2.1 Palkin taipuma, kiertymä ja käyristymä. P y Q

Transkriptio

1 . Palkin taipuma. Palkin taipuma, kiertymä ja käyristymä P Q y u, ( ) P y Q j = arctan y, j y sinj Kua.: Palkin deformaatio Tarkastellaan kuaa 4.. Palkin akselin pisteen P pystysiirtymää ( ) kutsutaan palkin taipumaksi ja palkin deformoitunutta akselia, jonka yhtälö on = ( ), palkin taipumaiiaksi. Palkin akselia astaan kohtisuoran janan PQ kiertymiskulmaa j ( ) deformaatiossa kutsutaan palkin normaalikiertymäksi tai lyhyesti kiertymäksi. Teknisessä taiutusteoriassa j (kuan.) on myös palkin akselin kiertymä, joten sillä on lauseke j ( ) = arctan ( ). (.) Tämä lauseke ilmaisee siis palkin kiertymän ja taipuman yhteyden. Kuan. perusteella saadaan palkin yleisen pisteen Q aksiaaliselle siirtymälle (aakasiirtymälle) lauseke u(, y) =- ysin j( ). (.) Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 67

2 j + Kua.: Kiertymään liittyää trigonometriaa Kuan. perusteella nähdään, että kiertymän sinille saadaan sin j( ) = ( ) + ( ). (.) Sijoittamalla tämä siirtymän lausekkeeseen (.) saadaan palkin aksiaalisen siirtymän ja taipuman yhteydeksi u(, y) =-y ( ) + ( ). (.4) Yleisen pisteen Q enymälle saadaan nyt u d é ( ) ù e(, y) = =-y ê ú d êë + ( ) úû é =-yê - ê ê + ( ) ë [ + ()] =-y [ + ()] ( ) ( ) ( ) ( )[ + ( ) ]- ( ) ( ) ù ú ú úû (.5) ja edelleen ( ) e(, y) =- y. [ + ()] (.6) Vertaamalla tätä edellä esillä olleeseen enymän lausekkeeseen e( y, ) = k( y ), (.7) Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 68

3 missä k ( ) oli palkin käyristymä, saadaan palkin käyristymän ja taipuman yhteyden yleiseksi lausekkeeksi ( ) k( ) =-. [ + ()] (.8) Edellä suorittamamme palkin deformaatiotarkastelun tuloksena saimme kiertymän ja taipuman yhteyden (.) ja käyristymän ja taipuman yhteyden (.8). Insinööritarkasteluissa oidaan useimmiten rajoittua pieniin rotaatioihin, mikä merkitsee sitä, että j <<. Tällöin j» tanj, jolloin palkin kiertymän ja taipuman yhteys (.) saa yksinkertaisen muodon j ( ) = ( ). (.9) Tällöin myös + = + j» ja käyristymän ja taipuman yhteys (.8) saa yksinkertaisen muodon k ( ) =- ( ). (.) Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 69

4 . Palkin ratkaiseminen differentiaaliyhtälöitä käyttäen. Palkin differentiaaliyhtälöt (a) Taiutusmomentin differentiaaliyhtälö staattisesti määrätylle palkille Kurssin alussa johdimme palkkialkion poikittaisen oimatasapainoyhtälön Q =- q (.) ja momenttitasapainoyhtälön Q=, (.) joiden yhdistelmänä saimme taiutusmomentin aulla ilmaistun palkkialkion tasapainoyhtälön =- q. (.) Yhtälö (.) on toisen kertaluun taallinen differentiaaliyhtälö taiutusmomentin ( ) määrittämiseksi. Sitä oidaan käyttää aihtoehtoisena menettelynä staattisesti määrätyn palkin taiutusmomentin määrittämisessä. Kun taiutusmomentti ( ) on ratkaistu, saadaan leikkausoima Q ( ) derioimalla kaaan (.) mukaisesti. (b) Taipuman differentiaaliyhtälö staattisesti määrätylle palkille ineaarisesti kimmoisen, homogeenisen palkin taiutusmomentin ja käyristymän yhteys oli = EIk Û k =. (.4) EI Sijoittamalla tähän taipuman ja käyristymä yhteys (.), saadaan yhtälö =-. (.5) EI Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 7

