Määrätyn integraalin sovellutuksia Pinta-ala ja tilavuus
|
|
- Juha-Pekka Siitonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 11. Määrätyn integraalin sovellutuksia Pinta-ala ja tilavuus 459. Laske sen rajoitetun alueen pinta-ala, jota reunustavat käyrät a) y 2 = 2x, x 2 = 2y, b) y = 0, y = tanx, y = cotx (0 x π 2 ), c) y = x2 4a, y = 8a3 4a 2 + x 2 (a 0), d) y = lnx, y = (lnx) 2. a) 4 3 ; b) ln2; c) (2π 4 3 )a2 ; d) 3 e Laske sen alueen pinta-ala, joka on ympyrän r = a sisäpuolella, mutta Bernoulli n lemniskaatan r 2 = 2a 2 cos2ϕ ulkopuolella. (2π/ )a Laske sen alueen pinta-ala, joka on ympyrän r = 6acosϕ sisäpuolella, mutta kardioidin r = 2a(1 + cosϕ) ulkopuolella. 4πa Laske ympyröiden r = acosϕ ja r = bsinϕ rajoittamien alueiden leikkauksen ala. 1 8 [πa2 + 2(b 2 a 2 )arctan a b 2ab] a-sivuisen neliön keskipisteestä piirille piirrettyjä säteitä jatketaan janalla, jonka pituus on ka. Jatkettujen säteiden loppupisteet muodostavat umpinaisen käyrän. Laske tämän rajoittaman alueen pinta-ala. (4 + 8k ln( 2 + 1) + πk 2 )a Tason ympyrärenkaassa on kiinteä säde OAB, missä O on ympyrärenkaan keskipiste, A sisemmän ja B ulomman reunaympyrän kehällä. Säde OP kiertää keskipisteen O ympäri siten, että se alussa yhtyy säteeseen OA, lopussa säteeseen OB ja sen pituus on kiertokulman ensimmäisen asteen polynomi. Missä suhteessa saatu käyrä ja jana AB jakavat ympyrärenkaan pinta-alan? (2a + b)/(a + 2b), missä a on sisäsäde, b ulkosäde Laske asteroidin x = acos 3 t, y = bsin 3 t reunustaman alueen pinta-ala.
2 3 8 πab Laske sykloidinkaaren x = a(t sint), y = a(1 cost), t [0, 2π], ja x-akselin reunustaman alueen pinta-ala. 3πa Laske tasokäyrän r(t) = (t 2 1)(i +t j) muodostaman silmukan pinta-ala Laske lieriöiden x 2 + y 2 = R 2, y 2 + z 2 = R 2 ja z 2 + x 2 = R 2 yhteisen osan tilavuus Laske sen kappaleen tilavuus, joka muodostuu seuraavan rajoitetun tasoalueen pyörähtäessä x-akselin ympäri: a) käyrien y = x 2 ja x = y 2 reunustama alue, b) {(x,y) x ]0,π/4[, 0 < y < tanx}, c) asteroidin x = acos 3 t, y = bsin 3 t reunustama alue, d) sykloidin kaaren x = a(t sint), y = a(1 cost), t [0, 2π], ja x-akselin reunustama alue, e) kardioidin r = a(1 + cosϕ) reunustama alue. a) 3π 10 ; b) π 32π 4 (4 π); c) 105 ab2 ; d) 5π 2 a 3 ; e) 8π 3 a Akselin suhteen symmetrinen paraabelin segmentti, jonka kanta on b ja korkeus h, pyörähtää kannan ympäri. Laske muodostuvan kappaleen, ns. Cavalieri n sitruunan tilavuus. 8π 15 bh Tasokuvio a) {(x,y) x [0,2π], 0 y 1 cosx}, b) {(x,y) x [1,3], 0 y (x 1)(3 x)} pyörähtää y-akselin ympäri. Laske syntyvän kappaleen tilavuus. a) 4π 3 ; b) 16π Olkoot a, b ja c positiivisia vakioita. Laske tilavuus kappaleelle {(x,y,z) x 0, y 0, z 0, z 2 a 2 bx cy}.
