1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi"

Transkriptio

1 Mat Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden ja homogeenisuden testaaminen Bowmanin ja Shentonin testi, Hypoteesi, 2 -homogeenisuustesti, 2 -yhteensopivuustesti, Päätössääntö, Nollahypoteesi, Normaalisuuden testaaminen, p-arvo, Rankit Plot, Testi, Testisuure, Testisuureen normaaliarvo, Vaihtoehtoinen hypoteesi, Wilkin ja Shapiron testi, Yhteensopivuustestit, Yleinen hypoteesi 1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi (a) (b) (c) Ratkaisu: (a) Generoi STATISTIX-ohjelman pseudosatunnaislukuja tuottavilla aliohjelmilla tiedostoon RANDOM1 seuraavat muuttujat (50 havaintoa): NORMA NORMB NORMC TAS N(0,1) N(0,1) N(0,1) Uniform(0,1) Muodosta STATISTIX-ohjelman transformaatiokomennoilla tiedostoon RANDOM1 seuraavat muuttujat: KHI = NORMA^2 + NORMB^2 + NORMC^2 2 (3) IKHI = 20 - KHI EXP = Ln(1 - TAS)/(-0.2) Exp(0.2) Tutki muuttujien NORMA, TAS, KHI, IKHI, EXP normaalisuutta: Piirrä histogrammit Määrää aritmeettiset keskiarvot, mediaanit, vinoudet, huipukkuudet Testaa normaalisuutta Bowmanin ja Shentonin testillä Piirrä Rankit Plot kuviot ja testaa normaalisuutta Wilkin ja Shapiron testillä (taulukot: STATISTIX-ohjelman HELP) Satunnaislukujen generointi Generoidaan tiedostoon RANDOM1 satunnaislukuja jakaumasta N(0,1) muuttujiksi NORMA, NORMB, NORMC: Data > Transformations Transformation Expression NORMA / NORMB / NORMC = NRandom (0,1) TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 1/23

2 Generoidaan tiedostoon RANDOM1 satunnaislukuja jakaumasta Uniform(0,1) muuttujaksi TAS: Data > Transformations Transformation Expression TAS = Random (b) Transformaatiot Generoidaan tiedostoon RANDOM1 satunnaislukuja jakaumasta 2 (3) muuttujaksi KHI käyttämällä hyväksi 2 (3)-jakauman määritelmää: Olkoon Tällöin X, X, X N(0,1) X, X, X X X X (3) Data > Transformations Transformation Expression KHI = NORMA^2 + NORMB^2 + NORMC^2 Muodostetaan muuttuja IKHI = 20 - KHI: Data > Transformations Transformation Expression IKHI = 20 - KHI Generoidaan tiedostoon RANDOM1 satunnaislukuja jakaumasta Exp(0.2) muuttujaksi EXP, käyttämällä hyväksi seuraavaa todennäköisyyslaskennan yleistä tulosta: Olkoon F mielivaltaisen todennäköisyysjakauman kertymäfunktio. Tällöin pätee seuraava tulos: Jos U ~ Uniform(0,1) niin satunnaismuuttuja Z = F 1 (U) noudattaa todennäköisyysjakaumaa, jonka kertymäfunktio on F. TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 2/23

3 Frequency Mat Tilastollisen analyysin perusteet Koska eksponenttijakauman kertymäfunktio on F( x) 1exp( x) niin satunnaismuuttuja log e(1 U) Z Exp( ) Data > Transformations Transformation Expression EXP = Ln(1 - TAS)/(-0.2) (c) Normaalisuuden tutkiminen: Histogrammit Statistics > Summary Statistics > Histogram Histogram Variables = NORMA / KHI / IKHI / TAS / EXP Low, High, Step = valitaan muuttujan arvojen mukaan sopivasti Histogram Variables = NORMA Low, High, Step = -2.4, +2.4, 0.4 Histogram NORMA Muuttujan NORMA jakauma on (käytännössä) yksihuippuinen ja melko symmetrinen. TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 3/23

4 Frequency Frequency Mat Tilastollisen analyysin perusteet Histogram Variables = KHI Low, High, Step = 0, 10, 1 Histogram Muuttujan KHI jakauma on vino oikealle. KHI Histo gram Variables = IKHI Low, High, Step = 10, 20, 1 Histogram IKHI Muuttujan IKHI jakauma on vino vasemmalle. TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 4/23

