1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.1 Mitä digitaalinen kuvankäsittely on

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.1 Mitä digitaalinen kuvankäsittely on"

Transkriptio

1 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1 Johdanto 1.1 Mitä digitaalinen kuvankäsittely on Kuva voidaan ajatella kaksiulotteiseksi funktioksi f(x, y), jossa x ja y ovat koordinaatit ja f:n arvo pisteessä (x, y) on kuvan intensiteetti tai harmaasävy tuossa pisteessä. Kun f:n, x:n ja y:n arvot ovat äärellisiä ja diskreettejä, puhutaan digitaalisesta kuvasta, ja digitaalisella kuvankäsittelyllä tarkoitetaan näiden kuvien käsittelemistä tietokoneella. Ihmisen näköaisti rajoittuu pieneen osaan sähkömagneettisen säteilyn spektristä. Tätä aluetta kutsutaan näkyväksi valoksi. Erilaiset kuvantamisjärjestelmät mahdollistavat kuitenkin sähkömagneettisen säteilyn kuvantamisen hyvin erilaisilta aallonpituuksilta gamma-aalloista radioaaltoihin. Digitaalinen kuva ei välttämättä perustu ollenkaan sähkömagneettiseen säteilyyn, mistä esimerkkejä ovat mm. ultraäänikuvat ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 1

2 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.1 Mitä digitaalinen kuvankäsittely on tai tietokonegrafiikka. Digitaaliseen kuvankäsittelyyn liittyvät olennaisesti mm. digitaalisen signaalinkäsittelyn ja konenäön alat. Digitaalisen kuvankäsittelyn ja konenäön rajaa ei ole helppo määritellä täsmällisesti, vaan hyödyllisempää on jakaa digitaalisten kuvien käsittely matalan, keski- ja korkean tason prosesseihin. Matalan tason prosesseissa sekä prosessin syöte että tulos ovat kuvia. Esimerkkejä matalan tason prosesseista ovat kohinan poisto kuvasta, kuvan terävöittäminen tai värikuvan muuttaminen väriavaruudesta toiseen. Keskitason prosesseja ovat mm. kuvan segmentointi (eli kuvan jakaminen mielekkäisiin pienempiin osiin) ja näiden osien kuvaaminen (description) eli esittäminen tunnistukseen sopivassa muodossa. Kuvan osien tunnistaminen tai luokittelu luetaan eri lähteissä joko keski- tai korkean tason prosessiksi. Kurssikirjassa näiden katsotaan olevan ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 2

3 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.2 Esimerkkejä digitaalisen kuvankäsittelyn hyödyntämisestä keskitason prosesseja. Korkean tason prosessien tavoite on kuvan tai sen tunnistettujen osien ymmärtäminen, ja mahdollisesti jonkinlainen päätöksenteko kuvan perusteella. Esimerkki korkean tason prosessoinnista voisi olla robotin ohjaaminen kamerasta tulevan kuvan perusteella. Yleensä kuten jatkossa tässäkin kurssissa digitaalisella kuvankäsittelyllä tarkoitetaan matalan tason sekä yksinkertaisimpia keskitason prosesseja. 1.2 Esimerkkejä digitaalisen kuvankäsittelyn hyödyntämisestä Gamma-säteiden kuvantamista käytetään hyväksi mm. lääketieteessä ja tähtitieteessä. Röntgensäteitä on hyödynnetty erityisesti lääketieteen kuvantamisessa jo ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 3

4 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.2 Esimerkkejä digitaalisen kuvankäsittelyn hyödyntämisestä pitkään. Perinteisten röntgenkuvien lisäksi röntgensäteiden avulla otetaan angiografia- eli verisuonikuvia sekä tietokonetomografiakuvia. Lääketieteen lisäksi röntgenkuvia käytetään tähtitieteessä sekä teollisuudessa mm. laaduntarkastukseen. Ultraviolettisäteilyn kuvantamista hyödynnetään mm. mikroskopiassa. Näkyvän valon ja infrapunasäteilyn kuvantaminen on arkielämästä kaikkein tutuinta: esimerkiksi digikamerat tai tavalliset skannerit perustuvat tähän. Arkisten sovellusten lisäksi näkyvän valon tai infrapunasäteilyn kuvantamista käytetään esim. kaukokartoitukseen (remote sensing) satelliiteista tai lentokoneista, visuaaliseen laaduntarkastukseen teollisuudessa tai erilaisiin automaattisiin tunnistustehtäviin kuten sormenjälkien tai rekisterikilpien tunnistukseen. Mikroaaltojen kuvantamisen selkeästi tärkein sovellus on tutka. Tutka perustuu mikroaaltojen lähettämiseen ja kohteesta heijastuvien aaltojen ilmaisuun antennin ja (digitaaalisen) signaalinkäsittelyjärjestelmän avulla. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 4

5 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.2 Esimerkkejä digitaalisen kuvankäsittelyn hyödyntämisestä Radioaaltoja samoin kuin spektrin toisessa päässä olevia gammasäteitä käytetään lähinnä tähtitieteen ja lääketieteen kuvantamisessa. Lääketieteessä radioaaltoja käytetään magneettiresonanssikuvien (MRI) ottamiseen ja tähtitieteessä taivaankappaleita voidaan kuvata radiotaajuuksilla siinä missä muillakin sähkömagneettisen säteilyn spektrin alueilla. Kuvassa 1 on kuvia Crab-nimisestä pulsarista, jotka on otettu sähkömagneettisen spektrin eri alueilla. Kuten kuvasta näkyy, pulsari näyttää aivan erilaiselta eri aallonpituusalueilla. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 5

6 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.2 Esimerkkejä digitaalisen kuvankäsittelyn hyödyntämisestä Kuva 1: Kuva Crab-pulsarista eri sähkömagneettisen spektrin alueilla kuvattuna. Vasemmalta oikealle: gamma-, röntgen-, näkyvän valon-, infrapuna- ja radiotaajuuksien alue Välttämättä kuvantamismenetelmä ei perustu lainkaan sähkömagneettiseen säteilyyn. Muita mahdollisia menetelmiä ovat mm. ääni (alle 100 Hz:n äänet geologiassa ja ultraäänikuvaus useissa sovelluksissa), elektronisuihku (elektronimikroskoopit) tai kuvien luominen tietokoneella (esim. fraktaalit). ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 6

7 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.3 Kuvankäsittelyn vaiheet 1.3 Kuvankäsittelyn vaiheet Erityisesti konenäkösovelluksissa kuvankäsittelyprosessi voidaan jakaa useaan vaiheeseen: 1. Kuvantaminen. Edellä käsiteltiin muutamia eri vaihtoehtoja digitaaliseen kuvanmuodostukseen. Menetelmästä riippumatta oletuksena yleensä on, että kuvantamisen tuloksena saadaan yksi- tai värikuvien tapauksessa useampikanavainen digitaalinen kuva. 2. Kuvan korostus tai entistäminen. Kuvan korostuksen tarkoituksena on saada kuva näyttämään paremmalta tai käyttötarkoitukseensa sopivammalta. Esimerkkejä kuvan korostusmenetelmistä ovat kuvan kontrastin lisääminen ja kuvan terävöittäminen. Kuvan entistämisessä lähtökohtana on, että kuvaan on kuvantamisessa tai jossain muussa vaiheessa tullut häiriö, jota pystytään jollain tavoin mallintamaan, ja tätä mallia käyttäen häiriön vaikutus pyritään poistamaan tai sitä ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 7

8 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.3 Kuvankäsittelyn vaiheet pyritään vähentämään. 3. Segmentointi lähtee oletuksesta, että kuva koostuu useista mielekkäistä itsenäisistä osista (kuten varsinaisesta kuvattavasta kohteesta ja taustasta). Segmentoinnin tarkoituksena on erottaa nämä osat toisistaan. Automaattinen segmentointi on useissa sovelluksissa erittäin vaikeaa, mutta toisaalta segmentointi on kriittinen osa kuvankäsittelyprosessia, sillä epäonnistunut segmentointi johtaa pääsääntöisesti koko järjestelmän suorituskyvyn romahtamiseen. 4. Representaatio. Kuvan segmentoinnin jälkeen tuloksena on kutakin kuvan osaa esittävä pikselijoukko. Representaatio tarkoittaa näiden osien esittämistä erilaisten piirteiden avulla, toisin sanoen muodossa, joka sopii jatkokäsittelyyn ja tunnistukseen parhaiten. 5. Luokittelu ja tunnistus. Kuvan osat pyritään luokittelemaan edellisessä vaiheessa laskettujen piirteiden perusteella. Esimerkiksi videokuvaan ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 8

9 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.3 Kuvankäsittelyn vaiheet perustuvassa liikennelaskentasovelluksessa pyritään tunnistamaan kuvasta ajoneuvot tai satelliittikuvasta etsitään automaattisesti peltoalueita. Kaikkia edellämainittuja vaiheita tarkastellaan tällä kurssilla. Muita digitaalisen kuvankäsittelyn alueita, joihin kurssilla perehdytään, ovat 1. Värikuvien käsittely. Suurimmassa osassa kurssia oletuksena on, että käsiteltävät kuvat ovat yksikanavaisia eli harmaasävykuvia. Monikanavaisten eli värikuvien käsittely on muuttunut jatkuvasti yhä tärkeämmäksi osaksi digitaalista kuvankäsittelyä, ja joiltain osin se eroaa harmaasävykuvien käsittelystä. 2. Aallokkeet. Aallokkeita käytetään moniin tarkoituksiin digitaalisessa kuvankäsittelyssä. 3. Kuvan kompressointi. Kompressoinnin eli pakkauksen tarkoituksena on vähentää kuvan esittämiseen tarvittavaa bittimäärää tallennus- tai ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 9

10 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.3 Kuvankäsittelyn vaiheet tiedonsiirtokapasiteetin säästämiseksi. Kompressoinnissa käytetään hyväksi kuvassa esiintyvää toistoa eli redundanssia. 4. Morfologiset operaattorit perustuvat matemaattiseen morfologiaan. Niitä hyödynnetään mm. binäärikuvien käsittelyssä sekä kuvan segmentoinnissa ja representaatiossa. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 10

