Matematiika Lyhyt oppimäärä
|
|
- Armas Majanlahti
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 05-06 Lukion preliminääri Matematiika Lyhyt oppimäärä Preliminäärin saa pitää aikaisintaan torstaina. syyskuuta 05. Palautelomake löytyy osoitteesta Käyttöoikeus: Preliminäärin käyttöoikeus myönnetään oppilasryhmittäin (oppilasryhmä 6 oppilasta). Kokeen voi monistaa (koetta saa käyttää) seuraavasti: tilattu oppilasryhmä = maks 6 oppilasta tilattu oppilasryhmää = maks 7 oppilasta jne. MFKA-Kustannus Oy Asemamiehenkatu 4, 0050 HELSINKI puh sähköposti: mfka@mfka.fi
2 Preliminäärikoe Tehtävät Lyhyt matematiikka syksy 05 / 4 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Eräät tehtävät sisältävät useita osioita [merkittynä a), b) jne], jolloin kaikkien kohtien käsittely kuuluu tehtävän täydelliseen suorittamiseen.. Jokaiseen kohdan laskuun vaaditaan välivaiheita näkyviin. Pelkästä tuloksesta laskimella ei pisteitä. a) Laske lausekkeen arvo ( x ) (x + 5), kun x = 7. b) Sievennä (( x + ) ( x ) ): c) Sievennä Ratkaise yhtälöt. a) ( x 6) = b) x 4 = 8 c) ( x + ) = ( x + )( x ). a) Lääkäri on määrännyt potilaalle lääkekuurin. Reseptissä lukee, että kuuri sisältää XXVIII kappaletta tabletteja. Lääkettä otetaan kaksi tablettia kaksikertaa vuorokaudessa. Kuinka monta vuorokautta kuuri kestää? b) Toimit sairaanhoitajana. Potilaalle on määrätty lääkettä, jonka vahvuus on,4 mg/ml. Ohjeen mukainen annostus on 0 μg/kg/vrk. Lääkettä annetaan kerran vuorokaudessa. Kuinka monta millilitraa lääkettä pitää antaa 90 kg painavalle potilaalle? 4. a) Vuoden elintarvikkeen (Sadonkorjuupuuro, Fazer) tuoteselosteessa lukee, että yksi annos ( dl hiutaleita) sisältää rasvaa 4,4 grammaa. Mikä on tuotteen rasvaprosentti, kun 500 g pakkaus sisältää,5 annosta? b) Tavaratalon erikoispäiville tilataan erä tuotteita. Kauppias haluaa tuotteista 0 % voiton sisäänostohinnasta. Lisäksi hän mainostaa, että nämä erikoistuotteet myydään puoleen hintaan. Kuinka monta prosenttia tuotteen ns. normaalin myyntihinnan pitää olla suurempi kuin sisäänostohinta, jotta molemmat ehdot toteutuvat? MFKA/MAOL v 006
3 Preliminäärikoe Tehtävät Lyhyt matematiikka syksy 05 / 4 5. Laske kolmion ACD hypotenuusan pituus ja kolmion ABE kateettien pituudet. D E,0 cm A 4,0 cm B,0 cm C 6. Suorat y = x, y = x + 4 ja y = x + 4 rajaavat koordinaatistossa kolmion. Piirrä suorat koordinaatistoon. Laske suorien leikkauspisteet. Merkitse kaikkien suorien leikkauspisteet kuvaan. Laske muodostuneen kolmion pinta-ala hyödyntäen suorien leikkauspisteitä. 7. Korissa on sinisiä, valkoisia ja sinivalkoisia palloja yhteensä 4 kappaletta. Valkoista väriä on pallossa ja näistä palloista 75 % on kokonaan valkoisia. a) Määritä erilaisten pallojen lukumäärät. Korista nostetaan yhtä aikaa neljä palloa. Mikä on todennäköisyys, että b) kaikki pallot ovat sinisiä? c) kaikki neljä ovat sinivalkoisia? MFKA/MAOL v 006
4 Preliminäärikoe Tehtävät Lyhyt matematiikka syksy 05 / 4 8. On kaksi lukujonoa, joiden molempien. jäsen on. Ensimmäisen jonon peräkkäisten jäsenten erotus on 5. Toisen jonon peräkkäisten jäsenten suhde on 5. Laske molemmista jonoista 6 ensimmäisen jäsenen summa. Laske toisen lukujonon jäsenten summan suhde ensimmäisen lukujonon jäsenten summaan. 9. Piirrä koordinaatistoon jokin kaikkialla kasvavan funktion kuvaaja. Millaisia arvoja funktion derivaattafunktio saa, jos itse funktio on kaikkialla kasvava? Osoita, että funktio 5 f ( x) = x + x + on kaikilla muuttujan arvoilla kasvava. 