4 Derivaatta. 4.1 Funktion kasvun ja vähenemisen tutkiminen

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "4 Derivaatta. 4.1 Funktion kasvun ja vähenemisen tutkiminen"

Transkriptio

1 4 Derivaatta 4. Funktion kasvun ja vähenemisen tutkiminen Eräitä kiinnostavimmista asioista funktioita tutkittaessa ovat funktion kasvavuus ja vähenevs. Funktio on jollain välillä kasvava, jos f(a) f(b) aina kun a > b. Vastaavasti funktio on vähenevä, jos f(a) f(b) aina kun a > b. Esimerkiksi funktio, jonka kuvaaja näk alla, on kasvava, kun tai 3, ja vähenevä, kun on välillä [, 3] Kuinka funktion kasvavuutta voidaan tutkia täsmällisesti? Ensin tät olla jokin keino mitata kasvamisnopeutta. Jos funktion kuvaaja olisi suora, voitaisiin sanoa, että funktion kasvunopeus on suoran kulmakerroin. Yleisen funktion tapauksessa kuvaajalle asetetaan tutkittavaan pisteeseen sivuaja eli suora, joka koskettaa kärää paikallisesti vain hdessä pisteessä. Funktion kasvunopeudeksi tutkittavassa pisteessä sovitaan tuon sivuajan kulmakerroin. Oheisessa kuvassa näk joitakin funktion kuvaajalle piirrettjä sivuajia ja niiden kulmakertoimia. 3 k = 3 k = k = 3

2 Kun funktion f kuvaajalle piirretään sivuaja pisteeseen (, f()), tuon sivuajan kulmakerrointa kutsutaan funktion derivaataksi pisteessä. Derivaattaa pisteessä merkitään f (). Esimerkiksi edellisen kuvan funktiolle piirrettiin sivuajat pisteisiin (, 3 ), (, 3 ) ja (4, 3 ). Kuvan mukaan vastaavat derivaatan arvot ovat f () = 0, f () = ja f (4) = 3. Funktion derivaatta kuvaa funktion hetkellistä kasvunopeutta: mitä suurempi on derivaatan arvo, sitä jrkempi on sivuajasuora, ja sitä nopeammin funktio nättää kasvavan. Koska derivaatta kuitenkin lasketaan vain hdessä pisteessä, siitä ei ksinään voi päätellä kasvua tai vähenemistä. Yleensä tät tutkia derivaatan arvoja jollakin välillä tai hahmotella funktion kehitstä pisteen mpäristössä jollakin toisella tavalla. Tähän palataan möhemmin. Derivaattaa ei aina voida määrittää. Joissakin pisteissä ei funktion kuvaajalle nimittäin voida piirtää sivuajaa. Tämä voi tapahtua lähinnä kolmessa tapauksessa: ) funktiolla on epäjatkuvuuskohta kseisessä pisteessä ) funktion kuvaajalla on terävä kärki kseisessä pisteessä 3) funktion kuvaaja nousee hetkellisesti pstn. Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa ei sivuajaa voida lainkaan järkevästi piirtää. Viimeisessä tapauksessa sivuaja olisi pstsuora, mutta pstsuoralla suoralla ei ole kulmakerrointa. Kaikista tapauksista on esimerkkikuvat alla. 4. Derivaatan laskeminen, osa I Derivaatan määritteleminen kuvaajan avulla ei riitä kovin pitkälle, sillä sivuajan piirtäminen on melko epätäsmällistä. Derivaatta voidaan kuitenkin laskea mös funktion lausekkeesta. Tarkasti ottaen tässä kätettäisiin raja-arvoja, mutta tällä kurssilla riittää osata laskukaavat eritppisille funktioille. Aloitetaan laskukaavojen opettelu ksinkertaisista perussäännöistä. Lausekkeen derivointia merkitään kirjaimella D. Esimerkiksi lausekkeen derivaattaa merkitään D. Ensimmäiset säännöt koskevat potenssin ja vakiofunktion derivointia sekä lausekkeiden summaa ja vakiolla kertomista. 4

