DYNAMIIKKA II, LUENTO 1 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "DYNAMIIKKA II, LUENTO 1 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi"

Transkriptio

1 DYNAMIIKKA II, LUENTO 1 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

2 LUENNON SISÄLTÖ Yleisiä asioita syksyn 2015 kurssista. Johdanto: Dynamiikka osana mekaniikkaa ja sen tarkastelukohteet. Dynamiikan ongelmien ratkaiseminen. Mekaniikan koordinaatistot.

3 KURSSI SYKSYLLÄ 2015

4 YLEISIÄ ASIOITA Kurssin henkilökunta: Vastaava opettaja: Arttu Polojärvi (etunimi.sukunimi(at)aalto.fi), vastaanotto ke 14-15, huone 214 (puumiehenkuja 5A). Tuntiassistentti: Ali Rabiei (etunimi.sukunimi(at)aalto.fi), vastaanotto laskutuvan yhteydessä. Laskuharjoitukset: Palautus klo mennessä keskiviikkoisin luentosalin viereisen käytävän postilaatikkoon tai harjoitusten alussa luennoitsijalle. Tenttioikeus edellyttää laskuharjoitusten osittaista suorittamista (alla lisää). Luentotehtävät: Luentojen yhteydessä kullakin viikolla. Ilmoittaudu kurssille weboodissa! Tenttioikeus: seuraavaan luennointikertaan saakka (4 kpl tenttejä).

5 KURSSIN ARVOSTELUSTA Kotitehtävät (3-4/kierros, 5 kierrosta): maksimi 30 p. 5 luentotehtävää (0-2 p./tehtävä): maksimi 10 p. Tenttioikeus: kotitehtävistä yhteensä 12 p (40 % neljältä kierrokselta). Hyvin suoritetut kotitehtävät (yli 15 pistettä): maksimi 8 tenttipistettä. Hyvin suoritetut luentotehtävät (yli 5 pistettä): maksimi 2 tenttipistettä. Koti- ja luentotehtävien antamat lisätenttipisteet (ei voi tulla negatiivisia lisäpisteitä): ( ) ( ) K L lisäpisteet = , 5 jossa K ja L ovat on koti- ja luentotehtävien yhteenlasketut pistemäärät. Lisäpisteet käytössä vain ensimmäisessä tentissä, johon opiskelija osallistuu. Tentissä jaossa 30 p. ja pelkillä tentti-pisteillä voi myös saada arvosanan 5 (jaossa olevat 10 lisäpistettä nostavat arvosanaa helposti). Tavoitteena on kannustaa opiskeluun koko kurssin keston ajan!

6 ALUSTAVA AIKATAULU SYKSY 2015 KUL$ ,,Dynamiikka,II,,alustava,aikataulu,S2015 VK/VKP MA TI, KE TO PE 38,(14$19.9) 39,(21$25.9) LT1 kertaus,)napa,)ja) sylinterikoordinatisto,) vektorin)derivaatta Jäykän)kappaleen) kinematiikka,)kappaleen) suuntautuneisuuden) kuvaus LH1,,> LH1)<,,,)LH2),,> pallokoordinaatisto,) vektorin)muutosnopeus,) liikeyhtälöiden) muodostaminen kappaleen) suuntautuneisuuden) kuvaus,)suhteellinen)liike 40,(28.9$2.10) LT2 Jäykän)kappaleen) kinetiikka)ja)hyrräyhtälöt) 1 LH2)<,,,)LH3),,> Jäykän)kappaleen) kinetiikka)ja)hyrräyhtälöt) 2 41,(5$9.10) LT3 Lagrangen)formalismi)1 LH3)<,,,)LH4)&)LH5),,> Lagrangen)formalismi)2 42,(12$16.10) LT4 Lagrangen)formalismi)3 LH4*)<,, LH5)<,,)ja)kertausluento 43,(19$23.10) ) Tentti LT)=)laskutupa,)LH)=)laskuharjoitus LH4*)palautus)siirtyy)joko)viikon)42)torstaille)tai)tiistaille Tentin)lisäpisteet)määritellään)viiden)laskuharjoituskierroksen)perusteella. Tenttioikeus)määräytyy)neljän)laskuharjoituskierroksen)perusteella. ",,>")=)jaetaan)opiskelijoille,)"<,,")palautetaan

7 OPPIMISTAVOITTEET Kurssin jälkeen opiskelija osaa: Määritellä jäykän kappaleen kolmedimensioisen liikkeen kannalta tärkeät koordinaatistokäsitteet, suureet ja peruslakien muodot. Soveltaa tehokkaasti erilaisia koordinaatistoja dynamiikan ongelmien ratkaisemisessa. Johtaa jäykän kappaleen liikeyhtälöt lähtien keskeisistä rakennuspalikoista ja soveltamaan hyrräyhtälöitä. Soveltaa Lagrangen formalismia partikkelin, partikkelisysteemin ja jäykän kappaleen liikeyhtälöiden muodostamiseen konservatiivisten ja ei-konservatiivisten systeemien tapauksessa.