0. Ympyräkartion korkeuden ja pohjaympyrän halkaisijan suhde on :. Kuinka moninkertainen kartion sivujana on verrattuna pohjan säteeseen? Määritä kartion vaipan pinta-alan lauseke pohjaympyrän säteen avulla. Laske sen avulla, kuinka suuri on tällaisen kartion tasoon avatun vaipan (s-säteinen sektori) keskuskulma asteen tarkkuudella.. Hopea-atomin (massaluku 06) massan määrä ajan funktiona on t f ( t) = 0,975 alkuperäinen massa, missä muuttujan t yksikkö on minuutti. Osoita funktion avulla, että ko. isotoopin puoliintumisaika on 4 minuuttia. Kuinka monta sekuntia kestää, että isotoopista on hajonnut 0 %?. Kuinka monta prosenttia (0, % prosentin tarkkuudella) lääkeriippuvuutta aiheuttavan lääkkeen annostusta on vähennettävä viikoittain, kun viikossa viikkoannos on saatava ehdottomasti alle 500. osaan alkuperäisestä viikkoannoksesta? Tämän jälkeen viikkoannosta ei enää pienennetä, mutta lääkettä otetaan vielä kaksi kertaa. Kuinka monta millilitraa lääkettä otetaan koko aikana yhteensä, kun ensimmäisen viikon viikkoannos on 500,0 ml?. Yliopiston pääsykokeen monivalintaosiossa on 60 kysymystä. Oikeasta vaihtoehdosta saa pisteen ja väärästä vaihtoehdosta saa pistettä. Tyhjästä saa 0 pistettä. Usean vuoden tilastojen perusteella on havaittu, että kokeesta saadut pistemäärät ovat likimain normaalisti jakautuneet. Mitkä ovat kokeen keskiarvo ja keskihajonta, kun tiedetään, että alle 45 pistettä saa 75, % kokeen tekijöistä ja alle pistettä saa 6, % kokeen tekijöistä. MFKA/MAOL v 006
5 Preliminäärikoe Tehtävät Lyhyt matematiikka syksy 05 4 / 4 4. Pekka ja Lotta neuvottelivat pankissa kymmenen vuotta vanhan asuntolainan ehdot uusiksi. Aikaisempi laina oli tasaerälaina. Nyt heidän taloudellinen tilanne on kohonnut, joten he päätyivät tasalyhennyslainaan. Lainan pääoma on nyt euroa. Pankin viitekorko on 6 kk:n euribor (sopimuspäivänä 0,07 %) ja korkomarginaali,5 %. Lainan kuukausittainen maksuerä oli korko euron lyhennys. Mikä on heidän viimeisen maksuerän suuruus? Kuinka paljon he maksavat lainasta yhteensä korkoa? 5. a) Pisteen A(6, ) paikkavektorin a ja pisteestä B(0, 4) alkavan vektorin b = 4i t j pistetulo on 6. Laske vektoreiden välinen kulma. π b) Erään aurinkoisen kevätpäivän lämpötila noudatti funktiota f ( x) =,5cos ( x + 8) +, missä muuttuja on tunteja keskiyöstä ja muuttuja on ilmaistu radiaaneissa. Mitkä olivat vuorokauden maksimi ja minimilämpötilat. MFKA/MAOL v 006
6 Preliminäärikoe RATKAISUT Lyhyt matematiikka syksy 05 / 9. RATKAISU: a) ( x ) (x + 5) = x x 5 = x 7 = -(-7) - 7 = 7-7 = 0 sievennys ja TAI oikea sijoitus ja oikea tulos sijoitus + tulos b) ( x + ) ( x ) ( ) x + x + = = = : sulkeiden poisto ja kokonaisuuden jakaminen kakkosella, josta oikea tulos c) = = : 5 = = kun tunnettu merkinnät 5 =, 5 = ja 5 = 5, niin 5 murtoluvuilla laskeminen. RATKAISU: a) b) ( x 6) = x = x = 5 x = 5 x 4 = 8 sulkeiden poisto ja ratkaisu x = ± 4 x = ± 8 positiivinen ratkaisu ja negatiivinen ratkaisu v 006
7 Preliminäärikoe RATKAISUT Lyhyt matematiikka syksy 05 / 9 c) x ( x + ) + x + = x = ( x + )( x ) x = x = sulkeiden poisto ja ratkaisu. RATKAISU: a) tabletteja yhteensä XXVIII kpl eli 8 kpl vuorokaudessa otetaan 4 tablettia 8:4 = 7 V: 7 vrk b) yksikön muunnos,4 mg = 400 µg tai 0 µg = 0,0 mg p 90 kg painavalle potilaalle annetaan lääkettä 90 0 = 800 (µg) joka millilitroina on 0, V: 0,75 ml 4. RATKAISU: 500g a) Yksi annos painaa = 40g.,5 TAI koko paketissa on rasvaa,5 4,4g = 55g. 4,4 55 Tuotteen rasvaprosentti on = = 0, V: % b) Ostohinta a voitto 0,a Normaalihinta b = ( a + 0,a) =,4a,4a a Normaalihinta on =, 4 kertainen eli a 40 % suurempi kuin sisäänostohinta v 006