5 Jos taiutusmomentti ( ) on tunnettu tämä, on toisen kertaluun taallinen differentiaaliyhtälö taipuman ( ) määrittämiseksi. Koska staattisesti määrätyn palkin taiutusmomentti oidaan määrittää etukäteen, soeltuu tämä differentiaaliyhtälö staattisesti määrättyjen palkkien taipuman määrittämiseen. Kun taipuma ( ) on ratkaistu, saadaan kiertymä j ( ) derioimalla kaaan (.9) mukaisesti. (b) Taipuman differentiaaliyhtälö sekä staattisesti määrätylle että staattisesti määräämättömälle palkille Sijoittamalla taipuman aulla lausuttu käyristymä (.) taiutusmomentin ja käyristymän yhteyteen (.4) ja näin saatu taiutusmomentti edelleen tasapainoyhtälöön (.) saadaan yhtälö ( ) d d EI = q Û ( EI ) = q. (.6) d d Yhtälö (.6) on neljännen kertaluun taallisen differentiaaliyhtälö taipuman ( ) määrittämiseksi. Sen ratkaisuna saadaan palkin taipuman lauseke ( ) riippumatta siitä onko probleema staattisesti määrätty tai määräämätön. Tätä yhtälöä kutsutaan palkin taipuman differentiaaliyhtälöksi. Jos palkki on tasajäykkä ( EI = akio ), yhtälö (.6) saa yksinkertaisemman muodon (4) q =, (.7) EI missä (4) ( ) tarkoittaa taipuman neljättä deriaattaa. Jos tarkasteltaalle palkille halutaan määrittää taipuman ( ) lisäksi myös kiertymä j ( ), tautusmomentti ( ) ja leikkausoima Q, ( ) niille saadaan kaaat j = (.8) ja =- EI (.9) Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 7

6 Q = =- ( EI ) =- EI, (.) jossa iimeinen yhtäsuuruusmerkki on oimassa ain, jos palkki on tasajäykkä.. Reunaehdot Differentiaaliyhtälöiden (.), (.5) ja (.6) ratkaiseminen on yksinkertaista ja jätetään esimerkkien yhteyteen. Yhtälö (.) ja (.5) oat toista kertalukua ja niiden ratkaisussa tulee olemaan kaksi integrointiakiota. Yhtälö (.6) on neljättä kertalukua ja sen ratkaisussa on neljä integrointiakiota. Integrointiakioiden arot määräytyät probleeman reunaehtojen perusteella. Seuraaassa esitellään taallisimmat reunaehtotyypit:. Taipumalla ( ) on annettu aro palkin (jommassa kummassa) päässä =, jolloin reunaehto on ( ) =. (.) Taallisimmin palkin pää ei pääse painumaan, jolloin =.. Kiertymällä j ( ) on annettu aro j palkin päässä =, jolloin reunaehto on j( ) º ( ) = j. (.) Taallisimmin palkin pää ei pääse kiertymään, jolloin j =.. Taiutusmomentilla ( ) on annettu aro palkin päässä =, jolloin reunaehto on ( ) º- EI ( ) =. (.) nnettu taiutusmomentti on palkin päässä aikuttaa ulkoinen pistemomentti, jonka positiiinen suunta yhtyy ao. taiutusmomentin positiiiseen suuntaan. Jos palkin päässä ei aikuta ulkoista momenttia, ts. =, reunaehto saa muodon ( ) =. Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 7

