio ehdolla y = y (s. 15) G liitosmatriisi ohinan ja tilan välillä (s. 21) H mittausmatriisi (s. 17) H e i mittausfuntion i. omponentin Hessen matriisi (s. 33) H e a x funtion h(x) = a x Hessen matriisi (s. 48) h mittausfuntio (s. 16) ȟ(x) apumerintä EKF:n mittausmallin raentamisessa (s. 47) I ysiömatriisi (s. 18) I tarailtavuusmatriisi (s. 23) K Kalmanin vahvistus (Kalman gain) (s. 18) L ustannusfuntio (s. 19) λ matriisin ominaisarvo (s. 53) λˆp max ovarianssimatriisin ˆP suurin ominaisarvo (s. 52) µ odotusarvo (s. 17) N luonnollisten luujen jouo (s. 15) n β Brownin liieen dimensio (s. 21) n o ohjattavuusmatriisin aia-aselien luumäärä (s. 23) n s satelliittien luumäärä (s. 40) n t asiayhteydestä riippuen joo tarailtavuusmatriisin aia-aselien luumäärä (s. 23) tai tuiasemien luumäärä (s. 40) n x tilan dimensio (s. 17) n y mittausien dimensio (s. 17) Ω otosavaruus (s. 15) (Ω, F, P ) todennäöisyysavaruus (s. 15) P todennäöisyysmitta (s. 15) P tilan x ovarianssimatriisi (s. 17) P satunnaismuuttuja V(x ˆx), missä ˆx on virheellisen mallin antama estimaattori tilalle x (s. 25) Q dynamiian ohinan w ovarianssimatriisi (s. 17) Q c diffuusiomatriisi (s. 21) R mittausohinan v ovarianssimatriisi (s. 17) R reaaliluujen jouo (s. 15) r s i i. satelliitin paiavetori (s. 36) r t i i. tuiaseman paiavetori (s. 38) r u vastaanottimen (äyttäjän) paiavetori (s. 36) ρ s i pseudoetäisyysmittaus i. satelliittiin (s. 36) ρ s i pseudoetäisyyden derivaattamittaus i. satelliittiin (s. 37) ρ t i etäisyysmittaus i. tuiasemaan (s. 38)

11 MERKINNÄT 10 Σ ovarianssimatriisi (s. 17) σ ρ s satelliitin pseudoetäisyysmittausen virheen sigma (s. 62) σ ρ s satelliitin pseudoetäisyyden derivaattamittausen virheen sigma (s. 62) σ ρ t tuiaseman etäisyysmittausen virheen sigma (s. 62) σ max ovarianssimatriisin suurimman ominaisarvon neliöjuuri (s. 27) σρ 2 i. satelliitin pseudoetäisyysmittausen virheen varianssi (s. 37) s i σor 2 diffuusiomatriisin alio, uvaa tilamallin virhettä oreussuunnassa (s. 44) σ rat yläraja ysittäisen rataisun virheen sigmalle (s. 58) σ R mittausvirheen sigma (s. 58) σ suod yläraja suodatetun rataisun virheen sigmalle (s. 58) σtaso 2 diffuusiomatriisin alio, uvaa tilamallin virhettä tasossa (s. 44) T parametrijouo (s. 15) t suod lauseen 2.15 aia-aselien luumäärää (n o = n t ) vastaava aia (s. 58) tr matriisin jäli-operaattori (s. 26) U s matriisi johon on oottu ysiövetorit äyttäjästä satelliitteihin (s. 46) U s v u vetorin U s v u paiaderivaatta prioripaian odotusarvossa (s. 49) U s V s vetorin diag(us (V) T ) paiaderivaatta U t prioripaian odotusarvossa (s. 49) matriisi johon on oottu ysiövetorit äyttäjästä tuiasemiin (s. 49) u s i ysiövetoi äyttäjästä i. satellittiin (s. 46) V ovarianssimatriisioperaattori (s. 17) V s matriisi johon on oottu satelliittien nopeudet (s. 46) v mittausohinan stoastinen prosessi (s. 16) v s i i. satelliitin nopeus (s. 37) v s max satelliittien masiminopeus (s. 54) v u äyttäjän nopeus (s. 37) v u i s v u v s i apumerintä Hessen matriisin lasemisessa (s. 51) w dynamiian ohinan stoastinen prosessi (s. 16) w 12 tilansiirtomatriisi Φ(t +2, t ) vastaava ohina (s. 22) x asiayhteydestä riippuen joo (tilan) stoastinen prosessi (s. 15), satunnaismuuttuja (s. 15) tai vetori (s. 19) x y satunnaismuuttuja, jona tiheysfuntio on f(x y) (s. 15) x N p (µ, Σ) x noudattaa p-ulotteista normaalijaaumaa parametrein µ ja Σ (s. 17) y asiayhteydestä riippuen joo satunnaismuuttuja (s. 15), (mittausien) stoastinen prosessi (s. 15) tai vetori (s. 19)

12 MERKINNÄT 11 Lihavoitu symboli (x, P, s,...) viittaa asiayhteydestä riippuen stoastiseen prosessiin, satunnaismuuttujaan tai vetoriin. Lihavoimaton symboli (P, t, x,...) viittaa asiayhteyden muaan satunnaismuuttujan realisaatioon, salaariin tai muodolliseen muuttujaan. Muodollisia muuttujia (dummy variables) ovat esimerisi tiheysfuntion argumentit ja integrointimuuttujat. Isot irjaisimet (P, H, K,...) taroittavat matriisiarvoisia stoastisia prosesseja, matriisiarvoisia satunnaismuuttujia tai matriiseja. Hattumerintä (ˆx, ˆx,...) viittaa lihavoidun symbolin päällä estimaattoriin ja lihavoimattoman symbolin päällä estimaattiin. Yläviiva x viittaa dynaamiseen systeemiin, jossa on mallinnusvirhettä (ts. sivu 24). alaindesit : ajanhetellä t 0: aluehto/-tila c: jatuvan prosessin parametri n m: matriisin tyyppi on R n m 1:: y 1: = {y i, i = 1,..., } yläindesit 1 : matriisin inverssi T : transpoosi : priori-tila s : satelliitti t : tuiasema

13 Luu 1 Johdanto Paiannusessa on taroitus saada mahdollisimman tarasti selville paiannettavan (äyttäjän) paia. Paian lisäsi on usein taroitus selvittää myös aia ja äyttäjän nopeus. Nyyisin suotuisissa olosuhteissa erittäin tara paiannus on mahdollista satelliittipaiannusen avulla (esimerisi GPS, Global Positioning System). GPSvastaanottimien halventuessa paiannusta on entistä enemmän alettu äyttämään ammattilaisten lisäsi myös ysityisten ihmisten esuudessa. Paiannusen ympärille on ehitetty ja ehitetään monenlaisia sovellusia. Esimerejä ysityisten tarvitsemista palveluista ovat autonavigointilaitteisto, joa opastaa autoilijan perille ja hätäpuhelun paiantaminen, jona avulla apu osattaisiin lähettää perille vaia hädässäolija ei osaisi ertoa sijaintiaan. Nyyään useisiin matapuhelimiin saa paiannusominaisuuden, joten paiannusen äyttäminen ei välttämättä enää tarvitse edes omaa erillistä laitetta. On arvioitu, että paiannus tulee entisestään asvattamaan suosiotaan myös tulevaisuudessa. Satelliittipaiannusen lisäsi paiantaa voidaan esimerisi matapuhelimien tuiasemista saamien signaalien avulla. Tuiasemapaiannus on huomattavasti epätarempaa uin satelliittipaiannus. Satelliittipaiannus uitenin vaatii toimiaseen lähes avonaisen näymän taivaalle. Paioissa, joissa tämä ei ole mahdollista (sisällä, aupunialueella tai tiheässä metsässä) satelliittipaiannus ei välttämättä toimi. Tämän vuosi on ehitelty hybridipaiannusmenetelmiä, jota äyttävät seä satelliiteista että tuiasemista tulevia mittausia ja näin pystyvät toimimaan entistä laajemmalla alueella. Tämän työn luvussa 3 on errottu taremmin GPS-paiannusesta, 12

14 LUKU 1. JOHDANTO 13 tuiasemapaiannusesta ja hybridipaiannusesta. Tässä työssä pelästä paiannusesta puhuttaessa taroitetaan hybridipaiannusta. Eräs tapa paiantaa on rataista paiaestimaatti äyttäen vain nyyisiä mittausia. Suodatusen ideana on äyttää paiaestimaatin rataisemisessa hyväsi aiia siihen mennessä saatuja mittausia, myös aiaisemmin tulleita. Näin suodatusella saadaan aiaisesi tarempi estimaatti paialle, varsinin silloin un nyyisiä mittausia ei ole tarpeesi ysiäsitteisen paiarataisun saamisesi. Suodatusen yleistä ongelmanasettelua on äsitelty appaleessa 2.1. Tämän työn varsinaisena aiheena on Kalmanin suodatin ja sen laajennuset paiannusessa. Kalmanin suodatin (appale 2.2) on analyyttinen rataisu lineaariseen ja Gaussiseen suodatusongelmaan. Kalmanin suodattimen erilaisia laajennusia yleiseen suodatusongelmaan äsitellään appalessa 2.3. Laajennusissa rajoitutaan vain sellaisiin suodattimiin, jota pitävät irjaa tiheysfuntioiden odotusarvoista ja ovarianssimatriiseista. Tässä työssä esitettyjä Kalmanin suodattimien laajennusia on jo sovellettu hybridipaiannuseen [Heinrichs et al. 2004], [Ilmavirta 2002] ja [Ma 2003]. Kyseisissä julaisuissa ei ole ovinaan teoreettisesti paneuduttu perustavaa laatua olevaan ysymyseen siitä, pitäisiö suodattimien toimia oiein yseisissä tilanteissa. Tässä työssä pyritään selvittämään erityisesti tätä ysymystä. Työssä pyritään luomaan atsaus äsiteltävien suodattimien matemaattisiin perusteisiin. Esimerisi Kalmanin suodattimen ysityisohtainen johto on esitetty liitteessä A. Sovellusosassa esitytään laajennetun Kalmanin suodattimen (EKF, Extended Kalman Filter), toisen asteen laajennetun Kalmanin suodattimen (EKF2, Second Order Extended Kalman Filter) ja paiarataisun Kalmanin suodattimen (PKF, Position Kalman Filter) soveltamiseen paiannusessa (luu 4). Luvussa tutitaan teorian avulla muun muassa minälaisissa tilanteissa EKF ja EKF2 poieavat huomattavasti toisistaan (appale 4.3.3). PKF:n yhteydessä tutitaan, uina taroihin estimaatteihin suodattimella teoreettisesti voidaan ainain päästä (appale 4.4.1). Suodattimien algoritmit on esitetty tiiviissä muodossa liitteessä B. Työhön uuluu myös yseisten suodattimien toteutus Matlab-funtioisi. PKF:n tarvitsemana paiarataisijana äytetään Niilo Sirolan toteuttamaa algoritmia [Sirola et al. 2003]. Matlabfuntioiden avulla tehtyjä erilaisia simulaatioita ja vertailuja on esitetty luvussa 5. Simulaatiot on pyritty teemään mahdollisimman todenmuaisisi äyttämällä muun muassa teijän mittaamaa oieata navigointiviestiä satelliittien simuloinnissa. Lopusi työssä sovelletaan äsiteltyjä suodattimia myös teijän mittaamaan todelliseen reittiin. Kyseiset tuloset on esitetty appaleessa 5.4. Tämän taroitusena on antaa äsitys siitä, minälainen hyöty suodatusesta on äytännön tilanteessa.

15 Luu 2 Suodatus Tämä luu aloitetaan atsausella yleiseen suodatusongelmaan, jona erioistapausen rataisuna tunnettua Kalmanin suodatinta äsitellään laajasti appaleessa 2.2. Varsinaisen Kalmanin suodattimen algoritmin (appale 2.2.2) lisäsi äsitellään missä mielessä Kalmanin suodattimen antama ehdollinen odotusarvo on optimaalinen estimaatti tilalle yseisessä erioistapausessa (appale 2.2.3). Tämän jäleen äsitellään sitä, missä mielessä Kalmanin suodattimen antama ehdollinen odotusarvo on optimaalinen myös yleisemmälle suodatusongelmalle (appale 2.2.4). Kalmanin suodatinta osevassa appaleessa puututaan myös ysymyseen, mistä suodatusen tilamalli on usein peräisin (appale 2.2.5). Lisäsi Kalmanin suodattimen yhteydessä tutitaan Kalmanin suodattimen epävarmuutta ja heryyttä mallinnusvirheille (2.2.6). Luvun lopussa esitellään erilaisia tapoja rataista yleistä suodatusongelmaa Kalmanin suodattimen laajennusilla (appale 2.3), erityisesti esitellään toisen asteen laajennettu Kalmanin suodatin (appale 2.3.2). 2.1 Yleinen ongelman asettelu Monissa tenisissä sovellusissa halutaan saada selville mahdollisimman hyvä estimaatti prosessin tilalle tietyllä ajanhetellä. Estimaatin arvon lisäsi ollaan iinnostuneita sen taruudesta ja epävarmuudesta. Tähän taroituseen on äytettävissä malli 14

16 LUKU 2. SUODATUS 15 prosessin dynamiialle, eli sille, miten prosessi muuttuu ajan uluessa. Tämän lisäsi on äytettävissä mittausia, jota riippuvat sen hetisestä tilasta. Mallia ja siihen liittyviä mittausia utsumme dynaamisesi systeemisi. Esimerinä tälläisestä dynaamisesta systeemistä on paiannus. Paiannusessa tilana on vastaanottimen paia ja mahdollisesti muita muuttujia. Mittausina voi toimia esimerisi etäisyysmittauset satelliitteihin ja/tai tuiasemiin, oreusmittaus ja setoritiedot. Tässä työssä on taroitusena esittää tämä ongelma matemaattisessa muodossa, rataista se muutamassa erioistapausessa ja soveltaa rataisuja paiannuseen. Ennen varsinaista ongelman matemaattista formulointia määritellään muutama äsite. Perusäsitteet, uten otosavaruus (merintä Ω), jouon Ω σ-algebra (merintä F), todennäöisyysmitta (merintä P ), todennäöisyysavaruus (merintä (Ω, F, P )), satunnaismuuttuja (merintä lihavoitu irjain esimerisi x), satunnaismuuttujan x tiheysfuntio (merintä f(x) tai f x (x)), riippumattomuus ja satunnaismuuttujien x, y yhteisjaauma (merintä f(x, y)) oletetaan tunnetuisi. Nämä löytyvät muun muassa viitteistä [Kaleva 2003a] ja [Maybec 1979]. Määritelmä 2.1 (Stoastinen prosessi). Oloon (Ω, F, P ) todennäöisyysavaruus ja T parametrijouo. Stoastinen prosessi on sellainen uvaus x : Ω T R n, että joaisella iinteällä t T x(, t ) on satunnaismuuttuja (joa voi olla myös matriisiarvoinen, tällöin maalijouo on R n m ). Tätä satunnaismuuttujaa meritään myös symboleilla x ja x(t ). Määritelmä 2.2 (Ehdollinen tiheysfuntio, Bayesin sääntö). Satunnaismuuttujan x ehdollinen tiheysfuntio ehdolla y = y määritellään yhtälöllä f(x y) = f(x, y) f(y) (2.1) pisteissä, joissa nimittäjä on positiivinen. Jos nimittäjä on nolla, niin ehdollista tiheysfuntiota ei ole määritelty. Kyseisen tiheysfuntion omaavaa satunnaismuuttujaa meritään x y. Seuraus 2.3 (Bayesin säännön toinen muoto). Määritelmästä 2.2 seuraa, että f(x y) = f(y x)f(x) f(y) = f(y x)f(x) (2.2) f(y x)f(x)dx [Maybec 1979, s.81]. Määritelmä 2.4 (Marovin prosessi). Stoastinen prosessi {x, N} on Marovin prosessi jos aiilla N\{0} f(x x 1,..., x 1 ) = f(x x 1 ). (2.3) Määritelmä 2.5 (Valoinen prosessi). Stoastinen prosessi {x, valoinen prosessi jos se on Marovin prosessi ja aiilla N\{0} N} on f(x x 1 ) = f(x ). (2.4)

17 LUKU 2. SUODATUS 16 Näiden määritelmien avulla tehtävä voidaan formuloida. Dynaamisen prosessin tilat ja mittauset mallinnetaan stoastisesi prosesseisi {x, N} ja {y +1, N}. Aluehtoa meritään satunnaimuuttujana x 0. Prosessin dynamiia mallinnetaan stoastisesi differenssiyhtälösi Mittausyhtälö x +1 = f (x, w ). (2.5) y = h (x, v ) (2.6) mallintaa mittausien ja tilan välistä yhteyttä. Funtiot oletetaan jatuvasti derivoituvisi argumenttiensa suhteen. {w, N} uvaa dynamiian ohinaa ja {v +1, N} uvaa mittausien ohinaa. Molemmat ohinat oletetaan nollaesisisi- ja valoisisi ohinoisi ja riipumattomisi toisistaan. Lisäsi oletetaan, että {w } on riippumaton aluehdosta x 0. Näin ollen prosessit {x }, {y +1 } ja {x, y +1 } ovat Marovin prosesseja [Jazwinsi 1970, s.143]. Tehtävänä on rataista tilan x ehdollinen tiheysfuntio realisoituneiden mittausten ehdolla. Otetaan äyttöön mittausien, jota tapahtuvat ennen ajanheteä t +1, ooelma y 1: = {y i, i = 1,..., }. Jos mittauset y 1: = {y i, i = 1,..., } ovat realisoituneet, tehtävänä on rataista tiheysfuntio f(x y 1: ). (2.7) Bayesin säännön ja ohinoiden valoisuuden avulla saadaan aava (2.7) muotoon [Ristic et al. 2004, s.5] missä normalisointivaio on muotoa f(y y 1: 1 ) = f(x y 1: ) = f(y x )f(x y 1: 1 ), (2.8) f(y y 1: 1 ) f(y x )f(x y 1: 1 )dx. (2.9) Rataistusta ehdollisesta tiheysfuntiosta (2.8) voidaan lasea haluttu estimaatti tilalle x ja arvio sen epävarmuudelle. Useissa tapausissa ehdollista todennäöisyyttä ei voida rataista analyyttisesti [Arulampalam et al. 2002]. Kuitenin hyvin täreässä erioistapausessa Kalmanin suodatin rataisee yseisen tehtävän. Kalmanin suodatinta äsitellään taremmin appaleessa Kalmanin suodatin Kalmanin suodatin (KF, Kalman Filter), jona Rudolf E. Kalman julaisi vuonna 1960 [Kalman 1960], rataisee appaleessa 2.1 määritellyn ongelman erioistapausen, jossa aavojen (2.5) ja (2.6) funtiot ovat lineaarisia ja aluehto seä ohinat normaalijaautuneita (Määritelmä 2.6). Tässä appaleessa on esitetty Kalmanin suodatin. Suodattimen johto löytyy liitteestä A.

18 LUKU 2. SUODATUS 17 Määritelmä 2.6 (Normaalijaauma). Oloon x : Ω R p vetoriarvoinen satunnaismuuttuja, jona odotusarvo E(x) = µ R p ja ovarianssimatriisi V(x) = Σ on symmetrinen positiivisesti definiitti p p matriisi. Tällöin satunnaismuuttuja x noudattaa p-ulotteista normaalijaaumaa parametrein µ ja Σ, jota meritään x N p (µ, Σ), jos sen tiheysfuntio on f(x) = 1 ( exp det(2πσ) (x µ)t Σ 1 (x µ) ), x R p (2.10) Kalmanin suodattimen ongelman asettelu Kalmanin suodattimen aluehtona on (oletetaan, että P 0 on positiividefiniitti) Kalmanin suodattimen tilamallina on ja mittausmallina on x 0 N nx (x 0, P 0 ). (2.11) x +1 = Φ x + w (2.12) y = H x + v, (2.13) missä x on n x -dimensionaalisen tilavetorin satunnaismuuttuja ajanhetellä t. Φ R n x n x on tilansiirtomatriisi satunnaismuuttujalta x satunnaismuuttujalle x +1, äytetään myös merintää Φ(t +1, t ). w N nx (0, Q ) on tilamallin virhe, joa oletetaan valoisesi ja riippumattomasi aluehdosta x 0. y on n y -dimensionaalisen mittausvetorin satunnaismuuttuja ajanhetellä t. H R ny nx uvaa tilan ja mittausien välistä ideaalista yhteyttä ajanhetellä t. v N ny (0, R ) on mittausvirhe, joa oletetaan valoisesi ja riippumattomasi prosessin w anssa. Matriisit R oletetaan positiividefiniiteisi. Määritelmä 2.7 (Ehdollinen odotusarvo). Satunnaismuuttujan x ehdollinen odotusarvo ehdolla y = y määritellään yhtälöllä E(x y = y) = xf(x y)dx (2.14) Huomataan (liite A), että aii Kalmanin suodattimen antamat ehdolliset tiheysfuntiot f(x y 1: ), missä N, ovat normaalisti jaautuneita. Riittää, että saadaan selville satunnaismuuttujien x ehdolliset odotusarvot ja ovarianssimatriisit ehdolla y 1: = y 1: (Määritelmä 2.7), tällöin aii jaaumien parametrit ovat tiedossa. Meritään parametreja hattusymbolilla, osa niitä äytetään myös tilan ja tilan epävarmuuden estimaatteina (appale 2.2.3). ˆx = E(x y 1: = y 1: ) (2.15) ˆP = E((x ˆx )(x ˆx ) T y 1: = y 1: ) (2.16)

19 LUKU 2. SUODATUS 18 x y 1: N nx (ˆx, ˆP ) (2.17) Kaavassa (2.17) oleva merintä taroittaa, että satunnaismuuttujan x, jona dimensio on n x, ehdollinen jaauma ehdolla y 1: = y 1: on normaalijaauma parametrein ˆx ja ˆP. On syytä huomata, että parametrit ˆx ja ˆP riippuvat arvosta y 1: ja ovat siten satunnaismuuttujien ˆx ja ˆP reaalisaatioita. Satunnaismuuttujan x ehdollista tiheysfuntiota ehdolla y 1: 1 = y 1: 1 utsutaan priori-tilan tiheysfuntiosi. Priori-tila, jona merinä on yläindesissä miinus (x ), on suodattimen ennustama tila ajanhetelle t mittausien y 1: 1 = y 1: 1 perusteella. Priori-tilan ehdollisen odotusarvon realisaatio on ˆx = E(x y 1: 1 = y 1: 1 ) = Φ 1ˆx 1 (2.18) ja priori-tilan ehdollisen ovarianssimatriisin realisaatio on ˆP = E((x ˆx )(x ˆx )T y 1: 1 = y 1: 1 ) = Φ 1 ˆP 1 Φ T 1 + Q 1. (2.19) Kalmanin suodattimen algoritmi Kalmanin suodattimen algoritmi on esitelty myös liitteessä B ja sen johto on esitetty liitteessä A. Kalmanin suodatin määritellään reursiivisesti. Oletetaan, että x 1 y 1: 1 N nx (ˆx 1, ˆP 1 ), N\{0}. (2.20) Merintä x 0 y 1:0 taroittaa satunnaismuuttujaa x 0. Tällöin x y 1: N nx (ˆx + K (y H ˆx ), (I K H )ˆP ), (2.21) missä K utsutaan Kalmanin vahvistusesi (Kalman gain), K = ˆP HT (H ˆP HT + R ) 1. (2.22) Erotusta (y H ˆx ) utsutaan innovaatiosi, ˆx on määritelty yhtälössä (2.18) ja ˆP on määritelty yhtälössä (2.19). Kyseistä tilaa, joa saadaan päivittämällä priori-tilaa utsutaan posteriori-tilasi Tilan paras estimaattori Kalmanin suodattimen algoritmin avulla (2.21) saadaan selville tilan x normaalisti jaautuneet ehdollisten tiheysfuntioiden f(x y 1: ) parametrit, missä N. Nämä parametrit ovat itsein satunnaismuuttujia. Monissa tenisissä sovellusissa äyttäjä haluaa saada selville mahdollisimman hyvän estimaatin tilalle ja arvion sen hyvyydelle, eiä ole niinään iinnostunut ehdollisesta tiheysfuntiosta. Seuraavasi perustellaan misi estimaattori ˆx = E(x y 1: ) (2.23) on paras valinta estimaattorisi. Kuten edellä todettiin, Kalmanin suodatin antaa tilan estimaatisi juuri tämän estimaattorin realisaatioita (2.21).