3 D k = k k, kun k on jokin reaaliluku D a = 0, kun a on jokin vakio D ( f() ± g() ) = D f() ± D g() D ( af() ) = a D f(), kun a on jokin vakiokerroin Esimerkit valaisevat parhaiten sääntöjen soveltamista. Esimerkki 4.. Polnomifunktion lauseke on summa :n potensseista joillakin vakiokertoimilla kerrottuina. Edellä on esitett derivointisäännöt potensseille, summille ja vakiokertoimille, joten polnomin derivoimisen ei pitäisi tuottaa ongelmia. Tarkastellaan esimerkiksi ksinkertaista lauseketta 3 4. Lausekkeessa esiintvät potenssitermit ja derivoidaan vastaavan säännön mukaan seuraavasti (huomaa, että = ): D = =, D = 0 = =. Koko lauseke derivoidaan nt välivaiheineen seuraavasti: D(3 4) = D(3 ) D(4) = 3 D 4 D = 3 4 = 6 4. Alla on derivoitu muutamia polnomilausekkeita hieman vähemmillä välivaiheilla: D( 3 + 5) = D D = = 3 + 5, D( ) = 3 D 5 + D 4 = = , D(4 8 + ) = 4 D 8 + D = = 3 7. Viimeisessä kohdassa kätettiin vakion derivoimissääntöä D a = 0. Tätä ei pidä sekoittaa vakiokertoimen derivoimissääntöön, jonka mukaan vakiokerroin säil derivoitaessa sellaisenaan, esimerkiksi D(a) = a D = a = a. Esimerkki 4.. Potenssin derivoimissääntö ei rajoitu pelkästään niihin tapauksiin, missä eksponentti on positiivinen kokonaisluku, vaan sitä voidaan soveltaa mös negatiivisiin ja murtolukueksponentteihin. Esimerkiksi murtolauseke / voidaan kirjoittaa mös muodossa, jolloin siihen voidaan soveltaa potenssin derivointisääntöä. Näin saadaan ( ) D = D = 3 = 3 = 3. Tät vain muistaa, että eksponentti todellakin pienenee hdellä. Tällöin positiivisesta luvusta tulisi, mutta negatiivisesta luvusta tuleekin 3. Murtopotenssiksi muuntaminen on ainoa tapa neliö- ja muiden juurten derivointiin. Esimerkkinä neliöjuuren derivoiminen: D( ) = D / = / = / = =. 5

4 Mös vakion derivointisääntö voidaan johtaa potenssin derivoinnista, kun muistetaan, että = 0. Tällöin nimittäin vakiolle a pätee a = a = a 0, ja saadaan D a = D(a 0 ) = a D 0 = a 0 = a 0 = 0. Kätevintä on kuitenkin vain muistaa, että vakion derivaatta on aina 0. Kun osataan derivoida erilaisia lausekkeita, funktioiden derivaatat lötvät helposti. Esimerkiksi polnomifunktion f() = 3 4 derivaatan arvo pisteessä saadaan derivoimalla funktion lauseke. Tämä tehtiin esimerkissä 4., ja tuloksena oli 6 4. Funktion f derivaatta pisteessä on siis f () = 6 4. Tämä tarkoittaa sitä, että esimerkiksi funktion f kuvaajalle pisteeseen kohtaan = piirretn sivuajan kulmakerroin on Alla on vielä kuva tilanteesta. f () = 6 4 =. k = f () = Derivaatan sovelluksia Kuten jo luvun alussa mainittiin, derivaattaa voi kättää funktion kasvun ja vähenemisen tutkimiseen ja mittaamiseen. Mikäli funktion derivaatta jossain pisteessä on positiivinen, funktio on hetkellisesti kasvava tuossa pisteessä, ja mikäli derivaatta on negatiivinen, funktio on vähenevä. Siellä, missä derivaatta on nolla, funktion kasvu on hetkellisesti psähtnt. Mainitun kaltainen tarkastelu ei kuitenkaan ole aivan riittävää. Katsotaan esimerkiksi funktiota f() = 3, jonka kuvaaja on piirrett seuraavaan kuvaan. Funktion derivaatan lauseke on f () = 3, ja kohdassa = 0 derivaatta on f (0) = 0. Funktion kasvu on siis hetkellisesti psähtnt, mutta funktio on silti koko ajan aidosti kasvava. Toisin sanoen jos > millä tahansa reaaliluvuilla ja, niin f() > f(). Kasvun hetkellinen psähtminen ei siis oikeastaan vaikuta kasvuun mitenkään. 6