7 4. eikkausoimalla Q ( ) on annettu aro Q palkin päässä =, jolloin reunaehto on Q( ) º- ( EI )( ) = Q. (.4) nnettu leikkausoima Q on palkin päässä aikuttaa ulkoinen pistekuorma, jonka positiiinen suunta yhtyy ao. leikkausoiman positiiiseen suuntaan. Jos palkin päässä ei aikuta ulkoista pistekuormaa, ts. Q =, reunaehto saa muodon ( EI )( ) = ja tasajäykän palkin tapauksessa edelleen muodon ( ) =. Tapaukset ja tuleat kysymykseen differentiaaliyhtälön (.5), yhteydessä, tapaukset ja 4 differentiaaliyhtälön (.) yhteydessä sekä kaikki tapaukset -4 differentiaaliyhtälön (.6) yhteydessä. Huomautus: Taallisimmin palkin pään koordinaatit oat = ja =, missä on palkin pituus. Kuassa. on esitetty taallisimmat palkin tuet ja niitä astaaat reunaehdot. Siinä on oletettu, että palkin tarkasteltaassa päässä ei aikuta ulkoista pistekuormaa eikä pistemomenttia. isäksi leikkausoimareunaehdossa Q = on otaksuttu, että palkki on tasajäykkä. uussa tapauksessa taipuman aulla esitetty reunaehto olisi ( EI = ). Nieltuki iukutuki Jäykkä Kiinnitys Vapaa pää = = Û = j = Û = Q= Û = = j = Û = = Û = Q= Û = Kua.: Taallisimmat tuet ja astaaat reunaehdot. Edellä tarkastellut reunaehtotapaukset oat kaikkein taallisimmat ja yksinkertaisimmat. Jos palkin tuki on joustaa, tuleat kysymykseen taallinen jousituki ja/tai kierrejousituki. Taallisen jousituen tukireaktiolla R ja palkin tuetun pisteen taipumalla ( ) on yhteys R= k ( ) (kua.4a), missä Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 7

8 k on jousiakio. Kun otetaan huomioon, että tukireaktiolla ja palkin tarkasteltaan pään leikkausoimalla on yhteys R=± Q ( ), missä ylempi merkki liittyy asempaan ja alempi oikeaan päähän, saadaan taallisen jousituen reunaehtoyhtälöksi ± Q ( ) = k ( ) Û m ( EI )( ) = k ( ) (.45) Kierrejousituen tukireaktiomomentilla T ja palkin tuetun pisteen kiertymällä j ( ) on yhteys T = kjj ( ) (kua.4b), missä k j on kierrejousiakio. Kun otetaan huomioon, että tukireaktiomomentilla ja palkin tarkasteltaan pään taiutusmomentilla on yhteys T = m ( ), missä ylempi merkki liittyy asempaan ja alempi oikeaan päähän, saadaan kierrejousituen reunaehtoyhtälöksi m ( ) = k j ( ) Û ± EI ( ) = k ( ). (.6) j j Kaaoissa (.5) ja (.6) siis ylempi merkki liittyy asempaan ja alempi merkki oikeaan päähän. (a) (b) ( ) k R R k j T T j( ) Kua.4: (a) taallinen jousituki ja (b) kierrejousituki. Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 74

9 . Hyppäysehdot Jos esimerkiksi palkin jossakin pisteessä sen taiutusjäykkyys muuttuu äkillisesti tai tässä pisteessä on niel, taipuman differentiaaliyhtälöllä on erilainen ratkaisu, jolla on eri integrointiakiot, tämän pisteen eri puolilla. Tällöin reunaehtojen lisäksi taritaan myös ns. hyppäysehtoja. Seuraaassa tarkasteltaan pisteen asemman ja oikean puoleisiin taipuman differentiaaliyhtälön ratkaisuihin liitetään alaindeksit ja o. Jos palkin taiutusjäykkyys muuttuu äkillisesti, hyppäysehdot oat ( ) = o( ) ü j( ) = jo( ) ý ( ) = o( ) Q( ) = Qo( ) þ (.7) (a) Q (b) Q o Qo Qo Kua.5: Hyppäysehtoja taiutusmomentille ja leikkausoimalle Kaksi ensimmäistä näistä ehdoista oat melko ilmeisiä ja kaksi iimeistä oidaan perustella kuan.5a apaakappalekuion aulla. Jos palkin tarkasteltaassa pisteessä on niel, hyppäysehdot oat ( ) = o( ) ü ( ) = ý o( ) = Q( ) = Qo( ) þ (.8) Toinen ja kolmas näistä ehdoista johtuat siitä, että taiutusmomentti nielen kohdalla on nolla, ja iimeinen oidaan perustella kuan 4.5b apaakappalekuion aulla. Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 75