11 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2 Digitaalisen kuvan perusteet 2.1 Havaitseminen Digitaalinen kuvankäsittely perustuu suurelta osin formaaliin matemaattiseen käsittelyyn, mutta toisaalta intuitio ja käytännönläheinen analyysi ovat tärkeitä käytettyjen menetelmien valinnassa. Tästä syystä ihmisen näköjärjestelmän tunteminen on oleellista kuvankäsittelyssä. Seuraavassa käsitellään ihmissilmän rakennetta, kuvanmuodostusta silmässä sekä silmän sopeutumista valaistusolosuhteisiin. Ihmissilmän rakenne on esitetty kuvassa 2. Silmän kuori muodostuu kolmesta kerroksesta: Sarveiskalvo ja kovakalvo muodostavat uloimman kerroksen. Näistä sarveiskalvo muodostaa suurimman osan silmän taittovoimasta. Silmän osat saavat ravinteensa suonikalvon verisuonista. Sisimpänä olevan verkkokalvon ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 11

12 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.1 Havaitseminen valoherkät solut tuottavat varsinaisen näköaistimuksen. Iiriksen keskellä oleva aukko, pupilli, säätelee silmään tulevan valon määrää. Pupillin halkaisija vaihtelee noin kahdesta kahdeksaan millimetriin. Sädekehän lihakset säätelevät mykiön paksuutta. Mykiö toimii silmässä linssinä. Verkkokalvolla on kahdenlaisia soluja: Tappi- ja sauvasoluja. Tappisolut ovat keskittyneet pääasiassa verkkokalvon keskellä olevalle tarkan näön alueelle, ja ne ovat herkkiä värille. Tappisoluihin perustuvaa näköä kutsutaan fotooppiseksi tai päivänäkemiseksi. Sauvasolut sen sijaan ovat levittäytyneet melko tasaisesti verkkokalvolle. Ne eivät ole herkkiä valon eri aallonpituuksille eli väreille, ja ne vaativat toimiakseen huomattavasti vähemmän valoa kuin tappisolut. Sauvasoluihin perustuvaa näköä kutsutaan skotooppiseksi tai hämäränäöksi. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 12

13 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.1 Havaitseminen Kuva 2: Yksinkertaistettu kuva ihmissilmän rakenteesta ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 13

14 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.1 Havaitseminen Terävän kuvan muodostuminen silmässä perustuu siihen, että linssinä toimiva silmän mykiö muuttaa muotoaan sädekehän lihasten ohjaamana. Linssin polttoväli vaihtelee noin 14:n ja 17:n mm:n välillä. Kun ihminen katsoo kohdetta joka on yli 3 metrin päässä, mykiö on litteimmillään ja sen polttoväli pisimmillään. Kun kohde on lähempänä silmää, linssi muuttuu paksummaksi ja samalla polttoväli lyhenee. Ihmissilmä kykenee havaitsemaan valtavan suuren skaalan eri kirkausasteita: häikäisyrajalla valon intensiteetti on noin kertainen skotooppisen näön alarajaan verrattuna. Silmä ei kuitenkaan kykene havaitsemaan kaikkia näitä kirkkauksia kerralla vaan se adaptoituu tietylle kapeammalle sävyalueelle iiriksen koon muuttumisen ja verkkokalvon solujen adaptaation seurauksena. Kun silmä on adaptoitunut tietylle intensiteettialueelle, tätä aluetta tummemmat kohteet näkyvät mustina ja toisaalta sitä kirkkaamman valon tuleminen silmään aiheuttaa silmän adaptoitumisen yhä kirkkaammille intensiteeteille. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 14

15 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.1 Havaitseminen Koska digitaalisen kuvan arvot ovat diskreettejä, on olennainen ja mielenkiintoinen kysymys, kuinka monta eri harmaasävyä ihminen voi havaita eli kuinka paljon kahden harmaan kohteen intensiteetin tulee poiketa, jotta ihminen kokee ne erisävyisiksi. Tätä voidaan mitata esimerkiksi kuvan 3 järjestelyllä. Tässä taustan intensiteetti on I ja keskellä vilautetaan I:n verran kirkkaampaa aluetta. Pienintä muutosta, jolla koehenkilö havaitsee muutoksen 50 %:ssa kokeista, merkitään I c :llä. Nyt arvoa I c /I kutsutaan Weberin suhteeksi. Pieni Weberin suhde tarkoittaa, että pienet muutokset havaitaan ja suuri suhde, että vain suuret muutokset havaitaan. On huomattu, että Weberin suhteen arvo riippuu I:stä. Weberin suhde pienenee kun taustan intensiteetti kasvaa. Kerrallaan, yhdessä kohdassa ihmissilmä voi havaita korkeintaan parikymmentä eri harmaasävyä. Näin vähäinen määrä harmaasävyjä ei kuitenkaan riitä korkealaatuisen harmaasävykuvan esittämiseen, sillä katse kiertelee kuvassa ja eri kohdissa silmä adaptoituu erilaisten ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 15

16 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.1 Havaitseminen harmaasävyalueiden havaitsemiseen. Korkealaatuisen kuvan esittämiseen vaaditaankin yleensä yli 100 intensiteettitasoa. Ι Ι+ Ι Kuva 3: Koejärjestely, jolla mitataan harmaasävyjen erottelukykyä Havaittu, subjektiivinen intensiteetti ei usein riipu suoraan todellisesta, mitatusta valon intensiteetistä. Ensinnäkin on havaittu, että subjektiivinen intensiteetti on likimain absoluuttisen intensiteetin logaritmi. Lisäksi erilaiset optiset illuusiot kuten Machin nauhat ja kuvassa 4 esitetty ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 16

17 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.1 Havaitseminen suhteellisesta kontrastista johtuva harha haittaavat harmaasävyjen havaitsemista. Kuva 4: Absoluuttisten harmaasävyjen havaitsemiseen liittyvä harha: kuvan ruudut A ja B ovat absoluuttiselta harmaasävyltään samat. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 17

18 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.2 Valo ja sähkömagneettinen spektri 2.2 Valo ja sähkömagneettinen spektri Sähkömagneettista spektriä käsiteltiin edellisessä luvussa. Spektri jaetaan lyhyemmästä aallonpituudesta pidempään päin lueteltuna gamma-, röntgen-, ultravioletti-, näkyvän valon, infrapuna-, mikroaalto- ja radioaaltoalueisiin. Säteilyn taajuus ν ja aallonpituus λ liittyvät toisiinsa yhtälöllä λ = c ν, (2.2-1) jossa c on valon nopeus. Yhden fotonin energia riippuu myös taajuudesta: jossa h on Planckin vakio. E = hν, (2.2-2) Näkyvän valon aallonpituus on välillä 0, 43µm 0, 79µm. Värispektri voidaan jakaa kuuteen alueeseen (lyhyimmästä aallonpituudesta alkaen): violetti, sininen, vihreä, keltainen, oranssi ja punainen. Siirtymät näiden ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 18

19 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.2 Valo ja sähkömagneettinen spektri välillä eivät luonnollisesti ole teräviä vaan väri muuttuu toiseksi vähitellen aallonpituuden muuttuessa. Väriä tarkastellaan tarkemmin luvussa 6. Se, minkä värisenä jokin kohde havaitaan, riippuu sekä kohteen valaisuun käytetyn valon väristä että kohteen heijastusominaisuuksista. Valkoinen valo sisältää käytännössä kaikkia näkyvän valon aallonpituuksia, ja esimerkiksi vihreinä havaittavat kohteet heijastavat valoa, jonka aallonpituus on välillä nm, ja absorboivat muilla aallonpituusalueilla olevan valon. Siitä heijastuu siis pääasiassa vihreää väriä vastaavia aallonpituuksia. Säteilyn aallonpituuden lisäksi sen määrällä on merkitystä. Eritysesti näkyvä valon ollessa kyseessä valon määrää kuvataan termeillä radianssi, luminanssi ja kirkkaus. Radianssi mittaa, kuinka paljon energiaa säteilylähteestä virtaa. Radianssin mittayksikkö on watti. Luminanssi mittaa havaitsijan havainnoimaa intensiteettiä. Esimerkiksi infrapunasäteilyn ollessa kyseessä säteilylähteen radianssi voi olla huomattavan suuri, mutta ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 19

20 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.2 Valo ja sähkömagneettinen spektri lähde on hädin tuskin havaittavissa ihmissilmällä eli sen luminanssi on lähes nolla. Kirkkaus taas tarkoittaa havaitsijan kokemaa harmaasävyä. Kuten edellä todettiin, kirkkaus on subjektiivinen käsite ja siihen vaikuttavat monenlaiset tekijät eikä se ole helposti mitattavissa. Periaatteessa, mikäli voidaan kehittää sensori, joka mittaa energiaa tietyllä sähkömagneettisen spektrin alueella, voidaan tällä alueella säteileviä tai säteilyä heijastavia kohteita kuvantaa. Erityisesti mikroskopian alueella on kuitenkin huomattava, että nähdäkseen tietyn kohteen säteilyn aallonpituuden tulee olla samaa luokkaa tai pienempi kuin kohteen koko. Esimerkiksi vesimolekyylin läpimitta on luokkaa m, joten vesimolekyylien tutkimiseen tarvitaan sähkömagneettista säteilyä, jonka aallonpituus on tuota luokkaa tai pienempi, eli esimerkiksi röntgensäteitä. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 20

21 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.3 Kuvantaminen 2.3 Kuvantaminen Kuvantamisessa sensori mittaa kuvattavasta kohteesta tietyllä spektrin alueella tulevaa säteilyä. Sensorin vaste riippuu jollain tavalla (ei välttämättä lineaarisesti) sensoriin tulevan säteilyn määrästä. Sensorin vaste muutetaan digitaaliseen muotoon ja yleensä sille suoritetaan joitain signaalinkäsittelyoperaatioita halutunlaisen kuvan saamiseksi. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 21