8 OPISKELUSTA TÄLLÄ KURSSILLA Kurssille on syytä varata riittävästi aikaa (4op vastaa noin 100h työskentelyä) ja työskentely alusta alkaen kannattaa: Kunkin luennon oppimistavoitteet perustuvat paljolti aikaisemmilla luennoilla opittuun. Kurssilla täytyy suorittaa kohtuu paljon itsenäistä työskentelyä, mutta kannustan ryhmätyöhön niin kauan kun kyse ei ole kopioinnista. Ryhmässä miettimällä ja keskustelemalla asiat aukeavat usein helpommin. Silmäile luentomateriaalia jo ennen luentoja ja tutustu kunkin luennon oppimistavoitteisiin ja sisältöön. Voit miettiä vaikuttaako jokin asia vaikealta. Harjoitustehtävät liittyvät hyvin läheisesti kurssin oppimistavoitteisiin: Laskemalla tehtäviä voit varmistaa saavuttavasi oppimistavoitteet sekä saat rutiinia. Jos osaat laskarit, olet vähintäänkin hyvin lähellä tavoitteiden saavuttamista. Älä kiinnitä liikaa huomiota ratkaisujen yksityiskohtiin (älä opettele ulkoa), vaan mieti mikä on yhteistä eri tehtävien ratkaisuille (suuremmat linjat ja teoria). Kurssin lopussa oppimistavoitteiden saavuttamista testataan tentillä ja luentojen tavoitteiden saavuttamista laskuharjoituksin. Lisäksi luennoilla ratkotaan tehtäviä, joiden on tarkoitus aktivoida miettimään kunkin luennon asioita tuoreeltaan.

9 LUENTOKALVOJEN MERKINNÖISTÄ Olen pyrkinyt pääosin käyttämään useissa lähteissä esiintyvää tyyliä: Skalaarit: kursivoituja pienaakkosia (esim. m) Vektorit: lihavoituja pienaakkosia (esim. f) Matriisit: suuraakkoset lihavoituna (esim. L) Huomaa: Mikäli epäilet löytäneesi painovirheen, ota yhteyttä minuun!

10 DYNAMIIKKA YLEISESTI

11 MEKANIIKKA JA DYNAMIIKKA Mekaniikka: Fysiikan haara, jossa tarkastellaan voimien vaikutuksen alaisena olevien kappaleiden liikettä ja lepotilaa.

12 DYNAMIIKKA JA SEN SOVELLUSKOHTEET Dynamiikka: Tarkastellaan erityisesti kappaleiden liiketilaa ottaen huomioon liikkeen syy eli voimat.

13 DYNAMIIKKA JA SEN SOVELLUSKOHTEET Sovelluskohde: jääkuormien tutkiminen ja mallintaminen.

14 DYNAMIIKKA JA SEN SOVELLUSKOHTEET Siirtymäkentän gradientit: kokeet (vas) ja simulaatiot (oik) (Polojärvi et al., 2013) x [m] Indentor displacement y I 30 mm

15 DYNAMIIKKA JA SEN SOVELLUSKOHTEET Siirtymäkentän gradientit: kokeet (vas) ja simulaatiot (oik) (Polojärvi et al., 2013) x [m] Indentor displacement y I 80 mm

16 DYNAMIIKKA JA SEN SOVELLUSKOHTEET Siirtymäkentän gradientit: kokeet (vas) ja simulaatiot (oik) (Polojärvi et al., 2013) x [m] Indentor displacement y I 200 mm

17 DYNAMIIKKA JA SEN SOVELLUSKOHTEET Siirtymäkentän gradientit: kokeet (vas) ja simulaatiot (oik) (Polojärvi et al., 2013) x [m] Indentor displacement y I 240 mm

18 MEKANIIKAN PERUSLAIT Täällä toistuvasti vastaan tulee ja sovelletaan: Massan säilymisen periaate: Systeemin massa on vakio ṁ = 0 Liikemäärän taseen periaate: Kappaleen liikemäärän muutosnopeus on yhtä suuri kuin siihen vaikuttavien voimien summa f = d (mv) = ṁv + m v = m v = ma dt Liikemäärän momentin taseen periaate: Kappaleen liikemäärän momentin muutosnopeus on yhtä suuri kuin siihen vaikuttavien ulkoisten voimien aiheuttaminen momenttien summa m = l Lisäksi: energian taseen ja entropian kasvun periaatteet.