10 Esimerkki.: ääritetään oheisen ulokepalkin leikkausoiman ja taiutusmomentin lausekkeet ratkaisemalla differentiaaliyhtälö (.). Ratkaisu: Tehtää on staattisesti määrätty, joten differentiaaliyhtälöä (.) oidaan käyttää. Koska palkilla ei ole jakautunutta kuormaa, q= ( ). Differentiaaliyhtälön ja sen ratkaisu: = Þ = Þ = + eikkausoima: Q= = Reunaehdot leikkausoimalle ja taiutusmomentille: Q() =-, () = Integrointiakiot: Q() º =- ü ì =- ý Þ í () º + = þ î = Taiutusmomentti ja leikkausoima: =-, Q=- Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 76

11 Esimerkki.: ääritetään oheisen ulokepalkin taipuman ja kiertymän lausekkeet sekä taipuma ja kiertymä pisteessä ratkaisemalla differentiaaliyhtälö (.5). EI =akio Ratkaisu: Taiutusmomentti (esimerkki.): =- Differentiaaliyhtälö ja sen ratkaisu: =- Þ = Þ = + Þ = + + EI EI EI 6EI Reunaehdot ja integrointiakiot: ü ì ( ) º + + = =- 6EI EI ý Þ í j( ) º ( ) º + = = EI þ î EI Taipuma ja kiertymä: = - + = [( ) - + ] 6EI EI EI 6EI j º = - = [( ) -] EI EI EI Taipuma ja kiertymä pisteessä : = () =, j = j() = EI EI Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 77

12 Esimerkki.: ääritetään oheisen ulokepalkin taipuman, kiertymän taiutusmomentin ja leikkausoiman lausekkeet ratkaisemalla differentiaaliyhtälö (.7). Ratkaisu: EI = akio Differentiaaliyhtälö ja sen ratkaisu: } (4) q (4) = Þ = Þ = Þ = + EI Þ = + + Þ = Kiertymä, taiutusmomentti ja leikkausoima integrointiakioiden aulla: j º = + + º- EI =- EI( + ) Q º =-EI Reunaehdot: ì ì Q() º- EI =- ü = EI = EI () º- EI( + ) = = = ( ) º = ýþí Þí = 6EI =- EI j( ) º ( ) º + + = þ + = 4 = îei î EI Taipuma kiertymä, taiutusmomentti ja leikkausoima: = - + = [( ) - + ] 6EI EI EI 6EI Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 78

13 j = - = [( ) - ] EI EI EI =- EI( + ) =- EI Q=- EI =- EI Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 79

14 Esimerkki.4: Oheista tasajäykkää ( EI = akio ), päistään jäykästi kiinnitettyä palkkia kuormittaa tasainen kuorma q. ääritetään taipuman lauseke, taiutusmomentti- ja leikkausoimakuiot, tukireaktiot sekä keskipisteen taipuma. q y, Ratkaisu: Tehtää on staattisesti määräämätön, joten ratkaistaan differentiaaliyhtälö (.7). Differentiaaliyhtälö ja ratkaisu: (4) q q q = Þ = + Þ = + + Þ EI EI EI q q = Þ = EI 4EI Integrointiakiot reunaehdoista: () º 4 = ü j() º () º = } } q 4 ( ) º = ý 4EI 6 } q j( ) º ( ) º = 6EI þ ì q ì q + 6 =- EI =- EI q q 6 Þí + =- Þ EI í = EI = = î = î4 = Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 8

15 Taipuma: q 4 q q q 4 = - + = ( - + ) 4EI EI 4EI 4EI Kiertymä: q q j = = - + = - + 4EI EI ( ) ( ) (4 6 ) ( ) Taiutusmomentti: q EI ( ) =- ( ) =- (6-6 + ) eikkausoima: q Q q ( ) = ( ) =- ( - 6 ) =- ( - ) Taiutusmomenttikuio: - q - q ( ) q 4 eikkausoimakuio: q + Q ( ) - q - Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 8

16 Valitaan tukireaktiooimien y ja positiiiset suunnat kuan mukaisesti: y sekä tukireaktiomomenttien ja q y y Tukireaktioille saadaan: q q y = Q = =- Q = (), y ( ), q q =- () =, =- ( ) = Keskipisteen taipumalle saadaan: 4 q = ( ) = 84EI Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 8