5 Tarkempaa tietoa kasvavuudesta ja vähenevdestä saadaan, kun tutkitaan derivaatan arvoja laajemmilla väleillä. Seuraava sääntö on niin tärkeä, että puemme sen lauseen muotoon. Lause 4.3. Oletetaan, että funktio f on määritelt vähintään avoimella välillä ]a, b[ (voi olla mös rajoittamaton väli, vaikka koko R) ja että sillä on derivaatta kaikissa välin ]a, b[ pisteissä. Jos f () > 0 kaikilla ]a, b[, niin f on aidosti kasvava koko välillä ]a, b[. Jos f () < 0 kaikilla ]a, b[, niin f on aidosti vähenevä koko välillä ]a, b[. Lisäksi edellisten kohtien tilanne ei muutu, vaikka f () olisi 0 välin ]a, b[ ksittäisissä pisteissä. Aidosti kasvava tarkoittaa, että jos >, niin f() > f() eikä funktio voi olla edes väliaikaisesti vakio. Lisähuomautus ksittäisistä pisteistä viittaa sen kaltaiseen tilanteeseen, kuin mitä tarkasteltiin edellä: vaikka funktion f() = 3 derivaatta saa ksittäisessä pisteessä = 0 arvon nolla, ei funktion kasvavuus muutu. Tarkastellaan erästä toista esimerkkiä hieman ksitiskohtaisemmin. Esimerkki 4.4. Määritellään polnomifunktio f() = 3 +. Sen kuvaaja on piirrett alla olevaan kuvaan. Tutkitaan derivaatan avulla tarkasti, milloin funktio f on kasvava ja milloin vähenevä. 3 Polnomilausekkeiden derivointisääntöjen mukaan saadaan funktion derivaataksi f () = 3. 7

6 Tämä lauseke kertoo derivaatan arvon (eli funktion hetkellisen kasvunopeuden) riippuvuuden lähtöarvosta. Se määrittelee siis itsekin erään funktion, ns. derivaattafunktion. Jotta voitaisiin selvittää funktion f kasvavuus, on edellä olevan lauseen mukaan tutkittava derivaatan etumerkkiä. Kätetään apuna tuttua jatkuviin funktioihin liittvää sääntöä: Jatkuvan funktion arvojen etumerkki voi vaihtua vain funktion nollakohdissa tai siellä, missä funktio ei ole määritelt. Koska derivaattafunktio f () = 3 on polnomifunktio, se on määritelt kaikkialla ja lisäksi jatkuva. Derivaatan etumerkki voi siis vaihtua vain derivaatan nollakohdissa. Selvitetään ensin derivaattafunktion nollakohdat toisen asteen htälön ratkaisukaavalla: 3 = 0 = ± 4 3 () 3 = ± 8 = ± 7 = ± ,5 tai 0,549. Laaditaan sitten derivaatan merkkikaavio. Koska derivaatan merkki voi vaihtua vain derivaatan nollakohdissa, riittää tarkistaa merkki näiden nollakohtien välissä vaikkapa laskimella. Esimerkiksi f () = 3 (+), f (0) = ( ) ja f () = 6 (+). Näin saadaan seuraavan näköinen kaavio: < 0,549 0,549 < <,5 >,5 f () + + Derivaatan etumerkki nollakohtien eri puolilla olisi voitu päätellä mös siitä, että derivaattafunktion kuvaaja on löspäin aukeava paraabeli. Derivaatan merkkikaaviosta nähdään, että derivaatta on positiivinen, kun < 0,549 tai >,5, ja negatiivinen, kun on välillä ] 0,549,,5[. Kättämällä lausetta 4.3 voidaan derivaatan merkkikaavio tädentää alkuperäisen funktion kulkukaavioksi: < 0,549 0,549 < <,5 >,5 f () + + f() ր ց ր Kulkukaaviossa nuolet osoittavat funktion kulkusuunnan. Nt on selvitett tarkasti, milloin funktio f() = 3 + on kasvava ja milloin vähenevä. Kerrataan vielä lhesti tarkastelun vaiheet: 8

