Auringonpilkkujen jaksollisuus

Transkriptio

1 Mat Sovelletun matematiikan erikoistyöt Auringonpilkkujen jaksollisuus Teknillinen korkeakoulu Systeemianalyysin laboratorio Keijo Jaakola 51624B 1

2 1. Johdanto Aikasarjamalleja ARIMA-malli SARIMA-malli SARIMAX-malli Aikasarjamallin rakentaminen ja valitseminen Boxin ja Jenkinsin menetelmä Aikasarjamallin valitseminen Data Auringonpilkkudatan analysointi Analysoinnissa käytettävä ohjelmisto Tutkittavan aikasarjan valinta Mallin valinta ja estimointi Diagnostiset testit Mallien arviointi kuvaajien ja ennusteiden avulla Pohdinta ja yhteenveto Viitteet...14 Liitteet

3 1. Johdanto Auringon epätasainen pyörimisliike ja ylemmän pintakerroksen virtaukset ilmeisesti vaikuttavat erittäin voimakkaiden magneettikenttien muodostumiseen tietyille alueille Auringon pinnalla. Nämä kohdat ovat ympäristöään viileämpiä voimakkaan paikallisen magneettikentän vaikutuksesta. Viileät kohdat näkyvät ympäristöään tummempina auringonpilkkuina. Auringonpilkkujen lämpötila on noin 3800 K, mikä on noin 1000 K ympäristöään alempi. Tyypillisen auringonpilkun läpimitta on noin km ja elinikä vaihtelee koosta riippuen muutamasta päivästä jopa kuukausiin. Aurinko on sitä aktiivisempi, mitä enemmän auringonpilkkuja on. Maapallolla Auringon aktiivisuus näkyy revontulina ja magneettisina myrskyinä jolloin saattaa esiintyä häiriöitä mm. radioliikenteessä ja voimalinjoissa. Auringonpilkkujen määrää on rekisteröity vuodesta 1610 alkaen. Vuonna 1843 saksalainen Heinrich Schwabe keksi, että auringonpilkkujen määrä vaihtelee jaksollisesti 11 vuoden välein [1]. Joskus auringonpilkut katoavat lähes kokonaan vuosikymmeniksi. Viimeksi tällainen ajanjakso oli 1800-luvun alussa. Tässä työssä on tarkoitus tutkia auringonpilkkujen lukumäärää aikasarja-analyysin keinoin ja muodostaa mahdollisimman hyvä SARIMA-malli. Mallin rakentamisessa käytetään NCSS 2001-ohjelmistoa. 2. Aikasarjamalleja 2.1. ARIMA-malli ARIMA malli koostuu AR- ja MA-osasta (AR=autoregression, MA=moving average). AR-prosessin arvo ajanhetkellä t riippuu prosessin edellisistä arvoista ja jäännöstermistä a t (valkoista kohinaa). MA-prosessin arvo ajanhetkellä t riippuu jäännöstermin arvosta ajanhetkellä t ja sitä ennen. Käytetään ARIMA(p,d,q)-mallille seuraavaa notaatiota: d Φ ( B ) z = Θ ( B) a, (1) p t q t missä z t on mallitettava suure, a t on valkoista kohinaa, viiveoperaattori Bz t = z t-1, p differensointi = (1-B) ja viivepolynomit Φ B) = (1 φ B... φ B ) ja p ( 1,1 1, p q Θ B) = (1 θ B... θ B ) sisältävät mallin parametrit. Data määrää kertaluvut q ( 1,1 1, q p, d ja q. AR- ja MA-osiin otetaan tilastollisesti merkitsevät parametrit, ellei ole erityistä syytä muuhun SARIMA-malli SARIMA-mallilla mallitetaan kausivaihtelua. ARIMA-malli voidaan ymmärtää SARIMA-mallin erikoistapaukseksi, jossa kausivaihtelun pituus on yksi. Mikäli kausivaihtelun pituus on s, käytetään ARIMA(p,d,q,P,D,Q)-mallia 3

