Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Aikasarjat
|
|
- Martti Karvonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Aikasarjat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
2 Aikasarjat >> Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen dekomponointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 2
3 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjat, aikasarja-analyysi ja stokastiset prosessit 1/3 Oletetaan, että tarkastelemme muuttujan x arvojen kehittymistä ajassa. Tällöin voimme järjestää muuttujan x havaitut arvot aikajärjestykseen. Kutsumme aikasarjaksi sellaista havaintojen jonoa, jossa aika määrää havaintojen järjestyksen. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 3
4 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjat, aikasarja-analyysi ja stokastiset prosessit 2/3 Tilastollinen aikasarja-analyysi perustuu siihen, että analyysin kohteena oleva havaittu aikasarja tulkitaan jonkin stokastisen prosessin eli satunnaisprosessin realisaatioksi. Stokastinen prosessi on satunnaismuuttujien jono. Stokastiset prosessit muodostavat aikasarja-analyysissa sovellettavan tilastollisten mallien luokan. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 4
5 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjat, aikasarja-analyysi ja stokastiset prosessit 3/3 Tilastollisessa aikasarja-analyysissa ajatellaan, että analyysin kohteena olevan havaittu aikasarja on jonkin stokastisen prosessin generoima. Jos aikasarjan generoinut stokastinen prosessi tunnetaan, voidaan tietoja prosessista käyttää aikasarjan käyttäytymisen kuvaamiseen ja selittämiseen sekä aikasarjan tulevan käyttäytymisen ennustamiseen ja kontrollointiin. Tilastollisen aikasarja-analyysin perustehtävänä on löytää aikasarjan generoinut stokastinen prosessi ja selvittää sen ominaisuudet. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 5
6 Aikasarjat: Johdanto Stokastiset prosessit Määrittelemme stokastisen prosessin eli satunnaisprosessin tässä satunnaismuuttujien jonona. Stokastinen prosessi on satunnaisilmiönä täysin määrätty, jos kaikki prosessiin liittyvien satunnaismuuttujien yhteisjakaumat tunnetaan. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 6
7 Aikasarjat: Johdanto Stationaariset stokastiset prosessit Tässä esityksessä tarkastellaan lähinnä sellaisia aikasarjoja, joita voidaan kuvata stationaarisilla (engl. stationary = muuttumaton, kiinteä, paikallaan pysyvä) stokastisilla prosesseilla tai jotka voidaan stationarisoida. Stationaariset aikasarjat ovat muuttumattomia siinä mielessä, että vaikka niiden arvot vaihtelevat satunnaisesti ajanhetkestä toiseen, niissä ei voida nähdä mitään (selkeitä) kehityksellisiä piirteitä kuten stokastista tai determinististä trendiä, stokastista tai determinististä syklistä vaihtelua tai systemaattista rytmin vaihtelua. Stationaarisia stokastisia prosesseja käsitellään lähemmin luvussa Stationaariset stokastiset prosessit. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 7
8 Aikasarjat: Johdanto Aikasarja-analyysin peruskysymykset Tässä luvussa tarkastellaan seuraavia aikasarja-analyysin peruskysymyksiä: Miten aikasarjoja kerätään? Miten aikasarjoja konstruoidaan muista aikasarjoista? Miten aikasarjoja luokitellaan? Miten aikasarjoja kuvataan graafisesti? Miten ja miksi aikasarjoja esikäsitellään? TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 8
9 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjat: Merkinnät Olkoon x tilastollinen muuttuja, jonka arvojen kehittymistä halutaan tarkastella ajassa. Aikasarja on muuttujan x havaittujen arvojen jono x 1, x 2,, x n jossa x t = muuttujan x havaittu arvo ajanhetkellä t ja aikaindeksi t = 1, 2,, n viittaa peräkkäisiin ajanhetkiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 9
10 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjat: Kommentteja 1/2 Aikasarjassa x t, t = 1, 2,, n aikaindeksin t arvoja 1, 2,, n vastaavat peräkkäiset ajanhetket muodostavat sen havaintoperiodin, jolta havainnot on kerätty. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 10
11 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjat: Kommentteja 2/2 Koska olemme olettaneet, että aikasarja x t, t = 1, 2,, n koostuu erillisinä ajanhetkinä t tehdyistä havainnoista, sanomme, että aikasarja x t on diskreetti. Tässä esityksessä tarkastellaan vain sellaisia diskreettejä aikasarjoja, joissa havainnot on kerätty tasaisin aikavälein. Aikasarjat voidaan luokitella havaintovälin suhteen. Esimerkkejä: Havaintovälin mukaan puhutaan esimerkiksi sekunti-, minuutti-, tunti-, vuorokausi-, viikko-, kuukausi-, 1/4-vuosi- ja vuosiaikasarjoista. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 11
12 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjat: Taustatiedot 1/3 Ennen tilastollisten menetelmien soveltamista pitää selvittää analysoitavaan aikasarjaan liittyvät taustatiedot: (i) Mikä on ollut havaintojen kohteena ollut ilmiö? Esimerkkejä: Vuotuinen bruttokansantuote Suomessa Suomalaisten lukumäärä kunkin vuoden lopussa Vuorokautinen sademäärä Helsingin Kaisaniemessä (ii) Mikä on ollut mittauksissa käytetty mittayksikkö? Esimerkkejä: Vuotuinen bruttokansantuote: Suomalaisten lukumäärä: Vuorokautinen sademäärä: euro kpl mm jatkuu TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 12