3 4a 5 15bc Kappaleen pohja on ympyrä, jonka säde on R. Jokainen kappaleen tasoleikkaus, joka on kohtisuorassa pohjaympyrän kiinteää halkaisijaa vastaan, on tasasivuinen kolmio. Laske kappaleen tilavuus. Hahmottele kuvio. 4R 3 / Tynnyrin korkeus on h, pohjaympyröiden säteet a ja keskikohdalta otetun poikkileikkausympyrän säde b. Laske tynnyrin tilavuus, kun sivulaudat kaartuvat paraabelin muotoisesti. πh 15 (3a2 + 4ab + 8b 2 ) Kappaleen vaakasuorat tasoleikkaukset ovat neliöitä, joiden kärjet ovat R-säteisen pallon pinnalla. Laske kappaleen tilavuus. Määräytyykö kappale yksikäsitteisesti eo. ehdoista? 8 3 R3 ; ei Jatkuvasti muuttuvan ympyrän keskipiste liikkuu täyden kierroksen pitkin ellipsiä b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2, sen taso on kohtisuorassa x-akselia vastaan ja se kulkee aina x-akselilla olevan pisteen kautta. Määritä liikkuvaa ympyrää peittävän kappaleen tilavuus. 8π 3 ab Suoran ympyrälieriön pohjan säde on r ja korkeus h. Pohjan erään halkaisijan kautta asetetaan kaksi tasoa, jotka sivuavat toista pohjaympyrää. Laske lieriön ja tasojen rajoittaman kappaleen tilavuus. (π 4 3 )hr Kahdella elliptisellä lieriöllä on yhteinen r-säteinen pohjaympyrä ja niiden toiset pohjaympyrät sivuavat toisiaan pisteessä, joka sijaitsee ensinmainitun pohjan keskipisteen kautta kulkevalla pohjatason normaalilla. Lieriöiden korkeus on h. Laske lieriöiden yhteisen osan tilavuus. 4 3 hr Funktion keskiarvo 479. Laske funktion f (x) = 1 2a + a 2x 2 keskiarvo välillä [a,b]. Millä muuttujan arvolla ξ funktion arvo on ko. keskiarvo?
4 1 2 ( 1 a + 1 b ); ξ = ab Laske funktion f (x) = x + 1 x keskiarvo välillä [1,4]. Millä muuttujan arvolla ξ funktion arvo on ko. keskiarvo? 20 9 ; ξ = ( ) Laske virran I(t) = I 0 sin(ωt) ja jännitteen E(t) = E 0 sin(ωt ϕ) tulon keskiarvo jakson pituisella välillä. 1 2 E 0I 0 cosϕ Laske funktioiden I 1 sin(ωt + α 1 ) ja I 2 sin(ωt + α 2 ) summan neliön keskiarvo jakson pituisella välillä. 1 2 (I2 1 + I2 2 ) + I 1I 2 cos(α 1 α 2 ) Kaarenpituus ja pyörähdyspinnan ala 483. Laske seuraavien käyränkaarien pituudet: a) y = x, x [0,1], b) y = lnx, x [ 3, 8], c) y = lncosx, x [0, π 4 ], d) y = 1 3 (3 x) x, x [0,3]. a) ln(2 + 5); b) ln 3 2 ; c) ln(1 + 2); d) 2 3. Laske pituus hyperbolisen spiraalin kaarelle r = 1/ϕ, ϕ [ 3 4, 4 3 ] ln Laske pituus logaritmisen spiraalin kaarelle r = e ϕ, ϕ [α,β]. 2(e β e α ) Laske asteroidin x = acos 3 t, y = asin 3 t koko pituus. 6a.