5 Frequency Frequency Mat Tilastollisen analyysin perusteet Histogram Variables = TAS Low, High, Step = 0, 1, 0.1 Histogram TAS Muuttujan TAS jakauma on melko tasainen. Histogram Variables = EXP Low, High, Step = 0, 22, 2 Histogram Muuttujan EXP jakauma on vino oikealle. EXP TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 5/23

6 Tunnusluvut Statistics > Summary Statistics > Descriptive Statistics Descriptive Variables = NORMA, KHI, IKHI, TAS, EXP DESCRIPTIVE STATISTICS VARIABLE N MEAN MEDIAN SKEW KURTOSIS NORMA E KHI IKHI TAS EXP Muuttuja NORMA: Aritmeettinen keskiarvo (= MEAN) Mediaani (= Median) 0 Jakauma on symmetrinen pisteen 0 suhteen Vinous (= SKEW) 0 Huipukkuus (= KURTOSIS) 0 Tunnusluvut ovat sopusoinnussa generointiprosessin kanssa: NORMA ~ N(0,1) Muuttuja KHI: Aritmeettinen keskiarvo (= MEAN) = 2.7 > 2.3 = Mediaani (= MEDIAN) Jakauma on vino oikealle Vinous (= SKEW) > 0 Huipukkuus (= KURTOSIS) > 0 Tunnusluvut ovat sopusoinnussa generointiprosessin kanssa: KHI ~ 2 (3) Muuttuja IKHI: Aritmeettinen keskiarvo (= MEAN) = 17.3 < 17.7 = Mediaani (= MEDIAN) Jakauma on vino vasemmalle Vinous (= SKEW) < 0 Huipukkuus (= KURTOSIS) > 0 Tunnusluvut ovat sopusoinnussa generointiprosessin kanssa: IKHI = 20 KHI TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 6/23

7 Muuttuja TAS: Aritmeettinen keskiarvo (= MEAN) Mediaani (= MEDIAN) 0.5 Jakauma on symmetrinen pisteen 0.5 suhteen Vinous (= SKEW) 0 Huipukkuus (= KURTOSIS) < 0 Tunnusluvut ovat sopusoinnussa generointiprosessin kanssa: TAS ~ Uniform(0,1) Muuttuja EXP: Aritmeettinen keskiarvo (= MEAN) = 4.6 > 3.9 = Mediaani (= MEDIAN) Jakauma on vino oikealle Vinous (= SKEW) > 0 Huipukkuus (= KURTOSIS) > 0 Tunnusluvut ovat sopusoinnussa generointiprosessin kanssa: EXP ~ Exp(5) Muuttujan IKHI vinous on muuttujan KHI vinouden vastaluku. Miksi? Muuttujien KHI ja IKHI huipukkuudet ovat yhtä suuria. Miksi? Bowmanin ja Shentonin testit Bowmanin ja Shentonin testisuure n n Skew Kurt 2 a (2) jos nollahypoteesi H 0 normaalisuudesta pätee. STATISTIX ei sisällä Bowmanin ja Shentonin testiä, mutta se voidaan helposti tehdä määräämällä ensin tutkittavan muuttujan vinous ja huipukkuus STATISTIX-ohjelmalla ja laskemalla testisuureen arvo esim. jollakin taulukkolaskinohjelmalla tai laskimella. Bowmanin ja Shentonin testien tulokset: VARIABLE N SKEW KURT B-S p-arvo NORMA KHI IKHI TAS EXP TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 7/23

8 Ordered Data Mat Tilastollisen analyysin perusteet B-S-testisuureen arvot muuttujille KHI ja IKHI ovat yhtä suuria. Miksi? Bowmanin ja Shentonin testin mukaan nollahypoteeseja muuttujien NORMA ja TAS normaalisuudesta ei voida hylätä 5 %:n merkitsevyystasolla, kun taas nollahypoteesit muuttujien KHI, IKHI ja EXP normaalisuudesta voidaan hylätä. Yo. taulukon p-arvot on saatu seuraavalla tavalla: Statistics > Probability Functions Function = Chi-square (x,df) X = B-S testisuureen arvo DF = 2 Rankit plot -kuviot Statistics > Randomness/Normality Tests > Normal Probability Plot Plot Variable = NORMA / KHI / IKHI / TAS / EXP Plot Variable = NORMA 2.1 Wilk-Shapiro / Rankit Plot of NORMA Rankits Approximate Wilk-Shapiro cases Muuttujan NORMA jakauma näyttää melko normaaliselta (kuten pitääkin). TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 8/23

