Kohti yleistä suhteellisuusteoriaa

Transkriptio

1 Kohti yleistä suhteellisuusteoriaa Miksi vakionopeudella liikkuvat koordinaatistot ovat erityisasemassa (eli miksi Lorentz-muunnos tehdään samalla tavalla joka paikassa aika-avaruudessa)? Newtonin gravitaatiolaki ei ole Lorentz-kovariantti. Miten se pitäisi yleistää? 1

2 Yleinen suhteellisuusteoria Suppea suhteellisuusteoria on rakennettu siten, että se on yhteensopiva klassisen sähkömagnetismin lakien (Maxwellin yhtälöiden ja sähkömagneettisen voiman) kanssa. Klassisen fysiikan toinen perustavanlaatuinen vuorovaikutus on gravitaatio. Miten se sopii yhteen suppean suhteellisuusteorian kanssa? Osoittautuu, että vastaus tähän kysymykseen selvittää myös sen, miksi suppean suhteellisuusteorian avaruus on homogeeninen (eli Lorentz-muunnoksen kertoimet ovat samat kaikkialla). Yleinen suhteellisuusteoria on suppean suhteellisuusteorian ja gravitaation yhdistävä teoria. (Yleinen suhteellisuusteoria kuvaa aika-avaruuden yleistä rakennetta, ja silloin kun gravitaatio jätetään huomiotta, se surkastuu suppeaksi suhteellisuusteoriaksi.) 2

3 Newtonin gravitaatiolaki Newtonin gravitaatiolaki ei ole yhteensopiva suppean suhteellisuusteorian kanssa. Se on Galilei-kovariantti, ei Lorentzkovariantti. F 12 =!G N m 1 m 2 x 1! x 2 x 1! x 2 3 Mikä olisi sen yleistys suppeaan suhteellisuusteoriaan? Pitäisikö löytää sopiva nelivektori, joka kuvaa gravitaatiota? Newtonin gravitaatiovoiman (toisin kuin Maxwellin sähkömagnetismin) kohdalla informaatio välittyy äärettömällä nopeudella. Vastaavasti gravitaatioaaltoja ei Newtonin teoriassa ole olemassa. Mikä välittää gravitaatiota? Kuvataan gravitaatiota kentällä, sähkömagnetismin tapaan. 3

4 Klassinen gravitaatiokenttä Otetaan käyttöön gravitaatiopotentiaali φ. Tarkastellaan paikassa x 2 sijaitsevan kappaleen, jonka massa on M, aiheuttamaa voimaa kappaleeseen, joka on paikassa x ja jonka massa on m G. Myös Newtonin 2. laissa esiintyy massa, merkitään sitä symbolilla m I (inertiaalimassa eli hitausmassa). Gravitaatiomassalla m G ja hitausmassalla m I ei tarvitsisi olla mitään tekemistä toistensa kanssa. Ne kuitenkin ovat samat suurella tarkkuudella. G m G =!"!! =!G N M 1 x! x 2 #% G =!m G "! $ &% F = m I!!x '!!x =! m G m I "! 4

5 Massojen yhteneväisyys F = mia hitausmassa, inertiaalinen massa F =! G NM G m G r 2 e r painava massa TESTS OF THE WEAK EQUIVALENCE PRINCIPLE Havaintojen mukaan Eötvös Renner Free-fall m G! m I m I << Princeton Moscow Boulder Eöt-Wash LLR Fifth-force searches Eöt-Wash = a 1 -a 2 (a 1 +a 2 )/ YEAR OF EXPERIMENT 5

6 Kaikki putoaa yhtä lailla Gravitaatiomassan ja hitausmassan yhtäsuuruudesta seuraa se, että kaikki kappaleet putoavat samalla tavalla gravitaatiokentässä. (Vrt. kappaleet eivät liiku samalla tavalla sähkökentässä, liike riippuu sähkövarauksesta.) Joskus tätä nimitetään ekvivalenssiperiaatteeksi tai heikoksi ekvivalenssiperiaatteeksi. (Selitys termille tulee myöhemmin.) #% G =!m G "! $ &% F = m I!!x '!!x =! m G m I "! 6

7 Poissonin yhtälö Newtonin gravitaatiolain voi kirjoittaa yhtälönä gravitaatiopotentiaalin ja massatiheyden välillä. Tämä yhtälö on nimeltään Poissonin yhtälö.! 2! = 4"G N # m # m = dm dv Poissonin yhtälö ei ole Lorentz-kovariantti. Miten sen voisi yleistää Lorentz-kovariantiksi? 7

8 Nordströmin gravitaatioteoria Ensimmäinen yritys yhdistää gravitaatiota ja suppeaa suhteellisuusteoria oli suomalaisen Gunnar Nordströmin käsialaa. Nordström esitti vuonna 1912 seuraavan yleistyksen Poissonin yhtälölle:! 2! " 1 c 2 # 2! #t 2 = 4"G N# m (Lisäksi pitää yleistää gravitaatiovoiman määritelmä.) Tämä yhtälö ei kuitenkaan ole Lorentz-kovariantti, koska tiheys ei ole invariantti Lorentz-muunnoksessa (tilavuus kutistuu). Nordström kehitti uuden teorian vuonna 1913, mutta se ei osoittautunut oikeaksi. 8

9 Gravitaatio aika-avaruuden kaarevuutena Einstein esitti vuonna 1915 yleisen suhteellisuusteorian. Se on käsitteellisesti hyvin erilainen kuin Nordströmin teoria. Gravitaation kuvaamiseksi ei oteta mukaan uutta voimaa aika-avaruudessa, vaan muutetaan aika-avaruuden rakennetta. Suppea suhteellisuusteoria yhdisti ajan ja avaruuden, yleinen suhteellisuusteoria tekee aika-avaruudesta dynaamisen. Yleisen suhteellisuusteorian mukaan: Aika ja avaruus eivät ole muuttumattomia, vaan muodostavat dynaamisen kokonaisuuden, jonka paikallinen muoto (kaareutuminen) määräytyy ainesisällöstä. Aineen ominaisuudet määräävät, miten aika-avaruus kaartuu. Aika-avaruus määrää, miten aine liikkuu. 9

10 SUPPEA SUHTEELLISUUSTEORIA ds 2 =! "# dx " dx # = c 2 dt 2! dx 2! dy 2! dz 2 Muuttumaton, tasainen aika-avaruus (Minkowskin avaruus) YLEINEN SUHTEELLISUUSTEORIA 3 ds 2 =! g!" (t, x) dx! dx " " g!" dx! dx "!,"=0 = g 00 dx 0 dx 0 + g 01 dx 0 dx g 33 dx 3 dx 3 Dynaaminen, kaareva aika-avaruus g ( t, x) αβ Metriikka on tensori eli 4 4 matriisi. Tuntematon suure, joka pitää ratkaista liikeyhtälöistä. g ( t, x) g ( t, x) metriikka on symmetrinen αβ = βα 10 tuntematonta funktiota 10

11 MITEN NIIN KAAREVA? 2D analogia s = t 2,x 2! ds =! g!" dx! dx " t 1,x 1 t 2,x 2 t 1,x 1 t 1,x 1 t 2,x 2 Neliulotteisen aika-avaruuden aika- ja avaruusvälit riippuvat paikasta ja ajasta, koska avaruus on kaareva. Kaarevuus määräytyy ainesisällöstä. Ei ole ylimääräistä ulottuvuutta, jossa kaareutuminen tapahtuisi. 11

12 Suoraviivainen liike kaarevassa avaruudessa näyttää käyrältä suoraviivaisissa koordinaateissa. suora viiva Paikallisesti Minkowski suppea suhteellisuusteoria voimassa paikallisesti 12

13 MITKÄ OVAT HYVÄKSYTTÄVIÄ KOORDINAATISTOJA? kaikki! YLEINEN SUHTEELLISUUSPERIAATE: Kaikki matemaattisesti säännölliset koordinaatistot ovat yhdenvertaisia. Suppea suhteellisuusteoria: fysiikka sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa x α x α = L α β (v) xβ Lorentz-muunnos Yleinen suhteellisuusteoria: fysiikka sama kaikissa koordinaatistoissa x α x α = M α β (xγ ) x β yleinen koordinaattimuunnos 13

14 MIKÄ MÄÄRÄÄ METRIIKAN? liikeyhtälöt = Einsteinin yhtälö on muotoa GEOMETRIA [g!" ] = AINE [E, p, ] MITEN LÖYDETÄÄN TÄMÄ YHTÄLÖ? 14

15 ! " g!" # 2! " G!" # m " T!" Einsteinin tensori metriikan ja sen kahden ensimmäisen derivaatan funktio energia-impulssitensori riippuu aineen ominaisuuksista G!" = 8#G N c 4 T!" Einsteinin yhtälö: 2. kertaluvun differentiaaliyhtälö metriikan komponenteille g αβ tunnetaan kun aine tunnetaan 10 yhtälöä ratkaistaan metriikka g αβ (t,x) kun aine T αβ (t,x) on annettu AINE MÄÄRÄÄ AIKA-AVARUUDEN GEOMETRIAN 15

16 Heikko kenttä ja hidas liike Yleisen suhteellisuusteorian approksimaationa saadaan Newtonin gravitaatioteoria kun gravitaatiokenttä on heikko ja liikkeet ovat hitaita. Aika-avaruus on silloin Minkowskin avaruus plus pieni häiriö. ds 2 = ( 1+ 2! )c 2 dt 2! (! ij! 2"! ij! h ij )dx i dy j = (! "# + 2$% "# + h "# )dx " dx # (h 00 = h 0i = 0, " h ii = 0) 3 i=1 " T!" = diag $ #,! P c,! P 2 c,! P # 2 c 2 % ' ( diag # m, 0, 0, 0 & ( ) (v << c) 16

17 ! 2! = 4"G N c 2 # m $! 2 " 1 # 2 ' & )h % c 2 #t 2 ij = 0 (! " =!c 2 Newtonin gravitaatio Gravitaatioaallot Saadaan Newtonin laki plus aaltoyhtälö: Newtonin gravitaatiopotentiaali vastaa pientä häiriötä aika-avaruuden etäisyyksissä. Yleisessä suhteellisuusteoriassa on lisäksi gravitaatioaaltoja, joiden nopeus on valonnopeus. 17

18 Korjauksia planeettojen ratoihin Merkuriuksen radan perihelin prekessio Perihelin kiertymä poikkeaa vuodessa klassisen mekaniikan ennusteesta, kun kaikkien planeettojen vaikutus on huomioitu. Etäisyyden muutos on 29 km 46 miljoonasta kilometristä. Määrä (kaarisekuntia/100 v) Syy maapallon koordinaatiston kiertyminen toisten planeettojen vaikutus Auringon litteys ±0.04 yleisen suhteellisuusteorian korjaus yhteensä havaittu 18

19 Pioneer-anomalia: ei ongelma suhteellisuusteorialle Luotaimet Pioneer 10 ja 11 Laukaistu 1972 ja 1973 tutkimaan Jupiteria ja Saturnusta. Siistein mittaus liikkeistä aurinkokunnassa. Luotaimilla ylimääräinen kiihtyvyys (8.74 ± 1.33)x10-10 m/s 2 kohti Aurinkoa etäisyyksillä au. Selittyy luotaimien lämpösäteilyllä. 19

20 Valon suora kulku aika-avaruudessa Valo matkaa aika-avaruudessa suoraa viivaa (eli geodeettia) joka on valonkaltainen, eli etäisyys aika-avaruudessa on nolla. Minkowskin avaruus: ds 2 =! "# dx " dx # = c 2 dt 2! dx 2! dy 2! dz 2 = 0 " x = ±ct Yleinen aika-avaruus: ds 2 = g!" dx! dx " = 0 Suoraviivaisuus tarkoittaa suoraa liikettä kaarevassa avaruudessa. On tärkeää tuntea valon kulku, sillä lähes kaikki havainnot maapallon ulkopuolisesta maailmankaikkeudesta tehdään valon (sähkömagneettisen säteilyn) avulla. 20

