Aikakoneen suunnittelusta ja rakentamisesta
|
|
- Hannele Aaltonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lopputyö FYST321 Suhteellisuusteoia ja aikakoneet Aikakoneen suunnittelusta ja akentamisesta Tekijä: Olli Koskivaaa 18. elokuuta 2014
2 Tiivistelmä Tämä kijoitelma on lopputyö Makku Lehdon kesällä 2014 luennoimalle teoeettisen fysiikan kussille Suhteellisuusteoia ja aikakoneet. Kussilla käsiteltiin ihmiselle kulkukelpoisen madoneiän akentamista sekä sen hyödyntämistä aikamatkustuksessa menneisyyteen. Tämän työn takoituksena on tiivistää kussin sisältö sekä esitellä aikakoneen akentamisen kannalta olennaisimpia vaiheita. Vaikka matemaattiset välivaiheet ovatkin olennaisia lopputuloksen kannalta, pyitään tässä työssä välttämään teknisiä laskuja ja suosimaan mahdollisimman pitkälti sanallista selitystä; päätavoitteena on kokonaisuuden ymmätäminen. Työ koostuu neljästä osiosta. Ensimmäisessä osiossa johdatellaan aiheeseen sekä esitellään jatkon kannalta täkeitä käsitteitä. Toisessa osiossa käsitellään lyhyesti Einsteinin ja Rosenin hiukkasmallia. Kolmas osio, joka käsittää suuimman osan työstä, on omistettu madoneikien ja niiden kulkukelpoisuuden tutkimiselle. Viimeisessä osiossa esitellään, kuinka ihmiselle kulkukelpoista madoneikää voidaan hyödyntää aikamatkustuksessa menneisyyteen. 1
3 1 Valmisteluja Ennen siitymistä itse aiheeseen mainittakoon, että tämä työ pohjautuu suuimmilta osin kussin aikana kijoitettuihin muistiinpanoihin. Niiden lisäksi täkeimmät lähteet ovat olleet Mois & Thone (1988) [1] ja Einstein & Rosen (1935) [2]. Tavoitteena on siis akentaa ihmiselle kulkukelpoinen madoneikä; aikamatkustuksen on oltava helppoa ja tuvallista ilman suuempia vaatimuksia matkustajan ominaisuuksista. Lisäksi aikakoneen akentamisen edellytyksenä ei saa olla mielivaltaisen kehittynyt sivilisaatio tai mikään vastaava ajattoman teknisen osaamisen omaava ihmiskunta, sillä tällaisia vaatimuksia sisältävällä suunnitelmalla ei olisi paljoakaan painoavoa käytännön kannalta. Yleisen suhteellisuusteoian kuvaama avauusaika on ajaton kokonaisuus. Palauttaaksemme tietynlaisen käsityksen ajan kulusta, suoitamme niin sanotun 3+1 viipaloinnin. Takemmin sanottuna yleisen suhteellisuusteoian neliulotteinen avauusaika eotellaan kolmiulotteisten paikanluonteisten hypepintojen joukoksi, jota paametisoi mielivaltaisesti valittu koodinaatin x 4 avo. Kukin hypepinta ajatellaan neliulotteiseen Riemannin Einsteinin avauusaikaan upotetuksi kolmiulotteiseksi avauusviipaleeksi, jolloin joukko muodostaa hypeavauuden. Koodinaatti x 4 puolestaan vastaa suppeasta suhteellisuusteoiasta tuttua aikakoodinaattia. Kaiken kaikkiaan 3+1 muotoilu sisältää iittävissä määin sekä yleisen suhteelisuusteoian avauusgeometian että aikakoodinaatin tuoman käytännön ajan, tunteen muutoksesta ja konologian käsitteen. Takastelujen kannalta olennainen invaiantti neliömuoto Q voidaan kijoittaa muodossa ( Q = γ ij dx i dx j + 2N i dx i dx 4 + N i N i N 2) ( dx 4) 2, missä γ ij on hypepinnalle indusoituvaa 3-metiikkaa kuvaava metinen tensoi, N = N(x i, x 4 ) on ajankulkufunktio ja N i = N i (x j, x 4 ) on paikkasiitymävektoi. Laskujen yksinketaistamiseksi otamme takastelun kohteeksi staattisen (ei aikaiippuvuutta) pallosymmetisen avauusajan. Ilman gavitaatiota saadaan tällöin laakeaa Minkowskin Einsteinin avauusaikaa kuvaavaksi 2
4 neliömuodoksi Q ME = d ( dθ 2 + sin 2 θ dφ 2) c 2 dt 2, missä, θ ja φ ovat pallokoodinaatit, ja valon nopeus tyhjiössä c saatiin käyttämällä elaatiota x 4 = ct. Siityminen gavitaation sisältävään Riemannin Einsteinin avauusaikaan tehdään lisäämällä neliömuotoon istitemi cddt sekä ketomalla kukin temi jollakin :n ja t:n funktiolla; selvitettäväksi jää siis 4 mielivaltaista :n ja t:n funktiota. Funktioiden määä saadaan lopulta edusoitua kahteen, jolloin ottamalla huomioon vaatimus avauusajan staattisuudesta saadaan neliömuodoksi Q = γ ()d ( dθ 2 + sin 2 θ dφ 2) N 2 ()c 2 dt 2, missä γ ja N 2 ovat kyseiset kaksi funktiota. Funktioita ajoitetaan vaatimalla avauusajan asymptoottinen laakeus: γ () 1 ja N 2 () 1 kun. Funktiot γ ja N 2 ovat kulkukelpoisen madoneiän suunnittelussa pääoolissa. Eilaisilla funktioiden valinnoilla