Viime kerralta. Y56 Luento2. Kuinka valita piste budjettisuoralta? Mitä tänään opitaan?

Transkriptio

1 ..00 Viime kerralta Taloustiede mallintaa yhteiskunnan toimintaa Y56 Luento Preferenssit ja Hyöty Valintojen tekemistä niukkuuden vallitessa Vaihtoehtoiskustannus ja trade-off Valinnoista aiheutuvien hyötyjen ja kustannusten arvioiminen - optimointi Raja käsitteet Kuluttajan mahdolliset hyödykekorit (x, x) - budjettirajoite Mitä tänään opitaan? Preferenssit kuvaa hyödykekorien arvostusta eli valintojen järjestystä Kuinka preferenssejä voidaan kuvata indifferenssikäyrillä? Preferenssien oletukset Hyötyfunktio numeerinen arvo kulutuskorille Enemmän preferoitu, suurempi arvo Rajahyöty ja rajakorvaussuhde ja MRS Kuinka valita piste budjettisuoralta? Budjettirajoite kertoi millaisiin kulutuskoreihin kuluttajalla on varaa. Jotta tietäisimme, minkä kuluttaja valitsee vaihtoehtoisista koreista, meidän on kuvattava, kuinka kuluttaja arvostaa erilaisia kulutuskoreja. Tämä arvostuksen kuvaus tehdään ns. preferenssirelaation ja preferenssejä koskevien aksioomien avulla. Kuluttajan preferenssit Preferenssien oletukset, x, y Tarkastellaan kahta vaihtoehtoista kulutuskoria, jotka muodostuvat eri määristä hyödykkeitä ja : X, x versusy y, y Kun kuluttaja katsoo, että a) kulutuskori, x on parempi kuin kori y, y, niin sanomme, ettäkuluttaja aidosti preferoi,x :tä y, y :een nähden. Symboli aidosti preferoinnille on, eli, x y, y b) kulutuskori, x on yhtä hyvä kuin kori y, y, niin sanomme, ettäkuluttaja on indifferentti, x :n y, y :n välillä. Symboli indifferenssille on, eli,x y, y c) kulutuskori on parempi tai ainakin yhtä hyvä kuin kori y, y, x, niin sanomme, että kuluttaja heikosti preferoi, x :tä koriin y :een nähden. Symboli heikosti preferoinnille on,, y eli y Preferenssejä koskevilla oletuksilla pyrimme turvaamaan, että kuluttajan valinnat ovat johdonmukaisia (rationaalisia). Oletukset ovat aksioomatyyppisiä aksiooma(myös. aksiomi) on perusoletus, jonka paikkansapitävyys on ilmeinen. Heikko ja vahva taloudellinen rationaalisuus 4 perusaksioomaa: Täydellisyys Transitiivisuus Monotonisuus Konveksisuus

2 ..00 A Täydellisyys A Transitiivisuus A Täydellisyys (kaikkia voidaan verrata, ts. on osattava verrata relevantteja vaihtoehtoja) Kaikille kulutuskoreille X = ja Y = pätee, että joko X Y, tai Y X tai molemmat, jolloin X Y. Toisin sanoen jokaista kahta koria voidaan verrata toisiinsa ja joko todeta toinen paremmaksi tai molemmat yhtä hyviksi. A Transitiivisuus (johdonmukaisuus) Kaikille kulutuskoreille X, Y, Z pätee, että jos X Y ja Y Z, niin X Z. Huom. heikko taloudellinen rationaalisuus vaatii ainoastaan, että kuluttajat pystyvät jäsentämään kulutusvalintoja vaihtoehtoisiin asiantiloihin (hyödykekoreihin), ja kykenevät asettamaan nämä vaihtoehtoiset tilat hyödykekorit) preferenssijärjestykseen johdonmukaisesti. Aksioomat A ja A ovat rationaalisen valinnan teorian, RVT, pohja. Kun täydellisyys- ja transitiivisuus- oletuksiin lisätään seuraavat kaksi aksioomaa, saadaan ns. vahva taloudellinen rationaalisuus, eli ns. hyvin käyttäytyvät preferenssit. A3 (Aito, vahva) Monotonisuus A4 (Aito, vahva) Konveksisuus A3 (Aito, vahva) Monotonisuus (enemmän on parempi) Kaikille kulutuskoreille X ja Y pätee, että jos Y sisältää molempia hyödykkeitä ainakin yhtä paljon ja toista enemmän kuin X, niin Y X. (-> psykologinen oletus: nonsatiation). Tärkeä ja rajoittava oletus. Sen mukaan aina halutaan lisää. Toisinaan sanotaan, että tämä on kapitalistinen itsekkyysoletus A4 (Aito, vahva) Konveksisuus (keskiarvoja preferoidaan ääripäihin) Ne kulutuskorit, joita preferoidaan heikosti suhteessa hyödykekoriin X muodostavat konveksin joukon. Konveksisuus ja keskiarvojen preferoiminen määritetään teknisesti näin: Olkoon 0 < t <. Jos X Y, eli, niin tällöin konveksisuus implikoi, että Aktivoiva tehtävä Indifferenssikäyrät Konveksisuus Olkoon kulutuskorit X =, x {5, } ja Y = y, y {,5 } ja t = 0,5. Muistaen että keskimääräinen kori lasketaan ( tx ( t) y ), tx ( t) y, laske annetulla datalla keskimääräinen kori. Kun kaikki yllä mainitut aksioomat ovat voimassa, voimme kuvata preferenssejä indifferenssikäyrien avulla. Indifferenssikäyrä on niiden pisteiden ura, jotka ovat keskenään yhtä hyviä.