19 MEKANIIKAN AINEMALLIT Aina voi valita mahdollisimman yksinkertaisen mutta ongelmaan sopivan mallin Partikkeli: Yksittäinen ainepiste (ei rotaatiotakaan), helpoin ainemalli, hyvä prototyyppi mutta myös käyttökelpoinen joissain tapauksissa (esim. taivaanmekaniikka). Partikkelijoukko: Joukko partikkeleita. Kontinuumi: Jakautunut massa (ylinumeroituva joukko partikkeleita), voi muuttaa muotoaan (deformoitua) jolloin voidaan käyttää lujuuslaskelmissa (venymä/jännitys). Kappale: koko ajan samoista partikkeleista muodostuva systeemi. Jäykkä kappale: on kontinuumin erikoistapaus, jossa kappaleen pisteiden välinen etäisyys säilyy koko ajan vakiona, käyttökelpoinen kappaleen liikkeen kuvaukseen. Jäykkä kappale tällä kurssilla paljon käytössä.

20 MEKANIIKAN ONGELMIEN RATKAISU Malli: Koostuu rakennuspalikoista (jostain ainemallista) ja (usein tehtävää yksinkertaistavista) oletuksista (ei kitkaa, ei ilmanvastusta yms.). Yhtälöt: Saadaan aikaan eliminoimalla muuttujia tehtävän rajoitteiden yms. mukaisesti mahdollisimman helppo alku-/reunaarvotehtävä. Ratkaisu: Joskus analyyttinen ratkaisu mahdollinen yleensä tarvitaan numeerista ratkaisua. Lisäsuureet: Voidaan johtaa ratkaisusta (esim. heilurin jaksonaika). Mallinnus (väärät oletukset yms.) ja ratkaisuvirheet rajoittavat mallin todenmukaisuutta verrattuna oikeaan systeemiin. Dynamiikka II: alkuarvotehtävien muodostaminen riittää.

21 MALLIT JA MALLINTAMINEN S, exp. S, exp. S, sim. S, sim S, exp. S, exp. S, sim. S, sim. S, S [N] S, S [N] δ [mm] (a) δ [mm] Kokeissa ja simulaatioissa mitattu voima (Polojärvi & al., 2015). (b) S, exp. S, exp. S, sim. S, sim S, exp. S, exp. S, sim. S, sim. S, S [N] 400 S, S [N] 400

22 MALLIT JA MALLINTAMINEN y [m] ˆσ 1 [-] x [m] Voimaketuja voiman kasvaessa (Polojärvi & al., 2015).

23 MALLIT JA MALLINTAMINEN y [m] ˆσ 1 [-] x [m] Voimaketuja voiman maksimissa (Polojärvi & al., 2015).

24 MALLIT JA MALLINTAMINEN y [m] ˆσ 1 [-] x [m] Voimaketuja voimapiikin jälkeen (Polojärvi & al., 2015).

25 MEKANIIKAN MALLIN RAKENNUSPALIKAT Kinematiikka = liikkeen tarkastelu huomioimatta liikkeen syytä. Kinetiikka = liikkeen ja sen syyn (voimien ja niiden momenttien) tarkastelu. Fysiikan perussuureet: asema r [m], massa m [kg], aika t [s]. Kinematiikan johdannaissuureet: nopeus v = dr/dt, kiihtyvyys a = dv/dt, liikemäärä, liikemäärän momentti jne. Kinetiikan suureet ja peruslait (aksioomat): voima f [N], liikemäärän tase, esim. f = ma. Matematiikan päättelysäännöt: vektori- ja matriisialgebra, vektorin derivointi, derivointisäännöt yms. Konstitutiiviset yhteydet: esim. f = k(l l 0) (yleensä materiaalille tai systeemille ominainen kinemaattisten ja kineettisten suureiden välinen yhteys). Kinetiikan aksioomat pätevät kappaleille (massaltaan suljettu systeemi).

26 MEKANIIKAN MALLIN RAKENNUSPALIKAT: ESIMERKKI Värähtelyn partikkelimalli: Fysiikan perussuureet: Kinematiikan johdannaissuureet: Kinetiikan suureet ja peruslait: Konstitutiiviset yhteydet: Päättelysäännöt:

27 DYNAMIIKKA II L1: MEKANIIKAN KOORDINAATISTOT 1 Arttu Polojärvi

28 OPPIMISTAVOITTEET Tämän luennon jälkeen opiskelija: Pystyy selittämään miksi dynamiikassa käytetään erilaisia koordinaatistoja ja hallitsee niihin liittyvät käsitteet. Osaa johtaa partikkelin nopeuden ja kiihtyvyyden esitykset derivoimalla partikkelin aseman esitystä napa- ja sylinterikoordinaatistossa. Osaa esittää kantavektoreiden muutosnopeudet tapauksissa, jossa koordinaatiston kanta ei ole vakio. Ymmärtää käsitteet aboluuttinen ja suhteellinen näkemys ja niiden merkityksen dynamiikassa.

