Peto saalis-mallit. Ewert Kupiainen. Matematiikan aine Turun yliopisto

Transkriptio

1 Peto saalis-mallit Ewert Kupiainen Matematiikan aine Turun yliopisto Joulukuu 21

2 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Ympäristöjen käyttö Määritelmiä Apulauseita ja lemmoja Lauseita ja todistuksia Isompia kohteita Taulukot ja kuvat Matriiseja ja muita Kirjasimista Kirjasimen koot ja tyylit Muutama vihje 7 Kirjallisuutta 9 1 Johdanto Työ ei perustu kirjaan [1]. Eikä myöskään lähteisiin [2, 3, 4, 5]. Tämän aineen tarkoituksena on esitellä erilaisia rakenteita, joita L A TEX-dokumentissa yleisemmin tarvitaan matemaattisen tekstin tuottamisessa. Varsinaista kooditekstiä ei esitellä itse tekstissä, mutta sitä voi tutkia tarkastelemalla vastaavaa kohtaa lähdekoodissa. Kääntäjän toimintaan liittyvää löytyy myös muistiinpanoista [6]. 2 Ympäristöjen käyttö 2.1 Määritelmiä Ja ennen määritelmää kannattaa olla jotain esipuhetta siitä mitä määritellään. Tässä tapauksessa esitellään jatkuvan funktion määritelmä: 1

3 Määritelmä 2.1 (Jatkuva funktio). Funktio f : R R on jatkuva, jos jokaista positiivilukua ε kohti on olemassa sellainen positiiviluku δ, että mikäli x x < δ, niin f(x) f(x ) < ε. Ja sitten muuta tekstiä. Pelkkä määritelmä ei ole yleensä hyvä alaosio itsessään. 2.2 Apulauseita ja lemmoja Esitetään todistuksetta Differentiaalilaskennan väliarvolause. Lemma 2.2 (Differentiaalilaskennan väliarvolause). Jos funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a,b] ja derivoituva avoimella välillä (a,b), niin on olemassa sellainen piste ξ avoimella välillä (a,b), että f (ξ) = f(b) f(a) b a (1) 2.3 Lauseita ja todistuksia Lemman 2.2 avulla voidaan todistaa integraalilaskennan väliarvolause. Lause 2.3 (Integraalilaskennan väliarvolause). Jos funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a,b], niin on olemassa sellainen piste ξ avoimella välillä (a,b), että Todistus. Asetetaan 1 b f(x)dx = f(ξ). (2) b a a F(x) = x a f(t)dt ja sovelletaan lemmaa 2.2 tähän funktioon; F(x) toteuttaa selvästi lemman oletukset. Koska F (x) = f(x), niin kaavan (1) vasen puoli on f(ξ). Koska F(b) = b f(t)dt ja F(a) =, niin kaavan (2) oikean puolen osoittaja on a F(b) F(a) = b f(t)dt. Näin ollen kaava (1) tulee muotoon a f(ξ) = b a f(t)dt b a. 2

4 Vaikka pitkiä yhtälöketjuja kannattaa välttää joskus tulee tilanteita, joissa halutaan laittaa yhtälöt jonoon yhtälöketjuksi kuten f i (x) = A i x = c 1 A i x 1 +c 2 A i x 2 +c 3 A i x 3 = c 1 λ i 1 x 1 +c 2 λ i 2 x 2 +c 3 λ i 3 x 3 = 6 i c 1 x 1 +4 i c 2 x 2 +2 i c 3 x 3, (3) jossa vielä erityisesti yksi yhtälönketjun osa (nimittäin yhtälö (3)) on haluttu numeroida (muiden rivien numeroinnin voi estää\nonumber komennolla). Jos halutaan edellinen yhtälöketju tehdä kokonaan ilman numerointia voi käyttää eqnarray*-ympäristöä. Ja vielä yksi toinen ympäristö, joka voi olla tarpeen: f i (x) = A i x = c 1 λ i 1x 1 +c 2 λ i 2x 2 +c 3 λ i 3x 3 +c 4 λ i 4x 4 +c 5 λ i 5x 5 +c 6 λ i 6 x 6 +c 7 λ i 7 x 7 +c 8 λ i 8 x 8 +c 9 λ i 9 x 9 +c 1 λ i 1 x 1 (4) Multline-ympäristöllä on siis helppo jakaa pitkiä lausekkeita tai yhtälöitä useammalle riville. Kuva 1: Lemniskaatta. 3 Isompia kohteita 3.1 Taulukot ja kuvat Joskus voi olla tarpeen tehdä taulukko annetusta numerotiedosta. Taulukoon 1 on koottu kummia arvoja. Table-ympäristössä L A TEXsijoittaa taulu- 3