4 Φ ( Θ a, (2) P s d D s B ) Φ p ( B) s zt = ΘQ ( B ) q ( B) missä z t on mallitettava suure, a t on valkoista kohinaa, viiveoperaattori B s z t = z t-s, differensointi = (1-B), kausidifferensointi = (1-B s ) ja viivepolynomit s s Ps p Φ B ) = (1 φ B... φ B ), Φ B) = (1 φ B... φ B ), P ( s,1 s, P s t p ( 1,1 1, p s s Qs q Θ B ) = (1 θ B... θ B ) ja Θ B) = (1 θ B... θ B ) sisältävät Q ( s,1 s, Q q ( 1,1 1, q mallin parametrit. Data määrää kertaluvut p, d, q, P, D ja Q. Jos kauden pituus on suuri datan kokonaispituuteen nähden, kertaluvuille P, D ja Q ei ole mahdollista käyttää suuria arvoja, vaan usein P = D = Q = 1. AR- ja MA-osiin otetaan tilastollisesti merkitsevät parametrit, ellei ole erityistä syytä muuhun SARIMAX-malli SARIMAX-malli (Seasonal ARIMA with external variable) on SARIMA-malli, jossa on ulkoinen selittäjä. Malli on muuten sama kuin (2), mutta siihen tulee oikealle puolelle ulkoinen selittäjä x t differensiointien ja viiveiden kanssa. 3. Aikasarjamallin rakentaminen ja valitseminen Aikasarjamallin rakentaminen on aina syytä aloittaa piirtämällä tarkasteltava aikasarja. Kuvion avulla saadaan käsitys aikasarjan pääpiirteistä: trendin, kausivaihtelun, äkillisten muutosten, yms. esiintymisestä ja siitä vaikuttaako aikasarja stationaariselta. Aikasarjamallin rakentamisessa käytetään yleisesti Boxin ja Jenkinsin menetelmää Boxin ja Jenkinsin menetelmä Boxin ja Jenkinsin menetelmä koostuu kolmesta työvaiheesta: 1. Mallin identifiointi 2. Mallin estimointi 3. Diagnostiset tarkistukset Mallin identifiointi Ensimmäinen tehtävä on määrittää onko aikasarja stationaarinen, koska ARMA-mallit ovat stationaaristen aikasarjojen malleja. Aikasarja on stationaarinen, jos i) odotusarvo ja varianssi eivät riipu ajanhetkestä ja ii) Autokovarianssi riippuu vain ajanhetkien välistä, ei ajanhetkestä itsestään. Aikasarjan stationaarisuutta voi tutkia mm. seuraavilla tavoilla: 1) Tutkimalla aikasarjan kuvaa. Aikasarjassa ei saa näkyä -kehityksellisiä piirteitä (trendi) -kausivaihtelua 4

5 -sisäisten riippuvuusrakenteiden muutoksia 2) Tutkimalla autokorrelaatio- (akf) ja osittaisautokorrelaatiofunktioita (oakf). Stationaarisen ARMA-mallin akf ja oakf vaimenevat aina vähintään eksponentiaalista vauhtia. 3) Erilaisilla testeillä, esim. yksikköjuuritesti. Jos aikasarja ei ole stationaarinen, niin se saadaan stationaariseksi differensioimalla. Differensiointien kertalukujen valinta tehdään edellä olevien tutkimusten perusteella, esimerkiksi jos aikasarjassa on lineaarinen trendi, kertaluku on yksi ja jos aikasarjassa on 11 vuoden jakso niin kertaluku on 11. Differensiointien kanssa on syytä olla varovainen, sillä signaali-kohina-suhde saattaa differensioitaessa olennaisesti heikentyä, varsinkin kohinaisessa datassa. Seuraavaksi valitaan viivepolynomien asteluvut. Valinta tehdään akf:n ja oakf:n perusteella. Taulukosta 1 nähdään ARMA(p,q)-mallien korrelaatiofunktioiden ominaisuudet. Taulukko 1. ARMA(p,q)-mallien korrelaatiofunktioiden ominaisuudet Malli Autokorrelaatiofunktio Osittaisautokorrelaatiofunktio AR(p) Vaimenee eksponentiaalisesti Katkos viipeellä p MA(q) Katkos viipeellä q Vaimenee eksponentiaalisesti ARMA(p,q) Vaimenee eksponentiaalisesti Vaimenee eksponentiaalisesti SARMA-mallien akf ja oakf käyttäytyvät kausiviipeillä s, 2s, 3s, kuten vastaavien ARMA-mallien akf ja oakf Mallin estimointi ARMA-mallin estimoinnissa käytetään pääasiassa epälineaarista pienimmän neliösumman tai suurimman uskottavuuden menetelmää. Kun parametrit on estimoitu, tarkastetaan niiden merkitsevyys. Parametrien, jotka eivät ole merkitseviä, poisjättämistä tulee harkita tapauskohtaisesti Diagnostiset tarkistukset Diagnostiset tarkistukset perustuvat mallin residuaalien tutkimiseen. Malli on riittävä selittämään aikasarjan käyttäytymisen, jos residuaalit muistuttavat valkoista kohinaa. Residuaalien ominaisuuksia voidaan tutkia samalla tavalla kuin aikasarjaa itseään. Residuaalien valkoisuutta voi tutkia mm. seuraavilla tavoilla. 1) Tutkimalla residuaalisarjan kuvaa. Residuaalien pitäisi olla riittävän satunnaisia ja korreloimattomia. Residuaalit voidaan plotata sovitteen (fit) funktiona. 2) Tutkimalla residuaalisarjan autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktioita. 3) Erilaisilla testeillä, esim. Boxin ja Piercen Q-testisuure (Portmanteau-testi). Residuaalien korreloimattomuutta voidaan testata Boxin ja Piercen Q-testisuureella 5