7 . Etsitään derivaattafunktio f.. Määritetään derivaattafunktion f nollakohdat. 3. Laaditaan derivaattafunktion merkkikaavio määrittämällä derivaatan etumerkki nollakohtien välissä. 4. Tädennetään merkkikaavio funktion f kulkukaavioksi. Derivaatan avulla voidaan selvittää mös funktion pienin ja suurin arvo. Sellaisessa kohdassa, jossa funktion kasvaminen vaihtuu vähenemiseksi tai päinvastoin, kasvu psäht hetkellisesti ja derivaatta on nolla. Tällaisessa kohdassa funktiolla on niin sanottu paikallinen ääriarvo, joko minimi tai maksimi. Funktion suurin arvo voi lötä tällaisesta maksimikohdasta. Toinen mahdollisuus on, että suurin arvo löt määrittelvälin päätepisteestä. Vastaava pätee pienimmälle arvolle. Toisaalta esimerkiksi funktiolla f() = 3 ei ole lainkaan suurinta eikä pienintä arvoa. Esimerkki 4.5. Jatketaan edellisen esimerkin funktion f() = 3 + tarkastelua. Sovitaan kuitenkin tällä kertaa, että funktio on määritelt vain välillä [0, 5]. Tuolla välillä funktion kulkukaavio on seuraavanlainen (kopioituna edellisestä esimerkistä): 0 < <,5,5 < < 5 f () + f() ց ր Vain ksi derivaattafunktion nollakohta osuu määrittelvälille, nimittäin =,5. Koska funktio on tuon kohdan edellä vähenevä ja sen jälkeen kasvava, kseessä on minimikohta. Lisäksi nähdään, että kseisessä kohdassa funktio mös saa pienimmän arvonsa, koska funktio ei enää käänn laskevaksi määrittelalueellaan eikä siksi voi saavuttaa pienempiä arvoja. Tuo pienin arvo on f(,5),. Kun funktio f määritellään suljetulla välillä, sillä on mös suurin arvo. Kulkukaavion perusteella suurin arvo saavutetaan määrittelvälin jommassakummassa päätepisteessä. Kokeillaan kumpi funktion arvo on suurempi: f(0) = ja f(5) = 9. Selvästi jälkimmäinen arvo on suurempi. Funktion suurin arvo on siis f(5) = 9. Suurimman ja pienimmän arvon lötäminen on eritisen tärkeää seuraavan esimerkin kaltaisissa optimointitehtävissä. Esimerkki 4.6. Halutaan rakentaa suorakulmion muotoinen aitaus. Aitatarpeita riittää hteensä 50 metrin pituiseen aitaan, mutta aitauksen hdelle sivulle on tarkoitus jättää metrin levinen aukko. Tilanne on siis seuraavan kuvan mukainen. m 9