20 LUKU 2. SUODATUS 19 Ensin todetaan, että valittu estimaattori (2.23) on harhaton, jolla taroitetaan seuraavaa [Jazwinsi 1970, s.150] E(ˆx ) = E(E(x y 1: )) = E(x ). (2.24) Jotta voidaan vertailla taremmin estimaattoreita, määritellään ustannusfuntioita L(x), joilla voidaan uvata estimaattorin hyvyyttä. Oloon L(x) reaaliarvoinen funtio, jolla on ominaisuudet L(0) = 0, 0 ρ(x) ρ(y) 0 L(x) L(y), (2.25) missä ρ on onvesi funtio (Määritelmä 2.8). Määritelmä 2.8 (Konvesi jouo ja funtio). Vetoriavaruuden R n osajouo A on onvesi, jos λx + (1 λ)y A aiilla x, y A, λ [0, 1] (2.26) Oloon A R n onvesi jouo. Funtio ρ : A R on onvesi jos ρ(λx + (1 λ)y) λρ(x) + (1 λ)ρ(y) aiilla x, y A, 0 λ 1 (2.27) Esimeri onvesista funtiosta on ρ(x) = x T Sx, x R n, (2.28) missä S R n n on symmetrinen positiivisesti semidefiniitti matriisi [Kaleva 2003b, s.69]. Kyseinen funtio sopii selvästi myös ustannusfuntiosi. Lause 2.9. Oloon satunnaismuuttujan x y 1: tiheysfuntio f(x y 1: ) normaalinen, odotusarvona satunnaismuuttujan ˆx = E(x y 1: ) reaalisaatio ˆx. Oloon L(x) ehdot (2.25) täyttävä ustannusfuntio. Tällöin satunnaismuuttujan x paras estimaattori on ˆx, siinä mielessä, että E(L(x ˆx )) minimoituu. Todistus. Jazwinsin irjassa [Jazwinsi 1970, s.147] on todistettu lause soveltamalla Shermanin julaisussa [Sherman 1955] olevaa tulosta. Tässä esitetään lyhyesti todistusen idea. E(L(x ˆx )) = E(E(L(x ˆx ) y 1: )) (2.29) Kosa E(L(x ˆx ) y 1: ) on määritelty samassa todennäöisyysavaruudessa uin y 1:, niin E(L(x ˆx )) minimoimisesi riittää löytää sellainen estimaattori joa minimoi odotusarvon E(L(x ˆx ) y 1: ) joaisella reaalisaatiolla y 1:. Shermanin muaan tälläinen estimaattori on ˆx = E(x y 1: ) [Sherman 1955]. Lauseen 2.9 muaan on selvää valita tilan estimaattorisi ˆx = E(x y 1: ), osa tämä estimaattori on optimaalinen, vertaillaan sitä millä tahansa ehdot (2.25) täyttävällä ustannusfuntiolla. Estimaattoria, joa minimoi ustannusfuntion

21 LUKU 2. SUODATUS 20 L(x) = x T Sx, missä S on symmetrinen positiivisesti semidefiniitti matriisi, utsutaan minimivarianssiestimaattorisi. Näin ollen Kalmanin suodattimen antama estimaatti on harhaton minimivarianssiestimaatti. Myös lasettaessa Kalmanin suodattimen tehtävälle MAP (masimi-a-posteriori) estimaattori, joa masimoi tiheysfuntion f(x y 1: ), saamme odotetusti saman estimaattorin uin edellä [Maybec 1979, s.234]. Kalmanin suodattimen antama estimaattori on siis suhteessa muihin estimaattoreihin erittäin hyvä. Tämä ei uitenaan erro vielä sen absoluuttista hyvyyttä. Kalmanin suodattimen rataisema estimaatin ovarianssimatriisi (ˆP ) puolestaan ertoo minälaisissa rajoissa todellinen tila todennäöisesti on, jos systeemin malli on oiein. Tässä työssä puhutaan suodattimen epävarmuudesta, un taroitetaan yseistä tilan virhettä, jona suodatin antaa ovarianssimatriisin (ˆP ) muodossa. Suodattimen epätaruudesta puhuttaessa taroitetaan epätaran mallin aiheuttamia virheitä tilalle ja sen epävarmuuden estimaatille. Epävarmuutta ja -taruutta äsittelemme lisää appaleessa Estimaattori yleisemmille ongelmille Edellisessä ohdassa määritelty estimaattori ˆx = E(x y 1: ) on minimivarianssiestimaattori myös yleiselle ongelman asettelulle, joa on esitetty appaleessa 2.1 [Sage&Melsa 1971, s.178] ja [Robert&Casella 1999, s.11]. On hyvä muistaa, että Kalmanin suodatin lasee yseisen estimaattorin vain hyvin rajatussa tapausessa. Kuitenin jos äytetään Kalmanin suodattimen algoritmia ja verrataan lineaarisia harhattomia estimaattoreita ustannusfuntion L(x) = x T x avulla, niin osoittautuu, että Kalmanin suodattimen algoritmi antaa parhaan estimaatin tilalle myös ilman satunnaismuuttujien x 0, {w } ja {v +1 } ( N) normaalisuusoletusta. Kalmanin suodatinta utsutaan tämän taia myös parhaasi lineaarisesi harhattomasi estimaattorisi (BLUE, Best Linear Unbiased Estimator). Toisin sanoen Kalmanin suodattimessa Kalmanin vahvistus määräytyy siten, että estimaattori ˆx = ˆx + K (y H ˆx ) (2.30) minimoi ustannusfuntion L(x) = x T x muaisen virheen, vaia jaautumat eivät olisi normaaleja [Brown 1983, s.195] ja [Candy 1986, s.71]. Tämä tulos on erittäin miellyttävä, osa usein jaautumat eivät ole aivan normaaleja. Tämän ominaisuuden valossa Kalmanin suodattimelta voi odottaa näissäin tilanteissa hyviä tulosia. Tosin tällöin suodatin on paras yseisen ustannusfuntion mielessä vain harhattomien lineaaristen suodattimien jouosta. Toinen Kalmanin suodattimen rajoittava ehto on oletus tila- ja mittausmallien lineaarisuudesta. Epälineaarisuutta äsitellään taremmin appaleessa 2.3.

22 LUKU 2. SUODATUS Stoastinen differentiaaliyhtälö Yleensä aavojen (2.5) ja (2.12) taana on stoastinen differentiaaliyhtälö. Tässä tapausessa esitytään vain lineaariseen stoastiseen differentiaaliyhtälöön ja siihen uina se disretoituu yhtälösi (2.12). Lineaarinen stoastinen differentiaali yhtälö on dx(t) = F(t)x(t)dt + G(t)dβ(t), (2.31) missä x(t) on n x -dimensionaalinen tilan stoastinen prosessi, F(t) ja G(t) ovat vastaavasti n x n x ja n x n β -dimensionaalisia ei-satunnaisia jatuvia matriisifuntioita, ja β on n β -dimensionaalinen Brownin liie, joa määritellään seuraavasti. Määritelmä 2.10 (Brownin liie). Stoastinen prosessi x, t t 0 on Brownin liiettä, jos i. P (x 0 = 0) = 1 ii. x 0, x i x i 1, i = 1, 2,..., ovat riipumattomia satunnaismuuttujia aiilla t 0 < t 1 < t 2 < < t (riippumattomien lisäysten prosessi) iii. lisäyset riippuvat vain aiavälin pituudesta, eivät ajasta (stationääriset lisäyset) iv. x noudattaa normaalijaaumaa x N nx (0, (t t 0 )Q c ) joaisella t > t 0 (Matriisia Q c utsutaan diffuusiomatriisisi) Yhtälön (2.31) rataisu voidaan irjoittaa muotoon ([Maybec 1979, s.171] ja [Jazwinsi 1970, s.200]) x +1 = Φ(t +1, t )x + w, (2.32) missä x on tila ajanhetellä t, Φ(t +1, t ) on tilansiirtomatriisi (määritelmä 2.11) ja w on valoista, nollaesistä, normaalisti jaautunutta ohinaa, jona ovarianssimatriisi on V(w ) = t+1 t Φ(t +1, t)g(t)q c G(t) T Φ(t +1, t) T dt. (2.33) Määritelmä 2.11 (Tilansiirtomatriisi). Matriisi Φ(t, t ) on tilansiirtomatriisi, jos i. Φ(t, t ) = F(t)Φ(t, t ) ii. Φ(t, t ) = I Meritään tilansiirtomatriisia Φ(t +1, t ) lyhyesti vain Φ, tällöin yhtälö (2.32) on Kalmanin suodattimen tilamallin muainen (2.12). Jos matriisi F(t) on vaio, tilansiirtomatriisi voidaan lasea matriisiesponentina aavan Φ(t +1, t ) = e (t +1 t )F (2.34) avulla [Maybec 1979, s.42].

23 LUKU 2. SUODATUS 22 Tilansiirtomatriisilla on monia ominaisuusia, joita on lueteltu muun muassa irjoissa [Maybec 1979, s.41] ja [Grewal&Andrews 1993, s.38]. Eräs niistä on Φ(t +2, t ) = Φ(t +2, t +1 )Φ(t +1, t ). (2.35) Lause Oloon tilansiirtomatriisit (Φ) määritelmän 2.11 muaisia ja oloon w ja w +1 rataisun (2.32) tilansiirtomatriiseja vastaavia ohinoita, lisäsi w 12 vastaa tilansiirtomatriisia Φ(t +2, t ). Tällöin x +2 = Φ(t +2, t )x + w 12 = Φ(t +2, t +1 )(Φ(t +1, t )x + w ) + w +1. (2.36) Todistus. Kosa ominaisuuden (2.35) muaan Φ(t +2, t +1 )(Φ(t +1, t )x + w ) + w +1 = Φ(t +2, t )x + Φ(t +2, t +1 )w + w +1, (2.37) niin riittää näyttää, että w 12 ja Φ(t +2, t +1 )w + w +1 ovat identtisesti jaautuneita. Kosa molemmat ovat normaalisti jaautuneita, väite on todistettu, jos yseiset satunnaismuuttujien odotusarvot ja ovarianssimatriisit ovat samoja. Odotusarvot ovat samat nollaesisyyden ja odotusarvo-operaattorin lineaarisuuden johdosta: E(w 12 ) = 0 = Φ(t +2, t +1 ) E(w ) + E(w +1 ) = E(Φ(t +2, t +1 )w + w +1 ). (2.38) Kosa w ja w +1 ovat peräisin valoisesta prosessista niin määritelmien 2.2 ja 2.5 muaan: f(w +1, w ) = f(w +1 w )f(w ) = f(w +1 )f(w ), (2.39) joten w +1 ja w ovat riippumattomia. Näin ollen V(Φ(t +2, t +1 )w + w +1 ) = Φ(t +2, t +1 ) V(w )Φ(t +2, t +1 ) T + V(w +1 ) (2.40) Integraalin lineaarisuuden ja ominaisuuden (2.35) muaan Φ(t +2, t +1 ) V(w )Φ(t +2, t +1 ) T = Toisaalta V(w +1 ) = t+2 t+1 Lasemalla yhtälöt (2.41) ja (2.42) yhteen saadaan, että V(Φ(t +2, t +1 )w + w +1 ) = t Φ(t +2, t)g(t)q c G(t) T Φ(t +2, t) T dt. (2.41) t +1 Φ(t +2, t)g(t)q c G(t) T Φ(t +2, t) T dt. (2.42) t+2 t Φ(t +2, t)g(t)q c G(t) T Φ(t +2, t) T dt = V(w 12 ) (2.43) Lause 2.12 taaa hyvin hyödyllisen ominaisuuden virhemallille. Miäli mittausia ei saada ajanhetellä t +1 niin x +2 on samoin jaautunut, riippumatta siitä ono suodatin, jona tilamalli on peräisin stoastisesta differentiaaliyhtälöstä (2.31),

24 LUKU 2. SUODATUS 23 lasenut arvion tilalle x +1 vai ei. Tämä ominaisuus olisi itsestään selvä, miäli virhe oostuisi pelästään Brownin liieestä. Kuitenin yhtälössä (2.31) voidaan haluttaessa liitosmatriisin G(t) avulla mallintaa vain osa tilanvirheestä Brownin liieellä. Tällöin tilassa voi olla omponentteja, joiden virhe ei ole Brownin liiettä ja virheen lisäysen suuruus riippuu myös ajasta eiä vain välin pituudesta, jolloin edellä todistettu ominaisuus ei ole aivan itsestään selvä Epävarmuus ja heryys mallinnusvirheille Tässä appaleessa äsitellään sitä, minälaisissa rajoissa suodattimen epävarmuus on. Arvio on taroitus muodostaa ilman, että lasetaan tarasti estimaattien ovarianssimatriiseja ˆP. Tämän avulla, miäli malli on oiea, voidaan huomata milloin suodatus on ylipäätänsä mahdollista ja uina paljon suodatus ainain parantaa tilan estimaattoria verrattuna muihin estimaattoreihin. Lisäsi äsitellään sitä, uina mallinnusvirheet vaiuttavat näihin ovarianssimatriiseihin. Tässä appaleessa esitetään pääasiassa vain tulosia. Tuloset ovat peräisin Jazwinsin irjasta, jossa on myös äsitelty taremmin yseistä aihetta todistusien era [Jazwinsi 1970]. Määritelmä 2.13 (Ohjattavuus- ja tarailtavuusmatriisit). Matriisia C utsutaan ohjattavuusmatriisisi C(, n o ) = 1 missä Φ(t, t i+1 ) on tilansiirtomatriisi ja Q i+1 = V(w i+1 ). Matriisia I utsutaan tarailtavuusmatriisisi I(, n t ) = i= n o Φ(t, t i+1 )Q i+1 Φ T (t, t i+1 ), (2.44) i= n t Φ T (t i, t )H T i R 1 i H i Φ(t i, t ), (2.45) missä Φ(t i, t ) on tilansiirtomatriisi, H on mittausmatriisi ja R i = V(v i ). Määritelmä 2.14 (Täydellisesti ohjattavissa ja tarailtavissa). Dynaaminen systeemi (2.12), (2.13) on täydellisesti ohjattavissa, jos on olemassa positiivinen oonaisluu n o ja positiiviset α o ja β o siten, että 0 < α o I C(, n o ) β o I, (2.46) aiilla n o. Kyseinen dynaaminen systeemi on täydellisesti tarailtavissa, jos on olemassa positiivinen oonaisluu n t ja positiiviset α t ja β t siten, että aiilla n t. 0 < α t I I(, n t ) β t I, (2.47)

25 LUKU 2. SUODATUS 24 Symmetristen matriisien tapausessa A < B taroittaa, että B A on positiivisesti definiitti. Vastaavasti A B taroittaa, että B A on positiivisesti semidefiniitti. Lause Oloon dynaaminen systeemi (2.12), (2.13) täydellisesti ohjattavissa ja tarailtavissa siten, että n o = n t, α = min(α o, α t ), β = max(β o, β t ) ja P 0 > 0. Tällöin ˆP on tasaisesti rajoitettu aiilla n o. α 1 + αβ I ˆP 1 + αβ I (2.48) α Todistus. Todistus on esitetty Jazwinsin irjassa [Jazwinsi 1970, s.234]. Seuraava lause ertoo, että mallinnusvirhe aluehdon ovarianssimatriisissa häviää ajan uluessa estimaatin ovarianssimatriisista, miäli dynaaminen systeemi on täydellisesti ohjattavissa ja tarailtavissa. Lause Oloon dynaaminen systeemi (2.12), (2.13) täydellisesti ohjattavissa ja tarailtavissa. Oletetaan, että ˆP 1 ja ˆP 2 ovat asi systeemin ovarianssimatriisien rataisua vastaten aluehtoja P 01 0 ja P Oloon ˆP = ˆP 1 ˆP 2. Tällöin ˆP 0, un. (2.49) Todistus. Todistus on esitetty Jazwinsin irjassa [Jazwinsi 1970, s.242]. Seuraavasi perehdytään taremmin siihen, uina virheiden mallinnusvirheet vaiuttavat suodattimen toimintaan. Oloon todellinen systeemi ja x +1 = Φ x + w y = H x + v E(x 0 ) = x 0, V(x 0 ) = P 0, E(w ) = E(v ) = 0, V(w ) = Q ja V(v ) = R (2.50) x +1 = Φ x + w y = H x + v E(x 0 ) = x 0, V(x 0 ) = P 0, E(w ) = E(v ) = 0, V(w ) = Q ja V(v ) = R (2.51) malli yseiselle systeemille. Yläviivalla meritään mallinnettuja suureita, jota poieavat todellisesta systeemistä. Tässä oletetaan, etteivät suureet Φ ja H sisällä mallinnusvirheitä. Seuraava lause ertoo, uina voidaan tarpeesi pessimistisillä virhearvioilla taata se, että mallin antama epävarmuus on arvioitu yläanttiin. Tällöin mallin antama epävarmuus mallisysteemin Kalmanin suodattimen estimaattorille on ainain niin suuri uin yseisen estimaattorin epävarmuus olisi todelliselle systeemille. Tästä seuraa myös se,

26 LUKU 2. SUODATUS 25 että mallin estimaattorin epävarmuus on ainain yhtä suuri uin todellisen systeemin minimivarianssiestimaattorin epävarmuus. Lauseessa 2.17 äytetetään merintöjä P = V(x ˆx ) (2.52) P = V(x ˆx ), (2.53) missä ˆx on Kalmanin suodattimen antama BLUE-estimaatti (appale 2.2.4) malli systeemille (2.51). Lause Jos P 0 P 0, Q Q ja R R aiilla, niin P P aiilla. Todistus. Todistetaan väite indutiolla. Indutioalu: Kun = 0 niin väite on selvä. Indutioasel: Näytetään, että väitteestä arvolla = n seuraa väite arvolla = n+1. Kalmanin suodattimen algoritmin muaan (Liite B) P n+1 = (I K n+1 H n+1 )(Φ n P n Φ T n + Q n )(I K n+1 H n+1 ) T + K n+1 R n+1 K T n+1 (2.54) ˆx n+1 = (I K n+1 H n+1 )(Φ nˆx n ) + K n+1 y n+1. (2.55) Huomaa, että mallisysteemissä estimaatin lasemiseen äytetään todellisen systeemin mittausia. Kaavoista (2.50) ja (2.55) seuraa x n+1 ˆx n+1 = x n+1 (I K n+1 H n+1 )(Φ nˆx n ) K n+1 y n+1 = x n+1 (I K n+1 H n+1 )(Φ nˆx n ) K n+1 (H n+1 x n+1 + v n+1 ) = (I K n+1 H n+1 )(Φ n (x n ˆx n ) + w n ) K n+1 v n+1. (2.56) Joten riippumattomuusoletusien nojalla P n+1 = (I K n+1 H n+1 )(Φ n Pn Φ T n + Q n )(I K n+1 H n+1 ) T + K n+1 R n+1 K T n+1. (2.57) Tällöin P n+1 P n+1 =(I K n+1 H n+1 )Φ n ( P n P n )Φ T n(i K n+1 H n+1 ) T + (I K n+1 H n+1 )Φ n (Q n Q n )Φ T n(i K n+1 H n+1 ) T + K n+1 (R n+1 R n+1 )K T n+1. (2.58) Kosa oletusen muaan R n+1 R n+1 niin R n+1 R n+1 on negatiivisesti semidefiniitti. Toisin sanoen x T (R n+1 R n+1 )x 0 aiilla x. Tällöin myös y T K n+1 (R n+1 R n+1 )K T n+1y 0 (2.59) aiilla y, osa voidaan valita x = K T n+1y. Vastaavasti voidaan toimia aavan 2.58 oieanpuolen ensimmäisen ja toisen termin anssa. Näin ollen P n+1 P n+1. Tämän ja indutioperiaatteen nojalla väite on tosi aiilla.

27 LUKU 2. SUODATUS 26 Kalmanin suodatimella on siis erittäin miellyttäviä ominaisuusia mallinnusen annalta. Edellisen ja BLUE-ominaisuuden (appale 2.2.4) avulla suodatinta voidaan järevästi äyttää, vaiei täysin tiedetäään uina virhe äyttäytyy. Tämän vuosi sovellusissa voidaan arvioida (yläanttiin) virheiden ovarianssimatriiseja ja sovellus toimii siltiin halutulla tavalla. Kovarianssimatriisien arviointia utsutaan myös suodattimen virittämisesi (tuning) [Maybec 1979] [Julier&Durrant-Whyte 2003]. Jos suodattimen antama ovarianssimatriisi estimaattorille on aina suurempi tai yhtä suuri uin todellinen ovarianssimatriisi estimaattorille olisi niin estimaattoria utsutaan onsistentisi (consistent) [Lefebvre et al. 2004]. Maybec utsuu onsistentisi estimaattorisi estimaattoria, joa onvergoi todelliseen arvoon ajan uluessa [Maybec 1979, s.235] [Maybec 1982, s.96]. Tässä työssä äytetään Lefebvren määritelmää. Lähes poieusetta hyvältä estimaattorilta vaaditaan, että se on onsistentti. Edellä mainittu tapa arvioida virheet yläanttiin on eräs eino varmistaa estimaattorin onsistenttius. Miäli ovarianssimatriiseja arvioidaan yläanttiin, niin estimaattorin epävarmuus asvaa [Lefebvre et al. 2004] [Maybec 1979, s. 338]. Käytännössä ovarianssimatriisien arviointiin haetaan ompromissi, jona avulla estimaattori on lähes varmasti onsistentti ja estimaattorilla on mahdollisimman pieni epävarmuus. Useinaan virheet eivät ole normaalijaautuneita. Tällöin tyydytään BLUE-estimaattiin. Odotusarvo ja ovarianssimatriisi määräävät täysin normaalijaautuneen suureen tiheysfuntio. Näin ei ole yleisessä tapausessa, uitenin seuraavasi esitettävän Tshebyshevin epäyhtälön nojalla voidaan arvioida tilan epävarmuutta odotusarvon ja ovarianssimatriisin avulla. Tosin äytännössä virheet ja siten myös tila usein oletetaan lähes normaalijaautuneisi ja äytetään normaalijaauman ominaisuusia. Varsinin epälineaarisessa tapausessa näin ei uitenaan voida tehdä. Epälineaarisesta tapausesta lisää appaleessa 2.3. Tshebyshevin epäyhtälö Seuraava lause on erioistapaus Tshebyshevin epäyhtälöstä [Evans 2002, s.14]. Matriisin jäli-operaattoria meritään tr. Lause Oloon x n-dimensionaalinen jatuva satunnaismuuttuja siten, että E(x) = µ ja V(x) = Σ. Tällöin satunnaismuuttuja x saa arvon µ esisen tr(σ)- säteisen pallon sisältä vähintään todennäöisyydellä Todistus. Kosa Σ on symmetrinen reaalimatriisi niin Schurin lauseen muaan [Perttula 1999b, s.95] on olemassa ortogonaalinen matriisi Q siten että Σ = QΛQ T, (2.60) missä Λ on diagonaalimatriisi, jona diagonaalilla on matriisin Σ ominaisarvot. Tiedetään, että [Perttula 1999b, s.91] tr(σ) = tr(λ). (2.61)

28 LUKU 2. SUODATUS 27 Tehdään ovarianssimatriisin integraaliin muuttujanvaihto x = Qy + µ. Tällöin integraalioperaattorin lineaarisuuden muaan V(x) = (x µ)(x µ) T f x (x)dx = Q yy T f x (Qy + µ)dyq T = Σ (2.62) Joten yy T f x (Qy + µ)dy = Λ (2.63) Oloon alue A origoesinen ja tr(σ)-säteinen pallo. Tällöin integraalioperaattorin lineaarisuuden ja integrandin positiivisuuden muaan tr(σ) = y T yf x (Qy + µ)dy y T yf x (Qy + µ)dy R n \A ( 2 tr(σ) f x (Qy + µ)dy = 2 tr(σ) 1 R n \A Kaavasta (2.64) seuraa väite A A ) f x (Qy + µ)dy. (2.64) f x (Qy + µ)dy (2.65) Seuraavassa tauluossa 2.1 on sovellettu edellistä lausetta olmiulotteiseen tapauseen ja lasettu millä vähimmäistodennäöisyydellä satunnaismuuttuja, jona odotusarvo ja ovarianssimatriisi tunnetaan, on tietyn säteisen pallon sisällä. Pallon esipiste on satunnaismuuttujan odotusarvo. Tulosia on verrattu normaalijaauman vastaaviin todennäöisyysiin. σ max on ovarianssimatriisin suurimman ominaisarvon neliöjuuri. Tauluosta 2.1 havaitaan, että suodattimen antama informaatio vähenee rajusti jos normaalisuusoletusesta joudutaan luopumaan. Tauluo 2.1: Yleisenjaauman ja normaalijaauman todennäöisyysmassan sijainnin vertailu samoilla odotusarvolla ja ovarianssimatriisilla. Säde Yleinen Normaali 2σ max 25% 73% 3σ max 66% 97% 4σ max 81% 99,8% 6σ max 91% 99,99999% 10σ max 97% 100%

