Mediaanikorko on kiinteäkorkoiselle lainalle korkeampi. Tämä hypoteesi vastaa taloustieteen käsitystä korkojen määräytymismekanismista.

Transkriptio

1 Mat-2.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit järjestysasteikollisille muuttujille Testit laatueroasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Mannin ja Whitneyn testi (Wilcoxonin rankisummatesti), Merkkitesti, Nollahypoteesi, Parivertailuasetelma, p-arvo, Päätössääntö, Riippumattomien otosten testit, Suhteellisten osuuksien vertailutesti, Testi, Testi suhteelliselle osuudelle (Binomitesti), Testisuure, Testisuureen normaaliarvo, Testit järjestysasteikollisille muuttujille, Testit laatueroasteikollisille muuttujille, Vaihtoehtoinen hypoteesi, Wilcoxonin rankitesti, Yleinen hypoteesi. Mannin ja Whitneyn testi STATISTIX-tiedostossa MORT (2. harjoitukset, tehtävä ) on esitetty 9 amerikkalaisen pankin käyttämät korot asuntolainoille (muuttuja KORKO; yksikkö = %). Lainat on ryhmitelty kahteen ryhmään sen mukaan onko korko ollut kiinteä vai vaihtuva (muuttuja LAINATYYP; 0 = kiinteä korko, = vaihtuva korko). Testaa Mannin ja Whitneyn testillä (Wilcoxonin rankisummatestillä) nollahypoteesia, että mediaanikorko on kummallekin lainatyypille sama. Käytä vaihtoehtoisena hypoteesina oletusta: Ratkaisu: Mediaanikorko on kiinteäkorkoiselle lainalle korkeampi. Tämä hypoteesi vastaa taloustieteen käsitystä korkojen määräytymismekanismista. Ennen pitemmälle meneviä tilastollisia analyysejä kuten tilastollisia testejä on aina ensin syytä tutustua tutkimuksen kohteena olevaan aineistoon. Määräämme siksi aineistosta ensin tavanomaiset otostunnusluvut ja luokitellut frekvenssijakaumat (määritelmät: ks.. harjoitukset). TKK Ilkka Mellin (2005) /23

2 Tunnusluvut Statistics > Summary Statistics > Descriptive Statistics Descriptive Variables = KORKO Grouping Variable = LAINATYYP DESCRIPTIVE STATISTICS FOR LAINATYYP = 0 KORKO N 3 MEAN SD SE MEAN MINIMUM ST QUARTI MEDIAN RD QUARTI MAXIMUM DESCRIPTIVE STATISTICS FOR LAINATYYP = KORKO N 6 MEAN SD SE MEAN MINIMUM ST QUARTI MEDIAN RD QUARTI MAXIMUM Kiinteäkorkoisten lainojen (LAINATYYP = 0) mediaanikorko on selvästi korkeampi kuin vaihtuvakorkoisten lainojen (LAINATYYP = ) mediaanikorko. TKK Ilkka Mellin (2005) 2/23

3 Frekvenssijakaumat Data > Omit Cases LAINATYYP = i ; i = 0, Statistics > Summary Statistic > Frequency Distribution Frequency Variables = KORKO Bin Size Low = 4 High = 8 Step = 0.5 LAINATYYP = 0 FREQUENCY DISTRIBUTION OF KORKO CUMULATIVE LOW HIGH FREQ PERCENT FREQ PERCENT TOTAL LAINATYYP = FREQUENCY DISTRIBUTION OF KORKO CUMULATIVE LOW HIGH FREQ PERCENT FREQ PERCENT TOTAL Frekvenssijakaumista näkyy, että kiinteäkorkoisten lainojen (LAINATYYP = 0) korot ovat korkeampia kuin vaihtuvakorkoisten lainojen (LAINATYYP = ) korot. TKK Ilkka Mellin (2005) 3/23