17 .4 Kärkisulkufunktiot Pakin differentiaaliyhtälöiden (.) ja (.6) oikealla puolella esiintyy jakautunut kuorma q ( ) ja differentiaaliyhtälön (.5) oikealla puolella esiintyy taiutusmomentti ( ). Näiden yhtälöiden ratkaiseminen onnistuu mukaasti, jos nämä funktiot oat jatkuia. Käytännön tehtäissä nämä funktiot oiat muuttua hyppäyksellisesti. Jakautuneen kuorman lisäksi palkin kuormitukseen sisältyy usein pistekuormia ja joskus myös pistemomentteja. (a) < - a> ( - a) º a (b) < - a> ( ) - a º -a a (c) < - a> ( -a) a (d) < - a> ( -a) Kua.6: Kärkisulkufunktiot n =, ja (d) n =. a n < - a>, kun (a) n =, (b) n =, (c) Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 8

18 Jotta oisimme esittää palkin kuorman tai taiutusmomentin käyttäen yhtä lauseketta q ( ) tai ( ), otamme käyttöön ns. kärkisulkufunktiot eli epäjatkuuusfunktiot, jotka oat kokonaislukueksponenteilla n arustettujen potenssifunktioiden ( - a) n, eräänlainen yleistys. Kärkisulkufunktiot ei-negatiiisilla eksponentin n aroilla määritellään seuraaasti, kun n ì - < < a < - a> = í ( n=,,,, K ). (.9) n î( - a), kun a< < Kua.6 esittää näitä funktioita eksponentin n aroilla,, ja. Voidaan helposti osoittaa, että näin määritellyn funktion integraalifunktio on n+ n < - a> ò< - a> d= +, ( n=,,,, K ). (.) n+ Kärkisulkufunktiot oidaan laajentaa negatiiisille eksponentin n aroille (tässä taritsemme ain eksponentin n aroja - ja - ) määrittelemällä, että ne oat funktioita, joiden integraalifunktio on n n ò < - a> d=< - a> + +, ( n=-, -). (.) On tärkeää huomata, että integrointikaaa (.) poikkeaa kaaasta (.) siinä, että integraalifunktion nimittäjä n + puuttuu. Kärkisulkufunktion integraalifunktio oidaan ilmaista yhdellä lausekkeella ò n < - a > d =í< - a> î n+ n+ ì< - a> + n=- - n+ (, ) + ( n=,,, K) (.) Vastaaasti kärkisulkufunktion lausekkeella n < - a> deriaatta, oidaan esittää Näitä funktioita kutsutaan matematiikassa acaulay n funktioiksi Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 84

19 n n- d < - a> ì< - a> ( n=-,) =í n- d în < - a > ( n =,,, K) (.) Kaaat (.) ei-negatiiisilla ja kaaat (.) positiiisilla eksponentin n aroilla oat analogiset funktion ( - a) n (ja erityisesti funktion n ) astaaien deriointi- ja integrointikaaojen kanssa. Tämä tiedon perusteella nämä kaaat on melko helppo muistaa. - Kaaan (.) perustella on < - a> = d < - a> / d. Kuasta.6a oidaan näin päätellä, että funktio < - a> - häiää kaikilla muuttujan aroilla paitsi pisteessä = a. Kaaan (.) perustella edelleen on - - < - a> = d < - a> / d ja myös funktio < - a> - häiää kaikkialla paitsi pisteessä = a. Näin negatiiisilla eksponentin aroilla kärkisulkufunktiot häiäät kaikilla muuttujan aroilla paitsi pisteessä = a. Piste = a on näille funktioille eräänlainen poikkeuksellinen eli singulaarinen piste, jossa funktion aro ei ole äärellinen. Kua.7 esittää, kuinka palkin kuormitukseen q ( ) oidaan kärkisulkufunktioiden aulla sisällyttää erilaisia palkkiin kohdistuia kuormia. Seuraaassa perustellaan, kuinka kuan.7 tulokset on saatu. Kuan.6a pohjalta on helppo todeta, kuan.7c tulos. Samoin kuan.6b pohjalta nähdään helposti kuan.7d tulos, kun armistetaan, että kuan.7d kaaa antaa q( ) = q. Seuraaaksi tarkastellaan kuan.7b tapausta. Yhtälöstä ja =- q saadaan taiutusmomentille ja yhtälöstä Q= edelleen leikkausoimalle =- < - > Þ =- < - > + Þ - a a =- < - a> + +, Q=- < - a> + (.4) Tämä merkitsee sitä, että taiutusmomentilla ja leikkausoimalla on juuri pisteen = a asemmalla puolella arot = a + ja Q = sekä juuri sen oikealla puolella arot o = a + ja Qo =- +. Näin taiutusmomentit oat yhtä suuret eli = o ja leikkausoimien erotus on Q - Qo =. Kuan.8a perusteella nähdään, että pistekuormalla, jonka suuruus on, on juuri tämä aikutus leikkausoimaan. opuksi Näitä funktioita kutsutaan matematiikassa singulaarisuusfunktioiksi Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 85