6 2 2 2 Q = n( r + r r ), (3) K 1 2 K missä n on havaintojen lukumäärä ja r i on residuaalien autokorrelaatio viiveellä i. on selvästi sitä suurempi mitä enemmän residuaalit ovat autokorreloituneita. Jos 2 nollahypoteesi residuaalien korreloimattomuudesta pätee, testisuure QK ~ χ K m, missä m = estimoitujen parametrien lukumäärä spesifioidussa SARMA-mallissa. Suuret testisuureen arvot johtavat nollahypoteesin hylkäämiseen. Q K Jos residuaalit eivät ole valkoista kohinaa, mennään takaisin vaiheeseen 1 mallin identifiointi. Jos residuaalit ovat valkoista kohinaa, malli on riittävä ja mallia voidaan käyttää ennustamiseen, säätöön jne. Jos malli ei tuota riittävän hyviä tuloksia, voidaan harkita jonkin muun malliluokan tai menetelmän käyttöönottoa Aikasarjamallin valitseminen Mallia rakentaessa on hyvä kuljettaa mukana useampia malleja ja tehdä valinta näiden kesken vasta lopuksi. Eri mallien paremmuutta voidaan tutkia erilaisin mallinvalintakriteerein kuten AIC (Akaike Information Criterion) ja SBC (SBC=BIC=Scwartz Bayesian criterion). SBC sakottaa AIC:tä enemmän lisäparametreista. Näin ollen SBC:n valitsema malli on AIC:tä vähäparametrisempi. Aikasarjan valinnassa voi käyttää muitakin informaatiokriteereitä, kuten HQC (Hannan-Quinn criterion) ja FPE (Final Prediction Error criterion). Näiden ohella mallinvalinnan apuna kannattaa käyttää riittävyystarkasteluja ja esimerkiksi mallin ennustuskyvyn tutkimista. Jotta valittu malli olisi riittävä eivät mallin residuaalit saisi poiketa merkitsevästi valkoisesta kohinasta. Mallit joiden residuaalit eivät ole valkoista kohinaa hylätään. Muiden mallien välillä valinta tehdään tärkeiksi valittujen kriteerien perusteella. Ennustuskykyä voidaan mitata katkaisemalla aikasarja ennen loppua ja estimoimalla parametrit katkaistun sarjan avulla. Sitten vain ennustetaan ja verrataan ennusteita tiedossa oleviin arvoihin. Ennusteita kannattaa tehdä aikasarjan eri kohdissa, sillä malli voi ennustaa sattumalta oikein yksittäisen pätkän. 4. Data Auringonpilkkudata on viitteestä [2] otettuja suhteellisia auringonpilkkulukuja vuosien tammikuilta. Suhteellinen auringonpilkkuluku R lasketaan Wolfin kaavalla R = k(f + 10g), (4) missä g on havaittavien pilkkuryhmien lukumäärä, f on yksittäisten pilkkujen lukumäärä ja k on havaitsijan ja teleskoopin tehokkuuteen liittyvä kerroin. Auringonpilkkuluku saadaan yhdistämällä eri puolilla maailmaa sijaitsevien yli 50 tarkkailuaseman havainnot. Kuukausittainen auringonpilkkuluku on saatu ottamalla keskiarvo kuukauden joka päivä lasketuista auringonpilkkuluvuista. 6

