Tyhjä pallosymmetrinen avaruus

Transkriptio

1 Tyhjä pallosymmetinen avauus Yleisen suhteellisuusteoian yhtälöitä on helppo käsitellä silloin kun aika-avauus on lähes tasainen, tai eityisen symmetisissä tapauksissa. Tyhjä pallosymmetinen avauus on eäs täkeimpiä eityistapauksia. Symmetian takia voidaan käsitellä voimakkaita kenttiä ja nähdä piiteitä, jotka ovat kaukana newtonilaisesta gavitaatioteoiasta ja suppeasta suhteellisuusteoiasta. 1

2 SCHWARZSCHILDIN METRIIKKA Pallosymmetinen tähti g!" =? pallosymmetia käytetään pallokoodinaatteja 2

3 ALKULÄMMITTELYÄ: EUKLIDINEN AVARUUS x y x = sinθ cosφ! dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = g ij dx i dx j = sinθ sinφ = cosθ = d d! sin 2!d" 2 " d d# 2 3d tasaisen avauuden metiikka 2d metiikka pallon pinnalla 1 0 0! $ # & 2 g = 0 0 x i = ij! 2 2 # & 0 0 sin θ "" % Pallon pinta-ala saadaan integoimalla yli kulmaelementtien metiikan mukaisilla ketoimilla ja sin! : d! ja d" 2π π A = sinθdφdθ dω= dφ sinθdθ = 4π 0 0 3

4 SCHWARZSCHILDIN AIKA-AVARUUS Tasainen aika-avauus: ds 2 = c 2 dt 2! d 2! 2 (d! 2 + sin 2!d" 2 ) Pallosymmetisen tähden ympäillä aika-avauuden pituusväli iippuu vain -koodinaatista (pallosymmetiasta seuaa staattisuus). Takastellaan tyhjää tilaa tähden ulkopuolella. ds 2 = c 2 F() 2 dt 2! B() 2 d 2! 2 (d! 2 + sin 2!d" 2 ) Kun, kaaeva avauus Minkowski Ei gavitaatiovoimaa ääettömän kaukana F () 1, B () 1 kun 4

5 Sijoitetaan oletus Einsteinin yhtälöihin ja atkaistaan tuntemattomat funktiot B ja F: G!" = 0! R!"#$ =... pöly laskeutuu... F() 2 =1! 2G N M c 2 B() 2 =1/ F() 2 = 1 1! 2G NM c 2 M = massa G N = Newtonin vakio Sijoitetaan metiikan lausekkeeseen ds 2 = c 2 F() 2 dt 2! B() 2 d 2! 2 (d! 2 + sin 2!d" 2 ) 5

6 Schwazschildin metiikka (1916) " ds 2 = c 2 1! 2G M N $ # c 2 % 'dt 2! & d 2 1! 2G N M c 2 "! 2 d( 2 ) c 2 1! s $ # % 'dt 2! d2 & 1! s! 2 d( 2 s = 2G N M c 2 > s < s Schwazschildin säde t aika, paikka????? aika ja paikka vaihtaneet ooleja? Kuinka suui on Schwazschildin säde? G= m 3 kg -1 s -2 M Auinko = kg R Auinko = m s (Auinko) = 2953 m << R Sun tavallisten tähtien Schwazschildin säde on paljon pienempi kuin tähden säde atkaisu ei päde tähden sisällä M Maa = kg s (Maa)= 0.89 cm jotta s > R, vaaditaan hyvin tiheää ainetta s > R musta aukko 6

7 Kellojen käynti ja valon kulku Takastellaan ensin tilannetta Schwazschildin säteen ulkopuolella. Vakioetäisyydella sijaitsevan havaitsijan kellon mittaama itseisaika iippuu etäisyydestä. " ds 2 = c 2 1! s $ # % 'dt 2! d2 & 1! s "! 2 d( 2 = c 2 1! s $ # % 'dt 2 ) c 2 d! 2 & * d! = 1! s dt Kellojen käynti hidastuu. Tämä on absoluuttinen efekti, ei suhteellinen! 7

8 1 2 = dt 1 = dt 2 dτ 1 dτ 2 Lähetetään etäisyydeltä valonsäde ja mitataan valon taajuus paikallisessa ajassa!! = 1 f gavitaatiopunasiitymä f 2 f 1 = d! 1 d! 2 = F( 1) F( 2 ) = 1! s 1 1! s 2 ääettömyydessä nähdään punasiitymä Taajuus pienenee, aallonpituus kasvaa f! = 1" s f () 8