4 Mannin ja Whitneyn testi eli Wilcoxonin rankisummatesti Nollahypoteesi: H 0 : Me(0) = Me() Vaihtoehtoinen hypoteesi: H : Me(0) > Me() Statistics > One, Two, Multi-Sample Tests > Rank Sum Test Model Specification = Categorical Dependent Variable = KORKO Categorical Variable = LAINATYYP RANK SUM TWO-SAMPLE (MANN-WHITNEY) TEST FOR KORKO BY LAINATYYP SAMPLE LAINATYYP RANK SUM SIZE U STAT MEAN RANK TOTAL EXACT PROBABILITY OF A RESULT AS or MORE EXTREME THAN THE OBSERVED RANKS (ONE-TAILED P-VALUE) NORMAL APPROXIMATION WITH CONTINUITY CORRECTION TWO-TAILED P-VALUE FOR NORMAL APPROXIMATION TOTAL NUMBER OF VALUES THAT WERE TIED 3 MAXIMUM DIFFERENCE ALLOWED BETWEEN TIES CASES INCLUDED 9 MISSING CASES Mannin ja Whitneyn testin testisuureen U arvoa vastaava eksakti p-arvo -suuntaiselle vaihtoehtoiselle hypoteesille = (neljällä desimaalilla). Normaaliapproksimaatioon perustuvan testisuureen z itseisarvo = Sitä vastaava p-arvo 2-suuntaiselle vaihtoehtoiselle hypoteesille = ja p-arvo -suuntaiselle vaihtoehtoiselle hypoteesille = /2 = Nollahypoteesi H 0 voidaan hylätä kaikilla tavanomaisilla merkitsevyystasoilla. TKK Ilkka Mellin (2005) 4/23

5 Tulostuksessa (merkinnät kuten luentokalvoilla): LAINATYYP = 0 X LAINATYYP = Y Havaintojen lukumäärät: n = 3 m = 6 Testisuureet: T = n R( X i ) = 69 U = nm + 2 n( n + ) T = 0 i= T 2 = m R( Yj ) = 2 U 2 = nm + 2 m( m + ) T2 = 78 j= jossa R(X i ) (R(Y i )) on havainnon X i (Y i ) järjestysnumero eli ranki yhdistetyssä otoksessa, jossa havainnot on asetettu suuruusjärjestykseen pienimmästä suurimpaan. Huomaa: U + U 2 = nm = 78 Normaaliapproksimaatiot saadaan kaavoista joissa ja U E( U ) z = = z 2 D( U) z U E( U ) = = z D( U 2) E( U ) = E( U ) = nm 2 2 D( U ) = D( U ) = nm( n+ m+ ) STATISTIX käyttää z-testisuureita laskettaessa jatkuvuuskorjausta. TKK Ilkka Mellin (2005) 5/23

6 2. Merkkitesti ja Wilcoxonin rankitesti STATISTIX-tiedostossa PalkkaMF (2. harjoitukset, tehtävä 2) on esitetty 0 amerikkalaismiehen (= MALE) ja 0 amerikkalaisnaisen (= FEMALE) vuosipalkat (yksikkö = $). Havainnot muodostuvat sovitetuista pareista, joissa jokaista miestä vastaa samanlaisen taustan (iän, ammatin, koulutustason, työpaikan jne.) omaava nainen. (a) (b) Testaa merkkitestillä ja Wilcoxonin rankitestillä nollahypoteesia, että miesten ja naisten mediaanipalkat eivät eroa tosistaan. Käytä vaihtoehtoisena hypoteesina oletusta: Naisten ja miesten palkat eroavat toisistaan. Tee merkkitesti ja Wilcoxonin rankitesti myös vastinparien palkkojen erotuksille ja vertaa tuloksia kohdan (a) tuloksiin. Ratkaisu: Ennen pitemmälle meneviä tilastollisia analyysejä kuten tilastollisia testejä on aina ensin syytä tutustua tutkimuksen kohteena olevaan aineistoon. Määräämme siksi aineistosta ensin tavanomaiset otostunnusluvut ja luokitellut frekvenssijakaumat. Tunnusluvut Statistics > Summary Statistics > Descriptive Statistics Descriptive Variables = FEMALE, MALE DESCRIPTIVE STATISTICS FEMALE MALE N 8 8 MEAN SD MINIMUM ST QUARTI MEDIAN RD QUARTI MAXIMUM Miesten mediaanipalkka on selvästi suurempi kuin naisten mediaanipalkka. TKK Ilkka Mellin (2005) 6/23