5 487. Laske sykloidin kaarenpituus: x(t) = a(t sint), y(t) = a(1 cost), t [0, 2π]. 8a Johda ellipsin kehän pituudelle lauseke a 2π 0 1 e 2 cos 2 t dt, missä a on ellipsin ison akselin puolikas ja e eksentrisyys. Integraalia ei voida laskea alkeisfunktioiden avulla Laske pituus ruuviviivankaarelle r(t) = acost i + asint j + bt k, t [0,2π]. 2π a 2 + b Laske väliä t [0,1] vastaava kaarenpituus, kun käyrä on a) r(t) = t 2 i +t 3 j, b) r(t) = t 3 i +t 2 j t k. a) 1 27 ( ); b) Johda kartion pinta-alan kaava pyörähdyspinnan alaa esittävästä integraalista Laske sen pinnan ala, joka syntyy, kun seuraava kaari pyörähtää x-akselin ympäri: a) y = x 3, x [0,3], b) y = 2px, x [0,a]. a) π 27 ( ); b) 2π 3 [(2a + p) 2ap + p 2 p 2 ] Ketjukäyrän y = acosh a x, x a, pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyy katenoidiksi kutsuttu pinta. Laske tämän ala. Hahmottele kuvio. π(sinh2 + 2)a Asteroidi x = acos 3 t, y = asin 3 t pyörähtää x-akselin ympäri. Laske syntyvän pyörähdyspinnan ala. 12π 5 a Sykloidin kaari x(t) = a(t sint), y(t) = a(1 cost), t [0,2π], pyörähtää x-akselin ympäri. Laske syntyvän pyörähdyspinnan ala.
6 64π 3 a Laske ellipsoidin x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /b 2 = 1 pinta-ala Laske ellipsin pyörähtäessä a) isoakselin, b) pikkuakselin ympäri muodostuvan ellipsoidin ala. Johda kummastakin pallon pinta-ala muodostamalla sopiva raja-arvo. ( 1 a) 2πab e 2 + arcsine ); b) 2πa ( e2 ln 1 + e ). e 2e 1 e Käyräteoriaa 498. Määritä käyrän r(t) = t i +t 2 j +t 3 k kaarevuus ja kierevyys käyräparametrin t funktiona. 1/R = 2(1 + 9t 2 + 9t 4 ) 1/2 (1 + 4t 2 + 9t 4 ) 3/2, 1/T = 3(1 + 9t 2 + 9t 4 ) Määritä ruuviviivan r(t) = a cost i + a sint j + bt k jokaisessa pisteessä kolmikanta {t, n, b}, kaarevuus, kierevyys ja kaarevuuskeskipiste. 1 t = a 2 + b ( asint i+acost j+bk, n = cost i sint j, b = 1 (bsint i bcost j+ak; 2 a 2 + b2 1 R = a a 2 + b 2 ; 1 T = b ) ( a 2 + b 2 ; b2 a cost, b2 a sint,bt Etsi käyrälle r(t) = e t i + e t j + 2t k parametriesitys, jossa parametrina on kaarenpituus mitattuna jostakin kiinteästä pisteestä. Laske kaarenpituuden suhteen derivoimalla käyrän tangenttivektori, päänormaalivektori ja sivunormaalivektori sekä näiden avulla kaarevuus ja kierevyys. Laske erityisesti kaarevuus ja kierevyys arvoa t = 2 vastaavassa pisteessä Laske sykloidin x(t) = a(t sint), y(t) = a(1 cost) kaarevuus parametrin t funktiona a sin(t/2). Olkoot a, b ja c vakiovektoreita. Laske käyrän r(t) = t 2 a +t b + c
7 kaarevuus ja kierevyys. Päättele, että kyseessä on tasokäyrä. Missä tasossa se sijaitsee? 503. Määritä kolmikanta {t,n,b} ja oskuloiva taso parabolisten lieriöiden x 2 = 2z ja y 2 = 2z leikkauskäyrän jokaisessa pisteessä Määritä oskuloiva taso parabolisten lieriöiden x 2 = 2az ja y 2 = 2bz leikkauskäyrän jokaisessa pisteessä. bx ay = 0 pisteissä (t, b/at,t 2 /(2a)); bx + ay = 0 pisteissä (t, b/at,t 2 /(2a)) Laske käyrän r(t) = (2t + 3)i + (3t 1)j +t 2 k kierevyys ja päättele tästä, että kyseessä on tasokäyrä. Missä tasossa käyrä sijaitsee? 