22 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.3 Kuvantaminen Kuva 5: 2-ulotteinen kuva voidaan muodostaa käyttämällä yksittäissensoria jota voidaan liikuttaa suhteessa kuvattavaan kohteeseen. Kuvassa 5 on esimerkki yksittäissensorista. Yksittäissensori voi olla esimerkiksi valodiodi. Kaksiulotteisen kuvan saamiseksi yksittäissensoria on liikutettava sekä x- että y-suunnassa. Tämän järjestelyn hyvä puoli on, että mekaanista liikettä voidaan kontrolloida sopivalla laitteistolla erittäin tarkasti, joten erittäin korkean tarkkuuden kuvien ottaminen on mahdollista (joskin hitaasti). ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 22

23 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.3 Kuvantaminen Yksittäissensoreita käyteteään myös lasereiden kanssa. Laserista tuleva säde ohjataan liikuteltavien peilien avulla kohteeseen ja sieltä heijastuva valo edelleen sensoriin. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 23

24 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.3 Kuvantaminen Kuva 6: Esimerkkejä viivasensoreista ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 24

25 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.3 Kuvantaminen Viivasensoreista on esimerkkejä kuvassa 6. Viivasensoreita käytettäessä sensoria tarvitsee liikuttaa enää yhdessä suunnassa kaksiulotteisen kuvan saamiseksi. Lääketieteen kuvantamisessa (tietokonetomografiassa, sekä MRI- ja PET-kuvauksessa) käytetään kuvassa oikealla puolella olevaa järjestelyä: Säteilylähde pyörii kuvattavan kohteen ympärillä ja vastapuolella on ko. säteilylle herkkä sensori. Kun mittauksia otetaan useissa eri suunnissa, sensorien vasteesta voidaan laskea kohteen poikkileikkauskuva nk. käänteisellä Radon-muunnoksella. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 25

26 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.3 Kuvantaminen Kuva 7: Kuvantaminen matriisisensorilla ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 26

27 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.3 Kuvantaminen Tavallisissa digitaalikameroissa ym. vastaavissa laitteissa käytetään sensorimatriisia, jossa on valoherkkiä sensoreita m n elementin matriisissa. Sensoritekniikasta riippuen värikuvia otettaessa tarvitaan yleensä useita sensoreita kuvapistettä kohti eri värikomponenttien mittaamiseksi. Kuvassa 7 on tyypillinen kuvausjärjestely sensorimatriisia käytettäessä: Valonlähteestä tuleva valo (tai muu sähkömagneettinen säteily) heijastuu kuvattavasta kohteesta, kulkee linssi- tai muun kuvantamisjärjestelmän läpi kuvatasolle, jossa on säteilylle herkkiä sensoreita. Sensorit integroivat niihin tulevaa säteilyenergiaa tietyn ajan (valotusajan) yli, jonka jälkeen kuvasignaali on luettavissa matriisista analogisessa muodossa. Lopuksi analoginen signaali muuutetaan digtaaliseksi A/D-muunnoksessa, jota tarkastellaan seuraavassa kappaleessa. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 27

28 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.3 Kuvantaminen Kuvanmuodostus Harmaasävykuva voidaan ymmärtää kaksiulotteiseksi funktioksi f(x, y), 0 < f(x, y) < (2.3-1) joka kuvaa kuvattavasta kohteesta kuvantamisjärjestelmään tulevan säteilyn määrää. Useimmissa tapauksissa f voidaan jakaa kahteen komponenttiin: valaistuskomponenttiin i(x, y) joka kuvaa säteilylähteestä kuvattavaan kohteeseen tulevan säteilyn määrää ja heijastuskomponenttiin r(x, y) joka kuvaa kuinka hyvin kuvattava kohde heijastaa säteilyä. Kuva f voidaan siis esittää tulona f(x, y) = i(x, y)r(x, y), (2.3-2) jossa 0 < i(x, y) < (2.3-3) ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 28

29 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.4 Kuvan näytteenotto ja kvantisointi ja 0 < r(x, y) < 1. (2.3-4) 2.4 Kuvan näytteenotto ja kvantisointi Kuvantamisjärjestelmään tuleva signaali on jatkuva sekä paikan että intensiteetin suhteen. Digitaalisessa kuvassa sekä koordinaattien että kuvafunktion arvot ovat diskreettejä. Kuvan diskretoimista paikan suhteen kutsutaan näytteistämiseksi ja intensiteetin (amplitudin, kuvafunktion arvon) diskretoimista kvantisoinniksi. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 29

30 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.4 Kuvan näytteenotto ja kvantisointi N y M 1 x Kuva 8: Tässä kurssissa kuvatason koordinaatisto valitaan seuraavasti: x- akselin positiivinen suunta on vasemmasta yläkulmasta alaspäin ja y-akselin positiivinen suunta vasemmasta yläkulmasta oikealle. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 30

31 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.4 Kuvan näytteenotto ja kvantisointi Olkoon aluperäinen jatkuva kuvafunktio f(x, y). Siitä otettuja näytteitä f(x 0 + x x, y 0 + y y), 0 x M 1, 0 y N 1 kutsutaan näytteistetyksi funktioksi. Huomaa, että kurssikirjan mukaisesti tässä kurssissa käytetään koordinaatteja x ja y välillä kuvaamaan jatkuvan funktion koordinaatteja ja välillä näytteistetyn funktion indeksejä. Kuvankäsittelyssä yleisesti käytetty koordinaattien merkitsemistapa poikkeaa matematiikan käytännöstä. Tässä kurssissa käytetty koordinaatisto on esitelty kuvassa 8. Näytteistettyä kuvaa käsitellään usein myös ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 31

32 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.4 Kuvan näytteenotto ja kvantisointi M N-matriisina: f(0, 0) f(0, 1)... f(0, N 1) f(1, 0) f(1, 1)... f(1, N 1) f(x, y) = f(m 1, 0) f(m 1, 1)... f(m 1, N 1) (2.4-1) Huomaa, että kurssissa käytetty kuvatason koordinaatiston valinta vastaa matriisilaskennassa perinteisesti käytettyjä indeksejä. Analogia-digitaalimuunnoksessa alkuperäisen kuvafunktion arvot kvantisoidaan tietylle määrälle harmaasävytasoja. Alkuperäisen funktion intensiteettiarvot [L min, L max ] kvantisoidaan välille 0,...,L 1. Rajaa L min pienemmät ja rajaa L max suuremmat intensiteetit leikkautuvat eli saavat arvon 0 tai L 1 kvantisoidussa funktiossa. Kuvassa 9 on esimerkki tasavälisestä kvantisoinnista: alkuperäinen funktion arvot kuvautuvat ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 32

33 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.4 Kuvan näytteenotto ja kvantisointi arvoiksi 0, 1....,7. Digitaaliset kuvat esitetään yleensä binäärimuodossa, joten käytännön syistä kvantisointitasojen määrä L valitaan usein siten, että se on 2:n potenssi: L = 2 k. (2.4-3) Nyt ilman kompressiota digitaalisen kuvan esittämiseen tarvitaan b = M N k (2.4-4) bittiä. Esimerkiksi 256:m harmaasävyn pikselin kuvan esittäminen vaatii bittiä = 256 kilotavua. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 33

34 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.4 Kuvan näytteenotto ja kvantisointi kvantisoitu arvo alkuperäinen arvo Kuva 9: Esimerkki kvantisointifunktiosta, joka kvantisoi alkuperäisen funktion arvot tasavälisesti 8 kvantisointitasolle. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 34

35 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.5 Pikseleiden välisiä yhteyksiä 2.5 Pikseleiden välisiä yhteyksiä Pikselin p = (x, y) 4-naapurit ovat ja sen diagonaalinaapurit ovat (x + 1, y), (x 1, y), (x, y + 1), (x, y 1) (x + 1, y + 1), (x + 1, y 1), (x 1, y + 1), (x 1, y 1). Pisteen 4-naapureita merkitään N 4 (p):llä ja diagonaalinaapureita N D (p):llä. Diagonaali- ja 4-naapurit yhdessä muodostavat pisteen 8-naapurit, N 8 (p):n, ks. kuva 10. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 35

36 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.5 Pikseleiden välisiä yhteyksiä N 4(p) N (p) D N (p) 8 Kuva 10: Pisteen p 4-, diagonaali- ja 8-naapurit. Jotta kaksi pistettä olisivat vierekkäisiä (adjacent), niiden täytyy olla naapureita ja lisäksi niiden harmaasävyjen täytyy täyttää määrätty samanlaisuuskriteeri. Jos V :llä merkitään sitä harmaasävyjen joukkoa, jotka täyttävät samanlaisuuskriteerin (esim. voidaan määrätä, että V :hen kuuluvat harmaasävyt 0 30), 4-, 8- ja m-vierekkäisyys määritellään seuraavasti: 4-vierekkäisyys. Pisteet p ja q ovat 4-vierekkäisiä, jos niiden harmaasävyarvot kuuluvat V :hen ja q kuuluu N 4 (p):hen. 8-vierekkäisyys. Pisteet p ja q ovat 8-vierekkäisiä, jos niiden ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 36

37 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.5 Pikseleiden välisiä yhteyksiä harmaasävyarvot kuuluvat V :hen ja q kuuluu N 8 (p):hen. m-vierekkäisyys. Pisteet p ja q ovat m-vierekkäisiä, jos niiden harmaasävyarvot kuuluvat V :hen ja 1. q kuuluu N 4 (p):hen tai 2. q kuuluu N D (p):hen ja joukkoon N 4 (p) N 4 (q) ei kuulu pikseleitä joiden harmaasävyarvo on V :ssä (a) (b) (c) Kuva 11: Esimerkki pisteiden välisestä vierekkäisyydestä kun V = {1} ja käytetään (a) 4-vierekkäisyyttä, (b) 8-vierekkäisyyttä, (c) m-vierekkäisyyttä. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 37