8 Halutaan lötää sellaisen aitauksen mitat, jonka pinta-ala on suurin mahdollinen. Tämä ongelma ratkeaa muodostamalla funktio, joka kuvaa aitauksen pinta-alaa, sekä etsimällä derivaatan avulla funktion suurin arvo. Aloitetaan valitsemalla suure, josta pinta-ala riippuu. Suorakulmion pinta-ala lasketaan kaavalla A =, kun kätetään oheisen kuvan merkintöjä. Sivujen mitat ja eivät kuitenkaan ole toisistaan riippumattomia, sillä aidan kokonaispituus on rajoitettu: mikäli pituutta kasvatetaan, pituus vähenee, ja päinvastoin. Tarkemmin sanottuna rajoittava ehto on + = 50. Tästä htälöstä voidaan ratkaista, jos oletetaan tunnetuksi: = 50 + = 5 = 76. Nt on selvitett, että jos aitauksen toisen sivun pituus on, toisen sivun pituus on = 76. Voidaan siis muodostaa pinta-alaa kuvaava funktio A() = (76 ) = 76 = Selvitetään funktion A määritteljoukko. Voidaan ajatella, että pahimmassa tapauksessa voi olla 0, jolloin aitauksella ei ole pinta-alaa. Toinen ääritapaus olisi se, jossa = 0 eli = 76. Möskään tällöin aitauksella ei ole pinta-alaa, vaikka kaikki aitamateriaali on kätössä. Määritteljoukoksi voidaan siis valita suljettu väli [0, 76]. Tämän välin luvut kuvaavat sivun pituuden mahdollisia arvoja. Kun tutkittava funktio on selvitett, lasketaan sen derivaatta: A () = Derivaattafunktiolla on ksi nollakohta, ja se on = 38. Koska derivaattafunktion kuvaaja on laskeva suora, derivaatan arvot ovat positiivisia nollakohdan vasemmalla puolella ja negatiivisia oikealla. Näin voidaan muodostaa derivaatan merkkikaavio. (Voitaisiin mös tutkia derivaatan arvoja kokeilupisteissä nollakohdan eri puolilla.) Tädennetään merkkikaavio saman tien funktion A kulkukaavioksi: 0 < < < < 76 A () + A() ր ց Kulkukaaviosta nähdään, että kohdassa = 38 on funktion A maksimikohta ja samalla sen suurin arvo. Suurin aitaus saadaan siis, kun sivun pituus on 38. Tällöin toinen sivun pituus on = = 38, eli aitaus on neliön muotoinen. Sen pinta-ala on A(38) = 38 = 444 (m ). 30

9 4.4 Derivaatan laskeminen, osa II Tähän mennessä opittujen laskusääntöjen avulla psttään derivoimaan polnomifunktioita sekä hvin ksinkertaisia rationaali- ja juurifunktioita. Seuraavaksi opetellaan funktioiden tulon ja osamäärän sekä hdistettjen funktioiden derivointisäännöt. Näiden avulla voidaan derivoida kaikki rationaalifunktiot sekä suuri joukko sellaisia funktioita, jotka voidaan tulkita hdistetiksi funktioiksi. D ( f()g() ) = f ()g() + f()g () D ( ) f() = f ()g() f()g () g() g() D ( f(g()) ) = f (g())g () Aloitetaan tutkimalla rationaalifunktion derivoimista. Esimerkki 4.7. Tarkastellaan rationaalifunktiota h: R \ {, } R, h() = Rationaalifunktion lauseke on kahden polnomin osamäärä. Merkitään osoittajapolnomia f() = 3 + ja nimittäjäpolnomia g() = 4. Lausekkeiden osamäärän derivointisäännön nojalla derivaataksi tulee h () = D ( ) f() g() = f ()g() f()g () g(). (4.) Lasketaan derivaatta vaiheittain. Ensinnäkin osoittajan derivaatta on ja nimittäjän derivaatta on f () = D(3 + ) = 3 g () = D( 4) =. Nt voidaan koota osamäärän derivaatta sijoittamalla f(), g(), f () ja g () kaavaan (4.): h () = f ()g() f()g () g() = 3 ( 4) (3 + ) ( 4) = 3 6 ( 4) = 3 ( 4). Rationaalifunktioita derivoitaessa ei nimittäjän lauseketta kannata leensä kertoa auki. 3