29 LUKU 2. SUODATUS Kalmanin suodattimen soveltaminen epälineaariseen systeemiin Kalmanin suodatin rataisee lineaarisen dynaamisen systeemin ja on sille monessa mielessä paras estimaattori. Kalmanin suodatin on myös ysinertainen ja nopea. Kuitenaan usein systeemi ei ole lineaarinen. Epälineaarisille systeemeille ei useinaan ole olemassa analyyttistä rataisua (aava (2.7)) tai jos on olemassa, niin se on monimutainen ja hidas lasea. Tämän taia Kalmanin suodatinta on pyritty soveltamaan myös epälineaariseen tapauseen monella eri tavalla, hyvällä ja huonolla menestysellä. Kalmanin suodatin arvioi vain tilan odotusarvoa ja ovarianssimatriisia, yleinen jaauma ei ole näiden pohjalta täysin määrätty. Näin ollen Kalmanin suodatin ei voi toimia optimaalisesti, miäli todellinen jaauma ei muistuta normaalijaaumaa, esimerisi jaauma on monihuippuinen. Tällöin on selvää, että join epälineaarinen suodatin olisi parempi. Mieliuvan monihuippuisen jaauman tiheysfuntion arvioinnista vain odotusarvolla ja ovarianssimatriisilla saa tauluon 2.1 lisäsi sivulla 68 olevasta uvasta 5.3. Yhtenä osana uvaa toisen asteen laajennettu Kalmanin suodatin arvioi asihuippuista tiheysfuntiota odotusarvon ja ovarianssimatriisin avulla. Kuvan perusteella huomataan, että pelä odotusarvo ja ovarianssimatriisi ertoo monihuippuisesta jaaumasta suhteellisen vähän. Miäli Kalmanin suodatin halutaan onsistentisi, joudutaan usein arvioimaan virheitä paljon yläanttiin ja näin ollen estimaattorin epävarmuus asvaa. Toisin sanoen Kalmanin suodattimen soveltaminen epälineaariseen systeemiin voi onnistua hyvin lähinnä vain silloin un epälineaarisuus on pientä ja virhejaaumat muistuttavat normaalijaaumaa. Kappaleessa äsitellään erilaisia tapoja hyödyntää Kalmanin suodatinta epälineaariseen tapauseen. Tämän jäleen appaleessa äsitellään toisen asteen laajennettua Kalmanin suodatinta taremmin ja esitetään arvioita tilanteista, jolloin yseistä suodatinta tulisi äyttää mieluummin uin laajennettua Kalmanin suodatinta Kalmanin suodattimen erilaisia laajennusia LKF Eräs tapa hyödyntää Kalmanin suodattimen algoritmia epälineaariseen tapauseen on linearisoitu Kalmanin suodatin (LKF, Linearized Kalman Filter). Ideana linearisoidussa Kalmanin suodattimessa on, että tiedetään suunnilleen tilan ulema reitti. Silloin riittää, että lasetaan poieama tältä reitiltä. Lasemisessa äytetään hyväsi tilansiirtofuntion ja mittausfuntion linearisointeja reittipisteissä [Grewal&Andrews 1993, s.169]. Tämä toimii tietenin vain niissä tapausissa, joissa tilan reitti on suunnilleen tiedossa. Useinaan näin ei ole, varsinin henilön paian-

30 LUKU 2. SUODATUS 29 nusessa. Tässä työssä emme äsittele linearisoitua Kalmanin suodatinta tämän enempää. EKF Laajennettu Kalmanin suodatin (EKF, Extended Kalman Filter) toimii hyvin samalla tavalla uin linearisoitu Kalmanin suodatin, mutta ei tarvitse etuäteen tietoa reitistä. EKF on yleisesti äytetty työalu epälineaarisille systeemeille. EKF:ssa priori-tilat lasetaan tilansiirtofuntioilla ja mittausien ennusteet lasetaan puolestaan mittausfuntioilla. Kovarianssimatriisien ja Kalmanin vahvistusten lasemiseen äytetään tilansiirtofuntioiden derivaattamatriiseja lasettuna posteriori-tilojen odotusarvojen ohdalla ja mittausfuntioiden derivaattamatriiseja lasettuna priori-tilojen odotusarvojen ohdalla. Laajennetun Kalmanin suodattimen algoritmi löytyy liitteestä B. EKF:ta pidetään perustyöaluna epälineaarisessa suodatusessa, johon yleensä verrataan uusia menetelmiä. EKF on erioistapaus toisen asteen laajennetusta Kalmanin suodattimesta, jota äsitellään appaleessa Laajennettu Kalmanin suodatin ei ota huomioon linearisointivirhettä. Tämän vuosi suodatin usein aliarvioi virhettä eiä tällöin ole onsistentti [Jazwinsi 1970, s.357]. Laajennetulle Kalmanin suodattimelle on todistettu suppeneminen (tila estimaatin suppeminen ohti oieata tilaa) vain erioistapausissa, joissa oletetaan systeemiltä niin pienet virheet, ettei niitä äytännön sovellusissa saavuteta [Reif et al. 1999]. Suppenemistuloset paranevat, miäli ovarianssimatriisit voidaan virittää (asvattaa) sopivisi. Tällöin suppenemisnopeus hidastuu eiä yseessä ole enää puhdas EKF. Käyttöelpoisia suppenemistulosia on lähinnä vain dynaamisille systeemeille, joiden tilamalli oletetaan virheettömäsi [Ljung 1979] [Boutayeb et al. 1995] [Boutayeb et al. 1997]. EKF2 Laajennettua Kalmanin suodatinta voidaan parantaa ottamalla tilansiirto- ja mittausfuntioista muaan oreamman ertaluoan derivaattoja. Toisen asteen laajennetussa Kalmanin suodattimessa (EKF2, Second Order Extended Kalman Filter, appale 2.3.2) [Bar-Shalom et al. 2001, s.384] on otettu huomioon toisen ertaluvun termit. Tämän on havaittu parantavan suodattimen toimintaa epälineaarisissa tapausissa, joissa epälineaarisuus on huomattava [Jazwinsi 1970, s.351] [Athans et al. 1968] [Sorenson&Stubberud 1968]. Sivulla 34 esitellään työalu, jona avulla voi arvioida, ono epälineaarisuus huomattava. Toisen asteen laajennettua Kalmanin suodatinta on utsuttu myös muunnetusi Gaussisesi toisen asteen suodattimesi (Modified Gaussian Second Order Filter) [Maybec 1982, s.226] [Jazwinsi 1970, s.346]. Gaussinen on nimessä sen taia, että suodatin toimii hyvin jos jaaumat oletetaan lähes Gaussisesi (normaaleisi) [Maybec 1982, s.216].

31 LUKU 2. SUODATUS 30 EKF2 on usein niin vaiea tai mahdoton toteuttaa, ettei oreamman asteen termejä edes harita huomioon otetuisi analyyttisesti. Myös toisen asteen termien vaiutusta voidaan arvioida approsimatiivisesti ja äyttää hyvänä arviona suodattimen virittämiseen, tai huomioida vain epälineaarisuuden aiheuttama poieaman [Maybec 1982, s.225]. EKF2:n algoritmi on esitetty tiiviissä muodossa liitteessä B. IEKF Toinen tapa parantaa EKF:ää on linearisoida funtiot uudestaan posteritilan odotusarvon ohdalla ja lasea priori-tilan päivitys uudestaan ja toistaa tätä unnes posteriori-tila ei juuriaan muutu. Tälläistä suodatinta utsutaan iteroidusi laajennetusi Kalmanin suodattimesi (IEKF, Iterated Extended Kalman Filter) [Jazwinsi 1970, s.279]. Tämän on myös havaittu parantavan suodattimen toimintaa enemmän uin toisen asteen laajennetun Kalmanin suodattimen, varsinin tapausissa joissa systeemi on täydellisesti tarailtavissa hyvin lyhyellä aiavälillä (esim: n t = 1 määritelmässä 2.14) [Lefebvre et al. 2004] [Jazwinsi 1970, s.351] [Wishner et al. 1969]. Eräs ongelmaohta IEKF:ssä on meritysellisen tulinnan antaminen tilan ovarianssimatriisille iteroinnin jäleen [Moraal&Grizzle 1995]. Lisäsi silloin un dynaaminen systeemi on tarailtavissa hyvin lyhyellä aiavälillä, mittausia on samalla hetellä usein niin paljon, että niistä voidaan rataista tila esimerisi Gauss-Newtonin algoritmillä tai josus jopa suljetun muodon rataisijalla. Näitä äsitellään lisää appaleessa 3.3. Tällöin voidaan suodattaa tilarataisua tavallisella Kalmanin suodattimella. Enemmän tästä tavasta seuraavassa ohdassa. Muun muassa näiden seiojen vuosi tässä työssä ei äsitellä IEKF:ää enempää. Kasivaiheiset algoritmit Eräs tapa epälineaarisuuden aiheuttaman ongelman rataisemiseen miäli mittausia on riittävästi, on äyttää asivaiheista algoritmia. Algoritmin ensimmäisessä vaiheessa rataistaan mittausista tila tai osa tilasta joo iteratiivisilla menetelmillä tai suljetussa muodossa. Tämän jäleen suodatetaan rataisua tavallisella Kalmanin suodattimella. Tämän algoritmin heioutena on tilarataisun virheen arviointi, joa on usein hyvin vaiea tehdä tarasti. Tälläistä asivaiheista algoritmia, tilan rataisemista ja suodattamista, on testattu GPS-paiannusessa [Chaffee&Abel 1992] (GPS-paiannusta on äsitelty luvussa 3). Tulosena on ysinertainen ja nopea algoritmi, seä paremmat suppenemistuloset verrattuna EKF:een. Taremmin sanoen, jos EKF äytti samaa virhemallia uin asivaiheinen algoritmi niin EKF harhautui helposti reitiltä (ei pysynyt onsistenttina). Kun virhettä lisättiin niin ettei hairahtumista tapahtunut tuotti EKF tällöin luonnollisesti epävarmempia tulosia uin asivaiheinen algoritmi. Tutimusessa todettiin

32 LUKU 2. SUODATUS 31 myös, että tasanmäärätyssä systeemissä (neljän satelliitin pseudoetäisyysmittauset samalla ajanhetellä) ei ole tilastollisesti meritystä suodattaao aluperäistä mittausdataa vai mittausdatan bijetiivistä muunnosta paia-avaruuteen. Tosin yleensä, miäli aluperäinen mittausdata on normaalisti jaautunut, näistä lasettu paia ei useinaan ole normaalisti jaautunut eiä lasettu paiarealisaatio välttämättä edusta paian ehdollista odotusarvoa (ehdolla mittauset). Ylimäärätysi systeemisi utsumme sellaista systeemiä, jossa mittausia on samalla ajanhetellä enemmän uin mitä vaaditaan ysiäsitteisen paian rataisemiseen virheettömistä mittausista. Ma [Ma 2003] testasi edellä mainittua asivaiheista algoritmiä GPS/tuiasema-paiannuseen ja havaitsi, että pelä EKF tuotti parempia tulosia uin asivaiheinen algoritmi varsinin ylimäärätyssä systeemissä. Tosin Ma ei ommentoinut hairahtumisilmiötä, joa on EKF:n heioutena tasan- ja alimäärätyissä systeemeissä. Tässä työssä on esitytty lähinnä tasan- ja alimäärättyihin systeemeihin, osa yleisesti ottaen ylimäärätyssä systeemissä paian estimaattorin taruus saadaan riittäväsi molemmilla edellä mainituilla tavoilla. LRKF (Toisen asteen) laajennetussa Kalmanin suodattimessa täytyy rataista derivaattoja analyyttisesti, miä on usein työlästä tai peräti mahdotonta. On ehitelty erilaisia suodattimia, joissa äytetään muutamia deterministisesti valittuja tilapisteitä erilaisilla painoilla siten, että pisteistä lasettu odotusarvo ja ovarianssimatriisi approsimoivat tilan vastaavia suureita. Näin suodattimet arvioivat linearisointia ja sen virhettä numeerisesti. Lefebvre utsuu näitä suodattimia lineaarisen regression Kalmanin suodatimisi (LRKF, Linear Regression Kalman Filter) [Lefebvre et al. 2004]. Tälläisisi suodattimisi, joissa on eri tavalla valittu yseiset pisteet, Lefebvre mainitsee esimerisi: esierotussuodatin (CDF, Central Difference Filter) [Schei 1997], ensimmäisen asteen jaettu erotussuodatin (DD1, First Order Divided Difference Filter) [Nørgaard et al. 2000] ja hajuttoman Kalmanin suodattimen (UKF, Unscented Kalman Filter) [Julier et al. 2000]. Julier tosin toteaa, että Lefebvren UKF:n luoittelu itsensä määrittämäsi lineaarisen regression Kalmanin suodattimesi ei ole onnistunut, osa UKF:llä pystyy pisteitä lisäämällä äsittelemään oreampiain uin toisen asteen tilastollisia momentteja ja se on näin ollen parempi uin LRKF [Lefebvre et al. 2002] [Julier&Uhlmann 2002] [Julier&Uhlmann 2004]. Ilmavirran diplomityössä [Ilmavirta 2002] vertailtiin seuraavia suodattimia lentävien ohteiden seurannassa: EKF, EKF2, IEKF ja UKF. Tutimusessa mittauset tulivat ahdesta liiumattomasta tutasta. Työssä todettiin, että joissain tapausissa UKF tuotti parempia tulosia uin EKF2 ja päinvastoin. Kaien aiiaan suuria eroja epävarmuudessa, onsistenttiudessa tai lasenta-ajassa ei EKF2:n ja UKF:n välillä ollut. Kuten olettaa sopii, EKF ei toiminut yhtä luotettavasti uin edelliset. IEKF tuotti aiein huonoimpia tulosia, joa ei ole ristiriidassa aiaisemman IEKF ohdan anssa, osa ahden liiumattoman tutan tapausessa, silloin un suodatettavana

33 LUKU 2. SUODATUS 32 tilana on paia, nopeus ja mahdollisesti iihtyvyys, systeemi ei ole täydellisesti tarailtavissa hyvin lyhyellä aiavälillä. Työssä havaittiin, että IEKF on hyvä valinta ainoastaan paiallaan olevien ohteiden seurannassa. Tämän työn sovellusessa paiannusessa osoittautuu (luu 4), että derivaatat voidaan lasea analyyttisesti. Tämän taia tässä työssä ei äytetä LRKF-suodattimia. Voi olla, että varsinin hajuton Kalmanin suodatin, missä pisteitä on lisätty niin, että se huomioi oreampiain uin toisen asteen tilastollisia momentteja, toimisi paremmin uin EKF2. Tosin tällöin sitä ei enää voisi pitää Kalmanin suodattimena, osa Kalmanin suodatin pitää irjaa vain tilan ahdesta ensimmäisestä tilastollisesta momentista, odotusarvosta ja ovarianssimatriisista. Erilaiset tavat approsimoida jaaumia taremmin uin ahdella ensimmäisellä tilastollisella momentilla jätetään tämän työn ulopuolelle jatotutimusaiheisi. Näitä ovat edellisen lisäsi esimerisi ruuduomenetelmät (Grid-based Methods) ja partielisuodattimet (PF, Particle Filter) [Arulampalam et al. 2002] [Ristic et al. 2004] Toisen asteen laajennettu Kalmanin suodatin Toisen asteen laajennettu Kalmanin suodatin (EKF2) rataisee epätarasti dynaamisen systeemin x +1 = f (x ) + w, y = h (x ) + v, E(x 0 ) = x 0, V(x 0 ) = P 0, E(w ) = E(v ) = 0, V(w ) = Q ja V(v ) = R. (2.66) Virheillä {w }, {v +1 } ja alutilalla on samat riippumattomuus- ja valoisuusoletuset uin yleisessä ongelman asettelussa (appale 2.1). Tässä esitetään EKF2, joa on esitetty irjassa [Bar-Shalom et al. 2001, s.385]. Identtinen suodatin EKF2:sen anssa on muunnettu Gaussinen toisen asteen suodatin (Modified Gaussian Second Order Filter), joa on esitetty irjoissa [Maybec 1982, s.226] ja [Jazwinsi 1970, s.346]. EKF on EKF2:sen erioistapaus, joa saadaan un Hessen matriisit oletetaan nollamatriiseisi. Tosin EKF:ssä voidaan suorittaa tilansiirtofuntion linearisointi posterioritilan odotusarvon sijasta myös priori-tilan odotusarvossa, jolloin EKF:n algoritmi eroaa hieman alla esitetystä. Tälläinen EKF on esitetty muun muassa irjassa [Grewal&Andrews 1993, s.170]. EKF2:n idea on approsimoida dynaamisen systeemin (2.66) tilansiirto- ja mittausfuntioita toisen ertaluvun approsimaatiolla [Perttula 1999a, s.54] ja hylätä oreampien ertaluoien termit. Tällöin dynaaminen systeemi tulee muotoon nx x +1 f (ˆx ) + Φ [x ˆx ] i=1 e i[x ˆx ] T Φ e i [x ˆx ] + w y h (ˆx ) + H [x ˆx ] + 1 ny 2 i=1 e i[x ˆx ]T H e i [x ˆx ] + v E(x 0 ) = x 0, V(x 0 ) = P 0, E(w ) = E(v ) = 0, V(w ) = Q ja V(v ) = R, (2.67)

34 LUKU 2. SUODATUS 33 missä n x on tilan dimensio, n y on sen hetisten mittausien dimensio, e i on arteesisen oordinaatiston i. antavetori. Tilansiirtomatriisit ja mittausmatriisit on orvattu derivaattamatriiseilla Φ = f (x ), (2.68) x x =ˆx H = h (x ), (2.69) x x =ˆx tilansiirtomatriisit on lasettu posteriori-tilojen odotusarvoissa (2.75) ja mittausmatriisit on lasettu priori-tilojen odotusarvoissa ˆx +1 = f (ˆx ) n x i=1 e i tr(φ e i ˆP ), (2.70) jota on saatu ottamalla ehdollinen odotusarvo, ehdolla y 1: = y 1:, tilan x +1 approsimaatiosta. Systeemissä (2.67) toisen ertaluvun termeissä esiintyvät Hessen matriisit lasetaan seuraavalla tavalla. Tilansiirtofuntion f l.:n omponentin Hessen matriisi on ( ) Φ e l = 2 (f (x )) l (2.71) x j x i x =ˆx ja mittausfuntion h l.:n omponentin Hessen matriisi puolestaan on ( ) H e l = 2 (h (x )) l. (2.72) x j x i Priori-tilan ovarianssimatriisi lasetaan aavalla ˆP +1 = V(x +1 ˆx +1 ) = Φ ˆP Φ T + Q n x n x i=1 j=1 x =ˆx e i e T j tr(φ e i ˆP Φ e j ˆP ). (2.73) Mittausen ennuste (priori-mittaus) lasetaan vastaavasti uin priori-tilan odotusarvo ŷ +1 = h +1(ˆx +1 ) n y i=1 e i tr(h e i ˆP ). (2.74) Priori-tilan odotusarvon ja ovarianssimatriisin päivitys posteriori-tilan odotusarvosi ja ovarianssimatriisisi tapahtuu lähes samoilla aavoilla uin Kalmanin suodattimessa (2.21), joten ˆx +1 = ˆx +1 + K +1(y +1 ŷ +1 ) (2.75) ja joissa K +1 = ˆP +1 HT +1 [ ˆP +1 = (I K +1 H +1 )ˆP +1, (2.76) H +1 ˆP +1 H +1 + R n y n y i=1 j=1 e i e T j tr(h e i +1 ˆP +1 He j +1 ˆP +1 ) ] 1. EKF:n ja EKF2:n algoritmit on esitetty tiiviissä muodossa liitteessä B. (2.77)

35 LUKU 2. SUODATUS 34 Toisen asteen laajennetun Kalmanin suodattimen äyttö epälineaarisessa systeemissä Eräs täreä ysymys EKF2:n äytöstä epälineaarisessa systeemissä on milloin suodatinta tulee äyttää verrattuna EKF:een. Niin uin aiaisemmin todettiin, suodatin EKF2 tuo parannusta EKF:een verrattuna, miäli systeemissä on huomattavaa epälineaarisuutta. Eräs tapa arvioida milloin epälineaarisuus on huomattava, on verrata aavoissa (2.77) ja (2.73) olevia orjaustermejä ohinoiden ovarianssimatriiseihin. Mittausissa on huomattavaa epälineaarisuutta miäli n y n y i=1 j=1 e i e T j tr(h e i ˆP He j ˆP ) R. (2.78) Määritelmä on esitetty Jazwinsin irjassa salaaritapauselle [Jazwinsi 1970, s.349]. Merintä A B taroittaa, että symmetristen matriisien tapausessa A on suurempi tai samaa suuruusluoaa uin B. Vastaavasti tilamallissa on huomattavaa epälineaarisuutta miäli n x n x i=1 j=1 e i e T j tr(φ e i ˆP Φ e j ˆP ) Q. (2.79) Näillä aavoilla voi arvioida milloin tulisi äyttää EKF2:ta tai muuta vastaavaa suodatinta, joa ompensoi linearisointivirhettä. Kuten on todettu, EKF2 ei sovellu aiiin epälineaarisiin systeemeihin. EKF2:ta tulisi äyttää hyvin varausellisesti miäli tiedossa on, että jaaumat eivät ole normaaleja. EKF2:n ideana on arvioida epälineaarisia funtioita toisen ertaluvun approsimaatiolla ja tämä onnistuu vain, miäli funtiot ovat ahdesti jatuvasti osittaisderivoituvia ympäristössä, jossa arviota äytetään [Perttula 1999a, s.54]. Toisin sanoen, miäli priori-tilan alueella funtiot eivät ole ahdesti jatuvasti osittaisderivoituvia, niin EKF2:n aluoletuset eivät pidä paiaansa. Tällöin EKF2:n äyttö pitäisi yseenalaistaa. Paiannussovellusessa (luu 3) tuiaseman etäisyysmittaus-funtiot eivät ole derivoituvia tuiasemien ohdalla. Tämä havaitaan esimerisi apulauseen 4.2 avulla. Tällöin EKF:n ja EKF2:n äyttö on hieman yseenalaista, osa priori-tila on mallin muaan oo avaruuteen jaautunut. Tämän ongelman usein ierretään sillä, että priori-tilana äytetään ataistua priori-tilaa. Kataistun priori-tilan tiheysfuntio on verrannollinen priori-tilan tiheysfuntioon jollain tietyllä alueella ja muualla se on nolla. Tietty alue valitaan siten, että sen sisällä on priori-tilan todennäöisyysmassasta join osuus, esimerisi 95%. Tämäään ei rataise ongelmaa, miäli priori-tilan odotusarvo on liian lähellä tuiasemaa. Vastaavanlaisia ongelmia on myös satelliittimittausten anssa.

36 Luu 3 GPS- ja tuiasemapaiannus Tässä luvussa esitytään GPS- ja tuiasemapaiannuseen. Ensimmäisessä appaleessa äsitellään GPS-paiannusta ensin yleisellä tasolla ja sen jäleen paneudutaan GPS-mittausyhtälöihin (appale 3.1.1) ja GPS-mittausien virhearvioihin (appale 3.1.2). Näiden jäleen siirrytään tuiasemapaiannuseen, jota äsitellään appaleessa 3.2. Luvun lopusi esitetään tapa, jolla hybridipaiannusongelmat voidaan rataista yhden ajanheten mittausien perusteella (appale 3.3). 3.1 GPS GPS (Global Positioning System) on maailmanlaajuinen satelliittipaiannusjärjestelmä, jona avulla vastaanotin voi määrittää oman paiansa, nopeutensa ja taran ajan. Järjestelmä on Yhdysvaltain puolustusministeriön (DoD, Department of Defence) ehittämä, ja alun perin sotilasäyttöön taroitettu. Järjestelmä jaautuu olmeen osaan: satelliitteihin, ontrolliveroon ja äyttäjiin. Satelliitteja on vähintään 24, jota iertävät maapalloa yli m oreudessa noin m vauhdilla. s Satelliiteista on joa heti näyvissä 6 12, miäli taloja tai muita vastaavia näöesteitä ei ole. Kontrollivero oostuu viidestä maa-asemasta, veron ylläpito ja johto tapahtuu Colorado Springissä. Kontrolliveron taroitusena on tarailla satelliittien 35

37 LUKU 3. GPS- JA TUKIASEMAPAIKANNUS 36 tilaa, määrittää niiden rataelementit ja ellovirheet, seä päivittää satelliittien lähettämiä tietoja. [Poutanen 1998] Perehdytään hiuan perusteisiin siitä uina GPS-paiannus toimii. GPS-satelliitit lähettävät ahta eri antoaallon taajuutta, L1 = 1 575,42 MHz ja L2 = 1 227,60 MHz. Kantoaaltoihin on moduloitu asi pseudosatunnaista jonoa. P-oodin taajuus on 10,23 MHz ja se on moduloitu seä L1- että L2-taajuuteen. C/A-oodin taajuus on 1,23 MHz ja se on moduloitu vain L1-taajuuteen. C/A-oodin tuottava algoritmi on julinen ja näin ollen sen siviiliäyttö on mahdollinen. P-oodin tuottava algoritmi ei ole julinen. Kyseisiä oodeja äytetään erottamaan satelliitit toisistaan, lisäsi oodin vaiheen avulla saadaan selville lähetysaia. Lähetysajan perusteella voidaan vastaanottimen ellon avulla lasea signaalin uluaia. Kosa signaalit ulevat valonnopeudella, voidaan uluajan avulla rataista etäisyys satelliittiin. Tätä etäisyyttä utsutaan pseudoetäisyydesi (pseudorange), osa vastaanottimen ellossa on aina jonin verran virhettä. Näiden oodien lisäsi antoaaltoihin on moduloitu navigointiviesti 50,00 MHz taajuudella. Navigointiviestin oonaispituus on 12,5 minuuttia ja se sisältää muun muassa GPS-viion numeron, erilaisia orjaustermejä, tiedon satelliitin terveydentilasta, satelliitin ratatiedot (broadcast ephemeris) ja muista satelliiteista epätarempia ratatietoja niin sanottuja almanaatietoja (almanac message). Navigointiviestin avulla vastaanotin pääsee iinni edellä mainittujen oodien vaiheeseen, pystyy lasemaan satelliitin taran paian signaalin lähtöhetellä ja orjaamaan pseudoetäisyysmittausesta osan virheistä pois. Jos tiedetään vähintään neljän satelliitin paiat ja etäisyydet niistä vastaanottimeen, voidaan vastaanottimen paia ja aia rataista. Näin GPS-paiannus lyhyäisyydessä toimii. Luonnollisesti tässä paia- ja aiarataisussa on virhettä, osa pseudoetäisyysmittausissa on virhettä. Tässä työssä ei paneuduta GPS-järjestelmään uin siltä osalta, joa vaaditaan suodattimen onnistuneeseen suunnitteluun. GPS-järjestelmää on paljon tutittu ja siitä on irjoitettu monia irjoja. Esimerisi seuraavissa irjoissa on äsitelty GPS-järjestelmää: [Kaplan 1996], [Parinson&Spiler 1996], [Farrell&Barth 1999] ja suomenielisessä irjassa [Poutanen 1998] GPS-mittausyhtälöt Pseudoetäisyys ρ s i i. satelliittiin voidaan lasea [Parinson&Spiler 1996, s.410] ρ s i = r s i r u + b + ɛ ρ s i, (3.1) missä r s i on i. satelliitin paiavetori (tunnettu, s viittaa satelliittiin), r u on vastaanottimen (äyttäjän, user) paiavetori (tuntematon), b on vastaanottimen ellopoieama metreissä GPS ajasta (cloc bias, tuntematon) ja ɛ ρ s i on virhetermi, jota äsitellään taremmin appaleessa

