JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS"

Transkriptio

1 JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS

2 TERMINATOR

3 SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN T (AIKA) FUNKTIONA (TAI MUUTTUJAN F (TAAJUUS) => FREQUENCY DOMAIN )

4 SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN T (AIKA) FUNKTIONA (TAI MUUTTUJAN F (TAAJUUS) => FREQUENCY DOMAIN )

5 SIGNAALINKÄSITTELY KUVAN TAI ÄÄNITIEDOSTON KOKO ON USEIN SUURI: ESIM X 1000 PIKSELIÄ = PIKSELIÄ KUVA: RESOLUUTIO [DPI] ÄÄNI: NÄYTTEENOTTOTAAJUUS [HZ] KOHINAA ESIINTYY AINA LUONNOLLISESSA SIGNAALISSA SIGNAALI RIIPPUU MYÖS OLOSUHTEISTA: - KUVAKULMA, VALAISTUS, ETÄISYYS,... - KAIKU, MIKROFONI, TAUSTAHÄLY,... TUNNISTAMINEN TAI LUOKITTELU VAIKEAA

6 SIGNAALINKÄSITTELY GRAFIIKKA KUVAN- PHOTO- SHOPPAILU TIETOKONE- LIIKKEEN- KAAPPAUS HAHMON- TUNNISTUS TAMINEN

7 MOTION CAPTURE

8 SIGNAALINKÄSITTELY GRAFIIKKA KUVAN- PHOTO- SHOPPAILU TIETOKONE- LIIKKEEN- KAAPPAUS HAHMON- TUNNISTUS TAMINEN

9 MICROSOFT PHOTOSYNTH

10 SIGNAALINKÄSITTELY GRAFIIKKA KUVAN- PHOTO- SHOPPAILU TIETOKONE- LIIKKEEN- KAAPPAUS HAHMON- TUNNISTUS TAMINEN

11 AFGHAN GIRL

12 AFGHAN GIRL

13 AFGHAN GIRL INVARIANSSI

14 SIGNAALINKÄSITTELY GRAFIIKKA KUVAN- PHOTO- SHOPPAILU TIETOKONE- LIIKKEEN- KAAPPAUS HAHMON- TUNNISTUS TAMINEN

15 KOHINANPOISTO Example: Denoising Occam s Razor MDL Principle Universal Source Coding MDL Principle (contd.) Modern MDL Histogram Density Estimation Clustering Linear Regression Wavelet Denoising Teemu Roos Introduction to Information-Theoretic Modeling

16 KOHINANPOISTO Example: Denoising Occam s Razor MDL Principle Universal Source Coding MDL Principle (contd.) Modern MDL Histogram Density Estimation Clustering Linear Regression Wavelet Denoising Teemu Roos Introduction to Information-Theoretic Modeling

17 KOHINANPOISTO ALKUPERÄINEN KÄSITELTY

18 KOHINANPOISTO SIGNAALI (ÄÄNI TAI KUVA) ESITETÄÄN NIIN SANOTUSSA AALLOKEMUODOSSA (WAVELET) HIUKAN KUIN TAAJUUS- ESITYS ÄÄNELLÄ KÄSITELLÄÄN SIGNAALIA VEKTORINA

19 KOHINANPOISTO AALLOKEMUODOSSA SIGNAALIN OLENNAINEN OSA KESKITTYNYT VAIN HARVOIHIN, ISOIHIN ELEMENTTEIHIN [0,0,0, 45, 12, 0,0,0,0, 2, 0,0, 120, 0,0,0,...] KOHINA JAKAUTUU TASAISESTI KAIKILLE ELEMENTEILLE [ε,ε,ε,45±ε, 12±ε,ε,ε,ε,ε, 2±ε,ε,ε, 120±ε,ε,ε,ε,...] MENETELMÄ: ASETA NOLLAA LÄHELLÄ OLEVAT ELEMENTIT NOLLIKSI [0,0,0,45±ε, 12±ε,0,0,0,0, 0,0,0, 120±ε,0,0,0,...] TULOS: SUURIN OSA KOHINASTA HÄVIÄÄ VAIN PIENI OSA SIGNAALISTA HÄVIÄÄ

