Differentiaalilaskentaa et varsinaisesti tarvitse. Tehtävässä 2 ja 3 voi olla hyödyllistä miettiä tuttuja suureita toisten suureiden derivaattoina.

Transkriptio

1 Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Valmennuskirje 2 Tässä on toinen valmennuskirje, jonka tehtävien ratkaisuun sinulla on aikaa helmikuun puolen välin paikkeille. Vastaukset tulee lähettää minulle joko kirjeitse tai sähköpostitse viimeistään mennessä. Sähköpostin liitteenä vastaus saisi mieluusti olla alle 500 kt, tai voit laittaa vastaukset omalle kotisivutilallesi ja lähettää niihin linkin. Merkitse paperiin ensimmäiseksi nimesi ja kotiosoitteesi, niin voin lähettää tarkastetut tehtävät sekä vastaukset takaisin. Osoitteeni on Anna-Leena Kähkönen Vapaudenkatu 74 A Jyväskylä ja sähköposti anna-leena.m.kahkonen@jyu.fi. Tämä 2. kirje on vähän erityyppinen kuin ensimmäinen valmennuskirje, sillä kukin tehtävä tuottaa 1 pisteen. Älä säikähdä pitkiä tehtävänantoja; itse tehtävä voi olla varsin lyhyt pitkästä aloituksesta huolimatta. Differentiaalilaskentaa et varsinaisesti tarvitse. Tehtävässä 2 ja 3 voi olla hyödyllistä miettiä tuttuja suureita toisten suureiden derivaattoina. Internetistä saa vapaasti etsiä apuja tehtäviin. Jos et pääse eteenpäin jossakin tehtävässä, voit myös kysyä minulta neuvoa sähköpostitse.

2 1 - Frisbeegolf-kiekko Suomessa melko uuden trendilajin, frisbeegolfin, sääntöjä valvoo kansainvälinen frisbeegolfliitto PDGA (Professional Disc Golf Association). Lajissa kierretään golfin tapaan määrätty rata heittäen frisbeetä koreihin. Erilaisten golfmailojen tapaan frisbeegolfissa on erityyppisiä kiekkoja. a) Valitse hyväksyttyjen kiekkojen listasta ( yksi frisbeegolfkiekko ja arvioi sen hitausmomentti tyypillisen pyörimisakselin suhteen (tämä on sen suurin mahdollinen hitausmomentti). Piirrä havainnekuva tekemistäsi approksimaatioista ja käyttämistäsi mitoista. b) Valitse, pyöriikö kiekko heitossa myötä- vai vastapäivään. Piirrä kaaviokuva kiekosta lennossa. Merkitse, mihin suuntaan pyörimismäärä L osoittaa ja mihin suuntaan vääntömomentin M (englanninkielisessä kirjallisuudessa usein τ, "torque") tulisi osoittaa, jotta kappaleen pyörimisakseli kääntyisi? c) Perustele em. suureita ja liike-energian käsitettä käyttäen, että frisbeen heittäminen hyvin suurella kulmanopeudella ω vakauttaa sen lentoa. (Vinkki: lennossa kiekkoon kohdistuvat vääntömomentit aiheutuvat pääosin paine-eroista kiekon pinnoilla; voit olettaa jotain niiden suuruusluokasta.) Apua saat tarvittaessa esim. seuraavista lähteistä: olympiavalmennuksen materiaali (ei täysin valmis, mutta sisältää johdannon pyörimiseen) (yleistä kertausta pyörimisliikkeestä ja johdatus prekessioon) Uudenvuoden tina Fyysikon uudenvuoden tinasta syntyy kaksi johtavaa palloa, joiden säteet ovat R L ja R S. Fyysikko yhdistää pallot ohuella ja pitkällä johdelangalla, jolloin ne ovat samassa potentiaalissa ja hyvin kaukana toisistaan. Johdelanka on niin ohut, että siihen asettuva varaus voidaan jättää huomiotta. Kun pallojen kesken jaetaan varaus Q, mikä on pallojen pintavaraustiheyksien σ L ja σ S (yksikkö C/m²) suhde?