20 (a) a q( ) =- < - a> - (b) a q( ) = < - a> - (c) q a q( ) = q < - a> (d) a q q ( ) = -a < - > q a Kua.7: Palkin kuormituksen sisällyttäminen kuormaan q ( ) tarkastellaan kuan.7a tapausta. Yhtälöstä ja =- q saadaan taiutusmomentille ja yhtälöstä Q= edelleen leikkausoimalle = < - a> Þ = < - a> Þ = < - a> + +, Q= < - a> + (.5) Tämä merkitsee sitä, että taiutusmomentilla ja leikkausoimalla on juuri pisteen = a asemmalla puolella arot = a + ja Q = sekä juuri sen oikealla puolella arot o = + a + ja Qo =. Näin taiutusmomenttien erotus - o =- ja leikkausoimat oat yhtä suuret eli Q = Qo. Kuan.8b perusteella nähdään, että pistemomentilla, Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 86

21 jonka suuruus on, on juuri tämä aikutus taiutusmomenttiin ja leikkausoimaan. (a) (b) Q Q o o Q - - Q = Þ Q - Q = o o - + = Þ = o o Q o Q o Q - Q = Þ Q = Q o o = Þ - =- o o Kua.8: (a) Pisteoiman ja (b) pistemomentin aikutus taiutusmomenttiin ja leikkausoimaan Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 87

22 Esimerkki.5: ääritä oheisen palkin taiutusmomentin ja leikkausoiman lausekkeet ratkaisemalla differentiaaliyhtälö (.). a b Ratkaisu: Koska palkki on staattisesti määrätty, se oitaisiin helposti ratkaista statiikan keinoin. Tämä aihtoehtoinen ratkaisutapa antaa kuitenkin taiutusmomentille yhden lausekkeen ( ), jota oidaan suoraan käyttää taipuman määrittämiseen seuraaassa tehtäässä. Kuormitus (kua.7b): q( ) = < - a> - Differentiaaliyhtälö ja ratkaisu: - =-q Þ =- < - a> Þ =- < - a> + Þ =- < - > + + a Reunaehdot ja integrointiakiot: () º = ü ì b = } b ý Þ í ( ) º-( - a) + + = þ î = Taiutusmomentti ja leikkausoima: b =- < - a>+ = ( b -< - a> ) b Q= = -< - a> ( ) Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 88

23 Esimerkki.6: ääritä oheisen palkin taipuman lauseke ratkaisemalla differentiaaliyhtälö (.5), kun esimerkissä.5 saatu taiutusmomentin lauseke on käytettäissä. Palkki on tasajäykkä ( EI = akio ). a b Ratkaisu: Taiutusmomentti: ( ) = ( b -< - a> ) Differentiaaliyhtälö ja ratkaisu: b =- Þ =- ( b -< - a> ) Þ =- ( -< - a> ) + EI EI EI b Þ =- ( -< - a> ) + + 6EI Reunaehdot ja integrointiakiot: () º = ü ì = ab( + b) } b ý Þ í 6EI ( ) º- [ b -( - a) ] + + = 6EI þ î = Taipuma: b =- -< - > + + 6EI 6EI ab < - a> = ( ( + b) - b( ) + ) 6EI ( a ) ab ( b ) Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 89