9 Ordered Data Ordered Data Mat Tilastollisen analyysin perusteet Plot Variable = KHI Wilk-Shapiro / Rankit Plot of KHI Rankits Approximate Wilk-Shapiro cases Muuttujan KHI jakauma on vino oikealle. Plot Variable = IKHI 20 Wilk-Shapiro / Rankit Plot of IKHI Rankits Approximate Wilk-Shapiro cases Muuttujan IKHI jakauma on vino vasemmalle. TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 9/23

10 Ordered Data Ordered Data Mat Tilastollisen analyysin perusteet Plot Variable = TAS Wilk-Shapiro / Rankit Plot of TAS Rankits Approximate Wilk-Shapiro cases Muuttujan TAS jakauma on ohuthäntäisempi kuin muuttujan NORMA jakauma. Plot Variable = EXP 24 Wilk-Shapiro / Rankit Plot of EXP Rankits Approximate Wilk-Shapiro cases Muuttujan EXP jakauma on vino oikealle. TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 10/23

11 Wilkin ja Shapiron testit Wilkin ja Shapiron testien tulokset: VARIABLE N W-S Päätös NORMA H 0 jää voimaan KHI H 0 hylätään IKHI H 0 hylätään TAS H 0 jää voimaan EXP H 0 hylätään Olkoon havaintojen lukumäärä 50. Tällöin kriittiset rajat 1 %:n ja 5 %:n merkitsevyystasoille ovat seuraavat: Merkitsevyystaso 1% 5% Kriittinen raja Jos Wilkin ja Shapiron testisuureen arvo alittaa kriittisen rajan, on nollahypoteesi hylättävä. Wilkin ja Shapiron testin mukaan nollahypoteeseja muuttujien NORMA ja TAS normaalisuudesta ei voida hylätä 1 %:n merkitsevyystasolla, kun taas nollahypoteesit muuttujien KHI, IKHI ja EXP normaalisuudesta voidaan hylätä. Yo. taulukon p-arvojen määrääminen: ks. edellä. W-S-testisuureen arvot muuttujille KHI ja IKHI ovat yhtä suuria. Miksi? 2. Ulkopuoliset havainnot ja Rankit Plot (a) (b) (c) Generoi STATISTIX-ohjelman satunnaislukuja tuottavalla aliohjelmalla tiedostoon RANDOM2 seuraava muuttuja (50 havaintoa): NORM: N(0,1) Muodosta tiedostoon RANDOM2 muuttujasta NORM muuttujat VARA ja VARB seuraavalla tavalla: VARA: anna muuttujan NORM havainnon nro 50 arvoksi 5 VARB: anna muuttujan NORM havainnon nro 50 arvoksi +5 Tutki muuttujien VARA ja VARB jakaumia: Piirrä histogrammit Määrää aritmeettiset keskiarvot, mediaanit, vinoudet, huipukkuudet Piirrä Rankit Plot -kuviot ja testaa normaalisuutta Wilkin ja Shapiron testillä (taulukot: STATISTIX-ohjelman HELP) TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 11/23

12 Ratkaisu: (a) Satunnaislukujen generointi Generoidaan tiedostoon RANDOM2 satunnaislukuja jakaumasta N(0,1) muuttujaksi NORM: Data > Transformations Transformation Expression NORM = NRandom (0,1) (b) Transformaatiot Kopioidaan tiedostoon RANDOM2 muuttuja NORM muuttujiksi VARA ja VARB: Data > Transformations Transformation Expression VARA / VARB = NORM Muutetaan havaintoarvo nro 50 muuttujassa VARA luvuksi 5. Muutetaan havaintoarvo nro 50 muuttujassa VARB luvuksi +5. (c) Jakauman tutkiminen: Histogrammit Statistics > Summary Statistics > Histogram Histogram Variables = NORM / VARA / VARB Low, High, Step = valitaan muuttujan arvojen mukaan sopivasti TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 12/23