38 LUKU 3. GPS- JA TUKIASEMAPAIKANNUS 37 GPS-vastaanottimet pystyvät usein seuraamaan pseudoetäisyyden muutosta sata, jopa tuhat ertaa taremmin uin pseudoetäisyyttä. Tämä onnistuu seuraamalla oodivaiheen lisäsi myös antoallon vaihetta tai taajuutta [Kaplan 1996, s.190]. Tätä pseudoetäisyyden muutosmittausta (pseudoetäisyyden derivaattaa) utsutaan eri nimillä riippuen irjoittajasta ja tavasta, jolla muutos on lasettu. Monesti puhutaan vain pseudoetäisyyden erotusmittausesta (delta pseudorange) [Kaplan 1996, s.190]. Usein, jos verrataan mitattua taajuutta antoaallon taajuuteen, puhutaan Doppler-mittausesta joa voidaan muuttaa pseudoetäisyyden derivaatasi [Parinson&Spiler 1996, s.411]. Näin ollen yseiset mittauset voidaan matemaattisesti ilmaista samalla tavalla ja ero ilmenee vain mittausvirheessä. Seuraavassa aavassa on esitetty i. satelliitin pseudoetäisyysmittausen derivaatta ρ s i = (rs i r u ) T r s i r u (vs i v u ) + ḃ + ɛ ρ s i, (3.2) missä vi s on i. satelliitin nopeus (tunnettu, voidaan lasea navigointiviestin avulla), v u on vastaanottimen nopeus (tuntematon), ḃ on vastaanottimen ellopoieaman aiaderivaatta (cloc drift, tuntematon) ja ɛ ρ s i on virhetermi, jota äsitellään taremmin appaleessa GPS-mittausien virhearviot Pseudoetäisyysmittausissa esiintyy virhettä ɛ ρ s i vielä orjausien jäleenin. Virhe johtuu lähinnä satelliiteista, signaalin ulusta ja vastaanottimesta. Suurimpia virhelähteitä ovat: satelliitteissa rata- ja ellovirheet, signaalin ulussa troposfäärirefratio, ionosfäärirefratio ja monitieheijastuset, ja vastaanottimessa ellovirhe. Koonaisvirheen jaauma on lähellä normaalijaaumaa. Tämän vuosi virhe usein oletetaan nollaesisesti normaalijaautuneesi varianssilla σρ 2 ja riippumattomasi muiden s i pseudoetäisyysmittausien virheistä. Tauluoon 3.1 on oottu arviot eri virheistä ja arvio vastaanottimen oonaisetäisyysvirheestä (UERE, User Equivalent Range Error). Tauluo perustuu lähteisiin [Parinson&Spiler 1996, s.481] ja [Kaplan 1996, s.262]. Virheeseen ei ole otettu huomioon rajoitettua saatavuutta (SA, Selective Availability), jona avulla DoD voi lisätä signaaliin virhettä siten, että vain sotilasäyttöön taroitetut vastaanottimet osaavat poistaa sen. SA, joa oli noin 30 metriä, ytettiin pois äytöstä vuonna 2000 [Clinton 2000]. Kuten edellä todettiin, satelliitteja on jatuvasti näyvissä 6 12, miäli taloja tai muita vastaavia näöesteitä ei ole. Paiannus vaatii lähes aina näöyhteyden satelliitteihin. Satelliitteja, jota jäävät esimerisi talon taase ei voida äyttää paiannusessa. Esimerisi Toiossa on testattu satelliittien näyvyyttä aupunialueella. Luonnollisesti satelliittien näyvyyttä testattiin vain raennusten ulopuolella. Tulosena oli, että alle olme satelliittia oli näyvissä lähes 30% ajasta ja olme satelliittia oli näyvissä noin 10% ajasta [Suh et al. 2003]. Kaupungeissa on siis atvealueita, joilla ei voi paiantaa pelällä GPS:llä ilman lisätietoja. Luonnollisesti atvealueet riippuvat ajanhetestä, osa satelliitit liiuvat. Lisäsi on mahdollista, että

39 LUKU 3. GPS- JA TUKIASEMAPAIKANNUS 38 Tauluo 3.1: Arvioitu oonaisetäisyysvirhe Virhelähde 1σ virhe (m) Satelliitin ratavirhe 2,1 4,2 Satelliitin ellovirhe 2,1 3,0 Ionosfääri 4,0 5,0 Troposfääri 0,7 1,5 Monitieheijastus 1,4 2,5 Vastaanotin 0,5 1,5 UERE 5,3 8,1 signaali heijastuu esimerisi seinästä. Miäli heijastunut signaali on voimaaampi uin suoraan tuleva, jona ulun esimerisi talo on voinut estää, niin puhutaan monitieheijastusesta. Monitieheijastus saattaa aiheuttaa suuriain virheitä pseudoetäisyysmittausiin. Tässä työssä ei esitytä monitieheijastusen aiheuttamiin ongelmiin. Tosin tauluossa 3.1 on otettu huomioon monitieheijastus, joa tapahtuu hyvin lähellä vastaanotinta. Niin uin aiaisemmin todettiin, pseudoetäisyysmittausen derivaattavirheen (ɛ ρ s i ) sigma voi olla jopa tuhannes osa pseudoetäisyysmittaus virheen sigmasta. Tämän työn simulaatioissa äytämme pseudoetäisyysmittausen derivaattavirheen sigmana 0,1 m s. 3.2 Tuiasemapaiannus Tuiasemapaiannusessa on mahdollista hyödyntää monenlaisia mittausia. Usein äytettyjä mittausia ovat saapumisaia (TOA, Time of Arrival), uluaia (RTD, Round Trip Delay), vastaanotetun signaalin voimauus (RSS, Received Signal Strength), saapumisaiaerotus (TDOA, Time Difference of Arrival), saapumisulma (AOA, Angle of Arrival) ja solutunniste (Cell-ID, Cell Identity) [Drane et al. 1998] [Spirito et al. 2001] [Syrjärinne 2001] [Vossie et al. 2003]. TOA-mittaus vaatii onnistuaseen täysin synronissa olevan veron ja päätelaitteet. US CDMA-vero (United States Code Division Multiple Access) on synronissa, mutta GSM-vero (Global System for Mobile Communications) ja 3G-vero (Third Generation) eivät ole synronissa. RTD-mittaus puolestaan on mahdollista, vaia vero ei olisiaan synronissa. GSM-verossa RTD-mittausta utsutaan TAmittausesi (Timing Advance) ja 3G-verossa RTT-mittausesi (Round Trip Time). TA-mittaus on vantittunut resoluutiolla 550 metriä ja RTT-mittaus on vantittunut resoluutiolla 80 metriä. Mittausvirheiden sigmat ovat resoluutioiden suuruusluoaa. TOA-, RTD- ja RSS-mittauset ovat matemaattisesti samoja, erotusena vain virheen suuruus [Syrjärinne 2001]. Näiden mittausien mittausfuntio on ρ t i = r t i r u + ɛ ρ t i, (3.3)

40 LUKU 3. GPS- JA TUKIASEMAPAIKANNUS 39 missä ρ t i on etäisyys i. tuiasemaan, r t i on i. tuiaseman paiavetori ja ɛ ρ t i on tuiaseman etäisyysmittausen virhe. Etäisyysmittausen virheen jaauma riippuu siitä millä tavalla etäisyysmittaus on mitattu. Yleensä virheen odotusarvo oletetaan nollasi. Samoin uin GPS:n pseudoetäisyysmittausissa, tuiasemaetäisyysmittausissa voi esiintyä monitieheijastusta. Tämän lisäsi etäisyysmittausiin tulee virhettä myös signaalin epäsuorasta etenemisestä (NLOS, Non-Line of Sight). Nämä aiheuttavat myös virhettä AOA ja TDOA mittausiin [Caffery&Stüber 1998]. Tämän virheen tunnistaminen ja orjaaminen on vielä hyvin atiivisen tutimusen alla. Muutamia tutittuja tapoja on, että NLOS-virhe lisätään tilavetoriin [Nájar&Vidal 2003] tai hypoteesin testausen avulla tunnistetaan missä mittausissa on huomattava virhetermi ja otetaan se lasuissa huomioon [Le et al. 2003]. Tässä työssä ei äsitellä 2000 monitieheijastusen ja epäsuoran etenemisen aiheuttamaa virhettä tämän enempää tuiaseman masimiuuluvuus tuiasema setorirajat 500 etäisyysmittaus sigma +sigma Kuva 3.1: Solutunnisteeseen ja etäisyysmittauseen perustuvan paiannusen periaate Kuvasta 3.1 äy ilmi solutunnisteeseen ja etäisyysmittauseen perustuvan paiannusen periaate. Solutunniste ertoo, minä tuiaseman uuluvuusalueella äyttäjä on. Solutunniste identifioi myös setorin, jossa äyttäjä on. Kuvaan on piirretty myös etäisyysmittausta vastaava ympyrä ja äyttäjän setorin sisälle on piirretty atoviivalla ympyröiden aaret, jota vastaavat etäisyysmittausta vähennettynä ja lisättynä mittausvirheen sigmalla. Solutunnisteen avulla voidaan myös mahdollisesti määrittää solun esimääräinen oreus, jota voidaan äyttää apuna olmiulotteisen paian määrittämisessä. GSM-verossa uuluvuus voi olla jopa 35 m tai vieläin suurempi laajennetuilla soluilla (extended cells) [Syrjärinne 2001, s.32]. Kuitenin aupungissa päästään paiannusessa pelän solutunnisteen avulla alle 800 metrin taruuteen, jolloin usein ollaan alle 500 metrin etäisyydellä tuiasemasta ja esiaupunialueellain alle metrin taruuteen [Spirito et al. 2001]. Saapumisulmamittaus on matemaattisesti samanlainen uin setoritieto, paitsi huomattavasti tarempi. Saapumis-

41 LUKU 3. GPS- JA TUKIASEMAPAIKANNUS 40 aiaerotusmittaus vastaa matemaattisesti ahden saapumisaiamittausen erotusta, joa matemaattisesti on sama uin ahden satelliittien pseudoetäisyysmittausien erotus, jota on äsitelty appaleessa Hybridipaiannus Hybridipaiannusessa pyritään rataisemaan äyttäjän paia äytettävissä olevien mittausien perusteella. Hybridi-sanalla orostetaan sitä, että mittausyhtälöt ovat erilaisia. Toi esitettyä tapaa voidaan soveltaa tilanteisiin, joissa mittausyhtälöt ovat aii samanlaisia, esimerisi peliä GPS-satelliittien pseudoetäisyysmittausia. Tässä työssä tarastellaan hybridipaiannusta, joissa mittausina äytetään GPSsatelliittien pseudoetäisyysmittausia (3.1) ja tuiasemien etäisyysmittausia (3.3). Kootaan mittauset vetoriin y = [ρ s 1,..., ρ s n s, ρ t 1,..., ρ t n t ] T, (3.4) missä ρ s i on pseudoetäisyysmittaus i. satelliittiin, eri satelliittien pseudoetäisyysmittausia on n s appaletta, ρ t i on etäisyysmittaus i. tuiasemaan ja eri tuiasemien etäisyysmittausia on n t appaletta. Miäli oreusmittaus on äytössä, se voidaan ajatella yhdesi tuiasemamittausesi, siten että tuiaseman paia on maapallon esipiste ja etäisyys on oreutta vastaava etäisyys maapallon esipisteestä. Näin myös oreusmittaus voidaan äsitellä samalla oneistolla uin muut mittauset. Kootaan vastaavat mittausfuntiot ilman virhetermejä vetoriarvoiseen mittausfuntioon r s 1 r u + b h(x) =. r s n s r u + b r t 1 r u. r t n t r u, (3.5) missä x = [r u, b] T on tuntematon tilavetori, r u on äyttäjän paiavetori, b on vastaanottimen ellopoieama metreissä GPS-ajasta, r s i on i. satelliitin paiavetori ja r t i on i. tuiaseman paiavetori. Viimeisenä ootaan vastaavat virhetermit vetoriin ɛ = [ɛ ρ s 1,..., ɛ ρ s, ɛ n s ρ t,..., ɛ ρ 1 t n t ] T, (3.6) missä ɛ ρ s i on i. satelliittiin pseudoetäisyysmittausen virhe ja ɛ ρ t i on i. tuiaseman etäisyysmittausen virhe. Nyt voidaan irjottaa mittauset yhden yhtälön avulla, y = h(x) + ɛ. (3.7) Oletetaan että E(ɛ) = 0 ja V(ɛ) = Σ, missä Σ on positiividefiniitti matriisi. Tällöin on olemassa symmetrinen ääntyvä matriisi, jota meritään Σ 1/2 ja jona äänteismatriisia meritään Σ 1/2, siten että Σ 1/2 Σ 1/2 = Σ [Pohjavirta&Ruohonen 2004, s.59].

42 LUKU 3. GPS- JA TUKIASEMAPAIKANNUS 41 Tällöin ovarianssimatriisioperaattorin ominaisuusien [Pohjavirta&Ruohonen 2004, s.43] ja matriisin Σ 1/2 symmetrisyyden nojalla V(Σ 1/2 (y h(x))) = Σ 1/2 V(ɛ)Σ 1/2 = I. (3.8) Oletusen muaan 0 = E(y h(x)) = E(Σ 1/2 (y h(x))). Taroitusena on optimoimalla rataista x, siten että ustannusfuntio L(x) = (y h(x)) T Σ 1 (y h(x))) arvo minimoituu. Kustannusfuntioon on valittu painomatriisisi Σ 1, joa taaa aavan (3.8) muaan sen, että eri mittausien varianssit ovat yhtä suuret. Tällöin optimirataisu sallii epätaroissa tuiasemaetäisyysmittausissa suurempia virheitä uin taremmissa satelliittien pseudoetäisyysmittausissa. Tehtävän voi rataista esimerisi iteratiivisella Gauss-Newtonin algoritmilla [Kaleva 2003b, s.126]. Menetelmää utsutaan myös painotetusi pienimmän neliösumman menetelmäsi (WLS, Weighted Least Squares). Algoritmi tuottaa ysiäsitteisen rataisun, vain jos mittausia on vähintään tilan dimension määrä, tässä tapausessa neljä. Varmoja taeita algoritmin toiminnalla ei ole ja vaia algoritmi onvergoisiin, tämä arvo ei välttämättä olisi globaali minimi. Tämän taia aluarvo iteraatiolle on syytä valita huolella. Algoritmin (linearisoinnin) avulla voidaan lisäsi arvioda saadun rataisun epävarmuutta seuraavasti V(x) = (h (x) T Σ 1 h (x)) 1, (3.9) missä x on saatu rataisu, h (x) on vetorin h(x) derivaatta ja V(ɛ) = Σ. Oletetaan, että yseiset äänteismatriisit ovat olemassa. Yhtälölle (3.7) on ehitetty myös suljetun muodon rataisijoita, joissa oletetaan, että ɛ = 0. Sirola umppaneineen on esittänyt erään tälläisen rataisijan [Sirola et al. 2003]. Luonnollisestiin suljetun muodon rataisun epävarmuutta voidaan arvioida vastaavalla tavalla linearisoimalla uin Gauss-Newtonin algoritmissa. Suljetun muodon rataisijan avulla voidaan myös arvioida montao loaalia minimiä tehtävällä on ja äyttää näitä esimerisi Gauss-Newtonin algoritmin aluarvoina. Ennen tätä suljetun muodon rataisuista voidaan myös valita vain ne, jota täyttävät mahdollisen lisäinformaation, esimerisi setoritiedon.

43 Luu 4 Suodatus paiannusessa Tässä luvussa äsitellään suodatusen soveltamista paiannusessa olmen erilaisen suodattimen avulla, jota edustavat laajasti paiannuseen soveltuvia Kalmanin suodattimen laajennusia, uten appaleessa 2.3 havaittiin. Nämä olme suodatinta ovat laajennettu Kalmanin suodatin (EKF, appale 4.2), toisen asteen laajennettu Kalmanin suodatin (EKF2, appale 4.3) ja paiarataisun Kalmanin suodatin (PKF, appale 4.4). Kaii suodattimet äyttävät samaa tilamallia, joa on esitetty appaleessa 4.1. EKF2:n tapausessa esitytään mittausfuntion epälineaarisuuteen appaleissa ja Kappaleessa vertaillaan esimerin avulla EKF:ta ja EKF2:ta. Luvun lopussa (appale 4.4.1) on sovellettu appaleen menetelmiä arvioidessa PKF:n epävarmuutta. 4.1 Käyttäjän tilamalli Suodatusen tavoite on saada mahdollisimman hyvä estimaattori prosessin tilalle äytettävissä olevien, nyyisten ja vanhojen, mittausien perusteella. Paiannusessa prosessin tila sisältää vähintään äyttäjän paiavetorin. Tässä työssä oordinaatistona äytetään loaalia itä-pohjois-oreus (ENU, East-North-Up) oordinaatistoa, jossa on join referenssipiste (oordinaatiston origo, esimerisi aluehto), jona suhteen oordinaatit on ilmoitettu metreinä itään, pohjoiseen ja ylöspäin. Luonnol- 42

44 LUKU 4. SUODATUS PAIKANNUKSESSA 43 lisesti negatiiviset arvot ovat päinvastaisiin suuntiin. Tässä työssä prosessin tilana on äyttäjän paiavetori ja nopeus [ ] ru x =. (4.1) On useampia syitä misi nopeus on osana tilavetoria. Ensisiin äyttäjä on usein iinnostunut myös nopeudesta. Pohjimmiltaan uitenin on ysymys tilavetorin valinnasta siten, että todellinen malli sopisi hyvin suodatusen oletusiin. Suodatusessa tilamallin perusoletusiin uuluu, että tilamallin virheet muodostavat valoisen prosessin ja edelleen tilat muodostavat Marovin prosessin. Toisin sanoen optimaalinen ennuste seuraavasta tilasta pitää pystyä lasemaan nyyisen tilan pohjalta. Miäli todellisen mallin muaan iihtyvyys muodostaa valoisen prosessin, niin tilamallin vastaava tilavetori oostuu paiasta ja nopeudesta. Tämä vastaa tässä yllä esitettyä tilavetoria (intuition pohjalta iihtyvyyden valoisuusoletus tuntuu oiealta). Tälläistä tilamallia utsutaan vaionopeusmallisi. Lisäsi vaionopeusmallin avulla voidaan helposti äyttää hyödysi satelliittien pseudoetäisyysien derivaattamittauset. Prosessin tilassa voisi olla myös monia muita tuntemattomia, esimerisi ellopoieama, ellopoieaman derivaatta, eri mittauset, mittausien virhevarianssit ja monitieheijastusen aiheuttama virhe. Vaionopeusmalli, jossa muana on myös ellopoieama ja sen derivaatta, on usein esitetty GPS-paiannusen yhteydessä esimerisi irjoissa [Brown 1983] [Parinson&Spiler 1996] [Kaplan 1996] [Farrell&Barth 1999]. Kuitenin halvoille elloille, jota lähinnä tulevat ysymyseen massamarinoille, tara ellomalli (ellopoieaman ja sen derivaatan tilamalli) on vaiea raentaa. Tämän taia prosessin tilaan ei ole otettu ellopoieamaan ja sen derivaattaa muaan. Tällöin tosin GPS-mittauset joudutaan muuttamaan siten, ettei niissäään ole yseisiä suureita. Tämä onnistuu lasemalla mittausien erotusia, niin utsuttuja differenssimittausia. Taremmin tämä on esitetty appaleessa 4.2. Vaionopeusmallia ilman ellopoieamaa ja sen derivaattaa on sovellettu myös hybridipaiannuseen muun muassa artielissa [Ma 2003]. Mallinnetaan tila stoastisesi differentiaaliyhtälösi missä v u dx(t) = F(t)x(t)dt + G(t)dβ(t), (4.2) [ 03 3 I F(t) = ], (4.3) missä alaindesi n m ilmoittaa selvyyden vuosi, että matriisin tyyppi on R n m. Vaionopeusmallissa nopeuden virhe mallinnetaan Brownin liieesi β, joten [ ] 03 3 G(t) =. (4.4) I 3 3

45 LUKU 4. SUODATUS PAIKANNUKSESSA 44 Brownin liieen β diffuusiomatriisi on [ σ 2 Q c = taso I σor 2 ], (4.5) missä σtaso 2 uvaa tilamallin nopeuden virhettä itä-pohjoistasossa. Taremmin sanottuna σtaso 2 uvaa sitä, uina paljon nopeuden virheeseen tulee lisää varianssia yhden seunnin aiana pohjois-etelä ja itä-länsi suunnissa. Vastaavasti σor 2 uvaa sitä, uina paljon nopeuden virheeseen tulee lisää varianssia yhden seunnin aiana oreussuunnassa. Tämä on otettu eriseen sisi, että intuition muaan nopeus vaihtelee hitaammin oreussuunnassa uin itä-pohjoistasossa. Kyseisten parametrien σtaso, 2 σor 2 arvot riippuvat tietenin siitä, miten äyttäjä liiuu, esimerisi ävellen, pyörällä vai autolla. Tätä ongelmaa on pyritty rataisemaan esimerisi erilaisilla adaptiivisilla menetelmillä, joiden taroitusena on innovaation (mittausen ja mittausen ennusteen erotusen) perusteella arvioida tilamallin virheen ovarianssimatriisia [Bar-Shalom et al. 2001, luu 11]. Tässä työssä ei äsitellä adaptiivisia menetelmiä, vaan σtaso 2 ja σor 2 arvoina äytetään vaioarvoja σ2 taso = 2 m2 ja σ 2 s 3 or = 1 m2. s 3 Saman suuntaisia arvoja löytyy variansille σtaso 2 artielissa [Ma 2003]. Simulaatioiden annalta ei ole väliä mitä arvoja äytetään, osa simuloidulla reitillä ja suodatusessa äytetään samoja arvoja. Stoastinen differentiaaliyhtälön (4.2) rataisu voidaan irjoittaa lineaarisesi tilamallisi, jota tullaan äyttämään tämän työn eri suodattimien tilamallina aavan (2.32) avulla: x +1 = Φ x + w, (4.6) missä [ ] [ Φ = e (t +1 t )F I3 3 ti = 3 3 I3 3 I = I I 3 3 ]. (4.7) Merintä t = t +1 t taroittaa aia-aseleen pituutta, joa tässä työssä on vaio 1. Näin ollen Φ on vaiomatriisi. On huomattava, että lauseen 2.12 muaan vaioaselpituutta voidaan äyttää, vaia välissä olisi ajanhetiä, jolloin ei saada mittausia. Tilamallin virhe w on valoista, nollaesistä, normaalijaautunutta ohinaa, joa oletetaan riippumattomasi aluehdosta x 0 ja näin ollen yllä esitetty tilamalli toteuttaa Kalmanin suodattimen oletuset tilamallille. Tilamallin virheen ovarianssimatriisi Q on lasettu yhtälön (2.33) avulla Q = V(w ) = = t+1 t [ t 3 Q 3 c Φ(t +1, t)g(t)q c G(t) T Φ(t +1, t) T dt t 2 2 Q c t 2 2 Q c tq c ] [ 1 = Q 3 c 1 2 Q c 1 2 Q c Q c ], (4.8) missä Q c on annettu yhtälössä (4.5). Viimeinen muoto tulee sijoittamalla t = 1, jota äytetään tässä työssä. Käytännössä äyttäjän tilamalli harvoin on täysin Brownin liiettä. Silloin tyydytään arvioimaan tilamallin virheen ovarianssimatriisia yläanttiin ja äytetään Kalmanin suodatinta BLUE-estimaattorina. Asiaa on äsitelty enemmän appaleessa

46 LUKU 4. SUODATUS PAIKANNUKSESSA Laajennettu Kalmanin suodatin Laajennettu Kalmanin suodatin (EKF) on erioistapaus toisen asteen laajennetusta Kalmanin suodattimesta, jota on äsitelty appaleessa EKF:n algoritmi on annettu tiiviissä muodossa liitteessä B. Sovellettaessa laajennettua Kalmanin suodatinta paiannuseen tarvitaan äyttäjän tilamalli, jota on äsitelty appaleessa 4.1 (aava (4.6)), ja mittausmalli, jota äsitellään seuraavasi. Niinuin edellä on todettu, tilamalli on raennettu siten, etteivät ellopoieama ja sen derivaatta ole tiloina. Tällöin GPS-satelliittien mittausmallit, joita on äsitelty appaleessa 3.1.1, tulee muuttaa siten, ettei niissä esiinny yseisiä suureita. Tämä onnistuu lasemalla niin utsutut differenssimittauset, joissa lasetaan GPSmittausien painotettu summa siten, että painojen summa on nolla. Tällöin ellopoieama häviää mittausista. Painoista vähintään asi tulee olla erisuuria uin nolla. Tämä ei onnistu miäli mittausia on vain yhdestä satelliitista, sillä tällöin differenssimittausia ei voida lasea. Tämän taia tässä työssä ei äytetä hyväsi vain yhdestä satelliittista samalla hetellä tulleita mittausia Pseudoetäisyysmittauset Käsitellään ensin pseudoetäisyysmittausia. Oloon pseudoetäisyysmittausia yhteensä n s appaletta, tässä n s 2 ja meritään pseudoetäisyysmittausia vetorilla ρ s = [ρ s 1,..., ρ s n s ] T. (4.9) Meritään vastaavia mittausfuntioita ilman virhetermejä vetoriarvoisena mittausfuntiona. Mittausfuntion muuttujana pidetään vain äyttäjän paiaa r u, ellopoieamaa b pidetään tuntemattomana vaiona h s ρ(r u ) + b1 = r s 1 r u. r s n s r u + b1, (4.10) missä r s i on i. satelliitin paiavetori. Vetori 1 on aina tilanteeseen sopivan ooinen vetori, jona aii aliot ovat yösiä. Lisäsi meritään yseisten pseudoetäisyysmittausien virheitä vetorilla ɛ s ρ = [ɛ ρ s 1,..., ɛ ρ s ns ] T, (4.11) joa oletetaan nollaesisesi. Näin ollen satelliittien pseudoetäisyysmittauset voidaan irjoittaa seuraavasti ρ s = h s ρ(r u ) + b1 + ɛ s ρ. (4.12) Määritellään vielä matriisi, jona avulla mittauset saadaan uvattua differenssimittausisi.