8 Preliminäärikoe RATKAISUT Lyhyt matematiikka syksy 05 / 9 5. RATKAISU: Hypotenuusa AD (= x) saadaan Pythagoraan lauseella. x = ( 4 + ) +. josta x = = 4 5, 8095 V: AD on 5,8 cm. Kolmion ABE kateetit saadaan verrannolla, kun on osoitettu kolmioiden yhdenmuotoisuus. Kun on mainittu, että kolmiot ovat yhdenmuotoiset. Kun yhdenmuotoisuus on osoitettu KK-lauseen avulla eli todettu että molemmissa kolmioissa on kaksi yhtä suurta kulmaa ja mainittu, että kulma A on yhteinen molemmille kolmioilla ja molemmissa kolmioissa on 90 asteen kulma. Merkitään BE = y ja AE = z. Tällöin saadaan verrannot 5 = = y z 4 4, josta 4 y = ja y =, V:, cm. 0 4 z = 0 ja z =, V:,4 cm. TAI Kulma CAD (=α) on tan α =, 5 o josta α 9,96. BE Sivu BE saadaan lausekkeesta sin α =, josta BE, AE Sivu AE saadaan lausekkeesta cosα =, josta AE, V:, cm V:,4 cm v 006
9 Preliminäärikoe RATKAISUT Lyhyt matematiikka syksy 05 4 / 9 6. RATKAISU: *Suorat piirretty oikein *Suorien y = x ja y = x + 4 leikkauspisteet laskettu oikein x = x + 4 4x = 4 x = y = * Suorien y = x ja y = x + 4 leikkauspisteet laskettu oikein x = x + 4 4x = x = y = *Kolmas leikkauspiste saadaan suoraan yhtälöistä (0, 4) *Leikkauspisteet merkitty kuvaan oikein *Kolmion pinta-alan voi laskea monella tapaa: laskulauseke esim. A(kolmio)= A(suorakulmio)-[A()+A()+A()] oikeat lukuarvot A( kolmio) = + + = 9 (,5 + +,5) = 9 5 = 4 v 006
10 Preliminäärikoe RATKAISUT Lyhyt matematiikka syksy 05 5 / 9 7. RATKAISU: a) sinisiä kpl valkoisia 0,75 = 9 kpl sinivalkoisia 9 = kpl b) P(kaikki 4 sinisiä) =P(. pallo sininen ja. pallo sininen ja. pallo sininen ja 4. pallo sininen) = = 0, V: 0,047 tai 0,05 c) P(kaikki 4 sinivalkoisia) =P(. pallo sinivalkoinen ja ja 4. pallo sinivalkoinen) 0 = 4 0 = V: nolla 8. RATKAISU: Ensimmäinen jono on aritmeettinen lukujono: a =, d = 5 ja a = + ( n ) ( 5) = 5n + 8 n a = = ( 7) 69 S6 = 6 = 6 = 55 Toinen jono on geometrinen lukujono: a =, q = 5 S 6 ( 5) = ( 5) = 7, ,6 0 Summien suhde on 7, = 8669 v 006
11 Preliminäärikoe RATKAISUT Lyhyt matematiikka syksy 05 6 / 9 9. RATKAISU: Kuvaaja Kuvaaja voi olla suora, pariton potenssifunktio tai paloittain määritelty funktio, joka ei ole vähenevä millään muuttujan arvolla. Derivoitavuutta ei tarvitse tässä kohtaa huomioida. Kaikkialla kasvavan funktion derivaattafunktion arvot ovat aina positiivisia tai nolla. f '( x) + 4 = 5x x 4 f '( x) = 0, kun 5x + x = 0, josta x (5x + ) = 0 ja tulon nollasäännöllä nollakohdat. x = 0, josta x = 0 5x 5x + = 0 = x = 5 Funktiolla on vain yksi nollakohta, Koska funktion kulkusuunta voi muuttua vain derivaatan nollakohdassa, niin lasketaan derivaattafunktion arvot nollakohdan molemmilta puolilta 4 f '( ) = 5 ( ) + ( ) = 8 ja ja, josta ei tule reaalisia nollakohtia. 4 f '() = 5 + = 8 eli derivaatan arvot ovat positiivisia muualla kuin kohdassa x = 0, jossa 5 derivaatan arvo on nolla, niin itse funktio f ( x) = x + x + on kaikilla muuttujan arvoilla kasvava. v 006
12 Preliminäärikoe RATKAISUT Lyhyt matematiikka syksy 05 7 / 9 0. RATKAISU: Sivujana s: ( ) s = r + r = 0r, josta s = 0 r Sivujana on tällöin 0 r = r 0, kertainen pohjan säteeseen verrattuna. Vaipan pinta-ala on = π r s A v = π r 0 r = 0 π r Keskuskulma: α A v = π s = π r s 60 o α π ( r 0) = 0 π r, josta o 60 α 0 π r == o 60 0π r ja α = o 60 0 o 4 0. RATKAISU: merkitään alkuperäistä massaa kirjaimella a. 4 f (4) = 0,975 a = 0, a eli alkuperäisestä massasta on jäljellä puolet, joten puoliintumisaika on 4 min. + Kun isotoopista on hajonnut 0 %, niin sitä on jäljellä 90 % t Saadaan yhtälö 0,975 a = 0,9a, jonka ratkaisu on lg( 0, 9 ) t =, 6478 (min) lg( 0, 975) V:, s = 8, s 9s v 006