13 Frequency Frequency Mat Tilastollisen analyysin perusteet Histogram Variables = NORM Low, High, Step = -5.2, +5.2, 0.4 Histogram NORM Muuttuja NORM voisi olla normaalinen (ks. Wilkin ja Shapiron testiä alla). Histogram Variables = VARA Low, High, Step = -5.2, +5.2, 0.4 Histogram VARA Ulkopuolinen havainto 5 näkyy selvästi. TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 13/23

14 Frequency Mat Tilastollisen analyysin perusteet Histogram Variables = VARB Low, High, Step = -5.2, +5.2, 0.4 Histogram VARB Ulkopuolinen havainto +5 näkyy selvästi. Tunnusluvut Statistics > Summary Statistics > Desriptive Statistics Descriptive Variables = VARA, VARB DESCRIPTIVE STATISTICS VARIABLE N MEAN MEDIAN SKEW KURTOSIS NORM VARA VARB Tarkastellaan miten ulkopuolinen havainto vaikuttaa tunnuslukuihin: Aritmeettiset keskiarvot (= MEAN): Ulkopuolinen havainto vetää aritmeettista keskiarvoa puoleensa. Mediaanit (= MEDIAN): Ulkopuolinen havainto ei vaikuta olennaisesti mediaanin arvoon. Tässä näkyy se, että mediaani on tunnuslukuna robustimpi kuin aritmeettinen keskiarvo. TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 14/23

15 Ordered Data Mat Tilastollisen analyysin perusteet Vinoudet (= SKEW): Ulkopuolinen havainto muuttaa muuttujan NORM melko symmetrisen jakauman vinoksi: VARA on vino vasemmalle. VARB on vino oikealle. Huipukkuudet (= KURTOSIS): Ulkopuolinen havainto saa tässä tapauksessa huipukkuuden arvon kasvamaan. Rankit Plot -kuviot Statistics > Randomness/Normality Tests > Normal Probability Plot Plot Variable = NORM / VARA / VARB Plot Variable = NORM 3 Wilk-Shapiro / Rankit Plot of NORM Rankits Approximate Wilk-Shapiro cases Muuttujan NORM jakauma näyttää melko normaaliselta (kuten pitääkin). TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 15/23

16 Ordered Data Ordered Data Mat Tilastollisen analyysin perusteet Plot Variable = VARA Wilk-Shapiro / Rankit Plot of VARA Rankits Approximate Wilk-Shapiro cases Muuttujan VARA jakauma näyttää melko normaaliselta, kun ulkopuolista havaintoa ei oteta huomioon. Plot Variable = VARB 5 Wilk-Shapiro / Rankit Plot of VARB Rankits Approximate Wilk-Shapiro cases Muuttujan VARB jakauma näyttää melko normaaliselta, kun ulkopuolista havaintoa ei oteta huomioon. TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 16/23

17 Wilkin ja Shapiron testit Wilkin ja Shapiron testien tulokset: VARIABLE N W-S Päätös NORM H 0 jää voimaan VARA H 0 hylätään VARB H 0 hylätään Olkoon havaintojen lukumäärä 50. Tällöin kriittiset rajat 1 %:n ja 5 %:n merkitsevyystasoille ovat seuraavat: Merkitsevyystaso 1% 5% Kriittinen raja Jos Wilkin ja Shapiron testisuureen arvo alittaa kriittisen rajan, on nollahypoteesi hylättävä. Wilkin ja Shapiron testin mukaan nollahypoteesia muuttujan NORM normaalisuudesta ei voida hylätä 1 %:n merkitsevyystasolla, kun taas nollahypoteesit muuttujien VARA ja VARB normaalisuudesta voidaan hylätä. Yo. taulukon p-arvojen määrääminen: ks. Tehtävä 1. Huomaa, miten ulkopuolinen havainto on pienentänyt Wilkin ja Shapiron testisuureen arvoa yhteensopivuustesti Oletetaan, että henkilö ilmoittaa heittäneensä noppaa 120 kertaa ja saaneensa seuraavan silmälukujen frekvenssien jakauman: Silmäluku Frekvenssi Testaa 2 -yhteensopivuustestillä oletusta, että noppa on virheetön: (a) (b) Laske 2 -testisuureen arvo käyttäen STATISTIX-ohjelman transformaatioita. Laske 2 -testisuureen arvo käyttäen STATISTIX-ohjelman Association Tests -valikon Multinomial Test -vaihtoehtoa ja testaa nollahypoteesia, että noppa on ollut virheetön 5 %:n merkitsevyystasoa käyttäen. TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 17/23