38 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.5 Pikseleiden välisiä yhteyksiä Polku pisteestä p = (x, y) pisteeseen q = (s, t) on jono erillisiä pisteitä (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),...,(x n, y n ) siten että p = (x, y) = (x 0, y 0 ) sekä q = (s, t) = (x n, y n ), ja pisteet (x i 1, y i 1 ) ja (x i, y i ) ovat vierekkäisiä kun 1 i n. Olkoon S joukko pikseleitä kuvassa. Nyt p ja q ovat liittyneitä (connected) S:ssä jos on olemassa polku p:stä q:hun siten että kaikki polun pisteet ovat S:ssä. Olkoon p piste S:ssä. Tällöin niiden pisteiden joukkoa, jotka ovat liittyneitä p:hen S:ssä kutsutaan S:n liittyneeksi komponentiksi. Jos S koostuu tasan yhdestä liittyneestä komponentista, S:ää kutsutaan liittyneeksi joukoksi. Liittynyttä joukkoa kutsutaan kuvan alueeksi (region). Alueen R rajan (boundary, border, contour) muodostavat ne pisteet, joilla on vähintään yksi naapuri, joka ei ole R:ssä sekä ne R:n pisteet jotka ovat samalla koko kuvan reunapisteitä. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 38

39 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.5 Pikseleiden välisiä yhteyksiä Kuvan alueisiin liittyy oleellisesti myös reunan (edge) käsite. Rajan ja reunan oleellinen ero on, että raja on alueeseen liittyvä globaali käsite, ja se muodostaa suljetun polun kuvassa. Reuna sen sijaan on paikallinen käsite, ja sillä tarkoitetaan paikallista epäjatkuvuutta kuvan harmaasävyarvoissa. Reunojen ilmaisua käsitellään kappaleessa Etäisyysmittoja Olkoot p, q ja z kuvapisteitä, koordinaatteina (x, y), (s, t) ja (u, v). D on etäisyysfunktio eli metriikka, jos 1. D(p, q) 0 (D(p, q) = 0, jos ja vain jos p = q), 2. D(p, q) = D(q, p) ja 3. D(p, z) D(p, q) + D(q, z) (kolmioepäyhtälö). ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 39

40 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.5 Pikseleiden välisiä yhteyksiä p:n ja q:n välinen Euklidinen etäisyys: D e (p, q) = (x s) 2 + (y t) 2. (2.5-1) D 4 -etäisyys (city block, Manhattan distance): D 8 -etäisyys (chessboard): D 4 (p, q) = x s + y t. (2.5-2) D 8 (p, q) = max( x s, y t ). (2.5-3) On syytä huomata, että edellä esitettyjen etäisyysmittojen arvo ei riipu lainkaan kuvapisteiden harmaasävyistä; etäisyys lasketaan pelkästään koordinaattien avulla. Lisäksi voidaan määritellä kuvapisteiden arvoista riippuva etäisyys, D m -etäisyys, joka tarkoittaa lyhyimmän mahdollisen p:stä q:hun kulkevan m-polun pituutta. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 40

41 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.6 Lineaariset ja epälineaariset operaatiot (a) (b) (c) Kuva 12: Esimerkkejä etäisyysmitoista. Ympyröityjen pisteiden välinen etäisyys (a), (b)- ja (c)-kohdassa on D e -mitalla 2 2, D 4 -mitalla 4 ja D 8 -mitalla 2. D m -mitalla etäisyys on (a)-kohdassa 2, (b)-kohdassa 3 ja (c)-kohdassa Lineaariset ja epälineaariset operaatiot Olkoon H operaattori, jonka syöte ja tulos ovat kuvia. H on lineaarinen operaattori, jos mille tahansa kuville f ja g sekä mille tahansa skalaareille a ja b pätee H {af + bg} = ah {f} + bh {g}. (2.6-1) ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 41

42 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 2.6 Lineaariset ja epälineaariset operaatiot Mikäli em. yhtälö ei päde, operaattorin sanotaan olevan epälineaarinen. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 42

43 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3 Kuvan korostus paikkatasossa Kuvan korostuksen tavoitteena on prosessoida kuvaa siten, että tuloskuva on valittuun sovellutukseen käyttökelpoisempi kuin alkuperäinen kuva. Kuvan korostusmenetelmät voidaan jakaa paikka- ja taajuustason menetelmiin. Tässä luvussa käsitellään paikkatason menetelmiä. 3.1 Taustaa Paikkatasolla tarkoitetaan sitä pikseleiden joukkoa, joka muodostaa varsinaisen kuvan. Paikkatason menetelmät käyttävät suoraan näiden pikseleiden arvoja kuvan prosessointiin. Paikkatason operaattori voidaan määritellä yhtälöllä g(x, y) = T [f(x, y)], (3.1-1) ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 43

44 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.2 Harmaasävymuunnoksia missä f(x, y) on syötekuva, g(x, y) on tuloskuva ja T on paikkatason operaattori, joka on määritelty jossain (x, y)-tason naapurustossa. T voi käyttää syötteenään yhden kuvan sijaan myös useampaa kuvaa, esimerkiksi jos T -operaatio määritellään usean syötekuvan keskiarvoistamiseksi. Paikkatason menetelmien perusajatus on, että prosessointi aloitetaan esim. kuvan vasemmasta yläkulmasta ja kunkin pikselin prosessoinnissa käytetään hyväksi syötekuvasta ko. pikselin ympärillä määritellyn suorakaiteen tai neliön muotoisen naapuruston harmaasävyjä. Tämän jälkeen naapurustoa siirretään pikselin verran oikealle ja käsitellään seuraava piste, jne. 3.2 Harmaasävymuunnoksia Yksinkertaisimmassa tapauksessa edellä mainitun naapuruston koko on 1 1, jolloin tuloskuvan pikselin arvo riippuu ainoastaan kyseisen pikselin arvosta lähtökuvassa. Tämä operaatio voidaan määritellä harmaasävyjen ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 44

45 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.2 Harmaasävymuunnoksia muunnosfunktiona s = T(r), (3.1-2) missä r on syötekuvan f(x, y) harmaasävy ja s on harmaasävy tuloskuvassa g(x, y). Seuraavassa esitellään eräitä keskeisimpiä harmaasävymuunnoksia. Negatiivikuva Olkoon syötekuvassa harmaasävyjä välillä [0, L 1]. Tällöin kuvan negatiivikuva saadaan harmaasävymuunnoksella s = L 1 r. (3.2-1) Tällä muunnoksella voidaan korostaa erityisesti pieniä vaaleita harmaasävyalueita, jotka ovat tummien alueiden ympäröimiä. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 45

46 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.2 Harmaasävymuunnoksia Logaritmi Logaritmimuunnos määritellään yhtälöllä s = c log(1 + r), (3.2-2) missä c on vakio. Tämä muunnos kuvaa kapean alueen pieniä harmaasävyjä lähtökuvassa laajemmalle alueelle harmaasävyjä tuloskuvassa ja päin vastoin. Toisin sanoen, muunnos on käyttökelpoinen kun mielenkiintoinen informaatio kuvassa on keskittynyt harmaasävyalueen alapäähän. Eksponentiaalinen muunnos Eksponentiaalinen harmaasävymuunnos määritellään yhtälöllä s = cr γ, (3.2-3) ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 46

47 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.2 Harmaasävymuunnoksia missä c ja γ ovat positiivisia vakioita. Useiden kameroiden, näyttöjen, jne vaste on edellämainitun yhtälön mukainen, joten vastaavanmuotoinen gamma-korjaus tehdään harmaasävyarvoille lineaarisen vasteen saavuttamiseksi. Paloittain lineaariset muunnokset Paloittain määriteltyjä lineaarisia muunnoksia voidaan käyttää halutun harmaasävyalueen korostamiseen. Esimerkkejä paloittain määritellyistä lineaarisista muunnoksista on kuvassa 13. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 47

48 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.2 Harmaasävymuunnoksia (r 2, s 2 ) s s s (r, s ) 1 1 r (a) r (b) r (c) Kuva 13: Esimerkkejä paloittain määritellyistä lineaarisista harmaasävymuunnoksista: (a) kontrastin venytys, (b) ja (c) erilaisia vaihtoehtoja intensiteetin viipalointiin. Kontrastin venytyksellä voidaan lisätä kuvan harmaasävydynamiikkaa. Pisteet (r 1, s 1 ) ja (r 2, s 2 ) määrittävät kuvauksen. Kun r 1 = s 1 ja r 2 = s 2, kyseessä on lineaarinen kuvaus, joka ei muuta kuvan harmaasävyjä. Jos taas ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 48

49 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.2 Harmaasävymuunnoksia r 1 = r 2, s 1 = 0 ja s 2 = L 1, saadaan kynnystysfunktio joka kuvaa r 1 :tä pienemmät harmaasävyt mustaksi ja sitä suuremmat valkoiseksi. Valitsemalla näiden kahden ääritapauksen väliltä saadaan erilaisia kuvan kontrastia lisääviä funktioita. Intensiteetin viipalointi korostaa kuvan tiettyä harmaasävyaluetta. Kuvan 13 (b) mukainen kuvaus korostaa määrättyä aluetta ja säilyttää muut harmaasävyt ennallaan, ja kuvan 13 (c) mukainen kuvaus esittää halutun harmaasävyalueen kirkkaana ja kaikki muut harmaasävyt tummana. Bittitasojen viipaloinnissa esitetään harmaasävykuvan määrätyn bitin arvot mustavalkokuvana. Tätä voidaan hyödyntää esimerkiksi arvioitaessa, kuinka monen bitin tarkkuudella kuva pitää esittää jotta riittävä määrä yksityiskohtia saadaan säilytettyä. Esimerkki bittitason viipaloinnista on kuvassa 14. Kuten esimerkistä huomaa, tärkein informaatio on muutamaa eniten merkitsevää bittiä vastaavilla bittitasoilla, ja matalammilla tasoilla on pääasiassa pienempiä yksityiskohtia ja kohinaa. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 49

50 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.2 Harmaasävymuunnoksia ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 50

51 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi 3.3 Histogrammin prosessointi Olkoon kuvassa harmaasävyjä [0, L 1]. Tällöin kuvan histogrammi on diskreetti funktio h(r k ) = n k, jossa r k on harmaasävy välillä [0, L 1] ja n k on niiden kuvapisteiden lukumäärä, joiden harmaasävyarvo on r k. Normalisoidussa histogrammissa arvot on jaettu kuvapisteiden kokonaismäärällä n, eli p(r k ) = n k /n. Vapaasti tulkittuna normalisoitu histogrammi antaa estimaatin kunkin sävyn esiintymistodennäköisyydestä kuvassa. Histogrammin muoto antaa hyödyllistä infomaatiota kuvasta esim. kontrastin korostustarpeita silmälläpitäen. Esimerkkejä erilaisista harmaasävykuvista ja niiden histogrammeista on kuvassa 15. Histogrammin laskenta on yksinkertaista, joten histogrammeihin perustuvia kuvankäsittelymenetelmiä käytetään paljon reaaliaikaisissa kuvankäsittelysovelluksissa. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 51