7 Frekvenssijakaumat Statistics > Summary Statistic > Frequency Distribution Frequency Variables = FEMALE, MALE Bin Size Low = High = Step = 2000 FREQUENCY DISTRIBUTION OF FEMALE CUMULATIVE LOW HIGH FREQ PERCENT FREQ PERCENT TOTAL FREQUENCY DISTRIBUTION OF MALE CUMULATIVE LOW HIGH FREQ PERCENT FREQ PERCENT TOTAL Useiden naisten palkat sijoittuvat alempiin palkkaluokkiin kuin miesten palkat. TKK Ilkka Mellin (2005) 7/23

8 (a) Merkkitesti ja Wilcoxonin rankitesti Nollahypoteesi: H 0 : Me(FEMALE) = Me(MALE) Vaihtoehtoinen hypoteesi: H : Me(FEMALE) Me(MALE) Merkkitesti Statistics > One, Two, Multi-Sample Tests > Sign Test Sample Variables = FEMALE, MALE SIGN TEST FOR FEMALE - MALE NUMBER OF NEGATIVE DIFFERENCES 6 NUMBER OF POSITIVE DIFFERENCES 2 NUMBER OF ZERO DIFFERENCES (IGNORED) 0 PROBABILITY OF A RESULT AS OR MORE EXTREME THAN OBSERVED A VALUE IS COUNTED AS A ZERO IF ITS ABSOLUTE VALUE IS LESS THAN CASES INCLUDED 8 MISSING CASES 0 Merkkitestin testisuureen S arvoa vastaava eksakti p-arvo -suuntaselle testille = ja 2-suuntaiselle vaihtoehtoiselle hypoteesille = = Nollahypoteesia H 0 ei voida hylätä merkitsevyystasolla Tulostuksessa (merkinnät kuten luentokalvoilla): FEMALE X Havaintojen lukumäärä: Testisuureet: n = 8 MALE Y S = 6 S + = 2 jossa S (S + ) on negatiivisten (positiivisten) erotusten lukumäärä. Huomaa: D i = X i Y i S + S + = n = 8 Testisuure S on nollahypoteesin H 0 pätiessä binomijakautunut parametrein n ja ½ : S Bin( n, ) 2 TKK Ilkka Mellin (2005) 8/23

9 Testi suhteelliselle osuudelle Merkkitesti voidaan ymmärtää testiksi suhteelliselle osuudelle. Siten testi voidaan tehdä ekvivalentisti testaamalla Bernoulli-jakauman parametria p koskevaa nollahypoteesia H 0 : p = ½ kun vaihtoehtoisena hypoteesina on H 0 : p ½ Lisätietoja testistä: ks. tehtävää 4. Statistics > One, Two, Multi-Sample Tests > Proportion Test Model Specification = One Sample Test Sample Size = 8 Number of Successes = 6 Null Hypothesis = 0.5 Alternate Hypothesis = Not Equal ONE-SAMPLE PROPORTION TEST SAMPLE SIZE 8 SUCCESSES 6 PROPORTION NULL HYPOTHESIS: P = 0.5 ALTERNATIVE HYP: P <> 0.5 DIFFERENCE STANDARD ERROR Z (UNCORRECTED).4 P Z (CORRECTED).06 P % CONFIDENCE INTERVAL UNCORRECTED ( ,.05006) CORRECTED ( ,.256) Testisuureen z arvoa.06 vastaava p-arvo (CORRECTED) 2-suuntaiselle vaihtoehtoiselle hypoteesille = , mikä on sopusoinnussa merkkitestin tuloksen kanssa. TKK Ilkka Mellin (2005) 9/23