18 Ratkaisu: (a) 2 -testisuureen arvon laskeminen transformaatioilla Muodostetaan tiedosto NOPPA1: Muuttuja O = havaitut frekvenssit Muuttuja E = odotetut frekvenssit Määrätään odotetut frekvenssit E käyttäen nollahypoteesina oletusta: H 0 : Pr(Silmäluku i) = p i = 1/6, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 jolloin E i = np i = n/6 = 120/6 = 20, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Tiedosto NOPPA1: O E testisuure: ( O E ) m 2 2 k k 2 a k1 Ek ( f ) jossa vapausasteiden lukumäärä f = m 1 p ja m = luokkien lukumäärä p = odotettujen frekvenssien määräämiseksi estimoitujen parametrien lukumäärä Muodostetaan muuttuja KHI: KHI = (O E) 2 /E Data > Transformations Transformation Expression Variable = (O E)^2/E TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 18/23

19 Tiedosto NOPPA1 transformaation jälkeen: O E KHI testisuureen arvo saadaan laskemalla yhteen sarakkeen KHI luvut, jolloin tulokseksi saadaan 2 = 13.1 (b) 2 -yhteensopivuustesti Statistics > Association Tests > Multinomial Test Hypothesized Proportions Variable = E Observed Frequencies Variable = O MULTINOMIAL TEST HYPOTHESIZED PROPORTIONS VARIABLE: E OBSERVED FREQUENCIES VARIABLE: O HYPOTHESIZED OBSERVED EXPECTED CHI-SQUARE CATEGORY PROPORTION FREQUENCY FREQUENCY CONTRIBUTION OVERALL CHI-SQUARE P-VALUE DEGREES OF FREEDOM 5 2 -testisuureen arvo = ja sitä vastaava p-arvo = , kun vapausasteita on 5. Siten nollahypoteesi nopan virheettömyydestä voidaan hylätä 5 %:n merkitsevyystasolla. Huomaa, että testisuureen arvoksi saatiin sama kuin (a)-kohdassa kuten pitikin. TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 19/23

20 4. 2 -homogeenisuustesti Vaaleja edeltäneessä kyselyssä tarkasteltiin neljän puolueen A, B, C ja D kannatusta kolmella alueella. Kysely toteutettiin poimimalla toisistaan riippumattomat yksinkertaiset satunnaisotokset ko. alueiden äänestäjien joukosta. Tulokset on annettu alla olevassa taulukossa. Testaa 2 -homogeenisuustestillä nollahypoteesia, että kannatuksen jakaumat ovat eri alueilla samat. Puolue Alue A B C D Otoskoko (a) (b) Ratkaisu: Käytä aineistoa taulukkomuodossa. Käytä aineistoa kategorisessa muodossa. Olkoon nollahypoteesina H 0 : Puoluekannatus jakautuu eri aleilla samalla tavalla. Havaitut frekvenssit: O ij = havaittu frekvenssi ryhmässä (otoksessa) i ja luokassa j, i = 1, 2,, r, j = 1, 2,, c Odotetut frekvenssit: jossa E n i C ij j nc i n c j1 r i1 Huomaa, että O j ij O ij n i = otoskoko ryhmässä i C j = luokkafrekvenssi yhdistetyssä otoksessa TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 20/23

21 Nollahypoteesin H 0 pätiessä testisuure ( O E ) r c 2 2 ij ij 2 a i1 j1 Eij ( f ) jossa f = (r 1)(c 1) (a) Aineisto taulukkomuodossa A B C D homogeenisuustesti Statistics > Association Tests > Chi-Square Test Model Specification = Table Table Variables = A, B, C, D CHI-SQUARE TEST FOR HETEROGENEITY OR INDEPENDENCE VARIABLE CASE A B C D OBSERVED EXPECTED CELL CHI-SQ OBSERVED EXPECTED CELL CHI-SQ OBSERVED EXPECTED CELL CHI-SQ OVERALL CHI-SQUARE 9.48 P-VALUE DEGREES OF FREEDOM 6 CASES INCLUDED 12 MISSING CASES 0 TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 21/23