47 LUKU 4. SUODATUS PAIKANNUKSESSA 46 Määritelmä 4.1 (Differenssiuvaus). Oloon matriisi D sellainen, että sen nollaavaruuteen uuluu vetori 1, toisin sanoen D1 = 0. Tällöin matriisia D utsutaan differenssiuvausmatriisisi. Matriisi D uvaa pseudoetäisyysmittauset (4.9) ja pseudoetäisyysien derivaattamittauset (4.14) differenssimittausisi siten, että ellopoieama b ja ellopoieaman derivaatta ḃ häviävät yhtälöistä. Eräs esimeri tälläisesta matriisista on D 1 = [ I 1 ], missä I R (n s 1) (n s 1) on ysiömatriisi. Pseudoetäisyysmittausien differenssimittauset tällöin ovat y s ρ = Dρ s = Dh s ρ(r u ) + bd1 + Dɛ s ρ = Dh s ρ(r u ) + Dɛ s ρ, (4.13) missä y s ρ taroittaa satelliittien pseudoetäisyysien differenssimittausia ja D taroittaa differenssiuvausmatriisia Pseudoetäisyysien derivaattamittauset Vastaavalla tavalla toimitaan pseudoetäisyysien derivaattamittausien anssa. Nyt meritään pseudoetäisyysien derivaattamittausia vetorilla ρ s = [ ρ s 1,..., ρ s n s ] T. (4.14) Pseudoetäisyysien derivaattamittausien virheitä puolestaan meritään vetorilla ɛ s ρ = [ɛ ρ s 1,..., ɛ ρ s n s ]T. (4.15) Ysiövetoreita äyttäjästä i. satellittiin meritään vetorilla u s i = rs i r u r s i r u, (4.16) Matriisia, johon on oottu ysiövetorit äyttäjästä satelliitteihin u s i:t meritään U s = [u s 1,..., u s n s ] T. (4.17) Matriisia, johon on oottu tunnetut satelliittien nopeudet (v s i) meritään V s = [v s 1,..., v s n s ] T. (4.18) Näin ollen voidaan irjoittaa pseudoetäisyysien derivaattamittauset (yhtälö 3.2) mittausyhtälönä yρ ṡ = D ρ s = D(diag(U s (V s ) T ) U s v u + ḃ1 + ɛs ρ) = D(diag(U s (V s ) T ) U s v u ) + Dɛ s ρ, (4.19) missä y ṡ ρ taroittaa satelliittien pseudoetäisyysien derivaattojen differenssimittausia ja diag on diagonaali operaattori, joa poimii matriisin diagonaalin vetorisi.

48 LUKU 4. SUODATUS PAIKANNUKSESSA Tuiasemien etäisyysmittauset Tuiasemien etäisyysmittausista (appale 3.2) ei tarvitse muodostaa differenssimittausia, vaan ne voidaan äyttää sellaisenaan suodatusessa. Meritään etäisyysmittausia vetorilla ρ t = [ρ t 1,..., ρ t n t ] T, (4.20) missä n t on tuiasemien etäisyysmittausien luumäärä. Meritään vastaavia mittausfuntioita ilman virhetermejä vetoriarvoisena mittausfuntiona r t 1 r u h t ρ(r u ) =., (4.21) r t n t r u missä r t i on i. tuiaseman paiavetori. Lisäsi meritään yseisten etäisyysmittausien virheitä vetorilla ɛ t ρ = [ɛ ρ t 1,..., ɛ ρ t nt ] T, (4.22) joa oletetaan nollaesisesi. Näin ollen tuiasemien etäisyysmittauset voidaan irjoittaa y t ρ = ρ t = h t ρ(r u ) + ɛ t ρ. (4.23) Mittausmalli Kootaan yhteen laajennetun Kalmanin suodattimen mittausmalli hybridipaiannusessa. Mittausmalli oostuu pseudoetäisyysien differenssimittausista, pseudoetäisyysien derivaattojen differenssimittausista ja tuiasemien etäisyysmittausista. Mittausista oottua vetoria meritään lyhyesti y = y s ρ y ṡ ρ y t ρ, (4.24) missä yρ s on annettu aavassa (4.13), yρ ṡ on annettu aavassa (4.19) ja yρ t on annettu aavassa (4.23). Samojen aavojen pohjalta saadaan raennettua yhteinen mittausfuntio h(x) ilman virhetermejä h(x) = = mer. = Dh s ρ(r u ) D(diag(U s (V s ) T ) U s v u ) h t ρ(r u ) D D I nt n t D D I nt n t h s ρ(r u ) diag(u s (V s ) T ) U s v u h t ρ(r u ) ȟ(x), (4.25)

49 LUKU 4. SUODATUS PAIKANNUKSESSA 48 missä x on tilamuuttuja, joa on annettu aavassa (4.1) ja matriisit 0 ovat sopivan ooisia nollamatriiseja. Viimeisessä ohtaa on otettu äyttöön merintä, jona tavoitteena on lyhentää tulevia aavoja. Kootaan vielä samojen aavojen pohjalta virhevetori ɛ = Dɛ s ρ Dɛ s ρ ɛ t ρ = D D I nt n t ɛ s ρ ɛ s ρ ɛ t ρ, (4.26) missä matriisit 0 ovat sopivan ooisia nollamatriiseja. Näin ollen EKF:n mittausmalli, un aiaindesi on lisätty suureisiin, on y = h (x ) + v, (4.27) missä y on annettu aavassa (4.24), h (x ) on annettu aavassa (4.25) ja w = ɛ, joa on annettu aavassa (4.26). Mainituissa aavoissa ei ole seleyden vuosi meritty aiaindesiä. EKF:n algoritmi vaati mittausfuntion derivaatan ja mittausmallin virheen v ovarianssimatriisin, jota lasetaan seuraavasi. Apulause 4.2. Oloon funtio h(x) = a x ja x a. Tällöin h (x) = H e a x = 1 a x (x a)t a x, (4.28) lisäsi normin h(x) = a x Hessen matriisi (meritään H e a x ) on ( I Todistus. Muodostetaan yhdistetty funtio (a x) (a x) T a x a x ). (4.29) g 1 (x) = g 2 (h(x)) = a x 2 = (a x) T (a x), (4.30) missä g 2 (x) = x 2. Funtion g 1 derivaatta on [Perttula 1999a, s.30,s.35] josta seuraa, että g 1(x) = g 2(h(x))h (x) = 2(x a) T, (4.31) h (x) = 2(x a)t g 2(h(x)) Haettu Hessen matriisi on funtion g 3 (x) derivaatta, un g 3 (x) = = 2(x a)t 2 a x. (4.32) x a a x = g 4(x)g 5 (h(x)), (4.33) missä g 4 (x) = x a ja g 5 (x) = 1. Tällöin edellisen ohdan, tulon derivoimissäännön x ja etjusäännön muaan H e a x = g 3(x) = g 4(x)g 5 (h(x)) + g 4 (x)(g 5(h(x))h (x)) ( ) 1 1 (x a) T = I + (x a) a x a x 2 a x ( ) = I. 1 a x (a x) (a x) T a x a x (4.34)

50 LUKU 4. SUODATUS PAIKANNUKSESSA 49 Mittausfuntion (4.25) derivaatta ajanhetellä t priori-tilan odotusarvon ohdassa x = ˆx voidaan lasea derivaatta-operaattorin lineaarisuuden ja apulauseen (4.2) avulla H = h (x ) D 0 0 U s 0 ns 3 = 0 D 0 U s V x U s s v u U s, (4.35) 0 0 I nt n t U t 0 nt 3 x =ˆx missä D on annettu määritelmässä 4.1, U s on matriisi, joa sisältää ysiövetorit priori-paian odotusarvosta satelliitteihin (4.17). U t on samanlainen matriisi uin U s paitsi että ysiövetorit, joista matriisi oostuu, ovat priori-paian odotusarvosta tuiasemiin. Matriisit 0 ovat sopivan ooisia nollamatriiseja ja U s v u on vetorin U s v u derivaatta paian suhteen. Sen lasemisessa on äytetty hyödysi apulauseen 4.2 Hessen matriisia, vu T H e i r s 1 r u U s v u =. vu T H e i r s ns r u, (4.36) missä r u on priori-paian odotusarvo, v u on priori-nopeuden odotusarvo ja r s i on i. satelliitin paiavetori. Matriisi H e i r s i ru on normin rs i r u Hessen matriisi paian r u suhteen: ( ) H e i r s i ru = 1 r s i r I (rs i r u ) (r s i r u ) T u r s i r u r s i r. (4.37) u Matriisi Us V s on vetorin diag(u s (V s ) T ) derivaatta paian suhteen ja sen lasemisessa on äytetty hyödysi vetorin U s v u derivaattaa, aava (4.36): U s V s = (v s 1) T H e i r s 1 r u. (vn s s ) T H e i r s ns r u, (4.38) missä vi s on i. satelliitin nopeus. Usein matriisit U s v u ja U s Vs ovat normiltaan hyvin pieniä, osa jaajassa oleva etäisyys satelliittiin on yli m (appale 3.1). Mittausvirheen v ovarianssimatriisi voidaan lasea aavan (4.26) ja ovarianssimatriisioperaattorin ominaisuusien avulla [Pohjavirta&Ruohonen 2004, s.43]: R = V(v ) = missä V ( ɛ s ρ ɛ s ρ ɛ t ρ ) D D I nt n t V ( ɛ s ρ ɛ s ρ ɛ t ρ ) on mittausien yhteisovarianssimatriisi. D D I nt n t T, (4.39)

51 LUKU 4. SUODATUS PAIKANNUKSESSA Toisen asteen laajennettu Kalmanin suodatin Toisen asteen laajennettua Kalmanin suodatinta on äsitelty appaleessa EKF2:n algoritmi on annettu tiiviissä muodossa liitteessä B. Sovellettaessa toisen asteen laajennettua Kalmanin suodatinta paiannuseen tarvitaan äyttäjän tilamalli, jota on äsitelty appaleessa 4.1 aava (4.6), ja mittausmalli, joa on sama uin EKF:lla. EKF:ta on äsitelty appaleessa 4.2. EKF:n, samoin uin EKF2:n, mittausmalli on annettu aavassa (4.27). Mittausfuntion derivaatta H on annettu aavassa (4.35) ja mittausmallin virheen ovarianssimatriisi R on annettu aavassa (4.39). Kosa tilamalli on lineaarinen, niin epälineaarisuutta ilmenee vain mittausmallissa, jolloin EKF2 on hieman ysinertaisempi lasea. Edellä olevien tietojen lisäsi EKF2:sen soveltamiseen paiannuseen tarvitaan enää tilamallissa olevan mittausfuntion (4.25) omponenttien Hessen matriisit. Lasetaan nämä Hessen matriisit. Kosa derivointi on lineaarinen operaattori, niin mittausfuntion omponenttien Hessen matriisin lasemiseen riittää määrittää vetorin r s 1 r u ȟ(x) = h s ρ(r u ) diag(u s (V s ) T ) U s v u h t ρ(r u ) =. r s n s r u (v s 1 vu)t (r s 1 ru) r s 1 ru. (v s ns v u) T (r s ns r u) r s ns r u r t 1 r u. r t n t r u (4.40) omponenttien Hessen matriisit. Muuttujana x on äyttäjän tila (4.1). Meritään vetorin ȟ(x) i. omponentin Hessen matriisia He i. Vetorin alu- ja loppupään ȟ(x) etäisyysmittausien Hessen matriisit voidaan lasea suoraan äyttäen apulausetta 4.2 (atso myös aava (4.37)), jolloin saadaan [ ] H e i = H e i r s i r 0 u 3 3, un i = 1,..., n ȟ(x) s, (4.41) H e i ȟ(x) = [ H e i r t i r u ], un i 2n s = 1,..., n t, (4.42) missä H e i r s i r u on normin rs i r u Hessen matriisi paian r u suhteen (4.37) ja H e i r t i ru on normin r t i r u Hessen matriisi paian r u suhteen. Kesivaiheen pseudoetäisyysien derivaattamittausien Hessen matriisista voidaan lasea vastaavasti uin yllä aii muut paitsi yseisten mittausien Hessen matriisia paian suhteen, joa on annettu aavassa (4.45), [ ( r u H e i r s i r u (v u vi) ) ] s H e i r s i r u H e i ȟ(x) = H e i r s i r u 0 3 3, un i n s = 1,..., n s. (4.43)

52 LUKU 4. SUODATUS PAIKANNUKSESSA 51 Pseudoetäisyysien ( derivaattamittausien Hessen matriisi paian suhteen r u H e i r s ru (v u vi) ) s voidaan lasea äyttäen apuna derivaattaoperaattorin i lineaarisuutta, apulausetta 4.2, etjusääntöä ja etäisyysmittausen äänteisluvun derivaattaa d 1 dx a x = 1 (x a) T (a x)t = a x 2 a x a x. (4.44) 3 Etäisyysmittausen äänteisluvun derivaatan lasemisessa äytettiin hyväsi yhdistetyn funtion derivaattaa ja apulausetta 4.2. Kyseinen Hessen matriisi on ( H e i r r s ru (v u vi) ) s = ( ( ) ) 1 u i r u r s i r I (rs i r u ) (r s i r u ) T u r s i r u r s i r (v u vi) s u = ( ) vu vi s r u r s i r u (rs i r u ) (v u vi) s T (r s i r u ) r s i r u r s i r u 2 = v ( ) u i sus i T r s i r u + v 2 He i u i T sus i r s i ru r s i r u us ivu i T r s i r u 1 s r u r s i r u r s i r u = v ( ) u i sus i T r s i r u + v 2 He i u i T sus i r s i r u r s i r u + us ivu i T H e 1 s i r s i r u r s i r u us iu s T i r s i r u 2 = v u i sus i T + (I u s iu s i T )v T u i sus i + u s iv T u i s(i 2us iu s i T ) r s i r u 2, (4.45) mer. = v u i s ja ysiöve- missä äyttäjän ja i. satelliitin nopeusien erotus on v u vi s tori äyttäjästä i. satellittiin on u s i (aava (4.16)). Näin ollen on saatu lasettua vetorin ȟ(x) omponenttien Hessen matriisit (aavat (4.41), (4.42) ja (4.43)). Nämä aii Hessen matriisit lasetaan prioritilan odotusarvossa, tällöin r u on prioripaian odotusarvo ja v u on priorinopeuden odotusarvo. Näiden avulla voidaan lasea mittausfuntion (4.25) omponenttien Hessen matriisit lasemalla yllä olevia Hessen matriiseja yhteen painottamalla niitä määräytyvillä ertoimilla Epälineaarisuus satelliittimittausissa Tarastellaan, milloin tämän työn sovellusessa tulisi äyttää EKF2:ta eiä EKF:ta satelliittimittausten tapausessa. Tässä työssä vain mittausmalli on epälineaarinen, jona vuosi riittää testata milloin aava (2.78) toteutuu. Tarastellaan alusi tilannetta, jossa on vain ysi mittaus, tällöin aava (2.78) tulee muotoon tr(h e i ˆP H e i ˆP ) R, (4.46) missä H e i on yseisen mittausen Hessen matriisi, ˆP on priori-tilan ovarianssimatriisi ja R on mittausen varianssi (salaari). Näytetään ensin tietyin oletusin, että satelliittimittausten tapausessa aava (4.46) ei toteudu ja edelleen myösään aava (2.78) ei toteudu, vaia mittausia olisi enemmän uin ysi. Näyttämisessä

53 LUKU 4. SUODATUS PAIKANNUKSESSA 52 äytetään differenssiuvausmatriisia D 1 = [ I 1 ], jota äytetään myös työn simulaatioissa. Arvioidaan yhden satelliittimittausen tapausessa aavan (4.46) vasemman puolen itseisarvoa. Jäli-operaattorin (tr) lineaarisuuden [Hubbard&Hubbard 1999, s.418], olmioepäyhtälön ja ominaisuuden tr(ab) = tr(ba) [Hubbard&Hubbard 1999, s.420] muaan tr(h e i ˆP H e i ˆP ) 4 tr(h e i ˆP H e j ˆP ), (4.47) ȟ(x) ȟ(x) missä H e i on vetorin ȟ(x) (4.40) i. omponentin Hessen matriisi ja molemmat ȟ(x) omponentit i ja j esittävät joo satelliittien etäisyysmittausia tai satelliittien etäisyysien derivaattamittausia. Arvioidaan aavan (4.47) oieata puolta ylöspäin matriisin normin avulla. Matriisin A normi on A = max x =1 Ax, missä oiealla puolella on tavallinen vetorinormi. Kun valitaan x = e i, niin A ii Ae i A, missä A ii on matriisin A i. diagonaalialio. Tällöin 4 tr(h e i ȟ(x) ˆP H e j ȟ(x) ˆP ) 24 H e i ȟ(x) ˆP H e j ȟ(x) ˆP. (4.48) Matriisinormilla on ominaisuus AB A B, lisäsi symmetrisen matriisin normi on suurin sen ominaisarvojen itseisarvoista [Perttula 1999b, s.109]. Oloon ovarianssimatriisin ˆP suurin ominaisarvo λˆp max, joa on myös ominaisarvojen suurin itseisarvo, osa matriisi ˆP on positiivisesti semidefiniitti. Näiden perusteella voidaan arvioida 24 H e i ˆP H e j ˆP 24(λˆP ȟ(x) ȟ(x) max) 2 H e i ȟ(x) He j. (4.49) ȟ(x) Tehtävänä on vielä arvioida Hessen matriisin H e i ominaisarvoja satelliittimittausilla ȟ(x) (i = 1,..., 2n s ). Satelliitin pseudoetäisyysmittaus Jos yseessä on satelliitin pseudoetäisyysmittaus niin H e i, un i = 1,..., n ȟ(x) s, on annettu aavassa (4.41). Kosa matriisin u s iu s i T pystyriviavaruuden dimensio on ysi 1 niin on ainain asinertainen ominaisarvo matriisille r s i r u He i, un i = 1,..., n ȟ(x) s. Toisaalta nolla on selvästi ainain olmen ertainen ominaisarvo matriisille H e i un i = 1,..., n s. Kosa lisäsi ominaisarvojen summa on tr(h e i ȟ(x) ) = 2 r s i r u [Perttula 1999b, s.90], niin matriisin H e i ȟ(x), un i = 1,..., n s, ominaisarvot ovat { 1 r s i r u r s i r u Tällöin aavojen (4.47), (4.48) ja (4.49) muaan tr(h e i ˆP H e i ˆP ) 24 (λˆp max) 2 ȟ(x), }. (4.50) r s i r u 2, un i = 1,..., n s. (4.51) Tällöin yseessä on satelliittien pseudoetäisyysmittauset. Satelliittien etäisyys on ainain (appale 3.1, äsiteltävät suureet ovat SI-ysiöissä) ja paiannusessa

54 LUKU 4. SUODATUS PAIKANNUKSESSA 53 ˆP suurin ominaisarvo λˆp max on yleensä alle Oletetaan, että λˆp max , tällöin aava (4.51) tulee muotoon tr(h e i ˆP H e i ˆP ) 24 (1 105 ) 2 ( ) 2 = , un i = 1,..., n s. (4.52) Kosa R on vähintään 5 2 (appale 3.1.2) niin aava (4.46) ei toteudu, joten yhdessä satelliittien pseudoetäisyysien differenssimittausessa epälineaarisuus on niin pientä, ettei EKF2:n tuloset juuriaan poiea EKF:n tulosista. Arvioidaan seuraavasi yhden pseudoetäisyysderivaatan differenssimittausen epälineaarisuutta. Apulause 4.3. Oloon e T i Ae j = A ij symmetrisen matriisin A R n n alio. Oletetaan, että A ij c aiilla indeseillä i ja j. Tällöin matriisin A ominaisarvot {λ 1,..., λ n } ovat itseisarvoltaan pienempiä tai yhtäsuuria uin nc. Todistus. Käytetään hyväsi tietoa, että x T i Ax i = λ i, missä x i on ominaisarvoa λ i vastaava normalisoitu ominaisvetori [Perttula 1999b, s.101]. Nyt riittää näyttää, että x T Ax nc, mielivaltaiselle ysiövetorille x R n (symmetrisen reaalimatriisin ominaisvetorit voidaan valita reaalisisi [Perttula 1999b, s.94]). Mielivaltainen x voidaan irjoittaa arteesisten antavetoreiden avulla x = n x i e i. (4.53) i=1 Tällöin olmioepäyhtälön ja Schwarzin [Hubbard&Hubbard 1999, s.62] epäyhtälön muaan ( n ) T ( n n x T Ax = x i e i A x j e j ) = n i=1 i=1 n j=1 j=1 ( ) x i x j A ij c(1 T ±x) 2 c 1 ± 2 x 2 nc, i=1 n j=1 (x i x j A ij ) ( n )( n ) c x i x j i=1 j=1 (4.54) missä vetorin 1 ± R n i. alio on +1 jos x i 0 muutoin i. alio on 1. Apulause 4.3 ei anna aivan taraa ylärajaa matriisin normille miäli matriisissa on eriooisia alioita, mutta ertaluoa on oiea ja tässä työssä yseinen raja on aivan n riittävä (eräs tarempi raja on A [Hubbard&Hubbard 1999, s.214]). i=1 n j=1 A2 ij Satelliitin pseudoetäisyyden derivaattamittaus Kun yseessä on satelliitin pseudoetäisyyden derivaattamittaus niin H e i, un ȟ(x) i n s = 1,..., n s, on annettu aavassa (4.43). Matriisin H e i r s i r (4.37) joainen alio u

55 LUKU 4. SUODATUS PAIKANNUKSESSA 54 on itseisarvoltaan pienempi tai yhtäsuuri olmioepäyhtälön muaan uin 2 r s i r u. ( Vastaavasti matriisin r u H e i r s ru (v u vi) ) s (4.45) joainen alio on itseisarvoltaan i pienempi tai yhtäsuuri uin 12( vu + vs max ), missä v r max s on satelliittien masiminopeus. vmax s (appale 3.1, äsiteltävät suureet SI-ysiöissä) ja äyttäjän s i ru 2 nopeus oletetaan tätä pienemmäsi, joten matriisin H e i, un i n ȟ(x) s = 1,..., n s, 2 joainen alio on itseisarvoltaan pienempi tai yhtäsuuri uin r s i ru, apulauseen 4.3 ja aavojen (4.47), (4.48), (4.49) muaan (i n s = 1,..., n s, jolloin yseessä on yhdestä pseudoetäisyysien derivaattojen differenssimittausesta) tr(h e i ˆP H e i ˆP ) 3456 (λˆp max) 2 r s i r u 2 = { 8,6 10 4, un λˆp max = ,6 10 2, un λˆp max = (4.55) Kosa R on noin 10 2 (appale 3.1.2) niin aava (4.46) ei toteudu, jos λˆp max Tämä tilanne on erittäin yleinen miäli lyhyellä aiavälillä (esimerisi ymmenen seunnin sisällä) on saatu neljältä eri satelliittilta mittausia. Tällöin epälineaarisuus on niin pientä myös pseudoetäisyysien derivaattojen differenssimittausessa, ettei EKF2:n tuloset juuriaan poiea EKF:n tulosista. Toisaalta aava (4.46) toteutuu, jos λˆp max Tälläinen tilanne on mahdollinen, miäli esimerisi suodattimen priori-tila muodostuu pelästään tuiaseman solutunnisteen perusteella. Tällöin epälineaarisuus on huomattavaa ja EKF2:n tuloset ovat luotettavampia uin EKF:n. Nyt on äsitelty satelliittidifferenssimittausien epälineaarisuutta yhden satelliittin differenssimittausessa yhdellä ajanhetellä. Laajennus useampiin satelliittidifferenssimittausiin on suoraviivainen apulauseen 4.3 muaan. Taroitus on arvioida matriisin n y n y i=1 j=1 e i e T j tr(h e i ˆP He j ˆP ) (4.56) ominaisarvoja (n y on mittausien luumäärä). Matriisin joainen ominaisarvo on itseisarvoltaan pienempi tai yhtäsuuri uin n y 3456 (λˆp max) 2 (apulauseen 4.3 ja r s i ru 2 aavojen (4.51), (4.55) muaan). Tässä työssä mittausia on lähes poieusetta alle ymmenen, jolloin EKF2:n tarvetta arvioitaessa päästään samoihin lopputulosiin uin aavan (4.55) perusteella. Yhteenvetona EKF2:n äyttämisessä satelliittimittausilla voidaan todeta, että EKF2:n tuloset eivät poiea huomattavasti EKF:n tulosista, miäli priori-tilan ovarianssimatriisin ominaisarvojen neliöjuuret ovat alle 100. Toisaalta miäli nämä arvot ovat selvästi yli 200 niin EKF2:n voisi tuottaa parempia tulosia tarojen pseudoetäisyysien derivaattamittausten anssa. Tässä työssä ei tutita EKF2:ta simulaatioilla satelliittimittausien osalta, vaan satelliittimittausten mittausfuntiot äsitellään uten EKF:ssa, myös simulaatioiden EKF2:ssa (luu 5) Epälineaarisuus tuiasemamittausissa Tarastellaan, milloin tämän työn sovellusessa tulisi äyttää EKF2:ta eiä EKF:ta, tuiasemamittausten tapausessa. Havaitaan, että lähes poieusetta tui-