10 Wilcoxonin rankitesti Statistics > One, Two, Multi-Sample Tests > Wilcoxon Signed Rank Test Sample Variables = FEMALE, MALE WILCOXON SIGNED RANK TEST FOR FEMALE - MALE SUM OF NEGATIVE RANKS SUM OF POSITIVE RANKS EXACT PROBABILITY OF A RESULT AS OR MORE EXTREME THAN THE OBSERVED RANKS ( TAILED P-VALUE) NORMAL APPROXIMATION WITH CONTINUITY CORRECTION.890 TWO TAILED P-VALUE for NORMAL APPROXIMATION TOTAL NUMBER OF VALUES THAT WERE TIED 0 NUMBER OF ZERO DIFFERENCES DROPPED 0 MAX. DIFF. ALLOWED BETWEEN TIES CASES INCLUDED 8 MISSING CASES 0 Wilcoxonin rankitestin testisuureen arvoa vastaava eksakti p-arvo -suuntaiselle vaihtoehtoiselle hypoteesille = Normaaliapproksimaatioon perustuvan testisuureen z itseisarvo =.890. Sitä vastaava p-arvo 2-suuntaiselle vaihtoehtoiselle hypoteesille = ja p-arvo -suuntaiselle vaihtoehtoiselle hypoteesille = /2 = , mikä on lähellä eksaktia p-arvoa. Nollahypoteesia ei voida hylätä merkitsevyystasolla 0.05, jos vaihtoehtoinen hypoteesi on 2-suuntainen. Nollahypoteesia voidaan hylätä merkitsevyystasolla 0.05, jos vaihtoehtoinen hypoteesi on -suuntainen. Huomaa, että Wilcoxonin rankitesti on terävämpi kuin merkkitesti, koska se käyttää informaation havaintojen järjestyksestä tarkemmin hyväkseen. TKK Ilkka Mellin (2005) 0/23

11 Tulostuksessa (merkinnät kuten luentokalvoilla): FEMALE X MALE Y Testisuureet: W W + = R( Z ) = 32 Di < 0 = R( Z ) = 4 Di > 0 i i jossa R(Z i ) on suuruusjärjestykseen pienimmästä suurimpaan asetettujen itseisarvojen D i = X i Y i järjestysnumero eli ranki. Havaintojen lukumäärä: n = 8 Huomaa: + W + W = ( ) 3 2 n n + = 6 Normaaliapproksimaatiot saadaan kaavoista joissa ja + + W E( W ) z = = z D( W ) + 2 z W E( W ) = = z D( W ) 2 + E( W ) = E( W ) = n( n+ ) 4 D( W ) = D( W ) = n( n+ )(2n+ ) STATISTIX käyttää z-testisuureiden lausekkeita laskettaessa jatkuvuuskorjausta. TKK Ilkka Mellin (2005) /23

12 (b) Merkkitesti ja Wilcoxonin rankitesti erotuksille Transformaatiot Muodostetaan tiedostoon PalkkaMF ensin muuttuja EROTUS: Data > Transformations EROTUS = FEMALE MALE Muodostetaan tiedostoon PalkkaMF toiseksi muuttuja ME, jonka arvoiksi annetaan nollahypoteesin mukainen mediaanin arvo 0. Tiedosto PalkkaMF muutosten jälkeen: PAIR MALE FEMALE EROTUS ME Nollahypoteesi: H 0 : Me(EROTUS) = 0 Vaihtoehtoinen hypoteesi: H : Me(EROTUS) 0 TKK Ilkka Mellin (2005) 2/23

13 Merkkitesti Statistics > One, Two, Multi-Sample Tests > Sign Test Sample Variables = EROTUS, ME SIGN TEST FOR EROTUS - ME NUMBER OF NEGATIVE DIFFERENCES 6 NUMBER OF POSITIVE DIFFERENCES 2 NUMBER OF ZERO DIFFERENCES (IGNORED) 0 PROBABILITY OF A RESULT AS OR MORE EXTREME THAN OBSERVED A VALUE IS COUNTED AS A ZERO IF ITS ABSOLUTE VALUE IS LESS THAN CASES INCLUDED 8 MISSING CASES 0 Wilcoxonin rankitesti Statistics > One, Two, Multi-Sample Tests > Wilcoxon Signed Rank Test Sample Variables = EROTUS, ME WILCOXON SIGNED RANK TEST FOR EROTUS - ME SUM OF NEGATIVE RANKS SUM OF POSITIVE RANKS EXACT PROBABILITY OF A RESULT AS OR MORE EXTREME THAN THE OBSERVED RANKS ( TAILED P-VALUE) NORMAL APPROXIMATION WITH CONTINUITY CORRECTION.890 TWO TAILED P-VALUE for NORMAL APPROXIMATION TOTAL NUMBER OF VALUES THAT WERE TIED 0 NUMBER OF ZERO DIFFERENCES DROPPED 0 MAX. DIFF. ALLOWED BETWEEN TIES CASES INCLUDED 8 MISSING CASES 0 Tulokset kummastakin testistä ovat samat kuin (a)-kohdassa! TKK Ilkka Mellin (2005) 3/23