13 Preliminäärikoe RATKAISUT Lyhyt matematiikka syksy 05 8 / 9. RATKAISU:. RATKAISU: Muutoksia eli vähennyskertoimella kertomisia on kpl. Kun on kulunut viikkoa ensimmäisestä annoksesta, otetaan. annos. Viikoittainen vähennys saadaan yhtälöstä x a = a, josta 500 x = ± ± 0, Viikoittainen vähennysprosentti on tällöin 00 % 75,4% = 4,6% Viikkoannokset muodostavat geometrisen lukujonon. Lääkettä otetaan yhteensä S = S + a eli 0,754 S = ,754 0,754 S = 09,447+, ,45486 V: 0 ml Kokeen pistemäärä x ~ N( x, s) Tiedetään, että P( x < 45) = 0, 75 eli Φ( z ) = 0, 75. Taulukosta saadaan, että Lisäksi tiedetään, että P( x < ) = 0, 06 eli Φ( z ) = 0,06 = 0, 97. Taulukosta sekä symmetrian avulla saadaan, että z =, 5. Normitetuista arvoista saadaan yhtälöpari 45 x z45 = = 0,68 s 45 x = 0,68s 45 x = 0,68s, josta ja edelleen. x x =,5 s + x =,5 s z = =,5 s Yhteenlaskulla saadaan =,s, josta s = 4, pistettä. x = 45 0,68 4,9... = 4, pistettä v 006
14 Preliminäärikoe RATKAISUT Lyhyt matematiikka syksy 05 9 / 9 4. RATKAISU: Vuotuinen korko 0,07 %+,5 % =, %,% Maksuerän korko = 0,% 5764 Maksukertoja = 05,58 06 kpl. 500 Viimeinen lyhennys = 64 (euroa), josta korko 64 0,00 = 0, 9 (euroa) Viimeinen maksuerä ,9 = 64,9 Ensimmäisen erän korko ,00 = 58, 04 (euroa) Toisen erän korko ( ) 0,00 = 57, 49 (euroa) Korot muodostavat aritmeettisen lukujonon, jossa a = 0,9, a = 58, ja d = 58,04 57,49 = 0, 55 0,9 + 58,5 S06 = 06 = 6,9 5. RATKAISU: a) Paikkavektori a = 6 i + j Pistetulo a b = ( t) = 6, josta t = 4 a = 6 + = 40 ja b = 4 + ( 4) = Vektoreiden välinen kulman o α = 6,4 cosα = 6, josta 40 π b) Funktion osan cos ( x + 8) arvot vaihtelevat ja välillä, joten funktion suurin arvo on f suurin ( x) =,5 +, =, 7 astetta ja pienin arvo on ( x) =,5 ( ) +, =, f pienin v 006
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
LisätiedotKoontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
Lisätiedot2. a- ja b-kohdat selviä, kunhan kutakuinkin tarkka, niin a-kohta 1 p b-kohta 1 p
LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 2.2.2018 RATKAISUT 1. a) 3,50 b) 56 c) 43300 km d) 15 e) 21.08 f) 23.9. kukin oikea vastaus a-kohdassa pelkkä 3,50 ilman yksikköä kelpuutetaan, samoin c-kohdassa pelkkä
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotA Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7
1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 6.3.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2019 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
LisätiedotÄänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016
Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan
LisätiedotB-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.
B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
Lisätiedot2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9
LisätiedotTestaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on
Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä
LisätiedotMAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014
0..0 MAOL-pistetsohje Matematiikka lht oppimäärä Kevät 0 Hvästä suorituksesta näk, miten vastaukseen on päädtt. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ..07 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty.
Lisätiedotderivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.
Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
Lisätiedot4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
LisätiedotClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)
LisätiedotMb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3
Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
LisätiedotPisteytyssuositus. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät
Lyhyen matematiikan pisteitysohjeet kevät 0 ver..0 Pisteytyssuositus Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 0..0 Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotOlkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
LisätiedotLYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE
LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 2.2.2018 A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan tilaan. Mikäli
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotRatkaisut. π π. Ratkaisu: a) Tapa I: Yhtälön diskriminantin D = a = 4 4a kyseisen funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.
Ratkaisut A. a) Sievennä (x ) (x )(x + ). 7 b) Laske ( ) π + sin( ). c) Ratkaise yhtälö (x 5x ) = 5. Ratkaisu: a) (x ) (x )(x + ) = 4x x + 9 (4x 9) = x + 8 + 7 b) ( ) π π + sin( ) = ( ) + sin( + π ) 5
LisätiedotSyksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Lisätiedot4 LUKUJONOT JA SUMMAT
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotAritmeettinen lukujono
Aritmeettinen lukujono 315. Aritmeettisen lukujonon kolme ensimmäistä jäsentä ovat 1, 4 ja 7. a) Mikä on jonon peräkkäisten jäsenten erotus d? b) Mitkä ovat jonon kolme seuraavaa jäsentä? a) d = 7 4 =
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
Lisätiedot4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
Lisätiedot5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
Lisätiedota) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x 2 = 7? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 5 4 x
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 01 Arkkitehtimatematiikan koe, 1..01, Ratkaisut (Sarja A) 1. Anna kohdissa a), b) ja c) vastaukset tarkkoina arvoina. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotMb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2
Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
Lisätiedot* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat
Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
LisätiedotClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
LisätiedotMAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.
MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan
Lisätiedot3 Määrätty integraali
Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue
LisätiedotOn olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin.
Rahoitusmuodot HUOM. Tässä esitetään vain teoriaa ja joitakin esimerkkejä. Enemmän esimerkkejä ja laskuja löytyy ratkaistuina EXCEL-tiedostosta "Rahoitusmuodot - laskut ja esimerkit", joka on MOODLESSA
LisätiedotGeometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio
Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun
Lisätiedot4 Polynomifunktion kulku
4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) Polynomi P() = 3 + 8 on jaollinen polynomilla Q() = 3, jos = 3 on polynomin P nollakohta, eli P(3) = 0. P(3) = 3 3 3 + 8 3 = 54 08 + 54 = 0. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q. b) Jaetaan
LisätiedotB. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
LisätiedotC. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 4.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka 4..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
Lisätiedot