1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.1 Mitä digitaalinen kuvankäsittely on

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.1 Mitä digitaalinen kuvankäsittely on"

Transkriptio

1 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1 Johdanto 1.1 Mitä digitaalinen kuvankäsittely on Kuva voidaan ajatella kaksiulotteiseksi funktioksi f(x, y), jossa x ja y ovat koordinaatit ja f:n arvo pisteessä (x, y) on kuvan intensiteetti tai harmaasävy tuossa pisteessä. Kun f:n, x:n ja y:n arvot ovat äärellisiä ja diskreettejä, puhutaan digitaalisesta kuvasta, ja digitaalisella kuvankäsittelyllä tarkoitetaan näiden kuvien käsittelemistä tietokoneella. Ihmisen näköaisti rajoittuu pieneen osaan sähkömagneettisen säteilyn spektristä. Tätä aluetta kutsutaan näkyväksi valoksi. Erilaiset kuvantamisjärjestelmät mahdollistavat kuitenkin sähkömagneettisen säteilyn kuvantamisen hyvin erilaisilta aallonpituuksilta gamma-aalloista radioaaltoihin. Digitaalinen kuva ei välttämättä perustu ollenkaan sähkömagneettiseen säteilyyn, mistä esimerkkejä ovat mm. ultraäänikuvat ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 1

2 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.1 Mitä digitaalinen kuvankäsittely on tai tietokonegrafiikka. Digitaaliseen kuvankäsittelyyn liittyvät olennaisesti mm. digitaalisen signaalinkäsittelyn ja konenäön alat. Digitaalisen kuvankäsittelyn ja konenäön rajaa ei ole helppo määritellä täsmällisesti, vaan hyödyllisempää on jakaa digitaalisten kuvien käsittely matalan, keski- ja korkean tason prosesseihin. Matalan tason prosesseissa sekä prosessin syöte että tulos ovat kuvia. Esimerkkejä matalan tason prosesseista ovat kohinan poisto kuvasta, kuvan terävöittäminen tai värikuvan muuttaminen väriavaruudesta toiseen. Keskitason prosesseja ovat mm. kuvan segmentointi (eli kuvan jakaminen mielekkäisiin pienempiin osiin) ja näiden osien kuvaaminen (description) eli esittäminen tunnistukseen sopivassa muodossa. Kuvan osien tunnistaminen tai luokittelu luetaan eri lähteissä joko keski- tai korkean tason prosessiksi. Kurssikirjassa näiden katsotaan olevan ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 2

3 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.2 Esimerkkejä digitaalisen kuvankäsittelyn hyödyntämisestä keskitason prosesseja. Korkean tason prosessien tavoite on kuvan tai sen tunnistettujen osien ymmärtäminen, ja mahdollisesti jonkinlainen päätöksenteko kuvan perusteella. Esimerkki korkean tason prosessoinnista voisi olla robotin ohjaaminen kamerasta tulevan kuvan perusteella. Yleensä kuten jatkossa tässäkin kurssissa digitaalisella kuvankäsittelyllä tarkoitetaan matalan tason sekä yksinkertaisimpia keskitason prosesseja. 1.2 Esimerkkejä digitaalisen kuvankäsittelyn hyödyntämisestä Gamma-säteiden kuvantamista käytetään hyväksi mm. lääketieteessä ja tähtitieteessä. Röntgensäteitä on hyödynnetty erityisesti lääketieteen kuvantamisessa jo ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 3

4 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.2 Esimerkkejä digitaalisen kuvankäsittelyn hyödyntämisestä pitkään. Perinteisten röntgenkuvien lisäksi röntgensäteiden avulla otetaan angiografia- eli verisuonikuvia sekä tietokonetomografiakuvia. Lääketieteen lisäksi röntgenkuvia käytetään tähtitieteessä sekä teollisuudessa mm. laaduntarkastukseen. Ultraviolettisäteilyn kuvantamista hyödynnetään mm. mikroskopiassa. Näkyvän valon ja infrapunasäteilyn kuvantaminen on arkielämästä kaikkein tutuinta: esimerkiksi digikamerat tai tavalliset skannerit perustuvat tähän. Arkisten sovellusten lisäksi näkyvän valon tai infrapunasäteilyn kuvantamista käytetään esim. kaukokartoitukseen (remote sensing) satelliiteista tai lentokoneista, visuaaliseen laaduntarkastukseen teollisuudessa tai erilaisiin automaattisiin tunnistustehtäviin kuten sormenjälkien tai rekisterikilpien tunnistukseen. Mikroaaltojen kuvantamisen selkeästi tärkein sovellus on tutka. Tutka perustuu mikroaaltojen lähettämiseen ja kohteesta heijastuvien aaltojen ilmaisuun antennin ja (digitaaalisen) signaalinkäsittelyjärjestelmän avulla. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 4

5 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.2 Esimerkkejä digitaalisen kuvankäsittelyn hyödyntämisestä Radioaaltoja samoin kuin spektrin toisessa päässä olevia gammasäteitä käytetään lähinnä tähtitieteen ja lääketieteen kuvantamisessa. Lääketieteessä radioaaltoja käytetään magneettiresonanssikuvien (MRI) ottamiseen ja tähtitieteessä taivaankappaleita voidaan kuvata radiotaajuuksilla siinä missä muillakin sähkömagneettisen säteilyn spektrin alueilla. Kuvassa 1 on kuvia Crab-nimisestä pulsarista, jotka on otettu sähkömagneettisen spektrin eri alueilla. Kuten kuvasta näkyy, pulsari näyttää aivan erilaiselta eri aallonpituusalueilla. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 5

6 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.2 Esimerkkejä digitaalisen kuvankäsittelyn hyödyntämisestä Kuva 1: Kuva Crab-pulsarista eri sähkömagneettisen spektrin alueilla kuvattuna. Vasemmalta oikealle: gamma-, röntgen-, näkyvän valon-, infrapuna- ja radiotaajuuksien alue Välttämättä kuvantamismenetelmä ei perustu lainkaan sähkömagneettiseen säteilyyn. Muita mahdollisia menetelmiä ovat mm. ääni (alle 100 Hz:n äänet geologiassa ja ultraäänikuvaus useissa sovelluksissa), elektronisuihku (elektronimikroskoopit) tai kuvien luominen tietokoneella (esim. fraktaalit). ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 6

7 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.3 Kuvankäsittelyn vaiheet 1.3 Kuvankäsittelyn vaiheet Erityisesti konenäkösovelluksissa kuvankäsittelyprosessi voidaan jakaa useaan vaiheeseen: 1. Kuvantaminen. Edellä käsiteltiin muutamia eri vaihtoehtoja digitaaliseen kuvanmuodostukseen. Menetelmästä riippumatta oletuksena yleensä on, että kuvantamisen tuloksena saadaan yksi- tai värikuvien tapauksessa useampikanavainen digitaalinen kuva. 2. Kuvan korostus tai entistäminen. Kuvan korostuksen tarkoituksena on saada kuva näyttämään paremmalta tai käyttötarkoitukseensa sopivammalta. Esimerkkejä kuvan korostusmenetelmistä ovat kuvan kontrastin lisääminen ja kuvan terävöittäminen. Kuvan entistämisessä lähtökohtana on, että kuvaan on kuvantamisessa tai jossain muussa vaiheessa tullut häiriö, jota pystytään jollain tavoin mallintamaan, ja tätä mallia käyttäen häiriön vaikutus pyritään poistamaan tai sitä ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 7

8 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.3 Kuvankäsittelyn vaiheet pyritään vähentämään. 3. Segmentointi lähtee oletuksesta, että kuva koostuu useista mielekkäistä itsenäisistä osista (kuten varsinaisesta kuvattavasta kohteesta ja taustasta). Segmentoinnin tarkoituksena on erottaa nämä osat toisistaan. Automaattinen segmentointi on useissa sovelluksissa erittäin vaikeaa, mutta toisaalta segmentointi on kriittinen osa kuvankäsittelyprosessia, sillä epäonnistunut segmentointi johtaa pääsääntöisesti koko järjestelmän suorituskyvyn romahtamiseen. 4. Representaatio. Kuvan segmentoinnin jälkeen tuloksena on kutakin kuvan osaa esittävä pikselijoukko. Representaatio tarkoittaa näiden osien esittämistä erilaisten piirteiden avulla, toisin sanoen muodossa, joka sopii jatkokäsittelyyn ja tunnistukseen parhaiten. 5. Luokittelu ja tunnistus. Kuvan osat pyritään luokittelemaan edellisessä vaiheessa laskettujen piirteiden perusteella. Esimerkiksi videokuvaan ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 8