14 3. Mannin ja Whitneyn testi STATISTIX-tiedostossa JONOT on esitetty 2 satunnaisesti valitun asiakkaan jonotusajat kahdessa palvelujonossa (muuttujat JONOA, JONOB; yksikkö = s). (a) (b) Ratkaisu: Testaa Mannin ja Whitneyn testillä (Wilcoxonin rankisummatestillä) nollahypoteesia, että mediaaniodotusaika on kummassakin jonossa sama. Käytä vaihtoehtoisena hypoteesina oletusta: Mediaaniodotusajat eroavat toisistaan. Vertaa otoksia toisiinsa kahden riippumattoman otoksen t-testillä (ks. 2. luentoviikon harjoitukset). Ennen pitemmälle meneviä tilastollisia analyysejä kuten tilastollisia testejä on aina ensin syytä tutustua tutkimuksen kohteena olevaan aineistoon. Määräämme siksi aineistosta ensin tavanomaiset otostunnusluvut ja luokitellut frekvenssijakaumat. Tunnusluvut Statistics > Summary Statistics > Descriptive Statistics Descriptive Variables = JONOA, JONOB DESCRIPTIVE STATISTICS JONOA JONOB N 2 9 MEAN SD SE MEAN MINIMUM ST QUARTI MEDIAN RD QUARTI MAXIMUM Muuttujan JONOA mediaaniodotusaika on selvästi pitempi kuin muuttujan JONOB mediaaniodotusaika. TKK Ilkka Mellin (2005) 4/23

15 Frekvenssijakaumat Statistics > Summary Statistic > Frequency Distribution Frequency Variables = JONOA, JONB Bin Size Low = 5 High = 2 Step = FREQUENCY DISTRIBUTION OF JONOA CUMULATIVE LOW HIGH FREQ PERCENT FREQ PERCENT TOTAL FREQUENCY DISTRIBUTION OF JONOB CUMULATIVE LOW HIGH FREQ PERCENT FREQ PERCENT TOTAL Frekvenssijakaumista näkyy, että jonossa A (JONOA) odotusajat ovat usein lyhyempiä kuin jonossa B (JONOB). TKK Ilkka Mellin (2005) 5/23

16 (a) Mannin ja Whitneyn testi (Wilcoxonin rankisummatesti) Nollahypoteesi: H 0 : Me(A) = Me(B) Vaihtoehtoinen hypoteesi: H : Me(A) Me(B) Statistics > One, Two, Multi-Sample Tests > Rank Sum Test Model Specification = Table Table Variables = JONOA, JONOB RANK SUM TWO-SAMPLE (MANN-WHITNEY) TEST FOR JONOA VS JONOB SAMPLE VARIABLE RANK SUM SIZE U STAT MEAN RANK JONOA JONOB TOTAL NORMAL APPROXIMATION WITH CONTINUITY CORRECTION 2.30 TWO-TAILED P-VALUE FOR NORMAL APPROXIMATION TOTAL NUMBER OF VALUES THAT WERE TIED 0 MAXIMUM DIFFERENCE ALLOWED BETWEEN TIES CASES INCLUDED 2 MISSING CASES 3 Normaaliapproksimaatioon perustuvan testisuureen z itseisarvo = Sitä vastaava p-arvo 2-suuntaiselle vaihtoehtoiselle hypoteesille = ja p-arvo -suuntaiselle vaihtoehtoiselle hypoteesille = /2 = Nollahypoteesi H 0 voidaan hylätä 5 %:n merkitsevyystasolla. TKK Ilkka Mellin (2005) 6/23

17 Tulostuksessa (merkinnät kuten luentokalvoilla): JONOA X JONOB Y Havaintojen lukumäärät: n = 2 m = 9 Testisuureet: T = n R( X i ) = 99 U = nm + 2 n( n + ) T = 2 i= T 2 = m R( Yj ) = 32 U 2 = nm + 2 m( m + ) T2 = 87 j= jossa R(X i ) (R(Y i )) on havainnon X i (Y i ) järjestysnumero eli ranki yhdistetyssä otoksessa, jossa havainnot on asetettu suuruusjärjestykseen pienimmästä suurimpaan. Huomaa: U + U 2 = nm = 08 Normaaliapproksimaatiot saadaan kaavoista joissa ja U E( U ) z = = z 2 D( U) z U E( U ) = = z D( U 2) E( U ) = E( U ) = nm 2 2 D( U ) = D( U ) = nm( n+ m+ ) STATISTIX käyttää z-testisuureita laskettaessa jatkuvuuskorjausta. TKK Ilkka Mellin (2005) 7/23