20 KOHINANPOISTO AALLOKEMUODOSSA SIGNAALIN OLENNAINEN OSA KESKITTYNYT VAIN HARVOIHIN, ISOIHIN ELEMENTTEIHIN [0,0,0, 45, 12, 0,0,0,0, 2, 0,0, 120, 0,0,0,...] KOHINA JAKAUTUU TASAISESTI KAIKILLE ELEMENTEILLE [ε,ε,ε,45±ε, 12±ε,ε,ε,ε,ε, 2±ε,ε,ε, 120±ε,ε,ε,ε,...] MENETELMÄ: ASETA NOLLAA LÄHELLÄ OLEVAT ELEMENTIT NOLLIKSI [0,0,0,45±ε, 12±ε,0,0,0,0, 0,0,0, 120±ε,0,0,0,...] TULOS: SUURIN OSA KOHINASTA HÄVIÄÄ VAIN PIENI OSA SIGNAALISTA HÄVIÄÄ

21 KOHINANPOISTO kohinanpoisto(x,t): n length(x) c dwt(x) // discrete wavelet transform for i = 1,...,n: if c[i] < t: c[i] = 0 end-for x idwt(c) // inverse wavelet transform return x

22 KOHINANPOISTO kohinanpoisto(x,t): AALLOKEMUUNNOS n length(x) c dwt(x) // discrete wavelet transform for i = 1,...,n: if c[i] < t: c[i] = 0 end-for x idwt(c) // inverse wavelet transform return x

23 KOHINANPOISTO kohinanpoisto(x,t): n length(x) KYNNYSARVO t c dwt(x) // discrete wavelet transform for i = 1,...,n: if c[i] < t: c[i] = 0 end-for x idwt(c) // inverse wavelet transform return x

24 KOHINANPOISTO kohinanpoisto(x,t): n length(x) c dwt(x) // discrete wavelet transform for i = 1,...,n: KÄÄNTEISMUUNNOS if c[i] < t: c[i] = 0 end-for x idwt(c) // inverse wavelet transform return x

25 KOHINANPOISTO AALLOKEMUUNNOS LUONNOLLINEN SIGNAALI

26 KOHINANPOISTO LUONNOLLINEN SIGNAALI 120 AALLOKEMUUNNOS

27 KOHINANPOISTO KOHINAA LUONNOLLINEN SIGNAALI AALLOKEMUUNNOS

28 KOHINANPOISTO KYNNYSARVO T LUONNOLLINEN SIGNAALI AALLOKEMUUNNOS

29 KOHINANPOISTO LUONNOLLINEN SIGNAALI 121 AALLOKEMUUNNOS

30 KOHINANPOISTO AALLOKEMUUNNOS -8 8 SIGNAALI SILEÄMPI KUIN ENNEN JA VÄHEMMÄN KOHINAA LUONNOLLINEN SIGNAALI

31 KOHINANPOISTO

32 SIGNAALINKÄSITTELY GRAFIIKKA KUVAN- PHOTO- SHOPPAILU TIETOKONE- LIIKKEEN- KAAPPAUS HAHMON- TUNNISTUS TAMINEN

33 RADIOHEAD

34 SIGNAALINKÄSITTELY GRAFIIKKA KUVAN- PHOTO- SHOPPAILU TIETOKONE- LIIKKEEN- KAAPPAUS HAHMON- TUNNISTUS TAMINEN

35 SEURANTA (TRACKING)

36 HAHMONTUNNISTUS TAVOITE TUNNISTAMISESSA LÖYTÄÄ PIIRTEET, JOIDEN PERUSTEELLA VOIDAAN TUNNISTAA SAMA HAHMO ERI KUVISSA TAI ÄÄNINÄYTTEISSÄ KUVASSA TYYPILLISIÄ PIIRRETYYPPEJÄ: - REUNAT - KULMAT ÄÄNESSÄ: - TAAJUUS - TAAJUUDEN MUUTOKSET (YLÖS, ALAS,...) - RYTMI -...

37 SURF HAHMONTUNNISTUKSESSA SUOSIOSSA INVARIANTIT PIIRTEET, KUTEN SIFT (Scale Invariant Feature Transform) JA SURF (Speeded Up Robust Features). H. Bay, T. Tuytelaars & l. van Gool. SURF: Speeded Up Robust Features, Computer Vision and Image Understanding (CVIU), Vol. 110, No. 3, pp , 2008 IDEANA LÖYTÄÄ KUVASTA JOUKKO PIIRTEITÄ (FEATURE), JOTKA SÄILYVÄT SAMANA - ERI KOOSSA INVARIANSSI - ERI KULMASSA JA JOTKA VOI LASKEA - NOPEASTI.

38 SURF VAIHE I: AVAINPISTEIDEN VALINTA: 1. ESITETÄ KUVA INTEGRAALIMUODOSSA (NOPEUTUS) X Y I(X,Y) = Σ Σ F(i,j) i=1 j=1 2. LASKE HESSEN MATRIISIN (HESSIAN) DETERMINANTTI : INTENSITEETIN 2. DERIVAATAT ERI SUUNTIIN

39 SURF VAIHE I: AVAINPISTEIDEN VALINTA: 1. ESITETÄ KUVA INTEGRAALIMUODOSSA (NOPEUTUS) X Y I(X,Y) = Σ Σ F(i,j) i=1 j=1 2. LASKE HESSEN MATRIISIN (HESSIAN) DETERMINANTTI : INTENSITEETIN 2. DERIVAATAT ERI SUUNTIIN

40 SURF VAIHE I: AVAINPISTEIDEN VALINTA: 1. ESITETÄ KUVA INTEGRAALIMUODOSSA (NOPEUTUS) X Y I(X,Y) = Σ Σ F(i,j) i=1 j=1 2. LASKE HESSEN MATRIISIN (HESSIAN) DETERMINANTTI : INTENSITEETIN 2. DERIVAATAT ERI SUUNTIIN

41 SURF VAIHE I: AVAINPISTEIDEN VALINTA: 1. ESITETÄ KUVA INTEGRAALIMUODOSSA (NOPEUTUS) X Y I(X,Y) = Σ Σ F(i,j) i=1 j=1 2. LASKE HESSEN MATRIISIN (HESSIAN) DETERMINANTTI : INTENSITEETIN 2. DERIVAATAT ERI SUUNTIIN

42 SURF VAIHE I: AVAINPISTEIDEN VALINTA: 1. ESITETÄ KUVA INTEGRAALIMUODOSSA (NOPEUTUS) X Y I(X,Y) = Σ Σ F(i,j) i=1 j=1 2. LASKE HESSEN MATRIISIN (HESSIAN) DETERMINANTTI : INTENSITEETIN 2. DERIVAATAT ERI SUUNTIIN

43 SURF VAIHE I: AVAINPISTEIDEN VALINTA: 1. ESITETÄ KUVA INTEGRAALIMUODOSSA (NOPEUTUS) X Y I(X,Y) = Σ Σ F(i,j) i=1 j=1 2. LASKE HESSEN MATRIISIN (HESSIAN) DETERMINANTTI : INTENSITEETIN 2. DERIVAATAT ERI SUUNTIIN 3. TOISTA ERI SKAALAUKSILLA (SKAALAINVARIANTTI) 4. VALITSE det(h):n PAIKALLISET MAKSIMIT AVAINPISTEIKSI

44 SURF VAIHE I: AVAINPISTEIDEN VALINTA: 1. ESITETÄ KUVA INTEGRAALIMUODOSSA (NOPEUTUS) X Y I(X,Y) = Σ Σ F(i,j) i=1 j=1 2. LASKE HESSEN MATRIISIN (HESSIAN) DETERMINANTTI : INTENSITEETIN 2. DERIVAATAT ERI SUUNTIIN 3. TOISTA ERI SKAALAUKSILLA (SKAALAINVARIANTTI) 4. VALITSE det(h):n PAIKALLISET MAKSIMIT AVAINPISTEIKSI

45 SURF VAIHE II: PIIRTEIDEN KUVAUS: 1. TARKASTELE JOKAISEN AVAINPISTEEN YMPÄRISTÖÄ 2. LASKE ORIENTAATIO (INTENSITEETIN PERUSTEELLA) 3. KONSTRUOI INTENSITEETIN VAIHTELUN PERUSTEELLA KUVAAJAVEKTORI (SURFISSA 64-DIMENSIOINEN)

46 SURF VAIHE II: PIIRTEIDEN KUVAUS: 1. TARKASTELE JOKAISEN AVAINPISTEEN YMPÄRISTÖÄ 2. LASKE ORIENTAATIO (INTENSITEETIN PERUSTEELLA) 3. KONSTRUOI INTENSITEETIN VAIHTELUN PERUSTEELLA KUVAAJAVEKTORI (SURFISSA 64-DIMENSIOINEN)

47 SURF VAIHE II: PIIRTEIDEN KUVAUS: 1. TARKASTELE JOKAISEN AVAINPISTEEN YMPÄRISTÖÄ 2. LASKE ORIENTAATIO (INTENSITEETIN PERUSTEELLA) 3. KONSTRUOI INTENSITEETIN VAIHTELUN PERUSTEELLA KUVAAJAVEKTORI (SURFISSA 64-DIMENSIOINEN) TULOKSENA PIIRREVEKTORI: (X,Y,SKAALA,ORIENTAATIO,KUVAAJAVEKTORI)

48 SURF

49 SURF-ESIMERKKI

50 SURF VAIHE III: HAHMONTUNNISTUS 1. ETSI PIIRTEET YHDESTÄ KUVASTA 2. ETSI PIIRTEET TOISESTA KUVASTA 3. ETSI ERI KUVISSA ESIINTYVIÄ PIIRREPAREJA, JOTKA OVAT RIITTÄVÄN LÄHELLÄ TOISIAAN (EUKLIDINEN ETÄIYYS) 4. VOI PARANTAA GEOMETRISILLA RAJOITTEILLA (KORVAT ERI PUOLELLA PÄÄTÄ, SILMÄT SIINÄ VÄLISSÄ, JNE.)

51 SURF

52 SURF

53 SURF

54 ENSI VIIKOSTA LEGOILLA LEIKKIMISTÄ LASKUHARJOITUSRYHMISSÄ PAJAMEININKIÄ LISÄRYHMIÄ PERUSTETAAN LISÄOHJEITA KURSSIN SIVULLA (MYÖHEMMIN)

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS TERMINATOR SIGNAALINKÄSITTELY KUVA VOIDAAN TULKITA KOORDINAATTIEN (X,Y) FUNKTIONA. LÄHDE: S. SEITZ VÄRIKUVA KOOSTUU KOLMESTA KOMPONENTISTA (R,G,B). ÄÄNI VASTAAVASTI MUUTTUJAN

Lisätiedot

Johdatus tekoälyyn (T. Roos) Kurssikoe

Johdatus tekoälyyn (T. Roos) Kurssikoe 582216 Johdatus tekoälyyn (T. Roos) Kurssikoe 18.10.2013 Kokeessa saa pitää mukana käsinkirjoitettua A4-kokoista kaksipuolista lunttilappua, joka on palautettava koepaperin mukana. Huomaa että jokaisen

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

TEEMU ROOS (KALVOT MUOKATTU PATRIK HOYERIN LUENTOMATERIAALISTA)

TEEMU ROOS (KALVOT MUOKATTU PATRIK HOYERIN LUENTOMATERIAALISTA) JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS (KALVOT MUOKATTU PATRIK HOYERIN LUENTOMATERIAALISTA) KONEOPPIMISEN LAJIT OHJATTU OPPIMINEN: - ESIMERKIT OVAT PAREJA (X, Y), TAVOITTEENA ON OPPIA ENNUSTAMAAN Y ANNETTUNA X.

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

Kuvan pakkaus JPEG (Joint Photographic Experts Group)

Kuvan pakkaus JPEG (Joint Photographic Experts Group) Kuvan pakkaus JPEG (Joint Photographic Experts Group) Arne Broman Mikko Toivonen Syksy 2003 Historia 1840 1895 1920-luku 1930-luku Fotografinen filmi Louis J. M. Daguerre, Ranska Ensimmäinen julkinen elokuva

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS NEUROVERKOT TURINGIN KONE (TAI TAVALLINEN OHJELMOINTI) VAIN YKSI LASKENNAN MALLI ELÄINTEN HERMOSTOSSA LASKENTA ERILAISTA: - RINNAKKAISUUS - STOKASTISUUS (SATUNNAISUUS) - MASSIIVINEN

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS ROBOTIIKKA TEKOÄLYN GRAND CHALLENGE YHDISTÄÄ LÄHES KAIKKI TEKOÄLYN OSA-ALUEET: ROBOTIIKKA TEKOÄLYN GRAND CHALLENGE YHDISTÄÄ LÄHES KAIKKI TEKOÄLYN OSA-ALUEET: AIVOT : + KONENÄKÖ

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

Tiedonkeruu ja analysointi

Tiedonkeruu ja analysointi Tiedonkeruu ja analysointi ViDRoM Virtual Design of Rotating Machines Raine Viitala ViDRoM Virtual Design of Rotating Machines Mitataan dynaamista käyttäytymistä -> nopeuden funktiona Puhtaat laakerit,

Lisätiedot

Radioastronomian käsitteitä

Radioastronomian käsitteitä Radioastronomian käsitteitä allonpituusalue ~ 100 m - 1 mm MHz 300 GHz Leveä aallonpituusalue: erilaisia antenneja, monenlaista tekniikkaa Ei (suoraan) kuvia Signaali yleensä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Jos sinulla on kysyttävää 10. Vastaanotin toimi.

Jos sinulla on kysyttävää 10. Vastaanotin toimi. Tärkeät turvallisuustiedot ennen käyttöönottoa 1 Onnea uuden Langattoman Baby Guardin johdosta. Ennen kuin otat langattoman Baby Guardin käyttöösi, lue kaikki turvallisuus- ja käyttööhjeet huolellisesti,

Lisätiedot

Tarvitseeko informaatioteknologia matematiikkaa?

Tarvitseeko informaatioteknologia matematiikkaa? Tarvitseeko informaatioteknologia matematiikkaa? Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 1 Kyllä kai IT matematiikkaa tarvitsee!? IT ja muu korkea teknologia on nimenomaan matemaattista teknologiaa.

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe SGN-100 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 6.4.010 Sivuilla 1- on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,

Lisätiedot

Ultraäänen kuvausartefaktat. UÄ-kuvantamisen perusoletukset. Outi Pelkonen OYS, Radiologian Klinikka 29.4.2005

Ultraäänen kuvausartefaktat. UÄ-kuvantamisen perusoletukset. Outi Pelkonen OYS, Radiologian Klinikka 29.4.2005 Ultraäänen kuvausartefaktat Outi Pelkonen OYS, Radiologian Klinikka 29.4.2005 kaikissa radiologisissa kuvissa on artefaktoja UÄ:ssä artefaktat ovat kaikuja, jotka näkyvät kuvassa, mutta eivät vastaa sijainniltaan

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöryhmä

Differentiaaliyhtälöryhmä Differentiaaliyhtälöryhmä Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä vaikkapa korkeamman kertaluvun yhtälöä vastaava normaaliryhmä voidaan ratkaista numeerisesti täsmälleen samanlaisilla kaavoilla

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS LUONNOLLISEN KIELEN KÄSITTELY (NATURAL LANGUAGE PROCESSING, NLP) TEKOÄLYSOVELLUKSET, JOTKA LIITTYVÄT IHMISTEN KANSSA (TAI IHMISTEN VÄLISEEN) KOMMUNIKAATIOON, OVAT TEKEMISISSÄ

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:

Lisätiedot

Aurinkopaneelin maksimitehopisteen seuranta. Aurinkopaneelin maksimitehopisteen seuranta. Aurinkokennon virta-jännite-käyrä

Aurinkopaneelin maksimitehopisteen seuranta. Aurinkopaneelin maksimitehopisteen seuranta. Aurinkokennon virta-jännite-käyrä 05/10/2011 Aurinkokennon virta-jännite-käyrä Aurinkokennon tärkeimmät toimintapisteet: ISC Oikosulkuvirta VOC Tyhjäkäyntijännite MPP Maksimitehopiste IMPP Maksimitehopisteen virta VMPP Maksimitehopisteen

Lisätiedot

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2

Lisätiedot

9. Tila-avaruusmallit

9. Tila-avaruusmallit 9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)

Lisätiedot

KULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Johdatus tekoälyyn. Luento 6.10.2011: Koneoppiminen. Patrik Hoyer. [ Kysykää ja kommentoikaa luennon aikana! ]

Johdatus tekoälyyn. Luento 6.10.2011: Koneoppiminen. Patrik Hoyer. [ Kysykää ja kommentoikaa luennon aikana! ] Johdatus tekoälyyn Luento 6.10.2011: Koneoppiminen Patrik Hoyer [ Kysykää ja kommentoikaa luennon aikana! ] Koneoppiminen? Määritelmä: kone = tietokone, tietokoneohjelma oppiminen = ongelmanratkaisukyvyn

Lisätiedot

Kuvanlaadunparantaminen. Mikko Nuutinen 21.3.2013

Kuvanlaadunparantaminen. Mikko Nuutinen 21.3.2013 Kuvanlaadunparantaminen Mikko Nuutinen 21.3.2013 Luennon sisältö Termistöä Kuvanentisöinti Terävyys unsharp masking Kohina non-local means Linssivääristymän korjaus Kuvanlaadunehostaminen Kontrasti Auto-levels

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

3.2.2 Tikhonovin regularisaatio

3.2.2 Tikhonovin regularisaatio 3 Tikhonovin regularisaatio Olkoon x 0 R n tuntematon, M R m n teoriamatriisi ja y Mx + ε R m (316 annettu data Häiriöherkässä ongelmassa pienimmän neliösumman miniminormiratkaisu x M + y Q N (M x + M

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

JOHDATUS ELEKTRONIIKKAAN. Oppitunti 2 Elektroniikan järjestelmät

JOHDATUS ELEKTRONIIKKAAN. Oppitunti 2 Elektroniikan järjestelmät JOHDATUS ELEKTRONIIKKAAN Oppitunti 2 Elektroniikan järjestelmät 2 ELEKTRONIIKAN JÄRJESTELMÄT Aktiivisuusranneke Mittaa liikettä Keskustelee käyttäjän kanssa ledeillä ja värinällä Keskustelee radioiden

Lisätiedot

3 Ikkunointi. Kuvio 1: Signaalin ikkunointi.

3 Ikkunointi. Kuvio 1: Signaalin ikkunointi. 3 Ikkunointi Puhe ei ole stationaarinen signaali, vaan puheen ominaisuudet muuttuvat varsin nopeasti ajan myötä. Tämä on täysin luonnollinen ja hyvä asia, mutta tämä tekee sellaisten signaalinkäsittelyn

Lisätiedot

2. Teoriaharjoitukset

2. Teoriaharjoitukset 2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien

Lisätiedot

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS KURSSIN PERUSTIEDOT VALINNAINEN AINEOPINTOTASOINEN KURSSI, 4 OP PERIODI 1: 6.9.2012-12.10.2012 (6 VIIKKOA) LUENNOT (B123, LINUS TORVALDS -AUDITORIO): TO 10-12, PE 12-14 LASKUHARJOITUKSET

Lisätiedot

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Tehtävä 1: Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske

Lisätiedot

Kognitiivinen mallintaminen Neuraalimallinnus, luento 1

Kognitiivinen mallintaminen Neuraalimallinnus, luento 1 Kognitiivinen mallintaminen Neuraalimallinnus, luento 1 Nelli Salminen nelli.salminen@helsinki.fi D433 Neuraalimallinnuksen osuus neljä luentokertaa, muutokset alla olevaan suunnitelmaan todennäköisiä