13 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjat: Taustatiedot 2/3 jatkuu (iii) Mikä on ollut havaintojen keräämisessä käytetty aikaväli? Esimerkkejä: vrk, viikko, kk, 1/4-vuosi, vuosi (iv) Mitä periodia (ajanjaksoa) mittaukset koskevat? Esimerkkejä: Kuukausiaikasarja 1950/II 1999/IX Vuosiaikasarja (v) Millainen on ollut aikasarjan kuvaaman ilmiön historia? TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 13
14 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjat: Taustatiedot 3/3 Kaikki kalvojen 1/3-2/3 kohdissa (i)-(v) mainitut taustatiedot ohjaavat aikasarjan analyysissa käytettävien menetelmien valintaa. Aikasarjaa ei yleensä voida analysoida järkevästi, ellei aikasarjasta ole käytettävissä kalvojen 1/3-2/3 kohdissa (i)-(v) mainittuja taustatietoja. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 14
15 Aikasarjat: Johdanto Varantosuureet ja virtasuureet 1/2 Aikasarjoja analysoitaessa on usein syytä erottaa varantosuureiksi ja virtasuureiksi kutsutut muuttujatyypit: (i) Varantosuureet kuvaavat tutkimuksen kohteen määrää kunakin ajanhetkenä. Esimerkkejä: Kk-tulot, Vesimäärä, Bruttokansantuote (ii) Virtasuureet kuvaavat tutkimuksen kohteen määrän muutoksia ajanhetkestä toiseen. Esimerkkejä: Kk-tulojen muutokset Veden virtausnopeus Bruttokansantuotteen kasvuvauhti TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 15
16 Aikasarjat: Johdanto Varantosuureet ja virtasuureet 2/2 Monissa aikasarja-analyysin tutkimusasetelmissa tutkimuksen kohdetta voidaan kuvata sekä varanto- että virtasuureilla. Muuttujatyyppi vaikuttaa mm. siihen, millaiset laskennalliset operaatiot ovat aikasarjoille mielekkäitä. Varantosuureista voidaan johtaa virtasuureita differensoimalla (laskemalla peräkkäisten havaintoarvojen erotuksia); ks. kappaletta Aikasarjojen esikäsittely. Virtasuureista voidaan johtaa varantosuureita integroimalla (laskemalla peräkkäisten havaintoarvojen kumulatiivisia summia); ks. kappaletta Aikasarjojen esikäsittely. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 16
17 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen kerääminen Aikasarjojen keräämisessä voidaan soveltaa kaikkia tavanomaisia tilastollisten aineistojen keruun menetelmiä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 17
18 Aikasarjat: Johdanto Perusjoukko, tilastollinen aineisto, havainto Tilastollisen tutkimuksen kaikki mahdollisten kohteet muodostavat tutkimuksen (kohde-) perusjoukon. Tutkimuksen kohteita on aina tarkasteltava jonkin hyvin määritellyn perusjoukon muodostamassa kehikossa. Tutkimuksen kohteiksi valittuja perusjoukon alkioita kutsutaan havaintoyksiköiksi. Tilastollinen aineisto koostuu havaintoyksiköiden ominaisuuksia ja olosuhteita kuvaavista numeerisista tai kvantitatiivisista tiedoista. Havaintoyksiköitä koskevia numeerisia tai kvantitatiivisia tietoja kutsutaan havaintoarvoiksi tai havainnoiksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 18
19 Aikasarjat: Johdanto Miten tilastollisia aineistoja kerätään? 1/2 Muutetaanko tutkimuksessa aktiivisesti tutkimuksen kohteiden olosuhteita? (i) Tutkimus on koe, jos tavoitteena on selvittää, miten tutkimuksen kohteiden olosuhteiden aktiivinen muuttaminen vaikuttaa kohteisiin. (ii) Tutkimus perustuu suoriin havaintoihin, jos tavoitteena on seurata, miten tutkimuksen kohteiden olosuhteet ja niissä tapahtuvat muutokset vaikuttavat kohteisiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 19
20 Aikasarjat: Johdanto Miten tilastollisia aineistoja kerätään? 2/2 Kohdistuuko tutkimus kaikkiin perusjoukon alkioihin vai vain johonkin perusjoukon osaan? (i) Tutkimusta kutsutaan kokonaistutkimukseksi, jos kaikki perusjoukon alkiot tutkitaan. (ii) Tutkimusta kutsutaan otantatutkimukseksi, jos tutkimus kohdistuu johonkin perusjoukon osajoukkoon. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 20
21 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen konstruointi Tilastollisen analyysin kohteena olevat aikasarjat eivät useinkaan ole syntyneet suorien mittauksien tuloksena. Analyysi kohdistetaan usein aikasarjoihin, jotka on konstruoitu (erilaisin menetelmin) toisista aikasarjoista. Aikasarjojen konstruointimenetelmiä: Otanta ajassa Aika-aggregointi Aggregointi Disaggregointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 21
22 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen konstruointi: Otanta ajassa 1/2 Ajassa otannassa aikasarja konstruoidaan keräämällä aikaotannan kohteena olevasta, ajassa etenevästä satunnaisilmiöstä havaintoja tasaisin aikavälein. Monissa aikasarja-analyysin tutkimusasetelmassa tutkimuksen kohteesta voidaan kerätä havaintoja lähes jatkuvasti tai mielivaltaisen pienin (hyvin lyhyin) aikavälein. Tällöin ennen havaintojen tekemistä joudutaan valitsemaan poiminnassa käytettävä havaintoväli. Se, mitä aikasarjan kuvaamasta ilmiöstä voidaan nähdä, riippuu voimakkaasti käytetystä havaintovälistä; ks. Nyquistin frekvenssiä koskevaa kohtaa luvun Stationaariset stokastiset prosessit kappaleessa Stationaaristen stokastisten prosessien spektri. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 22
23 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen konstruointi: Otanta ajassa 2/2 Ajassa otannalla tarkoitetaan myös operaatiota, jossa uusi aikasarja konstruoidaan poimimalla otannan kohteena olevasta, olemassa olevasta aikasarjasta havainnot uuteen aikasarjaan tasaisin aikavälein. Esimerkki: Kuukausiaikasarjasta voidaan (tietyin, muuttujatyyppiä koskevin ehdoin) konstruoida vuosiaikasarja poimimalla kuukausiaikasarjasta joka 12. havainto kuten esimerkiksi joulukuun havainnot. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 23