18 (b) Kahden riippumattoman otoksen t-testi Lisätietoja kahden riippumattoman otoksen t-testistä: ks. 2. harjoitukset. Nollahypoteesi: H 0 : µ A = µ B Vaihtoehtoinen hypoteesi: H : µ A µ B Statistics > One, Two, Multi-Sample Tests > Two Sample T Test Model Specification = Table Table Variables = JONOA, JONOB Null Hypothesis = 0 Alternate Hypothesis = Not Equal TWO-SAMPLE T TESTS FOR JONOA VS JONOB SAMPLE VARIABLE MEAN SIZE S.D. S.E JONOA JONOB DIFFERENCE NULL HYPOTHESIS: DIFFERENCE = 0 ALTERNATIVE HYP: DIFFERENCE <> 0 ASSUMPTION T DF P 95% CI FOR DIFFERENCE EQUAL VARIANCES ( , ) UNEQUAL VARIANCES (-2.688, ) F NUM DF DEN DF P TESTS FOR EQUALITY OF VARIANCES CASES INCLUDED 2 MISSING CASES 3 Koska perusjoukkojen varianssien yhtäsuuruutta koskeva nollahypoteesi voidaan hyväksyä, voidaan t-testisuureena käyttää versiota EQUAL VARIANCES. Testisuureen arvo = Sitä vastaava p-arvo 2-suuntaiselle vaihtoehtoiselle hypoteesille = Nollahypoteesi H 0 voidaan hylätä 5 %:n merkitsevyystasolla. TKK Ilkka Mellin (2005) 8/23

19 4. Testi suhteelliselle osuudelle Erään tuotteen valmistaja ilmoittaa, että 3 % tuotteista on viallisia. Ostaja poimii satunnaisesti joukon tuotteita tarkastettavaksi ja toteaa, että otoksessa viallisia on 6 %. Testaa suhteellisen osuuden testillä nollahypoteesia, että viallisia on kaikkien tuotteiden joukossa 3 %. Ratkaisu: Käytä vaihtoehtoisena hypoteesina oletusta: (a) Otoskoko = 50. (b) Otoskoko = 250. Viallisia on enemmän kuin 3 %. Testi suhteelliselle osuudelle Oletetaan, että havainnot X, X 2,, X n muodostavat yksinkertaisen satunnaisotoksen Bernoulli-jakaumasta Ber(p). Olkoon kiinnostuksen kohteena olevan tapahtuman A suhteellinen frekvenssi otoksessa Tällöin pˆ = f / n f Bin( np, ) Olkoon nollahypoteesina H 0 : p = p 0 Määritellään testisuure z = pˆ p 0 p ( p ) / n 0 0 Jos nollahypoteesi H 0 pätee, niin z a N(0,) Itseisarvoltaan suuret testisuureen z arvot johtavat nollahypoteesin H 0 hylkäämiseen. Tässä nollahypoteesina on H 0 : p = 0.03 TKK Ilkka Mellin (2005) 9/23

20 (a) n = 50 Statistics > One, Two, Multi-Sample Tests > Proportion Test Model Specification = One Sample Test Sample Size = 50 Number of Successes = 3 Null Hypothesis = 0.03 Alternate Hypothesis = Greater Than ONE-SAMPLE PROPORTION TEST SAMPLE SIZE 50 SUCCESSES 3 PROPORTION NULL HYPOTHESIS: P = 0.03 ALTERNATIVE HYP: P > 0.03 DIFFERENCE STANDARD ERROR Z (UNCORRECTED).24 P Z (CORRECTED) 0.83 P % CONFIDENCE INTERVAL UNCORRECTED ( , ) CORRECTED ( , ) Testisuureen z arvo = 0.83 ja sitä vastaava p-arvo = Nollahypoteesia ei voida hylätä millään tavanomaisella merkitsevyystasolla. TKK Ilkka Mellin (2005) 20/23