saadaan eilaisia ehdokkaita madoneiäksi; mitä ajoituksia kulkukelpoisuus asettaa funktioille? Eäs esimekki funktioiden γ ja N 2 valinnaksi on ( γ () = 1 ) H 1, N 2 () = 1 H, missä H vastaa avauusajan tapahtumahoisonttia eli sellaista säteen avoa, jolla ajan kulku pysähtyy: N( = H ) = 0. Nämä valinnat vastaavat niin kutsuttua Schwazchildin avauusaikageometiaa. Osoittautuu, että Schwazchildin avauusaikageometia on madoneikää esittävä Einsteinin kenttäyhtälön tyhjiöatkaisu. Toiveet madoneiän kulkukelpoisuudesta ovat kuitenkin tuhia; esimekiksi vuoovesivoimat Schwazchildin madoneiän kaulassa ovat massiivisia, ja lisäksi madoneikä on itse asiassa luonteeltaan dynaaminen kaulan ajun laajentumisen ja supistumisen vuoksi. [1] 2 Einsteinin ja Rosenin hiukkasmalli Tässä osiossa käsittelemme histoiallisesti madoneikien tutkimuksen kannalta täkeää vistanpylvästä, josta voi lisäksi löytää analogioita myöhem- 3
5 min käsiteltävien madoneikälaskujen kanssa. Vuonna 1935 Albet Einstein ja Nathan Rosen esittivät suhteellisuusteoeettisen geometisen mallin hiukkaselle [2]. Ideana oli kuvata hiukkasta ilman singulaiteetteja eäänlaisena siltana. Ottaen lähtökohdaksi Schwazchildin avauusajan Einstein ja Rosen kehittivät mallin, jossa avauusaikaa esittää kaksi identtistä laakeaa aluetta ja hiukkasta puolestaan näitä alueita yhdistävä silta. Malli sulkee pois negatiivisen massan omaavat sähköisesti neutaalit hiukkaset. Einstein ja Rosen käsittelivät myös sähköisesti vaattua massatonta hiukkasta. Valitsemalla funktiot γ ja N 2 sopivasti he päätyivät takastelemaan niin sanottua Reissnein Nodstömin avauusaikageometiaa. Konstuoidakseen sähköisesti vaattua hiukkasta kuvaavan sillan he joutuivat kuitenkin vaihtamaan enegiatiheyden negatiiviseksi; tämä implikoi niin sanottujen lokaalien enegiaehtojen mahdollista ikkoutumista madoneikien yhteydessä. Meidän kannaltamme Einsteinin ja Rosenin malli on kiinnostava, sillä silta voidaan tulkita hiukkasen sijaan madoneiäksi; kuvan 1 yksinketaistettu visualisointi saatta auttaa tilanteen ymmätämisessä. Alkupeäisessä hiukkasmallissa silta ei kuvaa kulkukelpoista madoneikää, sillä sillan muodostaminen vaatii hoisontin olemassaolon. 1 Seuaavassa osiossa siiymmekin takastelemaan, kuinka Einsteinin ja Rosenin ideoita voitaisiin jalostaa kulkukelpoisen madoneiän tapeisiin. Kuva 1: Vasemmalla kuva kahta laakeaa avauusaikaa yhdistävästä sillasta, oikealla meidän kannaltamme kiinnostava mahdollisuus yhteen ja samaan laakeaan avauusaikaan sijoittuvasta sillasta. Kuva kussin muistiinpanoista. 1 Kulkukelpoinen madoneikä ei voi sisältää hoisontteja, sillä niiden ohittaminen johtaisi väistämättä tuhoisaan kaaevuussingulaiteettiin. 4
6 3 Kohti kulkukelpoista madoneikää Pitäen Einsteinin ja Rosenin malli mielessä esitetään kulkukelpoisen madoneiän luonteelle seuaavanlainen suunnitelma: kahta laakean avauusajan aluetta yhdistää silta, jonka yli signaali tai ihminen voi kulkea molempiin suuntiin kohtaamatta paljaita singulaiteetteja tai hoisontteja. Vaatimukset kaksisuuntaisesta liikenteestä ja hoisonttien poissaolosta ovat läheisesti yhteydessä toisiinsa; hoisontin sisältävä madoneikä sallii vain yksisuuntaisen liikenteen, johon liittyy lisäksi aiemmin mainittu kaaevuussingulaiteetin eli mustan aukon ongelma [1]. Yllä esitetyt vaatimukset mielessä otetaan Schwazchildin avauusaikageometian yhteydessä valittujen funktioiden γ ja N 2 tilalle yleisemmät vesiot [ γ () = 1 µ() ] 1, N 2 () = 1 µ(), missä µ() on niin sanottu muotofunktio, jolle pätee µ( H ) = H, jos avauusajalla on tapahtumahoisontti säteen avolla H. Tällöin Schwazchildin avauusaikageometia sekä Einsteinin ja Rosenin siltamallit saadaan eikoistapauksina sopivilla funktion µ valinnoilla. Koska hoisontti vastaa ajankulkufunktion N häviämistä jollakin säteen avolla, voidaan mahdollinen hoisontti poistaa esimekiksi vaatimalla että N 2 on muotoa N 2 () = e 2ν(), missä ν() on sellainen funktio, jolle e 2ν() on nollasta poikkeava kaikilla säteen avoilla. Huomaa, että alkupeäiseen takasteluun voidaan jälleen palata valitsemalla ν() = 1 2 ln [ 1 µ() ], jolloin mahdollinen hoisontti vastaa tilannetta ν( H ) =. Takastelemamme neliömuoto päätyy näillä valinnoilla muotoon [ Q = 1 µ() ] 1 ( d dθ 2 + sin 2 θ dφ 2) e 2ν() c 2 dt 2. (1) 5