29 MEKANIIKAN KOORDINAATISTOT YLEISESTI

30 KOORDINAATISTOT: KÄSITTEITÄ Koordinaatisto: Tarkastelukoordinaatisto ja sen kantavektorit voidaan valita usealla eri tavalla. Yleensä (täällä aina) kantavektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja yksikön mittaisia mutta eivät välttämättä vakioita (toisesta koordinaatistosta havainnoituna). Liiketila: Liikelaki f = ma pätee inertaalikoordinaatistossa (tai korkeintaan vakionopeuksellisessa koordinaatistossa). Suureen a muutosnopeus ȧ on sen absoluuttinen muutosnopeus inertiaalikoordinaatistosta havainnoituna. Kuvaustapa: Liikkeen kuvaustapa voidaan valita useilla eri tavoilla (esim. parametrikuvaus y(t), x(t) tai ratakuvaus y(x), x(t)) ja oikean tavan valinta voi lyhentää yhtälöitä.

31 KOORDINAATISTOT: INERTIAALIKOORDINAATISTO Mitkä koordinaatistoista A,B ja C ovat inertiaalikoordinaatistoja (vauhti v =vakio)? Mieti vaikkapa heittäväsi palloa suoraan ylöspäin eri tapauksissa tai sitä ovatko kantavektorit liikkeessä vakioita (suunta).

32 KOORDINAATISTOT: MUUTOSNOPEUDET Mekaniikan ongelmissa: muutosnopeus = inertaalikoordinaatistosta havaittu muutosnopeus. Absoluuttinen näkemys (havaitsija A) vs. suhteellinen näkemys (B).

33 KOORDINAATISTOT: MUUTOSNOPEUDET Mekaniikan ongelmissa: absoluuttinen aikaderivaatta = inertiaalikoordinaatistossa otettu Havaitsija ajattelee aina omien kantavektoreidensa olevan paikallaan (vakioita).

34 KOORDINAATISTOT: MUUTOSNOPEUDET Skalaarit ja vektorit ovat invariantteja koordinaatiston suhteen. Skalaarit: suuruus säilyy kaikissa kannoissa. Skalaarin aikaderivaatta: ei riipu kannasta (esim. massa ei riipu kannasta) ( ) ( ) da da = dt dt (tässä ja jatkossa derivaatta (d/dt) A on havaitsijan ottama A jne.) A Vektorit: voidaan aina kirjoittaa missä tahansa kannassa ja sen suunta ja suuruus säilyvät vaikkakin komponentit muuttuvat aina valitun kannan mukaan a = a X I + a Y J + a Z K = a x i + a y j + a z k Vektorin aikaderivaatta: voi riippua kannasta (tarkemmin: niiden liikkeestä) ( ) ( ) da da dt dt A Huomaa: vektorin komponenttien kertoimet (a X, a x,...) ovat skalaareita. Suhteellinen näkemys: helpottaa usein monimutkaisten systeemien tarkastelua. B B

35 KOORDINAATISTOT: MUUTOSNOPEUDET a = a XI + a Y J + a ZK = a xi + a yj + a zk ja ( ) da dt A ( da dt ) B

36 NAPA- JA SYLINTERIKOORDINAATISTO

37 NAPAKOORDINAATISTO Partikkelin P asema ilmaistuna sen origosta mitatun etäisyyden ja kulman funktiona. e ϕ r r ϕ O P e r Napakoordinaatit r = r(t) ja ϕ = ϕ(t): - r on etäisyys origosta O. - ϕ kulma valitusta suorasta. Kantavektorit: - e r koordinaatin r:n kasvusuuntaan. - e ϕ koordinaatin ϕ:n kasvusuuntaan. - e r ja e ϕ eivät ole vakiovektoreita. - e r e ϕ ja e r = e ϕ = 1. asema: nopeus: kiihtyvyys: r = re r v = ṙe r + r ϕe ϕ a = v = r = ( r r ϕ 2 )e r + (2ṙ ϕ + r ϕ)e ϕ Kerätään tarvittavat osat ja johdetaan nopeuden ja kiihtyvyyden lausekkeet.