0; 3x 2y = Partikkelin ratakäyrä olkoon ellipsi r(t) = 2 cost i + 3 sint j, missä t on aika. Laske partikkelin nopeus- ja kiihtyvyysvektorit. Hajota kiihtyvyysvektori rata- ja normaalikomponentteihin. Määritä ratanopeuden suurin ja pienin arvo Kappaleen ratakäyrä avaruudessa on r(t) = (t 2 1)i + (t 3 3t 2 )j + 5t k, missä t on aika. Laske partikkelin nopeusvektori, ratanopeus, kiihtyvyysvektori, ratakiihtyvyys ja normaalikiihtyvyys hetkellä t = 1. Mikä on tällöin radan kaarevuussäde? v = 2i 3j + 5k; v = 38; a = 2i; ratakiihtyvyys 4/ 38, normaalikiihtyvyys 2 17/ 19; R = 19 19/ Kappale kulkee ellipsirataa, jonka toisessa polttopisteessä on origo. Nopeus määräytyy siten, että napakulma kasvaa vakionopeudella ω. Laske kappaleen nopeusvektori ja ratanopeus ajan funktioina. Mikä on ratanopeus, jos ellipsiradan eksentrisyys on = 0, ts. kyseessä on ympyrärata? Tiedoksi ellipsin napakoordinaattiyhtälö 509. r = p 1 ecosϕ. Maapallon pinnalla kulkeva kappale lähtee liikkeelle päiväntasaajan ja nollameridiaanin leikkauspisteestä ja etenee
8 siten, että sen leveysaste ja pituusaste kasvavat vakionopeudella ω. Laske kappaleen ratanopeus (= nopeusvektorin itseisarvo) ajan funktiona. Piirrä tämän kuvaaja. (Valitse kuvaajassa ω = 1.) Minne kappale päätyy? 510. Tasokäyrä olkoon annettu muodossa y = y(x). Johda käyrän kaarevuudelle lauseke R = y (x) [1 + y (x) 2 ] 3/2. Tasokäyrä olkoon annettu napakoordinaattimuodossa r = r(ϕ). Johda kaarevuudelle lauseke 1 R = r2 + 2r 2 rr. (r 2 + r 2 ) 3/ Määritä kaarevuuden suurin arvo käyrällä a) y = x 3, b) y 2 = 2px, c) y = lnx. Määritä vastaavan kaarevuusympyrän keskipiste ja säde. Piirrä kuvio. a) Maksimi , keskipiste (± 2 5 4,± ); b) maksimi 1, keskipiste (p,0); c) maksimi p 2 3 3, keskipiste (2 2, 1 2 (ln2 + 3)) Määritä ellipsin akseleiden päätepisteisiin asetetut kaarevuusympyrät. Piirrä kuvio Lausu ellipsin b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 kaarevuus eksentrisen anomalian funktiona. Määritä kaarevuuden ääriarvot. 1/R = ab[(a 2 b 2 )sin 2 t + b 2 ] 3/2 ; maksimi a/b 2, minimi b/a Määritä kaarevuus käyrälle x y = (1 +t)ln(1 +t)dt ln(1 + x) /[1 + (1 + x) 2 (ln(1 + x)) 2 ] 3/ Määritä a siten, että funktion y = x a x + a
9 kuvaajan kaarevuussäde saa ääriarvon pisteessä (0, 1). Millainen ääriarvo on kyseessä? a = ±2; absoluuttinen minimi Laske kardioidin r = a(1 + cosϕ) kaarevuus napakulman ϕ funktiona a cos(ϕ/2). Tutki logaritmisen spiraalin r = Ce kϕ kaarevuutta. Osoita, että käyrän piste, kaarevuuskeskipiste ja origo muodostavat suorakulmaisen kolmion. Piirrä kuvio. 1/R = 1/(Ce kϕ 1 + k 2 ) Yhtälö x y = y x määrittää pisteen (2,4) ympäristössä funktion y = f (x). Laske f (2) ja f (2). Laske funktion kuvaajan kaarevuus em. pisteessä. f (2) = (ln2 1) 2ln2 1, f (2) = 12ln2 4(ln2)2 6 (2ln2 1) 3, 1 R = 12ln2 4(ln2) 2 6 [20(ln2) 2 36ln2 + 17] 3/2. Määritä käyrän y 3 xy 2 + x 2 y = 1 kaarevuus pisteessä, jossa x = 1. Piirrä kuvio
MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5
Lisätiedot235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti
8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.