3 3 - Putoava köysi Köysi, jonka pituus on L ja kokonaismassa M, roikkuu vaa an yllä siten, että köyden häntä koskettaa juuri ja juuri vaakaa. Massa on jakautunut köyteen tasaisesti. Köyden annetaan vapaasti pudota. Kun pituus x (x < L) köydestä on pudonnut vaa alle, mikä on vaa an lukema (ts. köyden vaakaan kohdistama voima)? Vinkki: tutki kokonaisvoimaa köyden liikemäärän muutoksena. Sinun tulisi käsitellä voimaa kahtena komponenttina. 4 Kristallografia Braggin laki kuvaa kuinka sähkömagneettinen säteily siroaa kiteestä. Braggin lailla voidaan laskea sirottavien tasojen välinen välimatka ja yleisemmin kiderakenne, kun tunnetaan säteilyn aallonpituus ja diffraktiomaksimien paikat (eli säteen tulokulma): missä d on heijastustasojen välimatka, θ on säteen tulokulma heijastuspintaan verrattuna, m on aallonpituuden monikerta (m= 1,2,3...) ja λ tulevan säteilyn aallonpituus. Tuntematonta kiinteää kidettä pommitetaan 3EHz:n taajuisella röntgensäteilyllä, jolloin osa röntgensäteestä heijastuu kiteestä 50,6 o :n kulmassa säteen alkuperäisestä suunnasta poikkeutuneena. a) Miksi voisimme kiteestä muodostuneen aineen tulkita, jos oletamme, että kidemuoto on yksinkertainen ja kuutiollinen? b) Selitä esim. piirroksen avulla, miksi 50,6 ei ole ainoa suunta, johon säteitä heijastuu kiteestä.,

4 5 Hyppääjä Tutkitaan pistemäistä hyppääjää, joka kykenee hyppäämään vauhdilla v 0 maan pinnalta mihin suuntaan tahansa. Kuinka korkealle hän voi enintään hypätä? Entä kuinka kauas? Mikä on tämän hyppääjän pituus- ja korkeushyppyennätysten suhde? Pituushypyn maailmanennätys on 8,95 m ja korkeushypyn 2,45 m. Miten tulosten suhde eroaa yksinkertaistetusta hyppääjästämme ja miksi? 6 Magneettinen meteoriitti Magneettikentälle tutuin suure on B = magneettivuon tiheys, [T], kenttäviivojen tiheys magneettikentässä. Mikäli magneettikenttä ulottuu johonkin (ferro-, dia- tai para-) magneettiseen aineeseen, voi olla hyödyllisempää käyttää seuraavia suureita: H = magneettikentän voimakkuus on vektorisuure ja kuvaa magneettisuutta, [A/m], ts. voima jonka magneettikenttä kohdistaa yksikköpohjoisnapaa kohden. M = magnetoituma, kappaleen magneettinen momentti sen tilavuutta kohti [A/m]. Magnetoituma ja kenttävoimakkuus liittyvät dia- ja paramagneettisissa aineissa toisiinsa lineaarisesti, magneettisen suskeptibiliteetin χ m kautta: M = χ m H. Tällöin voidaan merkitä B = μh,missä μ [H/m] = [Tm/A] on aineen permeabiliteetti. Se kuvaa aineen kenttäviivatiheyden määrää suhteessa siinä olevan magneettikentän voimakkuuteen. Suhteellinen permeabiliteetti μ r taas on yksikötön suure, joka kuvaa aineen permeabiliteetin suuruutta tyhjiön permeabiliteettiin verrattuna seuraavalla yhteydellä:. tai magneettista suskeptibiliteettiä Magneettisen vuorovaikutuksen potentiaalienergia tilavuusyksikköä kohti saadaan yhtälöstä. Kuvitellaan, että meressä olisi ainoastaan tislattua, suolatonta vettä. Avaruudesta singahtaa 10 metrin syvyyteen merenpohjaan meteoriitti, joka sisältää ainoastaan ferromagneettisia aineita. Tutkijat tulkitsivat läpimitaltaan 0,15 m meteoriitin vastaavan ominaisuuksiltaan permalloyta (Ni75Fe25). Magneettikenttä merenpinnalla mitattiin 0,3T vahvuiseksi. a) Piirrä kaaviokuva vedenpinnasta magneetin yläpuolella; kuvan mittasuhteiden ei tarvitse olla oikeat. b) Mikä on veden pinnankorkeuden muutos magneetin kohdalla? Vinkki: veden pinnan täytyy olla tasapotentiaalipinta, joten veden pinnan muutoksen normaalikorkeudesta tulee kumoutua magneetin aiheuttamilla vaikutuksilla. c) Miten todellisuudessa merivesi käyttäytyy voimakkaassa magneettikentässä?