10 Katsotaan seuraavaksi, miten hdistett funktio derivoidaan. Esimerkki 4.8. Tarkastellaan funktiota k() = ( ) 9. Tämä funktio voitaisiin derivoida kertomalla se auki, mutta kertolasku olisi hvin töläs. Pääsemme helpommalla, kun tulkitsemme lausekkeen hdistetn funktion lausekkeeksi. Valitaan sisäfunktioksi g() = ja ulkofunktioksi f() = 9. Tällöin pätee k() = f(g()), joten k () = D(f(g()). Voidaan siis kättää hdistetn funktion derivointisääntöä. Sitä varten derivoidaan ensin valmiiksi ulko- ja sisäfunktiot: f () = 9 8 ja g () =. Nt hdistetn funktion derivoimissäännön mukaan pätee k () = f (g())g () = f ( ) = 9( ) 8 = 8( ) 8. Yhdistettä funktiota derivoitaessa ideana on, että derivoidaan ensin ulkofunktio ja pidetään sisäfunktio paikallaan, ja sen jälkeen kerrotaan saatu lauseke sisäfunktion derivaatalla. Toisena esimerkkinä voitaisiin ottaa juurifunktio p() =. Tätä ei osata derivoida ilman hdistetn funktion sääntöä. Nt sisäfunktioksi valitaan g() = ja ulkofunktioksi f() = = /. Yhdistetn funktion sekä potenssin derivointisääntöjen mukaan saadaan ( p () = D ( ) }{{} /) = ( ) }{{} / }{{} = ( ) /. g() g() g () Vastaus voidaan vielä haluttaessa muuttaa muotoon p () = /. Tarkastellaan viimeisenä esimerkkinä rationaalifunktion kasvamisen tutkimista. Esimerkki 4.9. Palataan vielä kerran esimerkin.5 funktioon h: R \ {0, } R, h() = +. Tämän funktion kuvaaja näk oheisessa kuvassa. Olemme todenneet, että funktio h ei ole määritelt lähtöarvoilla 0 ja. Lisäksi olemme päätelleet esimerkissä 3.3, että funktion arvot lähestvät nollaa hvin suurilla ja hvin pienillä lähtöarvoilla. Tutkitaan nt derivaatan avulla funktion kasvuominaisuuksia. 3

11 Derivoidaan funktio h osamäärän derivointisäännön mukaan. Osoittaja on f() = + ja nimittäjä on g() =. Saadaan h () = f ()g() f()g () g() = ( ) ( + ) ( ) ( ) = ( ) ( + ) ( ) = + ( ) = + ( ). Selvitetään seuraavaksi derivaatan etumerkki. Derivaatan nollakohdat ovat samat kuin derivaatan osoittajan nollakohdat: h () = 0 + = 0 = ± 4 () () = ± = ± 3 = ± 3 = 0,73 tai =,73. Derivaatan merkkikaaviota varten on nt otettava huomioon mös kohdat, joissa derivaatta h ei ole määritelt. Nämä ovat samat kohdat kuin missä funktio ei ole määritelt, eli lähtöarvot = 0 ja =. Näissä kohdissa derivaatan merkki voi muuttua. Derivaatan merkki on siis tarkistettava kullakin osaväleistä ],,73[, ],73, 0[, ]0, 0,73[, ]0,73, [ ja ], [. 33

12 Lasketaan esimerkiksi arvot h ( 3) 4,4, h () 0,3, h (0,5),3, h () = ja h (3),4. Nt voidaan laatia funktion h kulkukaavio: <,73,73 < < 0 0 < < 0,73 0,73 < < > h () + + h() ց ր ր ց ց Kulkukaavio kertoo, että funktio h on kasvava väleillä ],73, 0[ ja ]0, 0,73[, muulloin h on vähenevä. Tämän vahvistaa käsitksen, joka saatiin aiemmin h:n kuvaajasta. 34

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

Y100 kurssimateriaali

Y100 kurssimateriaali Y00 kurssimateriaali Syksy 202 Jokke Häsä ja Jaakko Kortesharju Sisältö Johdanto 5 2 Reaaliarvoiset funktiot 7 2. Funktio..................................... 7 2.2 Funktion lauseke................................