Lisätiedot( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotVektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
Lisätiedotcos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.
LisätiedotPitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.
Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja
LisätiedotHyvä uusi opiskelija!
Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Tekniikan kieli on matematiikka. Matematiikka tarjoaa perustan tekniikan opiskelulle ja soveltamiselle
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
Lisätiedotx (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1
BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita
Lisätiedot3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.
KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
Lisätiedot14. Pyörteettömät ja lähteettömät vektorikentät; potentiaali
4. Pyörteettömät ja lähteettömät vektorikentät; potentiaali 4.. Lähdekenttä ja pyörrekenttä 407. Vektorikenttä määritellään lieriökoordinaateissa asettamalla u(ρ,ϕ,z) = z 2 + (ρ ) 2 e ϕ. Kuvaile, millainen
LisätiedotMATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi
MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi Harjoitustehtäviä, syksy 00. Määrää kompleksiluvun a) = 3 j + 3j, b) = j, + j c) = ( 3 3 3 j)( j) itseisarvo ja argumentti.. Määrää sellaiset reaaliluvut x ja y, että
Lisätiedot2 x 5 4x + x 2, [ 100,2].
7. Derivaatan sovellutuksia 7.1. Derivaatta tangentin kulmakertoimena 6. Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x + ax + b ja y = cx x sivuavat toisiaan pisteessä (1,). a = 0, b =, c = 4. 6. Määritä
Lisätiedot3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.
Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman
Lisätiedot1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat
1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset
Lisätiedot1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotLUENTO 3: KERTAUS EDELLISELTÄ LUENNOLTA
LUENTO 3: KERTAUS EDELLISELTÄ LUENNOLTA Kahden kappaleen suhteellisen liikkeen yhtälö: R m 2 R = µ R r 3 jossa µ = G(m 1 + m 2 ) Liikeyhtälön integraalit m 1 R 1 R 2 k = R R suhteellisen liikkeen imp.mom/massayksikkö
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
LisätiedotTodista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f,
7. Taso- ja avaruusintegraali 7.1. Tasointegraalin määrittely 205. Tarkastellaan funktiota f (x,y) = x+y neliössä {(x,y) 0 x 1, 0 y 1}. Neliö jaetaan suorilla x = a ja y = b neljään osasuorakulmioon; 0
Lisätiedot4 (x 1)(y 3) (y 3) (x 1)(y 3)3 5 3
. Taylorin polynomi; funktion ääriarvot.1. Taylorin polynomi 94. Kehitä funktio f (x,y) = x 2 y Taylorin polynomiksi kehityskeskuksena piste ( 1,2) a) laskemalla osittaisderivaatat, b) kirjoittamalla muuttujat
LisätiedotTekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi
2. OSA: GEOMETRIA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Montako tasokuviota voit muodostaa viidestä neliöstä siten, että jokaisen neliön vähintään
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
LisätiedotDifferentiaalilaskennan tehtäviä
Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
Lisätiedot30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.
RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20
LisätiedotToisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia
10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45
LisätiedotAloita A:sta. Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan.
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
Lisätiedot5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.