7 Kiinnostuksen kohteenamme on siis nyt kaksi säteen funktiota, µ ja ν, joille vaatimus madoneiän kulkukelpoisuudesta asettaa ajoituksia. Neliömuodosta näemme, että µ() liittyy paikanluonteisen hypepinnan geometiaan, mikä osaltaan selittää µ:n kutsumisen muotofunktioksi. ν puolestaan liittyy gavitaatioon ja ajankulkuun, ja sille käytetään nimeä punasiitymäfunktio [1]. ν:n ooli ajankulussa aiheuttaa sille vielä yhden lisävaatimuksen: jotta madoneikä olisi käyttökelpoinen, on kellolla mitattavan kulkuajan oltava ääellinen. Näin ollen vaadimme, että funktio ν() on ääellinen kaikilla säteen avoilla. Jatkon kannalta suuessa oolissa tulee olemaan Einsteinin kenttäyhtälö, joka onkin kenties syytä kijoittaa näkyviin kaikessa komeudessaan: G αβ = 8πG c 2 T αβ. Kyseessä on siis tensoiyhtälö, joka liittää toisiinsa avauusajan kaaevuuden sekä mateiasisällön. Madoneiän kulkukelpoisuuden kannalta täkeässä oolissa tulee olemaan yhtälön oikealla puolella esiintyvä jännitysliikemäää-enegia-tensoi T αβ, joka kuvaa sitä, miten mateia ja enegia ovat jakautuneet avauusaikaan. Jotta pääsisimme hyödyntämään yhtälöä madoneikäavauusajan tutkimisessa, on Einsteinin tensoi G αβ syytä esittää funktioiden µ() ja ν() avulla. Tätä vaten on laskettava avauusajan metistä tensoia hyödyntäen Chistoffelin symbolit, Riemannin tensoi sekä Riccin tensoi. Vaikka tensoeiden symmetiaominaisuudet lyhentävätkin uakkaa jonkin vean, vaativat laskut joitakin sivuja. Ymmäyksen kannalta olennaista on laskuteknisten yksityiskohtien sijaan päätös siityä θφt-koodinaattikannasta ei-koodinaattikantaan, niin kutsuttuun tetadikantaan. Tetadifomalismia hyödyntäen on mahdollista siityä käyttämään staattisen havaitsijan (, θ ja φ vakioita) käyttämää otonomitettua kantaa. Kun mittaukset madoneikäavauusajassa suoittaa staattinen havaitsija, saadaan jännitys-liikemäää-enegia-tensoin T αβ komponenteille yksinketaiset fysikaaliset tulkinnat. Riittävän yleiseen tilanteeseen päästään ottamalla takasteltavaksi tensoiksi Hawkingin Ellisin juoksevaa ainetta kuvaava tensoi, joka on tetadikannassa muotoa Tˆα ˆβ = diag(pˆ1, pˆ2, pˆ3, ρ).2 Komponenttien fysikaaliset tulkinnat ovat tällöin seuaavat: 2 Hatullisilla indekseillä viitataan vastedes tetadi- eli ei-koodinaattikantaan, hatuttomilla koodinaattikantaan. 6
8 τ() = pˆ1 () = adiaalinen paine =, missä τ() = adiaalinen c jännitys pe yksikköpinta-ala, 2 Tˆ1ˆ1 Tˆ2ˆ2 = pˆ2 () = p() c 2 = pˆ3 () = Tˆ3ˆ3, missä p() = poikittainen paine, Tˆ4ˆ4 = ρ() = massatiheys (vastaavasti ρ()c2 = enegiatiheys). Laskemalla Einsteinin tensoin nollasta eoavat komponentit tetadikannassa ja käyttämällä yllä olevia tulkintoja jännitys-liikemäää-enegia-tensoin komponenteille saadaan Einsteinin kenttäyhtälön antamat komponenttiyhtälöt hienoisen pyöittelyn jälkeen lopulta muotoon ρc 2 c = 4 8πG 1 dµ (2a) 2 τ = c 4 8πG d, [ µ 3 2 ( 1 µ [ (ρc p = 2 2 τ ) dν d dτ d ) ] dν d, (2b) ] τ. Voidaan osoittaa, että yhtälöllä (2c) on yhteys neliliikemäään säilymiseen. Sillä on lisäksi myös selkeämpi ja meidän kannaltamme hyödyllisempi fysikaalinen tulkinta. Kijoittamalla yhtälö muotoon dτ ( ) dν d = ρc 2 τ d 2 (p + τ) voidaan todeta, että se kuvaa hydostaattista tasapainoa jännitysgadientin (vasen puoli) ja gavitaation (oikea puoli) välillä. Yhtälöllä onkin täkeä ooli madoneikää auki pitävän mateiaalisisällön tutkimisessa. Todetaan vielä yhteenvetona kuinka yhtälöitä (2a), (2b) ja (2c) voidaan käyttää kulkukelpoisten madoneikien suunnittelussa. Valitsemalla ehdokkaat funktioiksi µ ja ν saadaan yhtälöistä (2a) ja (2b) atkaistua massatiheys ρ sekä jännitys τ koodinaatin funktioina. Näitä hyödyntäen voidaan yhtälön (2c) avulla lopulta määittää paine p(). Madoneikien visualisoinnin helpottamiseksi on syytä nähdä hiukan vaivaa. Takasteltavana on siis neliömuodon (1) kuvaama madoneikäavauusaika. Otetaan madoneikäavauusajan kolmiulotteinen staattinen hypepinta H 3, ja upotetaan se pintana z = z(, θ, φ) neliulotteiseen euklidiseen avauuteen E 4, jota kuvaa neliömuoto Q E 4 = dz 2 + d ( dθ 2 + sin 2 θ dφ 2), 7 (2c)