3 ..00 Indifferenssikäyrä Implikaatiot aksioomista Preferenssiaksioomat implikoivat indifferenssikäyrien suhteen seuraavat seikat täydellisyys: kaikki hyödykeavaruuden pisteet kuuluvat johonkin indifferenssikäyrään transitiivisuus: indifferenssikäyrät eivät leikkaa, monotonisuus: indifferenssikäyrät ovat laskevia, eli niillä on negatiivinen kulmakerroin, konveksisuus: indifferenssikäyrät ovat tasaisesti kaartuvia, joten kuluttajan valinta on yksikäsitteinen, ts. vain yksi kori on optimaalinen. Aktivoiva tehtävä 3. Ei-hyvin käyttäytyviä indifferenssikäyriä Aktivoiva tehtävä 3.: osoita, että indifferenssikäyrät eivät voi leikata toisiaan, hyödyntäen tarvittaessa aksioomia A-A4 ja kuvaajan avulla. Täydelliset substituutit Täydelliset komplementit Neutraali Haitake Saturaatio Täydelliset substituutit Täydelliset komplementit Kaksi hyödykettä ovat kulutuksessa täydellisiä substituutteja, jos kuluttuja on valmis korvaamaan toista hyödykettä toisella jossain vakiosuhteessa indifferenssikäyrät ovat suoria viivoja, joiden kulmakerroin on vakio. Kaksi hyödykettä ovat kulutuksessa täydellisiä komplementteja, jos kuluttaja käyttää niitä jossain vakiosuhteessa indifferenssikäyrät ovat L-kirjaimen muotoisia 3

4 ..00 Muita erityistapauksia Aktivoiva tehtävä 3.3 Neutraali hyödyke. Hyödyke on neutraali, jos kuluttaja ei halua sitä lainkaan indifferenssikäyrät ovat pystysuoria viivoja Esimerkkejä eri hyödykkeistä/tilanteista? Haitake. Hyödyke, josta kuluttaja ei lainkaan pidä (laskee hyvinvointia) indifferenssikäyrien kulmakerroin onkin nyt positiivinen, jos toinen hyödyke on tavallinen Tyydytys eli saturaatio. Kun on olemassa tasan yksi hyödykekori, jota kuluttaja pitää parhaana indifferenssikäyrät ovat ellipsejä Rajasubstituutiosuhde Rajakorvattavuussuhde Hyvin käyttäytyviä indifferenssikäyriä luonnehditaan tyypillisesti termillä: rajasubstituutiosuhde, englanniksi marginal rate of substitution, MRS. Rajasubstituutiosuhde, MRS, kuvaa sitä, missä suhteessa kuluttaja on valmis luopumaan toisesta hyödykkeestä, kun saa toista korvaukseksi, eli jos merkitsemme deltalla marginaalisen pientä muutosta kummassakin hyödykkeessä, niin MRS x MRS:lle pätee, että se on vähenevä, eli annetulla korvauksella kuluttaja on halukas luopumaan yhä vähäisemmästä määrästä toista hyödykettä. Tämä ilmenee indifferenssikäyrien kaarevuutena. Hyöty Hyötyteorialla on kiinnostava historia Preferenssirelaatioiden käsittely monimutkaisissa analyysissa on hankalaa. Siksi ne käännetään hyötyfunktion muotoon, joka konstruoidaan niin, että kuvaa preferenssejä. Hyötyfunktio antaa numeerisen arvon hyödylle. 800-luvulla klassiset utilitaristit (Bentham & co.) hyöty onnellisuuden mittana (nautinto - tuska) ja esittivät, että yhteiskuntien tuli tarjota the greatest happiness to the greatest number Taloustieteen ns. marginalistisen vallankumouksen edustajat, Jevons, Menger ja Walras, hyväksyivät tämän tulkinnan 870-luvulla ja kuvasivat kuluttajan päätöksentekoa hyötyfunktion ja ns. vähenevän rajahyödyn avulla. Jevonsin, Mengerin ja Walrasin hyötyteoria oli luonteeltaan kardinaalinen hyötyteoria, eli uskottiin voitavan laskea kuinka paljon hyöty oli suurempi/pienempi eri tilanteissa. Kun havaittiin, ettei hyödyn psykologiselle tulkinnalle löydy empiiristä pohjaa käyttäytymistieteistä, tuli tarve puhdistaa kuluttajan teoria psykologisista aineksista. Tämän aloittivat Pareto (jolta käsite indifferenssikäyrät) ja Slutsky, ja se vietiin loppuun 930-luvulla, John Hicksin, Marcus Allenin ja Paul Samuelsonin töissä. Nykyinen hyötyteoria ei siis perustu enää psykologiselle tulkinnalle eikä mahdollista hyötytasojen määrällistä vertaamista, koska meillä on nyt ns. ordinaalinen hyötyteoria, joka sanoo vain onko jokin tila parempi vai huonompi kuin jokin toinen. 4