7 5. Auringonpilkkudatan analysointi 5.1. Analysoinnissa käytettävä ohjelmisto TKK:n koneilla on vain muutama tilastolliseen analysointiin soveltuva ohjelmisto: Excel, Statistix ja NCSS Tässä työssä on käytetty NCSS 2001 ohjelmistoa, missä on laajimmat aikasarja-analyysi toiminnot näistä kolmesta. NCSS 2001 on kuitenkin varsin puutteellinen ohjelma aikasarjamallinnukseen, eikä siinä ole juuri minkäänlaisia testejä. Esimerkiksi aikasarjan stationaarisuutta testaavia testejä ei ole ollenkaan, joten stationaarisuus päätellään tässä työssä kuvaajan avulla. Mallin hyvyyttä tutkittaessa ohjelmisto laskee vain Boxin ja Piercen Q-testisuureen (kaava 3, tunnetaan myös nimellä Portmanteau testi) 5.2 Tutkittavan aikasarjan valinta Aikasarjan kuvaaja on piirretty kuvaan 1. Kuvaan on piirretty myös aikasarjan autokorrelaatiofunktio (akf) ja osittaisautokorrelaatiofunktio (oakf). 7

8 Auringonpilkkuluku vuosi Autocorrelations of C2 (0,0,11,1,0) Partial Autocorrelations of C2 (0,0,11,1,0) 1,0 1,0 Autoc orrelations 0,5 0,0-0,5 Partial Autocorrelations 0,5 0,0-0,5-1,0 0,0 12,8 25,5 38,3 51,0 Time -1,0 0,0 12,8 25,5 38,3 51,0 Time Kuva 1. Suhteellinen auringonpilkkuluku vuosien tammikuilta, akf ja oakf. Kuvasta 1 nähdään, että aikasarjassa on jaksollista vaihtelua. Yleisesti tunnetaan, että auringonpilkkujen määrä vaihtelee keskimäärin 11 vuoden jaksoissa. Kuvasta nähdään, että jakson pituus kuitenkin vaihtelee paljon ollen pisimmillään 15 vuotta ( ). Tämä vaihtelu vaikeuttaa merkittävästi SARIMA-mallin sovittamista. Kuvasta nähdään myös, että jakson pituus vaihtelee paljon varsinkin alkupään havainnoissa (n. 80 ensimmäistä havaintoa). Tarkastellaan vaihtoehtoisena mallina mallia, jossa SARIMA-malli sovitetaan havaintoihin vuosilta (80 ensimmäistä havaintoa jätetty pois). 8

9 Aikasarja ei ole stationaarinen, koska siinä esiintyy kausivaihtelua. Tämä nähdään myös akf:n kuvaajasta (kuva 1), mikä ei vaimene vähintään eksponentiaalisesti, kuten stationaarisilla aikasarjoilla pitäisi. Differentioimalla jakson pituudella, saadaan jaksollinen vaihtelu poistettua. Kuvassa 2 on aikasarja differentioituna kauden pituudella (11 vuotta) ja differentioidun aikasarjan akf ja oakf. Kausidifferentioitu aikasarja (D11) v uosi Autocorrelations of C2 (0,1,11,1,0) Partial Autocorrelations of C2 (0,1,11,1,0) 1,0 1,0 Autoc orrelations 0,5 0,0-0,5 Partial Autoc orrelations 0,5 0,0-0,5-1,0-1,0 0,0 12,8 25,5 38,3 51,0 0,0 12,8 25,5 38,3 51,0 Time Time Kuva 2. Kausidifferentioitu aikasarja ja sen akf ja oakf. 9