24 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen konstruointi: Aika-aggregointi Aika-aggregoinnissa aikasarja konstruoidaan yhdistämällä aggregoinnin kohteena olevan aikasarjan peräkkäisiä havaintoja uudeksi aikasarjaksi. Varantosuureilla aika-aggregointi tehdään tavallisesti laskemalla (painotettuja) summia. Esimerkki: Vuotuinen sademäärä (varantosuure) voidaan määrätä laskemalla päivittäisten sademäärien summa. Virtasuureilla aika-aggregointi tehdään tavallisesti laskemalla (painotettuja) keskiarvoja. Esimerkki: Vuotuinen keskikorko (virtasuure) voidaan määrätä laskemalla kuukausikoroista (eräs geometrinen) keskiarvo. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 24
25 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen konstruointi: Aggregointi Aggregoinnissa aikasarja konstruoidaan yhdistämällä kaksi tai useampia aggregoinnin kohteena olevaa aikasarjaa yhdeksi uudeksi aikasarjaksi. Varantosuureilla aggregointi tehdään tavallisesti laskemalla (painotettuja) summia. Virtasuureilla aggregointi tehdään tavallisesti laskemalla (painotettuja) keskiarvoja. Esimerkki: Ns. yhdistetyt indeksit kuten esim. elinkustannusindeksi saadaan aggregoimalla useita kulutustarvikkeiden ja palveluiden hintoja koskevaa aikasarjaa yhdeksi aikasarjaksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 25
26 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen konstruointi: Disaggregointi Disaggregoinnissa aikasarja konstruoidaan hajottamalla disaggregoinnin kohteena oleva aikasarja osiinsa. Esimerkki: Siirtyminen Suomen kokonaisbruttokansantuotteesta bruttokansantuotteeseen per capita (per henkilö) voidaan tulkita disaggregoinniksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 26
27 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjaa on usein syytä esikäsitellä ennen tilastollisten menetelmien soveltamista. Esikäsittelyn tavoitteena on helpottaa aikasarjan analysoimista. Esikäsittelymenetelmiä: Matemaattiset transformaatiot ja muunnokset Differensointi Tasoitus liukuvilla keskiarvoilla Poikkeavien havaintojen eliminointi Dekomponointi ja kausipuhdistus Ks. tarkemmin seuraavia kappaleita. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 27
28 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen kuvaaminen graafisesti: Aikasarjadiagrammit Aikasarjaa x t, t = 1, 2,, n kuvataan graafisesti ns. aikasarjadiagrammilla. Aikasarjadiagrammi on pistediagrammi, jossa lukuparit (t, x t ), t = 1, 2,, n esitetään pisteinä tasossa. Peräkkäisiin ajanhetkiin liittyvät pisteet (t 1, x t 1 ), (t, x t ), t = 2, 3,, n on tapana yhdistää aikasarjadiagrammissa toisiinsa janoilla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 28
29 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjadiagrammit: Kommentteja 1/2 Hyvin laadittuun aikasarjadiagrammiin on aina liitetty seuraavat tiedot: Kuvan otsikko Aikasarjan selite Asteikkojen nimet Selkeät asteikkomerkinnät Käytetyt mittayksiköt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 29
30 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjadiagrammit: Kommentteja 2/2 Diagrammin mittasuhteet ja etenkin pystyakselin skaala vaikuttavat voimakkaasti siihen mitä kuviosta on mahdollista nähdä. Jos tarkasteltavana on useita aikasarjoja, diagrammien mittasuhteet sekä vaaka- ja pystyakseleiden skaalat ja asteikot on syytä valita sellaisella tavalla, että aikasarjoja voidaan vertailla järkevällä tavalla. Sopivasti valitut matemaattiset transformaatiot kuten logaritmointi saattavat helpottaa aikasarjojen vertailua (ks. tarkemmin seuraavaa kappaletta). TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 30
31 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjadiagrammit: Tulkinta 1/2 Aikasarjadiagrammien käytön tavoitteena on helpottaa aikasarjojen erityispiirteiden löytämistä: (i) Onko aikasarjassa trendejä eli aikasarjan tason systemaattisia muutoksia? (ii) Onko aikasarjassa syklistä vaihtelua kuten suhdanne- ja/tai kausivaihtelua? (iii) Millainen on aikasarjan rytmi: Onko rytmi hidas vai nopea? (iv) Millainen on vaihtelukomponenttien muoto: Mikä on komponenttien nousu- ja laskunopeus? (v) Onko aikasarjassa poikkeavia havaintoja? TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 31
32 Aikasarjat: Johdanto Aikasarjadiagrammit: Tulkinta 2/2 On syytä huomata, että kaikilla kalvon 1/2 kohdissa (i)-(v) mainituilla tekijöillä on vaikutusta siihen, miten aikasarjaa analysoidaan: Kohdissa (i)-(v) mainitut tekijät voivat olla analyysin kohteita. Kohdissa (i)-(v) mainituilla tekijöillä saattaa olla vaikutusta analyysissa käytettävien menetelmien valintaan. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 32
33 Aikasarjat: Johdanto Aikasarja-analyysin tehtävät Aikasarja-analyysin tehtävät: (i) Aikasarjan kuvaaminen. (ii) Aikasarjan selittäminen. (iii) Aikasarjan ennustaminen. (iv) Aikasarjan kontrolli. Huomautus: Tehtävät muuttuvat vaativammiksi seuraavassa järjestyksessä: (i) (ii) (iii) (iv) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 33
34 Aikasarjat: Johdanto Tilastolliset aikasarjamallit Tilastolliset aikasarjamallit jaetaan usein seuraavalla tavalla kahteen ryhmään: (i) (ii) Autoprojektiiviset aikasarjamallit pyrkivät hyödyntämään pelkästään aikasarjan omaa historiaa. ARMA-malleiksi kutsuttuja autoprojektiivisia malleja käsitellään luvussa ARMA-mallit. Dynaamiset regressiomallit pyrkivät hyödyntämään aikasarjan oman historian lisäksi sen riippuvuutta muista aikasarjoista ja niiden historiasta. Dynaamisia regressiomalleja käsitellään luvussa Dynaamiset regressiomallit. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 34