52 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 52

53 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi Histogrammin tasoitus Oletetaan seuraavassa, että kuvan harmaasävyt on normalisoitu välille [0, 1] ja että normalisoitu harmaasävyjakauma p r (r) on määritelty ja positiivinen välillä [0, 1] ja se on jatkuva. Koska nyt jakauma on jatkuva eikä diskreetti, puhutaan todennäköisyystiheysfunktiosta histogrammin sijaan. Tarkastellaan harmaasävymuunnosta s = T(r), joka on 1. yksikäsitteinen ja monotonisesti kasvava kun 0 r 1 ja 2. 0 T(r) 1 kun 0 r 1. Tällöin käänteismuunnos s = T 1 (r) on olemassa, ja sillä on samat ominaisuudet. Nyt todennäköisyystiheysfunktioille p s (s) ja p r (r) on voimassa p s (s) = p r (r) dr ds. (3.3-3) ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 53

54 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi Kuvankäsittelyssä yleisesti käytetty harmaasävymuunnos on muotoa s = T(r) = r 0 p r (w)dw, (3.3-4) jossa w on integrointivakio. Huomaa, että T(r) on samalla satunnaismuuttujan r kertymäfunkio. Koska p r (r):n oletettiin olevan positiviinen välillä [0, 1], T(r) on yksikäsitteinen ja monotonisesti kasvava tällä välillä. Satunnaismuuttujan kertymäfunktion ominaisuuksista seuraa, että T(r) täyttää myös em. ehdon 2. Muunnoksen T(r) derivaatta on ds dr = dt(r) dr = d dr r 0 p r (w)dw = p r (r). (3.3-5) Nyt kaavasta saadaan s:n jakauma seuraavasti: p s (s) = p r (r) dr ds = p r(r) 1 p r (r) = 1, 0 s 1. (3.3-6) ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 54

55 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi Muunnoksella T(r) saadaan siis kuvan harmaasävyjakauma muutettua tasaiseksi. Käytännön tilanteissa digitaalisilla kuvilla jakauma p r (r) ei ole jatkuva vaan diskreetti. Normalisoidulle histogrammille p r (r k ) = n k n muunnos T(r k ) määritellään seuraavasti: (3.3-7) s k = T(r k ) = k p r (r j ) = j=0 k j=0 n j n (3.3-8) Tätä operaatiota kutsutaan histogrammin tasoittamiseksi tai ekvalisoinniksi. Kaavan mukainen muunnos täyttää edellämainitut ehdot 1. ja 2., mutta toisin kuin jatkuvassa tapauksessa, tuloksena saatavan kuvan histogrammi ei yleensä ole täysin tasainen. Tämä johtuu muunnoksen diskreetistä luonteesta. Kuvassa 16 on esimerkki harmaasävykuvasta, jolle ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 55

56 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi on suoritettu histogrammin tasoitus Kuva 16: Esimerkki harmaasävykuvasta, jolle on suoritettu histogrammin tasoitus. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 56

57 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi Histogrammin määrääminen Histogrammin tasoitus muuttaa kuvan histogrammin lähes tasaiseksi, mutta kaikissa tilanteissa tämä lähestymistapa ei ole paras mahdollinen vaan voi olla hyödyllisempää tavoitella jotain muuta kuin tasaista histogrammia. Käsitellään jälleen jatkuvia jakaumia. Olkoon p z (z) haluttu harmaasävyjakauma. Nyt muunnos G(z) = z 0 p z(w)dw muuttaa jakauman p z (z) tasajakaumaksi. Jos käänteismuunnos G 1 (s) on olemassa (ks. ehdot 1. ja 2. edeltä), se muuttaa tasajakauman jakaumaksi p z (z). Edellisessä kappaleessa kuvatulla muunnoksella s = T(r) voidaan annetun kuvan harmaasävyjakauma tasoittaa, joten jakauman määrittäminen tapahtuu yhdistetyllä muunnoksella z = G 1 (s) = G 1 (T(r)). (3.3-12) Tällä muunnos muuntaa jakauman p r (r) halutuksi jakaumaksi p z (z). ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 57

58 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi Käytännössä käänteismuunnoksen G 1 (s) määrittäminen voi olla vaikeaa jatkuvassa tapauksessa. Diskreetissä tapauksessa sen sijaan voidaan muunnokset toteuttaa yksinkertaisesti taulukoilla. Diskreetissä tapauksessa tosin pätee sama kuin histogrammin tasoittamisessa eli saavutettu jakauma ei usein ole täsmälleen halutun kaltainen. Esimerkki histogrammin määräämisellä saadusta kuvasta on kuvassa 17. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 58

59 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi (a) (b) (c) Kuva 17: Esimerkki histogrammin määräämisestä. (a) tavoiteltu histogrammi, (b) histogrammin määräämisellä saatu kuva, (c) tuloskuvan histogrammi. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 59

60 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.3 Histogrammin prosessointi Paikallinen käsittely Edellä esitetyt menetelmät ovat globaaleja, koska muunnosfunktio perustuu koko kuvan harmaasävyjakaumaan. Usein tarvitaan paikallista korostusta, koska globaali muunnos ei anna välttämättä hyvää tulosta. Paikallinen histogrammin käsittely toimii seuraavasti: 1. Määritellään n m suuruinen ympäristö (ikkuna), jota liikutetaan piste pisteeltä kuvan yli. 2. Kussakin pisteessä lasketaan n m ympäristön histogrammi, jota käytetään joko histogrammin tasoituksessa tai spesifioinnissa antamaan uusi arvo n m ympäristön keskipisteelle. 3. Ympäristö siirretään seuraavaan pisteeseen ja lasketaan uusi histogrammi. Laskenta-ajan pienentämiseksi voidaan käyttää myös ei-päällekkäisiä ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 60

61 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.4 Kuvan korostus aritmeettisilla ja loogisilla operaattoreilla ympäristöjä, mikä saattaa kuitenkin aiheuttaa "shakkiruutuefektin". 3.4 Kuvan korostus aritmeettisilla ja loogisilla operaattoreilla Tässä osassa tarkastellaan kuvan korostusta aritmeettisilla ja loogisilla operaattoreilla. Loogista NOT-operaatiota lukuunottamatta kaikissa käsiteltävissä operaatioissa syötteenä on vähintään kaksi kuvaa. Perusajatus on, että syötekuvat ovat samankokoisia, ja jokaiselle pikselille lasketaan ko. pikselin summa, erotus, jne. lähtökuvissa. Mahdollisia operaatioita ovat mm NOT-operaattori. Syötteenä on vain yksi kuva ja tuloksena saadaan negatiivikuva (kaava 3.2-1). AND-operaattori ja OR-operaattori. Käytetään lähinnä binäärimaskien kanssa erotettaessa kuvasta tiettyä osaa käsittelyä varten. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 61

62 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.4 Kuvan korostus aritmeettisilla ja loogisilla operaattoreilla AND-operattoria käytettäessä maskin ykkösiä vastaavat pikselit lähtökuvassa pysyvät ennallaan ja nollia vastaavat pikselit muuttuvat mustiksi. OR-operaattoria käytettäessä maskin ykkösiä vastaavat pikselit muuttuvat valkoisiksi ja nollia vastaavat pikselit pysyvät ennallaan. Kertolasku. Kertolaskun avulla voidaan toteuttaa monimutkaisempia maskioperaatioita: binäärimaskin sijasta voidaan käyttää harmaasävymaskia. Yhteen- ja vähennyslasku. Yhteenlaskua (keskiarvoistamista) voidaan käyttää kohinan vähentämiseen ja vähennyslaskua kuvien välisten erojen osoittamiseen. Näitä käsitellään tarkemmin seuraavassa. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 62

63 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.4 Kuvan korostus aritmeettisilla ja loogisilla operaattoreilla Kuvien vähentäminen Kuvien vähentämisellä saadaan esille kahden kuvan välinen ero. Tätä voidaan hyödyntää mm. Tutkittaessa kuvankäsittelyoperaation (esim. kuvan bittimäärän vähennyksen) vaikutusta kuvaan: vähennetään käsitelty kuva alkuperäisestä Lääketieteellisessä kuvantamisessa: esimerkiksi käytettäessä varjoainetta röntgenkuvassa vähennetään ilman varjoainetta otettu kuva varjoaineen kanssa otetusta kuvasta jolloin saadaan verisuonet selvästi näkyviin. Liikkuvien kohteiden ilmaisussa ja seuraamisessa: vähennetään paikallaan olevalla kameralla otetun kuvasekvenssin kaksi kuvaa toisistaan. Erotuskuvassa on (kohinan lisäksi) kuvien ottamisen välillä liikkuneet kohteet. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 63

64 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.4 Kuvan korostus aritmeettisilla ja loogisilla operaattoreilla Jos alkuperäisissä kuvissa on harmaasävyja [0,..., L 1], voi erotuskuvassa olla arvoja [ (L 1),...,0,...,L 1]. Yleensä digitaalisissa kuvissa ei sallita negatiivisia arvoja. Ongelman voi ratkaista esim. seuraavilla kahdella tavalla: joko lisätään erotuskuvaan vakio L 1 ja jaetaan tulos kahdella, tai lisätään erotuskuvaan sen pienimmän arvon vastaluku ja kerrotaan tulos luvulla (L 1)/(Max), missä Max on muunnetun kuvan suurin arvo. Ensimmäinen ratkaisu on yksinkertainen toteuttaa, mutta sen seurauksena koko käytettävissä oleva harmaasävyalue ei välttämättä ole käytössä. Jälkimmäinen menetelmä taas on toteutukseltaan hieman monimutkaisempi, mutta se takaa, että lopullisessa tuloskuvassa koko harmaasävyalue on käytössä. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 64