9 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.3 Kuvankäsittelyn vaiheet perustuvassa liikennelaskentasovelluksessa pyritään tunnistamaan kuvasta ajoneuvot tai satelliittikuvasta etsitään automaattisesti peltoalueita. Kaikkia edellämainittuja vaiheita tarkastellaan tällä kurssilla. Muita digitaalisen kuvankäsittelyn alueita, joihin kurssilla perehdytään, ovat 1. Värikuvien käsittely. Suurimmassa osassa kurssia oletuksena on, että käsiteltävät kuvat ovat yksikanavaisia eli harmaasävykuvia. Monikanavaisten eli värikuvien käsittely on muuttunut jatkuvasti yhä tärkeämmäksi osaksi digitaalista kuvankäsittelyä, ja joiltain osin se eroaa harmaasävykuvien käsittelystä. 2. Aallokkeet. Aallokkeita käytetään moniin tarkoituksiin digitaalisessa kuvankäsittelyssä. 3. Kuvan kompressointi. Kompressoinnin eli pakkauksen tarkoituksena on vähentää kuvan esittämiseen tarvittavaa bittimäärää tallennus- tai ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 9

10 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.3 Kuvankäsittelyn vaiheet tiedonsiirtokapasiteetin säästämiseksi. Kompressoinnissa käytetään hyväksi kuvassa esiintyvää toistoa eli redundanssia. 4. Morfologiset operaattorit perustuvat matemaattiseen morfologiaan. Niitä hyödynnetään mm. binäärikuvien käsittelyssä sekä kuvan segmentoinnissa ja representaatiossa. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 10

11 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2 Digitaalisen kuvan perusteet 2.1 Havaitseminen Digitaalinen kuvankäsittely perustuu suurelta osin formaaliin matemaattiseen käsittelyyn, mutta toisaalta intuitio ja käytännönläheinen analyysi ovat tärkeitä käytettyjen menetelmien valinnassa. Tästä syystä ihmisen näköjärjestelmän tunteminen on oleellista kuvankäsittelyssä. Seuraavassa käsitellään ihmissilmän rakennetta, kuvanmuodostusta silmässä sekä silmän sopeutumista valaistusolosuhteisiin. Ihmissilmän rakenne on esitetty kuvassa 2. Silmän kuori muodostuu kolmesta kerroksesta: Sarveiskalvo ja kovakalvo muodostavat uloimman kerroksen. Näistä sarveiskalvo muodostaa suurimman osan silmän taittovoimasta. Silmän osat saavat ravinteensa suonikalvon verisuonista. Sisimpänä olevan verkkokalvon ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 11

12 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.1 Havaitseminen valoherkät solut tuottavat varsinaisen näköaistimuksen. Iiriksen keskellä oleva aukko, pupilli, säätelee silmään tulevan valon määrää. Pupillin halkaisija vaihtelee noin kahdesta kahdeksaan millimetriin. Sädekehän lihakset säätelevät mykiön paksuutta. Mykiö toimii silmässä linssinä. Verkkokalvolla on kahdenlaisia soluja: Tappi- ja sauvasoluja. Tappisolut ovat keskittyneet pääasiassa verkkokalvon keskellä olevalle tarkan näön alueelle, ja ne ovat herkkiä värille. Tappisoluihin perustuvaa näköä kutsutaan fotooppiseksi tai päivänäkemiseksi. Sauvasolut sen sijaan ovat levittäytyneet melko tasaisesti verkkokalvolle. Ne eivät ole herkkiä valon eri aallonpituuksille eli väreille, ja ne vaativat toimiakseen huomattavasti vähemmän valoa kuin tappisolut. Sauvasoluihin perustuvaa näköä kutsutaan skotooppiseksi tai hämäränäöksi. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 12

13 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.1 Havaitseminen Kuva 2: Yksinkertaistettu kuva ihmissilmän rakenteesta ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 13

14 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.1 Havaitseminen Terävän kuvan muodostuminen silmässä perustuu siihen, että linssinä toimiva silmän mykiö muuttaa muotoaan sädekehän lihasten ohjaamana. Linssin polttoväli vaihtelee noin 14:n ja 17:n mm:n välillä. Kun ihminen katsoo kohdetta joka on yli 3 metrin päässä, mykiö on litteimmillään ja sen polttoväli pisimmillään. Kun kohde on lähempänä silmää, linssi muuttuu paksummaksi ja samalla polttoväli lyhenee. Ihmissilmä kykenee havaitsemaan valtavan suuren skaalan eri kirkausasteita: häikäisyrajalla valon intensiteetti on noin kertainen skotooppisen näön alarajaan verrattuna. Silmä ei kuitenkaan kykene havaitsemaan kaikkia näitä kirkkauksia kerralla vaan se adaptoituu tietylle kapeammalle sävyalueelle iiriksen koon muuttumisen ja verkkokalvon solujen adaptaation seurauksena. Kun silmä on adaptoitunut tietylle intensiteettialueelle, tätä aluetta tummemmat kohteet näkyvät mustina ja toisaalta sitä kirkkaamman valon tuleminen silmään aiheuttaa silmän adaptoitumisen yhä kirkkaammille intensiteeteille. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 14

15 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.1 Havaitseminen Koska digitaalisen kuvan arvot ovat diskreettejä, on olennainen ja mielenkiintoinen kysymys, kuinka monta eri harmaasävyä ihminen voi havaita eli kuinka paljon kahden harmaan kohteen intensiteetin tulee poiketa, jotta ihminen kokee ne erisävyisiksi. Tätä voidaan mitata esimerkiksi kuvan 3 järjestelyllä. Tässä taustan intensiteetti on I ja keskellä vilautetaan I:n verran kirkkaampaa aluetta. Pienintä muutosta, jolla koehenkilö havaitsee muutoksen 50 %:ssa kokeista, merkitään I c :llä. Nyt arvoa I c /I kutsutaan Weberin suhteeksi. Pieni Weberin suhde tarkoittaa, että pienet muutokset havaitaan ja suuri suhde, että vain suuret muutokset havaitaan. On huomattu, että Weberin suhteen arvo riippuu I:stä. Weberin suhde pienenee kun taustan intensiteetti kasvaa. Kerrallaan, yhdessä kohdassa ihmissilmä voi havaita korkeintaan parikymmentä eri harmaasävyä. Näin vähäinen määrä harmaasävyjä ei kuitenkaan riitä korkealaatuisen harmaasävykuvan esittämiseen, sillä katse kiertelee kuvassa ja eri kohdissa silmä adaptoituu erilaisten ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 15

16 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.1 Havaitseminen harmaasävyalueiden havaitsemiseen. Korkealaatuisen kuvan esittämiseen vaaditaankin yleensä yli 100 intensiteettitasoa. Ι Ι+ Ι Kuva 3: Koejärjestely, jolla mitataan harmaasävyjen erottelukykyä Havaittu, subjektiivinen intensiteetti ei usein riipu suoraan todellisesta, mitatusta valon intensiteetistä. Ensinnäkin on havaittu, että subjektiivinen intensiteetti on likimain absoluuttisen intensiteetin logaritmi. Lisäksi erilaiset optiset illuusiot kuten Machin nauhat ja kuvassa 4 esitetty ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 16

17 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.1 Havaitseminen suhteellisesta kontrastista johtuva harha haittaavat harmaasävyjen havaitsemista. Kuva 4: Absoluuttisten harmaasävyjen havaitsemiseen liittyvä harha: kuvan ruudut A ja B ovat absoluuttiselta harmaasävyltään samat. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 17

18 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.2 Valo ja sähkömagneettinen spektri 2.2 Valo ja sähkömagneettinen spektri Sähkömagneettista spektriä käsiteltiin edellisessä luvussa. Spektri jaetaan lyhyemmästä aallonpituudesta pidempään päin lueteltuna gamma-, röntgen-, ultravioletti-, näkyvän valon, infrapuna-, mikroaalto- ja radioaaltoalueisiin. Säteilyn taajuus ν ja aallonpituus λ liittyvät toisiinsa yhtälöllä λ = c ν, (2.2-1) jossa c on valon nopeus. Yhden fotonin energia riippuu myös taajuudesta: jossa h on Planckin vakio. E = hν, (2.2-2) Näkyvän valon aallonpituus on välillä 0, 43µm 0, 79µm. Värispektri voidaan jakaa kuuteen alueeseen (lyhyimmästä aallonpituudesta alkaen): violetti, sininen, vihreä, keltainen, oranssi ja punainen. Siirtymät näiden ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 18