5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotOsoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotFunktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
Lisätiedotd Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
Lisätiedotx = sinu z = sin2u sinv
9. Toisen asteen käyrät ja pinnat 9.1. Käyrän ja pinnan käsitteet 371. Piirrä seuraavat käyrät: { x = cos3t a) y = sin5t, t [0,2π], b) x = cost t y = sint t, t 0. 372. Lausu napakoordinaattikäyrät a) r
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotMAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
Lisätiedot(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2.
Derivaatta kuvaa funktion hetkellistä kasvunopeutta. Geometrisesti tulkittuna funktion derivaatta kohdassa x 0 on funktion kuvaajalle kohtaan x 0 piirretyn tangentin kulmakerroin. Funktio f on derivoituva
LisätiedotXXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut
XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnedinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua Lopullisessa arvostelussa
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotTutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3
2. Reaaliarvoiset funktiot 2.1. Jatkuvuus 23. Tutki funktion f (x,y) = xy x 2 + y 2 raja-arvoa, kun piste (x,y) lähestyy origoa pitkin seuraavia xy-tason käyriä: a) y = ax, b) y = ax 2, c) y 2 = ax. Onko
LisätiedotDerivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen.
Derivaatta Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Määritelmä Funktio f : A C on derivoituva pisteessä z 0 A jos raja-arvo (riippumatta
LisätiedotSIS. Vinkkejä Ampèren lain käyttöön laskettaessa magneettikenttiä:
Magneettikentät 2 SISÄLTÖ: Ampèren laki Menetelmän valinta Vektoripotentiaali Ampèren laki Ampèren lain avulla voidaan laskea maneettikenttiä tietyissä symmetrisissä tapauksissa, kuten Gaussin lailla laskettiin
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
Lisätiedotf x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.
13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotKoordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta
Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
Lisätiedot* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat
Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotKäyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa
Solmu 3/2008 1 Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Georg Metsalo georg.metsalo@tkk.fi Tämä kirjoitus on yhteenveto kaksiosaisesta esitelmästä Maunulan yhteiskoulun matematiikkapäivänä
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotMAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste
MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.
LisätiedotDIFFERENTIAALIYHTÄLÖN NUMEERISESTA RATKAISEMISESTA 2 1,5 0,5 -0,5 -1,5-2
Differentiaaliyhtälön numeerisesta ratkaisemisesta Olkoot D R 2 alue ja r, f, g : D R jatkuvia funktioita. Differentiaaliyhtälön y r(x, y) suuntaelementtikenttä on kuvaus D R 2, (x, y) (, r(x, y)). Suuntaelementtikenttä
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa
Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotYmpyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
Lisätiedotmonissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä.
.. Käänteisunktio.. Käänteisunktio Mikäli unktio : A B on bijektio, niin joukkojen A ja B alkioiden välillä vallitsee kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus eli A vastaa täsmälleen yksi y B, joten myös se
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotIntegroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
LisätiedotMatemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.
Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys
LisätiedotSuora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},
Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedot2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö
2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a
LisätiedotPinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali
Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
LisätiedotKompleksiluvut Kompleksitaso
. Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.
LisätiedotEllipsit, hyperbelit ja paraabelit vinossa
Ellipsit, hyperbelit ja paraabelit vinossa Matti Lehtinen 1 Ellipsi, hyperbeli ja paraabeli suorassa Opimme lukion analyyttisen geometrian kurssilla ainakin, jos kävimme lukiota vielä muutama vuosi sitten
LisätiedotA Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7
1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ
LisätiedotYLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
Lisätiedotx n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi
LisätiedotJakso 3: Dynamiikan perusteet Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko 5.8.2015.
Jakso 3: Dynamiikan perusteet Näiden tehtävien viimeinen palautus- tai näyttöpäivä on keskiviikko 5.8.2015. Tässä jaksossa harjoittelemme Newtonin toisen lain soveltamista. Newtonin toinen laki on yhtälön
Lisätiedot