9 missä (z,, θ, φ) ovat neliulotteiset sylinteikoodinaatit. Etsimällä nyt sellainen E 4 :n kolmiulotteinen aksiaalisymmetinen hypepinta, jolle indusoituu hypepinnan H 3 neliömuodon Q H 3 määäämä kolmimetiikka, saadaan neliömuotoja vetailemalla koodinaattien välille yhtälö [ ] dz 1/2 d = ± µ() 1. (3) Yhtälö (3) esittää euklidiseen avauuteen E 4 upotettua hypepintaa H 3. Viimeistään nyt lienee selvää, miksi funktiota µ = µ() kutsutaan muotofunktioksi; yhtälö (3) ilmaisee, kuinka µ määää madoneiän geometian. Takastellaan seuaavaksi, miten yhtälöä (3) voidaan hyödyntää madoneikien visualisoinnissa. Yksinketaisuuden vuoksi tutkitaan tilannetta, jossa µ() = vakio =. K > 0. Integoimalla yhtälö (3) ja asettamalla z(k) = 0 saadaan atkaistua z säteen :n funktiona. Tuloksena on paaabelihaaa, joka muodostaa maljakon muotoisen pyöähdyspinnan - akselin pyöähtäessä 2π:n vean (φ : 0 2π). Huomioimalla yhtälön (3) molemmat mekit saadaan siis kaksi pyöähdyspintaa: ylöspäin ja alaspäin aukeavat maljakot. Yksinketaistettu visualisointi madoneiästä saadaan liittämällä nämä kaksi pyöähdyspintaa yhteen kapeimmista kohdistaan, siis ympyää = K pitkin. Lopputulos on esitetty kuvassa 2. Huomioimalla myös kieto θ-koodinaatin suhteen, θ : 0 π, kovautuvat -säteiset ympyät kaksiulotteisilla pallopinnoilla. Tämän visualisointi jätettäköön lukijan pohdittavaksi. Kuva 2: Madoneiän visualisointia. Kuva kussin muistiinpanoista. 8
10 Yhtälöä (3) takastelemalla nähdään, että dz d on divegentti madoneiän kapeimmassa kohdassa eli kaulassa, jossa = K ja µ( K ) = K. Tämän takia ei ole kaulan läheisyydessä mielekäs koodinaatti, ja otammekin käyttöön jo kuvassa 2 esiintyneen koodinaatin l = l(). l on staattisen havaitsijan madoneikää pitkin mittaama adiaalinen etäisyys, joka saadaan yleisen funktion µ() tapauksessa singulaaisesta muunnoksesta l = l(), [ dl 2 = 1 µ() ] 1 d 2. Ennen siitymistä eteenpäin on syytä huomata, että kulkukelpoisen madoneiän muoto ajoittaa funktiota µ(). Jotta madoneikä avautuisi ulospäin kaulassa, on (z):lla oltava minimi pisteessä = K, siis d 2 dz 2 > 0, = K tai l-koodinaatin avulla lausuttuna d 2 dl 2 > 0. l = 0 Tämä vaatimus sovellettuna yhtälöön (3) (tai vastaavasti l-koodinaatille) johtaa (vahvaan) avautumisehtoon dµ d < 1. = K Ilmaistaan seuaavaksi olennaiset tuloksemme l-koodinaatin avulla. Madoneikäavauusajan neliömuodoksi tulee ( Q = dl (l) dθ 2 + sin 2 θ dφ 2) e 2ν(l) c 2 dt 2, josta näemme että muotofunktiona toimii nyt µ():n sijasta (l). Einsteinin komponenttimuotoiset kenttäyhtälöt (2a), (2b) ja (2c) saadaan puolestaan lopulta muotoon ρc 2 = c 4 8πG { [ 1 2 ( ) ] 2 1 d dl { [ ( ) ] c τ = πG 1 d 2 dl { c p = 4 d 2 ν 8πG + dl 2 } 2 d2, (4a) dl 2 } 2 dν dl dl d, (4b) ( ) 2 [ ] } dν dl + 1 dν dl dl d + d2. dl 2 9 (4c)
11 Nyt yhtälöiden oikealla puolella olevat suueet l, (l) ja ν(l) ovat selkeästi kytköksissä madoneiän geometiaan. Tekemällä muunnos z l kovattiin epäfysikaalinen (ei-mitattava) paameti z fysikaalisella (mitattavalla) paametilla l. Posessissa voi nähdä analogian esimekiksi kvanttikenttäteoiasta tuttuun enomalisaatioon, jossa alkupeäisen teoian paljaat paametit kovataan mitattavilla enomalisoiduilla paameteilla. Takastelemalla yhtälöitä (4a) ja (4b) madoneiän kaulassa (l = 0) ja soveltamalla kulkukelpoisuuden kannalta olennaista avautumisehtoa saadaan epäyhtälö τ(0) > ρ(0)c 2. Epäyhtälön mukaan adiaalinen jännitys on enegiatiheyttä suuempi madoneiän kaulassa. Takastelemalla madoneiän kaulan läpi kulkevaa havaitsijaa ja hyödyntämällä em. epäyhtälöä osoittautuu, että liikkuessaan iittävän suuella nopeudella havaitsija mittaa negatiivisen enegiatiheyden. Kuten aiemmin mainittiin, jo Einstein ja Rosen joutuivat kohtaamaan negatiivisen enegiatiheyden tutkimuksissaan. Negatiivinen enegiatiheys ikkoo yleisen suhteellisuusteoian enegiaehtoja, jotka ovat vaatimuksia jännitys-liikemäää-enegia-tensoille T αβ. Takemmin sanottuna ikkoutuva ehto on niin kutsuttu nolla-enegiaehto, jonka mukaan T αβ :n on toteutettava T αβ k α k β 0 kaikille valonluonteisille vektoeille k α. Fysikaalisesti ehto vaatii gavitaation vaikutuksen olevan lokaalisti attaktiivinen toisiaan lähellä oleville valonluonteisille hiukkasille. Ainetta, jonka jännitys-liikemäää-enegia-tensoi T αβ ei toteuta