5 ..00 Hyötyfunktio, mikä se on? Määritelmä: Hyötyfunktio liittää jokaiseen kulutuskoriin numeerisen arvon siten, että enemmän preferoituun kulutuskoriin liittyy suurempi arvo kuin vähemmän preferoituun. Formaalisti sama Hyötyfunktio u :, x, y y, s.e. x y, y u( x, x ) u( y, ), y Samalla tapaa kuin preferenssirelaatio järjestää kulutuskorit paremmuusjärjestykseen sanomatta kuitenkaan kuinka paljon toinen kori on toista parempi, myös hyötyfunktio järjestää korit järjestykseen sanomatta paljonko parempi toinen. Tähän ominaisuuteen viittaamme sanomalla, että hyöty on luonteeltaan on ns. ordinaalinen, eli järjestyksen säilyttävä: Monotoninen transformaatio Koska hyötyfunktio u on ordinaalinen, mikä tahansa sen kasvava muunnos f(u), eli (positiivinen) monotoninen transformaatio kuvaa samoja preferenssejä kuin alkuperäinen hyötyfunktio. Monotoninen transformaatio on mikä tahansa hyötyfunktion kasvava muunnos. Toisin sanoen jos U(x,y) on hyötyfunktio ja f ( ) on aidosti kasvava funktio sitten f(u(x,y) on monotoninen transformaatio alkuperäisestä hyötyfunktiosta U(x,y) Esimerkki Olkoon hyötyfunktio U ( x, y ) xy ja f ( U ) U sitten f ( U ( x, y)) xy on monotoninen transformaatio koska funktio f ( U ) U on aidosti kasvava U:n suhteen. Se voidaan todistaa ottamalla funktion derivaatta, joka on aina positiivinen aidosti kasvavilla funktioilla: df ( U ) 0. Aktivoiva tehtävä 4. Esimerkkejä hyötyfunktioista Mitkä seuraavista ovat (positiivisia) monotonisia transformaatioita, kun u on alkuperäinen hyötyfunktio f(u) = u; f(u) = ln u f(u) = u, f(u) = u 5? Hyötyfunktiot ovat indifferenssikäyrien kuvaajia. Kun tiedämme hyötyfunktion, voimme helposti ratkaista sitä vastaavan indifferenssikäyrästön. Sen sijaan, jos meille on annettu indifferenssikäyrästö, on sitä vastaavan hyötyfunktion määrittäminen hankalampaa (jotkut tapaukset tosin onnistuvat) Varian esittelee joukon tyypillisiä tai usein käytettyjä hyötyfunktioita ja niiden indifferenssikäyriä. Käymme tässä lyhyesti lävitse ja seuraavassa luvussa hyödynnämme niitä ekstensiivisesti a) Yleinen ilmaisu hyötyfunktiolle b )Täydelliset substituutit u u( x, x ) ja tätä kuvaa esim. yllä olevat indifferenssikäyrät () - Hyötyfunktio on lineaarinen ja voidaan ilmaista seuraavasti u( x bx, x ) ax () missä a, b >0 kertovat missä suhteissa hyödykkeitä korvataan toisillaan Indifferenssikäyrästö on vanhastaan tiedossa 5