35 Aikasarjat Aikasarjat: Johdanto >> Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen dekomponointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 35
36 Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen esikäsittelyn tavoitteet ja menetelmät Ennen tilastollisten menetelmien soveltamista aikasarjoja on usein tapana esikäsitellä. Esikäsittelyn tavoitteena on helpottaa tilastollisten menetelmien soveltamista. Esikäsittelymenetelmiä: (i) Matemaattiset transformaatiot ja muunnokset (ii) Differensointi (iii) Tasoitus (iv) Poikkeavien havaintojen eliminointi (v) Dekomponointi ja kausipuhdistus; ks. kappaletta Aikasarjojen dekomponointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 36
37 Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen esikäsittelyn tavoitteet 1/5 Aikasarjojen esikäsittelyn spesifejä tavoitteita: Epälineaarisen trendin linearisoiminen. Lineaarisen trendin sisältävien aikasarjojen analysoiminen on tavallisesti helpompaa kuin epälineaarisen trendin sisältävien aikasarjojen analysoiminen. Esimerkiksi, jos aikasarjassa on eksponentiaalinen trendi, trendi voidaan linearisoida logaritmoimalla aikasarja. Lineaarinen trendi voidaan toisin kuin eksponentiaalinen trendi tarvittaessa eliminoida differensoimalla; ks.. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 37
38 Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen esikäsittelyn tavoitteet 2/5 Aikasarjojen esikäsittelyn spesifejä tavoitteita: Varianssin vakiointi. Esimerkiksi, jos aikasarjan varianssi kasvaa aikasarjan tason mukana, varianssi voidaan usein vakioida logaritmoimalla aikasarja. Aikasarjan varianssin kasvaminen aikasarjan tason mukana muodostaa aikasarjojen analyysissa samantyyppisen ongelman kuin jäännöstermin heteroskedastisuus regressioanalyysissa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 38
39 Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen esikäsittelyn tavoitteet 3/5 Aikasarjojen esikäsittelyn spesifejä tavoitteita: Trendin ja/tai kausivaihtelun eliminointi. Esimerkiksi, jos aikasarjassa on (selvästi) näkyvä trendi ja/tai (selvästi) näkyvää kausivaihtelua, ne voidaan usein eliminoida differensoimalla (mahdollisesti yhdistettynä logaritmointiin); differensointi: ks.. Näkyvä trendi ja/tai kausivaihtelu tekevät aikasarjasta tavallisesti epästationaarisen, mikä tekee mahdottomaksi stationaarisille aikasarjoille tarkoitettujen analyysimenetelmien soveltamisen; stationaarisuus: ks. lukua Stationaariset stokastiset prosessit. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 39
40 Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen esikäsittelyn tavoitteet 4/5 Aikasarjojen esikäsittelyn spesifejä tavoitteita: Aikasarjan tasoittaminen. Jos aikasarjassa on aikasarjan analyysia häiritseviä vaihtelukomponentteja, ne voidaan tasoittaa aikasarjasta liukuvilla keskiarvoilla; liukuvat keskiarvot: ks.. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 40
41 Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen esikäsittelyn tavoitteet 5/5 Aikasarjojen esikäsittelyn spesifejä tavoitteita: Poikkeavien havaintojen eliminointi. Vaihtoehto 1: Poikkeavat havainnot muunnetaan tavallisiksi havainnoiksi ennen aikasarjan analyysia. Vaihtoehto 2: Poikkeavat havainnot otetaan huomioon aikasarjaan sovellettavien tilastollisten mallien rakenteessa. Poikkeavat havainnot voidaan usein löytää tutkimalla aikasarjadiagrammia ja aikasarjan kuvaaman ilmiön historiaa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 41
42 Aikasarjojen esikäsittely Logaritmointi: Perustelut Aikasarjoja analysoidaan usein logaritmisessa muodossa. Asialooginen perustelu logaritmoinnille: Muuttujan arvojen suhteelliset muutokset ovat usein tärkeämpiä kuin niiden absoluuttiset muutokset. Teknisiä perusteluita logaritmoinnille: Jos aikasarjassa on eksponentiaalinen trendi, trendi voidaan linearisoida logaritmoinnilla. Jos aikasarjan varianssi kasvaa aikasarjan tason mukana, varianssi voidaan usein vakioida logaritmoinnilla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 42
43 Aikasarjojen esikäsittely Logaritmointi: Suhteelliset muutokset Jos muuttujan x arvo x 0 muuttuu p %, niin uusi arvo x 1 on p x1 = 1 + x0 100 Logaritmoimalla saadaan: p log( x0 ) log( x1) = log( x0) + log Siten suhteellinen muutos aikasarjan tasossa on logaritmoituna (lähes) riippumaton tasosta ja riippuu (lähes) pelkästään vain muutosprosentista p. p TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 43
44 Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Perustelut Aikasarja halutaan usein stationarisoida eli aikasarjasta halutaan eliminoida näkyvä epästationaarinen trendi ja/tai näkyvä epästationaarinen kausivaihtelu. Stationaarisuus: ks. lukua Stationaariset stokastiset prosessit. Epästationaarinen aikasarja voidaan hyvin usein stationarisoida differensoimalla aikasarjaa sopivasti. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 44
45 Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Viive ja differenssi Olkoon x t, t = 1, 2,, n aikasarja. Määritellään viiveoperaattori L : Lx t = x t 1 Määritellään differenssioperaattori D = 1 L : Dx t = (1 L)x t = x t Lx t = x t x t 1 Operaattorit L ja D ovat lineaarisia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 45