38 NAPAKOORDINAATISTO Partikkelin P asema ilmaistuna sen origosta mitatun etäisyyden ja kulman funktiona. e ϕ e r r(t 1 ) P e ϕ r(t 1 ) O ϕ(t 1 ) O P r(t 2 ) ϕ(t r(t 2) 2) er Kuvassa partikkeli P liikkumassa radallaan ajanhetkillä t 1 ja t 2. Yleensä liikessä ϕ muuttuu jolloin e r ja e ϕ muuttavat suuntaansa. e r ja e ϕ eivät ole vakiovektoreita.

39 NAPAKOORDINAATISTO: MUUNNOSMATRIISI Tullaan tarvitsemaan kantavektoreiden e r ja e ϕ yhteyttä inertiaalikoordinaatistoon. j O e ϕ r r ϕ P e r i Kuvassa on esitetty karteesinen inertiaalikoordinaatisto, jolla on kantavektorit i ja j. Kuvan koordinaatistojen välillä pätevät yhteydet e ϕ e r = cos ϕi + sin ϕj e ϕ = sin ϕi + cos ϕj, jotka matriisimuodossa esitettynä ovat { } [ ] { } { } er cos ϕ sin ϕ i i = = L(ϕ). sin ϕ cos ϕ j j Tässä L(ϕ) on nk. muunnos- tai rotaatiomatriisi. Seuraavaksi kaksi tapaa johtaa nämä yhteydet

40 NAPAKOORDINAATISTO Eräs tapa johtaa edellinen yhteys on tarkastella tapauksen geometriaa: j d e ϕ c ϕ O ϕ a e r b i Siirrä e r e ϕ -kanta origoon ja jaa e r ja e ϕ vektoreiden i ja j suuntaisiin komponentteihin (kuvassa a, b, c ja d). Trigonometria antaa esimerkiksi cos ϕ = a e r ja sin ϕ = b e r josta muistaen että e r = 1, saadaan a = cos ϕ ja b = sin ϕ e r = cos ϕi + sin ϕj. Johda itse yhteys kantavektorille e ϕ. Muista: a = a a = a x a x + a y a y + a z a z

41 NAPAKOORDINAATISTO Toinen ja myös muille koordinaatistoille yleistyvä tapa: 1. r karteesisessa koordinaatistossa käyttäen koordinaatteja r ja ϕ r = r cos ϕi + r sin ϕj (ks. edellisen sivun kuva tätä varten ) 2. Derivoi vektoria r kunkin koordinaatin suhteen e r = dr dr = cos ϕi + sin ϕj ja e ϕ = dr = r( sin ϕi + cos ϕj) dϕ 3. Normalisoi vektorit e r ja e ϕ (tässä e r = 1 ja e ϕ = r) e r = e r e r = cos ϕi + sin ϕj e ϕ = e ϕ = sin ϕi + cos ϕj ja tuloksena ovat etsityt kantavektorit. e ϕ Yllä: e r = e r e r = sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 jne.

42 NAPAKOORDINAATISTO: NOPEUS Johdetaan partikkelin nopeuden esitys v = ṙe r + r ϕe ϕ : Aletaan derivoimaan paikan esitystä ajan suhteen v = ṙ = ṙe r + rė r (tulon derivaatta) sijoitetaan e r = cos ϕi + sin ϕj ja derivoidaan ė r = der dt = d dt (sin ϕ)i + d (cos ϕ)j dt koska di/dt = dj/dt = 0 (i ja j vakioita). Derivaatat (muista ϕ = ϕ(t)) d (sin ϕ) = ( cos ϕ) ϕ ja dt jossa on huomiotu e ϕ = sin ϕi + cos ϕj d (cos ϕ) = (sin ϕ) ϕ dt ė r = ϕ( sin ϕi + cos ϕj) = ϕe ϕ v = ṙ = ṙe r + r ϕ( sin ϕi + cos ϕj) = ṙe r + r ϕe ϕ.

43 NAPAKOORDINAATISTO Oikein derivoimalla on helppo välttää turhia virheitä, joten ennen kiihtyvyyttä Toistuvasti vastaan tulevan derivoinnin ketjusäännön mukaan Jos y = y(u) ja u = u(t) niin Edellähän meillä oli dy dt = dy du du dt. e r = cos ϕi + sin ϕj, jossa e r = e r (ϕ) ja ϕ = ϕ(t). ja i ja j ovat vakioita (di/dt = dj/dt = 0). Sijoittamalla derivoinnin ketjusääntöön ė r = de r dϕ dϕ dt = d dϕ (cos ϕi + sin ϕj) dϕ dt = ( sin ϕi + cos ϕj) ϕ = ϕe ϕ, jossa on taas huomioitu e ϕ :n lauseke.