6 ..00 c) Täydelliset komplementit d) Kvasilineaariset preferenssit - Hyötyfunktion täytyy nyt kuvata sitä, että hyödykkeitä käytetään pareittain, tietyissä vakiosuhteitta - Hyötyfunktio voidaan kirjoittaa seuraavasti u( x, x ) minax, bx, (3) missä a, b > 0 Huomaa: a ja b määrittävät L-muotoisten indifferenssikäyrien kärkipisteet - Nimi antaa arvata, millaisesta hyötyfunktiosta on kyse: se on toisen hyödykkeen suhteen lineaarinen, toisen suhteen yleinen ja hyvin käyttäytyvä u( x, x) u( x) x (4) - Tätä hyötyfunktiota käytetään paljon julkistalouden ongelmien tarkastelussa, koska se sopivasti yksinkertaistaa analyysia Indifferenssikäyrät näyttävät tällaisilta: lähtevät pystyakselilta, muutoin ovat alaspäin laskevat, kuten hyvin käyttäytyvällähyötyfunktiolla [ e) Cobb-Douglas hyötyfunktio Cobb-Douglas trasnformaatiot - Tämä on erittäin paljon käytetty hyötyfunktio taloustieteessä u( x x x c x d, ), (5) jossa c > 0 ja d > 0 ovat vakioita. i) logaritminen transformaatio f c d u( x, x) ln( x x ) c ln x d ln x (6) (ii) eksponentiaalinen transformaatio f c d ( ), (7) c d cd cd cd a a u x, x ) ( x x x x x x c missä a d c d ja a kuvaavat hyödykkeiden kulutusosuuksia. c d Rajahyöty Usein kuluttajan valintaa analysoitaessa tullaan viittaamaan termiin rajahyöty, englanniksi marginal utility, Määritelmä.: Rajahyöty kertoo kuinka kuluttaja hyöty muuttuu, kun hänelle annetaan vähän lisää hyödykettä tai. Matemaattisesti sama: u( x, x) u( x, x) jossa delta kuvaa pientä muutosta, eli voimme yhtälailla derivoida hyötyfunktiota ja todeta, että Esimerkki: Olkoon hyötyfunktio u( x, x ax bx. Tällöin rajahyöty on u( x, x ) ) ax ja bx ja rajasubstituutiosuhde on ax ax bx bx u( x, x ) Siis rajahyödyllä ja rajasubstituutiosuhteella MRS on läheinen yhteys. u( x, x ) u( x, x) MRS (9) 6

7 ..00 Aktivoiva tehtävä 4. Todistetaan, että MRS Olkoon hyötyfunktion yhtälö U( x, x ) k, jossa k vakio, kuvaa indifferenssikäyrää, eli kaikkia niitä kulutuskoreja, jotka ovat yhtä hyviä kuin kori (x, x). Otetaan hyötyfunktiosta kokonaisdifferentiaali kun hyöty on k dk Oletetaan, että dk = 0 eli että liikutaan aina samaa indifferenssikäyrää pitkin. Täten 0 Järjestetään kokonaisdifferentiaali eri tavoin Marin ja Laurin hyödykekoriin kuuluu riisiä ja perunaa. Mari pitää enemmän riisistä ja Laurin enemmän perunoista. Olkoon pystyakselilla perunoiden määrä ja vaaka-akselilla riisi. Merkitään Marin indifferenssikäyrien joukko M:lla ja Laurin L:lla. Piirrä Laurin ja Marin indifferenssikäyrien joukot. Hyödyntämällä MRS-käsitettä selitä, miksi Marin indifferenssikäyrän joukko eroaa Laurin indifferenssikäyrän joukosta. (muokattu Frank 007, 69 kuva 3.4) jaetaan :llä x U ja :llä ( x, x ) MRS = indifferenssikäyrän kulmakerroin. ( x, x ) Eli rajasubstituutiosuhteen itseisarvo on yhtä suuri kuin rajahyötyjen suhde Aktivoiva tehtävä 4.3 Päivän sanat Ratkaise MRS, kun u( x, x ) ax bx Preferenssit ja niiden aksioomat Indifferenssi- eli samahyötykäyrät Substituutit, komplementit, haitakkeet Hyötyfunktio Rajahyöty Rajasubstituutiosuhde Ensi kerralla Kuluttajan valinta rajoitettuna optimointiongelmana Mihin pisteeseen päädytään budjettisuoralla? Pisteeseen, jota preferenssejä kuvaava indifferenssikäyrä (samahyötykäyrä) sivuaa! Laskentaa ja analyysiä Kysyntä ja sen muutokset Komparatiivista statiikkaa 7