9 Kvanttifysiikka: fotonin enegia on E = hf Fotoni menettää enegiaa kavutessaan gavitaatiopotentiaalista E! ( 1 ) E! ( 2 ) = hf 1 hf 2 = F( 2 ) F( 1 ) = 1! s 2 1! s 1 Ääettömyydessä mitattu enegia fotonille, joka on lähetetty säteeltä : E γ F( ) s ( ) = = 1 Eγ ( ) 0 F( ) kun s Schwazschildin säteeltä kapuamiseen menee kaikki enegia! 9

10 Entäpä kauanko valon matka kestää? Takastellaan liikettä säteen suunnassa: " ds 2 = c 2 1! % s $ 'dt 2! d2 # & 1! = 0 s ( cdt = d 1! = d " = 1+ % s $ 'd s! s #! s & " ( ct = ) d 1+ % s $ ' =! 0 + s ln! s #! s & 0! s 0 ct = 0 + s ln 0 s s 0! s " ln # s 0 # s! ln 1 0 = $ Minkowskin avauuden tulos Schwazschildin säteeltä kapuaminen kestää ääettömän kauan 10

11 Voidaan osoittaa, että sekä valo että massiiviset kappaleet putoavat keskustaan. Massiivisten kappaleiden liikeyhtälö on monimutkaisempi kuin fotonien, mutta suhteellisuusteoia antaa saman lopputuloksen: Kaikki Schwazschildin säteen sisäpuolella oleva aine putoaa keskustaan, vieläpä mukana putoavan kellon mukaan ääellisessä ajassa Keskustassa avauuden kaaevuus on ääetön, siellä on singulaiteetti. MUSTA AUKKO 11

12 = s on tapahtumahoisontti: ulkopuolinen havaitsija ei näe Schwazschildin säteen sisäpuolelle < s on tavallaan leikattu pois avauudesta: sieltä ei tule mitään ulos, ja vaikka sinne voi mennä, putoaminen kestää ulkopuolisen havaitsijan mielestä ääettömän kauan Tapahtumahoisontin ylittäminen tapahtuu ilman damatiikkaa! Tapahtumahoisontti ei ole fyysinen pinta: putoava havaitsija ei näe mitään eityistä sen ohittaessaan. 12

13 Vuoovesi-ilmiö tapahtumahoisontissa F jalat F pää newtonilaisittain:!f = " G N M ( 0 "!) 2 + G N M ( 0 +!) 2 # mg $ 4G N M! 0 3 vastaa m-massaista painoa jaloissa Maan gavitaatiokentässä Oletetaan m pää g 10 m ms Δ 1 m jalat 2 5 kg mg! 4G N M (2G N M / c 2 ) 3 " (# $ m pää ) % m! 4 "1070 kg 3 & =10 10 M au ) ( + M 2 ' M * 2 kg 13

14 MITEN ULKOPUOLINEN HAVAITSIJA NÄKEE PUTOAMISEN? help! help! fotonille d dt = 2 = s cf ( ) c 1 etäisyys R>> s avauus täällä Minkowski, kelloaika = t 14

15 Lasketaan: cdt d = = 1+ s 1 s s d Etäisyydeltä 1 lähetetty viesti tulee peille ajassa t 1 : ct R s = d = R + s ln s 1 R 1 s s Etäisyydeltä 2 ja etäisyydeltä 1 lähetettyjen viestien aikaeo ääettömyydessä on c!t = c(t 2 " t 1 ) = 2 " 1 + s ln 1 " s # $ kun 2 s 2 " s tapahtumahoisontin läpi putoaminen näyttää ulkopuolelta katsoen vievän ääettömän kauan! 15

16 Yksinketaista Kaikki mustaan aukkoon putoava tavaa jäätyy tapahtumahoisontin lähelle (näkymättömiin punasiityneenä). Black holes have no hai : havaittavat ominaisuudet vain Massa M Impulssimomentti L Sähkövaaus Q Impulssimomentti L ja sähkövaaus Q Schwazschild 1916 Ke 1963 Reissne-Nodstöm Ke-Newman 1965 Todelliset mustat aukot pyöivät. 16

17 Kein musta aukko kaksi hoisonttia singulaiteetti on engas! kaksi fotosfääiä (ulompi counteotating, sisempi cootating ) egosphee = alue, jonka sisällä ei voi olla paikoillaan (mutta ei välttämättä joudu singulaiteettiin) Pyöiminen vetää avauutta mukaansa: fame dagging 17