22 2 -testisuureen arvo = 9.48 ja sitä vastaava p-arvo = , kun vapausasteita on 6. Siten nollahypoteesi siitä, että puoluekannatuksen jakauma on eri alueilla sama, jää voimaan. (b) Aineisto kategorisessa muodossa COUNT ROW COLUMN homogeenisuustesti Statistics > Association Tests > Chi-Square Test Model Specification = Categorical Count Variable = Count Row Variable = Row Column Variable = Column TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 22/23

23 CHI-SQUARE TEST FOR HETEROGENEITY OR INDEPENDENCE FOR COUNT = ROW COLUMN COLUMN ROW OBSERVED EXPECTED CELL CHI-SQ OBSERVED EXPECTED CELL CHI-SQ OBSERVED EXPECTED CELL CHI-SQ OVERALL CHI-SQUARE 9.48 P-VALUE DEGREES OF FREEDOM 6 CASES INCLUDED 12 MISSING CASES 0 2 -testisuureen arvo = 9.48 ja sitä vastaava p-arvo = , kun vapausasteita on 6. Siten nollahypoteesi siitä, että puoluekannatuksen jakauma on eri alueilla sama, jää voimaan. Kommentti: Huomaa, että (a)- ja (b)-kohdissa on saatu täsmälleen sama tulos (kuten pitääkin); vain otsikkotiedot ovat tulostuksissa erilaiset. TKK Systeemianalyysin laboratorio (2009) 23/23

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Diskreetit muuttujat,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Jakaumaoletuksien. testaaminen Tilastollisen analyysin perusteet Luento 5: Sisältö Tilastotieteessä tehdään usein oletuksia havaintojen jakaumasta. Useat tilastolliset menetelmät toimivat tehottomasti tai jopa virheellisesti, jos jakaumaoletukset

Lisätiedot

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset.

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset. Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahden riippumattoman otoksen t-testit,

Lisätiedot

χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

χ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,

Lisätiedot

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut 11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa

Lisätiedot

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden

Lisätiedot

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta?

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Yhden otoksen suhteellisen osuuden testaus Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Hypoteesit H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 tai H 1 : p > p 0 tai H 1 : p < p 0 Suhteellinen osuus

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Jakaumaoletuksien

Lisätiedot

Mediaanikorko on kiinteäkorkoiselle lainalle korkeampi. Tämä hypoteesi vastaa taloustieteen käsitystä korkojen määräytymismekanismista.

Mediaanikorko on kiinteäkorkoiselle lainalle korkeampi. Tämä hypoteesi vastaa taloustieteen käsitystä korkojen määräytymismekanismista. Mat-2.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit järjestysasteikollisille muuttujille Testit laatueroasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Mannin ja Whitneyn testi (Wilcoxonin

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä

Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Harjoitukset: 2 Muuttujan normaaliuden testaaminen, merkitsevyys tasot ja yhden otoksen testit FT Joni Vainikka, Yliopisto-opettaja, GO218, joni.vainikka@oulu.fi

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet

Lisätiedot

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5

Tilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi.

¼ ¼ joten tulokset ovat muuttuneet ja nimenomaan huontontuneet eivätkä tulleet paremmiksi. 10.11.2006 1. Pituushyppääjä on edellisenä vuonna hypännyt keskimäärin tuloksen. Valmentaja poimii tämän vuoden harjoitusten yhteydessä tehdyistä muistiinpanoista satunnaisesti kymmenen harjoitushypyn

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu

Lisätiedot

KAHDEN RYHMÄN VERTAILU

KAHDEN RYHMÄN VERTAILU 10.3.2015 KAHDEN RYHMÄN VERTAILU Jouko Miettunen Center for Life-Course and Systems Epidemiology jouko.miettunen@oulu.fi Luennon sisältö Luokitellut muuttujat Ristiintaulukko, prosentit Khiin neliötesti

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi Luento 2

OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi Luento 2 OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi Luento 2 Luento 2 Kuvailevat tilastolliset menetelmät Käytetyimmät tilastolliset menetelmät käyttäjäkokemuksen

Lisätiedot

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa:

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa: Lisätehtäviä (siis vanhoja tenttikysymyksiä) 1. Erään yrityksen satunnaisesti valittujen työntekijöiden poissaolopäivien määrät olivat vuonna 003: 5, 3, 16, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4, 6, 1, 15,

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas JAKAUMAN MUOTO Vinous, skew (g 1, γ 1 ) Kertoo jakauman symmetrisyydestä Vertailuarvona on nolla, joka vastaa symmetristä jakaumaa (mm. normaalijakauma)

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS...