10 Kausidifferentioidun aikasarjan kuvaaja näyttää stationaariselta. Myös akf:n ja oakf:n kuvaajat tukevat ajatusta, että kausidifferentioitu aikasarja olisi stationaarinen; molemmat funktiot vähenevät eksponentiaalisesti. Valitaan kausidifferentioitu aikasarja tutkittavaksi aikasarjaksi. 5.3 Mallin valinta ja estimointi Auringonpilkkujen lukumäärää ei voida selittää millään maapallon ilmiöllä, joten malliin ei tule ulkoista selittäjää. Mallin parametrit valitaan akf:n ja oakf:n avulla. Piikit akf:ssa tarkoittavat MA-osia, ja piikit oakf:ssa tarkoittavat vastaavasti AR-osia. Kuvasta 2 nähdään, että molemmissa kuvaajissa on piikki kohdassa 1 eli malliin tulee AR1- ja MA1-osa. Malli on tällöin ARIMA(1,0,1,0,11,0) (kaava 2). Taulukossa 2 on NCSS 2001:n tulostus parametrien estimaateista ja merkitsevyyksistä. Taulukko 2. ARIMA(1,0,1,0,11,0)-mallin parametrien estimaatit, keskivirheet ja merkitsevyys (kaikki havainnot mukana, v ). Model Estimation Section Parameter Parameter Standard Prob Name Estimate Error T-Value Level AR(1) 0, , ,0749 0, MA(1) -0,268 0, ,2758 0, Sekä AR- että MA-osa ovat merkitseviä (P<0,05), joten ne voidaan pitää mallissa. Vaihtoehtoisessa mallissa on mukana havainnot vuosilta Katkaistun aikasarjan akf ja oakf ovat lähes samanlaiset kuin katkaisemattoman aikasarjankin, joten malliin tulee AR1- ja MA1-osa. Sovittamalla ARIMA(1,0,1,0,11,0) malli havaintoihin vuosilta , saadaan taulukon 3 mukaiset tulokset. Taulukko 3. ARIMA(1,0,1,0,11,0)-mallin parametrien estimaatit, keskivirheet ja merkitsevyys (mukana havainnot v ). Model Estimation Section Parameter Parameter Standard Prob Name Estimate Error T-Value Level AR(1) 0, , ,4125 0, MA(1) -0, , ,5159 0, Kumpikaan termi ei ole merkitsevä. Poistetaan mallista suuremman P-arvon omaava termi eli AR-osa. Taulukossa 4 on tulokset mallista ARIMA(0,0,1,0,11,0). Taulukko 3. ARIMA(0,0,1,0,11,0)-mallin parametrien estimaatit, keskivirheet ja merkitsevyys (mukana havainnot v ). Model Estimation Section Parameter Parameter Standard Prob Name Estimate Error T-Value Level MA(1) -0, ,38E-02-6,

11 MA1-osa on merkitsevä. Valitaan tarkasteltavaksi mallit ARIMA(1,0,1,0,11,0) ja ARIMA(0,0,1,0,11,0), joista ensimmäinen on kaikille havainnoille ja jälkimmäinen havainnoille vuosilta Diagnostiset testit Malli on riittävä selittämään aikasarjan käyttäytymisen, jos residuaalit muistuttavat valkoista kohinaa. NCSS 2001:ssä ainoa testi residuaalien korreloimattomuudelle on Boxin ja Piercen Q-testi. ARIMA(1,0,1,0,11,0)-mallille testi antoi 6:lla eri viiveellä tulokseksi, että malli on riittävä ja 40:llä eri viiveellä, että malli ei ole riittävä. ARIMA(0,0,1,0,11,0)-mallille vastaavat luvut olivat 40 ja 7. Ohjelman tulostukset ovat liitteessä 1. Aikasarjan alkupäässä esiintyvä jakson pituuden vaihtelu aiheuttaa sen, että ARMA(1,0,1,0,11,0)-malli ei ole riittävä. Katkaistuun aikasarjaan sovitettu ARIMA(0,0,1,0,11,0)-malli sen sijaan on riittävä. Residuaalien korreloimattomuus tosin hylättiin 7:llä viiveellä, mutta niissäkin hylkääminen tapahtui niukasti (P-arvot 0,02-0,499). 5.5 Mallien arviointi kuvaajien ja ennusteiden avulla Auringonpilkkudataa oli kirjassa [2] vuoteen 1983 asti. Internetistä löytyy aurinkopilkkulukuja aina vuoteen 2003 [3]. Tämän datan avulla voidaan tutkia mallien ennustuskyky. Kuvaan 3 on piirretty aikasarja, ARMA(1,0,1,0,11,0)-mallin sovite ja sen antama ennustus. Kuvaan 4 on piirretty vastaavat asiat ARIMA(0,0,1,0,11,0)-mallille. Molemmilla malleilla sovitteisiin tuli muutama lievästi negatiivinen arvo. Näille pisteille annettiin arvoksi nolla. 11