nollaenegiaehtoa, kutsutaan eksoottiseksi aineeksi. Madoneiän kaulassa ja mahdollisesti kaulan lähiympäistössä havaittavan negatiivisen enegiatiheyden vuoksi tällaista ainetta tavitaan kulkukelpoisen madoneiän akentamiseen. Itse asiassa nolla-enegiaehdon ikkoutuminen on myös välttämätöntä avauusajan topologian vaihtumiselle tiviaalista epätiviaaliksi, siis itse madoneikäavauusajan muodostumiselle. Klassinen (ei-kvanttimekaaninen) aine toteuttaa nolla-enegiaehdon, joten sitä ei voida hyödyntää kulkukelpoisen madoneiän akentamisessa. Kvanttimekaaniset ilmiöt vihjaavat kuitenkin eksoottisen mateiaalin mahdollisesta olemassaolosta; esimekiksi tyhjiön kvanttifluktuaatioiden yhteydessä ilmenee negatiivisia enegiatiheyksiä. Kokeellisesti todennettuna esimekkinä tästä toimii Casimiin ilmiö, jossa tyhjiöön lähekkäin asetetut sähköisesti neutaalit metallilevyt pykivät lähestymään toisiaan vituaalifotonien aiheuttamien enegiatiheyseojen seuauksena. Toinen esimekki kvanttikenttäteoiassa esiintyvästä negatiivisesta enegiatihey- 10
12 destä on sähkömagneettisen kentän puistettu tila (squeezed state) [1]. Kvantti-ilmiöiden indusoimat enegiaehtojen ikkoutumiset ovat kuitenkin Planckin vakion h kokoluokkaa, siis hyvin pieniä. Toisaalta emme tiedä, kuinka paljon eksoottista ainetta iittää pitämään madoneiän kulkukelpoisena. Tämän takia on syytä kehittää eksoottisuuden määän takastelemiseksi jonkinlainen mitta. Enegiaehdot voidaan esittää myös viivaintegaalimuodoissa. Esimekiksi nolla-enegiaehto voidaan ilmaista muodossa T αβ k α k β dλ 0, C missä C on valonluonteinen käyä, k α sen tangenttivektoi ja λ käyäpaameti. Viivaintegaalimuotoja voidaan käyttää eksoottisuustesteinä. Samaan tapaan esitämme eksoottisuuden mitaksi tilavuusintegaalin T αβ k α k β dv. Tätä yitettä hyödyntäen saadaan eksoottisuuden mitaksi lopulta R K [ (dµ ) ( )] d 1 e 2ν ln 1 µ d. R = J ()d, (5) K missä takastelu on ajattu tilanteeseen, jossa eksoottista ainetta sijaitsee vain alueessa K R. Eksoottisen aineen ongelmallisen luonteen vuoksi on syytä takastella vaihtoehtoja sen määän minimoimiseksi. 3 Integaalia (5) takastelemalla nähdään, että tavittava eksoottisen aineen määä saadaan infinitesimaalisen pieneksi i) minimoimalla alue, jossa eksoottista ainetta esiintyy, lähelle madoneiän kaulaa (R K ), tai ii) minimoimalla integandi J () koko eksoottisuusalueessa. Sopivilla funktioiden µ() ja ν() valinnoilla voidaan siis vaikuttaa kulkukelpoisen madoneiän vaatiman eksoottisen aineen määään. Esimekiksi 3 Moisin ja Thonin sanoin: to minimize the violation of physical easonableness [1]. 11
13 Home Ellis takastelee vuonna 1973 julkaistussa atikkelissaan tapausta, jossa µ() = 2 K ja ν() = 0. Tässä viemäiaukkomallissa eksoottisen aineen oolissa on skalaaikentän negatiivinen liike-enegiatemi. Ellis tutkii papeissaan mallin soveltamista yleisen suhteellisuusteoian hiukkasmalliksi. [3] Pelkkä eksoottisen aineen läsnäolo ei iitä tekemään madoneikää ihmiselle kulkukelpoiseksi. Koska madoneiän läpi kulkemisen tulee olla ihmiselle helppoa ja tuvallista, eivät gavitaation aiheuttamat vuoovesiefektit saa kasvaa liian suuiksi. Tämä asettaa ajoituksia Riemannin tensoin komponenteille. Takastelemalla ihmisen kehon kahden ei osan (pisteen) suhteellista kiihtyvyyttä ja vaatimalla, että kiihtyvyydet ovat pienempiä tai yhtäsuuia kuin putoamiskiihtyvyys Maan pinnalla (g 9, 8 ms 2 ), saadaan ajoituksia funktion ν() gadientille ja nopeudelle, jolla madoneiässä voi kulkea mukavasti ja tuvallisesti. 4 Madoneiästä aikakoneeksi Olettaen, että käytössämme on ihmiselle kulkukelpoinen madoneikä, takastelemme nyt, kuinka sitä voidaan hyödyntää aikamatkustuksessa menneisyyteen. Itse asiassa osoittautuu, että yleisen suhteellisuusteoian puitteissa madoneiästä muodostuu väistämättä aikakone. Ideana on muodostaa suljettuja ajanluonteisia käyiä niin kutsutun konologiahoisontin tulevaisuuteen. Konologiahoisontiksi kutsutaan sitä avauusajan eunaa (hypepintaa), joka eottaa toisistaan konologisen (ei sisällä suljettuja ajanluonteisia käyiä, kausaliteetti) ja ei-konologisen (sisältää suljettuja ajanluonteisia käyiä) avauusajan. Klassisesti ja kvanttimekaanisesti stabiili konologiahoisontti johtaa väistämättä aikamatkustuksen mahdollisuuteen. Suunnitelmana on, että jokseenkin laakean avauusajan kahta ei aluetta yhdistävän madoneiän (ks. aiemmin esitetyn kuvan 1 oikea puoli) suiden suhteellinen liike aiheuttaa aikamatkustuksen mahdollistavan aikadilataatio-ilmiön. 4 Oletetaan, että madoneiän suut S 1 ja S 2 ovat alkuti- 4 Aikamatkustuksen mahdollistamiseksi on muitakin keinoja, kuten esimekiksi madoneiän suiden vuoovaikutus eilaisten kenttien kanssa. Yksinketaisuuden vuoksi ajoitamme tässä työssä takastelun suppeasta suhteellisuusteoiasta tuttuun aikadilataatioon. 12
