ill 'l' L r- i-ir il_i_ lr-+ 1r l

Transkriptio

1 ir

2 a I

3 - --+,.---+-,- i-ir il_i_ lr-+ 1r l rl ill 'l' L r- T- 'l

4 rl *r- I s. ;l -' --S"[nJ+&L rlr D Ur-r^^;lA_e^

5 3. Piirrä indi erenssikäyrät korille ( ; x 2 ); kun on tavallinen hyödyke, ja x 2 on tavallinen hyödyke arvoilla x 2 < x 2, neutraali hyödyke arvoilla x 2 x 2 bx 2 ja haitake arvoilla x 2 > bx 2 : Olennaista kuvan piirtämisessä ovat seuraavat asiat: 1. (a) Kun x 2 < x 2 ; molemmat hyödykkeet ovat tavallisia. Jos hyödykekorista otetaan pois jompaa kumpaa hyödykettä, kuluttaja pysyy indi erenttinä vanhan ja uuden korin välillä vain jos toista hyödykettä lisätään. Indi erenssikäyrän täytyy siis olla laskeva. (b) Kun x 2 x 2 bx 2, hyödyke 2 on neutraali. Hyödykkeen 2 lisääminen tai vähentäminen ei johda hyödyn muuttumiseen. Indi erenssikäyrä on x 2 -akselin suuntainen. (c) Kun x 2 > bx 2 ; hyödyke 2 on haitake. Jos haitaketta lisätään, kuluttajan täytyy saada lisää tavallista hyödykettä, jotta hän olisi indi erentti kahden korin välillä. Indi erenssikäyrä on nouseva. Kuviin on piirretty muutama tällaiseen tilanteeseen liittyvä indi erenssikäyrä Kuviossa alla x 2 = 5 ja bx = 10: 1

6 Toinen mahdollinen kuvio: 2

7

8 IL

9 3 c = 0,5 c = 1 c = 2 2 x Tehtävä 5. Arttu pitää sekä pähkinöistä (hyödyke 1) että kirsikoista (hyödyke 2). Sellaisten hyödykekombinaatioden joukko, jotka ovat Artun mielestä yhtä hyviä kuin kombinaatio A = (1, 16), voidaan kirjoittaa x 2 = Sellaisten hyödykekombinaatioiden joukko, jotka ovat Artun mielestä yhtä hyviä kuin kombinaatio B = (36, 0), voidaan kirjoittaa x 2 = (a) Taulukoi ja piirrä (tehtävä vaatii melko tarkkaa kuvaa) indifferenssikäyrän I A ja I B pisteitä ja hahmottele nämä indifferenssikäyrät. (b) Mikä on Artun indifferenssikäyrän IA kulmakerroin pisteessä (9, 8)? Entä pisteessä (4, 12)? Arvioi graafisesti. (c) Minkä muotoinen on Artun hyötyfunktio? Tarkista matemaattisesti kohdan b tulokset. (d) Olkoon pähkinöiden hinta p 1 = 1 ja kirsikoiden vastaavasti p 2 = 2. Olkoon Artun käytössä 24 euroa. Piirrä Artun budjettisuora yo. kuvaan. Ratkaise graafisesti, montako pähkinää ja kirsikkaa Artun on ostettava, jotta hänen hyötynsä olisi suurin mahdollinen? Vastaus: 5. (a) Taulukoidaan ensin joitain arvoja: I A : x ,4 = 14, ,7 = 13, ,2 = 11, ,8 = 8, ,2 = 7, , I B : x ,4 = 18, ,7 = 17, Piirretään sitten ensin molemmat indifferenssikäyrät ja budjettisuora samaan kuvaajaan: 5

10 35 30 I A I B Budjettisuora x Koska tästä on vaikea löytää vastauksia muihin kohtiin, hahmotellaan vielä I A ja budjettisuora tarkemmin välillä [3, 16]: I A Budjettisuora x (b) Käsivaralla piirretyn kuvaajan perusteella olisi voinut arvioida pisteen (9, 8) kulmakertoi- 6

11 meksi n. 4/5 ja pisteen (4, 12) kulmakertoimeksi n. 1. (c) Jos indifferenssikäyrät hyödyllä c ovat muotoa x 2 = c 4, niin hyötyfunktio on muotoa u(, x 2 ) = x Rajasubstituutiosuhdetta laskiessa MU 2 on vakio 1, koska hyötyfunktiossa komponentti x 2 on lineaarinen. Saadaan MRS(, x 2 ) = ( MU 1 /MU 2 )(, x 2 ) = MU 1 (, x 2 ) = 1 u(, x 2 ) = 4 1/2 = 2 1 x1. Siis täsmälliset arvot b-kohtaan ovat MRS(9, 9) = 2 1/ 9 = 2 3, MRS(4, 12) = 2 1/ 4 = 1. (d) Budjettisuoran yhtälö on +2x 2 = 24 x 2 = Tiedetään, että hyöty maksimoituu, kun budjettisuora tangeeraa indifferenssikäyrää. Tämä piste on kuvaajan perusteella on piste (16, 4). Tässä pisteessä todella indifferenssikäyrän tangentin kulmakerroin eli M RS(16, 4) = 2 1/ 16 = 1 2 on sama kuin budjettisuoran kulmakerroin 1 2. Tehtävä 6. Laske seuraavien yleisten hyötyfunktioiden rajahyödyt ja rajasubstituutiosuhteet. u(, x 2 ) MU 1 (, x 2 ) MU 2 (, x2) MRS(, x 2 ) 2 + 3x x 2 a + bx x 2 ln + x 2 v( ) + x 2 x 2 x a 1 x b 2 a ln + b ln x 2 ( + 1)(x 2 + 2) ( + a)(x 2 + b) x a 1 + x a 2 Vastaus: Vastaukset saadaan suoraviivaisesti derivoimalla: u(, x 2 ) MU 1 (, x 2 ) MU 2 (, x2) MRS(, x 2 ) 6. 1 u(, x 2 ) 2 u(, x2) MU1 MU x x a + bx 2 a b a b 2 + x 2 1 x1 1 1 x1 ln + x v( ) + x 2 v ( ) 1 v ( ) x 2 x 2 x2 x a 1x b 2 x b 2ax a 1 1 x a 1bx b 1 2 ax2 b a ln + b ln x 2 a b x 2 ax2 b ( + 1)(x 2 + 2) (x 2 + 2) ( + 1) x ( + a)(x 2 + b) (x 2 + b) ( + a) x2+b +a x a 1 + x b 2 ax a 1 1 bx2 b 2 axa 1 1 bx b 2 2 Huomautus. Huomataan, että osassa tapauksista osittaisderivaattoja tai niiden suhdetta ei välttämättä ole määritelty reaalilukuna joissain yksittäisissä pisteissä, esimerkiksi pisteissä = 0 tai 7

12 x 2 = 0. Tällöin voidaan esimerkiksi sopia, että ko. pisteessä rajahyöty tai -substituutiosuhde ei ole tällaisissa pisteissä määritelty. 8

13 6. Laske seuraavien yleisten hyötyfunktioiden rajahyödyt ja rajasubstituutiosuhteet. u( ; x 2 ) MU 1 ( ; x 2 ) MU 2 ( ; x 2 ) MRS( ; x 2 ) 2 + 3x x 2 a + bx 2 2 p + x 2 ln + x 2 v( ) + x 2 x 2 x a 1x b 2 a ln + b ln x 2 ( + 1) (x 2 + 2) ( + a) (x 2 + b) x a 1 + x a 2 ax a 1 1 ax a 2 1 x 2 a 1 3