44 NAPAKOORDINAATISTO: KIIHTYVYYS Johda itse seuraavaksi kiihtyvyyden esitys nopeudesta a = v = d (ṙe r + r dt ϕe ) ϕ =... = ( r r ϕ 2 )e r + (2ṙ ϕ + r ϕ)e ϕ. Tässä tarvitset derivaattoja ė r = ϕe ϕ ė ϕ = ϕe r, joista jälkimmäisen saat myös ratkaista itse.

45 KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET (OSA I) Huomataan vielä seuraava seikka alun yhteyksistä: Edellä saatiin napakoordinaatistossa yhteydet e r = cos ϕi + sin ϕj e ϕ = sin ϕi + cos ϕj, jotka ovat siis matriisimuodossa { } { } [ ] er i cos ϕ sin ϕ = L(ϕ), jossa L(ϕ) = j sin ϕ cos ϕ e ϕ Kerrotaan käänteismatriisilla L(ϕ) 1 (muistetaan L(ϕ) 1 L(ϕ) = I) { } { } [ ] i = L(ϕ) 1 er, jossa L(ϕ) 1 cos ϕ sin ϕ =. j e ϕ sin ϕ cos ϕ

46 KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET (OSA I) Yleisesti muutosnopeudet saadaan ratkaistua seuraavalla tavalla: 1. Muodosta relaatio ei-vakio -kannan ja inertiaalikannan välille: e α i i e α e β = L(ϕ) j j = L(ϕ) 1 e β k k e γ 2. Derivoi puolittain (tulon derivointi ja di/dt = dj/dt = dk/dt = 0): d e α i e β dt = L(ϕ) j k e γ 3. Palauta kanta halutuksi (eli jää jäljelle vain kysytyn kannan vektoreita): d e α e α e α e β dt = L(ϕ)L(ϕ) 1 e β = Ω(ϕ) e β, e γ jossa Ω(ϕ) = L(ϕ)L(ϕ) 1. e γ e γ e γ Tätä tullaan käyttämään paljon!

47 KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET (OSA I) Jos kanta on ortonormeerattu (kantavektorit kohtisuorassa ja pituus 1): L(ϕ) 1 = L(ϕ) T ts. matriisin transpoosi=sen käänteismatriisi Helpottava tieto: muunnosmatriiseja ei tarvitse oikeasti kääntää. Lisäksi det(l) = 1 rotaatiomatriiseille. Edeltä seuraa myös, että muutosnopeudet antava matriisi Ω(ϕ) = L(ϕ)L(ϕ) 1 on tällöin vinosymmetrinen (Ω ij = Ω ji). Tämä auttaa tarkistamaan tuloksia. Huomaa vielä, että tässä matriisin derivointi tehdään alkioittain dl 11 dl 12 L(ϕ) = d... dt L(ϕ) = dt dt dl 21 dl dt dt jne

48 KANTAVEKTOREIDEN MUUTOSNOPEUDET (OSA I) Näytä, että napakoordinaatiston tapauksessa yhtälöstä { } { } { } d er er = Ω(ϕ) = L(ϕ)L(ϕ) 1 er dt e ϕ e ϕ e ϕ saadaan jo yllä esitetyt kantavektoreiden muutosnopeudet: ė r = ϕe ϕ ė ϕ = ϕe r.

49 ESIMERKKI: NAPAKOORDINAATISTO Oheisen kuvan mukaisessa systeemissä partikkelin P asema on napakoordinaatein ilmaistuna r(t) = b + c sin Ωt ja ϕ(t) = ωt jossa b, c, ω ja Ω ovat vakioita. Mitkä ovat partikkelin nopeuden ja kiihyvyyden lausekkeet? (EMS, Dynamiikka I, esim. 2.7)

50 SYLINTERIKOORDINAATISTO Asema: etäisyys valitusta (1) akselista ja (2) tasosta ja (3) kulma valitusta suorasta. e r e ϕ e z P z r r O ϕ Sylinterikoordinaatit r = r(t), ϕ = ϕ(t) ja z = z(t): - r on etäisyys valitusta akselista. - ϕ on kulma valitusta suorasta. - z on etäisyys valitusta tasosta. Kantavektorit e r,e ϕ ja e z: - Suunnat alaindeksin indikoiman koordinaatin kasvusuuntaan. - e r ja e ϕ eivät ole vakioita. - Kanta on ortonormeerattu. asema: nopeus: kiihtyvyys: r = re r + ze z v = ṙe r + r ϕe ϕ + że z a = v = r = ( r r ϕ 2 )e r + (2ṙ ϕ + r ϕ)e ϕ + ze z

51 SYLINTERIKOORDINAATISTO e r e ϕ e z P z r r O k ϕ i Kuvan koordinaatistojen välillä pätevät yhteydet e r = cos ϕi + sin ϕj e ϕ = sin ϕi + cos ϕj e z = zk. Matriisimuodossa nämä ovat e r cos ϕ sin ϕ 0 i e ϕ j = sin ϕ cos ϕ 0 j e z k i = L(ϕ) j. k Nämä yhteydet johdetaan kuten edellä napakoordinaatiston tapauksessa.