19 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.2 Valo ja sähkömagneettinen spektri välillä eivät luonnollisesti ole teräviä vaan väri muuttuu toiseksi vähitellen aallonpituuden muuttuessa. Väriä tarkastellaan tarkemmin luvussa 6. Se, minkä värisenä jokin kohde havaitaan, riippuu sekä kohteen valaisuun käytetyn valon väristä että kohteen heijastusominaisuuksista. Valkoinen valo sisältää käytännössä kaikkia näkyvän valon aallonpituuksia, ja esimerkiksi vihreinä havaittavat kohteet heijastavat valoa, jonka aallonpituus on välillä nm, ja absorboivat muilla aallonpituusalueilla olevan valon. Siitä heijastuu siis pääasiassa vihreää väriä vastaavia aallonpituuksia. Säteilyn aallonpituuden lisäksi sen määrällä on merkitystä. Eritysesti näkyvä valon ollessa kyseessä valon määrää kuvataan termeillä radianssi, luminanssi ja kirkkaus. Radianssi mittaa, kuinka paljon energiaa säteilylähteestä virtaa. Radianssin mittayksikkö on watti. Luminanssi mittaa havaitsijan havainnoimaa intensiteettiä. Esimerkiksi infrapunasäteilyn ollessa kyseessä säteilylähteen radianssi voi olla huomattavan suuri, mutta ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 19

20 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.2 Valo ja sähkömagneettinen spektri lähde on hädin tuskin havaittavissa ihmissilmällä eli sen luminanssi on lähes nolla. Kirkkaus taas tarkoittaa havaitsijan kokemaa harmaasävyä. Kuten edellä todettiin, kirkkaus on subjektiivinen käsite ja siihen vaikuttavat monenlaiset tekijät eikä se ole helposti mitattavissa. Periaatteessa, mikäli voidaan kehittää sensori, joka mittaa energiaa tietyllä sähkömagneettisen spektrin alueella, voidaan tällä alueella säteileviä tai säteilyä heijastavia kohteita kuvantaa. Erityisesti mikroskopian alueella on kuitenkin huomattava, että nähdäkseen tietyn kohteen säteilyn aallonpituuden tulee olla samaa luokkaa tai pienempi kuin kohteen koko. Esimerkiksi vesimolekyylin läpimitta on luokkaa m, joten vesimolekyylien tutkimiseen tarvitaan sähkömagneettista säteilyä, jonka aallonpituus on tuota luokkaa tai pienempi, eli esimerkiksi röntgensäteitä. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 20

21 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.3 Kuvantaminen 2.3 Kuvantaminen Kuvantamisessa sensori mittaa kuvattavasta kohteesta tietyllä spektrin alueella tulevaa säteilyä. Sensorin vaste riippuu jollain tavalla (ei välttämättä lineaarisesti) sensoriin tulevan säteilyn määrästä. Sensorin vaste muutetaan digitaaliseen muotoon ja yleensä sille suoritetaan joitain signaalinkäsittelyoperaatioita halutunlaisen kuvan saamiseksi. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 21

22 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.3 Kuvantaminen Kuva 5: 2-ulotteinen kuva voidaan muodostaa käyttämällä yksittäissensoria jota voidaan liikuttaa suhteessa kuvattavaan kohteeseen. Kuvassa 5 on esimerkki yksittäissensorista. Yksittäissensori voi olla esimerkiksi valodiodi. Kaksiulotteisen kuvan saamiseksi yksittäissensoria on liikutettava sekä x- että y-suunnassa. Tämän järjestelyn hyvä puoli on, että mekaanista liikettä voidaan kontrolloida sopivalla laitteistolla erittäin tarkasti, joten erittäin korkean tarkkuuden kuvien ottaminen on mahdollista (joskin hitaasti). ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 22

23 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.3 Kuvantaminen Yksittäissensoreita käyteteään myös lasereiden kanssa. Laserista tuleva säde ohjataan liikuteltavien peilien avulla kohteeseen ja sieltä heijastuva valo edelleen sensoriin. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 23

24 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.3 Kuvantaminen Kuva 6: Esimerkkejä viivasensoreista ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 24

25 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.3 Kuvantaminen Viivasensoreista on esimerkkejä kuvassa 6. Viivasensoreita käytettäessä sensoria tarvitsee liikuttaa enää yhdessä suunnassa kaksiulotteisen kuvan saamiseksi. Lääketieteen kuvantamisessa (tietokonetomografiassa, sekä MRI- ja PET-kuvauksessa) käytetään kuvassa oikealla puolella olevaa järjestelyä: Säteilylähde pyörii kuvattavan kohteen ympärillä ja vastapuolella on ko. säteilylle herkkä sensori. Kun mittauksia otetaan useissa eri suunnissa, sensorien vasteesta voidaan laskea kohteen poikkileikkauskuva nk. käänteisellä Radon-muunnoksella. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 25

26 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.3 Kuvantaminen Kuva 7: Kuvantaminen matriisisensorilla ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 26

27 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.3 Kuvantaminen Tavallisissa digitaalikameroissa ym. vastaavissa laitteissa käytetään sensorimatriisia, jossa on valoherkkiä sensoreita m n elementin matriisissa. Sensoritekniikasta riippuen värikuvia otettaessa tarvitaan yleensä useita sensoreita kuvapistettä kohti eri värikomponenttien mittaamiseksi. Kuvassa 7 on tyypillinen kuvausjärjestely sensorimatriisia käytettäessä: Valonlähteestä tuleva valo (tai muu sähkömagneettinen säteily) heijastuu kuvattavasta kohteesta, kulkee linssi- tai muun kuvantamisjärjestelmän läpi kuvatasolle, jossa on säteilylle herkkiä sensoreita. Sensorit integroivat niihin tulevaa säteilyenergiaa tietyn ajan (valotusajan) yli, jonka jälkeen kuvasignaali on luettavissa matriisista analogisessa muodossa. Lopuksi analoginen signaali muuutetaan digtaaliseksi A/D-muunnoksessa, jota tarkastellaan seuraavassa kappaleessa. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 27

28 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.3 Kuvantaminen Kuvanmuodostus Harmaasävykuva voidaan ymmärtää kaksiulotteiseksi funktioksi f(x, y), 0 < f(x, y) < (2.3-1) joka kuvaa kuvattavasta kohteesta kuvantamisjärjestelmään tulevan säteilyn määrää. Useimmissa tapauksissa f voidaan jakaa kahteen komponenttiin: valaistuskomponenttiin i(x, y) joka kuvaa säteilylähteestä kuvattavaan kohteeseen tulevan säteilyn määrää ja heijastuskomponenttiin r(x, y) joka kuvaa kuinka hyvin kuvattava kohde heijastaa säteilyä. Kuva f voidaan siis esittää tulona f(x, y) = i(x, y)r(x, y), (2.3-2) jossa 0 < i(x, y) < (2.3-3) ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 28

29 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.4 Kuvan näytteenotto ja kvantisointi ja 0 < r(x, y) < 1. (2.3-4) 2.4 Kuvan näytteenotto ja kvantisointi Kuvantamisjärjestelmään tuleva signaali on jatkuva sekä paikan että intensiteetin suhteen. Digitaalisessa kuvassa sekä koordinaattien että kuvafunktion arvot ovat diskreettejä. Kuvan diskretoimista paikan suhteen kutsutaan näytteistämiseksi ja intensiteetin (amplitudin, kuvafunktion arvon) diskretoimista kvantisoinniksi. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 29

30 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.4 Kuvan näytteenotto ja kvantisointi N y M 1 x Kuva 8: Tässä kurssissa kuvatason koordinaatisto valitaan seuraavasti: x- akselin positiivinen suunta on vasemmasta yläkulmasta alaspäin ja y-akselin positiivinen suunta vasemmasta yläkulmasta oikealle. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 30

31 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.4 Kuvan näytteenotto ja kvantisointi Olkoon aluperäinen jatkuva kuvafunktio f(x, y). Siitä otettuja näytteitä f(x 0 + x x, y 0 + y y), 0 x M 1, 0 y N 1 kutsutaan näytteistetyksi funktioksi. Huomaa, että kurssikirjan mukaisesti tässä kurssissa käytetään koordinaatteja x ja y välillä kuvaamaan jatkuvan funktion koordinaatteja ja välillä näytteistetyn funktion indeksejä. Kuvankäsittelyssä yleisesti käytetty koordinaattien merkitsemistapa poikkeaa matematiikan käytännöstä. Tässä kurssissa käytetty koordinaatisto on esitelty kuvassa 8. Näytteistettyä kuvaa käsitellään usein myös ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 31

