SGN-3010: Digitaalinen kuvankäsittely I. Sari Peltonen Tampereen teknillinen yliopisto Signaalinkäsittelyn laitos 2007

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "SGN-3010: Digitaalinen kuvankäsittely I. Sari Peltonen Tampereen teknillinen yliopisto Signaalinkäsittelyn laitos 2007"

Transkriptio

1 SGN-3010: Digitaalinen kuvankäsittely I Sari Peltonen Tampereen teknillinen yliopisto Signaalinkäsittelyn laitos 2007

2 ii

3 Esipuhe Digitaalinen kuvankäsittely on nopeasti kehittynytsignaalinkäsittelyn osa-alue, jolla on moninaisia sovelluskohteita. Tietokoneella tapahtuvassa kuvankäsittelyssä ollaan kuitenkin edelleen kaukana siitä, miten ihmissilmä näkemäänsä kuvainformaatiota käsittelee. Tämä ihmisen kuvankäsittelyjärjestelmä asettaakin suuria haasteita digitaaliselle kuvankäsittelylle, eikä kaikkiin näihin haasteisiin ole edes mahdollista vastata nykytekniikan keinoilla. Tämän monisteen tarkoituksena on tutustuttaa lukija digitaalisen kuvankäsittelyn peruskäsitteisiin ja käytäntöihin. Tarkemmin monisteessa keskitytään kuvien ehostukseen tila- ja taajuustasossa, entistykseen sekä lopussa laajennetaan käsittelyaluetta harmaasävykuvista värikuviin. Kuvankäsittelyssä tehtävien operaatioiden yksikäsitteinen esittäminen vaatii niiden matemaattisen formuloinnin, mutta muutoin monisteessa on pyritty matemaattisesti kevyeen esitykseen. Monisteen ohella lisälukemistona voi käyttää kirjaa: Gonzalez C.G. & Woods R.E.: Digital Image Processing (2. painos, Prentice Hall), jonka kuuteen ensimmäiseen lukuun moniste pohjautuu. Tämä moniste on syntynyt tarpeesta saada suomenkielinen luentokalvoja monisanaisempi materiaali käytettäväksi Tampereen teknillisen yliopiston Signaalinkäsittelyn laitoksen kurssilla SGN-3010 Digitaalinen kuvankäsittely I, jonka luennoitsijana olen toiminut vuodesta Monisteen kuvat ovat pääosin Mikko Västilän tekemiä. Harjoitusassistentti Antti Niemistön huomiot monisteesta ovat olleet hyödyksi sen kehittämisessä. Näistä suuri kiitos heille. Pyynnöstä voidaan myöntää lupa tämän monisteen käytölle muualla. Korjausja parannusehdotuksia voi lähettää sähköpostitse osoitteeseen Tampereella, elokuussa 2007 Sari Peltonen

4 iv Digitaalinen kuvankäsittely I

5 Sisältö Esipuhe iii 1 Johdanto Digitaalinen kuvankäsittely Katsaus historiaan Sovellusalueita Perusteita Ihmisen näköjärjestelmä Kirkkaudenerottelujasopeutuminenvalaistukseen Kuvanmuodostus Näytteenottojakvantisointi Kuvien ehostus tilatasossa Taustaa Pisteoperaatiot Histogrammin käsittely Histogrammintasoitus Histogrammin määräys Paikallinen ehostus histogrammin avulla Aritmeettiset/loogisetoperaatiot Suodatusoperaatiot Pehmennystilatasonsuodatuksella Terävöittäminen tilatason suodatuksella Kuvien ehostus taajuustasossa Fourier-muunnos Suodatustaajuustasossa Pehmennys taajuustason suodatuksella Ideaalinen alipäästösuodin Butterworth-alipäästösuodin Gaussinen alipäästösuodin Terävöittäminentaajuustasonsuodatuksella Homomorfinensuodatus DFT:ntoteuttamisesta... 65

6 vi SISÄLTÖ 5 Kuvien entistäminen Kohinamalleja Entistäminentilatasossa Keskiarvosuotimia Järjestysfunktioon perustuvia suotimia Adaptiivisiasuotimia Jaksollisen kohinan poisto taajuustasossa Huononnusfunktionestimointi Käänteissuodatus Wiener-suodatus Värikuvien käsittely Perusteita Värimallit RGB-värimalli CMY(K)-värimalli HSI-värimalli CIELAB-värimalli Väärävärikuvat Värimuunnokset Värikuvien pehmennys ja terävöitys

7 Luku 1 Johdanto Kuvankäsittely voidaan karkeasti jakaa kahteen pääsovellusalueeseen sen mukaan, onko kuvan tulkitsija ihminen vai kone. Ihmisen tulkittavaksi kuvia muokattaessa pääpaino on visuaalisella miellyttävyydellä ja haluttavan informaation erottumisella muusta kuvadatasta sillä tavoin,että ihmisen on se helppo havaita. Koneellista tulkintaa varten kuvia muokataan niin, että koneellisilla menetelmillä niistä saadaan parhaimmalla tavalla irti haluttava informaatio. Keskitytään aluksi harmaasävykuviin, joissa esiintyy eri harmaan sävyjä mustasta valkoiseen, mutta ei värejä. Myöhemmin luvussa 6 käsittelyalue laajennetaan myös värikuviin. 1.1 Digitaalinen kuvankäsittely Kuva on kaksiulotteinen funktio f(x, y), missä x ja y ovat tilatason (spatiaalitason) koordinaatteja ja funktion f arvoa kussakin pisteessä (x, y) kutsutaan harmaasävyksi tai intensiteetiksi. Kun funktion f(x, y) arvotsekä koordinaatit x ja y kaikki saavat vain äärellisiä diskreettejä arvoja, kuvaa kutsutaan digitaaliseksi kuvaksi. Digitaalinen kuvankäsittely puolestaan on näiden digitaalisten kuvien käsittelyä digitaalisella tietokoneella. Kuvassa 1.1 on digitaalinen kuva vasemmalla. Oikealla näkyy pieni osa tästä kuvasta suurennettuna. Tästä suurennoksesta voi erottaa kuvan yksittäiset pisteet Kuva 1.1: Vasemmalla on digitaalinen kuva ja oikealla näkyy pieni osa tästä kuvasta suurennettuna.

8 2 Digitaalinen kuvankäsittely I eli pikselit, joista digitaalinen kuva koostuu. Vasemmalla puolestaan pisteiden koko ja vierekkäisten pisteiden väliset etäisyydet ovat niin pieniä, että ihmissilmällä ei erota tästä kuvasta yksittäisiä pisteitä, vaan kuva näyttää meistä jatkuvalta. Näköaisti on kehittynein ihmisen aisteista ja visuaalinen havainnointi muodostaakin erittäin suuren osan ihmisen havainnointijärjestelmästä. Arviolta 3/4 ihmisen havainnoinnista perustuu näköhavaintoihin. Ihmisen visuaalinen järjestelmä on erittäin sopeutumiskykyinen vaihteleviin olosuhteisiin. Näköjärjestelmämme toiminta on kuitenkin rajoittunut vain pienelle sähkömagneettisenspektrin taajuusalueelle, jota kutsutaan näkyvän valon alueeksi. Koneilla ei tällaista rajoitetta ole, vaan erilaisilla koneilla voidaan havainnoida lähestulkoon koko sähkömagneettisen spektrin alueella, aina gamma-aalloista radioaaltoihin. Koneilla kuvia voidaan tuottaa myös muista lähteistä kuin sähkömagneettisesta säteilystä, kuten esim. ääniaalloista tai elektronimikroskopiasta. Lisäksi myös tietokoneella voidaan luoda synteettisiä kuvia. Tässä monisteessa digitaaliseen kuvankäsittelyyn luetaan kuuluviksi 1) kaikki sellaiset prosessit, joiden syötteet ja ulostulot ovat kuvia sekä 2) prosessit, jotka irrottavat kuvista tietoa (aina yksittäisten esineiden tunnistamiseen asti). Tämän määritelmän perusteella esim. tekstintunnistuksessa merkkien tunnistaminen kuuluu digitaaliseen kuvankäsittelyyn, mutta tekstin merkityksen selvittäminen ei enää kuulu sen piiriin. Kuvankäsittelyä ei kuitenkaan voida rajata tiukasti omaksi erilliseksi alakseen, vaan sillä on liittymäkohtia lukuisiin muihin aloihin, kuten esim. signaalinkäsittelyyn, fysiikkaan, matematiikkaan ja tietojenkäsittelytieteisiin. Sovellukset ovat myös moninaisia, sisältäen mm. sään ennustamista, avaruuden tutkimusta, lääketieteellisiä sovelluksia ym. 1.2 Katsaus historiaan Lehtikuvien siirto merikaapelilla Lontoon ja New Yorkin välillä 1920-luvulla oli ensimmäisiä kuvankäsittelyn sovelluksia. Tämän Bartlanen kaapelisiirtojärjestelmän ansiosta kuvien siirtäminen nopeutui alle kolmeen tuntiin aikaisemmasta yli viikosta. Vaikka kuvat olivatkin digitaalisia, niin käyttämämme määritelmän mukaan ne eivät ole digitaalisen kuvankäsittelyn tuloksena saatuja, koska niiden luomiseen ei käytetty tietokoneita. Digitaalisen kuvankäsittelyn kehitysaskeleet kulkevat kiinteästi tietokoneiden kehityksen vanavedessä. Tämä johtuu siitä, että digitaalisessa muodossa olevat kuvat vaativat paljon tallennustilaa ja niiden käsittely vaatii tietokoneelta suurta laskennallista tehoa. Tietokoneiden sekä tiedon tallennus-, siirto- ja näyttölaitteiden kehitysaskeleet ovat tuoneet mukanaan aina uusia mahdollisuuksia digitaaliselle kuvankäsittelylle. Ensimmäiset mielekkäitä kuvankäsittelyoperaatioita suorittamaan kykenevät tietokoneet ajoittuvat 1960-luvulle ja tuo ajanjakso nähdään digitaalisen kuvankäsittelyn syntyhetkenä. Alkuaikojen kehityksen moottorina toimivat avaruuden tutkimuksen mukanaan tuomat kuvankäsittelylliset tarpeet ja lukujen taitteessa digitaalista kuvankäsittelyä alettiin käyttää myös lääketieteen, kaukokartoituksen ja astronomian sovelluksissa. Nykypäivänä digitaalinen kuvankä-

9 1.3 Sovellusalueita 3 sittely on digitaalisten kameroiden yleistyessä ja internetin kautta saatavilla olevan valtaisan kuvallisen informaation myötä tullut lähestulkoon jokaisen ulottuville. Seuraavassa aliluvussa on joitakin esimerkkejä digitaalista kuvankäsittelyä käyttävistä sovellusalueista. 1.3 Sovellusalueita Digitaalisen kuvankäsittelyn sovellukset eri aloilla ovat niin moninaiset, että niitä on mahdoton tässä listata millään tavoin kattavasti. Tästä johtuen alla onkin annettu vain joitakin yksittäisiä esimerkkejäsähkömagneettisen säteilyn eri aallonpituusalueilta. Sähkömagneettinen säteily voidaan ajatella etenevinä siniaaltoina, joilla on aallonpituus λ, tai massattomina hiukkasina, jotka etenevät aaltomaisesti valon nopeudella. Sähkömagneettisella säteilyllä on siis sekä aalto- että hiukkasluonne ja sähkömagneettisen vuorovaikutuksen välittäjähiukkanen fotoni voidaan ajatella erilliseksi aaltopaketiksi. Fotonin energia riippuu säteilyn aallonpituudesta kaavan E = hc/λ = hν mukaisesti, missä h on Plankin vakio, ν taajuus ja c valon nopeus. Kuvassa 1.2 näkyy, miten eri taajuusvälit on nimetty. Radioaalloilla on pienin taajuus (pienin energia ja suurin aallonpituus) ja gammasäteillä puolestaan suurin taajuus (suurin energia ja pienin aallonpituus). Säteilyluokat menevät osittain päällekkäin rajaalueilla, mitä kuvassa on havainnollistettu harmaasävyillä. Tästä kuvastanähdään myös, miten kapea osa näkyvän valon alue on koko esitetystä sähkömagneettisen spektrin alueesta. Kuva 1.2: Sähkömagneettisen säteilyn jaottelu taajuuden mukaan.

10 4 Digitaalinen kuvankäsittely I Sovellusalueita sähkömagneettisen säteilyn aallonpituuden mukaan: Gammasäteily isotooppilääketiede (esim. positroniemissiotomografia (PET)), astronomia Röntgensäteily lääketieteellinen diagnostiikka (esim. röntgenkuvaus, varjoaineröntgenkuvaus ja tietokonetomografia (TT)), teollinen tuotteiden tarkastus, astronomia Ultraviolettisäteily fluoresenssimikroskopia, teollinen tuotteiden tarkastus, astronomia Näkyvä valo(eniten sovelluksia) mikroskopia, satelliittikuvat, kuviin perustuva tarkkailu, tunnistus, laskeminen jne. Infrapuna satelliittikuvat, pimeäkuvaus Mikroaallot tutkakuvaus Radioaallot lääketiede (magneettiresonanssikuvaus (MRI)), astronomia Vaikkakin sähkömagneettisen säteilyn avulla tapahtuva kuvantaminen on sovelluksiltaan laaja-alaisin ja moninaisin, on myös joitakin muita tärkeitä kuvantamismenetelmiä. Tällaisia ovat mm. ääniaaltojen, elektronimikroskopian ja täysin tietokoneiden avulla tapahtuva kuvantaminen. Ääniaaltojen avulla tuotetaan mm. seismografisia kuvia, ultraäänikuvia ja kaikuluotainkuvia. Elektronimikroskopian avulla päästään huomattavasti valomikroskopiaa (1000 ) suurempiin suurennoksiin (jopa yli ). Elektronimikroskopia jaotellaan kahteen luokkaan: läpäisyelektronimikroskopiaan (transmission electron microscopy) ja pyyhkäisyelektronimikroskopiaan (scanning electron microscopy). Näistä ensimmäisessä kohdetta tarkastellaan sen läpi menevien elektronien avulla ja jälkimmäisessä sen pinnasta sinkoavan sekundaarisäteilyn perusteella, kun liikkuvan elektronisuihkun annetaan osua kohteeseen kohta kohdalta. Edellisissä esimerkeissä kuvantaminen perustuu jonkin fyysisen maailman ilmiön mittaustulosten kuvamuotoiseen esittämiseen. Kuva voi olla myös kokonaan tietokoneella aikaansaatu eli synteettinen. Fraktaalit ovat tästä yksi esimerkki ja toinen ovat malleista tehdyt kuvat, joita voidaan käyttää menetelmien testaukseen, mallinnukseen ja harjoittelutarkoituksiin.

11 Luku 2 Perusteita 2.1 Ihmisen näköjärjestelmä Tavallisesti kuvankäsittelymenetelmä valitaan havaittujen tulosten perusteella käyttäen subjektiivista analyysiä. Tämän vuoksi onkin tärkeää ymmärtää ihmisennäköjärjestelmästä joitakin perusasioita. Kuvassa 2.1 näkyy yksinkertaistettu poikkileikkauskuva ihmissilmästä. Silmä on muodoltaan lähestulkoon pallo, jonka halkaisija on noin 2 cm. Valo tulee silmään etuosan läpinäkyvän sarveiskalvon läpi ja sädelihaksella linssiä säätelemällä setarkennetaan silmän takaosan verkkokalvolle. Iiriksen tehtävä onsäädellä silmään tulevan valon määrää niin, että silmän keskiaukeama (pupilli) vaihtelee halkaisijaltaan välillä n.2 8 mm. Kuva piirtyy ylösalaisin verkkokalvolle, jossa on kahdentyyppisiä reseptoreita: tappisoluja (cones) ja sauvasoluja (rods). Tappisoluja on kummassakin silmässä 6 7 miljoonaa ja ne sijoittuvat pääosin verkkokalvon keskikuopan (fovean) lähistölle, Kuva 2.1: Ihmissilmä ja yksinkertaistettu piirroskuva sen poikkileikkauksesta.

12 6 Digitaalinen kuvankäsittely I missä sijaitsee silmän tarkan näön alue. Tappisoluja on kolmea eri lajia, joista kukin on herkkä näkyvän valon tietylle aallonpituudelle eli värille. Nämä kolmen lajin tappisolut ovat yhteisvastuussa värien näkemisestä. Myös yksityiskohtiennäkeminen on tappisolujen ansiota pääosin siitä syystä, että jokaisella tappisolulla on oma hermopäätteensä. Tappisolujen avulla tapahtuvaa näkemistä kutsutaan kirkasnäöksi (photopic vision) siitä syystä, että tappisolujen toimintaedellytys on riittävän kirkas valaistus. Sauvasolujen määrä on huomattavasti tappisolujen määrää suurempi. Niitä on silmässä miljoonaa levinneenä lähestulkoon koko verkkokalvolle. Suuremmalle alueelle jakautuminen ja useamman kuin yhden sauvasolun liittyminen yhteen hermopäätteeseen saavat aikaan heikomman yksityiskohtien erottelun sauvasolujen avulla. Sauvasolujen tehtävänä onkin auttaa yleiskuvan muodostamisessa koko näkökentän alueelta. Ne myös vastaavat hämäränäöstä (scotopic vision), sillä ne ovat herkkiä matalillekin valaistustasoille. Tästä tappi- ja sauvasolujen työnjaosta yksinkertainen esimerkki on päivänvalossa kirkasväristen esineiden muuttuminen värittömiksi muodoiksi katsellessamme niitä kuunvalossa. Tämä johtuu siitä, että päivänvalossa näkemisestä päävastuussa ovat tappisolut ja heikossa kuunvalossa puolestaan sauvasolut. Esimerkiksi kissoilla, joilla on huomattavasti ihmistäparempi hämäränäkö, on paljon enemmän sauvasoluja verkkokalvollaan. Kuvassa 2.2 on esitetty tappi- ja sauvasolujen jakautuminen verkkokalvolle. Sininen käyrä esittää tappisolujen ja punainen sauvasolujen lukumäärää neliömillimetrillä läpileikkauskohdan kulkiessa sokean pisteen (näköhermon alkukohdan) kautta. Sokean pisteen kohdalla reseptoreita ei ole lainkaan, mutta tätä kohtaa lukuun ottamatta reseptorit ovat jakautuneet likimain symmetrisesti keskikuopan ollessa symmetrian keskipisteenä. Vaaka-akselin asteluvut tarkoittavat verkkokalvon kohtaa, jossa optisen akselin kanssa asteluvun osoittamaan kulmaan piirretty linssin keskipisteen kautta kulkeva suora leikkaa verkkokalvon (ks. kuvasta 2.1 siihen piirretty 45 asteen suora). Kuvasta 2.2 näkyy selvästi tappisolujen tihentymä keskikuopan alueella sekä sauvasolujen suurempi määrä ja jakautuminen koko muulle alueelle. Kuva 2.2: Tappi- (sin.) ja sauvasolujen (pun.) jakautuminen verkkokalvolle.

13 2.2 Kirkkauden erottelu ja sopeutuminen valaistukseen 7 Kuva 2.3: Valon taittuminen kuperassa linssissä. Kuvassa 2.3 on kupera linssi sopivalla etäisyydellä oikealla olevasta varjostimesta, jolloin linssi taittaa siihen tulevan valon niin, että varjostimella näkyy vasemmalla olevan valonlähteen ylösalaisin oleva kuva. Samalla periaatteella toimii myös ihmisen silmä, jossa varjostimena toimii verkkokalvo. Silmän erona optisiin linsseihin on silmän linssin taittovoimakkuuden muuntelumahdollisuus sädelihaksen avulla. Tästä syystä voimme nähdä tarkastierietäisyyksillä olevia kohteita. Samanaikaisesti silmä voi kuitenkin nähdä tarkasti vain yhdellä etäisyydellä olevia kohteita muiden näkyessä sumentuneina. Näkemämme esineiden värit määräytyvät sen mukaan, mitä sähkömagneettisen säteilyn aallonpituuksia kukin esine heijastaa. Esimerkiksi vihreä esine heijastaa pääasiassa aallonpituuksia väliltä µm vaimentaen muut aallonpituudet. Kaikkia aallonpituuksia tasaisesti heijastava esine näyttää meistävalkoiselta.väreihin palaamme tarkemmin luvussa Kirkkauden erottelu ja sopeutuminen valaistukseen Digitaaliset kuvat esitetään jollakin diskreetillä harmaasävytasojen määrällä, joten niiden esittämisen kannalta on tärkeää tietää, millainen on ihmissilmän kyky erottaa eri harmaasävytasoja toisistaan. Ihmissilmän sopeutumiskyky eri valaistusolosuhteisiin on erittäin hyvä ja kykenemme erottamaan harmaasävyjä aina hämäräkynnykseltä häikäisyrajalle saakka. Tällä välillä erottamiemme harmaasävytasojen määrä on luokkaa tasoa. Samanaikaisesti emme kuitenkaan pysty tätä valtaisaa harmaasävytasojen määrää erottamaan, vaan silmä voi sopeutua kullakin ajanhetkellä vain tietylle kirkkausalueelle. Kun katsomme jonkin kuvapisteen ympäristöä, niin yhdellä ajanhetkellä pystymme havaitsemaan vain harmaasävytasoa. Katseen vaeltaessa eri alueilla kuvassa silmä sopeutuu aina kuhunkin paikalliseen ympäristöön, jolloin kokonaiserottelualue on kuitenkin edellistä suurempi. Melko tasaiselle kuvalle se on yli 100 harmaasävytasoa. Silmän kykyä erottaa harmaasävyjä toisistaan tietyllä kirkkausalueella voidaan tutkia seuraavanlaisen klassisen koejärjestelyn avulla. Koehenkilö katsoo koko näkökentän kattavaa tasasävyistä aluetta, jonka harmaasävy on I. Tämän alueen kes-

14 8 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 2.4: Koejärjestely, jolla testataan harmaasävyjen erottamista toisistaan. kellä näytetään lyhyen hetken ympyränmuotoista aluetta, joka on arvon I verran taustaa kirkkaampi (ks. kuva 2.4). Koe aloitetaan käyttäen pientä muutosta I. Tämän jälkeen koehenkilöltä kysytään, havaitsiko hän mitään muutosta keskellä. Jos muutosta ei havaittu kasvatetaan arvoa I ja toistetaan kysymys. Näin jatketaan kunnes muutos on sellainen, että koehenkilö sen havaitsee ja vastaa myöntävästi kysymykseen. Weberin suhde on I c /I, jossa I c on pienin muutos, joka havaittiin puolessa kokeista. Pieni Weberin suhde tarkoittaa pienien suhteellisten muutosten havaitsemista ja siis hyvää erottelukykyä. Suuri suhde puolestaan kertoo huonommasta erottelusta, jolloin vain suuret muutokset havaitaan. Tummemmalle taustalle erottelukyky on heikompi kuin vaaleammalle. Silmän suhteellinen erottelukyky onkin suurempi kirkkaassa valaistuksessa kuin pimeässä. Havaittu kirkkaus ei ole yksinkertainen intensiteetin funktio. Tätä havainnollistetaan tavallisesti kahdella esimerkillä: simultaanikontrastilla ja Machin nauhoilla. Kuvassa 2.5 kaikkien pienempien neliöiden intensiteetti on sama, mutta taustan intensiteetin ollessa pienempi sisempi neliö näyttää vaaleammalta. Tätä ilmiötä kutsutaan simultaanikontrastiksi. todellinen harmaasävy Kuva 2.5: Esimerkki simultaanikontrastista.

15 2.2 Kirkkauden erottelu ja sopeutuminen valaistukseen 9 todellinen harmaasävy havaittu kirkkaus Kuva 2.6: Esimerkki Machin nauhoista. Kuvan 2.6 yläosassa ovat Ernst Machin mukaan nimetyt nauhat, joista kullakin on oma vakiointensiteettinsä. Kuitenkin näyttää siltä kuin kukin nauha olisi vaaleampi tummemman nauhan vieressä olevalta puoleltaan kuin vaaleamman vieressä olevalta. Kuvan alaosassa näkyy todellisen harmaasävyn ja havaitun kirkkauden ero, mutta tässä on huomattava, että kummallakin käyrällä nauhojen keskiosat saavat samoja arvoja. Tässä kuvassa toinen käyrä on siis vain nostettu korkeammalle, jotta erot näkyisivät selvemmin.

16 10 Digitaalinen kuvankäsittely I 2.3 Kuvanmuodostus Tavallisimmin kuvat muodostuvat valonlähteen valaistessa kuvattavia kohteita, jotka heijastavat ja absorboivat valonlähteen energiaa. Kuten aikaisemmin on mainittu, kuvia voidaan muodostaa myös muilla tavoin, kuten esimerkiksi keräämällä röntgenfilmille esineen/ihmisen läpi kulkeneita röntgensäteitä. Kuvassa 2.7 on esitetty tyypillisiä sensorirakenteita, joilla valoenergia voidaan muuntaa digitaaliseksi kuvaksi. Näistä on vasemmalla esitetty yksittäissensori ja oikealla matriisisensori. Näiden lisäksi käytetään myös viivasensoreita, joissa on suorassa rivissä useita sensoreita. Sensorielementillä on sen materiaalista riippuva herkkyysjakauma, jonka mukaisesti se on herkkä halutuille aallonpituuksille ja se muuntaa valoenergian herkkyysjakaumalla painottaen jännitteeksi. Tämä muunnetaan edelleen digitaaliseen muotoon kvantisoimalla se diskreeteille tasoille. Tällöin tuloksena on yksi digitaalisen kuvan piste. Yksittäissensoreita käytetään harvoin kuvien muodostamisessa, mutta kaksi muuta sensorirakennetta ovat yleisemmin käytössä. Viivasensorilla saadaan kerralla kuvan yhden rivin (tai sarakkeen) pisteet. Tämäsensorityyppi on käytössä esim. tasoskannereissa. Matriisisensoreissa saadaan kerralla kaikki kuvan pisteet ja sitä käytetään mm. digitaalikameroissa. Niissä yleisimmin käytetty sensorirakennetyyppi on CCD (Charge Coupled Device) eli varauskytketty komponentti. Kun sensoreiden avulla muodostetaan kuvia, on lopputuloksena digitaalinen kuva f(x, y), jonka arvot ovat positiivisia ja äärellisiä. Kuva voidaan jakaa kahteen komponenttiin eli valaistuskomponenttiin i(x, y) jaheijastuskomponenttiin r(x, y). Näiden tulona saadaan digitaalinen kuva f(x, y) =i(x, y)r(x, y), Kuva 2.7: Vasemmalla yksittäissensori ja oikealla yksittäissensoreista muodostuva matriisisensori.

17 2.4 Näytteenotto ja kvantisointi 11 missä 0< i(x, y) < ja 0 < r(x, y) < 1. Valaistuskomponentin määrää valonlähteen luonne ja heijastuskomponentin kuvattavan esineen ominaisuudet. Käytännössä harmaasävyarvot f(x, y) ovat jollakin välillä [L min,l max ], missä 0 < L min <L max <. Harmaasävykuvat usein esitetään niin, ettäväli [L min,l max ] siirretään alkamaan nollasta, jolloin saadaan väli [0,L 1]. Tällä viimeisimmällä merkintätavalla 0 tarkoittaa mustaa kuvapistettä jal 1valkoista.Näiden ääripäiden väliin jäävät harmaan eri sävyt harmaasävytasojen kokonaismäärän ollessa L. Toinen yleinen esitystapa saadaan normalisoimalla arvot välille [0, 1]. 2.4 Näytteenotto ja kvantisointi Useimmiten luotaessa digitaalisia kuvia tarvitaan muunnos analogisesta muodosta digitaaliseen. Kuville tämä muunnos sisältää kaksi prosessia: näytteenoton ja harmaatasokvantisoinnin. Jos kuva on jatkuva-aikaisessa muodossa x- jay-koordinaattien suhteen, niin digitaaliseen muotoon muunnettaessa kuva näytteistetään näiden molempien koordinaattien suhteen. Tätä kutsutaan kaksiulotteiseksi näytteenotoksi tai spatiaaliseksi kvantisoinniksi. Jos kuvan amplitudi on jatkuva-aikainen, on sille tehtävä harmaataso- eli intensiteettikvantisointi. Kuvassa 2.8 vasemmalla oleva kuva esittää jatkuva-aikaista kuvaa ja oikealla sama kuva on esitetty näytteistettynä x- ja y-koordinaattien suhteen sekä amplitudi on kvantisoitu muutamalle diskreetille harmaasävytasolle. Aina ei tarvita näytteistystä molempien tai kummankaan koordinaatin suhteen. Yksittäisensoria käytettäessä voidaan mekaanisesti siirtää sensoria halutun askeleen verran ja aktivoida sensori kussakin yksittäisessä kohdassa erikseen sen sijaan, että mitattaisiin sensorin ulostuloa tasaisen liikkeen aikana. Viivasensoria käytettäessä sensorien lukumäärä määrittää resoluution toiseen koordinaattisuuntaan ja toiseen suuntaan voidaan jälleen edetä askeleittain. Matriisisensorin tapauksessa näytteistystä ei tarvita, koska matriisin dimensiot määräävät kuvan dimensiot. Kuva 2.8: Jatkuvan kuvan näytteistys koordinaattien x ja y suhteen sekä harmaatasokvantisointi.

18 12 Digitaalinen kuvankäsittely I Yllä esitetynnäytteistyksen ja kvantisoinnin tuloksena oleva digitaalinen kuva voidaan esittää matriisimuodossa seuraavasti: f(x, y) = f(0, 0) f(0, 1)... f(0,n 1) f(1, 0) f(1, 1)... f(1,n 1)... f(m 1, 0) f(m 1, 1)... f(m 1,N 1), kun kuvassa on M riviä jan saraketta. Kvantisointitasojen määrä L, eli erilaisten mahdollisten harmaasävyjen määrä, on tavallisesti jokin kahden potenssi L =2 k. Tällöin puhutaan k-bittisestä kuvasta ja esim. 8-bittisessä kuvassa on siis 2 8 = 256 mahdollista harmaasävyarvoa. Käytetyin k:n arvo on 8 bittiä, mutta myös arvoja 10, 12, 14 ja 16 bittiä käytetään. Spatiaaliresoluutio kertoo pienimmän erottuvan yksityiskohdan kuvassa. Harmaasävyresoluutio viittaa vastaavasti pienimpään huomattavissa olevaan harmaasävymuutokseen. Kuten luvussa 2.2 jo todettiin, tämä on kuitenkin hyvin riippuvaista havaitsijasta, jolloin voidaan antaa vain toistokokeissa saatuja keskimääräisiäarvoja. Tästä syystä termiä resoluutio käytetäänkin usein hieman eri merkityksessä. Tällöin L:llä harmaasävytasolla esitetyllä M N-kokoisella kuvalla sanotaan olevan M N pisteen spatiaaliresoluutio ja harmaasävyresoluutio L. Kuvassa 2.9 on vasemmalla kuva, josta viereinen kuva on saatu poistamalla joka toinen rivi ja sarake. Tästä kuvasta on edelleen saatu samalla tavoin poistamalla joka toinen rivi ja sarake kuva. Näin on jatkettu kunnes on päädytty oikean reunan kuvaan. Tässä kuvassa kuvien koon pieneneminen hankaloittaa kuvapisteiden määrän vähentämisen vaikutuksien havaitsemista. Vertailun helpottamiseksi kuvassa 2.10 kaikki kuvan 2.9 kuvat on esitetty samankokoisina. Kahdella suurimmalla resoluutiolla kuvat ovat visuaalisesti samanlaisia esitettäessä kuvatässä koossa kuin se monisteessa on. Seuraavassa kuvassa näkyy hieman huonontumista ja siitä eteenpäin kuvat ovat yhä huonompia Kuva 2.9: Sama 8-bittinen kuva spatiaaliresoluutioilla , , , , ja

19 2.4 Näytteenotto ja kvantisointi 13 Kuva 2.10: Kuvan 2.9 kuvat esitettynä kaikki samassa koossa (lähimmän naapurin interpolaatiota käyttäen). ja viimeisistä kuvista on vaikea nähdä, mitä needesesittävät. Kuvassa 2.11 on havainnollistettu harmaasävyresoluution merkitystä. Ylärivin harmaasävyresoluutiot 256 ja 32 näyttävät melko samanlaisilta, mutta jälkimmäisessä laajemmille harmaille alueille on muodostunut tasasävyisiä osa-alueita,joiden välillä näkyy valereunoja. Alarivissä ovat harmaasävyresoluutiot 8 ja 2, joista ensimmäisessä valereunat näkyvät vielä selkeämmin. Kuva 2.11: Sama kuva harmaasävyresoluutioilla 256 (ylh. vas.), 32 (ylh. oik.), 8 (alh. vas.) ja 2 (alh. oik.).

20 14 Digitaalinen kuvankäsittely I Edelliset kuvat havainnollistivat, mitä kuvalle tapahtuu, kun sen spatiaaliresoluutiota tai harmaasävyresoluutiota muutetaan toisen pysyessä vakiona. Tämä ei kerro mitään siitä, onko näiden kahden resoluutiotyypin välilläjokinyh- teys vai ovatko ne täysin toisistaan riippumattomia. Kuvan subjektiivista laatua voidaan tutkia isopreferenssikäyrien avulla. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että M = N. Isopreferenssikäyrä saadaan tehtyä kuvalle niin, että tehdään samasta kuvasta monta eri versiota vaihtelemalla parametrien N ja k arvoja pitäen esitettävän kuvan fyysinen koko samana. Testihenkilöitä pyydetään lajittelemaan kuvajoukko subjektiivisen laadun mukaiseen järjestykseen. Testien tuloksista voidaan piirtää isopreferenssikäyriä Nk-tasoon. Tässä tasossa samalla isopreferenssikäyrällä olevat pisteet vastaavat saman kuvan niitä versioita, joille testien keskiarvona on saatu sama subjektiivinen laatu. Erilaisille kuville saatuja isopreferenssikäyriä vertaamalla on havaittu, että käyrät ovat pystysuorempia (pystyakselin ollessa k) enemmän yksityiskohtia sisältäville kuville. Tämän havainnon käytännön merkitys on se, että kuvansisältäessä enemmän yksityiskohtia voi olla mahdollista vähentää harmaasävytasojen määrää kuvan subjektiivisen laadun pysyessä muuttumattomana. Kuvassa 2.12 on esimerkki isopreferenssikäyristä. Käyristä vasemmanpuoleinen on yksi paljon yksityiskohtia sisältävän kuvan ja oikeanpuoleinen vähän niitäsisältävän kuvan isopreferenssikäyristä. Kuva 2.12: Yksi paljon yksityiskohtia sisältävän kuvan isopreferenssikäyrä (vas.)ja yksi vähän yksityiskohtia sisältävän kuvan isopreferenssikäyrä (oik.).

21 2.4 Näytteenotto ja kvantisointi 15 Kuva 2.13: Esimerkki pisteen (x,y ) arvon laskemisesta bilineaarisella interpoloinnilla. Joskus on tarpeen muuttaa digitaalisen kuvan spatiaaliresoluutiota suuremmaksi tai pienemmäksi. Kuvaa suurennettaessa on määritettävä, missä kohdissa suurennetun kuvan pisteet ovat alkuperäisen kuvan pisteisiin nähden ja mikä on kunkin uuden pisteen harmaasävy. Yksinkertaisin tapa on antaa kullekin suurennetun kuvan pisteelle harmaasävyksi sitä tilatasossa kaikkein lähinnä olevan alkuperäisen kuvan pisteen harmaasävy. Tämä lähimmän naapurin interpolointi aiheuttaa kuviin kuitenkin helposti vääristymiä. Tavallisesti käytetäänkin hieman monimutkaisempaa bilineaarista interpolaatiota, jossa kunkin uuden pisteen arvo saadaan alkuperäisen kuvan neljän uutta pistettä tilatasossa lähinnä olevan pisteen avulla. Tämä on yksiulotteisen interpoloinnin yleistys, jossa ensin interpoloidaan lineaarisesti vaaka- ja sitten pystysuuntaan (tai päinvastoin). Kuvassa 2.13 on havainnollistus, jossa (x,y ) ovat suurennetun kuvan yhden pisteen koordinaatit ja (x 1,y 1 ), (x 1,y 2 ), (x 2,y 1 )ja (x 2,y 2 )ovatalkuperäisen kuvan neljän lähimmän pisteen koordinaatit. Suurennetun kuvan pisteen arvo v(x,y ) saadaan interpoloimalla ensin lineaarisesti vaakasuuntaan, jolloin saadaan arvot v(x,y 1 )jav(x,y 2 ), ja sen jälkeen näistä arvoista lineaarisesti interpoloimalla pystysuuntaan. Yleisemmässä muodossa voidaan kirjoittaa, että v(x,y )=ax + by + cx y + d, missä kertoimet a, b, c ja d saadaan ratkaisuna neljän yhtälön yhtälöryhmästä, joka voidaan kirjoittaa käyttäen pisteen (x,y )neljää tilatasossa lähinnä olevaa alkuperäisen kuvan pistettä.

22 16 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 2.14: Kuvakoista , ja kokoon lähimmän naapurin (ylärivissä) ja bilineaarisella (alarivissä) interpolaatiolla suurennettuja kuvia. Kuvasta 2.14 voi vertailla, miten lähimmän naapurin ja bilineaarisella interpoloinnilla saadut tuloksen eroavat toisistaan. Selvästi alarivin bilineaarisella interpoloinnilla saadut kuvat ovat visuaalisesti miellyttävämpiä kuin niiden yläpuolella olevat lähimmän naapurin interpoloinnilla saadut. Viimeisen kuvan kohdalla suurennoskerroin on 16, joten kovin hyvää tulosta ei voi odottaa miltään menetelmältä. Samalla tavoin digitaalisia kuvia pienennettäessä voidaan pienennetyn kuvan pisteiden harmaasävyarvot saada lähimmän naapurin tai bilineaarista interpolaatiota käyttäen. Tässä tapauksessa voi kuitenkin tapahtua häiritsevää laskostumista, jota voidaan ehkäistä pehmentämällä eli alipäästösuodattamalla kuvaa hieman ennen pienentämistä. Menetelmiä tämän suodatuksen toteuttamiseen löytyy monisteen seuraavista luvuista. Bilineaarista interpolointia parempiin tuloksiin päästään käyttämällä suurempaa määrää lähimpiä pisteitä (esim. bicubic interpolointi käyttää 16 pistettä). Hyviä tuloksia saadaan myös splini-interpoloinnilla, jossa tunnettuihin pisteisiin sovitetaan paloittain määriteltyjä polynomeja eli splinejä.

Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely

Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen, Signaalinkäsittelyn menetelmät,

Lisätiedot

1. Johdanto. Johdanto 1. Johdanto 2. Johdanto 3. Johdanto 4

1. Johdanto. Johdanto 1. Johdanto 2. Johdanto 3. Johdanto 4 1. Johdanto Kuvanprosessointi tai käsittely juontaa juurensa kahdesta pääasiallisesta alueesta, jotka ovat kuvainformaation parantaminen ihmisen tulkintaa varten ja kuvadatan käsittely talletusta, siirtoa

Lisätiedot

Fysiikka 8. Aine ja säteily

Fysiikka 8. Aine ja säteily Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian

Lisätiedot

1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.1 Mitä digitaalinen kuvankäsittely on

1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1.1 Mitä digitaalinen kuvankäsittely on 1467S Digitaalinen kuvankäsittely 1 Johdanto 1.1 Mitä digitaalinen kuvankäsittely on Kuva voidaan ajatella kaksiulotteiseksi funktioksi f(x, y), jossa x ja y ovat koordinaatit ja f:n arvo pisteessä (x,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT HILA JA PRISMA MIKKO LAINE 9. toukokuuta 05. Johdanto Tässä työssä muodostamme lasiprisman dispersiokäyrän ja määritämme työn tekijän silmän herkkyysrajan punaiselle valolle. Lisäksi

Lisätiedot

Infrapunaspektroskopia

Infrapunaspektroskopia ultravioletti näkyvä valo Infrapunaspektroskopia IHMISEN JA ELINYMPÄ- RISTÖN KEMIAA, KE2 Kertausta sähkömagneettisesta säteilystä Sekä IR-spektroskopia että NMR-spektroskopia käyttävät sähkömagneettista

Lisätiedot

Valon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen

Valon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen Näkö Valon havaitseminen Silmä Näkö ja optiikka Näkövirheet ja silmän sairaudet Valo Taittuminen Heijastuminen Silmä Mitä silmän osia tunnistat? Värikalvo? Pupilli? Sarveiskalvo? Kovakalvo? Suonikalvo?

Lisätiedot

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka. Kari Sormunen Kevät 2014

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka. Kari Sormunen Kevät 2014 VALAISTUSTA VALOSTA Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2014 OPPILAIDEN KÄSITYKSIÄ VALOSTA Oppilaat kuvittelevat, että valo etenee katsojan silmästä katsottavaan kohteeseen.

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Kvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi

Kvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi Kvantittuminen Planckin kvanttihypoteesi Kappale vastaanottaa ja luovuttaa säteilyä vain tietyn suuruisina energia-annoksina eli kvantteina Kappaleen emittoima säteily ei ole jatkuvaa (kvantittuminen)

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Lääketieteellinen kuvantaminen. Biofysiikan kurssi Liikuntabiologian laitos Jussi Peltonen

Lääketieteellinen kuvantaminen. Biofysiikan kurssi Liikuntabiologian laitos Jussi Peltonen Lääketieteellinen kuvantaminen Biofysiikan kurssi Liikuntabiologian laitos Jussi Peltonen 1 Muista ainakin nämä Kuinka energia viedään kuvauskohteeseen? Aiheuttaako menetelmä kudostuhoa? Kuvataanko anatomiaa

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia, 3 op 9 luentoa, 3 laskuharjoitukset ja vierailu mittausasemalle Tentti Oppikirjana Rinne & Haapanala:

Lisätiedot

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet. Kari Sormunen Syksy 2014

VALAISTUSTA VALOSTA. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet. Kari Sormunen Syksy 2014 VALAISTUSTA VALOSTA Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet Kari Sormunen Syksy 2014 OPPILAIDEN KÄSITYKSIÄ VALOSTA Oppilaat kuvittelevat, että valo etenee katsojan silmästä katsottavaan kohteeseen. Todellisuudessa

Lisätiedot

3D-kuvauksen tekniikat ja sovelluskohteet. Mikael Hornborg

3D-kuvauksen tekniikat ja sovelluskohteet. Mikael Hornborg 3D-kuvauksen tekniikat ja sovelluskohteet Mikael Hornborg Luennon sisältö 1. Optiset koordinaattimittauskoneet 2. 3D skannerit 3. Sovelluskohteet Johdanto Optiset mittaustekniikat perustuvat valoon ja

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

S-114.2720 Havaitseminen ja toiminta

S-114.2720 Havaitseminen ja toiminta S-114.2720 Havaitseminen ja toiminta Heikki Hyyti 60451P Harjoitustyö 2 visuaalinen prosessointi Treismanin FIT Kuva 1. Kuvassa on Treismanin kokeen ensimmäinen osio, jossa piti etsiä vihreätä T kirjainta.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalampi LUENTO 12 Aallot kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa Toistaiseksi on tarkasteltu aaltoja, jotka etenevät yhteen suuntaan. Yleisempiä tapauksia ovat

Lisätiedot

TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Kuvasignaalit. Jyrki Laitinen

TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Kuvasignaalit. Jyrki Laitinen TL553 DSK, laboraatiot (.5 op) Kuvasignaalit Jyrki Laitinen TL553 DSK, laboraatiot (.5 op), K25 Suorita oheisten ohjeiden mukaiset tehtävät Matlab- ja VCDemo-ohjelmistoja käyttäen. Kokoa erilliseen mittauspöytäkirjaan

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn

Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn Tieteenpäivät 2015, Työohje Sami Varjo Johdanto Digitaalinen signaalienkäsittely on tullut osaksi arkipäiväämme niin, ettemme yleensä edes huomaa sen olemassa

Lisätiedot

10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys

10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys 10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi Säteenjäljitys Säteenjäljityksessä (T. Whitted 1980) valonsäteiden kulkema reitti etsitään käänteisessä järjestyksessä katsojan silmästä takaisin kuvaan valolähteeseen

Lisätiedot

CCD-kamerat ja kuvankäsittely

CCD-kamerat ja kuvankäsittely CCD-kamerat ja kuvankäsittely Kari Nilsson Finnish Centre for Astronomy with ESO (FINCA) Turun Yliopisto 6.10.2011 Kari Nilsson (FINCA) CCD-havainnot 6.10.2011 1 / 23 Sisältö 1 CCD-kamera CCD-kameran toimintaperiaate

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Signaalien datamuunnokset. Digitaalitekniikan edut

Signaalien datamuunnokset. Digitaalitekniikan edut Signaalien datamuunnokset Datamuunnosten teoriaa Muunnosten taustaa Muunnosten teoriaa Muunnosten rajoituksia ja ongelmia Petri Kärhä 09/02/2009 Signaalien datamuunnokset 1 Digitaalitekniikan edut Tarkoituksena

Lisätiedot

Signaalien datamuunnokset

Signaalien datamuunnokset Signaalien datamuunnokset Datamuunnosten teoriaa Muunnosten taustaa Muunnosten teoriaa Muunnosten rajoituksia ja ongelmia Petri Kärhä 06/02/2004 Luento 4a: Signaalien datamuunnokset 1 Digitaalitekniikan

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:

Lisätiedot

Digitaalinen kuvankäsittely T-61.5100 (5 op) L. Syksy 2005

Digitaalinen kuvankäsittely T-61.5100 (5 op) L. Syksy 2005 Digitaalinen kuvankäsittely T-61.5100 (5 op) L Syksy 2005 Luennot: Laskuharjoitukset: Jorma Laaksonen Jukka Iivarinen OPETUSMONISTE 2005 Luento #1 14.9.2005 2 1. Yleistä kurssista.......................

Lisätiedot

Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa

Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Vierailuluento IMA-kurssilla Heikki Huttunen Lehtori, TkT Signaalinkäsittely, TTY heikki.huttunen@tut.fi Department of Signal Processing Fourier-muunnos

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Virheen kasautumislaki

Virheen kasautumislaki Virheen kasautumislaki Yleensä tutkittava suure f saadaan välillisesti mitattavista parametreistä. Tällöin kokonaisvirhe f määräytyy mitattujen parametrien virheiden perusteella virheen kasautumislain

Lisätiedot

RYHMÄKERROIN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN

RYHMÄKERROIN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN ARVIOINNISSA Seppo Uosukainen, Jukka Tanttari, Heikki Isomoisio, Esa Nousiainen, Ville Veijanen, Virpi Hankaniemi VTT PL, 44 VTT etunimi.sukunimi@vtt.fi Wärtsilä Finland Oy

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

Esimerkki - Näkymätön kuu

Esimerkki - Näkymätön kuu Inversio-ongelmat Inversio = käänteinen, päinvastainen Inversio-ongelmilla tarkoitetaan (suoran) ongelman ratkaisua takaperin. Arkipäiväisiä inversio-ongelmia ovat mm. lääketieteellinen röntgentomografia

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Mikroskooppisten kohteiden

Mikroskooppisten kohteiden Mikroskooppisten kohteiden lämpötilamittaukset itt t Maksim Shpak Planckin laki I BB ( λ T ) = 2hc λ, 5 2 1 hc λ e λkt 11 I ( λ, T ) = ε ( λ, T ) I ( λ T ) m BB, 0 < ε

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén

Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén Sonifikaatio Menetelmä Sovelluksia Mahdollisuuksia Ongelmia Sonifikaatiosovellus: NIR-spektroskopia kariesmittauksissa

Lisätiedot

1. STEREOKUVAPARIN OTTAMINEN ANAGLYFIKUVIA VARTEN. Hyvien stereokuvien ottaminen edellyttää kahden perusasian ymmärtämistä.

1. STEREOKUVAPARIN OTTAMINEN ANAGLYFIKUVIA VARTEN. Hyvien stereokuvien ottaminen edellyttää kahden perusasian ymmärtämistä. 3-D ANAGLYFIKUVIEN TUOTTAMINEN Fotogrammetrian ja kaukokartoituksen laboratorio Teknillinen korkeakoulu Petri Rönnholm Perustyövaiheet: A. Ota stereokuvapari B. Poista vasemmasta kuvasta vihreä ja sininen

Lisätiedot

Matlab-tietokoneharjoitus

Matlab-tietokoneharjoitus Matlab-tietokoneharjoitus Tämän harjoituksen tavoitteena on: Opettaa yksinkertaisia piirikaavio- ja yksikkömuunnoslaskuja. Opettaa Matlabin perustyökaluja mittausten analysoimiseen. Havainnollistaa näytteenottotaajuuden,

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

6. Analogisen signaalin liittäminen mikroprosessoriin 2 6.1 Näytteenotto analogisesta signaalista 2 6.2. DA-muuntimet 4

6. Analogisen signaalin liittäminen mikroprosessoriin 2 6.1 Näytteenotto analogisesta signaalista 2 6.2. DA-muuntimet 4 Datamuuntimet 1 Pekka antala 19.11.2012 Datamuuntimet 6. Analogisen signaalin liittäminen mikroprosessoriin 2 6.1 Näytteenotto analogisesta signaalista 2 6.2. DA-muuntimet 4 7. AD-muuntimet 5 7.1 Analoginen

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

YLEINEN AALTOLIIKEOPPI

YLEINEN AALTOLIIKEOPPI YLEINEN AALTOLIIKEOPPI KEVÄT 2017 1 Saana-Maija Huttula (saana.huttula@oulu.fi) Maanantai Tiistai Keskiviikko Torstai Perjantai Vk 8 Luento 1 Mekaaniset aallot 1 Luento 2 Mekaaniset aallot 2 Ääni ja kuuleminen

Lisätiedot

2.1 Ääni aaltoliikkeenä

2.1 Ääni aaltoliikkeenä 2. Ääni Äänen tutkimusta kutsutaan akustiikaksi. Akustiikassa tutkitaan äänen tuottamista, äänen ominaisuuksia, soittimia, musiikkia, puhetta, äänen etenemistä ja kuulemisen fysiologiaa. Ääni kuljettaa

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

VÄRISPEKTRIKUVIEN TEHOKAS SIIRTO TIETOVERKOISSA

VÄRISPEKTRIKUVIEN TEHOKAS SIIRTO TIETOVERKOISSA VÄRISPEKTRIKUVIEN TEHOKAS SIIRTO TIETOVERKOISSA Juha Lehtonen 20.3.2002 Joensuun yliopisto Tietojenkäsittelytiede Kandidaatintutkielma ESIPUHE Olen kirjoittanut tämän kandidaatintutkielman Joensuun yliopistossa

Lisätiedot

Spektri- ja signaalianalysaattorit

Spektri- ja signaalianalysaattorit Spektri- ja signaalianalysaattorit Pyyhkäisevät spektrianalysaattorit Suora pyyhkäisevä Superheterodyne Reaaliaika-analysaattorit Suora analoginen analysaattori FFT-spektrianalysaattori DFT FFT Analysaattoreiden

Lisätiedot

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN

Lisätiedot

d sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila

d sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Optisessa hilassa on hyvin suuri määrä yhdensuuntaisia, toisistaan yhtä kaukana olevia

Lisätiedot

Digitaalinen kuvankäsittely T-61.247 (3 ov) L

Digitaalinen kuvankäsittely T-61.247 (3 ov) L 9.3 Lineaarinen alipäästösuodatus (3.6.)........ 7 Digitaalinen kuvankäsittely T-6.247 (3 ov) L Luento #3 24.9.24 9.4 Kuvan terävöittäminen ylipäästösuodatuksella (3.7). 75. Fourier-muunnoksen perusteet................

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

Riemannin pintojen visualisoinnista

Riemannin pintojen visualisoinnista Riemannin pintojen visualisoinnista eli Funktioiden R R kuvaajat Simo K. Kivelä 7.7.6 Tarkastelun kohteena olkoon kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C, f(z) = w eli f(x + iy) = u(x, y)

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja

Lisätiedot

Luku 3. Kuvien ehostus tilatasossa. 3.1 Taustaa

Luku 3. Kuvien ehostus tilatasossa. 3.1 Taustaa Luku 3 Kuvien ehostus tilatasossa Kuvan ehostamisessa päätavoitteena on käsitellä kuvaa siten, että saatu tulos soveltuu paremmin haluttuun käyttötarkoitukseen kuin alkuperäinen kuva. On siis sovelluskohtaista,

Lisätiedot

2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot

2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot 2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot Olkoon I R väli. Yhden muuttujan funktion g : I R kuvaaja eli graafi on avaruuden R 2 osajoukko {(x, y) R 2 : x I, y = g(x)}. 1 0 1 2 3 1 0.5 0 0.5 1 Kuva 2.1:

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

12. Laskostumisen teoria ja käytäntö

12. Laskostumisen teoria ja käytäntö 12.1. Aliakset eli laskostuminen ja näytteistys 12. Laskostumisen teoria ja käytäntö Monet seikat vaikuttavat kuvien laatuun tietokonegrafiikassa. Mallintamisesta ja muista tekijöistä syntyy myös artefakteja,

Lisätiedot

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Datan käsittely ja tallentaminen Käytännössä kaikkien mittalaitteiden ensisijainen signaali on analoginen Jotta tämä

Lisätiedot

Digitaalisen kuvankäsittelyn perusteet

Digitaalisen kuvankäsittelyn perusteet Digitaalisen kuvankäsittelyn perusteet Jukka Teuhola Turun yliopisto Tietojenkäsittelytiede Syksy 2010 http://staff.cs.utu.fi/kurssit/digitaalisen_kuvankasittelyn_perusteet/syksy_2010/index.htm DKP-1 J.

Lisätiedot

Visibiliteetti ja kohteen kirkkausjakauma

Visibiliteetti ja kohteen kirkkausjakauma Visibiliteetti ja kohteen kirkkausjakauma Interferoteriassa havaittava suure on visibiliteetti V (u, v) = P n (x, y)i ν (x, y)e i2π(ux+vy) dxdy kohde Taivaannapa m Koordinaatisto: u ja v: B/λ:n projektioita

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Sarake 1 Sarake 2 Sarake 3 Sarake 4. Vahvistumisen jälkeen tavaran hinta on 70. Uusi tilavuus on

Sarake 1 Sarake 2 Sarake 3 Sarake 4. Vahvistumisen jälkeen tavaran hinta on 70. Uusi tilavuus on AMMATTIKORKEAKOULUJEN TEKNIIKAN VALINTAKOE 1/5 TEHTÄVÄOSA / Ongelmanratkaisu 1.6. 2017 TEHTÄVÄOSA ONGELMANRATKAISU Vastaa kullekin tehtävälle varatulle ratkaisusivulle. Vastauksista tulee selvitä tehtävien

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion

Lisätiedot

2016/07/05 08:58 1/12 Shortcut Menut

2016/07/05 08:58 1/12 Shortcut Menut 2016/07/05 08:58 1/12 Shortcut Menut Shortcut Menut Shortcut menut voidaan aktivoida seuraavista paikoista. Shortcut menun sisältö riippuu siitä, mistä se aktivoidaan. 1. Shortcut menu suunnitellusta linjasta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI

7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI 67 7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI Optisen systeemin peruspisteet saadaan systeemimatriisista. Käytetään seuraavan kuvan merkintöjä: Kuvassa sisäänmenotaso on ensimmäisen linssin ensimmäisessä pinnassa eli

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Opetusmateriaalin visuaalinen suunnittelu. Kirsi Nousiainen 27.5.2005

Opetusmateriaalin visuaalinen suunnittelu. Kirsi Nousiainen 27.5.2005 Opetusmateriaalin visuaalinen suunnittelu Kirsi Nousiainen 27.5.2005 Visuaalinen suunnittelu Ei ole koristelua Visuaalinen ilme vaikuttaa vastaanottokykyyn rauhallista jaksaa katsoa pitempään ja keskittyä

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18

Lisätiedot

Luento 15: Ääniaallot, osa 2

Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

MAA-57.1010 (4 OP) JOHDANTO VALOKUVAUKSEEN,FOTOGRAM- METRIAAN JA KAUKOKARTOITUKSEEN Kevät 2006

MAA-57.1010 (4 OP) JOHDANTO VALOKUVAUKSEEN,FOTOGRAM- METRIAAN JA KAUKOKARTOITUKSEEN Kevät 2006 MAA-57.1010 (4 OP) JOHDANTO VALOKUVAUKSEEN,FOTOGRAM- METRIAAN JA KAUKOKARTOITUKSEEN Kevät 2006 I. Mitä kuvasta voi nähdä? II. Henrik Haggrén Kuvan ottaminen/synty, mitä kuvista nähdään ja miksi Anita Laiho-Heikkinen:

Lisätiedot