65 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.4 Kuvan korostus aritmeettisilla ja loogisilla operaattoreilla Kuvien keskiarvoistaminen Oletetaan, että alkuperäiseenkuvaan f(x, y) summaututuu kohinaa η(x, y), eli g(x, y) = f(x, y) + η(x, y). (3.4-2) Oletetaan lisäksi, että eri pikseleiden kohinanäytteet ja saman pikselin ajallisesti peräkkäiset kohinanäytteet ovat korreloimattomia, ja että kohina on nollakeskiarvoista. Tavoitteena on vähentää kohinaa ottamalla laskemalla keskiarvokuva ḡ(x, y) joukosta kohinaisia kuvia {g i (x, y)}: ḡ(x, y) = 1 K K g i (x, y). (3.4-3) i=1 Jos edellämainitut kohinaa koskevat oletukset pitävät paikkansa, voidaan ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 65

66 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.4 Kuvan korostus aritmeettisilla ja loogisilla operaattoreilla osoittaa että keskiarvokuvan odotusarvo ja varianssi saadaan kaavoista ja E{ḡ(x, y)} = f(x, y) (3.4-4) σ 2 ḡ(x,y) = 1 K σ2 η(x,y). (3.4-5) Keskiarvokuvan varianssi siis laskee kun K kasvaa eli käytännössä kuvassa oleva kohina vähenee kun lasketaan keskiarvo useasta kuvasta. Tämä kuitenkin vaatii, että kuvattavasta kohteesta voidaan ottaa identtisiä peräkkäisiä otoksia, jotka pystytään kohdistamaan tarkasti päällekkäin. Useissa sovelluksissa tämä ei ole mahdollista, mutta keskiarvoistamista käytetään mm. mikroskopiassa ja astronomiassa. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 66

67 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.5 Spatiaalisen suodatuksen perusteita 3.5 Spatiaalisen suodatuksen perusteita Spatiaaliset suodatusmenetelmät perustuvat artimeettisten tai loogisten operaatioiden suorittamiseen kunkin pikselin määrätyssä naapurustossa. Yleensä suodatuksessa käytetään myös maskia (ks. kuva 18), joka on naapuruston kokoinen matriisi, joka sisältää suodattimen kertoimet, jotka määräävät ko. suodattimen ominaisuudet. f(x 1,y 1) f(x 1,y) f(x 1,y+1) w( 1, 1) w( 1,0) w( 1,1) f(x,y 1) f(x,y) f(x,y+1) w(0, 1) w(0,0) w(0,1) f(x+1,y 1) f(x+1,y) f(x+1,y+1) w(1, 1) w(1,0) w(1,1) Kuva 18: 3 3-naapurusto kuvassa f(x, y) sekä 3 3-maski w. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 67

68 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.5 Spatiaalisen suodatuksen perusteita Lineaarisessa spatiaalisessa suodatuksessa tuloskuvan pikselin arvo saadaan laskemalla summa naapuruston pikseleiden arvoista kerrottuna vastaavilla maskin kertoimilla eli a b g(x, y) = w(s, t)f(x + s, y + t), (3.5-1) s= a t= b jossa w on (2a + 1) (2b + 1)-kokoinen maski, f on lähtökuva ja g tuloskuva. Voidaan osoittaa, että tämä operaatio on lineaarinen eli täyttää ehdon Epälineaarisessa spatiaalisessa suodatuksessa käytetään myös naapuruston arvoja, mutta painotetun summan sijaan käytetään jotain muuta aritmeettista tai loogista operaatiota, jonka seurauksena ehto ei täyty. Naapuruston arvoista voidaan laskea esim. mediaani tai varianssi. Kuvan reunoilla ei kaikilla pikseleillä ole vaadittavia naapureita, jotta kyseinen pikseli voitaisiin käsitellä normaalisti. Tällöin on olemassa mm. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 68

69 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.5 Spatiaalisen suodatuksen perusteita seuraavia vaihtoehtoja: 1. Käsitellään vain ne pikselit, joilla on kaikki tarvittavat naapurit. Tämän käsittelytavan seurauksena tuloskuva on pienempi kuin lähtökuva. 2. Käytetään reunoilla erilaista maskia tai alkuperäisestä maskista vain ne kertoimet jotka osuvat kuvan todellisten pikseleiden päälle. 3. Käsitetään kuva syklisesti suljetuksi. Käytetään harvoin, ja tälle käsittelytavalle tulisi olla joku perustelu. Ks. kuva 19 (a). 4. Heijastetaan reunapikseleiden arvot niiden ympärille. Ks. kuva 19 (b). 5. Oletetaan kuvan ulkopuoliset pisteet nolliksi. Ks. kuva 19 (c). ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 69

70 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.6 Tasoittavat spatiaaliset suodattimet (a) (b) (c) Kuva 19: Vaihtoehtoja reunojen käsittelyyn spatiaalisessa suodatuksessa. (a) Kuvan käsittäminen sykliseksi, (b) Heijastaminen, (c) Ulkopuolisten pisteiden olettaminen nolliksi. 3.6 Tasoittavat spatiaaliset suodattimet Kuvan tasoittamisen (smoothing) tai sumentamisen (blurring) tavoitteena on vähentää kuvasta kohinaa sekä tarpeettomia yksityiskohtia ennen ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 70

71 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.6 Tasoittavat spatiaaliset suodattimet jatkokäsittelyä. Tasoittaminen myös yhdistää pienet katkeamat reunoissa tai käyrissä. Kuvassa 20 on esimerkki tasoituksen käytöstä. Eräitä tasoittavia suodattimia kutsutaan myös alipäästösuodattimiksi. Tämän nimityksen perusteluja käsitellään luvussa 4. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 71

72 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.6 Tasoittavat spatiaaliset suodattimet (a) (b) (c) (d) Kuva 20: Esimerkki tasoituksen käytöstä kuvankäsittelyssä. Alkuperäisessä kuvassa (a) on paljon kohinaa ja kuvan renkaassa on pieni katkos. Jos tavoitteena on mustavalkoinen kuva, jossa on yhtenäinen rengas, tästä kuvasta ei saada hyvää tulosta millään kynnysarvolla (b). Jos sen sijaan kuvaa tasoitetaan ensin (c) ja tasoitettu kuva kynnystetään (d), tulos on merkittävästi parempi. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 72

73 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.6 Tasoittavat spatiaaliset suodattimet Tasoittavat lineaariset suodattimet Tasoittavissa lineaarisissa suodattimissa perusajatus on, että kunkin pikselin naapurustosta lasketaan painotettu tai painottamaton keskiarvo. Yleisesti tämä voidaan laskea kaavalla g(x, y) = a b s= a t= b w(s, t)f(x + s, y + t) a s= a b t= b w(s, t), (3.6-1) missä esim. 3 3-naapurustoa ja painottamatonta keskiarvoa käytettäessa w on w = ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 73

74 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 3.6 Tasoittavat spatiaaliset suodattimet ja painotettua keskiarvoa käytettäessä w voi olla esim w = Järjestysstatistiikkaan perustuvat suodattimet Usein käytetyt epälineaariset tasoittavat suodattimet perustuvat järjestysstatistiikkaan. Näistä yleisin on mediaanisuodatin, jossa k k-naapuruston keskipisteen uudeksi arvoksi tulee naapuruston harmaasävyjen mediaani eli keskimmäinen arvo kun naapuruston harmaasävyt on laitettu suuruusjärjestykseen. Yleensä mediaanisuodatus hämärtää kuvassa olevia reunoja vähemmän kuin lineaariset tasoittavat suodattimet. ulun yliopisto, sähkö- ja tietotekniikan osasto Slide 74

Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely

Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen, Signaalinkäsittelyn menetelmät,

Lisätiedot

1. Johdanto. Johdanto 1. Johdanto 2. Johdanto 3. Johdanto 4

1. Johdanto. Johdanto 1. Johdanto 2. Johdanto 3. Johdanto 4 1. Johdanto Kuvanprosessointi tai käsittely juontaa juurensa kahdesta pääasiallisesta alueesta, jotka ovat kuvainformaation parantaminen ihmisen tulkintaa varten ja kuvadatan käsittely talletusta, siirtoa

Lisätiedot

Luku 3. Kuvien ehostus tilatasossa. 3.1 Taustaa

Luku 3. Kuvien ehostus tilatasossa. 3.1 Taustaa Luku 3 Kuvien ehostus tilatasossa Kuvan ehostamisessa päätavoitteena on käsitellä kuvaa siten, että saatu tulos soveltuu paremmin haluttuun käyttötarkoitukseen kuin alkuperäinen kuva. On siis sovelluskohtaista,

Lisätiedot

TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Kuvasignaalit. Jyrki Laitinen

TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Kuvasignaalit. Jyrki Laitinen TL553 DSK, laboraatiot (.5 op) Kuvasignaalit Jyrki Laitinen TL553 DSK, laboraatiot (.5 op), K25 Suorita oheisten ohjeiden mukaiset tehtävät Matlab- ja VCDemo-ohjelmistoja käyttäen. Kokoa erilliseen mittauspöytäkirjaan

Lisätiedot

SGN-3010: Digitaalinen kuvankäsittely I. Sari Peltonen Tampereen teknillinen yliopisto Signaalinkäsittelyn laitos 2007

SGN-3010: Digitaalinen kuvankäsittely I. Sari Peltonen Tampereen teknillinen yliopisto Signaalinkäsittelyn laitos 2007 SGN-3010: Digitaalinen kuvankäsittely I Sari Peltonen Tampereen teknillinen yliopisto Signaalinkäsittelyn laitos 2007 ii Esipuhe Digitaalinen kuvankäsittely on nopeasti kehittynytsignaalinkäsittelyn osa-alue,

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Valon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen

Valon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen Näkö Valon havaitseminen Silmä Näkö ja optiikka Näkövirheet ja silmän sairaudet Valo Taittuminen Heijastuminen Silmä Mitä silmän osia tunnistat? Värikalvo? Pupilli? Sarveiskalvo? Kovakalvo? Suonikalvo?