56 LUKU 4. SUODATUS PAIKANNUKSESSA 55 asemamittausissa on huomattavaa epälineaarisuutta. Edellisen ohdan, erityisesti aavojen (4.48), (4.49) ja (4.51) muaan max) 2 tr(h e i ˆP H e i ˆP (λˆp ) 6 ȟ(x) ȟ(x) r t i r u, un i 2n 2 s = 1,..., n t. (4.57) Jos ˆP = λˆp maxi (riittää, un prioripaian ovarianssimatriisi on yseisen muotoinen) niin aavalle (4.57) saadaan alaraja jäli-operaattorin ominaisuusien, matriisin H e i ȟ(x) ominaisarvojen (4.50) ja soveltamalla Schurin lausetta matriisiin H e i (sivu 26) ȟ(x) (λˆp 2 max) 2 r t i r u 2 tr(he i ˆP H e i ˆP (λˆp ) 6 max) 2 ȟ(x) ȟ(x) r t i r u, un i 2n 2 s = 1,..., n t. (4.58) Kaupunialueella ollaan usein alle 500 metrin päässä tuiasemasta (appale 3.2) ja miäli mittausien sigmat ovat 80 metriä, alimäärätyssä tapausessa on yleistä, että priorin ovarianssimatrisin ominaisarvot ovat (λˆp max) = (200m) 2. Näillä arvoilla aavan (4.58) alaraja tulee muotoon (SI-ysiöissä) = 2 (λˆp max) 2 r t i r u 2 tr(he i ȟ(x) ˆP H e i ȟ(x) ˆP ), i 2n s = 1,..., n t. (4.59) Näin ollen aava (4.46) toteutuu hyvin usein tuiasemapaiannusessa. EKF2:lta voidaan siis hyvin usein olettaa luotettavampia tulosia uin EKF:lta, miäli yseessä on ysi tuiasemamittaus. Jos tuiasemamittausia olisi enemmän uin ysi niin apulauseesta 4.3 seuraa suoraan, että tuiasemamittausten perusteella ootun matriisin (4.56) itseisarvoltaan suurin ominaisarvo on vähintään itseisarvoltaan suurimman diagonaalialion suuruinen. Diagonaalialioitten alaraja on annettu aavassa (4.59). Toisin sanoen EKF2:lta voidaan hyvin olettaa luotettavampia tulosia uin EKF:lta, silloinin un yseessä on useampia tuiasemamittausia. Toisaalta on hyvä huomata, että tilanteissa, joissa on paljon satelliittimittausia äytettävissä niin priori-tilan ovarianssimatriisin suurin ominaisarvo voi olla luoaa Tällöin aava (4.46) ei useinaan toteudu edes tuiasemienetäisyysmittausien osalta ja yseisiä mittausia voi huoletta äyttää EKF:ssa. Tosin näin taraa priori-tilaa epätarat tuiasemaetäisyysmittauset eivät juuriaan tarenna. Simulaatioissa luvussa 5 verrataan muun muassa EKF:ta ja EKF2:ta. Simulaatioiden EKF2 eroaa EKF:sta vain tuiasemamittausten äsittelyn osalta, joa tehdään uten edellä esitetyssä EKF2:ssa osa on syytä olettaa, että näin saadaan luotettavampia tulosia Vertailu EKF2 vs. EKF Vertaillaan EKF2:n ja EKF:n toimintaa un mittausena on vain ysi tuiaseman etäisyysmittaus. Kuvassa 4.1 on havainnollistettu yseinen tilanne. Kuvassa r on prioripaian odotusarvon etäisyys tuiasemasta, yhtenäisen ympyrän säde on r, atoviivalla piirretyt ympyröiden säteet ovat r ± R, missä R on mittausvirheen varianssi

57 250 LUKU SUODATUS PAIKANNUKSESSA poieama prioripaian odotusarvo oreus 0 tuiasema r 50 Kuva 4.1: EKF:n ja EKF2:n vertailu 100 (salaari), ympyröistä vain osa on näyvissä. Pystysuora jana uvaa tasoa, jona EKF 150 muodostaa linearisoidessa etäisyysmittausen (utsutaan tätä mittaustasosi). EKF:ssa priori-tilan päivitys lasetaan siten, että innovaatiota (mittausen ja priorimittausen erotusta) pidetään suunnistettuna etäisyytenä mittaustasolta. Positiiviset 200 innovaatiot oletetaan sijaitsevan tason oiealla puolella ja negatiiviset tason vasemmalla puolella. Todellisuudessa innovaatio on suunnistettu etäisyys etäisyysmittausen virittämään palloon, 50 joa 0 on50positiivinen 100 pallon 150 ulopuolella ja300 negatiivinen pallon sisällä. Ajatellaan, että realisoituneen mittausen virhe on nolla. Kuvasta huomataan, että EKF:n lasema innovaatio on aina yhtäsuuri tai suurempi uin paian todellinen etäisyys mittaustasosta. EKF2:ssa tämä otetaan huomioon siten, että aiista innovaatioista vähennetään (2.74) 1 2 tr(he 1 ˆP ȟ(x) +1 ). (4.60) Kuvassa oreus uvaa priori-paian esimääräistä etäisyyttä priori-paian odotusarvosta mittaustasolla, arvioidaan tämä arvosi 2λˆP olettaen, että prioripaian ovarianssimatriisi on λˆp I 3 3. Tällöin aava (4.60) voidaan lasea vastaavasti uin aava (4.58) ja saadaan 1 λˆp 2 tr(he 1 ˆP ȟ(x) +1 ) = r. (4.61) Kuvassa oleva poieama on suunnilleen aavan (4.61) suuruinen, osa poieama = r 2 + 2λˆP 2 2λˆP λˆp r r + r = 2 r r. (4.62) Toisaalta voidaan ajatella, että mittaustason tulisi uvastaa pallon pintaa tietyllä alueella (priori-paiassa). EKF äyttää mittaustasona pallon tangenttitasoa ja EKF2 siirtää mittaustasoa hieman (noin poieaman verran) pallon sisälle. Tämä uvastaa pallon pintaa esimäärin paremmin uin tangenttitaso. Lisäsi EKF2 asvattaa mittausvirheen ovarianssimatriisia siten, että se ottaa huomioon linearisoinnista aiheutuvaa virhettä (2.77). Tämä osaltaan auttaa EKF2:sta pysymään onsistenttina (atso sivu 26).

58 LUKU 4. SUODATUS PAIKANNUKSESSA Paiarataisun Kalmanin suodatin Paiarataisun Kalmanin suodatin (PKF, Position Kalman Filter) on asivaiheisen algoritmin soveltamisen tulos paiannuseen, jona nimi ja lyhenne on ehitetty tässä työssä. Kasivaiheista algoritmia on äsitelty sivulla 30. Ideana on rataista ensin paia ja sen jäleen suodattaa paiarataisua tavallisella Kalmanin suodattimella, jota on äsitelty appaleessa 2.2. Kalmanin suodattimen algoritmi on annettu ompatissa muodossa liitteessä B. PKF:n algoritmin ensimmäinen vaihe rataisee ensin tasanmäärätystä systeemistä paiat. Miäli systeemi on ylimäärätty, algoritmi hylää geometrialtaan huonot mittauset. Rataistuja paioja äytetään Gauss-Newtonin algoritmin alupaioina (appale 3.3). Gauss-Newtonin algoritmissä äytetään aiia saatavissa olevia mittausia. Usein ylimäärätyssä systeemissä eri alupaiat tuottavat saman rataisun. Gauss-Newtonin algoritmin tuottamista rataisuista valitaan ne jota toteuttavat lisätiedot, tässä tapausessa mahdolliset setoritiedot. Jos tämän jäleen on jäljellä tasan ysi rataisu, se syötetään algoritmin toisessa vaiheessa olevaan Kalmanin suodattimeen. Paiarataisun mittausvirheenä äytetään Gauss-Newtonin algorimin antamaa arviota paiarataisun ovarianssimatriisille. Miäli rataisuja ei ole tasan yhtä tai yseessä on alimäärätty systeemi, PKF unohtaa aii sen hetiset mittauset ja äyttää tilan estimoinnissa tilamallia. Taremmin paiarataisun lasemista on äsitelty appaleessa 3.3. Tämän työn simulaatioissa äytetään Niilo Sirolan toteuttamaa algoritmia paiarataisun lasemisessa. Miäli satelliittimittausia on tarpeesi monesta (vähintään neljästä) satelliitista, voidaan myös nopeus rataista aavan (3.2) avulla. Tällöin rataistaan ensin paia, miä on mahdollista osa satelliittimittausia on tarpeesi monesta satelliitista. Rataistu paia sijoitetaan aavaan (3.2), jona jäleen nopeus voidaan rataista lineaarisesta yhtälöryhmästä (tämä vastaa ensimmäistä aselta Gauss-Newtonin iteraatiossa). Myös mahdollista nopeusrataisua äytetään PKF:n toisen vaiheen suodattimen mittausena. PKF:n toisessa vaiheessa on tavallinen Kalmanin suodatin. Kalmanin suodattimen tilamallina äytetään samaa tilamallia uin muissain tämän työn suodattimissa. Tilamallia on äsitelty appaleessa 4.1 aava (4.6). Kalmanin suodattimen mittausmallina äytetään (2.13) y = H x + v, (4.63) missä x on Kalmanin suodattimen tila, y on mittauset, joo paiarataisu tai seä paia- että nopeusrataisu. Vastaavasti vetorin v ovarianssimatriisina äytetään Gauss-Newtonin algoritmin tuottamaa arviota paiarataisun ovarianssimatriisista, pelän paiarataisun tapausessa tai loho-matriisia jossa on Gauss-Newtonin algoritmin tuottamaa arvio seä paia- että nopeusrataisun ovarianssimatriisista, un on yseessä seä paia- että nopeusrataisu. Tässä on tehty oletus, että paia- ja

59 LUKU 4. SUODATUS PAIKANNUKSESSA 58 nopeusrataisu ovat orreloimattomia. Tämä ei aivan pidä paiansa. Kaavan (4.35) avulla uitenin huomataan, että orrelaatio on vähäistä (osa U s V s U s v u ovat selvästi pienempää ertaluoaa uin diagonaalilla olevat matriisit U s ). Jos mittausina on pelä paiarataisu niin mittausmatriisi on H = [ I ]. (4.64) Jos mittausina on seä paia- että nopeusrataisu niin mittausmatriisi on H = I 6 6 (4.65) Epävarmuus PKF:ssa Tässä appaleessa on taroitus soveltaa paiarataisun Kalmanin suodattimeen appaleen alussa ollutta lausetta Lause antaa rajat tilan ovarianssimatriisille ˆP. Sovelletaan lausetta muutamaan tuiasemapaiannusessa esiin tulevaan tilanteeseen, missä on saatu rataistua vain paia eiä nopeutta. Lauseen soveltamiseen tarvitaan ohjattavuus- ja tarailtavuusmatriisit (määritelmä 2.13). Ohjattavuusmatriisin lasemiseen tarvitaan tilamallin virheen ovarianssimatriisi (4.8) ja tilansiirtomatriisi (2.34). Tilansiirtomatriisi tulee muotoon (F on annettu aavassa (4.3)) [ Φ(t +1, t ) = e (t +1 t )F I3 3 (t = +1 t )I I 3 3 ]. (4.66) Tarailtavuusmatriisin lasemiseen tarvitaan tilansiirtomatriisin lisäsi mittausmatriisi (4.64) ja paiarataisun ovarianssimatriisi (3.9). Paiarataisun ovarianssimatriisin lasemisesi tarvitaan aavassa (3.9) oleva mittausvirheen ovarianssimatriisi Σ = (σ R ) 2 I 3 3, jossa σ R on mittausvirheen sigma. Lisäsi tarvitaan mittausfuntion derivaatta h (x). Tuiasemapaiannusessa mittausfuntion derivaatta on U t (4.35), missä matriisissa U t on ysiövetorit äyttäjästä tuiasemiin. Ohjattavuus- ja tarailtavuusmatriisien pienin ominaiarvo vastaa lauseessa 2.15 olevaa muuttujaa α ja suurin ominaisarvo vastaa lauseen muuttujaa β. Tutitaan alusi tilannetta, jossa on asi tuiasemaa äyttäjästä atsottuna 90 ulmassa ja oreusmittaus. Tällöin geometria on hyvä, uten tullaan huomaamaan tarempien rataisujen muodossa. Oletetaan, että aina saadaan rataistua ysiäsitteinen paiarataisu. Tällöin paiarataisun ovarianssimatriisi on (σ R ) 2 I 3 3. Alla olevaan tauluoon (tauluo 4.1) on oottu 3G- ja GSM-veron sigmojen (σ R ) arvoilla lauseen 2.15 antama yläraja suodatetun rataisun virheen sigmalle 1+αβ α σ suod = ja aia (t suod ) jona jäleen suodattimen epävarmuus on viimeistään päässyt tämän rajan alle. Kyseinen aia vastaa lauseen 2.15 aia-aselien luumäärää (n o = n t ). Tässä työssä 3G-verossa etäisyysmittausen sigmana äytetään 80 metriä ja GSM-verossa sigmana äytetään 550 metriä. Lisäsi tauluossa on vertailun vuosi suodatettavan rataisun (WLS-rataisun) suurin sigma σ rat (paiarataisun ovarianssimatriisin suurimman ominaisarvon neliöjuuri). Tauluon lasut ovat suoritettu

60 LUKU 4. SUODATUS PAIKANNUKSESSA 59 Tauluo 4.1: Suodatettavan rataisun virheen sigma ja suodatetun rataisun virheen sigman yläraja ahdella tuiaseman etäisyysmittausella ja oreusmittausella (SIysiöissä). WLS PKF Vero σ rat σ suod t suod 3G GSM Maple-ohjelmistolla. Tauluon tulosia on myös testattu simulaatioiden avulla appaleessa 5.2. Tutitaan seuraavasi tilannetta, missä on olme tuiasemaa. Oletetaan, että aina saadaan rataistua ysiäsitteinen paiarataisu. Käyttäjän ajatellaan olevan origossa ja tuiasemien ENU-oordinaatit ovat r t 1 = [200, 0, 20], r t 2 = [0, 200, 20] ja r t 3 = [ 100, 100, 20]. Tässä tapausessa geometria on huono, osa tuiasemat ja äyttäjä ovat lähes samassa tasossa. Laaditaan tilanteesta tauluo 4.2, joa vastaa tauluoa 4.1. Tauluo 4.2: Suodatettavan rataisun virheen sigma ja suodatetun rataisun virheen sigman yläraja olmella tuiaseman etäisyysmittausella, oreusmittausta ei ole äytössä (SI-ysiöissä). WLS PKF Vero σ rat σ suod t suod 3G GSM Tauluoja 4.1 ja 4.2 tulittaessa on hyvä pitää mielessä, että tauluoissa on yläraja suodatetun rataisun virheen sigmalle. Tämä ei ole pienin yläraja, uten simulaatiosta appaleessa 5.2 havaitaan. Tästä huolimatta huomataan, että suodatusella saadaan selvästi tarempi estimaatti tilalle uin ilman suodatusta. Tauluoista havaitaan muun muassa, että suodatus tuottaa entistä parempia tulosia, miäli tilamallin virhe on pieni suhteessa mittausvirheeseen. Toisaalta tauluoja vertaamalla havaitaan, että oreusmittaus on erittäin täreä olmiulotteisessa tuiasemapaiannusessa, osa tuiasemat ja äyttäjä ovat lähes tuloon samalla tasolla. Kolmen tuiaseman tapausessa paiarataisun epämääräisyydestä vain oreuden epämääräisyys on tauluossa 4.2 annettua ertaluoaa. Toi usein on iinnostuttu vain asiulotteisesta paiasta, mutta luotettava ja optimaalinen suodatus vaatii hybridipaiannusessa toimiaseen myös oreustiedon ja sen epämääräisyyden, varsinin silloin un mittausia tulee myös satelliiteista. Varoitusen sanana täytyy todeta, että ylärajat ovat absoluuttisia vain jos systeemi on mallinnettu oiein, esimerisi GSM-veron

61 LUKU 4. SUODATUS PAIKANNUKSESSA 60 TA-mittausissa olevien virheiden normaalisuus- ja riippumattomuusoletuset ovat hyvin yseenalaisia (appale 3.2). Tarastelun sivutuotteena havaitaan, että esimeritapauset ovat täydellisesti ohjattavissa ja tarailtavissa. Tällöin muun muassa lause 2.16 on voimassa yseisissä systeemeissä. Taremman uvan suodatusen tehosta saa luvun 5 simulaatioista. Myös miäli systeemin matriisit ovat vaioita, uten esimereissä oli, voidaan lasea mitä matriisia tilan ovarianssimatriisi lähestyy, un annetaan ajan ulua. Tämä voidaan lasea disreetin algebrallisen Riccati-yhtälön (Discrete Algebraic Riccati Equation) avulla, jota ei äsitellä taremmin tässä työssä. Asiaa on äsitelty muun muassa lähteissä [Grewal&Andrews 1993] ja [Mäilä 2004].

62 Luu 5 Simulaatiot ja testaus Tässä luvussa testataan ja vertaillaan simulaatioiden avulla työssä esitettyjä suodattimia: PKF:ta (appale 4.4), EKF:ta (appale 4.2) ja EKF2:ta (appale 4.3). Simulaatioiden EKF2 eroaa EKF:sta vain tuiasemamittausten äsittelyn osalta, uten appaleessa todettiin. Suodattimia vertaillaan myös WLS-rataisun (appale 3.3) anssa. WLS-rataisu on sama jota PKF äyttää mittausena, joten tuiasemien setoritietoja on äytetty hyväsi rataisun valinnassa (atso appale 4.4). Setoritietoja on äytetty siten, että rataisu on hylätty, miäli sen etäisyys setoriin on enemmän uin tuiasemaetäisyysmittausen virheen sigma. Tasan- ja ylimäärättyjä systeemejä on vertailtu appaleessa Vertailussa tasanja ylimäärätyissä systeemeissä on joaisena ajanhetenä vaiomäärä mittausia, jota tulevat aina samoista lähteistä. Alimäärätyn systeemin tapausessa on vertailtu EKF:ta ja EKF2:ta appaleessa Alimäärätyssä tapausessa simulaatioissa on joaisena ajanhetenä vaiomäärä mittausia, mutta ne tulevat vuorotellen eri tuiasemista tai satelliiteista. Kappaleessa 5.2 on testattu appaleessa esitettyjä tulosia PKF:lle simulaation avulla. Kappaleessa 5.3 on esitytty EKF:n ja EKF2:n hairahtumisilmiöön. Kappaleessa on esitetty tasanmäärätty systeemi, joissa EKF:n ja EKF2:n on havaittu hairahtuvan helposti. Kappeleessa myös vertaillaan yseisellä reitillä EKF:n ja EKF2:n hairahtumista, taremmin sanottuna tutitaan osa suodattimet eivät ole onsistentteja. Kappaleessa puolestaan on vertailtu yseisten suodattimien hairahtumista alimäärätyssä systeemissä. Luvun lopussa (appale 5.4) on esitetty suodattimien toimintaa oiealla reitillä, jona teijä 61

63 LUKU 5. SIMULAATIOT JA TESTAUS 62 on ävellyt Tampereen tenillisen yliopiston ampusalueella esällä Simulaatiot on toteutettu Matlab-ohjelmalla. Simulaatioissa tuiasemien (BS, Base Station) etäisyysmittausien virheen sigma on σ ρ t = 80 m, jota on äytetty myös oreusmittausen sigmana. Satelliittien (SV, Space Vehicle) pseudoetäisyysmittausien virheen sigma on σ ρ s = 10 m ja pseudoetäisyysien derivaattamittausien virheen sigma on σ ρ s = 0,1 m (vertaa luu 3). Kaiissa s simulaatioissa satelliittimittauset esiintyvät pareittain, eli satelliitista on aina seä pseudoetäisyysmittaus että pseudoetäisyyden derivaattamittaus tai ei umpaaaan mittausta. Simulaatioissa äytetyt reitit on simuloitu appaleessa 4.1 olevan tilamallin muaan. Käytettyjen tuiasemien paiavetorit on annettu yseisten simulaatioiden ohdalla. Satelliittien paiat on simuloitu navigointiviestin avulla, jona teijä on mitannut noin ello 15:00 Tampereen tenillisen yliopiston ampusalueella. 5.1 Suodattimien vertailu Tasan- ja ylimäärätty systeemi Tutitaan tasan- ja ylimäärättyjä systeemejä simulaatioiden avulla. Kuvassa 5.1 on esitetty eräs simuloitu reitti. Reitin esto (pituus) on 120 seuntia ja reitin normaalijaautuneen aluehdon (lähdön) odotusarvo on x 0 = [0, 500, 0, 0, 0, 0] ja ovarianssimatriisi on P 0 = Diag([1 000, 1 000, 1 000, 100, 100, 100]), missä Diag on operaattori, joa teee vetorista diagonaalimatriisin. Kuvassa on myös esitetty suodattimien antamat reitit ja WLS-rataisut. Mittausia on tullut joaisena ajanhetenä olmesta tuiasemasta, jota on piirretty uvaan. Joaisena ajanhetenä on ollut äytössä myös oreusmittaus. Tuiasemien paiavetorit ovat r t 1 = [1 000, 0, 0], r t 2 = [ 1 000, 0, 0] ja r t 3 = [0, 1 000, 0]. Seuraavissa simulaatioissa, joissa ei ole etäisyysmittausia aiista olmesta tuiasemasta, tuiasemat ovat muana tässä järjestysessä. Esimerisi, jos simulaatiossa on muana vain ysi tuiasema niin sen paiavetori on r t 1. Kuvaan on lisäsi piirretty ajanhetillä t 1, t 40, t 80 ja t 120 suodattimien ja WLSrataisijan antamat ovarianssimatriiseja vastaavat 68% ellipsit itä-pohjoistasossa (ovarianssimatriisia vastaavan neliömuodon tasa-arvopinta, jona sisällä on 68% paian ehdollisen tiheysfuntion todennäöisyysmassasta). Tämän työn simulaatioissa oletetaan tietyn prosenttista ellipsiä lasettaessa hieman virheellisesti, että aii jaaumat ovat normaaleja. Lasut osoittavat suodattimien ja WLS-rataisun osalta, että oo reitin 68% ellipsien sisällä oli noin 68% oieita reittipisteitä. Kuvasta 5.1 huomataan, että yseisessä tapausessa EKF ja EKF2 toimivat lähes samalla tavalla. Tämän taia EKF:n reittiä on vaiea havaita EKF2:n reitin alta. Myösään paiarataisun Kalmanin suodatin ei juuriaan poiea toisista suodattimista. Kuvasta voidaan havaita, uina selvästi suodatus parantaa paiaesti-

64 LUKU 5. SIMULAATIOT JA TESTAUS Reitti WLS PKF EKF EKF Lähtö Kuva 5.1: Suodattimien ja WLS-rataisun vertailu. Mittauset tulevat joa heti olmesta tuiasemasta, lisäsi oreusmittaus on äytössä. maattia verrattuna WLS-rataisuun. Toisaalta havaitaan myös vaionopeusmallin (appale 4.1) suodattimille hyvin tyypillinen ominaisuus: mutat tahtovat mennä pitäsi. Vaionopeusmallissa oletetaan, että iihtyvyys on valoinen prosessi. Tosin mutien ohdalla tämä valoisuusoletus on yseenalainen, osa iihtyvyydet eri ajanhetillä ovat toisistaan riippuvia, un äännytään samaan suuntaan oo ajan. Suodattimien ja WLS-rataisun virheet vaihtelevat reitin ja mittausten muaan. Tämän vuosi tutitaan suodattimia ja WLS-rataisijaa useammilla reiteillä ja mittausilla. Tauluossa 5.1 on esitetty viidenymmenen eri reitin tulosia eri määrällä mittausia (eri ombinaatioilla). Reitit on simuloitu tilamallin muaan (appale 4.1) ja aluehtona on äytetty samaa uin edellisessä esimerissä. Eri ombinaatioissa olevien satelliittien, joista saadaan seä pseudoetäisyysmittausia että pseudoetäisyyden derivaattamittausia, luumäärä on annettu saraeessa SV. Kombinaatioissa olevien tuiasemien etäisyysmittausien luumäärä on annettu saraeessa BS. Kaiissa eri ombinaatioissa on muana myös oreusmittaus luuunottamatta yhdesättä ombinaatiota, jona BS-saraeessa on. Tässä ombinaatiossa on siis vain neljän satelliitin mittauset, ei oreusmittausta eiä tuiasemien etäisyysmittausia. Kyseisille viidelleymmenelle reitille on simuloitu ymmenet eri mittauset ja tulosista on lasettu olmiulotteiset 68%- ja 95%-virherajat metreissä, jota on esitetty tauluossa %-virherajalla taroitetaan seuraavaa: lasetaan aiien estimaattien