5 e c 1 e -c (1+1/x)^x, x> (1-1/x)^x, x> (1+1/x)^-x, x> (1-1/x)^-x, x> (1+1/x)^x, x< (1-1/x)^x, x< (1+1/x)^-x, x< (1-1/x)^-x, x< Kuva 2: Esimerkki pdf-kuvan käytöstä (pdflatex). kon parhaaksi katsomallaan tavalla. Taulukkoon saa tällöin myös kuvatekstin \caption-komennolla ja viittauskohteen \label-komennolla. Tabularf(x) g(x) h(x) Taulukko 1: Kummia lukuja ympäristöä vastaa matematiikkatilassa array-ympäristö. Kuville taas kuuluu käyttää figure-ympäristöä kuten on tehty kuvissa 3 ja 4. Vastavasti, kuten taulukoille, myös kuville saa kuvatekstin \captionkomennolla ja viittauskohteen \label-komennolla. Kuvassa 2.3 on tosiasiassa kaksi kuvaa rinnatusten, joista vasemmanpuoleinen on pikselipohjaisesta grafiikkatiedostosta (.jpg). Pikselipohjaisissa kuvissa on se vika, ettei ne sisällä niin sanottua bounding box tietoa (virheilmoitus sisältää tuon termin) eli tiedoston kuvan todellista kokoa ei ole annettu. Komennolle \includegraphics voi kuitenkin antaa hakasuluissa pilkulla erotettuna parametrejä kuten (tässä vain osa): 4

6 Kuva 3: Paraabeli y = x 2. natwidth=<leveys pikseleinä>; natheight=<korkeus pikseleinä>; bb=llx lly urx ury; width=<leveys>; height=<korkeus>; scale=<skaalaus kerroin>; rotate=<kiertokulma astetta>. Edeltävässä llx ja lly tarkoittavat vasemman alakulman x- ja y- koordinaatteja ja urx ja ury vastaavia oikeal yläkulman koordinaatteja. Näistä pikselipohjaiselle kuvalle natwidth ja natheight ovat tarpeen. Parametri bb voi taas olla tarpeen pdf-muotoiselle kuvalle, jos kuvaan on jäänyt ylimääräistä marginaalia. Figure- ja table-ympäristöt ovat kelluvia ( float ) objekteja, joten niiden paikkaan vaikuttaa myös esitysmuotoiset kaavat. Kuvien tulee sisältää vain olennainen, jolloin niistä on helpointa löytää tietoa. Väreistä kannattaa erityisesti tutkiä myös, miten ne käyttäytyvät rasteroitaessa ja harmaasävyjä käytettäessä. Esimerkiksi punainen ja musta sekoittuvat tehokkaasti. 5

7 V = xy dydx 5 Kuva 4: Kuvaaja xyz < Matriiseja ja muita L A TEX ja AMS-TEX sisältävät valmiit matriisi- ja vaihtoehtoympäristöt, mutta ne ovat joskus vähän kankeita. Varsinkin alkioden ollessa huomattavan eri kokoisia voi tulla ongelmia tasapainoisen esityksen aikaansaamisessa. Alla esimerkit matrix-, pmatrix-, bmatrix- ja vmatrix-ympäristöistä (huomaa: matrix on vain taulukko ilman sulkeita): a ± ( b c d, a ± ) [ b a ± ] b, c d c d ja a ± b c d. Myös cases-ympäristö voi olla tarpeellinen. Erityisesti paloittain määritellyt funktiot on helpointa esittää sen avulla: x, kun x >, f(x) = x, kun x <. 6