Lisätiedot

ANSSE SAARIMÄKI KAMERAPOHJAINEN PAIKANNUS. Kandidaatintyö

ANSSE SAARIMÄKI KAMERAPOHJAINEN PAIKANNUS. Kandidaatintyö ANSSE SAARIMÄKI KAMERAPOHJAINEN PAIKANNUS Kandidaatintyö Tarkastaja: Yliopistonlehtori Heikki Huttunen Jätetty tarkastettavaksi 21.5.2015 I TIIVISTELMÄ ANSSE SAARIMÄKI: Kamerapohjainen paikannus Tampereen

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi, k2012, L1

Matemaattinen Analyysi, k2012, L1 Matemaattinen Analyysi, k22, L Vektorit Merkitsemme koulumatematiikasta tuttua vektoria v = 2 i + 3 j sarake matriisilla ( ) 2 v = v = = ( 2 3 ) T 3 Merkintätavan muutos helpottaa jatkossa siirtymistä

Lisätiedot

Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén

Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén Projektisuunnitelma ja johdanto AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt Paula Sirén Sonifikaatio Menetelmä Sovelluksia Mahdollisuuksia Ongelmia Sonifikaatiosovellus: NIR-spektroskopia kariesmittauksissa

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

SGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen

SGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen SGN- Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe.5.4 Heikki Huttunen Tentissä ja välikokeessa saa käyttää vain tiedekunnan laskinta. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla -3 on. Sivuilla 4-5 on. Sivulla

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0. HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (

Lisätiedot

Virheen kasautumislaki

Virheen kasautumislaki Virheen kasautumislaki Yleensä tutkittava suure f saadaan välillisesti mitattavista parametreistä. Tällöin kokonaisvirhe f määräytyy mitattujen parametrien virheiden perusteella virheen kasautumislain

Lisätiedot

SGN-4200 Digitaalinen audio

SGN-4200 Digitaalinen audio SGN-4200 Digitaalinen audio Luennot, kevät 2013, periodi 4 Anssi Klapuri Tampereen teknillinen yliopisto Kurssin tavoite Johdanto 2! Tarjota tiedot audiosignaalinkäsittelyn perusteista perusoperaatiot,

Lisätiedot

Åbo Akademi 3.5.2011 klo 12-16. Mietta Lennes mietta.lennes@helsinki.fi. Nykykielten laitos Helsingin yliopisto

Åbo Akademi 3.5.2011 klo 12-16. Mietta Lennes mietta.lennes@helsinki.fi. Nykykielten laitos Helsingin yliopisto Åbo Akademi 3.5.2011 klo 12-16 Mietta Lennes mietta.lennes@helsinki.fi Nykykielten laitos Helsingin yliopisto Praat-puheanalyysiohjelma Mikä on Praat? Mikä on Praat? Praat [Boersma and Weenink, 2010] on

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely

Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen, Signaalinkäsittelyn menetelmät,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

SGN-1251 Signaalinkäsittelyn sovellukset Välikoe Heikki Huttunen

SGN-1251 Signaalinkäsittelyn sovellukset Välikoe Heikki Huttunen SGN-5 Signaalinkäsittelyn sovellukset Välikoe.. Heikki Huttunen Tentissä ja välikokeessa saa käyttää vain tiedekunnan laskinta. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla - on. Sivuilla 4-6 on. Vastaa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 21.3.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle

Lisätiedot

Luento 3: 3D katselu. Sisältö

Luento 3: 3D katselu. Sisältö Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. I Johdanto

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. I Johdanto 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 I Johdanto Sisältö 1. Algoritmeista ja tietorakenteista 2. Algoritmien analyysistä 811312A TRA, Johdanto 2 I.1. Algoritmeista ja tietorakenteista I.1.1. Algoritmien

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100 HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Matriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi

Matriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi MS-A0007 Matriisilaskenta 5. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 25.11.2015 Laskentaongelmissa käsiteltävät matriisit ovat tyypillisesti valtavia.