65 LUKU 5. SIMULAATIOT JA TESTAUS 64 virheet estimoitavasta paiasta olmiulotteisesti, 68% tapausista tämä virhe on pienempi uin 68%-virheraja. Vastaavasti 95% virheistä on pienempiä uin 95%- virheraja. Virheraja on miäli rataisuja ei ole saatu edes virherajan prosenttimäärää vastavaa luumäärää. Tauluoon on myös WLS-rataisun ohdalla sarae. Kyseisessä saraeessa on ilmoitettu prosenttiosuus tapausista, joilla ei ole saatu ysiäsitteistä paiarataisua. Tämä voi johtua siitä, että WLS-rataisut ovat onvergoineet eri arvoihin tai miään WLS-rataisu ei ole täyttänyt tuiasemien setoriehtoja (atso appale 4.4). On hyvä pitää mielessä, että suodattimet antavat joaisena ajanhetenä tilaestimaatin riippumatta mittausien luumäärästä. Tauluo 5.1: Suodattimien ja WLS-rataisun vertailua eri määrällä mittausia. Mittausia WLS PKF EKF EKF2 SV BS 68% 95% 68% 95% 68% 95% 68% 95% % % % % % % % % % % % % % Tauluosta 5.1 voidaan päätellä: ensinnäin, että yseisissä tilanteissa aii suodattimet pienentävät virhettä huomattavasti (jopa 80%) verrattuna WLS-rataisuun. Toisaalta EKF:n ja EKF2:n välillä ei ole tämän perusteella huomattavaa eroa. Myösään PKF:lla ei ole huomattavaa eroa muihin suodattimiin uin tapausissa, joissa ei ole ysiäsitteistä WLS-rataisua, eli pääasiassa ensimmäisessä (SV = 0 ja BS = 3) ja toisessa (SV = 2 ja BS = 1) mittausombinaatiossa. Miäli mittausia on neljästä satelliitista, havaitaan etteivät tuiasemien etäisyysmittauset enää paranna paiaestimaattia. Ainoastaan oreusmittausella saattaa olla pieni paiaestimaattin virhettä vähentävä vaiutus Alimäärätty systeemi Kappaleessa tutittiin tilannetta, jolloin systeemi on tasan- tai ylimäärätty. Kuitenin systeemi saattaa usein olla alimäärätty. Tällöin ei luonnollisesti voida rataista paiaestimaattia WLS-rataisijalla, osa mittausia on liian vähän. Näin ollen myösään PKF suodatin ei toimi optimaalisesti, osa se ei äytä aiia saatavilla olevia mittausia hyödysi. Toisaalta EKF ja EKF2 voivat toimia varsin

66 LUKU 5. SIMULAATIOT JA TESTAUS 65 hyvin, vaia systeemi olisi aina alimäärätty. Seuraavasi tutitaan EKF:n ja EKF2:n toimintaa alimäärätyissä tilanteissa. Tauluossa 5.2 on esitetty EKF:n ja EKF2:n suodattimien toimintaa samalla tavalla uin tauluossa 5.1. Erona on vain se, että nyt mittauset tulevat vuorotellen eri tuiasemista ja satelliiteista, siten että joaisena ajanhetenä on saraeen SV ilmoittama määrä eri sateliitteista tulevia mittausia ja saraeen BS ilmoittava määrä tuiasemien etäisyysmittausia. Näiden lisäsi oreusmittaus on äytössä luuunottamatta olmatta ja viimeistä ombinaatiota, joiden BS-saraeessa on. Tauluossa 5.2 on esitetty viidenymmenen reitin tuloset, joille joaiselle on simuloitu ymmenet eri mittauset. Reitit on simuloitu samalla tavalla uin appaleessa Tauluo 5.2: EKF:n ja EKF2:n vertailu alimäärätyissä systeemeissä eri määrällä mittausia. Mittausia EKF EKF2 SV BS 68% 95% 68% 95% Tauluosta 5.2 havaitaan jälleen, ettei yseisissäään tapausissa EKF:n ja EKF2:n välillä ole huomattavaa eroa. Tuloset ovat EKF:n ja EKF2:n osalta hyvin mairittelevia, miäli niitä verrataan tauluossa 5.1 esitettyihin WLS-rataisijan tulosiin. Esimerisi EKF:n ja EKF2:n tuottavat huomattavasti paremman paiaestimaatin, miäli joaisena ajanhetenä on vain yhden tuiaseman etäisyysmittaus ja oreusmittaus, uin WLS-rataisu olmesta tuiaseman etäisyysmittausesta ja oreusmittausesta. Toisena esimerinä voisi verrata esenään tilannetta, joissa suodattimilla on joaisena ajanhetenä mittausia vain ahdesta satelliitista ja WLS-rataisu on peräisin neljän satelliitin mittausista, olmesta tuiaseman etäisyysmittausesta ja oreusmittausesta. Tällöin yseiset suodattimet tuottavat huomattavasti paremman paiaestimaatin uin WLS-rataisu. Tämän ja edellisen appaleen tulosien pohjalta havaitaan, että yseisissä tilanteissa EKF ja EKF2 eivät juuriaan eroa toisistaan, miä oli odotettua, osa priori-tilan suurin sigma oli samaa ertaluoaa uin 10 (priori-nopeuden suurin sigma oli simulaatioissa aina pienempi uin priori-paian suurin sigma), jolloin mittausissa ei ollut huomattavaa epälineaarisuutta. Taremmin asiaa on analysoitu appaleessa Kysymyseen toimivato suodattimet edellä esitetyissä systeemeissä oiein, on huomattavasti vaieampi vastata. Suodattimen oiein toimiminen taroittaa sitä, että suodattimen antamat tilan ehdolliset tiheysfuntiot vastaavat yleisen suodatusongelman taraa rataisua (appale 2.1). Kappaleen pohjalta tiedetään, että PKF on ainain BLUE-estimaattori yseisille systeemeille, un ehdollistavina mittau-

67 LUKU 5. SIMULAATIOT JA TESTAUS 66 sina on PKF:lle syötetyt mittauset, olettaen, että lasetut paia- ja nopeusrataisujen virheiden ovarianssit ovat oiein. Tosin vaia ne eivät olisi oiein, niin appaleen perusteella tiedetään, että PKF:n antama estimaattori on ainain onsistentti, jos mittausvirheet on mallinnettu todellisia virheitä suuremmisi. Teorian muaan PKF:n tiedetään siis toimivan lähes oiein, un ehdollistavana mittausina on PKF:lle syötetyt mittauset. Systeemeissä, joissa PKF, EKF ja EKF2 toimivat lähes samalla tavalla tauluon 5.1 muaan, voidaan PKF:n avulla päätellä, että myös EKF ja EKF2 toimivat näissä systeemeissä lähes oiein. Toimivato EKF ja EKF2 oiein tauluossa 5.2 esitetyissä tilanteissa? Tiedetään, että virhejaaumat ovat normaaleja, mittausfuntioiden epälineaarisuus ei ole huomattavaa ja systeemit ovat täydellisesti tarailtavissa lyhyellä aiavälillä. (Lineaariselle suodattimelle yseinen ominaisuus on määritelty määritelmässä Epälineaarisessa tapausessa aiavälin pituus vastaa liimain sitä uina pitältä ajalta tarvittaisiin taroja mittausia, että tila saataisiin rataistua ysiäsitteisesti.) Näiden perusteella tilan ehdolliset tiheysfuntiot muistuttavat normaalijaaumaa ja EKF2:n tulisi toimia lähes oiein (appale 2.3.1). Näin ollen myös EKF toimisi lähes oiein. Kuitenin appaleessa 5.3 esitetään systeemejä, jota EKF2:n mielestä eivät ole huomattavasti epälineaarisia ja joiden virhejaaumat ovat normaaleja. Näistä huolimatta EKF2 ja EKF saattavat toimia yseisissä systeemeissä täysin väärin. Pohjimmaisena ongelmana on se, ettei EKF:lle ja EKF2:lle ole todistettu niiden oiein toimimista yleisessä tapausessa. Syy tähän on tietenin selvä appaleen 5.3 perusteella, jossa näytetään etteivät yseiset suodattimet toimi aina yleisessä tapausessa oiein. 5.2 PKF:n epävarmuus Tässä appaleessa testataan appaleessa esitettyjä tulosia PKF:n epävarmuudesta. Tässä esitytään ensimmäiseen tilanteeseen eli tauluon 4.1 tulosiin. Kyseisessä systeemissä asi tuiasemaa on äyttäjästä atsottuna 90 ulmassa. Simulaatiossa systeemi raennetaan siten, että ensimmäinen tuiasema on origosta atsottuna idässä ja toinen pohjoisessa. Tuiasemien pysyminen äyttäjästä atsottuna 90 ulmassa varmistetaan sillä, että etäisyys origosta tuiasemiin on yhtä suuri uin maapallon säde. Systeemissä on äytettävissä myös oreusmittaus. Koreusmittaus ajatellaan maapallon esipisteessä olevan tuiaseman etäisyysmittausesi. Näin ollen uvitteellisessa systeemissä on olme tuiasemaa ja aii ovat yhtä auana origosta. Simuloidaan tilamallin muainen reitti, jona aluehto on normaalijaautunut odotusarvolla x 0 = [0, 0, 0, 0, 0, 0] ja ovarianssimatriisilla P 0 = Diag([1 000, 1 000, 1 000, 100, 100, 100]). Simuloidaan yseiselle reitille sadat mittauset ja rataistaan paiaestimaatit seä WLS-rataisijalla että PKF:lla. Kuvassa 5.2 on punaisilla paleilla simulaation paiaestimaatin virheiden normien tiheysfuntiot molemmille tapausille. Lisäsi WLS-rataisun uvaan on piirretty

68 LUKU 5. SIMULAATIOT JA TESTAUS 67 sinisellä tauluossa 4.1 olevaa teoreettista sigmaa (σ rat = 80 m) vastaava virheen normin tiheysfuntio. PKF:n uvaan on piirretty sinisellä edellä mainitussa tauluossa löytyvän ylärajaa (σ suod = 53 m) vastaava virheen normin tiheysfuntio. PKF:n uvaan on mustalla piirretty PKF:n simulaatioissa antaman ehdollisen jaauman avulla lasettu virheen normin tiheysfuntio. Tapausissa on oletettu, että ovarianssimatriisit ovat muotoa vaio ertaa ysiömatriisi. tiheysfuntion arvo (10 4 ) WLS teoria simulaatio estimaatin virhe (m) tiheysfuntion arvo (10 4 ) PKF yläraja PKF simulaatio estimaatin virhe (m) Kuva 5.2: Teorian, WLS-rataisun epävarmuuden ja PKF:n epävarmuuden vertailu. Kuvasta 5.2 voidaan päätellä, että WLS-rataisija toimii tässä tapausessa uten teoria olettaain. Havaitaan myös, että appaleessa annettu yläraja PKF:n rataisun virheen sigmalle on selvästi yläraja ja vielä aia löysä sellainen. Lisäsi havaitaan, että PKF:n antaman ehdollisen jaauman avulla lasettu tiheysfuntio virheen normille vastaa hyvin tarasti realisoituneita virheitä. Kyseisissä tapausissa myös EKF ja EKF2 toimivat vastaavalla tavalla uin PKF. 5.3 EKF:n ja EKF2:n hairahtuminen Kappaleessa mainittiin, että EKF:n eräs heious tasan- ja alimäärätyissä systeemeissä on hairahtumisilmiö, jossa suodatin aliarvioi estimaattorin virhettä, eiä näin ollen ole onsistentti. Tälläistä tapahtuu esimerisi tilanteissa, joissa WLS-rataisu ei ole ysiäsitteinen ja eri rataisut ovat suhteellisen lähellä toisiaan. Tälläinen tapaus on esitelty appaleessa Toisaalta hairahtumista esiintyy usein myös alimäärätyissä

69 LUKU 5. SIMULAATIOT JA TESTAUS 68 systeemeissä, jota ovat täydellisesti tarailtavissa vain pitällä aiavälillä. Tälläistä tapausta on äsitelty appaleessa Yhteistä näille tilanteille on se, etteivät tilan ehdolliset tiheysfuntiot muistuta normaalijaaumaa Tasanmäärätty systeemi Kuvassa 5.3 on esitetty tilanne, jossa EKF on hairahtunut. Kuvassa on 120 seunnin mittainen tilamallin muaan simuloitu reitti. Mittausia on ensimmäisten 110 seunnin aiana ensimmäisestä ja toisesta tuiasemasta, viimeiset ymmenen seuntia mittausia tulee myös olmannesta tuiasemasta. Näiden lisäsi oreusmittaus on joaisena ajanhetenä äytössä. Kuvaan on meritty ohdat, jolloin olmannesta tuiasemasta alaa tulla mittausia. Kuvaan on myös piirretty ovarianssimatriiseja vastaavat 68% ellipsit itä-pohjoistasossa. Ellipsit on piirretty aluehdossa ja ajanhetillä t 60, t 110, t 111 ja t 120. Ellipsijä vastaavien odotusarvojen ympärille on hahmottamisen helpottamisesi piirretty pienet ympyrät tuiasema Reitti EKF EKF tuiasema Lähtö 1. tuiasema 500 Näissä ohdissa ja näiden jäleen mittausia myös olmannelta tuiasemalta Kuva 5.3: EKF:n hairahtuminen ja EKF2:n ovarianssimatriisin asvattaminen. Kuvasta 5.3 huomataan, että EKF on hairahtunut esivaiheilla todellisen reitin peiliuvareitille ensimmäisen ja toisen tuiaseman autta ulevan suoran suhteen. EKF

70 LUKU 5. SIMULAATIOT JA TESTAUS 69 ei tämän taia ole onsistentti, osa on erittäin epätodennäöistä, että todelliset virheet olisivat peräisin EKF:n antamista virhejaaumista. Tämän havaitsee helposti muun muassa ajanhetellä t 110 uvaan piirretystä EKF:n ellipsistä. Kuvan tapausessa EKF2 on puolestaan asvattanut ovarianssimatriisia ja näin pysynyt onsistenttina. Kuvasta havaitaan, että miäli EKF hairahtuu, sen palaaminen oiealle reitille estää suhteellisen pitän aiaa vaia olisi äytössä olmannen tuiaseman etäisyysmittaus. Toisaalta EKF2 löytää oiean reitin lähes välittömästi olmannen tuiaseman etäisyysmittausen avulla. Kyseisten suodattimien onsistenttiutta ja hairahtumista on äsitelty taremmin seuraavan simulaation yhteydessä. Kuvassa 5.3 olevalle reitille on generoitu yllä esitetyt mittauset tuhat ertaa ja ne on suodatettu seä EKF:lla, että EKF2:lla. Tulosena saatiin, että EKF oli onsistentti 277 ertaa ja EKF2 oli onsistentti 892 ertaa. Tässä suodatinta on pidetty onsistenttina, miäli realisoituneita virheitä suurempia virheitä realisoituisi joaisena ajanhetenä suodattimen antamista virhejaaumista vähintään todennäöisyydellä Virheet on lasettu olmiulotteisesti. Kaiissa simulaatioissa, joissa suodattimet eivät olleet onsistentteja suurimmat virheet olivat yli metriä. Suodattimien reitit esivaiheilla vastasivat siis todellisen reitin peiliuvaa ensimmäisen ja toisen tuiaseman autta ulevan suoran suhteen. Silloin un EKF oli onsistentti, sen antama reitti uli lähellä todellista reittiä (suurin virhe oli alle 650 metriä). Silloin taas un EKF2 oli onsistentti, vain 37 ertaa EKF2 oli lähellä todellista reittiä (suurin virhe oli alle 650 metriä). Muulloin (855 erralla) EKF2 toimi uten uvassa 5.3 eli asvatti ovarianssimatriisia ja niin pysyi onsistenttina. Todellisuudessa tilan ehdollisten tiheysfuntioiden jaaumat suurimmassa osassa tapausista ovat asihuippuisia reitin esivaiheilla. Jaaumien huiput sijaitsevat oiealla reitillä ja reitillä, johon EKF hairahtui uvassa 5.3. Tälläisen asihuippuisen jaauman odotusarvon ja ovarianssimatriisin EKF2 antaa lähes oiein silloin un se asvattaa ovarianssimatriisia uten edellä errottiin. Näissä tapausissa EKF2 toimi siis oiein eli EKF2:n antamat ehdolliset odotusarvot ja ovarianssimatriisit vastasivat hyvin todellisuutta. Lainausmerit ovat sisi, että yseisessä tapausessa tilan ehdollista tiheysfuntiota ei voi esittää pelien ahden ensimmäisen tilastollisen momentin avulla. Kuten appaleessa 2.3 todettiin, tiheysfuntion ollessa asihuippuinen tiheysfuntion odotusarvo ja ovarianssimatriisi ertovat tiheysfuntiosta suhteellisen vähän, uten uvasta 5.3 havaitaan. Sellaisia ertoja, jolloin EKF oli onsistentti ja EKF2 ei ollut, oli 24. On vaiea sanoa toimio EKF tällöin oiein vai ei. Miäli todellinen ehdollinen tiheysfuntio olisi mittausten perusteella asihuippuinen, EKF ei toimisi oiein. Näissä tilanteissa EKF saattaisi antaa paremman estimaatin todelliselle reitille. Kosa ehdollinen tiheysfuntio on asihuippuinen, EKF:n antama rataisu ei olisi oiein. Tämä sen taia, osa mittausien perusteella ei voitaisi oieasti päätellä ummalla reitillä äyttäjä on. Näissä tapausissa EKF olisi vain sattunut arvaamaan oiean reitin.

71 LUKU 5. SIMULAATIOT JA TESTAUS 70 Tämä sama problematiia on esillä usein un suodattimia vertaillaan, osa useinaan ei tiedetä mitä ovat oieat ehdolliset tiheysfuntiot. Ehdollisten tiheysfuntioiden sijasta yleensä tiedetään vain todellinen reitti, jona tilapisteitä voidaan pitää ehdollisten tiheysfuntioiden realisaatioina. Toisin sanoen, suodattimet antavat satunnaismuuttujan odotusarvon ja ovarianssimatriisin, joiden perusteella pitäisi päätellä minä suodattimen antamat arvot vastaavat parhaiten tilan oieata ehdollista tiheysfuntiota. Oieasta ehdollisesta tiheysfuntiosta tiedetään vain ysi realisaatio. Kuvassa 5.4 on esitetty EKF:n ja EKF2:n antamien estimaattien ovarianssimatriisien ja realisoituneiden olmiulotteisten paiavirheiden välistä yhteyttä tämän appaleen simulaatioille. Kuvassa on piirretty uina monta prosenttia realisoituneista virheistä on tietyn suuruisen ellipsoidin sisällä. Ellipsoidit vastaavat suodattimien antamia estimaattien ovarianssimatriisien neliömuotojen tasa-arvopintoja. Ellipsoidin säteellä taroitetaan estimaatin todennäöisyysmassan osuutta, joa sijaitsee edellä mainittujen ellipsoidien sisällä. Kuvassa punaiset viivat vastaavat oiein toimivaa onsistenttia suodatinta ja siniset viivat vastaavat otsion muaisia suodattimia. Seuraavassa appaleessa on annettu esimeri uina uvaa tulitaan. Tapausia (%) EKF Ellipsoidin säde Tapausia (%) EKF Ellipsoidin säde Kuva 5.4: EKF:n ja EKF2:n antamien estimaattien ovarianssimatriisien ja realisoituneiden olmiulotteisten paiavirheiden välinen yhteys. EKF:n tapausessa ympyröity ohta taroittaa, että EKF:n antamien ovarianssimatriiseja vastaavien 70% ellipsoidien sisällä on vain 50% realisoituneista virheistä (tapausista). Tämä taroittaa sitä, että EKF aliarvioi estimaatin virhettä, joa on todettu myös appaleessa EKF2:n tapausessa ympyröity ohta taroittaa, että EKF2:n antamien ovarianssimatriiseja vastaavien 20% ellipsoidien sisällä on 25% realisoituneista virheistä (tapausista). Tämä taroittaa sitä, että EKF2 yliarvioi tässä ohden estimaatin virhettä. Näin ollen EKF2 ei toimi optimaalisesti yseisessä systeemissä.

72 LUKU 5. SIMULAATIOT JA TESTAUS 71 Lisäsi uvasta huomataan, että EKF hairahtuu myös useammalla ajanhetellä uin EKF2. Tosin uvan perusteella myös EKF2 hairahtuu joissain tapausissa. Kuvan perusteella voidaan sanoa, että EKF2 toimii paremmin uin EKF yseisessä systeemissä, tosin umpiaan suodatin ei toimi täysin oiein yseisessä systeemissä Alimäärätty systeemi Tutitaan seuraavasi EKF:n ja EKF2:n onsistenttiutta alimäärätyssä systeemissä, jossa suodattimilla on joaisella ajanhetellä äytössä vain ysi tuiaseman etäisyysmittaus ja oreusmittaus. Tuiaseman etäisyysmittaus tulee aina samasta tuiasemasta, joten ajan mittaan paian ehdollisten tiheysfuntioiden tasa-arvopinnat alavat muistuttamaan donitsia, jona säde on äyttäjän etäisyys tuiasemasta. Myös tässä tapausessa on oletettavaa, ettei EKF toimi aina onsistenttisesti. Simuloidaan tuhannelle eri reitille ymmenet mittauset ja nämä aii on suodatettu seä EKF:lla että EKF2:lla. Joaisen reitin esto oli 120 seuntia. Joaisella erralla määritettiin pysyivätö yseiset suodattimet onsistentteina samalla riteerillä uin appaleessa Tulosena saatiin, että EKF oli onsistentti ertaa ja EKF2 oli onsistentti ertaa. Simulaatiossa äytetyn tuiaseman paiavetori oli r t = [1 000, 0, 0]. Simulaatioiden reittien aluehtojen ovarianssimatriisit olivat aiilla samat P 0 = Diag([1 000, 1 000, 1 000, 100, 100, 100]), mutta aluehtojen odotusarvot olivat muotoa x 0 = [e 0, 0, 0, 0, 0, 0], missä e 0 sai 200 metrin välein arvoja väliltä [ 800, 1 000]. Joaisen arvon e 0 sai siis sata ertaa. Simulaation tulosien perusteella aluehdon odotusarvolla ja EKF2:n onsistenttiudella ei ollut orrelaatiota. EKF:n onsistenttiudella ja aluehdon odotusarvolla oli orrelaatiota. Miäli aluehdon odotusarvon e 0 oli pieni, eli auana tuiasemasta, niin EKF ei ollut onsistentti noin prosentin todennäöisyydellä. Toisaalta, miäli aluehdon odotusarvo oli lähellä tuiasemaa (e 0 oli suuri) niin EKF ei ollut onsistentti lähes 80 prosentin todennäöisyydellä. Tämä oli odotettu tulos, osa tuiaseman etäisyysmittausen epälineaarisuus on suurta lähellä tuiasemaa. EKF ei ota huomioon epälineaarisuuden aiheuttamaa virhettä, toisin uin EKF2. Tämän appaleen yhteenvetona voidaan todeta, että EKF:lla esiintyvää hairahtumisilmiötä esiintyy myös EKF2:lla, tosin selvästi vähemmän uin EKF:lla. Käytännön tilanteissa hairahtumisilmiö on erittäin iusallinen, osa suodatin luulee antavansa hyvän estimaatin, joa todellisuudessa on pahasti pielessä. Lisäsi suodatin äyttää tätä pahasti pielessä olevaa, omasta mielestään taraa, estimaattia estimoidessa seuraavaa tilaa ja näin virhe säilyy aiasarjassa suhteellisen pitän ajan. Yhtenä perussyynä ongelmaan on epälineaarisuuden lisäsi se, että EKF ja EKF2 äyttävät edellistä tilaestimaattia mittausmallin teemisessä. Näin ollen pienet virheet saat-

73 LUKU 5. SIMULAATIOT JA TESTAUS 72 tavat asaantua ajan myötä suuresi virheesi, uten tässä appaleessa on esitetty. Rataisun ehittäminen tähän ongelmaan jätetään jatotutimusaiheesi. Toisaalta on hyvä pitää mielessä, että vaia PKF ei ole aina optimaalinen niin sillä ei esiinny vastaavanlaista virheiden ertymisilmiötä. Tämä johtuu siitä, että PKF:n mittausmalli ei riipu tilaestimaatista. Lisäsi PKF:lle on ehitetty teoria, jona avulla PKF saadan pysymään onsistenttina. 5.4 Suodattimien toiminta oiealla reitillä Viimeisessä simulaatiossa näytetään esimerinomaisesti, miltä WLS-rataisut ja suodattimien antamat rataisut näyttävät artalla. Simulaation pohjana äytetään reittiä, jona teijä on mitannut Tampereen tenillisen yliopiston ampusalueella. Samoista mittausista on myös peräisin simulaatioissa äytetty navigointiviesti. Simulaatioon otettu reitti on seuntia pitä ja mittausia on tullut eri ajanhetenä. Simulaation pohjana äytetty reitti on lasettu joa heti noin uuden eri satelliitin mittausien pohjalta ja on näin ollen hyvin tara. Kyseiselle reitille on simuloitu mittauset olmesta satelliittista, ysi tuiaseman etäisyysmittaus ja oreusmittaus. Mittausien perusteella on lasettu WLS-rataisut ja suodatettu mittausia PKF:lla, EKF:lla ja EKF2:lla. Tuloset on esitetty uvassa 5.5. Kuvaan on myös piirretty tuiasema, josta simuloidut mittauset ovat tulleet. Kuva on ENUoordinaateissa, siten että origo on Obelisin ohdalla. Reitti myös päättyy Obelisille. Reitin lähtö ja päättyminen (Obelisi) ovat meritty uvaan. Obelisi on maameri Tampereen tenillisen yliopiston ampusalueella. Kuvassa 5.5 olevalle simulaatiolle on lasettu tunnusluuja tauluoon 5.3. Tauluossa olevat tiedot on esitetty samalla tavalla uin tauluossa 5.1, jona yhteydessä eri saraeiden meritys on myös selitetty. Kuvasta ja tauluon perusteella huomataan, että EKF ja EKF2 toimivat tässäin tilanteessa lähes samalla tavalla. PKF:n virhe on selvästi suurempi uin EKF:n ja EKF2:n. Tämä johtuu siitä, että WLS-rataisija ei saa rataistua ysiäsitteistä paiaa uin noin 80% tapausista ja näin ollen PKF ei äytä huomattavaa määrää mittausia hyödysi. Tauluo 5.3: WLS-rataisun ja suodattimien vertailu oiealla reitillä. Mittausia WLS PKF EKF EKF2 SV BS 68% 95% 68% 95% 68% 95% 68% 95% Miäli suodattimien toimintaa yseisessä simulaatiossa vertaillaan uten EKF:ta ja EKF2:ta on vertailtu uvassa 5.4, havaitaan, että EKF ja EKF2 yliarvioivat estimaatin virhettä. WLS-rataisun ja PKF:n odotusarvon virheet puolestaan vastaavat sitä mitä WLS-rataisija ja PKF ennustavat virheiden ovarianssimatriisien muodossa.