52 SYLINTERIKOORDINAATISTO Kantavektoreiden muutosnopeudet saadaan taas yhteydestä ė r e r ė ϕ = L(ϕ)L(ϕ) 1 e ϕ = Ω(ϕ) ė z ė r ė ϕ ė z Huomataan taas että Ω ij = Ω ji. e z 0 ϕ 0 = ϕ e r e ϕ e z e r e ϕ e z

53 ESIMERKKI: SYLINTERIKOORDINAATISTO Partikkelin P rata sylinterikoordinaatistossa voidaan esittää funktioiden r = R, ϕ = ωt ja z = v 0t avulla (ns. ruuviviiva). Mitkä ovat partikkelin aseman, nopeuden ja kiihtyvyyden esitykset? (EMS, Dynamiikka II, esim. 8.1) Mitkä ovat partikkelin aseman ja nopeuden esitykset karteesisessa koordinaatistossa?

54 KYSMYKSIÄ KURSSIN SUORITTAMISESTA 1. Oletko ollut suorittamassa kurssia ennen (milloin)? 2. Jos olet niin mitkä asiat koit vaikeiksi tai helpoiksi? 3. Mihin asioihin toivoisit kurssilla opetuksen painottuvan? 4. Onko sinulla MATLAB-käyttökokemusta? 5. Onko sinulla ehdotuksia perinteisen luento-opetuksen tilalle?

DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertaus edelliseltä luennolta sekä ristituloista. Mekaniikan koordinaatistot: pallokoordinaatisto. Vakiovektorin muutosnopeus (kantavektorin

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 4 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta: jäykkä kappale, kulma-asema, Eulerin kulmat, kulmanopeus. Suhteellinen liike: Vektorin muutosnopeudet eri koordinaatistoissa.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Mekaniikan peruslait (liikelait). Liikemäärän momentin tase. Kappaleen massan vaikutusmitat. Jäykän

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Liikemäärän ja liikemäärän momentin tase. Hyrräyhtälöt. Liikeyhtälöiden muodostaminen. Lagrangen formalismi:

Lisätiedot

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 3 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 3 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 3 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Lyhyt kertaus edellisen luennon asioista. Jäykkä kappale, kappalekoordinaatisto ja kulma-asema. Eulerin kulmat kulma-aseman ja nopeuden

Lisätiedot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

MEI Kontinuumimekaniikka

MEI Kontinuumimekaniikka MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto

Lisätiedot

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa Konseptitesti 1 Kysymys

Lisätiedot

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa Ajankohtaista FuksiProffaBuffa Järjestetään

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ 76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat

Lisätiedot

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.

Lisätiedot

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia Ajankohtaista Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

1.4. VIRIAALITEOREEMA

1.4. VIRIAALITEOREEMA 1.4. VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian perusteet 2017

Suhteellisuusteorian perusteet 2017 Suhteellisuusteorian perusteet 017 Harjoitus 5 esitetään laskuharjoituksissa viikolla 17 1. Tarkastellaan avaruusaikaa, jossa on vain yksi avaruusulottuvuus x. Nollasta poikkeavat metriikan komponentit

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE) Syksy 2017 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

Lisätiedot

Luento 2: Liikkeen kuvausta

Luento 2: Liikkeen kuvausta Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 8 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Määritelmiä: yleistetyt koordinaatit, virtuaaliset siirtymät Liike-energian lausekkeita erilaisille

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1 BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita

Lisätiedot

Shrödingerin yhtälön johto

Shrödingerin yhtälön johto Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike 2015-09-14 13:50:32 1/40 luentokalvot_03_combined.pdf (#36) Luennon

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti 13.12.2017 1. Jos r θ on paikkavektori, niin mitä ovat r θ, esitksiä r θ ja r θ? Kätä Karteesisen koordinaatiston T θ θ r < j < j zθ θ k k z ja / θ < j

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

(d) f (x,y,z) = x2 y. (d)

(d) f (x,y,z) = x2 y. (d) BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 2, Kevät 2017 Tässä harjoituksessa ja tulevissakin merkitään punaisella tähdellä sellaisia tehtäviä joiden tyyppisten osaamattomuus tentissä/välikokeessa

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Kurssiesite

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Kurssiesite KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Kurssiesite Menestyminen nykypäivän poikkitieteellisissä työtehtävissä vaatii vahvan ymmärryksen eri insinöörialojen perusteista. Mekaniikan perusteiden ymmärtäminen

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike

Luento 5: Käyräviivainen liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvassa leppäkerttu istuu karusellissa,

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

Lisätiedot

Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!

Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! 6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ

kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ 58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,,

Lisätiedot

2.7.4 Numeerinen esimerkki

2.7.4 Numeerinen esimerkki 2.7.4 Numeerinen esimerkki Karttusen kirjan esimerkki 2.3: Laske Jupiterin paikka taivaalla..2. Luennoilla käytetty rataelementtejä a, ǫ, i, Ω, ω, t Ω nousevan solmun pituus = planeetan nousevan solmun

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit).

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

BM30A0240, Fysiikka L osa 4

BM30A0240, Fysiikka L osa 4 BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

Vuorovaikutukset ja kappaleet

Vuorovaikutukset ja kappaleet Vuorovaikutukset ja kappaleet 2017 Tervetuloa kurssille! Fysiikan perusopintokokonaisuuden 1. kurssi Tarkoitettu opiskelijoille, jotka suorittavat vähintään 25 op fysiikkaa Suositellaan samaan aikaa Matemaattiset

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Johdanto. Kurssin tavoitteet Käytännön järjestelyt Suosituksia suorittamiseen

Talousmatematiikan perusteet: Johdanto. Kurssin tavoitteet Käytännön järjestelyt Suosituksia suorittamiseen Talousmatematiikan perusteet: Johdanto Kurssin tavoitteet Käytännön järjestelyt Suosituksia suorittamiseen Kurssin tavoitteet Matematiikkaa hyödynnetään monilla kauppa- ja taloustieteen osaalueilla Esim.

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot

Lisätiedot

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka

Lisätiedot

Jäykän kappaleen mekaniikkaa

Jäykän kappaleen mekaniikkaa Jäykän kappaleen mekaniikkaa 29. joulukuuta 2005 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Jäykän kappaleen mekaniikka 2 2.1 Pyörivä koordinaatisto...................... 2 2.2 Vakio Ω.............................. 3 2.3

Lisätiedot

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) 5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa

Lisätiedot

Varatun hiukkasen liike

Varatun hiukkasen liike Luku 15 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti

Lisätiedot

Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.

Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima. Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)

Lisätiedot

KJR-C1001: Statiikka L3 Luento : Jäykän kappaleen tasapaino

KJR-C1001: Statiikka L3 Luento : Jäykän kappaleen tasapaino KJR-C1001: Statiikka L3 Luento 27.2.2018: Jäykän kappaleen tasapaino Apulaisprofessori Konetekniikan laitos Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon (ja laskuharjoitusten) jälkeen opiskelija

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike

Luento 5: Käyräviivainen liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 http://presemo.aalto.fi/mekaniikka2017 Kysymys Sotalaivasta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

RTEK-2000 Statiikan perusteet. 1. välikoe ke LUENTOSALEISSA K1705 klo 11:00-14:00 sekä S4 klo 11:15-14:15 S4 on sähkötalossa

RTEK-2000 Statiikan perusteet. 1. välikoe ke LUENTOSALEISSA K1705 klo 11:00-14:00 sekä S4 klo 11:15-14:15 S4 on sähkötalossa RTEK-2000 Statiikan perusteet 1. välikoe ke 27.2. LUENTOSALEISSA K1705 klo 11:00-14:00 sekä S4 klo 11:15-14:15 S4 on sähkötalossa RTEK-2000 Statiikan perusteet 4 op 1. välikoealue luennot 21.2. asti harjoitukset

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset 31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita

Lisätiedot

Suhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää

Suhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää 3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :

Lisätiedot

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä? BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

53714 Klassinen mekaniikka syyslukukausi 2010

53714 Klassinen mekaniikka syyslukukausi 2010 53714 Klassinen mekaniikka syyslukukausi 2010 Luennot: Luennoitsija: Kurssin kotisivu: ma & to 10-12 (E204) Rami Vainio, Rami.Vainio@helsinki.fi http://theory.physics.helsinki.fi/~klmek/ Harjoitukset:

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 30.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinetiikka (Kirjan luku 17.5) Osaamistavoitteet Osata ratkaista voimia ja niiden aiheuttamia kiihtyvyyksiä tasoliikkeessä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot