JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN P

Transkriptio

1 JHDATUS SUHTEELLISUUSTERIAAN P Petri Mutka Fysikaalisten tieteiden laitos ulun yliopisto 2005

2 1. Johdanto Suhteellisuusteoria, joka koostuu kahdesta erillisestä teoriasta, on toinen modernin fysiikan perusteorioista. Erikoinen tai suppea suhteellisuusteoria käsittelee aikaa ja paikkaa tasaisen liikkeen tapauksessa. Teorian laajennettu versio yleinen suhteellisuusteoria on gravitaataatioteoria, joka käsittelee kiihtyvää liikettä. Suhteellisuusteoria laajentaa klassisen Galilein ja Newtonin mekaniikan suurille energioille ja nopeuksille. Erikoisen suhteellisuusteorian tapauksessa tämä tarkoittaa nopeuksia, jotka ovat merkittävän lähellä valonnopeuden asettamaa ylärajaa. Tällöin ajan ja paikan käsitteet eivät ole enää klassisessa mielessä yksiselitteisiä. Tällä kurssilla käsitellään erikoista suhteellisuusteoriaa. Kurssilla opitaan, kuinka suhteellisuusteoria rakentuu kahden peruspostulaatin pohjalta ja johtaa Lorentzin koordinaatistomuunnokseen, kun koordinaatistojen välinen nopeus on vakio. Suhteellisuusteoriaa pyritään ymmärtämään neliulotteisen aika-avaruusjatkumon ominaisuuksien pohjalta. Samanaikaisuuden suhteellisuus, pituuden kontraktio ja ajan dilataatio saadaan teorian välittöminä seurauksina. Fysiikan lakien liiketilariippumattomuus on yksinkertaisinta esittää nelivektorein, joihin kurssilla tutustutaan. Kurssi johdattelee myös suhteellisuusteorian tärkeään sovellutusalueeseen, hiukkasten kinematiikkaan sironta- ja tuottoprosesseissa. Kurssin tavoitteena on, että sen jälkeen opiskelija: 1. Tunnistaa fysikaaliset tilanteet, jotka johtavat suhteellisuusteoreettisiin efekteihin. 2. Ymmärtää mitä nämä efektit ovat. 3. Pystyy käytännössä käsittelemään osaa niistä. Kirjoja Suhteellisuusteoriasta on kirjoitettu lukuisia oppikirjoja, tässä muutama lähdeteos joihin kurssi osittain perustuu Suhonen, E. Johdatus Suhteellisuusteoriaan luentomoniste, 1991 French, A. P. Special Relativity, 1968 Taylor, E. F. and Wheeler, J. A. Spacetime Physics (5th ed.), Kuinka tiede toimii? Tieteen yleisiä tunnusmerkkejä ovat bjektiivisuus. Kriittisyys. Autonomisuus. Edistyvyys. Tieteellinen tieto perustuu tosiasioihin, joiden täytyy olla aina tarkistettavissa ja testattavissa. Tämän takia tieteen tuottaman tiedon täytyy olla avointa ja julkista. Tiede on itse itseään korjaavaa, ja tieteellinen tieto on jatkuvan tarkastelun ja kritiikin kohteena. Tämän takia avoimuus ja riippumattomuus ovat hyvin tärkeitä. Tieteen ja sen tekijöiden tuottamien tulosten luonne täytyy olla riippumattomia ulkoisista auktoriteeteistä. Viimekädessä tieteen tuottama tieto saa riippua ainoastaan tehdyistä havainnoista, joihin havaitsijan omat näkemykset tai ulkoiset auktoriteetit eivät saa vaikuttaa. Tiede on edistyvää, eli vanhojen näkemysten ja tulkintojen osoittautuessa jollain tavoin vääriksi tai vajavaisiksi, ne pyritään korvaamaan uusilla. Entä käytännössä? Mieti esimerkkejä tilanteista joissa neljä edellä lueteltua tieteen ominaisuutta voisivat tulla esille? Kuinka niistä poikkeaminen ilmenee ja mitä siitä seuraa? Mikä on tieteellinen teoria? Käytännössä tieteen kehitys on jatkuvaa havaintojen ja teorian vuoropuhelua. Uudet havainnot ja mittaukset luovat uutta teoriaa ja päinvastoin. Tieteellinen teoria on malli, joka pyrkii selittämään havainnot. Teoria kertoo ainoastaan siitä ilmiömaailmasta, jonka kuvaamiseksi se on laadittu. Tieteellistä teoriaa ei voida koskaan todistaa oikeaksi - ainoastaan vääräksi todistaminen on mahdollista. Karkeasti tieteen kehitystä voidaan kuvata seuraavanlaisella jatkuvasti toistuvalla syklillä. Tiede uusiutuu tieteellisten kriisien kautta, jotka syntyvät uusista havainnoista, joita vallitseva teoria ei pysty selittämään oikein. Tämä ilmenee eri teorioiden tai niiden osa-alueiden välisinä ristiriitaisuuksina tai väärinä ennusteina käsiteltävistä ilmiöistä. Uusien havaintojen selittämiseksi pyritään luomaan hypoteesejä, jotka selittävät sekä vanhat että uudet, ristiriitaiset havainnot. Hypoteesien tasolla eri selitysmallit sekä teoriat kilpailevat keskenään. Parhaalla hypoteesilla, joka korvaa vallitsevan teorian tai laajentaa sitä, on seuraavat ominaisuudet: Se selittää teorian kattaman ilmiömaailman sekä kaikki havainnot mahdollisimman laajasti. ccamin partaveitsi: se on yksinkertaisin. Tämän jälkeen vallitsevaksi teoriaksi päässyt paras hypoteesi on jatkuvan kritiikin ja testaamisen kohteena, kunnes tehdään havaintoja, jotka ovat sen kanssa ristiriidassa ja sykli alkaa uudelleen. Kuinka edellä luetellut tieteen neljä tunnusmerkkiä liittyvät edellä kuvattuun tieteen kehityksen kiertokulkuun? Keksitkö käytännön esimerkkejä? Tämä sykli on toistunut monissa mittakaavoissa useita kertoja tieteen historiassa, muistatko yhtään esimerkkiä? Millä muilla tavoilla tiede voi kehittyä ja miksi tämä on karkea yksinkertaistus? 1.2 Käytännön esimerkki Klassinen fysiikka vuonna luvun loppupuolella ajateltiin, että klassisen fysiikan avulla voidaan selittää kaikki luonnonilmiöt. Tämän 1

3 käsityksen mukaan ainostaan muutama yksityiskohta oli enää selvittämättä. Myöhemmin nämä valon liikkeeseen ja materian perusolemukseen liittyvät kysymykset kuitenkin muuttivat kaiken. Klassinen Galilein-Newtonin mekaniikka käsittelee kappaleiden liikkeisiin ja dynamiikkaan liittyviä ongelmia, kuten esimerkiksi planeettojen liikettä. Maxwellin sähkömagnetismi selittää sähköön ja magnetismiin liittyvät ilmiöt, mistä esimerkkinä valo ja sähkömagneettisen säteilyn luonne. Termodynamiikka käsittelee kaasujen ja nesteiden olemusta makroskooppisessa mittakaavassa. Boltzmannin statistinen mekaniikka käsittelee ainetta ja sen eri olomuotoja mikroskooppisista lähtökohdista lähtien. Klassisen fysiikan luomassa maailmankuvassa oli kaksi keskeistä selvittämätöntä ongelmaa. Maxwellin teorian mukaisen sähkömagneettisen säteilyn (aaltoliikkeen) hypoteettisen väliaineen, eli eetterin, olemusta ei ymmärretty. Toinen ongelmakohta oli aineen säteilemän spektrin selittäminen.... ja sen jälkeen. Vuosisadan vaihtuessa tehtiin nopeaan tahtiin lukuisia havaintoja, jotka olivat ristiriidassa klassisen fysiikan tuottamien ennusteiden kanssa: Röntgensäteet (Röntgen, 1895), joiden tuottaminen on kvantti-ilmiö. Vasta vuonna 1912 osoitettiin, että röntgensäteet ovat lyhytaaltoista sähkömagneettista säteilyä. Elektroni (Thomson, 1895), jonka sähkövaraus muodostaa alkeisvarauksen. Alkeisvarauksen olemassaoloa oli epäilty aiemminkin. Radioaktiivisuus (Becquerel, 1896), jossa atomiytimet säteilevät hiukkas- tai sähkömagneettista säteilyä hajotessaan. Valosähköinen ilmiö (Hertz, Hallwachs, Lenard, ), jossa sähkömagneettinen säteily irrottaa elektroneja metallista oikeissa olosuhteissa. Klassinen fysiikka antaa tässä täysin vääriä ennusteita. Einstein sai valosähköisen ilmiön selittämisestä Nobelin palkinnon vuonna Michelsonin ja Morleyn koe (Michelson, Morley 1887), jolla pyrittiin selvittämään maapallon liiketilaa sähkömagneettisen säteilyn hypoteettisen väliaineen, eetterin, suhteen. Näiden havaintojen lisäksi selvät ristiriidat klassisen fysiikan teorian sisällä johtivat myöhemmin modernin fysiikan kahteen perusteoriaan: Kvanttimekaniikka käsittelee mikroskooppisen mittakaavan ilmiöitä. Kaikki modernit aineen rakenteen teoriat perustuvat kvanttimekaniikkaan. Kvanttimekaniikan syntyyn vaikutti useita henkilöitä, joista mainittakoon debroglie, Bohr, Heisenberg, Born, Planck, Jordan, Schrödinger, Dirac, Pauli jne. (likimain ). Suhteellisuusteoria on teoria ajasta ja paikasta. Teorian pohjalta on myöhemmin kehitelty gravitaatioteorioita eteenpäin, mutta perusmuodossaan se on Albert Einsteinin luoma (1905,1915). 1.3 Suhteellisuusteoria Suppea tai erikoinen suhteellisuusteoria, jonka Albert Einstein julkaisi vuonna 1905, käsittelee vapaasti liikkuvia havaitsijoita. Teoria on erikoistapaus myöhemmin julkaistusta yleisestä suhteellisuusteoriasta (1915). Suhteellisuusteoria romuttaa klassisen ajan ja paikan käsitteen, ja sitoo ne havaisijan liiketilaan. Teoria perustuu oletuksille, joiden mukaan valon tyhjiönopeus (suurin mahdollinen nopeus) on vakio ja fysiikan lait ovat samat kaikille havaitsijoille. Teorian taustalla on neliulotteinen kuva aikaavaruusjatkumosta, jossa aika rinnastetaan paikkakoordinaatteihin. Käytännössä erikoinen suhteellisuusteoria on varsin yksinkertainen, vaikkakin se johtaa arkiajattelulle vieraisiin tilanteisiin. Yleinen suhteellisuusteoria laajentaa erikoisen suhteellisuusteorian käsitteet myös kiihtyvässä liikkeessä oleviin havaitsijoihin. Käytännössä tämä johtaa teoriaan gravitaatiosta. Teorian perusajatuksen mukaisesti painovoima syntyy neliulotteisen aika-avaruusjatkumon kaareutumisesta. Tätä kaareutumista kuvaa Einsteinin kenttäyhtälö, joka määrää kuinka aine (=massa, energia) vaikuttaa kaarevuuteen. Vastaavasti avaruuden kaarevuus määrää sen, kuinka aine siellä liikkuu. Kaarevien avaruuksien käsittely johtaa matemaattisesti melko vaativaan yleiseen vektorilaskentaan, ja aihe onkin huomattavasti erikoista suhteellisuusteoriaa vaativampi ja raskaampi. 1.4 Suhteellisuusteoria ja klassinen fysiikka Edellä kuvailtu modernin fysiikan perusteorioiden synty ei tarkoita sitä, että klassinen fysiikka olisi hylättävä. Klassisen fysiikan teoriat toimivat hyvin tarkasti omilla pätevyysalueillaan. Ilmiöiden energiatiheys määrää sen, ovatko relativistiset efektit merkittäviä. Tämä ei ole aina itsestäänselvä tilanne, sillä energiaa voi olla monessa muodossa, kuten esimerkiksi: Liike-energia: jos kappaleelle annetaan tarpeeksi liikeenergiaa, sen nopeus nousee tarpeeksi lähelle valonnopeutta (relativistiseksi) ja klassisen mekaniikan mukainen kuvaus tilanteelle pettää. Massa: Massa on energiaa ja päinvastoin. Jos kappaleen tiheys on tarpeeksi suuri, se alkaa kaareuttamaan avaruutta hyvin voimakkaasti. Tämä voi johtaa voimakkaisiin kiihtyvyyksiin ja relativistiin nopeuksiin. Lämpötila: lämpötila on liikettä, johon on sitoutuneena energiaa. Tarpeeksi korkeat lämpötilat vaativat relativististen efektien huomioonottamista. 2

4 Paine: paine ja lämpötila liittyvät läheisesti toisiinsa. Energiaa voi olla varastoituneena myös staattisiin jännityksiin, mika voi periaatteessa johtaa myös relativistisiin ilmiöihin. Matalaenergisellä rajalla relativististen efektien tulee hävitä ja suhteellisuusteorian täytyy tällöin tuottaa klassisen fysiikan mukaisia tuloksia. Keksitkö todellisia fysikaalisia tilanteita, jotka voivat johtaa relativistisiin efekteihin? Entäpä esimerkkejä edellä luetelluista energian olomuodoista? 1.5 Suhteellisuusteorian testit Kun kahta modernin fysiikan perusteoriaa yritetään soveltaa yhtäaikaa, päädytään ongelmiin. Suhteellisuusteoria ja kvanttimekaniikka eivät sovi yhteen. Pitkään on jo epäilty, että taustalla olisi yksi teoria joka kattaa sekä kvanttimekaniikan että suhteellisuusteorian. Tämän vuoksi teorioiden testaaminen on hyvin tärkeää, sillä niiden ennusteista poikkeavat havainnot antavat vihjeitä uudesta fysiikasta! Erikoinen suhteellisuusteoria Erikoista suhteellisuusteoriaa on testattu paljon, ja tähän mennessä kaikki sen antamat ennusteet ovat olleet hyvin tarkkoja: Yleisen suhteellisuusteorian mukainen valon kaareutuminen painovoimakentässä on havaittiin ensimmäisen kerran Auringon lähettyvillä. Nykyään tämä ilmiö nähdään monien astrofysikaalisten kohteiden yhteydessä. Merkuriuksen radan (perihelin) kiertyminen on mitattu ilmiö, joka vastaa hyvin tarkasti yleisen suhteellisuusteorian ennustetta. Suurin osa radan kiertymisestä selittyy klassisen mekaniikan avulla, mutta sen ylitse jäävä osa on tarkasti suhteellisuusteorian mukainen. Yleinen suhteellisuusteoria ennustaa, että neliulotteisessa aika-avaruusjatkumossa voi liikkua aaltoja, jotka syntyvät nopeasti muuttuvan gravitaatiokentän yhteydessä. Näistä aalloista on toistaiseksi vain epäsuoria havaintoja, mutta meneillään on useita havaintoprojekteja, jotka pyrkivät gravitaatioaaltojen suoraan havaitsemiseen. Gravitaation aiheuttama punasiirtymä on mitattu maapallon pinnalla ja se havaitaan myös monien astrofysikaalisten kohteiden yhteydessä. Eetterikokeet, joissa yritetään löytää absoluuttista lepokoordinaatistoa mittaamalla valon tyhjiönopeutta eri suunnissa interferometrillä. Modernit eetteritestit, jotka perustuvat laserin tai maserin käyttöön. Mitataan valonnopeutta hyvin tarkasti, esimerkiksi tasaisesti liikkuvassa, kiihtyvässä, pyörivässä tms. koordinaatistossa, ja yritetään löytää poikkeamia valon tyhjiönopeudessa. Punasiirtymämittaukset, joissa etsitään poikkeamia suhteellisuusteorian ennustamasta relativistisesta doppler-siirtymästä (liikkuvan valonlähteen säteilemän sähkömagneettisen säteilyn aallonpituuden muutos). Ajanmittaustestit. Suhteellisuusteoria ennakoi liikkuvien kellojen käyvän eri tahtiin kuin levossa olevien. Tästä on etsitty poikkeamia lennättämällä hyvin tarkkoja kelloja esimerkiksi satelliiteissa. Yleinen suhteellisuusteoria Yleisen suhteellisuusteorian testaaminen on huomattavan paljon vaikeampaa kuin erikoisen suhteellisuusteorian. Tämä johtuu siitä, että yleistä suhteellisuusteoriaa vaativat relativistiset ilmiöt syntyvät yleensä suurien massojen lähettyvillä. Niinpä useimmat yleisen suhteellisuusteorian testit ovat käytännössä havaintoja astrofysikaalisista kohteista joissa relativistiset efektit ovat voimakkaina näkyvissä. Tälläisiä testejä ovat esimerkiksi: 3

5 2. Koordinaatistojärjestelmät Klassisesti kappaleen liikkeen kuvaamiseksi tarvitaan koordinaatistojärjestelmä (frame tai frame of reference), joka koostuu seuraavista käsitteistä: Sama pallo! Sama paikka! Sama aika! Piste, jonka suhteen paikkaa mitataan, eli origo. Sopimus tavasta, jolla paikkaa origon suhteen mitataan. Kello, joka kertoo millä ajanhetkellä kappale on kussakin paikassa. Koska suhteellisuusteorian kannalta aika ja paikka eivät ole yksikäsitteisiä klassisessa mielessä, muutamia koordinaatistojärjestelmiin liittyviä käsitteitä joudutaan tarkentamaan. Kello liittyy jokaiseen koordinaatiston pisteeseen, ja samassa koordinaatistossa olevat kellot ovat synkronoitu keskenään. Käytännössä tämä synkronointi tehdään seuraavasti: valitaan referenssipiste, jossa oleva kello nollataan. Lähetetään tästä pisteestä radiaalisesti laajeneva valorintama. Jokaisessa valorintaman saavuttamassa pisteessä oleva kello asetetaan aikaan, joka on valorintaman mukana kulkevan referenssikellon sen hetkisestä ajasta vähennettynä valorintaman laajenemiseen kulunut aika. Tapahtuma on tietty aika ja paikka avaruudessa, joka määritellään esimerkiksi yhden aika- ja kolmen paikkakoordinaatin avulla (t, x, y, z). Havaitsija on olio, joka pystyy mystisesti lukemaan kaikkia koordinaatiston kelloja välittömästi ilman valonnopeuteen liittyvää signaaliviivettä. Koordinaatistojärjestelmä on yksinkertaisesti sopimus siitä kuinka aikaa ja paikkaa ilmaistaan. Suhteellisuusteorian vahvuus on koordinaattivapaa ilmaisu, jossa luonnonlait määritellään valitusta koordinaatistojärjestelmästä riippumattomalla invariantilla tavalla. Itseasiassa valitulla koordinaatistojärjestelmällä mitataan abstraktimpaa matemaattista käsitettä, eli monistoa, joka voidaan tässä yhteydessä mieltää jatkuvaksi avaruudeksi. Monisto itsessään voi olla kaareva, kuten koordinaatistokin. Tästä esimerkkinä maapallon kartta, jota ei voi esittää tasossa ilman mittakaavavirheitä, koska maan pinta on kaareva pallon pinta. Erilaisia koordinaatistoja, joilla voidaan kuvata samaa tilannetta on ääretön määrä. Pelkästään tutusta karteesisesta koordinaatistosta on monia muunnelmia (oikea- tai vasenkätinen, vino- eli skewed-koordinaatisto, ortogonaalinen jne.). Muista koordinaatistoista mainittakoon esimerkiksi napa-, sylinteri- tai vaikkapa elliptinen koordinaatisto. Myös itse koordinaatisto voi olla liikkeessä tai vaikkapa pyöriä, jolloin itse koordinaatisto on ajasta riippuvainen. Sopivan koordinaatiston valinta on hyvin tärkeää ongelman ratkaisussa, sillä joissain koordinaatistoissa sen käsittely voi muuttua hyvin yksinkertaiseksi ja joissain taas äärimmäisen hankalaksi! Kuva 1: Heitetyn pallon lentoradan muoto on havaitsijan liiketilasta riippuva. Molemmissa taloissa pallon paikka ja nopeus, sekä itse talon paikka, on heittohetkellä sama. Vasemmassa talossa, joka pysyy maan suhteen paikallaan, lentorata on paraabeli. Pallon lähtöhetkellä vapaasti tippuvan talon suhteen rata on suoraviivainen. Keksitkö todellisia tilanteita, joissa pyörivän tai liikkuvan koordinaatiston käytöstä voisi olla hyötyä? 2.1 Vapaa koordinaatisto Miksi maan pinnalta heitetty pallo lentää paraabeliradalla? Tarkastellaan seuraavanlaista tilannetta uhkarohkeasti kallion kielekkeelle rakennetussa talossa (kuva 1). Maanpinnan suhteen levossa olevassa talossa pallo lentää paraabeliradalla, ja vapaasti tippuvassa talossa lentorata on suoraviivainen. Jokapäiväisen kokemuksen mukaisesti pallon paraabelirata on seurausta painovoimasta. Tilannetta voidaan tarkastella myös toisin. Pallon havaittu paraabelirata on seurausta havaitsijan epäluonnollisesta koordinaatistosta, jossa esiintyy huonosta koordinaatiston valinnasta johtuvia ylimääräisiä kiihtyvyyksiä. Vapaassa pudotuksessa oleva havaitsija näkee pallon liikkuvan luonnollisen suoraviivaisesti. Gravitaatio on havaitsijan liiketilasta johtuvaa harhaa aina voidaan määritellä hetkeksi paikallinen koordinaatisto, jossa sitä ei ole. 2.2 Vapaan koordinaatiston paikallinen luonne Painovoimaa ei voida hävittää mielivaltaisen pitkäksi aikaa mielivaltaiselta alueelta. Ammutaan esimerkinomaisesti avaruusalus ja kaksi VR:n junavaunua Maata kiertävälle radalle. Kuvan 2 avaruusaluksessa olevat testikappaleet liikkuvat kuten vapaassa koordinaatistossa. Käytännössä niihin ei vaikuta koordinaatiston valinnasta johtuvia voimia, mikäli tarkastelu rajoitetaan tarpeeksi pienelle alueelle (aluksen sisäosaan). Jos koordinaatistoa levennetään tarpeeksi sivusuunnassa, kuten vaakalennossa radallaan etenevässä junavaunussa (kuva 3), vaunun eri päissä oleviin testikappaleisiin vai- 4

6 Kuva 2: Avaruusaluksen sisällä tarpeeksi pienellä, vapaasti liikkuvalla alueella Maan kiertoradalla gravitaatiota ei voida havaita. Kuva 4: Vaapaasti liikkuvan alueen ollessa laaja radiaalisessa suunnassa, voimien suuruudet muuttuvat, koska gravitaatiovoima on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. Kuva 3: Jos vapaasti liikkuva alue on tarpeeksi suuri sivusuunnassa, kuten tässä VR:n junavaunussa, gravitaatiovoimien suunta vaunun eri osissa muuttuu. kuttavat hieman erisuuntaiset voimat ja koordinaatistossa esiintyy sen valinnasta johtuvia sisäisiä voimia. Vastaavasti radiaalisessa suunnassa (kuva 4), pystyssä olevassa vaunussa testikappaleisiin vaikuttavat voimat ovat erisuuria vaunun eri päissä. Näin ollen tässäkin koordinaatistossa esiintyy sen valinnasta johtuvia sisäisiä voimia. Jos vapaassa koordinaatistossa tarkasteltava alue on tarpeeksi pieni ja aikaväli on tarpeeksi lyhyt, painovoimaa ei ole. Koska gravitaatiokenttä ei ole tasainen, tarpeeksi suurella alueella (tai pitkänä aikana) sen vaikutukset tulevat esille myös vapaassa koordinaatistossa. Se, mitä tarpeeksi pieni alue ja lyhyt aikaväli tarkoittaa, riippuu täysin tarkasteltavasta ongelmasta. Joka tapauksessa koordinaatisto täytyy erikoisen suhteellisuusteorian ongelmissa rajata sopivalle alueelle aikaavaruusjatkumossa. Jos tämä ehto rikkoutuu, tarvitaan yleistä suhteellisuusteoriaa, jossa ongelmaa käsitellään (periaatteessa) määrittelemällä sarja paikallisia koordinaatistoja sekä sääntö siitä, kuinka niiden välillä liikutaan. 2.3 Inertiaalikoordinaatisto Newtonin ensimmäinen laki, eli inertiaalilaki, kuuluu seuraavasti: a) Levossa oleva kappale pysyy levossa, jos siihen ei vaikuta ulkoisia voimia ja b) liikkuva kappale jatkaa liikettään vakionopeudella, jos siihen ei vaikuta ulkoisia voimia. Inertiaalilain voimassaolo riippuu valitusta koordinaatistosta. Koordinaatistoa, jossa Newtonin inertiaalilaki on voimassa, kutsutaan inertiaalikoordinaatistoksi. Inertiaalikoordinaatisto on idealisaatio, jota ei todellisuudessa ole olemassa. Käytännössä koordinaatistoa voidaan aina laajentaa siten, että siihen sisältyy (epätasaisia) gravitaatiokenttiä, jotka tuottavat sisäisiä koordinaatiston valinnasta johtuvia kiihtyvyyksiä. Käytännössä kuitenkin lähes aina voidaan määritellä sopivan kokoinen vapaa koordinaatisto, jota voidaan käsitellä halutulla tarkkuudella, kuten inertiaalikoordinaatistoa. Koordinaatistoja, jotka eivät ole inertiaalikoordinaatistoja, ja joissa on sisäisiä kiihtyvyyksiä, kutsutaan epäinertiaalikoordinaatistoiksi. Jos voitaisiin tehdä mielivaltaisen pitkiä ja tarkkoja mittauksia, kaikki reaalimaailman koordinaatistot olisivat todellisuudessa epäinertiaalikoordinaatistoja. 2.4 Fysiikan lait inertiaalikoordinaatistossa Kahdesta toistensa suhteen liikkuvasta inertiaalikoordinaatistosta on mahdotonta sanoa, kumpi on levossa ja kumpi liikkeessä. Kaikki inertiaalikoordinaatistot ovat samanarvoisia. Periaatteessa tämä on Galilein esittämä suhteellisuusperiaate hieman laajennetussa muodossa: Fysiikan lait ovat samat kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa! Einstein laajensi suhteellisuusperiaatteen Galileon esittämästä suoraviivaisesta liikkeestä koskemaan myös vapaata liikettä (ks. edellä käsitelty vapaa koordinaatisto). lkoot kaksi inertiaalikoordinaatistoa A ja A, joista A liikkuu A:n suhteen vakionopeudella v suuntaan x. Hetkellä t = t = 0 koordinaatistojen origot ovat samassa pisteessä. Koordinaatistosta A siirrytään koordinaatistoon A muunnoksella { x = x vt t (1) = t Muunnosta (1) kutsutaan Galilein koordinaatistomuun- 5

7 nokseksi. Esimerkki: Newtonin toinen laki Newtonin toinen laki F = ma a = F m (2) kertoo, että kappaleen kiihtyvyys a on suoraan verrannollinen siihen vaikuttavaan voimaan F ja kääntäen verrannollinen sen massaan m. Tämä on voimassa kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa, koska derivoitaessa muunnosyhtälöitä (1) ajan suhteen, nopeudet edellämainituissa inertiaalikoordinaatistoissa A ja A muuntuvat kuten u = u v. (3) Koska kiihtyvyys on nopeuden muutos ajan funktiona, ja koordinaatistojen A ja A välinen nopeus v on vakio, saadaan uudelleen ajan suhteen derivoimalla kiihtyvyyksille a = a. (4) Eli Newtonin toinen laki (2) on voimassa kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. 2.5 Fysiikan lait epäinertiaalikoordinaatistoissa Newtonin toinen laki ei ole voimassa sellaisenaan epäinertiaalikoordinaatistossa. Esimerkiksi maata kiertävään avaruusalukseen sidottu tarpeeksi laaja koordinaatisto on tälläinen epäinertiaalikoordinaatisto. Vaikka aluksen sisällä olevaan testikappaleeseen vaikuttaa Maan vetovoima, se pysyy avaruusaluksen suhteen paikallaan. Tämä voidaan ymmärtää määrittelemällä kiihtyvässä liikkeessä olevasta koordinaatistosta johtuva keinotekoinen voima - keskipakoisvoima - joka kumoaa Maan vetovoiman. Epäinertiaalikoordinaatistoja voidaankin käsitellä määrittelemällä keinotekoisia koordinaatistoon liittyviä voimia. Tälläisiä inertiaalivoimia ovat esimerkiksi keskipakois- ja Coriolisvoima. n tärkeää ymmärtää, missä ja millaisessa koordinaatistossa ongelmaa käsitellään, sillä epäinertiaalikoordinaatistoja täytyy käsitellä eri tavalla kuin inertiaalikoordinaatistoja! 6

8 3. Suhteellisuusteorian perusperiaatteet Erikoinen suhteellisuusteoria (ja tämä kurssi) käsittelee ajan ja paikan käsitettä kappaleilla, joiden suhteelliset nopeudet ovat merkittävä osa valon tyhjiönopeudesta c m/s. Teoria käsittelee tasaista liikettä eli erilaisia inertiaalikoordinaatistoja. Epäinertiaalikoordinaatiston tapauksessa voidaan joutua turvautumaan yleiseen suhteellisuusteoriaan, joka menee käsittelemämme ongelmakentän sekä tämän kurssin ulkopuolelle. nopeus v Inertiaali- Epäinertiaalikoordinaatisto koordinaatisto v c Newtonin lait Newtonin lait + inertiaalivoimat v < c Suppea Yleinen suhteellisuusteoria suhteellisuusteoria 3.1 Historiaa Modernia fysiikkaa edeltävä klassinen fysiikka perustuu pitkälti kahdelle perusteorialle: Klassinen mekaniikka, joka sai alkunsa luvun aikana (Newton ja Galilei). Maxwellin sähkömagnetismin teoria 1800-luvulta. Klassinen mekaniikka lepää vahvasti Galileo Galilein aikoinaan muotoileman suhteellisuusperiaatteen varassa, jonka mukaan fysiikan lait ovat liiketilasta riippumattomat. Maxwellin sähkömagnetismiä kuvaavat yhtälöt kuitenkin ennustavat valolle nopeuden c m/s. Klassisen fysiikan kriittiseksi kysymykseksi 1800-luvun lopulla tuli, minkä suhteen Maxwellin teorian tuottama valonnopeus on määritelty? n helppo osoittaa, että Maxwellin yhtälöt eivät ole invariantteja Galilein koordinaatistomuunnoksen suhteen. Maxwellin sähkömagnetismi ja klassinen Galilein ja Newtonin mekaniikka ovat ristiriidassa luvun lopulla valon tiedettiin olevan aaltoliikettä. Koska aaltoliike tapahtuu (yleensä) väliaineessa, pääteltiin että Maxwellin yhtälöt antavat valonnopeuden tuntemattoman hypoteettisen väliaineen, eetterin suhteen. Tästä voitiin edelleen päätellä, että valonnopeuden ollessa vakio eetterin suhteen määritellyssä inertiaalikoordinaatistossa, täytyy valonnopeuden muuttua Galilein koordinaatistomuunnosten mukaiseksi muissa inertiaalikoordinaatistoissa. Michelsonin ja Morleyn kokessa (1881,1887) yritettiin mitata valonnopeuden muutoksia eri suuntiin eetterin suhteen liikkuvien havaitsijoiden koordinaatistoissa (kuva 5). 3.2 Michelsonin ja Morleyn koe Koejärjestelyssä mitataan kahden toisiaan vastaan kohtisuoraan liikkuvan valonsäteen nopeutta interferometrin avulla (kuva 6). Interferometrissä monokromaattisesta valonlähteestä lähtevä valonsäde jakautuu puoliläpäisevässä peilissä P kahteen osaan. Ensimmäinen valonsäde kulkee matkan l 1 Kuva 5: Michelson ja Morley mittasivat valonnopeutta interferometrillä maapallon ratanopeuden suuntaan sekä sitä vastaan kohtisuorassa suunnassa. Nopeuksien oletettiin muuttuvan (vasen puoli), mutta mittaustuloksen (oikea puoli) mukaan valonnopeus oli suunnasta riippumaton. ja heijastuu peilistä P 1 ilmaisimelle T. Vastaavasti toinen valonsäde kulkee ensin matkan l 2 ja heijastuu peilistä P 2 puoliläpäisevän peilin P kautta samalle ilmaisimelle T, jolla molemmat valonsäteet interferoivat. Syntynyt interferenssikuvio riippuu molempien valonsäteiden matkaan käyttämästä ajasta. Laitetta pyöritettäessä, eetterin suhteen vakionopeudella liikkuvan valon nopeuden tulisi muuttua maan rataliikkeen sekä mittaussuunnan mukaisesti ja interferenssikuvion tulisi muuttua vastaavasti. letetaan, että maapallon nopeus on hypoteettisen eetterin suhteen v, ja valonnopeus vastaavasti c. Tarkastellaan ensin tapausta, jossa haara S-P-P 2 on maan rataliikkeen suunnassa. Peilin P 2 kautta kukevan valonsäteen nopeus on Galilein muunnosten mukaisesti suunnassa P-P 2 c + v suunnassa P 2 -P c v, jolloin matkaan P-P 2 -P kuluu valolta aika t 2 = l 2 c v + l 2 c + v = 2cl 2 c 2 v 2 t 2 = 2l 2γ 2, γ = c 1 1 (v/c) 2. (5) Vastaavasti peilin P 1 kautta kulkevalle valonsäteelle suunnassa P-P 1 c 2 v 2 suunnassa P 1 -P c 2 v 2, jolloin matkaan P-P 1 -P kuluu valolta aika l 1 t 1 = 2 c2 v = 2l 1 γ. (6) 2 c 7

9 Valonlähde l 1 Puoliläpäisevä peili P 1 Ilmaisin T Peili P l 2 Peili Kuva 6: Michelson ja Morley kokeessa valonlähteestä lähtevä, eetterin suhteen vakionopeudella liikkuva, kahteen osaan jaettu valonsäde kulkee kahta toisiaan vastaan kohtisuoraan olevaa haaraa pitkin ja interferoi sen jälkeen ilmaisimella. Laitetta pyöritettäessä tulisi mittaussuunnan muuttua maapallon rataliikkeen suhteen ja interferenssikuvion muuttua vastaavasti. P 2 Kuitenkaan minkäänlaista muutosta ei havaittu. Tämän jälkeen Michelsonin ja Morleyn jälkeen koe on uusittu huomattavasti suuremmilla mittaustarkkuuksilla, eikä muutoksia valonnopeudessa ole havaittu. Valon tyhjiönopeus on sama kaikissa koordinaatistoissa! Useiden epäonnistuneiden selitysyritysten jälkeen tämän ristiriidan Maxwellin sähkömagnetismin ja klassisen Galilein ja Newtonin mekaniikan välillä ratkaisi Einstein vuonna 1905 erikoisella suhteellisuusteoriallaan. Einsteinin elegantti ratkaisu perustuu yksinkertaiselle oivallukselle. Jos valonnopeus on vakio kaikissa koordinaatistoissa, täytyy ajan olla koordinaatistosta riippuva! v < c ~ Absoluuttinen aika Galilein koordinaatistomuunnos Nyt eri reittejä kulkeville valonsäteille (5) ja (6) aika-ero on t = t 2 t 1 = 2γ c (γl 2 l 1 ). (7) Kun laitetta käännetään siten että P 1 -P-T on rataliikkeen suunnassa, kuluu matkoihin aikaa t 1 = t 2 ja t 2 = t 1 ja t = t 2 t 1 = 2γ c (l 2 γl 1 ). (8) Näin ollen ilmaisimella T havaittu interferenssikuvion siirtymä on verrannollinen aikojen (7) ja (8) erotukseen = t t = 2γ c (γl 2 l 1 l 2 + γl 1 ) = 2γ c (γ 1)(l 1 + l 2 ). (9) Jos T = λ/c on säteilyjakson kesto, jossa λ on säteilyn aallonpituus, on siirtymä S = T = 2γ λ (γ 1)(l 1 + l 2 ). (10) Koska maan ratanopeus on merkittävästi alle valonnopeuden (v/c 1), voidaan γ kehittää sarjaksi γ = 1 = v , (11) 1 (v/c) 2 2 c2 joka katkaistaan toisen asteen termin jälkeen (v 4 /c 4 0). Tällöin S l 1 + l 2 v 2 λ c 2. (12) Michelson ja Morleyllä oli l 1 +l 2 22m, λ = m ja maan ratanopeus on v 30km/s. Näillä arvoilla tulee siirtymäksi yhtälön (12) mukaisesti S = 0.4. Näin suuri siirtymä olisi varmasti havaittu jo 1800-luvun mittalaitteilla. 3.3 Suhteellisuusteorian peruspostulaatit Erikoinen suhteellisuusteoria rakentuu kahden peruspostulaatin varaan: 1. Kaikki inertiaalikoordinaatistot ovat samanarvoisia fysiikan lakien suhteen. Absoluuttista lepokoordinaatistoa ei ole olemassa. 2. Valon tyhjiönopeus on sama (vakio) kaikissa koordinaatistoissa. Ensimmäistä postulaattia kutsutaan suhteellisuusperiaatteeksi. Sen mukaan jotkut mitattavat suureet voivat olla koordinaatistoriippuvaisia, sen sijaan fysiikka sellaisenaan on aina sama kaikille havaitsijoille. Suhteellisia, tai havaitsijan koordinaatiston liiketilasta riippuvaisia, suureita voivat olla mm. Spatiaaliset etäisyydet. Aikavälit. Kiihtyvyydet, koska ne ovat aikariippuvaisia. Voimat, koska nekin ovat riippuvaisia ajasta. Kentät, jotka aiheuttavat voimia. Suhteellisuusperiaatteen mukaisesti muuttumattomia tai invariantteja ovat mm. Fysiikan lainalaisuudet. Luonnonvakiot. 8

10 Tapahtumien väliset syy- ja seuraussuhteet. Näistä kahdesta postulaatista on suorana seurauksena Lorentz-muunnos, joka korvaa relativistisessa tapauksessa klassisen Galilein koordinaatistomuunnoksen. lkoot kaksi koordinaatistoa A ja A, joiden akselit ja origo ovat päällekkäin hetkellä t = t = 0. Koordinaatisto A liikkuu nopeudella v koordinaatiston A suhteen x- akselin suuntaan. Tällöin koordinaatistosta voidaan siirtyä toiseen edellämainitun Lorentz muunnoksen avulla x = x vt 1 v2 /c 2 y = y z = z (13) t t vx/c = 2 1 v2 /c 2 Tässä c on koordinaatistosta riippumaton valon tyhjiönopeus c m/s. 3.4 Lorentz-muunnos Johdetaan Lorentz-muunnos lähtien peruspostulaateista. lkoot kaksi koordinaatistoa ja. liikkuu :n suhteen vakionopeudella v x-akselin suuntaan. Hetkellä t = t = 0 koordinaatistojen origot ja akselit yhtyvät. Jos joku piste liikkuu :ssa tasaisella nopeudella, täytyy sen liikkua tasaisesti myös koordinaatistossa. Näinollen muunnoksen koordinaatistojen välillä täytyy olla lineaarinen: { x = x (x, t) = αx + βt t = t, (14) (x, t) = γx + δt jossa α, β, γ ja δ ovat vakioita. Muunnoksessa (14) on jätetty kirjoittamatta muunnoksessa säilyvät y- ja z- komponenttien muunnokset (y = y sekä z = z). Muunnoksessa täytyy päteä 1. Piste levossa :ssa liikkuu nopeudella v :ssa. 2. Piste levossa :ssa liikkuu nopeudella v :ssa. 3. Valonnopeus c on sama molemmissa koordinaatistoissa. :ssa nopeudella u = dx/dt liikkuva piste liikkuu :ssa nopeudella u = dx /dt. Differentioimalla muunnosyhtälöt (14) saadaan { dx = αdx + βdt u = dx dt dt = γdx + δdt = αdx + βdt γdx + δdt = αdx/dt + β γdx/dt + δ = αu + β γu + δ. (15) Ehdosta 1. saadaan u = 0 u = v, jolloin αv + β γv + δ = 0 β = αv, δ γv. (16) Vastaavasti ehdosta 2. tulee u = v u = 0, ja v = β δ Nyt yhtälöistä (16) ja (17) saadaan β = δv. (17) δ = α. (18) Ehdosta 3. saadaan u = c u = c, jolloin c = αc + β γc + δ = αc αv γc + α = α(c v) γc + α c(γc + α) = α(c v) α(c v) γc = α γ = αv c c 2 (19) Huomaa, että δ γv v 2 c 2, eli koordinaatistojen välinen nopeus ei voi olla valonnopeus! Nyt yhtälöiden (17), (18) ja (19) avulla muunnoksiksi (14) saadaan { x = αx αvt = α(x vt) t = αvx/c 2 + αt = α(t vx/c 2. (20) ) Määritellään kerroin α lähettämällä hetkellä t = t = 0 valorintama, joka etenee joka suuntaan nopeudella c. Valo kulkee ajassa t matkan r = ct, näinollen x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 = 0. Koska valo liikkuu samalla tavalla kaikissa koordinaatistoissa, täytyy olla myös (x ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2 c 2 (t ) 2 = 0. Näinollen tätyy olla voimassa x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 = A 2 {(x ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2 c 2 (t ) 2 } = A 2 {(x ) 2 + y 2 + z 2 c 2 (t ) 2 }, missä A on jokin vakio. Tästä seuraa, että (1 A 2 )(y 2 + z 2 ) + x 2 c 2 t 2 = A 2 { (x ) 2 c 2 (t ) 2}. Tämän perusteella täytyy olla A 2 = 1 ja x 2 c 2 t 2 = (x ) 2 c 2 (t ) 2. (21) Kun sijoitetaan yhtälöön (21) muunnos (20),saadaan x 2 c 2 t 2 = α 2 (x vt) 2 c 2 α 2 ( t vx/c 2) 2 α 2 ( 1 v c α = )( 1 + v ) = 1 c 1 (22) 1 v2 /c2. Tässä täytyy valita positiivinen juuri neliöidystä lausekkeesta, jotta ajan suunta säilyy. Lopulliseksi muunnokseksi tulee siis yhtälön (22) avulla muunnoksesta (20) x = x vt 1 v2 /c 2 y = y z = z (23) t t vx/c = 2 1 v2 /c 2 9

11 ja vastaava käänteismuunnos saadaan vaihtamalla muuttujien paikkaa ja korvaamalla v v: x = x +vt 1 v 2 /c 2 y = y z = z. (24) t = t +vx /c 2 1 v 2 /c 2 Usein Lorentz-muunnoksessa käytetään lyhennysmerkintöjä β = v/c tai γ = 1/ 1 v 2 /c Lorentz-muunnos ja Minkowskin diagramma Edellisessä kappaleessa johdetut muunnosyhtälöt eri inertiaalikoordinaatistojen välillä voidaan kuvata graafisesti käyttäen Minkowskin diagrammaa. Tämä on erittäin hyödyllinen työkalu analysoitaessa relativistisiä efektejä erilaisissa tilanteissa. Minkowskin diagramma on kuvaaja neliulotteisestä aikaavaruusjatkumosta, jossa y-koordinaatti vastaa aika- ja x- koordinaatti kaikkia avaruuskoordinaatteja. Kuvassa 7. on esitetty Minkowskin diagramma. Kuvaajassa on y-akselilla aika normitettuna valonnopeudella ja x-akselilla paikka. Tällä tavalla valo kulkee diagrammassa aina 45 kulmassa. Lorentz-muunnetut koordinaattiakselit ( ) ovat kiertyneet saman kulman verran kohti 45 valon maailmanviivaa. Kun koordinaatistojen välinen nopeus lähestyy valonnopeutta, lähestyvät muunnetut koordinaattiakselit em. valon maailmanviivaa. Kukin Minkowskin diagramman piste vastaa tapahtumaa, eli paikkaa ajassa sekä avaruudessa. Koordinaattistomuunnokset eivät vaikuta itse tapahtumiin, ainoastaan koordinaattiakseleihin, joilta aika ja paikka luetaan. Kuvaajassa tärkeitä ovat samanaikaisuuden viivat, jotka ovat aina (paikka) x-akselin suuntaisia viivoja koordinaatistoissa. Huomaa, että muunnetun koordinaatiston ( ) samanaikaisuuden viivat ovat kiertyneet koordinaattiakseleiden tavoin kohti valon maailmanviivaa. Siirryttäessä koordinaatistosta toiseen, sekä aika että paikka muuttuvat Lorentz-muunnoksen mukaisesti! Tutustu kuvaan 7 huolellisesti ja varmista, että ymmärrät, mistä on kysymys. Aika t on vakio x akselin suuntaisilla suorilla. y akselina on ct ajan t sijaan, jolloin valo kulkee 45 asteen kulmassa. ct 3.6 Samanaikaisuuden suhteellisuus Aika muuttuu siirryttäessä inertiaalikoordinaatistosta toiseen Lorentz muunnoksella, t t. Keskeinen seuraus tästä on se, että toisistaan riippumattomien tapahtumien havaittu järjestys riippuu havaitsijan liiketilasta! Havainnollistetaan tätä kuvan 8. mukaisella ajatuskokeella. Liikkukoon junavaunu relativistisella nopeudella rataa eteenpäin kuvan mukaisesti. Täsmälleen keskellä junavaunua on valonlähde, josta lähtee samanaikaisesti valonsäteet kohti vaunun päätyjä. Junavaunussa olevan havaitsijan mielestä valonsäteet osuvat vaunun päätyihin yhtäaikaa (ylin kuva). Radan varrella olevan havaisijan näkökulmasta (keskimmäinen kuva) valo liikkuu Einsteinin 2. postulaatin muct ct ct on valon kulkema matka ajassa T (x,t) koordinaatistossa. Aika t on vakio x akselin suuntaisilla suorilla. ct ct Valon kulkee 45 asteen kulmassa. ct on valon kulkema matka ajassa T (x,t ) koordinaatistossa. ct Paikka x on vakio ct akselin suuntaisilla suorilla. Paikka x on vakio ct akselin suuntaisilla suorilla. * Galilein transformaatio kiertää ainoastaan aika akselia t. * Lorentz transformaatio kiertää akseleita ct ja x. Kuva 7: Minkowskin diagrammalla voidaan esittää Lorentz-muunnos graafisesti. Tämänkaltaisten diagrammojen avulla paradoksaalisilta vaikuttavien relativististen tilanteiden selvittely onnistuu helpommin. kaisesti täsmälleen samalla nopeudella kuin junavaunussa olevan havaisijan mittaamana. Radan varrelta katsoen myös junavaunu liikkuu lyhyen matkan sinä aikana, kun valonsäde etenee kohti vaunun päätyjä. Tämän vuoksi valonsäteiltä menee vaunun päätyjen saavuttamiseen hieman eri aika, ja valonsäde osuu ensin vaunun takaosaan ja sitten vasta keulaan (radan varrelta katsottuna). Liikuttaessa junavaunua nopeammin (alin kuva), valo liikkuu edelleen kaikille havaitsijoille samalla vakionopeudella ja vaunu ehtii loitontua havaitsijasta hieman sinä aikana, kun valo matkaa kohti vaunun päitä. Siksi autosta katsottuna etuosaan osuva valonsäde on perillä hieman ennen vaunun takaosaan osuvaa valonsädettä. Eli kaikki kolme havaitsijaa (vaunussa, radan varrella ja nopeammassa autossa) ovat eri mieltä tapahtumien järjestyksestä. Tämä on täysin mahdollista, sillä valonsäteiden osumisella vaunun päätyihin ei ole kausaalista (syy ja seuraus) yhteyttä. Samanaikaisuus on suhteellista! Tarkastellaan tilannetta vielä Minkowski-diagrammojen ja puhtaasti matemaattisten Lorentz-muunnosten avulla. Junavaunut Minkowski diagrammoina heisissa kuvissa 9. ja 10. on kuvattuna sama tilanne Minkowski diagrammoina kuin kuvassa 8. Molemmissa diagrammoissa valo kulkee 45 asteen kulmassa. Kuvan 9. Minkowski diagramma vastaa kuvan 8. keskimmäistä osaa, jossa (x, ct)-koordinaatisto on sidottu junarataan ja (x, ct )-koordinaatisto junavaunuun. Junavaunussa samanaikaisesti vaunun päihin osuvien valonsäteiden (tapahtumat A ja B) samanaikaisuuden viiva on kiertynyt kohti valon maailmanviivaa samalla tavalla kuin Lorentz-muunnettu x -akseli. Näin ollen (x, ct) koordinaatistossa tapahtumat A (t 1 ) ja B (t 2 ) eivät ole enää samanaikaiset. Valonsäde osuu ensin vaunun perään (t 1 ) x x 10

12 c c Junan koordinaatistossa valon säteet osuvat vaunun päätyihin yhtäaikaa. ct ct c c Maahan kiinnitetyssä koordinaa tistossa valonsäde osuu ensin junan takaosaan ja sen jälkeen etuosaan. radan aika akseli vaunun aika akseli Valonsäde c c Junaa nopeammin liikkuvassa koordinaatistossa valonsäde osuu ensin junan etuosaan ja sitten takaosaan. t 2 t 1 A t 1 = t 2 B x x Kuva 8: Valonlähde relativistisella nopeudella liikkuvassa junavaunussa. Vaunun perä Lamppu Vaunun keula ja sen jälkeen vaunun keulaan (t 2 ). Samalla tavalla kuvan 10. Minkowski diagramma vastaa kuvan 8. alimmaista osaa, jossa (x, ct)-koordinaatisto on sidottu radan suhteen liikkuvaan junavaunuun ja (x, ct )- koordinaatisto sitä nopeammin liikkuvaan autoon. Junavaunussa samanaikaisesti vaunun päihin osuvien valonsäteiden (tapahtumat A ja B) samanaikaisuuden viiva on kiertynyt auton koordinaatistossa (x, ct ) kohti valon maailmanviivaa samalla tavalla kuin Lorentz-muunnettu x -akseli. Siksi myös tässä tapauksessa (x, ct ) koordinaatistossa tapahtumat A (t 1 ) ja B (t 2 ) eivät ole enää samanaikaiset. Valonsäde osuu ensin vaunun perään (t 2) ja sen jälkeen vaunun keulaan (t 1 ). Junavaunut Lorentz-muunnoksina lkoon tapahtuma A valonsäteen osuminen l-pituisen junavaunun takapäähän, vaunun koordinaatistossa (ct 1, x1) = (ct 1, 0). Merkitään tapahtumalla B valonsäteen osumista junavaunun keulaan (ct 2, x 2 ) = (ct 2, l). Junan koordinaatistossa siis t 1 = t 2. Kuvan 8. keskimmäisessä osassa rata liikkuu x-akselin suunnassa vaunun suhteen nopeudella v. Tällöin tilannetta voidaan käsitellä Lorentz-muunnosten (23) avulla t 1 = t 1 + vx 1 /c 2 1 v2 /c 2 ja t 2 = t 2 + vx 2 /c 2 1 v2 /c 2, eli radan koordinaatistossa tapahtumilla on aikaväli t = t 1 t 2 = t 1 t 2 + (x 1 x 2 )v/c 2 1 v2 /c 2 vl = c 2 1 v 2 /c < 0. 2 Nyt siis t 1 < t 2 ja valonsäde osuu ensin vaunun takaosaan. Vastaavasti kuvan 8. alimmassa osassa auto liikkuu vaunun suhteen nopeudella v x-akselin suuntaan. Lorentz Kuva 9: Minkowski diagramma valonlähteestä relativistisella nopeudella liikkuvassa junavaunussa (keskimmäinen osio kuvasta 8). (x, ct)-koordinaatisto on kiinnitetty radan varteen, ja (x, ct ) on tasaisella nopeudella liikkuvan junavaunun koordinaatisto. muunnosten (23) avulla auton koordinaatistossa tapahtumilla on aikaväli t = t 1 t 2 = t 1 t 2 (x 1 x 2 )v/c 2 1 v2 /c 2 = vl c 2 1 v 2 /c 2 > 0. Nyt siis t 1 > t 2 ja valonsäde osuu ensin vaunun etuosaan auton koordinaatistosta katsoen. 3.7 Tapahtumien synkronointi Samanaikaisuuden suhteellisuuden suora seuraus on se, että yhdessä inertiaalikoordinaatistossa synkronoidut kellot eivät ole välttämättä synkronoituja toisessa inertiaalikoorinaatistossa. Tämä voidaan ymmärtää kuvien 11. ja 12. avulla. Siirryttäessä inertiaalikoordinaatistosta toiseen, aika ja paikka menevät relativistisilla nopeuksilla tavallaan sekaisin. Kukin eri nopeudella liikkuva inertiaalihavaitsija siivuttaa neliulotteista aika-avaruusjatkumoa hieman eri tavalla. Minkowski diagrammassa tämä nähdään liikkuvan koordinaatiston (kuvissa (x, ct )-koordinaatistot) samanaikaisuuden viivojen kiertymisenä paikallaan olevan koordinaatiston suhteen. Sama nähdään myös tarkasteltaessa Lorentzmuunnoksia (23). Siirryttäessä koordinaatistosta nopeudella v liikkuvaan koordinaatistoon ja pidettäessä aika t vakiona, on muunnettu aikakoordinaatti t riippuvainen myös paikasta. 11

13 ct ct ct ct vaunun aika akseli auton aika akseli Valonsäde Höpö höpö! x t 1 = t 2 t 1 x Kaikki kelloni ovat synkronoitu! t 2 x x Vaunun perä Lamppu Vaunun keula Kuva 10: Minkowski diagramma valonlähteestä relativistisella nopeudella liikkuvassa junavaunussa (alimmainen osio kuvasta 8). (x, ct)-koordinaatisto on kiinnitetty junavaunuun, ja (x, ct ) on tasaisella nopeudella liikkuvan auton koordinaatisto. 3.8 Ajan dilataatio Toinen seuraus samanaikaisuuden suhteellisuudesta on se, että kellot käyvät eri tahtiin eri nopeudella liikkuvissa koordinaatistoissa. lkoot kaksi koordinaatistoa sekä, joka liikkuu koordinaatiston suhteen nopeudella v positiivisen x- akselin suuntaan. Hetkellä t = t = 0 koordinaatistojen origot yhtyvät. Tarkastellaan hetkellä t = t = 0 synkronoituja kelloja eri koordinaatistoissa samaan aikaan myöhemmin, kuva 13. Koska käsitteet samaan aikaan ja myöhemmin riippuvat havaisijan liiketilasta, eri inertiaalikoordinaatistoissa olevien havaitsijoiden mielestä toisessa koordinaatistossa oleva havaitsija lukee omassa koordinaatistossa olevaa kelloa menneisyydessä. Lorentz-muunnoksesta nähdään, että aikavälit t ja t eri koordinaatistojen välillä muuntuvat kuten t = t 1 v2 /c 2. (25) Tätä ilmiötä kutsutaan ajan dilataatioksi. Tässä yhteydessä kannattaa olla hieman varuillaan ja tarkkana, että aika muunnetaan samoissa paikoissa. Ajan dilataatiolausekkeen soveltaminen sellaisenaan voi joskus johtaa vääriin lopputuloksiin. Tarkastellaan edellä mainituissa koordinaatistoissa ja muuntuvaa aikaväliä lähtien Lorentz-muunnoksesta (23) ja sen käänteismuunnoksesta (24). Aikaväli t = t 2 t 1 muuntuu koordinaatistosta koor- Kuva 11: Tien varrella, (x, ct)-koordinaatistossa olevan havaitsijan synkronoidut kellot eivät ole synkronoituja relativistisesti liikkuvan autoilijan ((x, ct )- koordinaatisto) näkökulmasta. Tämä johtuu siitä, että (x, ct )-koordinaatiston samanaikaisuuden viivat ovat kiertyneet (x, ct)-koordinaatiston suhteen. dinaatistoon Lorentz muunnoksen (23) avulla kuten t = t 2 vx/c 2 1 v2 /c 2 t 1 vx/c 2 1 v2 /c 2 = t 2 t 1 1 v2 /c 2 = t 1 v2 /c 2. (26) Kun tästä ratkaistaan t t :n avulla, saadaan t = t 1 v 2 /c 2. (27) Toisaalta taas käänteismuunnoksesta t = t 2 t 1 saadaan t = t 2 + vx/c 2 1 v2 /c 2 t 1 + vx/c 2 1 v2 /c 2 = t 2 t 1 1 v2 /c 2 = t 1 v2 /c 2. (28) Nyt selkeästi (27) on erisuuri kuin (28). Mitä tapahtui?? Eroavuutena näiden kahden tuloksen välillä on se, että aikaa ei ole mitattu samoissa paikoissa, koska x riippuu myös ajasta! Jotta tilanne olisi symmetrinen täytyy ensimmäisessä muunnoksessa myös paikat muuntaa, eli kun x 1 = x 2 = vt 1 1 v 2 /c 2 vt 2, 1 v 2 /c 2 saadaan aikavälille muunnoksesta (23): t = t 2 + vx 2/c 2 1 v2 /c 2 t 1 + vx 1/c 2 1 v2 /c 2 12

14 ct ct ct ct Sinä vertaat omaa kelloasi minun kellooni menneisyydessä! Nyt ne kellot ovat kunnolla synkronoitu! Eipäs, kun sinä vertaat kelloasi nyt minun kellooni menneisyydessä! Sinun kellosi kulkee hitaammin kuin minun! x x Meidän kellome ovat nyt synkronoitu! Puhu pukille! x Kuva 12: Vastaavasti, jos kellot synkronoidaan autoilijan koordinaatistossa (x, ct ), ne eivät enää ole synkronoituja tienvarren (x, ct) koordinaatistossa. ( = t 2 1 v 2 /c 2) ( t 1 1 v 2 /c 2) 1 v2 /c 2 = t 1 v 2 /c 2. Nyt tulokset ovat yhtäpitäviä, kun aikavälit mitataan samoissa paikoissa. Koska aika ja paikka muodostavat kokonaisuuden relativistisissa ongelmissa, kannattaa muuttuvia aikavälejä käsitellä tarkastelemalla tapahtumia joko Lorentz-muunnosten tai Minkowskin diagrammojen kautta, eikä lauseketta (25) mekaanisesti soveltamalla. 3.9 Pituuden kontraktio Kolmas seuraus samanaikaisuuden suhteellisuudesta on fyysisten pituuksien muuttuminen. Kappaleen pituus on sen päiden välinen etäisyys samalla hetkellä. Edelleen, koska samalla hetkellä on riippuvainen havaitsijan liiketilasta, myös pituudet muuntuvat. lkoot kaksi koordinaatistoa ja, joista liikkuu :n suhteen nopeudella v positiivisen x-akselin suhteen. Hetkellä t = t = 0 koordinaatistojen origot yhtyvät. lkoon kappaleella pituus L = x 2 x 1 lepokoordinaatistossaan hetkellä t. Tällöin koordinaatistossa Lorentzmuunnoksia (23) soveltaen sen pituudeksi L havaitaan L = x 2 x 1 = x vt 1 v2 /c x 1 vt 2 1 v2 /c = x 2 x v2 /c 2 = L 1 v2 /c 2 L = L 1 v 2 /c 2. (29) Huomaa että nyt t 1 t 2. Relaatiota (29) kutsutaan pituuden kontraktioiksi tai Lorentz-Fitzgerald-kontraktioksi. Tilannetta kuvaava Minkowski diagramma on esitetty kuvassa 14. x Kuva 13: Liikkuva kello käy hitaammin. Tämä johtuu siitä, että paikallaan oleva havaisija vertaa kelloaan liikkuvasta koordinaatistosta katsoen liikkuvaan kelloon menneisyydessä! Myös tässä tapauksessa käänteismuunnosta soveltaen havaitaan samankaltainen symmetria kuin ajan dilataatiota käsiteltäessä edellisessä kappaleessa. Eli yhtälön (29) mekaanisen soveltamisen sijaan on tärkeää, että huomioidaan milloin kappaleiden päiden paikkaa mitataan missäkin koordinaatistossa! Edelleen kannattaa muistaa, että kontraktion havaitsemiseen tarvitaan aikaisemmin määritelty suhteellisuusteoreettinen havaitsija, joka pystyy tekemään mittauksia koordinaatistossa ilman signaaliviivettä. Jos kuvassa 14. sijoitettaisiin kamera ct-akselille, junavaunua ei nähtäisi lyhentyneenä, koska kameraan muodostuu kuva kohteesta siitä heijastuvien valonsäteiden avulla. Kameraan muodostuvan kuvan matemaattinen käsittely ei ole aivan yksioikoista, mutta se on mahdollista. Todellisuudessa relativistinen objekti nähtäisiin kameran avulla kiertyneenä (vääristyneenä), siten että sen takaosaa voitaisiin nähdä enemmän kuin normaalin geometrian mukaan on mahdollista Inertiaalikoordinaatistojen samanarvoisuus Erikoisen suhteellisuusteorian ensimmäinen postulaatti asettaa kaikki inertiaalikoordinaatistot samanarvoisiksi. Siksi aikavälien ja pituuksien muuttuessa erilaisten inertiaalikoordinaatistojen välillä, täytyy muutosten tapahtua myös toisinpäin. Kuvan 15. relativistisella nopeudella liikkuvassa junavaunussa aikavälit ja pituudet muuntuvat radanvarrelta havaittuna. Koska vaunuun sidotusta inertiaalikoordinaatistosta katsoen muu maailma liikkuu, täytyy vastaavat muutokset tapahtua myös vaunun ulkopuolella vaunusta katsoen. Puhtaasti erikoisen suhteellisuusteorian tapauksessa relativistiset efektit ovat aina symmetrisiä! 3.11 Nopeuksien muunnos 13

15 T T L v L L v T T L ct ct L Kuva 15: Inertiaalikoordinaatistot ovat samanarvoisia, eli relativistiset muutokset ovat symmetrisiä. Radan varrelta havaittavat relativistiset muutokset liikkuvassa vaunussa ovat samat kuin vaunusta havaitut ulkomaailman muutokset. vaunun etuosa vaunun takaosa x tit. Esimerkiksi nopeuden x-komponentti muuntuu kuten dx dt = γdx vγdt γdt vγ c 2 dx = dx/dt v 1 (dx/dt)(v/c 2 ) v L v x u x = u x v 1 vu x /c 2. Käsittelemällä nopeuden y- ja z-komponentit vastaavasti, saadaan nopeuden muunnokseksi inertiaalikoordinaatistojen ja välillä u x = u x v 1 vu x/c 2 u y = uy 1 v 2 /c 2 1 vu x/c 2 u z = uz 1 v 2 /c 2 1 vu x/c 2. (31) Kuva 14: Liikkuvat kappaleet lyhenevät liikesuunnassa. Tämäkin on seurausta samanaikaisuuden suhteellisuudesta, eli mitattaessa kappaleen päiden paikat samaan aikaan koordinaatistoita (x, ct) ja (x, ct ) katsoen mittaukset tapahtuvat eri pisteissä aika-avaruusjatkumossa. Nopeus on paikan derivaatta ajan suhteen: kun derivoidaan Lorentz-muunnokset (23) ajan suhteen, saadaan vastaava nopeuksien muunnos. lkoot ja kaksi koordinaatistoa, joista liikkuu koordinaatiston suhteen nopeudella v positiivisen x-akselin suuntaan. Hetkellä t = t = 0 koordinaatistojen origot ja akselit yhtyvät. lkoot nopeus u = (u x, u y, u z ) koordinaatistossa ja vastaava nopeus u = (u x, u y, u z ) koordinaatistossa. Differentioimalla Lorentz-muunnokset (23) saadaan dx = γdx vγdt dy = dy dz = dz dt = γdt vγ c dx 2. (30) Differentiaaleista (30) voidaan laskea nopeuskomponen- Huomaa, että koordinaatistojen välisen nopeuden ollessa tarpeeksi pieni (v c), muunnos (31) lähestyy klassista nopeuksien muunnosta Nopeuden suuntakulman muunnos Tarkastellaan sellaista liikettä, jolla on nollasta poikkeava nopeuskomponentti myös koordinaatistojen välistä nopeutta vastaan kohtisuorassa suunnassa (u y 0), edellä esitellyissä koordinaatistoissa ja. Kun kirjoitetaan xy- ja x y -tasossa nopeuskomponentit (31) napakoordinaatistossa, voidaan ratkaista nopeuden suuntakulman muunnos. Huomaa, että nopeus on kääntäen verrannollinen aikaan, jolloin pelkkä suuntakulman muuntaminen antaa väärän tuloksen. Aikadilataatio täytyy ottaa huomioon nopeuden Lorentz-muunnosten (31) kautta. Kirjoitetaan nopeuden muunnosyhtälöiden (31) x- ja y- komponentit napakoordinaatiston { x = r cosθ y = r sin θ avulla: { u x = u cosθ ucos θ v = 1 (vu cos θ)/c 2 u y = u sin θ = u sin θ 1 v 2 /c 2 1 (vucos θ)/c 2. (32) 14

16 Jaettaessa nämä nopeuskomponentit toisillaan saadaan tan θ = u y u z = sin θ 1 v 2 /c 2. (33) cosθ v/u Esimerkki: liikkuvan hiukkasen valoemissio Laboratoriokoordinaatiston suhteen nopeudella v liikkuva hiukkanen emittoi omassa lepokoordinaatistossaan valoa kulmassa θ nopeuttaan vastaan. Valonnopeus on molemmissa koordinaatistoissa u = u = c. Muunnoksen (31) y-komponentin lausekkeesta napakoordinaatistossa saadaan kulmaksi laboratoriokoordinaatistossa sin θ = sinθ 1 v 2 /c v cosθ. /c Laboratoriossa mitattu suuntakulma on esitetty kuvassa 16. muutamilla nopeuksilla v. Kuvasta nähdään, että hiukkasen nopeuden lähestyessä valonnopeutta, valo pyrkii ohjautumaan etenemissuunnassa olevaan kartioon. Kuva 16: Laboratoriokoordinaatistossa mitattu emission suuntakulma θ, hiukkasen lepokoordinaatistossa tapahtuvan emission suuntakulman θ funktiona. 15

17 4. Lorentz-Minkowski avaruuden kausaali rakenne Kausaliteetti: tapahtumien välinen syy-seuraus suhde. Kuten jo edellä on useamman kerran todettu, valonnopeus tyhjiössä on suurin mahdollinen nopeus, jolla informaatiota voidaan välittää. Minkowski-diagrammassa (ct, x)-koordinaatisto on normitettu siten, että valonsäteet kulkevat aina 45 kulmassa. Lähettämällä valonsäteet Minkowski-diagramman origosta, Lorentz-Minkowski avaruus voidaan jakaa origossa olevan tapahtuman suhteen kolmeen eri kausaaliseen alueeseen kuvan 17 mukaisesti. tapahtumien väliset kausaaliset suhteet ovat kaikille havaitsijoille samat! Toisin sanoen, jos tapahtuma B on seurausta tapahtumasta A, tapahtuu se kaikissa koordinaatistoissa A:n jälkeen! Tarkastellaan tilannetta, jossa hetkellä t = t = 0 A:sta lähtee valorintama. Samalla hetkellä nopeudella v liikkuvan koordinaatiston A origo on koordinaatiston A origon kanssa päällekkäin. Miten koordinaatistossa A oleva havaitsija näkee valorintaman, kuva 18? valorintama valonsäde ct Q Absoluuttinen tulevaisuus valonsäde S P Epämääräisyysalue A A v Epämääräisyysalue x valonsäde R valonsäde Absoluuttinen menneisyys Kuva 18: Valorintama havaitsijan A koordinaatistossa. Kuva 17: Laakean Lorentz-Minkowski avaruuden kausaaliset alueet. Kuvan origossa oleva tapahtuma P voi olla seurausta ainoastaan tapahtumille, jotka ovat sen absoluuttisessa menneisyydessä (esim. R). Vastaavasti tapahtuma P voi olla syynä ainoastaan sen absoluuttisessa tulevaisuudessa oleville tapahtumille (esim Q). Tapahtumalla P ei voi olla minkäänlaista kausaalista yhteyttä epämääräisyysalueella oleviin tapahtumiin (esim. S). Kun sarja kausaalisesti toisiinsa yhteydessä olevia tapahtumia yhdistetään viivaksi, saadaan maailmanviiva. Tämä voi olla vaikkapa hiukkasen rata ajan funktiona. Huomaa kuitenkin että maailmanviivan täytyy pysyä kaikissa pisteissään poissa epämääräisyysalueelta. Absoluuttinen tulevaisuus muodostaa tapahtuman P suhteen kartion. Aluetta kutsutaankin joskus tulevaisuuden valokartioksi. Vastaavasti absoluuttisen menneisyyden aluetta kutsutaan menneisyyden valokartioksi. Koska kausaalisten alueiden rajat määrittää valonsäde, ja koska valonnopeus on kaikille havaitsijoille sama, voidaan todeta: Valonnopeuden invariantista luonteesta johtuen, Koska valonnopeus on kaikille havaitsijoille sama, tulisi koordinaatistossa A origossa olevan havaitsijan nähdä itsensä myöskin valorintaman keskellä! Tämä näennäisesti paradoksaalinen tilanne voidaan helposti havainnollistaa kuvan 19. Minkowski-diagramman avulla. Koordinaatistojen välisestä nopeuserosta johtuen, A :n samanaikaisuuden viivat ovat kiertyneet Minkowskidiagrammassa siten, että myös A mittaa olevansa valokartion keskellä. Eli A:lla ja A :lla on samat kausaaliset alueet koordinaatistojen välisistä nopeuksista riippumatta. Kausaalinen rakenne on Lorentz-invariantti! Valoa nopeampi matkustaminen Valoa nopeampi matkustaminen tai edes informaation välitys ei ole suhteellisuusteorian näkökulmasta mahdollista. letetaan kuitenkin hetkeksi, että suhteellisuusteoria sallisi valoa suuremmat nopeudet ja tarkastellaan mihin se johtaisi. Kuvan 20. Minkowski diagrammassa jousimies pisteessä A ampuu valoa nopeamman nuolen pisteeseen B. Tällöin nuolen maailmanviiva on valonnopeutta loivemmassa kulmassa. Tapahtumia A ja B havainnoivat ampuja (ct, x)- koordinaatistosta, autoilija (ct, x )-koordinaatistossa ja 16

18 ct ct ct ct ct Valoa nopeampi nuoli! valonsäde A=A A A valonsäde x ct B ct A A ct = ct A B ct B ct A B B tapahtui ennen A:ta!!? x x A ja B tapahtuivat yhtäaikaa! x Kuva 19: Valorintama Minkowski-diagrammana. Molemmat havaitsijat näkevät itsensä valorintaman keskellä, eri havaitsijat ainoastaan siivuttavat aika-avaruutta eri tavalla. Valokartioiden sisällä olevien kausaalisesti toisistaan riippuvien tapahtumien järjestys on kaikille havaitsijoille sama. toinen autoilija (ct, x )-koordinaatistossa. Jousimiehen samanaikaisuuden viivat ovat diagrammassa vaakatasossa, joten hän havaitsee nuolen lähtevän hetkellä t A ja osuvan omenaan hetkellä t B. Nuoli osuu omenaan hetkellä t B sen jälkeen kun se on ammuttu hetkellä t A. Jousimiehen suhteen liikkuvalla autoilijalla koordinaatistossa (ct, x ) on sellainen nopeus, että koordinaatiston samanaikaisuuden viivat ovat samassa kulmassa kuin nuolen maailmanviiva. Näin ollen koordinaatistossa (ct, x ) nuoli ammutaan ja se osuu maaliinsa samalla hetkellä t A = t B. Koordinaatistossa (ct, x ) olevan autoilijan samanaikaisuuden viivat ovat jyrkemmässä kulmassa, kuin valoa nopeamman nuolen maailmanviiva. Tällöin nuolen maaliin osuminen (tapahtuma B hetkellä t B ) tapahtuu ennen nuolen ampumista (tapahtuma A hetkellä t A )! Tämä johtaa kausaliteetin rikkoutumiseen, eli tilanteisiin, joissa syy voi edeltää seurausta, mikä on mahdotonta. Kausaliteettirikkomusten salliminen johtaa mahdottomiin tilanteisiin. Tähän riittää jo valoa nopeampi kommunikointi. Havainnollistetaan tätä kuvan 21. ajatuskokeella. letetaan, että hullu tiedemies on keksinyt tavan viestiä ilman signaaliviivettä. Yksi tälläinen viestilaite on sijoitettuna junaan, joka liikkuu relativistisella nopeudella pitkin rataa. Radan varrella on toinen vastaava viestilaite kuvan 21. mukaisesti. Kun junassa ja radan varrella olevat havaitsijat ovat samalla kohdalla, A lähettää lipulla signaalin B:lle. Junan keulassa B lähettää signaalin (välittömästi) junan loppupäähän C:lle. Saatuaan signaalin, C viestittää lipulla siitä radan varteen D:lle, joka lähettää signaalin (välittömästi) takaisin A:lle. Tarkasteltaessa kuvan 21. tilannetta Minkowskidiagramman avulla, nähdään että radanvarren koordinaa- A Kuva 20: Valoa nopeampi nuoli ammutaan (A) jousella omenaan (B). Eri nopeuksilla liikkuvat havaitsijat näkevät tapahtumat eri järjestyksessä. Sallimalla valoa suuremmat nopeudet voi joissain koordinaatistoissa seuraus edeltää syytä ja kausaliteetti rikkoutua! tistossa junavaunun samanaikaisuuden viivat, jotka ovat kiertyneet kohti valonnopeuden maailmanviivaa, vievät signaalia ajassa taaksepäin radanvarrelta katsottuna! Eli ilman signaaliviivettä, lippumies A voi saada lähettämänsä viestin ennen sen lähettämistä. Jos lippumies A päättää signaalin saatuaan olla lähettämättä sitä, tai vaikkapa rikkoa laitteen, päädytään mahdottomaan tilanteeseen. Joissain tapauksissa on spekuloitu valoa nopeamman matkustamisen tai kommunikoinnin mahdollisuudesta. Tässä yhteydessä on kehitelty yleiseen suhteellisuusteoriaan perustuvia teorioita madonrei istä, erilaisista aikaavaruuden poimutuksista ja niin edelleen. Nämä teoriat eivät poista edellä kuvattua ongelmaa. Vaikka ylivalonnopeudet tehtäisiin mahdolliseksi kaarevan avaruuden avulla, tarkastelemalla pelkkiä alku- ja lopputiloja, edelläolevia vastaavat ajatuskokeet ovat mahdollisia ja päädytään samankaltaisiin ongelmiin. Näinollen suhteellisuusteorian kannalta ylivalonnopeudet eivät ole missään tilanteessa eivätkä millään keinoilla fysikaalisesti sallittuja, koska ne johtavat aina kausaliteettirikkomusten mahdollisuuteen. Näitä ongelmia ei synny, jos valoa suurempia nopeuksia ei sallita. 4.1 Tapahtumien väliset etäisyydet lkoon meillä kaksi samassa koordinaatistossa olevaa tapahtumaa. Tapahtumalla A on koordinaatit (ct 1, x 1 ) ja tapahtumalla B koordinaatit (ct 2, x 2 ) em. koordinaatistossa. Tapahtumien A ja B välimatka s aika- B x 17