8 Käskyparilla\left ja\right saa tehtyä sulkeita, joiden koko on sovitettu käskyparin väliin jäävän kokonaisuuden mukaan: a b c d e f g h i ja x = { x, kun x >, x, kun x <. Huomaa erot L A TEXin omien ja array-ympäristöjen kanssa tehdyillä kohteilla. Varsinkin taulukkomaisilla kohteilla array on yleensä paremmin säädettävissä. Melkein kaikkia sulkumerkkejä voi käyttää edellisen esimerkin mukaisesti \left ja \right käskyparilla (tietenkin muistaen merkin aukeamissuunta). Piste (.) toimii tyhjänä vastinkappaleena, koska (\left ja\right komentojen pitää esiintyä aina pareittain. 4 Kirjasimista Pari sanaa vielä kirjasinten koosta ja tyylistä. Varsinkin isompien taulukoiden kohdalla voi tulla joskus tarvetta kirjasimen koon säätöön. Tyylin muoto on monesti hyvä korostamisen keino, mutta kannattaa muistaa, että liika on liikaa. 4.1 Kirjasimen koot ja tyylit Taulukossa 4.1 on esitelty L A TEXin käyttämät nimetyt tekstikoot. Muistutettakoon, että näiden käyttö pitäisi olla tarpeen vain erikoisissa tilanteissa. Kirjasinten tyylejä on nimetty useita, joista yleisimmät on esitelty taulukossa 4.1. Näiden käyttö tapahtuu muodossa \tyyli{teksti joka muotoillaan}. 5 Muutama vihje Jos tarkoituksena on kirjoittaa esimerkiksi artikkeli vaikkapa 12 sivun maksimi sivumäärän rajoituksella, EI MISSÄÄN TAPAUKSESSA SAA pienentää 7

9 \tiny \scriptsize tiny & microscopic font scriptsize & very tiny font (subscripts) \footnotesize footnotesize & tiny font (footnotes) \small small font \normalsize \large \Large \LARGE \huge \Huge normal font large font larger font very large font huge font very huge font Taulukko 2: Erilaisia mahdollisia kirjasinkokoja. \textrm{...} Roman \textsf{...} Sans \texttt{...} Teletype \textbf{...} Bold \textmd{...} Medium \textit{...} Italic \textsl{...} Slanted \textsc{...} Small Caps Taulukko 3: Erilaisia kirjasintyylejä. kirjasinkokoa alle ohjeistuksessa annetun varsinaisessa leipätekstissä tai laajentaa tekstialuetta, jotta saavutettaisiin tuo annettu sivuraja. Sama pätee sivun koon asetuksiin. Juuri tästä syystä tässä dokumentissa ei ole mainittu mitään sivun kokoon tai tekstialueen asetuksiin liittyvistä komennoista. Jos annetun ylärajan ylittää kannattaa kysyä voisiko tuota rajaa ylittää ja ilmoittaa etukäteen kuinka monta sivua on tavoitteena. Kuitenkin kannattaa yrittää pysyä mahdollisimman lievässä sivumäärän ylityksessä. Syynä näihin rajoituksiin on yleensä kustantajilta varattu julkaisun kokonaissivumäärä, jonka puitteissa pitäisi pysyä. Usein lievä ylitys (1-2 sivua) on hy- 8

10 väksytty ilman mitään ennakkotiedustelua, mutta kannattaa ottaa varman päälle tärkeän artikkelin kohdalla. Yksittäiset kohteet, kuten taulukot, voivat olla tästä poikkeus, kun niitä yritetään sovittaa sivulle. Joskus voi olla paras sijoittaa taulukko jopa sivuttain sivulle. Huomautus. Muuttamalla leipätekstin kirjasinkokoa tai tekstialueen/sivun tekijä tuottaa tilanteen, missä julkaisun editoija pakottaa vastaavat asetukset alkuperäisiksi. Lopputuloksena saadun materiaalin sivumäärän ylittyessä huomattavasti tai varsinaisen leipätekstin ja siihen upotettujen kuvien ja taulukoiden rikkoutumisen/epäjärjestyksen takia editori voi hylätä kyseisen kirjallisen työn. Erityisesti tiukan aikataulun ollessa kyseessä tämä on melko todennäköinen ratkaisu. Kirjallisuutta [1] J. D. Murray: Mathematical Biology. Springer, Berlin, [2] R. Holmgren: Discrete dynamical systems. Springer-Verlag, Berlin, [3] O. Leimar: Multidimensional convergence stability. Evol. Ecol. Res. 1994, vol. 11, (191 28), [4] E. Kisdi: Adaptive Dynamics, kisdi/ad.htm, luettu [5] G. Ausiello, H.J. Hoogeboom, J. Karhumäki, I. Petre, A. Salomaa: Preface, Theor. Comput. Sci. 212, vol. 429, (1 2). doi:1.116/j.tcs [6] A. Lepistö: Matematiikan kirjallinen viestintä ja tieteellinen tiedonhankinta: L A TEX. Luentokalvot, luettu