32 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.4 Kuvan näytteenotto ja kvantisointi M N-matriisina: f(0, 0) f(0, 1)... f(0, N 1) f(1, 0) f(1, 1)... f(1, N 1) f(x, y) = f(m 1, 0) f(m 1, 1)... f(m 1, N 1) (2.4-1) Huomaa, että kurssissa käytetty kuvatason koordinaatiston valinta vastaa matriisilaskennassa perinteisesti käytettyjä indeksejä. Analogia-digitaalimuunnoksessa alkuperäisen kuvafunktion arvot kvantisoidaan tietylle määrälle harmaasävytasoja. Alkuperäisen funktion intensiteettiarvot [L min, L max ] kvantisoidaan välille 0,...,L 1. Rajaa L min pienemmät ja rajaa L max suuremmat intensiteetit leikkautuvat eli saavat arvon 0 tai L 1 kvantisoidussa funktiossa. Kuvassa 9 on esimerkki tasavälisestä kvantisoinnista: alkuperäinen funktion arvot kuvautuvat ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 32

33 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.4 Kuvan näytteenotto ja kvantisointi arvoiksi 0, 1....,7. Digitaaliset kuvat esitetään yleensä binäärimuodossa, joten käytännön syistä kvantisointitasojen määrä L valitaan usein siten, että se on 2:n potenssi: L = 2 k. (2.4-3) Nyt ilman kompressiota digitaalisen kuvan esittämiseen tarvitaan b = M N k (2.4-4) bittiä. Esimerkiksi 256:m harmaasävyn pikselin kuvan esittäminen vaatii bittiä = 256 kilotavua. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 33

34 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.4 Kuvan näytteenotto ja kvantisointi kvantisoitu arvo alkuperäinen arvo Kuva 9: Esimerkki kvantisointifunktiosta, joka kvantisoi alkuperäisen funktion arvot tasavälisesti 8 kvantisointitasolle. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 34

35 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.5 Pikseleiden välisiä yhteyksiä 2.5 Pikseleiden välisiä yhteyksiä Pikselin p = (x, y) 4-naapurit ovat ja sen diagonaalinaapurit ovat (x + 1, y), (x 1, y), (x, y + 1), (x, y 1) (x + 1, y + 1), (x + 1, y 1), (x 1, y + 1), (x 1, y 1). Pisteen 4-naapureita merkitään N 4 (p):llä ja diagonaalinaapureita N D (p):llä. Diagonaali- ja 4-naapurit yhdessä muodostavat pisteen 8-naapurit, N 8 (p):n, ks. kuva 10. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 35

36 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.5 Pikseleiden välisiä yhteyksiä N 4(p) N (p) D N (p) 8 Kuva 10: Pisteen p 4-, diagonaali- ja 8-naapurit. Jotta kaksi pistettä olisivat vierekkäisiä (adjacent), niiden täytyy olla naapureita ja lisäksi niiden harmaasävyjen täytyy täyttää määrätty samanlaisuuskriteeri. Jos V :llä merkitään sitä harmaasävyjen joukkoa, jotka täyttävät samanlaisuuskriteerin (esim. voidaan määrätä, että V :hen kuuluvat harmaasävyt 0 30), 4-, 8- ja m-vierekkäisyys määritellään seuraavasti: 4-vierekkäisyys. Pisteet p ja q ovat 4-vierekkäisiä, jos niiden harmaasävyarvot kuuluvat V :hen ja q kuuluu N 4 (p):hen. 8-vierekkäisyys. Pisteet p ja q ovat 8-vierekkäisiä, jos niiden ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 36

37 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.5 Pikseleiden välisiä yhteyksiä harmaasävyarvot kuuluvat V :hen ja q kuuluu N 8 (p):hen. m-vierekkäisyys. Pisteet p ja q ovat m-vierekkäisiä, jos niiden harmaasävyarvot kuuluvat V :hen ja 1. q kuuluu N 4 (p):hen tai 2. q kuuluu N D (p):hen ja joukkoon N 4 (p) N 4 (q) ei kuulu pikseleitä joiden harmaasävyarvo on V :ssä (a) (b) (c) Kuva 11: Esimerkki pisteiden välisestä vierekkäisyydestä kun V = {1} ja käytetään (a) 4-vierekkäisyyttä, (b) 8-vierekkäisyyttä, (c) m-vierekkäisyyttä. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 37

38 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.5 Pikseleiden välisiä yhteyksiä Polku pisteestä p = (x, y) pisteeseen q = (s, t) on jono erillisiä pisteitä (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),...,(x n, y n ) siten että p = (x, y) = (x 0, y 0 ) sekä q = (s, t) = (x n, y n ), ja pisteet (x i 1, y i 1 ) ja (x i, y i ) ovat vierekkäisiä kun 1 i n. Olkoon S joukko pikseleitä kuvassa. Nyt p ja q ovat liittyneitä (connected) S:ssä jos on olemassa polku p:stä q:hun siten että kaikki polun pisteet ovat S:ssä. Olkoon p piste S:ssä. Tällöin niiden pisteiden joukkoa, jotka ovat liittyneitä p:hen S:ssä kutsutaan S:n liittyneeksi komponentiksi. Jos S koostuu tasan yhdestä liittyneestä komponentista, S:ää kutsutaan liittyneeksi joukoksi. Liittynyttä joukkoa kutsutaan kuvan alueeksi (region). Alueen R rajan (boundary, border, contour) muodostavat ne pisteet, joilla on vähintään yksi naapuri, joka ei ole R:ssä sekä ne R:n pisteet jotka ovat samalla koko kuvan reunapisteitä. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 38

39 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.5 Pikseleiden välisiä yhteyksiä Kuvan alueisiin liittyy oleellisesti myös reunan (edge) käsite. Rajan ja reunan oleellinen ero on, että raja on alueeseen liittyvä globaali käsite, ja se muodostaa suljetun polun kuvassa. Reuna sen sijaan on paikallinen käsite, ja sillä tarkoitetaan paikallista epäjatkuvuutta kuvan harmaasävyarvoissa. Reunojen ilmaisua käsitellään kappaleessa Etäisyysmittoja Olkoot p, q ja z kuvapisteitä, koordinaatteina (x, y), (s, t) ja (u, v). D on etäisyysfunktio eli metriikka, jos 1. D(p, q) 0 (D(p, q) = 0, jos ja vain jos p = q), 2. D(p, q) = D(q, p) ja 3. D(p, z) D(p, q) + D(q, z) (kolmioepäyhtälö). ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 39

40 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.5 Pikseleiden välisiä yhteyksiä p:n ja q:n välinen Euklidinen etäisyys: D e (p, q) = (x s) 2 + (y t) 2. (2.5-1) D 4 -etäisyys (city block, Manhattan distance): D 8 -etäisyys (chessboard): D 4 (p, q) = x s + y t. (2.5-2) D 8 (p, q) = max( x s, y t ). (2.5-3) On syytä huomata, että edellä esitettyjen etäisyysmittojen arvo ei riipu lainkaan kuvapisteiden harmaasävyistä; etäisyys lasketaan pelkästään koordinaattien avulla. Lisäksi voidaan määritellä kuvapisteiden arvoista riippuva etäisyys, D m -etäisyys, joka tarkoittaa lyhyimmän mahdollisen p:stä q:hun kulkevan m-polun pituutta. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 40

41 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.6 Lineaariset ja epälineaariset operaatiot (a) (b) (c) Kuva 12: Esimerkkejä etäisyysmitoista. Ympyröityjen pisteiden välinen etäisyys (a), (b)- ja (c)-kohdassa on D e -mitalla 2 2, D 4 -mitalla 4 ja D 8 -mitalla 2. D m -mitalla etäisyys on (a)-kohdassa 2, (b)-kohdassa 3 ja (c)-kohdassa Lineaariset ja epälineaariset operaatiot Olkoon H operaattori, jonka syöte ja tulos ovat kuvia. H on lineaarinen operaattori, jos mille tahansa kuville f ja g sekä mille tahansa skalaareille a ja b pätee H {af + bg} = ah {f} + bh {g}. (2.6-1) ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 41

42 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.6 Lineaariset ja epälineaariset operaatiot Mikäli em. yhtälö ei päde, operaattorin sanotaan olevan epälineaarinen. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 42