14 lanteessa lähellä toisiaan ja levossa Loentzin inetiaalikoodinaatistossa. Kiihdytetään S 2 suueen nopeuteen kuljettaen sitä suoaviivaisesti poispäin S 1 :sta, minkä jälkeen palautetaan S 2 samaan tapaan lähtöpaikkaansa S 1 :n lähelle. Tällöin ajankulut madoneiän suissa poikkeavat aikadilataation vaikutuksesta toisistaan (vt. suppean suhteellisuusteoian kaksospaadoksi ). Loentzin koodinaatistossa levossa olevan havaitsijan mukaan S 2 :n mukana liikkuneen kuvitteellisen kellon aika on hidastunut veattuna S 1 :ssa olevaan kelloon. Olennaista on, että madoneiän läpi katsottuna molemmat kellot mittaavat kuitenkin samaa aikaa, sillä madoneiän sisäinen geometia ei ole olennaisesti muuttunut. Oletetaan nyt, että tutkija lähtee suun S 1 luota ja siityy eippaasti lähellä olevan suun S 2 luokse. Tutkija astuu kulkukelpoiseen madoneikään suusta S 2 ja tulee ulos suusta S 1. Madoneiän ulkopuolella havaittavasta aikadilataatiosta johtuen tutkija astuu ulos suusta S 1 ennen kuin on lähtenyt sieltä kohti suuta S 2 ; hän on matkustanut madoneiän avulla menneisyyteen. Ihmiselle kulkukelpoista madoneikää voidaan siis hyödyntää aikamatkustuksessa. Aikakoneen käyttöön liittyy kuitenkin ongelmia; esimekiksi vituaalihiukkasten ajattoman kietämisen ja kasautumisen aikakoneen käynnistämisen yhteydessä on esitetty tuhoavan jäjestelyn. Myös aikamatkustuksen yhteydessä esiintyvät kausaliteettiongelmat ovat läsnä. Jo kulkukelpoisen madoneiän muodostaminen heättää myös kysymyksiä: Millä ehdoilla avauusajan topologia saadaan muutettua tiviaalista epätiviaaliksi? Onko tämä ylipäätään mahdollista? Kenties toimiva kvanttigavitaation teoia antaa joskus vastauksia joihinkin aikamatkustusta koskeviin avoituksiin. Todettakoon vielä lopuksi, että edellä esitetyistä kysymyksistä huolimatta mikään tunnettu fysikaalinen efekti ei näytä estävän aikamatkustusta. 13
15 Viitteet [1] M. S. Mois ja K. S. Thone, Womholes in spacetime and thei use fo intestella tavel: A tool fo teaching geneal elativity, Ameican Jounal of Physics 56 (1988) , doi: / [2] A. Einstein ja N. Rosen, The Paticle Poblem in the Geneal Theoy of Relativity, Physical Review 48 (1935) 73-77, doi: /PhysRev [3] H. Ellis, Ethe flow though a dainhole: A paticle model in geneal elativity, Jounal of Mathematical Physics 14 (1973) , doi: /
Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan
3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden
LisätiedotVinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä
Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Kun yhdistetään kahdella tavalla esitetty sähkökentän vuo, saadaan Gaussin laki: S d S Q sis Gaussin laki peustuu siihen, että suljetun pinnan läpi
LisätiedotSuhteellisuusteorian perusteet 2017
Suhteellisuusteorian perusteet 017 Harjoitus 5 esitetään laskuharjoituksissa viikolla 17 1. Tarkastellaan avaruusaikaa, jossa on vain yksi avaruusulottuvuus x. Nollasta poikkeavat metriikan komponentit
LisätiedotTyhjä pallosymmetrinen avaruus
Tyhjä pallosymmetinen avauus Yleisen suhteellisuusteoian yhtälöitä on helppo käsitellä silloin kun aika-avauus on lähes tasainen, tai eityisen symmetisissä tapauksissa. Tyhjä pallosymmetinen avauus on
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokussi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 5 Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoia Knight Ch. 13 Satunuksen enkaat koostuvat
Lisätiedot40 LUKU 3. GAUSSIN LAKI
Luku 3 Gaussin laki 3.1 Coulombin laista Gaussin lakiin Takastellaan pistemäisen vaauksen q aiheuttamaa sähkökenttää, joka noudattaa yhtälöä (1.1). Tämän sähkökentän vuo etäisyydellä olevan pienen pintaelementin