18 Tähden omahtaminen gavitaatio vetää säteilypaine työntää hydostaattinen tasapaino Alue jossa ydineaktiot tapahtuvat: Auingolle ~ 10 5 km, R au ~10 6 km ydineaktiot loppuvat säteilypaine ei enää kompensoi gavitaatiota tähti omahtaa Auinko valkoinen kääpiö tähti, jonka massa M > n. 1.4 M au neutonitähti tähti, jonka massa M > n. 3 M au musta aukko 18

19 MUSTIEN AUKKOJEN HAVAITSEMINEN Kaasun pudotessa mustaan aukkoon se kasaantuu ketymäkiekoksi, jonka sähkömagneettiset kentät kiihdyttävät hiukkasia: kaasu kuumenee voidaan nähdä Tähtien atoja voidaan seuata Galaksien keskustoissa uskotaan olevan miljoonien Auingon massojen painoisia mustia aukkoja. 19

20 Kvanttifysiikka musta aukko höyystyy Hawkingin säteily Vituaalisia hiukkaspaeja Mustaan aukkoon kumppaninsa menettänyt pain jäsen nähdään säteilynä hc 3 musta aukko säteilee, lämpötila T = T H = 16! 2 G N M säteilyteho = vakio säteilevän pinnan ala T 4! A BH = 4! 2 s = 4! 2G NM $ tapahtumahoisontin pinta-ala # & " % säteilyteho P BH =! de dt =! d dt (Mc2 ) = vakio "! A T 4 BH! H K = 3.56 "10 32 Wkg 2 c 2 2!M 2!M!4 = KM!2 20

21 mustan aukon massa muuttuu ajassa kuten dm dt =! K M 2 c 2 0 dm M 2 =! K c dt " # dm M 2 =! K # dt, M 2 c 2 0 $ M (t = 0) M 0 mustan aukon elinikä on! 0! = 1 3 c 2 K M " 3 0 = 2!10 67 M $ 0 # M au % ' & 3 vuotta 21

22 MUSTAT AUKOT FAQ Kuinka gavitaatio pääsee ulos tapahtumahoisontista? Ei se pääsekään. Schwazschildin atkaisu on staattinen. Tähti on kaaeuttanut avauuden jo ennen omahtamistaan mustaksi aukoksi. Ulkopuolinen havaitsija ei edes näe omahtamista loppuun saakka. Nieleekö musta aukko kaiken ympäöivän aineen? Mustan aukon ulkopuolella gavitaatiokenttä on samanlainen kuin samanmassaisen tähden. Hyvin pitkien aikojen kuluessa läheistä ainetta kyllä päätyy mustaan aukkoon. Miksi sähkömagneettinen kenttä pääsee ulos mustasta aukosta? Mustaan aukkoon pudonneen elektonin sähkökenttä ei katoa, vaan ulottuu yhä kauas mustasta aukosta. Elektonin kadottua mustaan aukkoon efektiivisesti mustalla aukolla itsellään on sähkövaaus. Ulkopuolisen havaitsijan mielestä sähkövaaus on hyvin lähellä tapahtumahoisonttia. 22

23 Schwazschildin atkaisun käytännön sovellus: GPS Suppea suhteellisuusteoia: liikkuva kello jätättää -7 µs/pvä Yleinen suhteellisuusteoia: heikommassa gavitaatiokentässä oleva kello edistää +45 µs/pvä Yhteensä +38 µs/pvä GPS:n takkuus on noin 10 ns. Päivässä ketyvä vihe suhteellisuusteoeettisen kojauksen pois jättämisestä: 38!10 "6 s#3!10 8 m s $ 11 km 23

24 Suhteellisuusteoian kokeellinen status Suppea suhteellisuusteoia + kvanttimekaniikka = kvanttikenttäteoia ääimmäisen takkoja kuvauksia hiukkasmaailman ilmiöistä, suppea suhteellisuusteoia oleellinen, testattu miljadisosan takkuudella Yleinen suhteellisuusteoia Testattu auinkokunnassa ja pulsaeista takkuudella GPS - kappaleiden liikkeet - gavitaatiolinssit Kosmologiassa suhteellisuusteoia on välttämätön ja testattu, toisaalta eäiden kosmologisten havaintojen tulkinnaksi on esitetty yleisen suhteellisuusteoian ikkoutumista. 24