Lisätiedot

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 8, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, sks 07 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

Funktio. Funktio on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena.

Funktio. Funktio on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena. n ja muuttujan arvon laskeminen on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena. ESIMERKKI Tarkastele funktiota f() = + 7. a) Laske funktion arvo, kun =. b) Millä muuttujan

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

6 Joitain erityisfunktioita

6 Joitain erityisfunktioita 6 Joitain eritisfunktioita Tässä luvussa tutustutaan joihinkin luonnontieteissä tarpeellisiin funktioihin. Aluksi esitellään funktioiden matemaattiset ominaisuudet ja sen jälkeen tarkastellaan esimerkkejä

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13 Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Usean muuttujan funktiot

Usean muuttujan funktiot Usean muuttujan funktiot Johdantoa Kertauksen vuoksi seuraavassa kuviossa on joitakin asioita, joita olemme laskeneet hden muuttujan funktioista f() : [a, b] R Kuvion kärä on funktion f() kuvaaja = f()

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

Matematiikan pohjatietokurssi

Matematiikan pohjatietokurssi Matematiikan pohjatietokurssi Demonstraatio 3, 15.9.014 1. Mitkä seuraavista voisivat olla funktion kuvaajia ja mitkä eivät? Miksi? (a) (b) (c) (d) Vastaus: Kuvaajat b ja c esittävät funktioita. Huomaa,

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Funktion raja-arvo Monisteen määritelmässä 32 s 55 määritellään funktion f) raja-arvo f) ja sitä selitetään huomautuksen 33 kohdassa a) Seuraavassa on a hiukan tarkempi

Lisätiedot

Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite

Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Reaalifunktiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: funktiokäsite Hakemisto KATSO MYÖS: potenssi, juuret, polnomit, rationaalifunktiot, eksponenttifunktio, logaritmifunktio, trigonometriset funktiot, arcusfunktiot,

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin: Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3

Lisätiedot

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta.

Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta. KOE Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta. B-OSA, ht. 0p. Ksmksen maksimipistemäärä on 7 pistettä.

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

MAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014

MAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014 0..0 MAOL-pistetsohje Matematiikka lht oppimäärä Kevät 0 Hvästä suorituksesta näk, miten vastaukseen on päädtt. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille

Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille Harjoitus 4, kevät 2019 1. a) f(x) = x 3 6x 2 + 9x + 1, 3 x 3 Funktio f(x) on jatkuva ja derivoituva. Funktio f(x) saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2.

(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2. Derivaatta kuvaa funktion hetkellistä kasvunopeutta. Geometrisesti tulkittuna funktion derivaatta kohdassa x 0 on funktion kuvaajalle kohtaan x 0 piirretyn tangentin kulmakerroin. Funktio f on derivoituva

Lisätiedot

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2. MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion derivointi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion derivointi Talousmatematiikan perusteet: Luento 7 Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion derivointi Viime luennolla Funktion Derivaatta f (x) kuvaa funktion muutosnopeutta Toinen derivaatta f x = D f x kuvaa muutosnopeuden

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Mat. tukikurssi 27.3.

Mat. tukikurssi 27.3. Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Matematiikkaa kauppatieteilijöille Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Korkeamman asteen polynomifunktio

Korkeamman asteen polynomifunktio POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Korkeamman asteen polnomifunktio Määritelmä: Jos polnomifunktion asteluku n, niin funktiota sanotaan korkeamman asteen polnomifunktioksi, P: P = a n n + a n 1 n 1 +...

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto Talousmatematiikan perusteet: Luento 7 Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto Viime luennolla Funktion Derivaatta f (x) kuvaa funktion

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Derivaatan sovelluksia

Derivaatan sovelluksia Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä

Lisätiedot