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI

1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI 1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI 1 1.1 Funktion optimointiin perustuvat klusterointialgoritmit Klusteroinnin onnistumista mittaavan funktion J optimointiin perustuvissa klusterointialgoritmeissä

Lisätiedot

Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun Sami Hokuni 12 Syyskuuta, 2012 1/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun Turun Yliopisto. Gradu tehty 2012 kevään

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS PELIPUU PELIPUU -1 0 1 PELIPUU PELIPUU PELIPUU PELIPUU PELIPUU PELIPUU PELIPUU PELIPUU PELIPUU PELIPUU PELIPUU PELIPUU PELIPUU PELIPUU I -ARVO(Solmu) if LOPPUTILA(Solmu) return(arvo(solmu))

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

Valintakoe

Valintakoe Valintakoe 7.3.05 Kokeessa saa käyttää kirjoitusvälinewiden lisäksi ainoastaan kokeessa jaettavaa funktiolaskinta ja taulukkoa Pisteytys 8*3p=4p. Tehtävien alakohtien pistemäärät voivat poiketa toisistaan..

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 3. helmikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Sisältö Kurssi koostuu kuudesta (seitsemästä) toisistaan riippumattomasta luennosta. Aihepiirit ovat:

Lisätiedot

S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede

S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede Laskuharjoitus 2 4.12.2006 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 1 Tehtävässä 1 piti tehdä lineaarista suodatusta kuvalle. Lähtötietoina käytettiin kuvassa 1 näkyvää harmaasävyistä

Lisätiedot

HARJOITUS 7 SEISOVAT AALLOT TAVOITE

HARJOITUS 7 SEISOVAT AALLOT TAVOITE SEISOVAT AALLOT TAVOITE Tässä harjoituksessa opit käyttämään rakolinjaa. Toteat myös seisovan aallon kuvion kolmella eri kuormalla: oikosuljetulla, sovittamattomalla ja sovitetulla kuormalla. Tämän lisäksi

Lisätiedot

Lego Mindstorms NXT. OPH oppimisympäristöjen kehittämishanke 2011-2013. (C) 2012 Oppimiskeskus Innokas! All Rights Reserved 1

Lego Mindstorms NXT. OPH oppimisympäristöjen kehittämishanke 2011-2013. (C) 2012 Oppimiskeskus Innokas! All Rights Reserved 1 Lego Mindstorms NXT OPH oppimisympäristöjen kehittämishanke 2011-2013 (C) 2012 Oppimiskeskus Innokas! All Rights Reserved 1 Anturi- ja moottoriportit A B C 1 2 3 4 (C) 2012 Oppimiskeskus Innokas! All Rights

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut

Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet Mikkola/Ärölä 4. harjoituksen ratkaisut Teht. 1 Jacobin determinantin J det F materiaalisen aikaderivaatan laskemiseksi lasketaan

Lisätiedot

Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi

Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi Osoitamme seuraavan keskeisen tuloksen: Lause 1.8: [Sipser Thm. 1.54] Kieli on säännöllinen, jos ja vain jos jokin säännöllinen lauseke esittää

Lisätiedot

PIKSELIT JA RESOLUUTIO

PIKSELIT JA RESOLUUTIO PIKSELIT JA RESOLUUTIO 22.2.2015 ATK Seniorit Mukanetti ry / Tuula P 2 Pikselit ja resoluutio Outoja sanoja Outoja käsitteitä Mikä resoluutio? Mikä pikseli? Mitä tarkoittavat? Miksi niitä on? Milloin tarvitaan?

Lisätiedot

RYHMÄKERROIN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN

RYHMÄKERROIN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN ARVIOINNISSA Seppo Uosukainen, Jukka Tanttari, Heikki Isomoisio, Esa Nousiainen, Ville Veijanen, Virpi Hankaniemi VTT PL, 44 VTT etunimi.sukunimi@vtt.fi Wärtsilä Finland Oy

Lisätiedot