46 Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Viipeen ja differenssin muodostaminen t x t Lx t Dx t 1 x 1 2 x 2 x 1 x 2 x 1 3 x 3 x 2 x 3 x 2 n 2 x n 2 x n 3 x n 2 x n 3 n 1 x n 1 x n 2 x n 1 x n 2 n x n x n 1 x n x n 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 46
47 Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Differenssin tulkinta Olkoon x t, t = 1, 2,, n aikasarja. Differenssi Dx t = x t x t 1, t = 2, 3,, n kuvaa aikasarjan x t tason muutosta ajanhetkestä toiseen. Jos x t on vuosiaikasarja, niin differenssi Dx t kuvaa vuosimuutosta. Differenssin jatkuvat vastineet: (i) Derivaatta (ii) Nopeus (matkan 1. derivaatta ajan suhteen) Huomautus: Differenssi D poistaa aikasarjasta deterministisen lineaarisen trendin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 47
48 Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Integrointi Differensoidusta aikasarjasta y t = Dx t = x t x t 1, t = 2, 3,, n saadaan alkuperäinen aikasarja x t integroimalla eli laskemalla differenssien kumulatiivisia summia: x 1 = y 1 x t = y 1 + y y t, t = 2, 3,, n Huomautus: Huomaa, että aikasarjan x t täydellinen palauttaminen vaatii alkuarvon x 1 = y 1 tuntemista, koska se kiinnittää aikasarjan tason. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 48
49 Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Logaritmoinnin ja differensoinnin yhdistäminen Usein aikasarja sekä logaritmoidaan että differensoidaan. Tällöin tavoitteena on kuvata aikasarjan tasossa tapahtuvia suhteellisia muutoksia. Relatiivinen differenssi xt xt 1 xt 1 kuvaa suhteellista muutosta aikasarjan tasossa. Logaritminen differenssi xt xt 1 log( xt) log( xt 1) xt 1 kuvaa likimääräisesti suhteellista muutosta aikasarjan tasossa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 49
50 Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Korkeammat viipeet ja differenssit 1/3 Olkoon x t, t = 1, 2,, n aikasarja. Määritellään viiveoperaattori L p : L p = L p 1 L = LL L (p kpl) Määritellään differenssioperaattori D p = (1 L) p : D p = D p 1 D = DD D (p kpl) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 50
51 Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Korkeammat viipeet ja differenssit 2/3 Siten ja L p x t = x t p p p D x = (1 L) x t p = ( 1) i= 0 p i p i = ( 1) ( Lxt ) i= 0 i p i p = ( 1) x i= 0 i i t p L i x i t i t TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 51
52 Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Korkeammat viipeet ja differenssit 3/3 Esimerkkejä: 2. viive: L 2 x t = L(Lx t ) = Lx t 1 = x t 2 2. differenssi: D 2 x t = D(Dx t ) = D(x t x t 1 ) = Dx t Dx t 1 = x t x t 1 x t 1 + x t 2 = x t 2x t 1 + x t 2 Tai: D 2 x t =(1 L) 2 x t =(1 2L + L 2 )x t = x t 2x t 1 + x t 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 52
53 Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: 2. differenssin tulkinta Olkoon x t, t = 1, 2,, n aikasarja. 2. differenssi D 2 x t, t = 3, 4,, n kuvaa aikasarjan x t tason muutoksen nopeutta ajanhetkestä toiseen. 2. differenssin jatkuvat vastineet: (i) 2. derivaatta (ii) Kiihtyvyys (matkan 2. derivaatta ajan suhteen) Huomautus: 2. differenssi D 2 poistaa aikasarjasta deterministisen 2. asteen polynomisen trendin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 53
54 Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: p. differenssin tulkinta Olkoon x t, t = 1, 2,, n aikasarja. p. differenssi D p x t, t = p + 1, p + 2,, n kuvaa aikasarjan x t tason muutoksen muutoksen muutoksen (p 1 kpl) nopeutta ajanhetkestä toiseen. p. differenssin jatkuva vastine: (i) p. derivaatta Huomautus: p. differenssi D p poistaa aikasarjasta deterministisen p. asteen polynomisen trendin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 54
55 Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Kausidifferenssi Olkoon x t, t = 1, 2,, n aikasarja. Olkoon s = 1, 2, 3, periodi eli kauden pituus. Määritellään kausidifferenssioperaattori D s = 1 L s : D s x t =(1 L s )x t = x t L s x t = x t x t s TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 55
56 Aikasarjojen esikäsittely Differensointi: Kausidifferenssin tulkinta Kausidifferenssi D s x t, t = s + 1, s + 2,, n kuvaa aikasarjan x t, t = 1, 2,, n tason muutoksia s ajanhetkeä toisistaan olevien havaintoarvojen välillä. Jos x t on kk-aikasarja, kausidifferenssi D 12 x t kuvaa vuosimuutosta. Kausidifferenssin jatkuvat vastineet: (i) Derivaatta (ii) Nopeus (matkan 1. derivaatta ajan suhteen) Huomautus: Kausidifferenssi D s poistaa aikasarjasta deterministisen kausivaihtelun, jonka periodi on s. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 56
57 Aikasarjojen esikäsittely Tasoitus: Perustelut Aikasarjaa halutaan usein tasoittaa eliminoimalla siitä häiritsevinä pidetyt vaihtelukomponentit. Aikasarjan tasoittamisen tapahtuu tavallisesti käyttämällä liukuvia keskiarvoja. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 57
58 Aikasarjojen esikäsittely Tasoitus: Liukuvat keskiarvot 1/2 Olkoon x t, t = 1, 2,, n aikasarja. Muodostetaan havainnoista x t uusi aikasarja y t operaatiolla jossa r yt = ax j t+ j, t= s+ 1, s+ 2,, n r r j= s a j= s j = 1 Sanomme, että aikasarja y t on aikasarjan x t liukuva keskiarvo tai, että aikasarja y t on saatu aikasarjasta x t liukuvan keskiarvon suotimella. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 58
59 Aikasarjojen esikäsittely Tasoitus: Liukuvat keskiarvot 2/2 Liukuva keskiarvo r yt = ax j t+ j, t= s+ 1, s+ 2,, n r 1, n r j= s on havaintojen xt s, xt s+ 1,, xt 1, xt, xt+ 1,, xt+ r 1, xt+ r painotettu keskiarvo, jonka painorakenteen muodostavat painot (painokertoimet) a s, a s+ 1,, a 1, a0, a1,, ar 1, ar Painojen lukumäärää r + s +1 kutsutaan liukuvan keskiarvon jänteen pituudeksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 59