5 7 Punainen meri ja magnetismi Kuuluisassa Raamatun kertomuksessa Mooses ja pakenevat israelilaiset ovat ansassa faaraon lähestyvien joukkojen ja Punaisen meren välissä. Jumalallisen väliintulon ansiosta voimakas itätuuli puhaltaa koko yön jakaen meren niin, että Mooses ja israelilaiset pääsevät kulkemaan sen poikki. Kun faaraon armeija seuraa heitä, vedet vyöryvät paikoilleen ja hukuttavat sotilaat. Oletetaan, että Maan magneettikentät ja seisminen aktiivisuus olivat ihmeteon taustalla nostaen magneettista rautapitoista magmaa merenpohjaan. Kertomuksessa vesi väistyy 3km pitkältä ja 5 km leveältä alueelta. Syvyyttä väylälle on tiedemiesten piireissä arvioitu olevan pari metriä. a) Mikä olisi magneettilaatan pinta-ala? b) Kuinka voimakas magneettikentän täytyisi olla, että Punaisen meren legenda toteutuisi? Voit olettaa fiktiivisesti, että Punainen meri onkin tislattua, suolatonta vettä. c) Vertaile magneettikentän voimakkuuksia tiedossa oleviin todellisiin, luonnossa esiintyviin magneettikenttiin. Olisiko luonnollinen magneettikenttä voinut olla kaiken taustalla? (voit hyödyntää tehtävän 6 laskutapoja) 8 Ilmapallon punnitus Ilmapallon sisältämän ilman massaa on hankala selvittää vaa alla punnitsemalla. Yksi tapa massan mittaamiseen on saattaa kappale värähtelemään harmonisesti ja mitata värähdystaajuus. Jos ilmapalloon sujautetaan punnus (massa M) ja palloon puhalletaan ilmaa (tuntematon massa m), voidaan palloa roikottaa jousesta tai kuminauhasta (jousivakio k) ja mitata värähtelytaajuus T täysi. Kun pallosta sitten päästetään ilma ja toistetaan mittaus, saadaan värähtelytaajuus T tyhjä. a) Miksi oikeaa tulosta ei saada punnitsemalla tyhjää ja täyttä ilmapalloa? b) Esitä yhtälö edellä kuvatun mittauksen avulla saadulle ilmapallon sisältämän ilman massalle. 9 Jousipyssy Kuvan jousipyssyllä ammutaan pallo jyrkänteen laidalta. Kohde sijaitsee maassa etäisyydellä R jyrkänteen reunasta. Tasapainoasemassaan jousi on silloin, kun pallon keskipiste on juuri jyrkänteen laidalla. Ensiyrityksellä jousta puristetaan matkan d verran, mutta pallo jää etäisyyden r päähän kohteesta. Kuinka paljon jousta tulee puristaa, että pallo osuu kohteeseen?

6 10 Paahtoleipä Tutki voipuoli alaspäin putoavan paahtoleivän myyttiä kokeellisesti. Välineet: paahtoleipä, tussi, mittanauha, sekuntikello (kännykän tms. käy). Merkitse paahtoleivän toinen puoli tussilla voipuoleksi ja pudottaessasi leipää varmista, että tämä puoli on aluksi ylöspäin. Leivän voi esim. tönäistä varovasti pöydältä kädellä. Harjoittele, kunnes saat pudotettua leivän samalla tavalla pari kertaa peräkkäin. Mittaa paahtoleivän kulmanopeus. Määritä vaarallisten pöydänkorkeuksien joukko kokeellisesti tai laskennallisesti. Ennusta jokin korkeus, jolta pudotessaan leipä laskeutuu oikein päin.