12 aikasarja, sovite ja ennuste aikasarja sovite Kuva 3. Aikasarja, ARMA(1,0,1,0,11,0)-mallin sovite ja sen antama ennustus aikasarja, sovite ja ennuste v uosi aikasarja sovite Kuva 4. Aikasarja, ARMA(0,0,1,0,11,0)-mallin sovite ja sen antama ennustus 12

13 Kuvista nähdään, että molempien mallien sovite kulkee melko lähellä oikeaa dataa. ARMA(0,0,1,0,11,0)-mallilla sovite kulkee hieman lähempänä oikeaa dataa kuin ARMA(1,0,1,0,11,0)-mallilla saatu sovite, minkä voisi päätellä myös Boxin ja Piercen Q-testin avulla. Mallit ennustavat arvot vuosille ARMA(0,0,1,0,11,0)-mallin antama ennuste on hiukan lähempänä oikeaa dataa (keskineliövirhe=2726) kuin ARMA(1,0,1,0,11,0)-mallin ennuste (keskineliövirhe=2714). 6. Pohdinta ja yhteenveto Ensi silmäyksellä auringonpilkkuaikasarjan kuvaaja näyttää säännöllisesti aaltoilevalta helposti ennustettavissa olevalta aikasarjalta. ARIMA-mallin sovituksen kannalta jakson pituuden vaihtelu kuitenkin tuo ongelmia. Jakson pituus vaihtelee välillä 8-15 vuotta, joten differensiointi kertaluvulla 11 on hiukan kyseenalaista. Suurin osa jaksoista kuitenkin on 11 vuotta pitkiä ja jakson pituus vaihtelee lähinnä aikasarjan alussa. Tästä johtuen ARIMA-malli sovitettiin myös aikasarjaan, josta alkupään havainnot oli jätetty pois. Näin saatu ARIMA-malli onkin riittävä. Väistämättä herää kysymys miksi jakson pituus vaihtelee aikasarjan alussa. Auringossa on kenties voinut tapahtua pieniä muutoksia 1700-luvun lopussa, jotka ovat aiheuttaneet jakson pituuden muutoksen. Ensimmäisenä kuitenkin tulee mieleen, että käytössä olleet mittalaitteet eivät varmaan noihin aikoihin olleet kovin kehittyneitä. Noita asioita voisi olla hyvä tutkia tarkemmin, mutta jotta työmäärä pysyisi kohtuullisena, se jätetään tässä työssä tekemättä. Mallin valinta tehtiin Boxin ja Piercen Q-testin avulla, koska se on ainoa testi, jonka NCSS 2001-ohjelmisto tekee. Pelkästään Boxin ja Piercen Q-testiin mallin valintaa ei kuitenkaan kannata perustaa, koska testin mukaan esimerkiksi ARIMA(4,1,5,2,11,1) on erittäin hyvä malli, vaikkakin vain osa termeistä on merkitseviä. ARIMA-malli saadaan tietysti sopimaan havaintoihin sitä paremmin mitä enemmän termejä otetaan, mutta mallin pitäisi olla mahdollisimman vähäparametrinen eikä merkityksettömiä muuttujia saisi olla. Boxin ja Piercen Q-testi ei rankaise parametrien lukumäärästä toisin kuin esimerkiksi jotkin informaatiokriteerit (esim. AIC ja SBC). Tässä työssä mukaan otettavat termit valittiin akf:n ja oakf:n avulla, jolloin malli pysyi vähäparametrisena. Tällaisia aikasarja-analyysejä olisi hyvä tehdä jollain vähän kehittyneemmällä ohjelmistolla, jossa olisi enemmän testejä. Esimerkiksi SASohjelmisto on monipuolinen ohjelmisto, josta löytyy mm. testejä stationaarisuudelle ja informaatiokriteerien laskeminen. Parhaimmaksi malliksi valittiin ARMA(0,0,1,0,11,0)-malli, joka sovitettiin havaintoihin vuosilta Koko sarjaan ei mikään ARIMA-malli sopinut kovin hyvin. Voisikin olla paikallaan yrittää sovittaa havaintoihin jotain epälineaarista mallia. 13