60 Aikasarjojen esikäsittely Tasoitus: Liukuvien keskiarvojen käyttö Liukuva keskiarvo r yt = ax j t+ j, t= s+ 1, s+ 2,, n r 1, n r j= s suodattaa tai eliminoi aikasarjasta sellaiset vaihtelukomponentit, joiden kesto on lyhempi kuin liukuvan keskiarvon jänteen pituus r + s +1 Esimerkki: Jos x t on kuukausiaikasarja, voidaan kausivaihtelun tasoittamiseksi käyttää liukuvaa keskiarvoa, jossa r = s = 6 jolloin jänteen pituudeksi tulee r + s +1 = 13 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 60
61 Aikasarjat Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen esikäsittely >> Aikasarjojen dekomponointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 61
62 Aikasarjojen dekomponointi Aikasarjojen dekomponoinnin perustelut Useissa aikasarjoissa voidaan nähdä seuraavia piirteitä: Trendejä eli aikasarjan tason systemaattisia muutoksia. Syklistä vaihtelua kuten suhdanne-ja/tai kausivaihtelua. Satunnaista vaihtelua. Tämä empiirinen havainto on johtanut ajatukseen, että aikasarjat kannattaa osana tilastollista analyysia yrittää dekomponoida vastaaviin komponentteihin eli osiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 62
63 Aikasarjojen dekomponointi Aikasarjojen dekomponoinnin tavoitteet Aikasarjan dekomponoinnin tavoitteet: (i) Aikasarjan käyttäytymisen kuvailu komponenttiensa avulla. (ii) Aikasarjan analysointi komponenttiensa avulla. (iii) Kausipuhdistus eli häiritseviksi koetun kausivaihtelun eliminointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 63
64 Aikasarjojen dekomponointi Aikasarjan komponentit 1/2 Aikasarjan dekomponoinnissa oletetaan, että aikasarja x t, t = 1, 2,, n voidaan esittää seuraavien komponenttien summana tai tulona: m t = trendikomponentti c t = syklinen (tai suhdanne-) komponentti s t = kausikomponentti = jäännös (tai satunnais-) komponentti e t TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 64
65 Aikasarjojen dekomponointi Aikasarjan komponentit 2/2 Aikasarjan x t, t = 1, 2,, n dekompositiot: (i) Additiivinen muoto: (ii) x t = m t + c t + s t + e t Multiplikatiivinen muoto: x t = m t c t s t e t Huomautus: Multiplikatiivinen muoto voidaan aina muuntaa additiiviseksi muodoksi logaritmoimalla: log(x t ) = log(m t ) + log(c t ) + log(s t ) + log(e t ) TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 65
66 Aikasarjojen dekomponointi Kausipuhdistus Aikasarjan dekomponoinnin tavoitteena on usein aikasarjan kausipuhdistus. Kausipuhdistuksessa alkuperäisestä aikasarjasta x t muodostetaan uusi aikasarja y t, josta häiritseväksi koettu kausivaihtelukomponentti s t on eliminoitu: (i) Kausipuhdistus additiivisessa muodossa: (ii) y t = x t s t = m t + c t + e t Kausipuhdistus multiplikatiivisessa muodossa: y t = x t /s t = m t c t e t TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 66
67 Aikasarjojen dekomponointi Dekomponointimenetelmät 1/2 Aikasarjojen dekomponointia varten on esitetty useita erilaisia menetelmiä. Yleisesti käytettyjä (ns. virallisia) dekomponointimenetelmiä: (i) X12 (iteratiivinen liukuvien keskiarvojen menetelmä). (ii) X12-ARIMA (ARIMA-mallit iteratiiviseen liukuvien keskiarvojen menetelmään yhdistävä menetelmä). (iii) Aikasarjojen rakennemallit. Emme käsittele näitä (virallisia) kausipuhdistusmenetelmiä tarkemmin tässä esityksessä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 67
68 Aikasarjojen dekomponointi Dekomponointimenetelmät 2/2 Huomautus: Yleisesti käytetyt tilastolliset ohjelmistot eivät useinkaan sisällä kohdissa (i)-(iii) mainittuja (ns. virallisia) dekomponointimenetelmiä. Sen sijaan ohjelmistoihin on tavallisesti implementoitu jokin yksinkertainen dekomponointimenetelmä, jota ei kuitenkaan pidä käyttää (eikä käytetä) tilastojen tuotantotyössä. Näihin yksinkertaisiin dekomponointimenetelmiin kannattaa kuitenkin tutustua, koska ne havainnollistavat hyvin myös virallisten menetelmien toimintaideaa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 68
69 Aikasarjojen dekomponointi Dekomponoinnin kritiikki 1/4 Dekompontonointia (kausipuhdistusta) perustellaan usein sillä, että komponenttien (kausipuhdistetun aikasarjan) analysointi olisi helpompaa kuin alkuperäisen aikasarjan analysointí. Aikasarjojen dekomponointia ja kausipuhdistusta vastaan on kuitenkin esitetty varsin osuvaa kritiikkiä. Johtopäätös esitystä kritiikistä on nähdäkseni se, että aikasarjojen dekomponointia voidaan suhteellisen järkevästi käyttää osana aikasarjojen kuvailua, mutta komponenttien käyttäminen tilastollisissa malleissa on varsin arveluttavaa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 69
70 Aikasarjojen dekomponointi Dekomponoinnin kritiikki 2/4 Esitetty kritiikki puree etenkin sellaisiin iteratiivisiin liukuvan keskiarvon menetelmiin kuin X12 (X11), mutta myös muun tyyppiset menetelmät ovat alttiita (ainakin osalle) esitetystä kritiikistä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 70
71 Aikasarjojen dekomponointi Dekomponoinnin kritiikki 3/4 Asialooginen kritiikki dekomponointia ja kausipuhdistusta vastaan: (i) Aikasarjan jako trendi-, suhdanne-, kausi- ja jäännöskomponentteihin on enemmän tai vähemmän mielivaltaista. (ii) Komponentit eivät ole todellisia, mitattavissa olevia suureita. Esimerkki: Työttömien määrää kuvaavat aikasarjat julkaistaan tavallisesti kausipuhdistettuina. Kysymys: Ovatko kausipuhdistetut työttömät kadonneet johonkin? TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 71