Lisätiedot

Mediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin

Mediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin Mediaanisuodattimet Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin niiden analysointiin on olemassa vakiintuneita menetelmiä

Lisätiedot

6. Värikuvanprosessointi 6.1. Värien periaatteet

6. Värikuvanprosessointi 6.1. Värien periaatteet 6. Värikuvanprosessointi 6.1. Värien periaatteet Värien käyttö kuvissa on hyödyllistä kahdesta syystä. Väri on tehokas kuvaaja kohteiden tunnistamiseksi ja erottamiseksi näkymästä. Toiseksi normaalilla

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Luento 3: 3D katselu. Sisältö

Luento 3: 3D katselu. Sisältö Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Digitaalinen kuvankäsittely T-61.5100 (5 op) L. Syksy 2005

Digitaalinen kuvankäsittely T-61.5100 (5 op) L. Syksy 2005 Digitaalinen kuvankäsittely T-61.5100 (5 op) L Syksy 2005 Luennot: Laskuharjoitukset: Jorma Laaksonen Jukka Iivarinen OPETUSMONISTE 2005 Luento #1 14.9.2005 2 1. Yleistä kurssista.......................

Lisätiedot

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta: LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Successive approximation AD-muunnin

Successive approximation AD-muunnin AD-muunnin Koostuu neljästä osasta: näytteenotto- ja pitopiiristä, (sample and hold S/H) komparaattorista, digitaali-analogiamuuntimesta (DAC) ja siirtorekisteristä. (successive approximation register

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

origo x JUKKA JAUHIAINEN 2006

origo x JUKKA JAUHIAINEN 2006 D I G I TA A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E LY origo f x, y x y JUKKA JAUHIAINEN 006 1 Johdanto 3 1.1 Digitaalisen kuvan määritelmä 3 1. Kuvankäsittelyn vaiheet 3 1.3 Kuvankäsittelyjärjestelmän osat

Lisätiedot

3D-kuvauksen tekniikat ja sovelluskohteet. Mikael Hornborg

3D-kuvauksen tekniikat ja sovelluskohteet. Mikael Hornborg 3D-kuvauksen tekniikat ja sovelluskohteet Mikael Hornborg Luennon sisältö 1. Optiset koordinaattimittauskoneet 2. 3D skannerit 3. Sovelluskohteet Johdanto Optiset mittaustekniikat perustuvat valoon ja

Lisätiedot

Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén

Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén Sonifikaatio Menetelmä Sovelluksia Mahdollisuuksia Ongelmia Sonifikaatiosovellus: NIR-spektroskopia kariesmittauksissa

Lisätiedot

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT HILA JA PRISMA MIKKO LAINE 9. toukokuuta 05. Johdanto Tässä työssä muodostamme lasiprisman dispersiokäyrän ja määritämme työn tekijän silmän herkkyysrajan punaiselle valolle. Lisäksi

Lisätiedot

CCD-kamerat ja kuvankäsittely

CCD-kamerat ja kuvankäsittely CCD-kamerat ja kuvankäsittely Kari Nilsson Finnish Centre for Astronomy with ESO (FINCA) Turun Yliopisto 6.10.2011 Kari Nilsson (FINCA) CCD-havainnot 6.10.2011 1 / 23 Sisältö 1 CCD-kamera CCD-kameran toimintaperiaate

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

Tuntematon järjestelmä. Adaptiivinen suodatin

Tuntematon järjestelmä. Adaptiivinen suodatin 1 1 Vastaa lyhyesti seuraaviin a) Miksi signaaleja ylinäytteistetään AD- ja DA-muunnosten yhteydessä? b) Esittele lohkokaaviona adaptiiviseen suodatukseen perustuva tuntemattoman järjestelmän mallinnus.

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

13. Värit tietokonegrafiikassa

13. Värit tietokonegrafiikassa 13.1. Värijoukot tietokonegrafiikassa 13. Värit tietokonegrafiikassa Tarkastellaan seuraavaksi värien kvantitatiivista pohjaa. Useimmiten käytännön tilanteissa kiinnitetään huomiota kvalitatiiviseen. Värien

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

Virheen kasautumislaki

Virheen kasautumislaki Virheen kasautumislaki Yleensä tutkittava suure f saadaan välillisesti mitattavista parametreistä. Tällöin kokonaisvirhe f määräytyy mitattujen parametrien virheiden perusteella virheen kasautumislain

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

6. Analogisen signaalin liittäminen mikroprosessoriin 2 6.1 Näytteenotto analogisesta signaalista 2 6.2. DA-muuntimet 4

6. Analogisen signaalin liittäminen mikroprosessoriin 2 6.1 Näytteenotto analogisesta signaalista 2 6.2. DA-muuntimet 4 Datamuuntimet 1 Pekka antala 19.11.2012 Datamuuntimet 6. Analogisen signaalin liittäminen mikroprosessoriin 2 6.1 Näytteenotto analogisesta signaalista 2 6.2. DA-muuntimet 4 7. AD-muuntimet 5 7.1 Analoginen

Lisätiedot

1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet.

1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet. 1 1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet. Radiosignaalin häipyminen. Adaptiivinen antenni. Piilossa oleva pääte. Radiosignaali voi edetä lähettäjältä vastanottajalle (jotka molemmat

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 28.5.2014, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 28.5.2014, malliratkaisut A1 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 014 Insinöörivalinnan fysiikan koe 8.5.014, malliratkaisut Kalle ja Anne tekivät fysikaalisia kokeita liukkaalla vaakasuoralla jäällä.

Lisätiedot

Mikroskooppisten kohteiden

Mikroskooppisten kohteiden Mikroskooppisten kohteiden lämpötilamittaukset itt t Maksim Shpak Planckin laki I BB ( λ T ) = 2hc λ, 5 2 1 hc λ e λkt 11 I ( λ, T ) = ε ( λ, T ) I ( λ T ) m BB, 0 < ε

Lisätiedot

Kuvan pakkaus JPEG (Joint Photographic Experts Group)

Kuvan pakkaus JPEG (Joint Photographic Experts Group) Kuvan pakkaus JPEG (Joint Photographic Experts Group) Arne Broman Mikko Toivonen Syksy 2003 Historia 1840 1895 1920-luku 1930-luku Fotografinen filmi Louis J. M. Daguerre, Ranska Ensimmäinen julkinen elokuva

Lisätiedot

LIITE I. Epäkoherentti optinen säteily. λ (H eff on merkityksellinen vain välillä 180 400 nm) (L B on merkityksellinen vain välillä 300 700 nm)

LIITE I. Epäkoherentti optinen säteily. λ (H eff on merkityksellinen vain välillä 180 400 nm) (L B on merkityksellinen vain välillä 300 700 nm) N:o 146 707 LIITE I Epäkoherentti optinen säteily Biofysikaalisesti merkittävät optisen säteilyn altistumisarvot voidaan määrittää alla esitettyjen kaavojen avulla. Tietyn kaavan käyttö riippuu kulloisestakin

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

Digitaalinen kuvankäsittely T-61.247 (3 ov) L

Digitaalinen kuvankäsittely T-61.247 (3 ov) L 9.3 Lineaarinen alipäästösuodatus (3.6.)........ 7 Digitaalinen kuvankäsittely T-6.247 (3 ov) L Luento #3 24.9.24 9.4 Kuvan terävöittäminen ylipäästösuodatuksella (3.7). 75. Fourier-muunnoksen perusteet................

Lisätiedot

1 Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava:

1 Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava: Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava: Päästökaistan maksimipoikkeama δ p =.5. Estokaistan maksimipoikkeama δ s =.. Päästökaistan rajataajuus pb = 5 Hz. Estokaistan rajataajuudet sb = 95 Hz Näytetaajuus

Lisätiedot

1. STEREOKUVAPARIN OTTAMINEN ANAGLYFIKUVIA VARTEN. Hyvien stereokuvien ottaminen edellyttää kahden perusasian ymmärtämistä.

1. STEREOKUVAPARIN OTTAMINEN ANAGLYFIKUVIA VARTEN. Hyvien stereokuvien ottaminen edellyttää kahden perusasian ymmärtämistä. 3-D ANAGLYFIKUVIEN TUOTTAMINEN Fotogrammetrian ja kaukokartoituksen laboratorio Teknillinen korkeakoulu Petri Rönnholm Perustyövaiheet: A. Ota stereokuvapari B. Poista vasemmasta kuvasta vihreä ja sininen

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

MIKSI ERI AINEET NÄYTTÄVÄT TIETYN VÄRISILTÄ? ELINTARVIKEVÄRIEN NÄKYVÄN AALLONPITUUDEN SPEKTRI

MIKSI ERI AINEET NÄYTTÄVÄT TIETYN VÄRISILTÄ? ELINTARVIKEVÄRIEN NÄKYVÄN AALLONPITUUDEN SPEKTRI sivu 1/5 MIKSI ERI AINEET NÄYTTÄVÄT TIETYN VÄRISILTÄ? ELINTARVIKEVÄRIEN NÄKYVÄN AALLONPITUUDEN SPEKTRI TEORIA Spektroskopia on erittäin yleisesti käytetty analyysimenetelmä laboratorioissa, koska se soveltuu

Lisätiedot

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

MAA-57.1010 (4 OP) JOHDANTO VALOKUVAUKSEEN,FOTOGRAM- METRIAAN JA KAUKOKARTOITUKSEEN Kevät 2006

MAA-57.1010 (4 OP) JOHDANTO VALOKUVAUKSEEN,FOTOGRAM- METRIAAN JA KAUKOKARTOITUKSEEN Kevät 2006 MAA-57.1010 (4 OP) JOHDANTO VALOKUVAUKSEEN,FOTOGRAM- METRIAAN JA KAUKOKARTOITUKSEEN Kevät 2006 I. Mitä kuvasta voi nähdä? II. Henrik Haggrén Kuvan ottaminen/synty, mitä kuvista nähdään ja miksi Anita Laiho-Heikkinen:

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen Tämä ohje täydentää ja täsmentää osaltaan selostuskäytäntöä laboraatioiden osalta. Yleinen ohje työselostuksista löytyy intranetista, ohjeen on laatinut Eero Soininen

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede

S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede S-114.381 Laskennallinen Neurotiede Projektityö 30.1.007 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 1: Virityskäyrästön laskeminen Luokitellaan neuroni ensin sen mukaan, miten se vastaa sinimuotoisiin syötteisiin. Syöte

Lisätiedot

Digikuvan peruskäsittelyn. sittelyn työnkulku. Soukan Kamerat 22.1.2007. Soukan Kamerat/SV

Digikuvan peruskäsittelyn. sittelyn työnkulku. Soukan Kamerat 22.1.2007. Soukan Kamerat/SV Digikuvan peruskäsittelyn sittelyn työnkulku Soukan Kamerat 22.1.2007 Sisält ltö Digikuvan siirtäminen kamerasta tietokoneelle Skannaus Kuvan kääntäminen Värien säätö Sävyjen säätö Kuvan koko ja resoluutio

Lisätiedot

Teoreettisia perusteita I

Teoreettisia perusteita I Teoreettisia perusteita I - fotogrammetrinen mittaaminen perustuu pitkälti kollineaarisuusehtoon, jossa pisteestä heijastuva valonsäde kulkee suoraan projektiokeskuksen kautta kuvatasolle - toisaalta kameran

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 3. helmikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Sisältö Kurssi koostuu kuudesta (seitsemästä) toisistaan riippumattomasta luennosta. Aihepiirit ovat:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

Korkean resoluution ja suuren kuva-alueen SAR

Korkean resoluution ja suuren kuva-alueen SAR Korkean resoluution ja suuren kuva-alueen SAR Risto Vehmas, Juha Jylhä, Minna Väilä ja prof. Ari Visa Tampereen teknillinen yliopisto Signaalinkäsittelyn laitos Myönnetty rahoitus: 50 000 euroa Esityksen

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

The acquisition of science competencies using ICT real time experiments COMBLAB. Kasvihuoneongelma. Valon ja aineen vuorovaikutus. Liian tavallinen!

The acquisition of science competencies using ICT real time experiments COMBLAB. Kasvihuoneongelma. Valon ja aineen vuorovaikutus. Liian tavallinen! Kasvihuoneongelma Valon ja aineen vuorovaikutus Herra Brown päätti rakentaa puutarhaansa uuden kasvihuoneen. Liian tavallinen! Hänen vaimonsa oli innostunut ideasta. Hän halusi uuden kasvihuoneen olevan

Lisätiedot

TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009. Antti-Juhani Kaijanaho. 7. joulukuuta 2009

TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009. Antti-Juhani Kaijanaho. 7. joulukuuta 2009 TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 7. joulukuuta 2009 Sisällys Sisällys Seuraava deadline Vaihe F maanantai 14.12. klo 12 rekisteriallokaatio Arvostelukappale

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

KAAVAT. Sisällysluettelo

KAAVAT. Sisällysluettelo Excel 2013 Kaavat Sisällysluettelo KAAVAT KAAVAT... 1 Kaavan tekeminen... 2 Kaavan tekeminen osoittamalla... 2 Kaavan kopioiminen... 3 Kaavan kirjoittaminen... 3 Summa-funktion lisääminen... 4 Suorat eli

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

10. Globaali valaistus

10. Globaali valaistus 10. Globaali valaistus Globaalilla eli kokonaisvalaistuksella tarkoitetaan tietokonegrafiikassa malleja, jotka renderöivät kuvaa laskien pisteestä x heijastuneen valon ottamalla huomioon kaiken tähän pisteeseen

Lisätiedot

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Värijärjestelmät. Väritulostuksen esittely. Tulostaminen. Värien käyttäminen. Paperinkäsittely. Huolto. Vianmääritys. Ylläpito.

Värijärjestelmät. Väritulostuksen esittely. Tulostaminen. Värien käyttäminen. Paperinkäsittely. Huolto. Vianmääritys. Ylläpito. Tällä tulostimella voidaan tulostaa värillisiä asiakirjoja. Värituloste herättää huomiota, lisää arvostusta ja tulosteen tai tietojen arvoa. käyttö lisää lukijoiden määrää, sillä väritulosteet luetaan

Lisätiedot

Digitaalisen kuvankäsittelyn perusteet

Digitaalisen kuvankäsittelyn perusteet Digitaalisen kuvankäsittelyn perusteet Jukka Teuhola Turun yliopisto Tietojenkäsittelytiede Syksy 2010 http://staff.cs.utu.fi/kurssit/digitaalisen_kuvankasittelyn_perusteet/syksy_2010/index.htm DKP-1 J.

Lisätiedot

Kuvanlaadunparantaminen. Mikko Nuutinen 21.3.2013

Kuvanlaadunparantaminen. Mikko Nuutinen 21.3.2013 Kuvanlaadunparantaminen Mikko Nuutinen 21.3.2013 Luennon sisältö Termistöä Kuvanentisöinti Terävyys unsharp masking Kohina non-local means Linssivääristymän korjaus Kuvanlaadunehostaminen Kontrasti Auto-levels

Lisätiedot

d sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila

d sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Optisessa hilassa on hyvin suuri määrä yhdensuuntaisia, toisistaan yhtä kaukana olevia

Lisätiedot

Työn tavoitteita. 1 Teoriaa

Työn tavoitteita. 1 Teoriaa FYSP103 / K3 BRAGGIN DIFFRAKTIO Työn tavoitteita havainnollistaa röntgendiffraktion periaatetta konkreettisen laitteiston avulla ja kerrata luennoilla läpikäytyä teoriatietoa Röntgendiffraktio on tärkeä

Lisätiedot

Kuvankäsi*ely 1. Digitaaliset kuvat ja niiden peruskäsi3eet. Kimmo Koskinen

Kuvankäsi*ely 1. Digitaaliset kuvat ja niiden peruskäsi3eet. Kimmo Koskinen Kuvankäsi*ely 1 Digitaaliset kuvat ja niiden peruskäsi3eet Kimmo Koskinen Mitä kuvankäsi3ely on? Digitaalisten kuvien monipuolista muokkausta: - korjailua: roskien poisto, punaiset silmät jne - muuntelua:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA

FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 JOHDANTO Työssä tutustutaan hila- ja prismaspektrometreihin, joiden avulla tutkitaan valon taipumista hilassa ja taittumista prismassa. Samalla tutustutaan eräiden

Lisätiedot

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka. Kari Sormunen Kevät 2014

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka. Kari Sormunen Kevät 2014 VALAISTUSTA VALOSTA Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2014 OPPILAIDEN KÄSITYKSIÄ VALOSTA Oppilaat kuvittelevat, että valo etenee katsojan silmästä katsottavaan kohteeseen.

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa

Kuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa 8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti

Lisätiedot

n! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja.

n! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja. IsoInt Tietokoneiden muisti koostuu yksittäisistä muistisanoista, jotka nykyaikaisissa koneissa ovat 64 bitin pituisia. Muistisanan koko asettaa teknisen rajoituksen sille, kuinka suuria lukuja tietokone

Lisätiedot

OHJ-1010 Tietotekniikan perusteet 4 op Syksy 2012

OHJ-1010 Tietotekniikan perusteet 4 op Syksy 2012 OHJ-1010 Tietotekniikan perusteet 4 op Syksy 2012 Luento 6: Tiedon esittäminen tietokoneessa, osa 1 Tekijät: Antti Virtanen, Timo Lehtonen, Matti Kujala, Kirsti Ala-Mutka, Petri M. Gerdt et al. Luennon

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan tulkinta

Kvanttimekaniikan tulkinta Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät

Lisätiedot

3 Ääni ja kuulo. Ihmiskorva aistii paineen vaihteluita, joten yleensä äänestä puhuttaessa määritellään ääniaalto paineen vaihteluiden kautta.

3 Ääni ja kuulo. Ihmiskorva aistii paineen vaihteluita, joten yleensä äänestä puhuttaessa määritellään ääniaalto paineen vaihteluiden kautta. 3 Ääni ja kuulo 1 Mekaanisista aalloista ääni on ihmisen kannalta tärkein. Ääni on pitkittäistä aaltoliikettä, eli ilman (tai muun väliaineen) hiukkaset värähtelevät suuntaan joka on sama kuin aallon etenemissuunta.

Lisätiedot

Luento 6: 3-D koordinaatit

Luento 6: 3-D koordinaatit Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 6: 3-D koordinaatit AIHEITA (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 16.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen 5.2.2004

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu

Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen,

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Datan käsittely ja tallentaminen Käytännössä kaikkien mittalaitteiden ensisijainen signaali on analoginen Jotta tämä

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

LOPPURAPORTTI 19.11.2007. Lämpötilahälytin. 0278116 Hans Baumgartner xxxxxxx nimi nimi

LOPPURAPORTTI 19.11.2007. Lämpötilahälytin. 0278116 Hans Baumgartner xxxxxxx nimi nimi LOPPURAPORTTI 19.11.2007 Lämpötilahälytin 0278116 Hans Baumgartner xxxxxxx nimi nimi KÄYTETYT MERKINNÄT JA LYHENTEET... 3 JOHDANTO... 4 1. ESISELOSTUS... 5 1.1 Diodi anturina... 5 1.2 Lämpötilan ilmaisu...

Lisätiedot

Numeropelissä 3x3-ruudukko sisältää luvut 1, 2,, 9. Tehtäväsi on järjestää ruudukko näin:

Numeropelissä 3x3-ruudukko sisältää luvut 1, 2,, 9. Tehtäväsi on järjestää ruudukko näin: A Numeropeli Numeropelissä 3x3-ruudukko sisältää luvut 1, 2,, 9. Tehtäväsi on järjestää ruudukko näin: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Voit jokaisella siirrolla vaihtaa keskenään kaksi vierekkäistä lukua vaaka- tai

Lisätiedot

FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ

FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ Työssä perehdytään johteissa ja tässä tapauksessa erityisesti puolijohteissa esiintyvään Hallin ilmiöön, sekä määritetään sitä karakterisoivat Hallin vakio, varaustiheys

Lisätiedot

10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys

10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys 10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi Säteenjäljitys Säteenjäljityksessä (T. Whitted 1980) valonsäteiden kulkema reitti etsitään käänteisessä järjestyksessä katsojan silmästä takaisin kuvaan valolähteeseen

Lisätiedot