14 7. Viitteet [1] [2] Andrews, D.F., (Herzberg, A.M.), Data: a collection of problems from many fields for the student and research worker. s [3] Liitteet 1) NCSS 2001:n tulostus mallille ARIMA(1,0,1,0,11,0) (mukana havainnot vuosilta ): Autocorrelation Plot Section 1,0 Autocorrelations of Residuals Autocorrelations 0,5 0,0-0,5-1,0 0,0 12,3 24,5 36,8 49,0 Lag Portmanteau Test Section C2-MEAN Portmanteau Prob Lag DF Test Value Level Decision (0.05) 3 1 0,08 0, Adequate Model 4 2 2,56 0, Adequate Model 5 3 5,92 0, Adequate Model 6 4 6,51 0, Adequate Model 7 5 7,20 0, Adequate Model ,34 0, Adequate Model ,45 0, Inadequate Model ,13 0, Inadequate Model ,74 0, Inadequate Model ,80 0, Inadequate Model ,30 0, Inadequate Model ,21 0, Inadequate Model ,07 0, Inadequate Model ,07 0, Inadequate Model ,14 0, Inadequate Model ,49 0, Inadequate Model ,74 0, Inadequate Model 14

15 ,25 0, Inadequate Model ,26 0, Inadequate Model ,88 0, Inadequate Model ,92 0, Inadequate Model ,94 0, Inadequate Model ,27 0, Inadequate Model ,75 0, Inadequate Model ,02 0, Inadequate Model ,50 0, Inadequate Model ,81 0, Inadequate Model ,83 0, Inadequate Model ,09 0, Inadequate Model ,70 0, Inadequate Model ,27 0, Inadequate Model ,27 0, Inadequate Model ,58 0, Inadequate Model ,08 0, Inadequate Model ,08 0, Inadequate Model ,07 0, Inadequate Model ,81 0, Inadequate Model ,09 0, Inadequate Model ,43 0, Inadequate Model ,45 0, Inadequate Model ,73 0, Inadequate Model ,13 0, Inadequate Model ,92 0, Inadequate Model ,41 0, Inadequate Model ,79 0, Inadequate Model ,50 0, Inadequate Model NCSS 2001:n tulostus mallille ARIMA(0,0,1,0,11,0) (mukana havainnot vuosilta ): Autocorrelation Plot Section 1,0 Autocorrelations of Residuals Autocorrelations 0,5 0,0-0,5-1,0 0,0 12,3 24,5 36,8 49,0 Lag Portmanteau Test Section C5-MEAN Portmanteau Prob Lag DF Test Value Level Decision (0.05) 2 1 1,70 0, Adequate Model 3 2 1,96 0, Adequate Model 4 3 5,68 0, Adequate Model 5 4 6,12 0, Adequate Model 15

16 6 5 6,39 0, Adequate Model 7 6 6,67 0, Adequate Model 8 7 9,53 0, Adequate Model 9 8 9,55 0, Adequate Model ,47 0, Adequate Model ,24 0, Adequate Model ,28 0, Adequate Model ,55 0, Adequate Model ,04 0, Adequate Model ,52 0, Adequate Model ,90 0, Adequate Model ,45 0, Adequate Model ,81 0, Adequate Model ,85 0, Adequate Model ,57 0, Adequate Model ,21 0, Adequate Model ,52 0, Adequate Model ,49 0, Inadequate Model ,82 0, Inadequate Model ,35 0, Inadequate Model ,77 0, Inadequate Model ,87 0, Inadequate Model ,13 0, Inadequate Model ,27 0, Adequate Model ,76 0, Adequate Model ,45 0, Adequate Model ,31 0, Adequate Model ,90 0, Adequate Model ,65 0, Inadequate Model ,68 0, Adequate Model ,99 0, Adequate Model ,15 0, Adequate Model ,68 0, Adequate Model ,79 0, Adequate Model ,47 0, Adequate Model ,39 0, Adequate Model ,48 0, Adequate Model ,69 0, Adequate Model ,78 0, Adequate Model ,82 0, Adequate Model ,91 0, Adequate Model ,95 0, Adequate Model ,95 0, Adequate Model 16