74 LUKU 5. SIMULAATIOT JA TESTAUS Reitti WLS PKF Obelisi 0 EKF Lähtö EKF Kuva 5.5: WLS-rataisut ja suodattimien toiminta oiealla reitillä. Taustauvan osalta c Tampereen aupunimittausysiö Tietenään yhden simulaation ja reitin perusteella ei voida vetää merittäviä johtopäätösiä puoleen tai toiseen. Huomionarvoista uitenin on, miäli uvassa 5.5 olevaa reittiä verrataan uvissa 5.1 ja 5.3 oleviin reitteihin, että työssä äytetty tilamalli ei tässä tapausessa vastaa todellista tilamallia. Ensinnäin uvan 5.5 reitissä nopeus pysyy pitiäin aioja lähes vaiona ja ennen aiea rajoitettuna. Tämän työn tilamallin muaan nopeus yleensä muuttuu nopeammin uin yseessä olevalla reitillä ja tilamallin nopeuden ei tarvitse pysyä rajoitettuna. Kuitenin tiedetään, että nopeus on aina rajoitettu. Toisin sanoen työssä esitetty tilamalli ei uvaa todellista tilannetta tarasti. Suodattimet toimisivat paremmin sovellusessa, miäli tilamalli olisi realistisempi. Tämä, uten aiaisemmin todettiin, jätetään jatotutimusaiheesi.

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15

Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15 SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi

Lisätiedot

Tuomo Mäki-Marttunen Stokastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaikannuksessa

Tuomo Mäki-Marttunen Stokastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaikannuksessa TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Luonnontieteiden ja ympäristöteniian tiedeunta Tuomo Mäi-Marttunen Stoastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaiannusessa Diplomityö Aihe hyväsytty tiedeuntaneuvostossa

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen 9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen

Lisätiedot

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa

DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.

Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. 1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2

Lisätiedot

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla

2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un

Lisätiedot

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi

Lisätiedot

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3: Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään

Lisätiedot

AMBIGUITEETTIONGELMA KANTOAALLONVAIHEMITTAUKSESSA. JUKKA TOLONEN Teknillinen korkeakoulu Maanmittaustieteiden laitos jotolone@cc.hut.

AMBIGUITEETTIONGELMA KANTOAALLONVAIHEMITTAUKSESSA. JUKKA TOLONEN Teknillinen korkeakoulu Maanmittaustieteiden laitos jotolone@cc.hut. MIGUITEETTIONGELM KNTOLLONVIHEMITTUKSESS JUKK TOLONEN Tenillinen oreaoulu Maanmittaustieteiden laitos otolone@cc.hut.fi . Johdanto Satelliittipaiannus perustuu vastaanottimen a satelliittien välisen etäisyyden

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä

K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot

4.7 Todennäköisyysjakaumia

4.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma

Lisätiedot

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle

Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-04256-14 1 (6) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö ITW Construction Products Oy Jarmo Kytömäi Timmermalmintie 19A 01680 Vantaa 18.9.2014 Jarmo Kytömäi VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL

Lisätiedot

ONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV. Suomen Aktuaariyhdistyksen vuosikokousesitelmä

ONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV. Suomen Aktuaariyhdistyksen vuosikokousesitelmä ONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV Suomen Atuaariyhdistysen vuosioousesitelmä 27.2.2006 2 Sisällysluettelo: sivu 1. Tasoitusvastuujärjestelmän uvaus

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi 02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin

Lisätiedot

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Harjoitustehtävät Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T u u T u T u, jossa ja

Lisätiedot

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa

Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle

Naulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-0361-1 1 (5) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 15100 Lahti 7.4.01 Simo Jouainen VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 1001, 0044 VTT Puh. 00 7 5566, ax. 00 7 7003

Lisätiedot

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa

Valon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa Jväslän Ammattioreaoulu, IT-instituutti IXPF24 Fsiia, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pasi Repo Valon diffratio hdessä ja ahdessa raossa Laatija - Pasi Vähämartti Vuosiurssi - IST4S1 Teopäivä 2005-2-17 Palautuspäivä

Lisätiedot

Naulalevylausunto LL13 naulalevylle

Naulalevylausunto LL13 naulalevylle LAUSUNTO NRO VTT-S-3259-12 1 (4) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 151 Lahti 27.4.212 Simo Jouainen VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 11, 244 VTT Puh. 2 722 5566, Fax. 2 722 73

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO

LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,

Lisätiedot

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt

Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,

Lisätiedot

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET

APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPEUSTEET Koooma 28.3.2006. Viimeisin perustemuutos on ahistettu 16.1.2003. APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKU-

Lisätiedot

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y

M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y 36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien

Lisätiedot

% %228koti. Lava. Lava. Srk -k es k us. III k. II Ts. III k. Ts k. M-market

% %228koti. Lava. Lava. Srk -k es k us. III k. II Ts. III k. Ts k. M-market I I I Kp a sp Sai r V t t Sair. t r at sp % %228oti t IV h Sai ra ala h r h Lava Lava Sa ir IV IV h h h Sr - es us t VI Kpa t r r r I r r I t t t t rr ts ts t M-met Kelloosen osayleisaava Kaupallinen selvitys

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi

Tilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)

Lisätiedot

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.

Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5. Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 202 2 TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET Voimaantulosäännöset Perusteen 20.2.2006 oimaantulosäännös

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 205 PERUSTEIDEN SOVELTAMINEN 2 IKÄÄN JA PALKKAAN LIITTYVÄT SUUREET 2 2. IKÄLASKU 2 2.2 VAKUUTUSMAKSUN PERUSTEENA OLEVA PALKKA JA SEN ARVIOIMINEN

Lisätiedot

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face

S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä äyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin taristus: ZN-Face Kalle Korhonen sorhon@cc.hut.fi 13.4.2000 Tiivistelmä: Raportissa tutustutaan aupalliseen

Lisätiedot

YRITTÄJIEN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004.

YRITTÄJIEN ELÄKELAIN (YEL) MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN PERUSTEET. Kokooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004. YITTÄJIN LÄKLAIN (YL) MUKAISN LISÄLÄKVAKUUTUKSN PUSTT Koooma 30.3.2006. Viimeisin perustemuutos vahvistettu 20.12.2004. SISÄLTÖ YITTÄJIN LÄKLAIN (YL) MUKAISN LISÄLÄKVAKUUTUKSN PUSTT 1. PUSTIDN SOVLTAMINN...

Lisätiedot

RATKAISUT: 21. Induktio

RATKAISUT: 21. Induktio Physica 9 2. painos 1(6) ATKAISUT ATKAISUT: 21.1 a) Kun magneettienttä muuttuu johdinsilmuan sisällä, johdinsilmuaan indusoituu lähdejännite. Tätä ilmiötä utsutaan indutiosi. b) Lenzin lai: Indutioilmiön

Lisätiedot

3 x ja 4. A2. Mikä on sen ympyräsektorin säde, jonka ympärysmitta on 12 ja pinta-ala mahdollisimman

3 x ja 4. A2. Mikä on sen ympyräsektorin säde, jonka ympärysmitta on 12 ja pinta-ala mahdollisimman HTKK, TTKK, LTKK, OY, ÅA/Insinööriosastot alintauulustelujen matematiian oe 900 Sarja A A Lase äyrien y, (Tara vastaus) y, ja rajaaman äärellisen alueen inta-ala A Miä on sen ymyräsetorin säde, jona ymärysmitta

Lisätiedot

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET

MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET 5 TLOUYRTTÄJÄN ELÄKELN UKEN VKUUTUKEN PERUTEET PERUTEDEN OVELTNEN Näitä perusteita soelletaan..009 lähtien maatalousrittäjän eläelain 80/006 YEL muaisiin auutusiin. VKUUTUKU Vauutusmasu uodelta on maatalousrittäjän

Lisätiedot

Taajamaosayleiskaava Kaupallisen selvityksen päivitys 28.2.2011

Taajamaosayleiskaava Kaupallisen selvityksen päivitys 28.2.2011 Taajamaosayleisaava Kaupallisen selvitysen päivitys Lohjan aupuni, Taajamaosayleisaava Kaupallisen selvitysen päivitys 1 1 JOHDANTO 2 2 KAUPALLINEN PALVELUVERKKO LOHJALLA 2011 3 2.1 Kaupalliset esittymät

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen / ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai

Lisätiedot

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys 28.5.2012

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys 28.5.2012 aupan palveluveroselvitys 28.5.2012 aupan palveluveroselvitys 1 Sisällysluettelo 1 JOHDANTO 2 2 KAUPAN NYKYTILAN KARTOITUS JA KUVAUS 3 2.1 Vähittäisaupan toimipaiat ja myynti 3 2.2 Ostovoima ja ostovoiman

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 204 2 TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET Voimaantulosäännöset Perusteen 20.2.2006 oimaantulosäännös

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia 8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.

Lisätiedot

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset. MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä

Lisätiedot

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys. Luonnos 11.5.2012

Nurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys. Luonnos 11.5.2012 aupan palveluveroselvitys Luonnos 11.5.2012 aupan palveluveroselvitys 1 Sisällysluettelo 1 JOHDANTO 1 2 KAUPAN NYKYTILAN KARTOITUS JA KUVAUS 3 2.1 Vähittäisaupan toimipaiat ja myynti 3 2.2 Ostovoima ja

Lisätiedot

SAUNAN ENERGIANKULUTUS JA SIIHEN VAIKUTTAVAT TEKIJÄT The energy consumption of sauna and related factors

SAUNAN ENERGIANKULUTUS JA SIIHEN VAIKUTTAVAT TEKIJÄT The energy consumption of sauna and related factors LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tenillinen tiedeunta Ympäristöteniian oulutusohelma BH10A0300 Ympäristöteniian andidaatintyö a seminaari SAUNAN ENERGIANKULUTUS JA SIIHEN VAIKUTTAVAT TEKIJÄT The energy

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet. Kokooma 16.3.2009. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 26.1.2009.

Työntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet. Kokooma 16.3.2009. Viimeisin perustemuutos on vahvistettu 26.1.2009. Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet Koooma 6.3.29. Viimeisin perustemuutos on ahistettu 26..29. Voimaantulosäännöset TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN

Lisätiedot

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän

Lisätiedot

Mikä on TOIMIA-tietokanta ja miten sitä voi hyödyntää asiakastyössä?

Mikä on TOIMIA-tietokanta ja miten sitä voi hyödyntää asiakastyössä? Miä on TOIMIA-tietoanta ja miten sitä voi hyödyntää asiaastyössä? toimintayvyn mittaamisen ja arvioinnin ansallinen asiantuntijaverosto Pirjo Juvonen-Posti, vanhempi asiantuntija ja Ai Vuoo, erioisläääri

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 06: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 1.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 06: Aksiaalinen sauvaelementti, osa 1. 6/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERSTEET SESSIO 6: Asiaalinen sauvaelementti, osa. ASIAALINEN RAENNE L, A, E L, A, E L, A, E uva. Asiaalinen raenne. Asiaalinen raenne taroittaa tässä yhteydessä raennetta, joa oostuu

Lisätiedot

Jäykistävän seinän kestävyys

Jäykistävän seinän kestävyys Esimeri Jäyistävän seinän estävyys 1.0 Kuormitus Jäyistävän seinän ominaisuormat on esitetty alla olevassa uvassa. Laselman ysinertaistamisesi tarastellaan seinästä vain iuna-auon vasemman puoleista osaa,

Lisätiedot

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2 TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?

Lisätiedot

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström

Näkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström Näyäalueanalyysi Jouhaisselä Tuore Kulvaoselä tuulipuisto 29032012 Annua Engströ Näyäalueanalyysin uodostainen Näeäalueanalyysilla saadaan yleisuva siitä, ihin tuulivoialat äytettyjen lähtötietojen perusteella

Lisätiedot

3 KEHÄRAKENTEET. 3.1 Yleistä kehärakenteista

3 KEHÄRAKENTEET. 3.1 Yleistä kehärakenteista Elementtimenetelmän peusteet. KEHÄRAKENTEET. leistä ehäaenteista Kehäaenteen osina oleat palit oiat ottaa astaan aiia annattimen asitusia, jota oat nomaali- ja leiausoima seä taiutus- ja ääntömomentti.

Lisätiedot

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A

TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintauulustelujen matematiian oe 30.5.006 sarja A Ohjeita. Sijoita joainen tehtävä omalle sivulleen. Laadi rataisut seleästi v älivaiheineen, tarvittaessa

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

1 JOHDANTO 2 2 KAUPALLINEN PALVELUVERKKO LOHJALLA 2011 3

1 JOHDANTO 2 2 KAUPALLINEN PALVELUVERKKO LOHJALLA 2011 3 1 JOHDANTO 2 2 KAUPALLINEN PALVELUVERKKO LOHJALLA 2011 3 2.1 Kaupalliset esittymät Lohjalla 3 2.2 Kaupallisten palveluiden pinta-ala aupan esittymissä 2006 ja 2010 9 2.3 Päivittäistavaraaupan palveluvero

Lisätiedot

7.1 Taustamelun estimoinnista

7.1 Taustamelun estimoinnista 7 Puheen ehostus Puheen ehostamisea taroitetaan seaisia menetemiä, joia puheen aatua pyritään parantamaan. Kuuostaa ysinertaiseta, mutta mitä sitten taroitetaan aadua? Siä voidaan taroittaa ainain seeyttä

Lisätiedot

Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia

Laskennallisen kombinatoriikan perusongelmia Laseallise obiatoriia perusogelia Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, jouoje ts luuääriä, o taustalla joi uutaista peruslasetatavoista tai lasetaogelista Tässä esitelläälyhyesti

Lisätiedot

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89. 5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

RuuviliitoSTEN. Sisällysluettelo

RuuviliitoSTEN. Sisällysluettelo RuuviliitoSTEN MITOITUS Sisällysluettelo 1 Yleistä... 1.1 Kansiruuvit... 1. Itseporautuvat ruuvit... Esiporaus... 3 Materiaalit... 3 4 Kuormitustapa... 4 5 Leiausrasitettu ruuvi... 4 5.1 Itseporautuvat

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

www.kastowin.com Sahaus. Varastointi. Ja enemmän.

www.kastowin.com Sahaus. Varastointi. Ja enemmän. Uusi KASTOwin Mestariteos sarjatuotantona www.astowin.com Sahaus. Varastointi. Ja enemmän. Enemmän uin ainutlaatuinen: Uusi KASTOwin. Kannattavan automaattisahausen asi täreintä teijää ovat: suuri leuuteho

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

KÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS. Pikaopas ja Ohjelmiston aloitusopas ovat tämän käyttöoppaan lopussa.

KÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS. Pikaopas ja Ohjelmiston aloitusopas ovat tämän käyttöoppaan lopussa. KÄYTTÖOPAS Piaopas ja Ohjelmiston aloitusopas ovat tämän äyttöoppaan lopussa. SUOMI KÄYTTÖOPAS Johdanto EOS 550D on huippulaaduas ja suoritusyyinen digitaalinen järjestelmäamera, jossa on huipputara 18,0

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Mediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin

Mediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin Mediaanisuodattimet Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin niiden analysointiin on olemassa vakiintuneita menetelmiä

Lisätiedot

NAULALIITOSTEN MITOITUS

NAULALIITOSTEN MITOITUS NAULALIITOSTEN MITOITUS Sisällysluettelo 1 Yleistä... Esiporaus... 3 Materiaalit... 4 Kuormitustapa...3 5 Leiausrasitettu naula...4 5.1 Puutavara-puutavara -liitos...4 5. Kerto-Kerto -liitos...5 5.3 Kerto-Puutavara

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

HOITOTARVIKKEIDEN JAKELUOHJE 1.1.2015

HOITOTARVIKKEIDEN JAKELUOHJE 1.1.2015 1 HOITOTARVIKKEIDEN JAKELUOHJE 1.1.2015 SISÄLTÖ 1. YLEISET PERUSTEET HOITOTARVIKEJAKELULLE 2 2. TAVOITTEET 3. HOITOTARVIKEJAKELUN PERIAATTEET 4. HOITOTARVIKKEIDEN JAKELUOHJE 4.1 VIRTSAAMISEN APUVÄLINEET

Lisätiedot

UUSIKAUPUNKI - NYSTAD. Inventointiprojekti. Vaasa- ja suurvalta-ajan kaupunkiarkeologinen. Kaupunkiarkeologinen inventointi

UUSIKAUPUNKI - NYSTAD. Inventointiprojekti. Vaasa- ja suurvalta-ajan kaupunkiarkeologinen. Kaupunkiarkeologinen inventointi Vaasa- ja suurvalta-ajan aupuniareologinen Inventointiprojeti UUSIKAUPUNKI - NYSTAD Kaupuniareologinen inventointi Teemu Möönen 00 Museovirasto Raennushistorian osasto Teemu Möönen Uusiaupuni Nystad. Kaupuniareologinen

Lisätiedot

Asemakaavan selostus LIIKEKESKUSTAN ASEMAKAAVAN MUUTOS. Haapajärven kaupunki

Asemakaavan selostus LIIKEKESKUSTAN ASEMAKAAVAN MUUTOS. Haapajärven kaupunki Haaajärven auuni Asemaaavan selostus KEKESKUSTAN ASEMAKAAVAN MUUTOS Selostus liittyy..0 äivättyyn Haaajärven Ronaalan auunginosan orttelia, orttelin tontteja ja seä näihin liittyviä atu- ja torialueita

Lisätiedot

Konttorikonemiehet Oy

Konttorikonemiehet Oy m m Konttorionemiehet Oy MALLISTO 2011-2012 Konttorionemiehet Oy Hintoihin sisältyy alv 23 %. Voimassa 31.1.2012 saaa Kaii hinnat voimassa 31.1.2012 saaa. Eri turvaluoat toimistopapereille Konttorionemiehet

Lisätiedot

Kaurialan kaavarunko SITO OY, 31.1.2013

Kaurialan kaavarunko SITO OY, 31.1.2013 Kaurialan aavuno, 31.1.2013 Sisältö lusanat lusanat Kaupuniraenneanalyysi Suunnittelualueen nyytilanne Voimassa oleva asemaaava Nyyiset tontit Suunnitelma Rataisuvaihtoehdoista Suunnitelman havainneuva

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.

Kolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2. Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.

Lisätiedot

HÄMEENLINNAN KESKUSTAN LÄNSIREUNAN KAUPPA- KESKUKSEN KAUPALLISTEN VAIKTUKSTEN ARVIOINTI Yleiskaavoitusta varten

HÄMEENLINNAN KESKUSTAN LÄNSIREUNAN KAUPPA- KESKUKSEN KAUPALLISTEN VAIKTUKSTEN ARVIOINTI Yleiskaavoitusta varten HÄMEENLNNAN KESKUSTAN LÄNSREUNAN KAUPPA- KESKUKSEN KAUPALLSTEN AKTUKSTEN ARONT Yleisaavoitusta varten Hämeenlinnan esustan liietilan ehitys 2005-2020 lineaarinen asvu n. 2 % /v. 160 000 140 000 120 000

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan

MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan 3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

KÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS

KÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS KÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS Kiitos Canon-tuotteen ostamisesta. EOS 1000D on digitaalinen SLR (Single-Lens Reflex) -amera, jossa on 10,10 megapiselin uvaenno. Kamerassa on luuisia toimintoja, uten huippunopea

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Pohjois-Karjalan kyläohjelma 2014

Pohjois-Karjalan kyläohjelma 2014 Pohjois-Karjalan yläohjelma 2014 Pohjois-Karjalan yläohjelma 2014 Pohjois-Karjalan Kylät ry. Joensuu 2012 Pohjois-Karjalan yläohjelma 2012 Painosmäärä 1 000 Pohjois-Karjalan Kylät ry. Kauppaatu 23 b A

Lisätiedot

Hyvä asukas on täällä.

Hyvä asukas on täällä. Hyvä asuas on täällä. Ystävät ja averit ovat täreitä erhossain NOKIAN KAUPUNGIN TIEDOTUSLEHTI 3/2015 Puropuiston päiväodilla, Tähtipolun eteisessä, uhina alaa aamuisin ello yhdesän. Lapset tervehtivät

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Kaupunkisuunnittelu 17.8.2015

Kaupunkisuunnittelu 17.8.2015 VANTAAN KAUPUNKI MIEIPITEIDEN KOONTI Kaupunisuunnittelu..0 MR :N MUKAISEEN KUUEMISKIRJEESEEN..0 VASTAUKSENA SAADUT MIEIPITEET JA KANNANOTOT ASEMAKAAVAN MUUTOKSESTA NRO 009, MARTINAAKSO YHTEENSÄ KANNANOTTOJA

Lisätiedot

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan tulkinta

Kvanttimekaniikan tulkinta Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät

Lisätiedot

KÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS

KÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS KÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS Kiitos Canon-tuotteen ostamisesta. EOS 500D on huippulaatuinen digitaalinen SLR (Single-Lens Reflex) -amera, jossa on erittäin tara 15,10 tehollisen megapiselin CMOSenno, DIGIC

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

ASEMAKAAVOJEN 480 ja 481 SELOSTUS

ASEMAKAAVOJEN 480 ja 481 SELOSTUS ASEMAKAAVOJEN 0 ja SEOSTUS 0 KEVÄTAAKSONPURO PORVOO KAUPUNGINOSA 0 orttelit -0 erillispientalojen orttelialueita, yleisten raennusten orttelialue seä atu- ja viristysalueita KEVÄTAAKSONKAIO PORVOO KAUPUNGINOSAT

Lisätiedot

Palkkielementti hum 3.10.13

Palkkielementti hum 3.10.13 Palilmntti hum.0. Palilmnttjä Tarastllaan tässä sitysssä vain Eulr-Brnoullin palitoriaan prustuvia palilmnttjä. Tässä palitoriassa olttaan, ttä palin poiiliaus säilyy taivutttunain tasona, joa on ohtisuorassa

Lisätiedot

KAUNIAISTEN KAUPUNKI MYY TARJOUSTEN PERUSTEELLA OMATOIMISEEN RAKENTAMISEEN PIENTALOTONTIN OSOIT- TEESSA ALPPIKUJA 2

KAUNIAISTEN KAUPUNKI MYY TARJOUSTEN PERUSTEELLA OMATOIMISEEN RAKENTAMISEEN PIENTALOTONTIN OSOIT- TEESSA ALPPIKUJA 2 KAUNIAISTEN KAUPUNKI GRANKULLA STAD KAUNIAISTEN KAUPUNKI MYY TARJOUSTEN PERUSTEELLA OMATOIMISEEN RAKENTAMISEEN PIENTALOTONTIN OSOIT- TEESSA ALPPIKUJA Myyjä Kauniaisten aupuni, Kauniaistentie 0, 0700 Kauniainen.

Lisätiedot

AALTO-OPAS H-BEND VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Juhana Kankainen j82081 Teemu Lahti l82636 Henrik Tarkkanen l84319

AALTO-OPAS H-BEND VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Juhana Kankainen j82081 Teemu Lahti l82636 Henrik Tarkkanen l84319 VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Juhana Kanainen j8081 Teemu Lahti l8636 Henri Taranen l84319 SATE010 Dynaaminen enttäteoria AALTO-OPAS H-BEND Sivumäärä: 1 Jätetty tarastettavasi:

Lisätiedot