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotSuhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää
3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
Lisätiedot5-1 Gibbsin entropia. Boltzmannin entropian lausekkeessa S = k ln Ω esiintyvä Ω on systeemin niiden mikrotilojen
57 5 Yhdistetty pääsääntö 5-1 Gibbsin entopia Boltzmannin entopian lausekkeessa S = k ln Ω esiintyvä Ω on systeemin niiden mikotilojen lukumäää, joissa systeemin sisäinen enegia on hyvin pienellä välillä
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy
Lisätiedot4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia
23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa
LisätiedotMatematiikan kurssikoe, Maa 9 Integraalilaskenta RATKAISUT Torstai A-OSA
Matematiikan kussikoe, Maa 9 Integaalilaskenta RATKAISUT Tostai..8 A-OSA Sievin lukio. a) Integoi välivaiheineen i) (x t ) dt ii) x dx. b) Määittele integaalifunktio. c) i) Olkoon 5 f(x) dx =, f(x) dx
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta
LisätiedotLujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA
Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike
Lisätiedot763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 4 Kevät 2016
763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 4 Kevät 2016 1. Valoa nopeampi liike (a) Sekunnissa kuvan 1(a) aaltorintama etenee 10 m. Samassa ajassa rannan ja aallon leikkauspiste etenee matkan s.
LisätiedotStanislav Rusak CASIMIRIN ILMIÖ
Stanislav Rusak 6.4.2009 CASIMIRIN ILMIÖ Johdanto Mistä on kyse? Mistä johtuu? Miten havaitaan? Sovelluksia Casimirin ilmiö Yksinkertaisimmillaan: Kahden tyhjiössä lähekkäin sijaitsevan metallilevyn välille
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotErityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)
Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotTilavuusintegroin3. Tilavuusintegroin3
/5/ z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegoin f(x,y,z)dxdydz z 2 # y 2 # x 2 & & = % % f(x,y,z)dx( dy( dz $ $ ' ' z y x Tyypillises kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massaheys, jolloin integaalin avo on massa
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotK = Q C W = T C T H T C. c = 1 dq. f) Isokoorinen prosessi: prosessi joka suoritetaan vakiotilavuudessa
Sallitut apuvälineet: kijoitusvälineet ja gaafinen laskin. Muun oman mateiaalin tuominen ei sallittu. Tämä on fysiikan kussi, joten desimaalilleen oikeaa numeeista vastausta täkeämpää on että osoitat ymmätäneesi
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotHYDRODYNAMIIKKA S. Erkki Thuneberg
HYDRODYNAMIIKKA 763654S Ekki Thunebeg Fysiikan laitos Oulun yliopisto 2011 Jäjestelyjä Kussin vekkosivu on https://www.oulu.fi/tf/hd/index.html Vekkosivulta löytyy luentomateiaali (tämä moniste), hajoitustehtävät
LisätiedotTilavuusintegroin3. Tilavuusintegroin3 3/19/13. f(x, y, z)dxdydz. ρ(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (kg) Ratkaisu: ρ(x,y,z)dxdydz
/9/ z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegoin f(x, y, z)dxdydz z 2 # y 2 # x 2 & & = % % f(x, y, z)dx( dy( dz $ $ ' ' z y x Tyypillises kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massaheys, jolloin integaalin avo on massa
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1
763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi
LisätiedotTfy Fysiikka IIB Mallivastaukset
Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /
M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43
Lisätiedot1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit
1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
LisätiedotLiikkuvan varauksen kenttä
Luku 13 Liikkuvan varauksen kenttä Tässä luvussa tutustutaan liikkuvan varauksen aiheuttamaan kenttään. Jokaisen sähködynaamikon on laskettava ainakin kerran elämässään Liénardin ja Wiechertin potentiaalit
LisätiedotMatemaattiset apuneuvot II, harjoitus 6
Matemaattiset apuneuvot II, hajoitus 6 K. Tuominen 0. joulukuuta 207 Palauta atkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina.2. kello 0:5 mennessä. Mekitse vastauspapeiin laskuhajoitusyhmäsi assain nimi.