21 Valon taipuminen avaruudessa δ Ennuste valon taipumiskulmalle: havaittu paikka ds 2 = ( 1+ 2! )c 2 dt 2! ( 1! 2! )! ij dx i dy j = 0 törmäysparametri b M! = 4G N M bc 2! 2r s b = 2 Newtonin teorian ennuste 21

22 AURINGONPIMENNYS 1919 Sobral, Brasilia Principe (Afrikka), Arthur Eddington Einsteinin ennuste Nordströmin ennuste Newtonin ennuste! =1.75"! = 0"! = 0.87" pilvistä! 16 kuvaa, 2 onnistui, 5 tähteä näkyvissä (kalibraatio: vaaditaan 7) Sobral δ δ keskim 8 hyvää huonoa Principe δ δ keskim 2 huonoa Eddington: valo taipuu! 22

23 Nykyaika: THE PARAMETER (1+ )/ Optical Radio DEFLECTION OF LIGHT VLBI 2X (1+ )/ SHAPIRO TIME DELAY Hipparcos PSR Voyager yleinen suhteellisuusteoria Viking Cassini (1X10-5 ) YEAR OF EXPERIMENT 23

24 GRAVITAATIOLINSSI Einsteinin rengas 24

25 Vahva gravitaatiolinssi: useita kuvia 25

26 26

27 Heikko gravitaatiolinssi: kuvan muutos (E. Grocutt, IfA, Edinburgh) 27

28 Hubble Ultra Deep Field 28

29 Euclid ESA 2020 ESA hyväksyi Euclid-satelliitin lokakuussa 2011 ja lopullisesti valitsi kesäkuussa 2012 Kartoittaa 40% taivaasta. Fysiikan laitos mukana. 29

30 Gravitaatioaallot Pallosymmetrinen tilanne ei synnytä gravitaatiosäteilyä. Gravitaatio heikko: tarvitaan nopeita aineen muutoksia: neutronitähtien ja mustien aukkojen törmäykset, supernovaräjähdykset, varhainen maailmankaikkeus valonsäde ohimenevä metristen ominaisuuksien muutos: kellojen käynti, pituusvälit gravitaatioaalto avaruusaika paikallisesti Minkowski (esim. maapallolla sijaitsevan mittalaitteen ympäristössä) voidaan periaatteessa havaita maapallolla 30

31 Gravitaatioaallot staattinen tai pallosymmetrinen tähti staattinen avaruusaika pallosymmetrian rikkova liike väreitä avaruusaikaan kaksoistähti 31

32 Gravitaatioaaltojen suora havaitseminen Gravitaatio on heikko pieni efekti Kahden mustan aukon törmäys (massa kymmenen Auringon massaa) gravitaatioaaltoja, jotka muuttavat etäisyyksiä tekijällä Miten mitata? Esimerkki: peili gravitaatioaalto Interferenssikuvio muuttuu koska valonsäteen kulkuaika muuttuu. (vrt. Michelsonin ja Morleyn koe) 32

33 LIGO Laser Interferometer Gravitational wave Observatory, USA Advanced LIGO km 33

34 Virgo Italia

35 Gravitaatioaaltojen epäsuora havaitseminen Kaksoispulsari PSR (Hulse & Taylor; löytö 1974, Nobel-palkinto 1993) Systeemi menettää energiaa gravitaatioaaltoihin. 35

36 Yleisen suhteellisuusteorian ennuste pätee tarkasti 3 MASS OF COMPANION (solar masses) d /dt ( %) ' (0.02%) dp b /dt (0.2 %) 2 a MASS OF PULSAR (solar masses) 36

37 Planck ESA Planck pystyy näkemään vain primordiaalisia gravitaatioaaltoja, kun taas LIGO/Virgo näkevät vain astrofysikaalisten lähteiden aaltoja. Fysiikan laitos mukana. 37

38 LISA NGO, elisa Laser Interferometer Space Antenna Next Gravitational Wave Observatory ESA LISA Pathfinder laukaistaan 2015 elisa 2020-luvulla? Erittäin haastava. 3 satelliittia lentää muodostelmassa, etäisyys 5 miljoonaa km 38