19 ct C:n liikerata ct Välitön signaali junan koordinaatistossa Välitön signaali maan koordinaatistossa C saa signaalin B:ltä ja välittää sen D:lle joka lähettää sen välittömästi takaisin A:lle. A lähettää signaalin B:lle joka lähettää sen välittömästi C:lle. B:n liikerata x A saa signaalin ennen kuin lähettää sen!!! ( s) 2 = 0 : Aikakoordinaattien erotus on yhtäsuuri kuin spatiaalisten komponenttien. Tällöin tapahtumat ovat valokartion reunalla, ja ne voidaan yhdistää ainoastaan valosignaalilla. Etäisyys on valonkaltainen. ( s) 2 < 0 : Aikakoordinaattien erotus on pienempi kuin spatiaalisten komponenttien, ja tapahtumilla ei voi olla kausaalista yhteyttä. Tapahtumat eivät ole samassa valokartiossa, ja etäisyys on avaruudenkaltainen. 4.2 Invariantti hyperbeli Tapahtuman P (ct, x, y, z) (Lorentz-invariantti) etäisyys origosta on ( s) 2 = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2, (35) C Välitön signaali B x ja se määrittelee laakean Lorentz-Minkowski avaruuden ominaisuudet sekä sen rakenteen. Laakea tarkoittaa tässä yhteydessä tasaista, eli avaruus ei ole kaareva ja erikoinen suhteellisuusteoria toimii globaalisti. D Välitön signaali Kuva 21: Relativistisesti liikkuvassa junassa ja radan varrella on kaksi valoa nopeampaa viestilaitetta. Lippumies A voi saada lähettämänsä signaalin ennen sen lähettämistä, jos valoa nopeampi (tässä tapauksessa välitön) signaalinopeus sallitaan. Tämä johtaa umpikujaan, jota ei voida sallia, joten suhteellisuusteorian mukaan valoa nopeampi kommunikointi (tai matkustaminen) täytyy olla mahdotonta! avaruuskoordinaatistossa on ( s) 2 = c 2 (t 1 t 2 ) 2 (x 1 x 2 ) 2 = c 2 ( t) 2 ( x) 2. (34) Välimatka (34) on Lorentz invariantti, eli sen suuruus ei riipu käytetystä koordinaatistosta. Toisin sanoen, A:n ja B:n koordinaateille voidaan tehdä mielivaltainen Lorentzmuunnos ja silti etäisyys s säilyy samana. Vastaavaa differentiaalia ds 2 = c 2 dt 2 dx 2 kutsutaan viivaelementin neliöksi. Huomaa, että välimatka s voi olla nolla vaikka A:n ja B:n koordinaatit ovat erisuuret. Myös negatiiviset etäisyydet ovat mahdollisia. Tämä on tärkeä Lorentz- Minkowski avaruuden perustavaa laatua oleva ominaisuus, joka erottaa sen normaalista Euklidisesta avaruudesta jossa etäisyydet ovat aina positiivisia! Tapahtumien väliset etäisyydet voidaankin luokitella s:n, yhtälö (34), etumerkin avulla: ( s) 2 > 0 : Aikakoordinaattien erotus on suurempi kuin spatiaalisten komponenttien, jolloin tapahtumat voidaan yhdistää signaalilla ja molemmat pisteet ovat saman valokartion sisällä. Tällöin etäisyys on ajankaltainen. A Merkinnöistä Etäisyyden määritelmässä (35) on käytössä kaksi toisistaan poikkeavaa merkkisopimusta: tai ( s) 2 = c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 (+ ) ( s) 2 = c 2 t 2 + x 2 + y 2 + z 2 ( + ++). Kirjallisuudessa käytetään vaihtelevasti molempia merkkisopimuksia. leellista tässä on se, että viivaelementissä aika- ja spatiaalikomponenteilla on vastakkaiset merkit, jotta negatiiviset etäisyydet tulevat mahdollisiksi. Edellisessä kappaleessa esitetty etäisyyksien luokittelu muuttuu merkkisopimusta vastaavasti, joten on tärkeää olla selvillä oletetusta järjestelmästä käytettäessä useita eri lähteitä aiheesta! letetaan että spatiaalikoordinaatit y = z = 0, ja tarkastellaan etäisyyttä origosta. lkoot ( s) 2 = c 2 t 2 x 2 (36) c 2 t 2 x 2 = a 2 (vakio). (37) Tämä on itseasiassa hyperbelin yhtälö; eli niiden pisteiden muodostaman käyrän yhtälö, joiden ajankaltainen (a 2 > 0) etäisyys origosta on a 2. Vastaavasti c 2 t 2 x 2 = b 2 (vakio). (38) muodostaa hyperbelin, joka muodostuu niistä pisteistä joiden etäisyys origosta on avaruudenkaltainen b 2 < 0. Nämä käyrät (37) ja (38) ovat asymptoottisia käyrille joiden kulmakerroin on yksi (origon kautta kulkevien valonsäteiden maailmanviivoille), kuva

20 ct ct ct a 2 a 2 b 2 x x x a 2 b 2 b 2 Kuva 22: Invariantit hyperbelit. Koska hyperbelien yhtälöt tulevat Lorentz-invariantin etäisyyden neliöstä, ovat ne samoja kaikissa koordinaatistoissa. Koordinaatistomuunnoksissa akselit skaalautuvat invariantin hyperbelin mukaisesti, kuva 23. Huomautus: ict Joissain kirjoissa on käytössä merkintätapa, jossa aikakoordinaatti on imaginäärinen. Tämä siksi, että Aika-avaruusgeometrian käsittely näytää formaalisti Euklidiselta. Lorentz-muunnos voidaan esittää (hyperbolisena) koordinaatiston kiertona. Vektorien rinnalla ei tarvita yksimuotoja (yksimuodoista puhutaan myöhemmin). Tämä vanhahtava esitysmuoto on pahasta siksi, että Kaikki edellisen listan kohdat; aika-avaruuden geometria ei ole Euklidinen, Lorentz-transformaatio ei ole koordinaatiston kierto ja yksimuodot ovat hyvin keskeisessä osassa määriteltäessä vektorilaskennan perusteita Lorentz-Minkowski avaruudessa! Periodinen kiertokulma hyperbolisessa koordinaatiston kierrossa on täysin eri asia kuin asymptoottisesti käyttäytyvä nopeusparametri. Imaginäärinen aika tekee keskeisen eron Euklidisen (+++) Lorentz-Minkowski (-+++) geometrian välillä hankalaksi havaita: Euklidisessa geometriassa kahden pisteen välinen etäisyys on nolla vain, jos pisteet ovat samat, kun taas Lorentz-Minkowski avaruudessa etäisyys on nolla jos, pisteiden välimatka on valonkaltainen! Kuva 23: Lorentz-muunnetut koordinaattiakselit (ct, x ) skaalautuvat invarianttien hyperbelien mukaisesti. Imaginaarinen aikakoordinaatti ei toimi kaarevassa avaruudessa, mikä tekee erikoisesta suhteellisuusteoriasta yhteensopimattoman yleisen suhteellisuusteorian kanssa. Eli: ict EI! 4.3 Suhteellisuusteorian paradoksit Suhteellisuusteorian sovellusalue on jossain määrin arkiajattelun ulkopuolella, sillä jokapäiväisessä elämässä ei tarvitse käsitellä valonnopeutta lähellä olevia nopeuksia. Tämä johtaa moniin paradoksaalisen tuntuisiin tilanteisiin. Todellisuudessa suhteellisuusteorian näkökulmasta mitään ristiriitaa ei ole, vaan kyse on virheellisestä tilanteen tulkinnasta. Yleensä paradoksaaliset tilanteet suhteellisuusteoriassa johtuvat: Samanaikaisuus riippuu havaitsijasta, jolloin tapahtumat eivät ole(kaan) samanaikaisia kaikkien havaitsijoiden mielestä. Tilanne on määritelty siten, että esimerkiksi inertiaalikoordinaatistoehto, tai joku muu perusoletus, rikkoutuu. Kausaliteetti on ymmärretty väärin tai se on rikkoontunut. Useimmiten tilanteen pystyy selvittämään piirtämällä Minkowskin aika-avaruus diagramman aiheesta! Käydään vielä esimerkinomaisesti läpi yksi kuuluisimmista suhteellisuusteorian paradokseista. Kaksosparadoksi 19