LisätiedotDEE Sähkötekniikan perusteet Tasasähköpiirien lisätehtäviä
DEE-0 Sähkötekniikan peusteet Tasasähköpiiien lisätehtäviä Laske oheisen piiin vita E = V, R = 05, R =, R 3 = 05, R 4 = 05, R 5 = 05 Ykköstehtävän atkaisuehdotus: Kun kytkentä on oheisen kuvan mukainen,
LisätiedotSähkökentät ja niiden laskeminen I
ähkökentät ja niiden laskeminen I IÄLTÖ: 1.1. Gaussin lain integaalimuoto ähkökentän vuo uljetun pinnan sisään jäävän kokonaisvaauksen laskeminen Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä
LisätiedotSuhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6
Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6 May 5, 7 Tehtävä a) Valo kulkee nollageodeettia pitkin eli valolle pätee ds. Lisäksi oletetaan valon kulkevan radiaalisesti, jolloin dω. Näin ollen, kun K, saadaan
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotMEI Kontinuumimekaniikka
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä
LisätiedotKULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotKoordinaatiston muunnokset. Kari Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista)
Koodinaatiston muunnokset Kai Tammi, Tommi Lintilä (Janne Ojalan kalvoista) Monikappalesimulointikussi Olisitko kiinnostunut käymään kussin Kon-16.411 Monikappalesimulointi? Kussi jäjestettiin viimeisen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedotx (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1
BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita
LisätiedotSovelletun fysiikan pääsykoe
Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotEpäeuklidista geometriaa
Epäeuklidista geometriaa 7. toukokuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Euklidinen geometria....................... 1 1.2 Epäeuklidinen geometria..................... 2 2 Poincarén kiekko 2 3 Epäeuklidiset
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,
LisätiedotKuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.
FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin
Lisätiedot4-1 Prosessien suunta
43 4 Toinen pääsääntö 4-1 Posessien suunta Itsekseen jätetyn systeemin tilan tiedetään aina muuttuvan spontaanisti siten, että se lähestyy tasapainotilaa. Tällaiset luonnolliset posessit tapahtuvat siis
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotLuento 9. June 2, Luento 9
June 2, 2016 Otetaan lähtökohdaksi, että sopimuksilla ei voida kattaa kaikkia kontingensseja/maailmantiloja. Yksi kiinnostava tapaus on sellainen, että jotkut kontingenssit ovat havaittavissa sopimusosapuolille,
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
LisätiedotAikamatkustus. Emma Beckingham ja Enni Pakarinen
Aikamatkustus Emma Beckingham ja Enni Pakarinen Aikamatkustuksen teoria Aikamatkustus on useita vuosisatoja kiinnostanut ihmiskuntaa. Nykyihminen useimmiten pitää aikamatkustusta vain kuvitteellisena konseptina,
LisätiedotLiikkuvan varauksen kenttä
Luku 14 Liikkuvan varauksen kenttä Tässä luvussa tutustutaan liikkuvan varauksen aiheuttamaan kenttään. Asiaa on käsitelty RMC:n luvussa 21 ja CL:n luvussa 13. Jokaisen sähködynaamikon on laskettava ainakin
LisätiedotBohr Einstein -väittelyt. Petteri Mäntymäki Timo Kärkkäinen
Bohr Einstein -väittelyt Petteri Mäntymäki Timo Kärkkäinen Esityksen sisältö Kvanttivallankumous Epätarkkuusperiaate Väittelyt Yhteenveto 24.4.2013 2 Kvanttivallankumous Alkoi 1900-luvulla (Einstein, Planck,
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
Lisätiedot9 Maxwellin yhtälöt. 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet Aaltoyhtälö tyhjössä Potentiaaliesitys Viivästyneet potentiaalit
9 Maxwellin yhtälöt 9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet 9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä 9.5.2 Potentiaaliesitys 9.5.3 Viivästyneet potentiaalit 9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio 9.6 Mittainvarianssi Typeset
Lisätiedot763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 4 Kevät 2012
763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 4 Kevät 2012 1. Valoa nopeampi liike Sekunnissa kuvan 1 aaltorintama etenee 10 m. Samassa ajassa rannan ja aallon leikkauspiste etenee matkan s. Kulman
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotLuento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
Lisätiedot9 Klassinen ideaalikaasu
111 9 Klassinen ideaalikaasu 9-1 Klassisen ideaalikaasun patitiofunktio Ideaalikaasu on eaalikaasun idealisaatio, jossa molekyylien väliset keskimäääiset etäisyydet oletetaan hyvin suuiksi molekyylien
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali
Lisätiedot