72 Aikasarjojen dekomponointi Dekomponoinnin kritiikki 4/4 Tilastotieteellinen kritiikki dekomponointia ja kausipuhdistusta vastaan: (i) Dekomponoinnin taustalla ei ole useinkaan (paitsi rakennemalleilla) mitään tilastollista mallia. (ii) Dekomponoinnin onnistumista on hyvin vaikeata mitata millään tilastollisilla mittareilla. (iii) Kausipuhdistus vääristää aikasarjojen autokorrelaatiorakenteen (sisäiset aikariippuvuudet). (iv) Kausipuhdistus vääristää aikasarjojen taajuusalueen ominaisuudet. (v) Kausipuhdistus saattaa vääristää aikasarjojen väliset riippuvuudet. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 72
73 Aikasarjojen dekomponointi Mitä kausipuhdistuksen sijasta? Kausipuhdistus voidaan tilastollisessa analyysissa (lähes) aina korvata muilla, tilastotieteen kannalta paremmin perustelluilla menetelmillä. Kausipuhdistuksen sijasta kannattaa harkita esimerkiksi seuraavien menetelmien soveltamista: (i) Ajassa aggregointi tai ajassa otanta. (ii) Kausidifferensointi. (iii) Kausivaihtelun ottaminen huomioon sovellettavien tilastollisten mallien rakenteessa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 73
Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 ja mittaaminen >> Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen ja mitta-asteikot TKK (c)
LisätiedotTiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus. Intelin osakekurssi. (Pörssi-) päivä n = 20 Intel_Volume. Auringonpilkkujen määrä
MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 4. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 3, 5 Aihe: ARMA-mallit Tehtävä 4.1. Tutustu seuraaviin aikasarjoihin: Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan
Lisätiedot3. Tietokoneharjoitukset
3. Tietokoneharjoitukset Aikasarjan logaritmointi Aikasarjoja analysoidaan usein logaritmisessa muodossa. Asialooginen perustelu logaritmoinnille: Muuttujan arvojen suhteelliset muutokset ovat usein tärkeämpiä
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kerääminen Mittaaminen ja mitta-asteikot TKK (c)
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotTilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 ja mittaaminen Johdatus tilastotieteeseen ja mittaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 ja mittaaminen: Mitä opimme? 1/3 Tilastollisen tutkimuksen kaikki mahdolliset kohteet
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 11. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 11. lokakuuta 2007 1 / 15 1 Johdantoa tilastotieteeseen Peruskäsitteitä Tilastollisen kuvailun ja päättelyn menetelmiä
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotIlkka Mellin Aikasarja-analyysi ARMA-mallit
Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi ARMA-mallit TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 ARMA-mallit >> ARMA-mallit ja niiden ominaisuudet ARMA-mallien auto- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot ARMA-mallien spektri ARMA-mallien
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
Lisätiedot9. Tila-avaruusmallit
9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia
LisätiedotMONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen
MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN TYYPIT 1 Mitta-asteikot Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: kategorisiin ja numeerisiin muuttujiin. Tämän lisäksi
LisätiedotStationaariset stokastiset prosessit ja ARMA-mallit
Stationaariset stokastiset prosessit ja ARMA-mallit MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotHarjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi ARMA esimerkkejä
MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi ARMA esimerkkejä Tehtävä 4.1. Ncss-ohjelmiston avulla on generoitu AR(1)-, AR(2)-, MA(1)- ja MA(2)-malleja vastaavia aikasarjoja erilaisilla parametrien arvoilla.
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
LisätiedotKertaus. MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: Yleinen lineaarinen malli 1 Määritelmä
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas LUENNOT Luento Paikka Vko Päivä Pvm Klo 1 L 304 8 Pe 21.2. 08:15-10:00 2 L 304 9 To 27.2. 12:15-14:00 3 L 304 9 Pe 28.2. 08:15-10:00 4 L 304 10 Ke 5.3.
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon
LisätiedotKertaus. MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017 Viikko 1: Yleinen lineaarinen malli 1 Määritelmä
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
LisätiedotAki Taanila AIKASARJAENNUSTAMINEN
Aki Taanila AIKASARJAENNUSTAMINEN 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 1 AIKASARJA ILMAN SYSTEMAATTISTA VAIHTELUA... 2 1.1 Liukuvan keskiarvon menetelmä... 2 1.2 Eksponentiaalinen tasoitus... 3 2 AIKASARJASSA
LisätiedotIlkka Mellin Aikasarja-analyysi Stationaariset stokastiset prosessit
Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Stationaariset stokastiset prosessit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Stationaariset stokastiset prosessit >> Stationaariset stokastiset prosessit Integroituvuus Korrelaatiofunktioiden
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Lisätiedot8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH
8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH Osa aikasarjoista kehittyy hyvin erityyppisesti erilaisissa tilanteissa. Esimerkiksi pörssikurssien epävakaus keskittyy usein lyhyisiin
LisätiedotVirhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus.