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO... 9 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET... 11 TEHTÄVIÄ... 13

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yksisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Kokonaiskeskiarvo,

Lisätiedot

RISTIINTAULUKOINTI JA Χ 2 -TESTI

RISTIINTAULUKOINTI JA Χ 2 -TESTI RISTIINTAULUKOINTI JA Χ 2 -TESTI Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Ti 27.10.2015, To 2.11.2015 Miisa Pietilä & Laura Hokkanen miisa.pietila@oulu.fi laura.hokkanen@outlook.com KURSSIKERRAN

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

TUTKIMUSOPAS. SPSS-opas

TUTKIMUSOPAS. SPSS-opas TUTKIMUSOPAS SPSS-opas Johdanto Tässä oppaassa esitetään SPSS-tilasto-ohjelman alkeita, kuten Excel-tiedoston avaaminen, tunnuslukujen laskeminen ja uusien muuttujien muodostaminen. Lisäksi esitetään esimerkkien

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Identifiointiprosessi

Identifiointiprosessi Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti Wilcoxonin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 2003 LKM 14.8% 11.2% 19.7% 4.9% 3.6% 45.

Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 2003 LKM 14.8% 11.2% 19.7% 4.9% 3.6% 45. Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 8.8% 8.9%.%.% 9.7%.7% Etelä Länsi Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Länsi Etelä Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Läänien

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN...

2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... !" # 1. 1. JOHDANTO... 3 2. 2. TILASTOLLINEN TESTAAMINEN... 4 2.1. T-TESTI... 4 2.2. RANDOMISAATIOTESTI... 5 3. SIMULOINTI... 6 3.1. OTOSTEN POIMINTA... 6 3.2. TESTAUS... 7 3.3. TESTIEN TULOSTEN VERTAILU...

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kuvaaminen

Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastollisten aineistojen kuvaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastollisten aineistojen kuvaaminen >> Havaintoarvojen jakauma Tunnusluvut Suhdeasteikollisten

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Havaintoarvojen jakauma Tunnusluvut Suhdeasteikollisten muuttujien tunnusluvut

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 11 (vko 48/003) (Aihe: Tilastollisia testejä, Laininen luvut 4.9, 15.1-15.4, 15.7) Nordlund 1. Kemiallisen prosessin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely. Geneettinen analyysi

Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely. Geneettinen analyysi Tilastollinen testaaminen tai Tilastollinen päättely Geneettinen analyysi Tilastollisen testaamisen tarkoitus Tilastollisten testien avulla voidaan tutkia otantapopulaatiota (perusjoukkoa) koskevien väittämien

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto Kynä-paperi -harjoitukset Taina Lehtinen 43 Loput ratkaisut harjoitustehtäviin 44 Stressitestin = 40 s = 8 Kalle = 34 pistettä Ville = 5 pistettä Z Kalle 34 8 40 0.75 Z Ville 5 8 40 1.5 Kalle sijoittuu

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös):

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös): Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 5 Tarkastellaan ensin aineistoa KUNNAT. Kyseessähän on siis kokonaistutkimusaineisto, joten tilastollisia testejä ja niiden merkitsevyystarkasteluja ei

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

2. Aineiston kuvailua

2. Aineiston kuvailua 2. Aineiston kuvailua Avaa (File/Open/Data ) aineistoikkunaan tiedosto tilp150.sav. Aineisto on koottu Tilastomenetelmien peruskurssilla olleilta. Tiedot osallistumisesta demoihin, tenttipisteet, tenttien

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 017 Laskuharjoitus 4, Kotitehtävien palautus Mycourses:iin PDF-tiedostona

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 7.6.2011 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Noudattakoon satunnaismuuttuja X normaalijakaumaa a) b) c) d) N(5, 15). Tällöin P (1.4 < X 12.7) on likimain

Lisätiedot