43 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3 Kuvan korostus paikkatasossa Kuvan korostuksen tavoitteena on prosessoida kuvaa siten, että tuloskuva on valittuun sovellutukseen käyttökelpoisempi kuin alkuperäinen kuva. Kuvan korostusmenetelmät voidaan jakaa paikka- ja taajuustason menetelmiin. Tässä luvussa käsitellään paikkatason menetelmiä. 3.1 Taustaa Paikkatasolla tarkoitetaan sitä pikseleiden joukkoa, joka muodostaa varsinaisen kuvan. Paikkatason menetelmät käyttävät suoraan näiden pikseleiden arvoja kuvan prosessointiin. Paikkatason operaattori voidaan määritellä yhtälöllä g(x, y) = T [f(x, y)], (3.1-1) ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 43

44 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.2 Harmaasävymuunnoksia missä f(x, y) on syötekuva, g(x, y) on tuloskuva ja T on paikkatason operaattori, joka on määritelty jossain (x, y)-tason naapurustossa. T voi käyttää syötteenään yhden kuvan sijaan myös useampaa kuvaa, esimerkiksi jos T -operaatio määritellään usean syötekuvan keskiarvoistamiseksi. Paikkatason menetelmien perusajatus on, että prosessointi aloitetaan esim. kuvan vasemmasta yläkulmasta ja kunkin pikselin prosessoinnissa käytetään hyväksi syötekuvasta ko. pikselin ympärillä määritellyn suorakaiteen tai neliön muotoisen naapuruston harmaasävyjä. Tämän jälkeen naapurustoa siirretään pikselin verran oikealle ja käsitellään seuraava piste, jne. 3.2 Harmaasävymuunnoksia Yksinkertaisimmassa tapauksessa edellä mainitun naapuruston koko on 1 1, jolloin tuloskuvan pikselin arvo riippuu ainoastaan kyseisen pikselin arvosta lähtökuvassa. Tämä operaatio voidaan määritellä harmaasävyjen ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 44

45 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.2 Harmaasävymuunnoksia muunnosfunktiona s = T(r), (3.1-2) missä r on syötekuvan f(x, y) harmaasävy ja s on harmaasävy tuloskuvassa g(x, y). Seuraavassa esitellään eräitä keskeisimpiä harmaasävymuunnoksia. Negatiivikuva Olkoon syötekuvassa harmaasävyjä välillä [0, L 1]. Tällöin kuvan negatiivikuva saadaan harmaasävymuunnoksella s = L 1 r. (3.2-1) Tällä muunnoksella voidaan korostaa erityisesti pieniä vaaleita harmaasävyalueita, jotka ovat tummien alueiden ympäröimiä. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 45

46 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.2 Harmaasävymuunnoksia Logaritmi Logaritmimuunnos määritellään yhtälöllä s = c log(1 + r), (3.2-2) missä c on vakio. Tämä muunnos kuvaa kapean alueen pieniä harmaasävyjä lähtökuvassa laajemmalle alueelle harmaasävyjä tuloskuvassa ja päin vastoin. Toisin sanoen, muunnos on käyttökelpoinen kun mielenkiintoinen informaatio kuvassa on keskittynyt harmaasävyalueen alapäähän. Eksponentiaalinen muunnos Eksponentiaalinen harmaasävymuunnos määritellään yhtälöllä s = cr γ, (3.2-3) ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 46

47 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.2 Harmaasävymuunnoksia missä c ja γ ovat positiivisia vakioita. Useiden kameroiden, näyttöjen, jne vaste on edellämainitun yhtälön mukainen, joten vastaavanmuotoinen gamma-korjaus tehdään harmaasävyarvoille lineaarisen vasteen saavuttamiseksi. Paloittain lineaariset muunnokset Paloittain määriteltyjä lineaarisia muunnoksia voidaan käyttää halutun harmaasävyalueen korostamiseen. Esimerkkejä paloittain määritellyistä lineaarisista muunnoksista on kuvassa 13. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 47

48 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.2 Harmaasävymuunnoksia (r 2, s 2 ) s s s (r, s ) 1 1 r (a) r (b) r (c) Kuva 13: Esimerkkejä paloittain määritellyistä lineaarisista harmaasävymuunnoksista: (a) kontrastin venytys, (b) ja (c) erilaisia vaihtoehtoja intensiteetin viipalointiin. Kontrastin venytyksellä voidaan lisätä kuvan harmaasävydynamiikkaa. Pisteet (r 1, s 1 ) ja (r 2, s 2 ) määrittävät kuvauksen. Kun r 1 = s 1 ja r 2 = s 2, kyseessä on lineaarinen kuvaus, joka ei muuta kuvan harmaasävyjä. Jos taas ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 48

49 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.2 Harmaasävymuunnoksia r 1 = r 2, s 1 = 0 ja s 2 = L 1, saadaan kynnystysfunktio joka kuvaa r 1 :tä pienemmät harmaasävyt mustaksi ja sitä suuremmat valkoiseksi. Valitsemalla näiden kahden ääritapauksen väliltä saadaan erilaisia kuvan kontrastia lisääviä funktioita. Intensiteetin viipalointi korostaa kuvan tiettyä harmaasävyaluetta. Kuvan 13 (b) mukainen kuvaus korostaa määrättyä aluetta ja säilyttää muut harmaasävyt ennallaan, ja kuvan 13 (c) mukainen kuvaus esittää halutun harmaasävyalueen kirkkaana ja kaikki muut harmaasävyt tummana. Bittitasojen viipaloinnissa esitetään harmaasävykuvan määrätyn bitin arvot mustavalkokuvana. Tätä voidaan hyödyntää esimerkiksi arvioitaessa, kuinka monen bitin tarkkuudella kuva pitää esittää jotta riittävä määrä yksityiskohtia saadaan säilytettyä. Esimerkki bittitason viipaloinnista on kuvassa 14. Kuten esimerkistä huomaa, tärkein informaatio on muutamaa eniten merkitsevää bittiä vastaavilla bittitasoilla, ja matalammilla tasoilla on pääasiassa pienempiä yksityiskohtia ja kohinaa. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 49

50 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.2 Harmaasävymuunnoksia ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 50

51 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi 3.3 Histogrammin prosessointi Olkoon kuvassa harmaasävyjä [0, L 1]. Tällöin kuvan histogrammi on diskreetti funktio h(r k ) = n k, jossa r k on harmaasävy välillä [0, L 1] ja n k on niiden kuvapisteiden lukumäärä, joiden harmaasävyarvo on r k. Normalisoidussa histogrammissa arvot on jaettu kuvapisteiden kokonaismäärällä n, eli p(r k ) = n k /n. Vapaasti tulkittuna normalisoitu histogrammi antaa estimaatin kunkin sävyn esiintymistodennäköisyydestä kuvassa. Histogrammin muoto antaa hyödyllistä infomaatiota kuvasta esim. kontrastin korostustarpeita silmälläpitäen. Esimerkkejä erilaisista harmaasävykuvista ja niiden histogrammeista on kuvassa 15. Histogrammin laskenta on yksinkertaista, joten histogrammeihin perustuvia kuvankäsittelymenetelmiä käytetään paljon reaaliaikaisissa kuvankäsittelysovelluksissa. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 51

52 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 52

53 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi Histogrammin tasoitus Oletetaan seuraavassa, että kuvan harmaasävyt on normalisoitu välille [0, 1] ja että normalisoitu harmaasävyjakauma p r (r) on määritelty ja positiivinen välillä [0, 1] ja se on jatkuva. Koska nyt jakauma on jatkuva eikä diskreetti, puhutaan todennäköisyystiheysfunktiosta histogrammin sijaan. Tarkastellaan harmaasävymuunnosta s = T(r), joka on 1. yksikäsitteinen ja monotonisesti kasvava kun 0 r 1 ja 2. 0 T(r) 1 kun 0 r 1. Tällöin käänteismuunnos s = T 1 (r) on olemassa, ja sillä on samat ominaisuudet. Nyt todennäköisyystiheysfunktioille p s (s) ja p r (r) on voimassa p s (s) = p r (r) dr ds. (3.3-3) ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 53

54 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi Kuvankäsittelyssä yleisesti käytetty harmaasävymuunnos on muotoa s = T(r) = r 0 p r (w)dw, (3.3-4) jossa w on integrointivakio. Huomaa, että T(r) on samalla satunnaismuuttujan r kertymäfunkio. Koska p r (r):n oletettiin olevan positiviinen välillä [0, 1], T(r) on yksikäsitteinen ja monotonisesti kasvava tällä välillä. Satunnaismuuttujan kertymäfunktion ominaisuuksista seuraa, että T(r) täyttää myös em. ehdon 2. Muunnoksen T(r) derivaatta on ds dr = dt(r) dr = d dr r 0 p r (w)dw = p r (r). (3.3-5) Nyt kaavasta saadaan s:n jakauma seuraavasti: p s (s) = p r (r) dr ds = p r(r) 1 p r (r) = 1, 0 s 1. (3.3-6) ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 54

55 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi Muunnoksella T(r) saadaan siis kuvan harmaasävyjakauma muutettua tasaiseksi. Käytännön tilanteissa digitaalisilla kuvilla jakauma p r (r) ei ole jatkuva vaan diskreetti. Normalisoidulle histogrammille p r (r k ) = n k n muunnos T(r k ) määritellään seuraavasti: (3.3-7) s k = T(r k ) = k p r (r j ) = j=0 k j=0 n j n (3.3-8) Tätä operaatiota kutsutaan histogrammin tasoittamiseksi tai ekvalisoinniksi. Kaavan mukainen muunnos täyttää edellämainitut ehdot 1. ja 2., mutta toisin kuin jatkuvassa tapauksessa, tuloksena saatavan kuvan histogrammi ei yleensä ole täysin tasainen. Tämä johtuu muunnoksen diskreetistä luonteesta. Kuvassa 16 on esimerkki harmaasävykuvasta, jolle ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 55

56 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi on suoritettu histogrammin tasoitus Kuva 16: Esimerkki harmaasävykuvasta, jolle on suoritettu histogrammin tasoitus. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 56

57 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi Histogrammin määrääminen Histogrammin tasoitus muuttaa kuvan histogrammin lähes tasaiseksi, mutta kaikissa tilanteissa tämä lähestymistapa ei ole paras mahdollinen vaan voi olla hyödyllisempää tavoitella jotain muuta kuin tasaista histogrammia. Käsitellään jälleen jatkuvia jakaumia. Olkoon p z (z) haluttu harmaasävyjakauma. Nyt muunnos G(z) = z 0 p z(w)dw muuttaa jakauman p z (z) tasajakaumaksi. Jos käänteismuunnos G 1 (s) on olemassa (ks. ehdot 1. ja 2. edeltä), se muuttaa tasajakauman jakaumaksi p z (z). Edellisessä kappaleessa kuvatulla muunnoksella s = T(r) voidaan annetun kuvan harmaasävyjakauma tasoittaa, joten jakauman määrittäminen tapahtuu yhdistetyllä muunnoksella z = G 1 (s) = G 1 (T(r)). (3.3-12) Tällä muunnos muuntaa jakauman p r (r) halutuksi jakaumaksi p z (z). ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 57

58 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi Käytännössä käänteismuunnoksen G 1 (s) määrittäminen voi olla vaikeaa jatkuvassa tapauksessa. Diskreetissä tapauksessa sen sijaan voidaan muunnokset toteuttaa yksinkertaisesti taulukoilla. Diskreetissä tapauksessa tosin pätee sama kuin histogrammin tasoittamisessa eli saavutettu jakauma ei usein ole täsmälleen halutun kaltainen. Esimerkki histogrammin määräämisellä saadusta kuvasta on kuvassa 17. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 58

59 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi (a) (b) (c) Kuva 17: Esimerkki histogrammin määräämisestä. (a) tavoiteltu histogrammi, (b) histogrammin määräämisellä saatu kuva, (c) tuloskuvan histogrammi. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 59

60 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi Paikallinen käsittely Edellä esitetyt menetelmät ovat globaaleja, koska muunnosfunktio perustuu koko kuvan harmaasävyjakaumaan. Usein tarvitaan paikallista korostusta, koska globaali muunnos ei anna välttämättä hyvää tulosta. Paikallinen histogrammin käsittely toimii seuraavasti: 1. Määritellään n m suuruinen ympäristö (ikkuna), jota liikutetaan piste pisteeltä kuvan yli. 2. Kussakin pisteessä lasketaan n m ympäristön histogrammi, jota käytetään joko histogrammin tasoituksessa tai spesifioinnissa antamaan uusi arvo n m ympäristön keskipisteelle. 3. Ympäristö siirretään seuraavaan pisteeseen ja lasketaan uusi histogrammi. Laskenta-ajan pienentämiseksi voidaan käyttää myös ei-päällekkäisiä ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 60

61 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.4 Kuvan korostus aritmeettisilla ja loogisilla operaattoreilla ympäristöjä, mikä saattaa kuitenkin aiheuttaa "shakkiruutuefektin". 3.4 Kuvan korostus aritmeettisilla ja loogisilla operaattoreilla Tässä osassa tarkastellaan kuvan korostusta aritmeettisilla ja loogisilla operaattoreilla. Loogista NOT-operaatiota lukuunottamatta kaikissa käsiteltävissä operaatioissa syötteenä on vähintään kaksi kuvaa. Perusajatus on, että syötekuvat ovat samankokoisia, ja jokaiselle pikselille lasketaan ko. pikselin summa, erotus, jne. lähtökuvissa. Mahdollisia operaatioita ovat mm NOT-operaattori. Syötteenä on vain yksi kuva ja tuloksena saadaan negatiivikuva (kaava 3.2-1). AND-operaattori ja OR-operaattori. Käytetään lähinnä binäärimaskien kanssa erotettaessa kuvasta tiettyä osaa käsittelyä varten. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 61

62 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.4 Kuvan korostus aritmeettisilla ja loogisilla operaattoreilla AND-operattoria käytettäessä maskin ykkösiä vastaavat pikselit lähtökuvassa pysyvät ennallaan ja nollia vastaavat pikselit muuttuvat mustiksi. OR-operaattoria käytettäessä maskin ykkösiä vastaavat pikselit muuttuvat valkoisiksi ja nollia vastaavat pikselit pysyvät ennallaan. Kertolasku. Kertolaskun avulla voidaan toteuttaa monimutkaisempia maskioperaatioita: binäärimaskin sijasta voidaan käyttää harmaasävymaskia. Yhteen- ja vähennyslasku. Yhteenlaskua (keskiarvoistamista) voidaan käyttää kohinan vähentämiseen ja vähennyslaskua kuvien välisten erojen osoittamiseen. Näitä käsitellään tarkemmin seuraavassa. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 62

63 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.4 Kuvan korostus aritmeettisilla ja loogisilla operaattoreilla Kuvien vähentäminen Kuvien vähentämisellä saadaan esille kahden kuvan välinen ero. Tätä voidaan hyödyntää mm. Tutkittaessa kuvankäsittelyoperaation (esim. kuvan bittimäärän vähennyksen) vaikutusta kuvaan: vähennetään käsitelty kuva alkuperäisestä Lääketieteellisessä kuvantamisessa: esimerkiksi käytettäessä varjoainetta röntgenkuvassa vähennetään ilman varjoainetta otettu kuva varjoaineen kanssa otetusta kuvasta jolloin saadaan verisuonet selvästi näkyviin. Liikkuvien kohteiden ilmaisussa ja seuraamisessa: vähennetään paikallaan olevalla kameralla otetun kuvasekvenssin kaksi kuvaa toisistaan. Erotuskuvassa on (kohinan lisäksi) kuvien ottamisen välillä liikkuneet kohteet. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 63

64 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.4 Kuvan korostus aritmeettisilla ja loogisilla operaattoreilla Jos alkuperäisissä kuvissa on harmaasävyja [0,..., L 1], voi erotuskuvassa olla arvoja [ (L 1),...,0,...,L 1]. Yleensä digitaalisissa kuvissa ei sallita negatiivisia arvoja. Ongelman voi ratkaista esim. seuraavilla kahdella tavalla: joko lisätään erotuskuvaan vakio L 1 ja jaetaan tulos kahdella, tai lisätään erotuskuvaan sen pienimmän arvon vastaluku ja kerrotaan tulos luvulla (L 1)/(Max), missä Max on muunnetun kuvan suurin arvo. Ensimmäinen ratkaisu on yksinkertainen toteuttaa, mutta sen seurauksena koko käytettävissä oleva harmaasävyalue ei välttämättä ole käytössä. Jälkimmäinen menetelmä taas on toteutukseltaan hieman monimutkaisempi, mutta se takaa, että lopullisessa tuloskuvassa koko harmaasävyalue on käytössä. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 64

65 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.4 Kuvan korostus aritmeettisilla ja loogisilla operaattoreilla Kuvien keskiarvoistaminen Oletetaan, että alkuperäiseenkuvaan f(x, y) summaututuu kohinaa η(x, y), eli g(x, y) = f(x, y) + η(x, y). (3.4-2) Oletetaan lisäksi, että eri pikseleiden kohinanäytteet ja saman pikselin ajallisesti peräkkäiset kohinanäytteet ovat korreloimattomia, ja että kohina on nollakeskiarvoista. Tavoitteena on vähentää kohinaa ottamalla laskemalla keskiarvokuva ḡ(x, y) joukosta kohinaisia kuvia {g i (x, y)}: ḡ(x, y) = 1 K K g i (x, y). (3.4-3) i=1 Jos edellämainitut kohinaa koskevat oletukset pitävät paikkansa, voidaan ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 65

66 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.4 Kuvan korostus aritmeettisilla ja loogisilla operaattoreilla osoittaa että keskiarvokuvan odotusarvo ja varianssi saadaan kaavoista ja E{ḡ(x, y)} = f(x, y) (3.4-4) σ 2 ḡ(x,y) = 1 K σ2 η(x,y). (3.4-5) Keskiarvokuvan varianssi siis laskee kun K kasvaa eli käytännössä kuvassa oleva kohina vähenee kun lasketaan keskiarvo useasta kuvasta. Tämä kuitenkin vaatii, että kuvattavasta kohteesta voidaan ottaa identtisiä peräkkäisiä otoksia, jotka pystytään kohdistamaan tarkasti päällekkäin. Useissa sovelluksissa tämä ei ole mahdollista, mutta keskiarvoistamista käytetään mm. mikroskopiassa ja astronomiassa. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 66

67 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.5 Spatiaalisen suodatuksen perusteita 3.5 Spatiaalisen suodatuksen perusteita Spatiaaliset suodatusmenetelmät perustuvat artimeettisten tai loogisten operaatioiden suorittamiseen kunkin pikselin määrätyssä naapurustossa. Yleensä suodatuksessa käytetään myös maskia (ks. kuva 18), joka on naapuruston kokoinen matriisi, joka sisältää suodattimen kertoimet, jotka määräävät ko. suodattimen ominaisuudet. f(x 1,y 1) f(x 1,y) f(x 1,y+1) w( 1, 1) w( 1,0) w( 1,1) f(x,y 1) f(x,y) f(x,y+1) w(0, 1) w(0,0) w(0,1) f(x+1,y 1) f(x+1,y) f(x+1,y+1) w(1, 1) w(1,0) w(1,1) Kuva 18: 3 3-naapurusto kuvassa f(x, y) sekä 3 3-maski w. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 67

68 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.5 Spatiaalisen suodatuksen perusteita Lineaarisessa spatiaalisessa suodatuksessa tuloskuvan pikselin arvo saadaan laskemalla summa naapuruston pikseleiden arvoista kerrottuna vastaavilla maskin kertoimilla eli a b g(x, y) = w(s, t)f(x + s, y + t), (3.5-1) s= a t= b jossa w on (2a + 1) (2b + 1)-kokoinen maski, f on lähtökuva ja g tuloskuva. Voidaan osoittaa, että tämä operaatio on lineaarinen eli täyttää ehdon Epälineaarisessa spatiaalisessa suodatuksessa käytetään myös naapuruston arvoja, mutta painotetun summan sijaan käytetään jotain muuta aritmeettista tai loogista operaatiota, jonka seurauksena ehto ei täyty. Naapuruston arvoista voidaan laskea esim. mediaani tai varianssi. Kuvan reunoilla ei kaikilla pikseleillä ole vaadittavia naapureita, jotta kyseinen pikseli voitaisiin käsitellä normaalisti. Tällöin on olemassa mm. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 68

69 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.5 Spatiaalisen suodatuksen perusteita seuraavia vaihtoehtoja: 1. Käsitellään vain ne pikselit, joilla on kaikki tarvittavat naapurit. Tämän käsittelytavan seurauksena tuloskuva on pienempi kuin lähtökuva. 2. Käytetään reunoilla erilaista maskia tai alkuperäisestä maskista vain ne kertoimet jotka osuvat kuvan todellisten pikseleiden päälle. 3. Käsitetään kuva syklisesti suljetuksi. Käytetään harvoin, ja tälle käsittelytavalle tulisi olla joku perustelu. Ks. kuva 19 (a). 4. Heijastetaan reunapikseleiden arvot niiden ympärille. Ks. kuva 19 (b). 5. Oletetaan kuvan ulkopuoliset pisteet nolliksi. Ks. kuva 19 (c). ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 69

70 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.6 Tasoittavat spatiaaliset suodattimet (a) (b) (c) Kuva 19: Vaihtoehtoja reunojen käsittelyyn spatiaalisessa suodatuksessa. (a) Kuvan käsittäminen sykliseksi, (b) Heijastaminen, (c) Ulkopuolisten pisteiden olettaminen nolliksi. 3.6 Tasoittavat spatiaaliset suodattimet Kuvan tasoittamisen (smoothing) tai sumentamisen (blurring) tavoitteena on vähentää kuvasta kohinaa sekä tarpeettomia yksityiskohtia ennen ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 70

71 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.6 Tasoittavat spatiaaliset suodattimet jatkokäsittelyä. Tasoittaminen myös yhdistää pienet katkeamat reunoissa tai käyrissä. Kuvassa 20 on esimerkki tasoituksen käytöstä. Eräitä tasoittavia suodattimia kutsutaan myös alipäästösuodattimiksi. Tämän nimityksen perusteluja käsitellään luvussa 4. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 71

72 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.6 Tasoittavat spatiaaliset suodattimet (a) (b) (c) (d) Kuva 20: Esimerkki tasoituksen käytöstä kuvankäsittelyssä. Alkuperäisessä kuvassa (a) on paljon kohinaa ja kuvan renkaassa on pieni katkos. Jos tavoitteena on mustavalkoinen kuva, jossa on yhtenäinen rengas, tästä kuvasta ei saada hyvää tulosta millään kynnysarvolla (b). Jos sen sijaan kuvaa tasoitetaan ensin (c) ja tasoitettu kuva kynnystetään (d), tulos on merkittävästi parempi. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 72

73 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.6 Tasoittavat spatiaaliset suodattimet Tasoittavat lineaariset suodattimet Tasoittavissa lineaarisissa suodattimissa perusajatus on, että kunkin pikselin naapurustosta lasketaan painotettu tai painottamaton keskiarvo. Yleisesti tämä voidaan laskea kaavalla g(x, y) = a b s= a t= b w(s, t)f(x + s, y + t) a s= a b t= b w(s, t), (3.6-1) missä esim. 3 3-naapurustoa ja painottamatonta keskiarvoa käytettäessa w on w = ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 73

74 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.6 Tasoittavat spatiaaliset suodattimet ja painotettua keskiarvoa käytettäessä w voi olla esim w = Järjestysstatistiikkaan perustuvat suodattimet Usein käytetyt epälineaariset tasoittavat suodattimet perustuvat järjestysstatistiikkaan. Näistä yleisin on mediaanisuodatin, jossa k k-naapuruston keskipisteen uudeksi arvoksi tulee naapuruston harmaasävyjen mediaani eli keskimmäinen arvo kun naapuruston harmaasävyt on laitettu suuruusjärjestykseen. Yleensä mediaanisuodatus hämärtää kuvassa olevia reunoja vähemmän kuin lineaariset tasoittavat suodattimet. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 74

1 Johdanto Mitä digitaalinen kuvankäsittely on Esimerkkejä digitaalisen kuvankäsittelyn hyödyntämisestä Kuvankäsittelyn vaiheet 3

1 Johdanto Mitä digitaalinen kuvankäsittely on Esimerkkejä digitaalisen kuvankäsittelyn hyödyntämisestä Kuvankäsittelyn vaiheet 3 Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Mitä digitaalinen kuvankäsittely on 1 1.2 Esimerkkejä digitaalisen kuvankäsittelyn hyödyntämisestä 2 1.3 Kuvankäsittelyn vaiheet 3 2 Digitaalisen kuvan perusteet 5 2.1 Havaitseminen

Lisätiedot

Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely

Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen, Signaalinkäsittelyn menetelmät,

Lisätiedot

1. Johdanto. Johdanto 1. Johdanto 2. Johdanto 3. Johdanto 4

1. Johdanto. Johdanto 1. Johdanto 2. Johdanto 3. Johdanto 4 1. Johdanto Kuvanprosessointi tai käsittely juontaa juurensa kahdesta pääasiallisesta alueesta, jotka ovat kuvainformaation parantaminen ihmisen tulkintaa varten ja kuvadatan käsittely talletusta, siirtoa

Lisätiedot

TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Kuvasignaalit. Jyrki Laitinen

TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Kuvasignaalit. Jyrki Laitinen TL553 DSK, laboraatiot (.5 op) Kuvasignaalit Jyrki Laitinen TL553 DSK, laboraatiot (.5 op), K25 Suorita oheisten ohjeiden mukaiset tehtävät Matlab- ja VCDemo-ohjelmistoja käyttäen. Kokoa erilliseen mittauspöytäkirjaan

Lisätiedot

Luku 3. Kuvien ehostus tilatasossa. 3.1 Taustaa

Luku 3. Kuvien ehostus tilatasossa. 3.1 Taustaa Luku 3 Kuvien ehostus tilatasossa Kuvan ehostamisessa päätavoitteena on käsitellä kuvaa siten, että saatu tulos soveltuu paremmin haluttuun käyttötarkoitukseen kuin alkuperäinen kuva. On siis sovelluskohtaista,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

SGN-3010: Digitaalinen kuvankäsittely I. Sari Peltonen Tampereen teknillinen yliopisto Signaalinkäsittelyn laitos 2007

SGN-3010: Digitaalinen kuvankäsittely I. Sari Peltonen Tampereen teknillinen yliopisto Signaalinkäsittelyn laitos 2007 SGN-3010: Digitaalinen kuvankäsittely I Sari Peltonen Tampereen teknillinen yliopisto Signaalinkäsittelyn laitos 2007 ii Esipuhe Digitaalinen kuvankäsittely on nopeasti kehittynytsignaalinkäsittelyn osa-alue,

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Valon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen

Valon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen Näkö Valon havaitseminen Silmä Näkö ja optiikka Näkövirheet ja silmän sairaudet Valo Taittuminen Heijastuminen Silmä Mitä silmän osia tunnistat? Värikalvo? Pupilli? Sarveiskalvo? Kovakalvo? Suonikalvo?

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Mediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin

Mediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin Mediaanisuodattimet Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin niiden analysointiin on olemassa vakiintuneita menetelmiä

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)

Lisätiedot

9. Tila-avaruusmallit

9. Tila-avaruusmallit 9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia

Lisätiedot

Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn

Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn Tieteenpäivät 2015, Työohje Sami Varjo Johdanto Digitaalinen signaalienkäsittely on tullut osaksi arkipäiväämme niin, ettemme yleensä edes huomaa sen olemassa

Lisätiedot

6. Värikuvanprosessointi 6.1. Värien periaatteet

6. Värikuvanprosessointi 6.1. Värien periaatteet 6. Värikuvanprosessointi 6.1. Värien periaatteet Värien käyttö kuvissa on hyödyllistä kahdesta syystä. Väri on tehokas kuvaaja kohteiden tunnistamiseksi ja erottamiseksi näkymästä. Toiseksi normaalilla

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Digitaalinen kuvankäsittely T-61.5100 (5 op) L. Syksy 2005

Digitaalinen kuvankäsittely T-61.5100 (5 op) L. Syksy 2005 Digitaalinen kuvankäsittely T-61.5100 (5 op) L Syksy 2005 Luennot: Laskuharjoitukset: Jorma Laaksonen Jukka Iivarinen OPETUSMONISTE 2005 Luento #1 14.9.2005 2 1. Yleistä kurssista.......................

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0. HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Infrapunaspektroskopia

Infrapunaspektroskopia ultravioletti näkyvä valo Infrapunaspektroskopia IHMISEN JA ELINYMPÄ- RISTÖN KEMIAA, KE2 Kertausta sähkömagneettisesta säteilystä Sekä IR-spektroskopia että NMR-spektroskopia käyttävät sähkömagneettista

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

Luento 3: 3D katselu. Sisältö

Luento 3: 3D katselu. Sisältö Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta: LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 1. Algoritmeista 1.1 Algoritmin käsite Algoritmi keskeinen laskennassa Määrittelee prosessin, joka suorittaa annetun tehtävän Esimerkiksi Nimien järjestäminen aakkosjärjestykseen

Lisätiedot

Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén

Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén Sonifikaatio Menetelmä Sovelluksia Mahdollisuuksia Ongelmia Sonifikaatiosovellus: NIR-spektroskopia kariesmittauksissa

Lisätiedot

Fysiikka 8. Aine ja säteily

Fysiikka 8. Aine ja säteily Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian

Lisätiedot

Spektri- ja signaalianalysaattorit

Spektri- ja signaalianalysaattorit Spektri- ja signaalianalysaattorit Pyyhkäisevät spektrianalysaattorit Suora pyyhkäisevä Superheterodyne Reaaliaika-analysaattorit Suora analoginen analysaattori FFT-spektrianalysaattori DFT FFT Analysaattoreiden

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

origo x JUKKA JAUHIAINEN 2006

origo x JUKKA JAUHIAINEN 2006 D I G I TA A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E LY origo f x, y x y JUKKA JAUHIAINEN 006 1 Johdanto 3 1.1 Digitaalisen kuvan määritelmä 3 1. Kuvankäsittelyn vaiheet 3 1.3 Kuvankäsittelyjärjestelmän osat

Lisätiedot

CCD-kamerat ja kuvankäsittely

CCD-kamerat ja kuvankäsittely CCD-kamerat ja kuvankäsittely Kari Nilsson Finnish Centre for Astronomy with ESO (FINCA) Turun Yliopisto 6.10.2011 Kari Nilsson (FINCA) CCD-havainnot 6.10.2011 1 / 23 Sisältö 1 CCD-kamera CCD-kameran toimintaperiaate

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT HILA JA PRISMA MIKKO LAINE 9. toukokuuta 05. Johdanto Tässä työssä muodostamme lasiprisman dispersiokäyrän ja määritämme työn tekijän silmän herkkyysrajan punaiselle valolle. Lisäksi

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾. 24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

Tuntematon järjestelmä. Adaptiivinen suodatin

Tuntematon järjestelmä. Adaptiivinen suodatin 1 1 Vastaa lyhyesti seuraaviin a) Miksi signaaleja ylinäytteistetään AD- ja DA-muunnosten yhteydessä? b) Esittele lohkokaaviona adaptiiviseen suodatukseen perustuva tuntemattoman järjestelmän mallinnus.

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

3D-kuvauksen tekniikat ja sovelluskohteet. Mikael Hornborg

3D-kuvauksen tekniikat ja sovelluskohteet. Mikael Hornborg 3D-kuvauksen tekniikat ja sovelluskohteet Mikael Hornborg Luennon sisältö 1. Optiset koordinaattimittauskoneet 2. 3D skannerit 3. Sovelluskohteet Johdanto Optiset mittaustekniikat perustuvat valoon ja

Lisätiedot

13. Värit tietokonegrafiikassa

13. Värit tietokonegrafiikassa 13.1. Värijoukot tietokonegrafiikassa 13. Värit tietokonegrafiikassa Tarkastellaan seuraavaksi värien kvantitatiivista pohjaa. Useimmiten käytännön tilanteissa kiinnitetään huomiota kvalitatiiviseen. Värien

Lisätiedot

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( ) Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

Virheen kasautumislaki

Virheen kasautumislaki Virheen kasautumislaki Yleensä tutkittava suure f saadaan välillisesti mitattavista parametreistä. Tällöin kokonaisvirhe f määräytyy mitattujen parametrien virheiden perusteella virheen kasautumislain

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

LIITE 2. ALTISTUMISRAJA-ARVOT OPTISELLE SÄTEILYLLE

LIITE 2. ALTISTUMISRAJA-ARVOT OPTISELLE SÄTEILYLLE MUISTIO 1137121 v. 1 1(17) 12.06.2017 2388/2017 LIITE 2. ALTISTUMISRAJA-ARVOT OPTISELLE SÄTEILYLLE 1. Epäkoherentti optinen säteily Biofysikaalisesti merkittävät optisen säteilyn altistumisraja-arvot määritellään

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa

Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Vierailuluento IMA-kurssilla Heikki Huttunen Lehtori, TkT Signaalinkäsittely, TTY heikki.huttunen@tut.fi Department of Signal Processing Fourier-muunnos

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet.

1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet. 1 1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet. Radiosignaalin häipyminen. Adaptiivinen antenni. Piilossa oleva pääte. Radiosignaali voi edetä lähettäjältä vastanottajalle (jotka molemmat

Lisätiedot

Successive approximation AD-muunnin

Successive approximation AD-muunnin AD-muunnin Koostuu neljästä osasta: näytteenotto- ja pitopiiristä, (sample and hold S/H) komparaattorista, digitaali-analogiamuuntimesta (DAC) ja siirtorekisteristä. (successive approximation register

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

2. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visuaalinen havaitseminen

2. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visuaalinen havaitseminen 2. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 2.1. Visuaalinen havaitseminen Tässä luvussa käsitellään digitaalisten kuvien perusasioista, aina kuvien näkemisestä pikseleihin ja tarvittaviin laskentamenetelmiin

Lisätiedot