Virhearviointi Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus. Virhelajit A. Tilastolliset virheet= satunnaisvirheet, joita voi arvioida tilastollisin menetelmin B. Systemaattiset virheet = virheet, joita
LisätiedotOtannasta ja mittaamisesta
Otannasta ja mittaamisesta Tilastotiede käytännön tutkimuksessa - kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Aineistot Kvantitatiivisen tutkimuksen aineistoksi kelpaa periaatteessa kaikki havaintoihin perustuva informaatio,
LisätiedotLuento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja
1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotAikasarjamallit. Pekka Hjelt
Pekka Hjelt Aikasarjamallit Aikasarja koostuu järjestyksessä olevista havainnoista, ja yleensä se on tasavälinen ja diskreetti eli havaintopisteet ovat erillisiä. Lisäksi aikasarjassa on yleensä autokorrelaatiota
LisätiedotKoesuunnittelu ja tilastolliset mallit Johdanto. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Johdanto TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu: Johdanto Johdattelevia esimerkkejä Tilastolliset kokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Koesuunnittelu: Johdanto
LisätiedotHarjoitus 7 : Aikasarja-analyysi (Palautus )
31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitus 7 : Aikasarja-analyysi (Palautus 28.3.2017) Tämän harjoituskerran tarkoitus on perehtyä
LisätiedotMatematiikka vuosiluokat 7 9
Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotMetsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO...
Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA...9 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...9 1.3
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016) Tavoitteet (teoria): Hahmottaa aikasarjan klassiset komponentit ideaalisessa tilanteessa. Ymmärtää viivekuvauksen vaikutus trendiin. ARCH-prosessin
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotTilastotieteessä aikasarja tarkoittaa yleensä sarjaa, jossa peräkkäisten havaintojen aikaväli on aina sama.
Aikasarjat Tilastotieteessä aikasarja tarkoittaa yleensä sarjaa, jossa peräkkäisten havaintojen aikaväli on aina sama. Aikasarja on laajassa mielessä stationäärinen (wide sense stationary, WSS), jos odotusarvo
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf
LisätiedotEnnustaminen ARMA malleilla ja Kalmanin suodin
Ennustaminen ARMA malleilla ja Kalmanin suodin MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita autokovarianssifunktion ominaisuuksien tarkastelu. Osata laskea autokovarianssifunktion spektriiheysfunktio. Tavoitteet
LisätiedotKysynnän ennustaminen muuttuvassa maailmassa
make connections share ideas be inspired Kysynnän ennustaminen muuttuvassa maailmassa Nina Survo ja Antti Leskinen SAS Institute Mitä on kysynnän ennustaminen? Ennakoiva lähestymistapa, jolla pyritään
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotARMA mallien rakentaminen, Kalmanin suodatin
ARMA mallien rakentaminen, Kalmanin suodatin MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016
LisätiedotDynaamisten systeemien identifiointi 1/2
Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2 Mallin rakentaminen mittausten avulla Epäparametriset menetelmät: tuloksena malli, joka ei perustu parametreille impulssi-, askel- tai taajusvaste siirtofunktion
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotLABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen
LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen Tämä ohje täydentää ja täsmentää osaltaan selostuskäytäntöä laboraatioiden osalta. Yleinen ohje työselostuksista löytyy intranetista, ohjeen on laatinut Eero Soininen
LisätiedotARMA mallien rakentaminen, johdatus dynaamisiin regressiomalle
ARMA mallien rakentaminen, johdatus dynaamisiin regressiomalleihin MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
Lisätiedot1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet
VAASAN YLIOPISTO/AVOIN YLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia 1 KURSSIKYSELYAINEISTO: 1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 6: 1 Kalmanin suodatin Aiemmin käsitellyt
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Lisätiedot6.5.2 Tapering-menetelmä
6.5.2 Tapering-menetelmä Määritelmä 6.7. Tapering on spektrin estimointimenetelmä, jossa estimaattori on muotoa f m (ω) = 1 m ( ) k w 2π m Γ(k)e ikω, k= m missä Γ on otosautokovarianssifunktio ja ikkunafunktio
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotTilastotieteen aihehakemisto
Tilastotieteen aihehakemisto hakusana ARIMA ARMA autokorrelaatio autokovarianssi autoregressiivinen malli Bayes-verkot, alkeet TILS350 Bayes-tilastotiede 2 Bayes-verkot, kausaalitulkinta bootstrap, alkeet
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedot6.2.3 Spektrikertymäfunktio
ja prosessin (I + θl + + θl q )ε t spektritiheysfunktio on Lemman 6. ja Esimerkin 6.4 nojalla σ π 1 + θ 1e iω + + θ q e iqω. Koska viivepolynomien avulla määritellyt prosessit yhtyvät, niin myös niiden
LisätiedotTeema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja
Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja Tilastoaineiston peruselementit: havainnot ja muuttujat havainto: yhtä havaintoyksikköä koskevat tiedot esim. henkilön vastaukset kyselylomakkeen kysymyksiin
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotGeoGebra tutkivan oppimisen välineenä: havainto-hypoteesi-testaus
GeoGebra tutkivan oppimisen välineenä: havainto-hypoteesi-testaus Mitä jäi mieleen viime viikosta? Mitä mieltä olet tehtävistä, joissa GeoGebralla työskentely yhdistetään paperilla jaettaviin ohjeisiin
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
LisätiedotAki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO
Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
Lisätiedot1.1 Funktion määritelmä
1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
Lisätiedot1. Johdanto Todennäköisyysotanta Yksinkertainen satunnaisotanta Ositettu otanta Systemaattinen otanta...
JHS 160 Paikkatiedon laadunhallinta Liite III: Otanta-asetelmat Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Todennäköisyysotanta... 2 2.1 Yksinkertainen satunnaisotanta... 3 2.2 Ositettu otanta... 3 2.3 Systemaattinen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotOsa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka >> Klassinen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 16. Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä
Talousmatematiikan perusteet: Luento 16 Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä Integraalin käsite Tarkastellaan auton nopeusmittarilukemaa v(t) ajan t funktiona aikavälillä klo 12.00-17.00
LisätiedotKESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.
VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
Lisätiedot