21 (b) n = 250 Statistics > One, Two, Multi-Sample Tests > Proportion Test Model Specification = One Sample Test Sample Size = 250 Number of Successes = 5 Null Hypothesis = 0.03 Alternate Hypothesis = Greater Than ONE-SAMPLE PROPORTION TEST SAMPLE SIZE 250 SUCCESSES 5 PROPORTION NULL HYPOTHESIS: P = 0.03 ALTERNATIVE HYP: P > 0.03 DIFFERENCE STANDARD ERROR Z (UNCORRECTED) 2.78 P Z (CORRECTED) 2.60 P % CONFIDENCE INTERVAL UNCORRECTED ( , ) CORRECTED ( , ) Testisuureen z arvo = 2.60 ja sitä vastaava p-arvo = Nollahypoteesi voidaan hylätä merkitsevyystasolla 0.0. Huomautus: Viallisten suhteellinen osuus on (a) ja (b) kohdan otoksissa sama 6 %. Nollahypoteesi hylätään (b)-kohdassa toisin kuin (a)-kohdassa, koska suurempi otos sisältää enemmän informaatiota nollahypoteesia vastaan. Tämä näkyy myös testisuureen lausekkeesta; ks. luentokalvoja. TKK Ilkka Mellin (2005) 2/23

22 5. Suhteellisten osuuksien vertailutesti Ennen eduskuntavaaleja tehdään toistuvasti kyselytutkimuksia, joissa ihmisiltä kysytään mitä puoluetta he kannattavat. Ratkaisu: Kyselyssä otoskoko oli 000 ja puolueen A kannattajia oli 200. Kyselyssä 2 otoskoko oli 20 ja puolueen A kannattajia oli 200. Voidaanko kyselyiden perusteella päätellä, että puolueen A kannatus on laskenut? Suhteellisten osuuksien vertailutesti Oletetaan, että havainnot X, X,, Xn 2 muodostavat yksinkertaisen satunnaisotoksen Bernoulli-jakaumasta Ber(p ) ja havainnot X, X,, Xn yksinkertaisen satunnaisotoksen Bernoulli-jakaumasta Ber(p 2 ). Olkoon kiinnostuksen kohteena olevan tapahtuman A suhteellinen frekvenssi otoksessa ja otoksessa 2 Tällöin ja pˆ = f/ n pˆ 2 = f2/ n2 f n p Bin(, ) f2 n2 p 2 Bin(, ) Olkoon nollahypoteesina H 0 : p = p 2 Määritellään testisuure jossa z = f pˆ = n pˆ pˆ 2 pˆ( pˆ) + n n2 + f + n 2 2 Jos nollahypoteesi H 0 pätee, niin z a N(0,) Itseisarvoltaan suuret testisuureen z arvot johtavat nollahypoteesin H 0 hylkäämiseen. TKK Ilkka Mellin (2005) 22/23

23 Statistics > One, Two, Multi-Sample Tests > Proportion Test Model Specification = Two Sample Test Sample Size = 000 Number of Successes = 200 Sample 2 Size = 20 Number of Successes = 200 Alternate Hypothesis = Greater Than TWO-SAMPLE PROPORTION TEST SAMPLE SAMPLE 2 SAMPLE SIZE SUCCESSES PROPORTION NULL HYPOTHESIS: P = P2 ALTERNATIVE HYP: P > P2 DIFFERENCE SE (DIFF) Z (UNCORRECTED).26 P Z (CORRECTED).20 P % CONFIDENCE INTERVAL OF DIFFERENCE LOWER LIMIT UPPER LIMIT Testisuureen z arvo =.20 ja sitä vastaava p-arvo = Nollahypoteesia ei voida hylätä 5 %:n merkitsevyystasolla. Kommentti: Kyselyiden mukaan puolueen A kannattajien lukumäärä oli laskenut peräkkäisissä otoksissa 20 %:sta 7.9 %:iin. Näinkään suuri kannatuksen lasku ei kuitenkaan ollut tilastollisesti merkitsevä, vaikka otosten koot olivat jopa 000 ja 20. TKK Ilkka Mellin (2005) 23/23