24 Esimerkki.7: ääritä oheisen palkin taipuman ja taiutusmomentin lausekkeet ratkaisemalla differentiaaliyhtälö (.7). Palkki on tasajäykkä ( EI = akio ). Ratkaisu: a b Kuormitus (kua.7b): q( ) = < - a> - Differentiaaliyhtälö ja ratkaisu: (4) q (4) - = Þ = < - a> Þ = < - a> + EI EI EI Þ = < - a> + + Þ = < - a> EI EI Þ = < - a> EI 6 Kiertymä ja taiutusmomentti integrointiakioiden aulla: j º = < - > EI =- =- < - > - - a EI a EI EI Reunaehdot ja integrointiakiot: () º 4 =, ü () º- EI = Þ =, } b ( ) º ( - a) = ý Þ 6EI 6 } b j( ) º ( - a) = EI þ Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 9

25 = ü ì 4 b a =- + = EI + =- b 6 6EI b EI + =- Taipuma ja taiutusmomentti: = ý Þ í ab = 4EI þ î4 = a 4 ( ) = < - > EI 6 b a ab = < - a> - ( + ) + 6EI 6 EI 4EI = [ ab - b ( + a)( ) +< - a> ] EI =- < - a > -EI -EI b a =- < - > + + EI b a = [ ( + ) -< - a> ] a EI ( ). Palkkien taipumia, taiutusmomentteja ja muita siirtymä- ja oimasuureita Edellä esitetyillä periaatteilla oidaan saada monia käytännön kannalta tärkeitä ratkaisuja palkeille. Taulukossa. on esitetty joitakin sellaisia. lan oppikirjoista ja käsikirjoista on löydettäissä lisää. Taulukon. kaaat on lainattu minimaalisin muutoksin teoksesta: Hannu Outinen, Tapio Salmi, ujuusopin perusteet, Pressus Oy, 4, ss Kyseisen teoksen taulukko on huomattaasti taulukkoa. laajempi sisältäen 4 tapausta. Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 9

26 Taulukko.: Kaksitukisten palkkien siirtymä ja oimasuureita Tapaus Tukireaktiot ja taiutusmomentti Taipuma ja kiertymät tuilla = b b < - a> =- b ( ) = [ ] EI b ( ) =- < - a> b min = ( ) =- b = ma () = ( ) a b 6EI b - b j =- j = EI = = ( ) =- [ b( a+ ) - b+< - a> ] EI ( ) = < - a> b = = min = () =- ( a+ ) a b EI ma min b j = j = EI q = q =- q ( ) =- q min = ( ) =- q 4 q 4 () = [- 4 + ( )] 4EI 4 q ma = () = 8EI q j =- j = 6EI Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 9

27 Tapaus Tukireaktiot ja taiutusmomentti Taipuma ja kiertymät tuilla 4 b a = = ab < - a> ( ) = [ ( + b) - b( ) + ] ( ) = ( b 6EI -< - a> ) ab ma = a ( ) = EI ab a b ma = ( a) = ab ( + b) ab ( + a) j = j =- 6EI 6EI 5 a 6 b q =- =- ( ) =-( -< - a> ) a min = ( a) =- b ma = ( a) = = = q () = q [ -( )] ma = ( ) = q 8 b ( ) = [( - ) + ( ) - < - a> ] 6EI ab( b-a) a ( ) =- EI j = ( b - ) j = ( a - ) 6EI 6EI 4 q 4 () = [ - ( ) + ( )] 4EI 4 5 q ma = ( ) = 84 EI q j =- j = 4EI Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 9

28 Tapaus Tukireaktiot ja taiutusmomentti Taipuma ja kiertymät tuilla 7 ( ) = [ ab - b ( + a)( ) b a a a = ( + ) = [ -( ) ] EI + < - a> ] ab b = ( ) - a b a a a b = a ( ) = [- -( )] ( ) = - < - a> EI ab j = j = 4EI 8 b b ( ) = [ b( -) -b( -)( ) b b b b = ( - ) = ( - ) 4EI b b - < - a> ] a b = (- + ) ab = ( a) = [ (b- ) + a ( - b)] ( ) = + < - a> 4 EI b b j = ( - ) j = 4EI 9 4 q 5 = q = q q 4 () = [ - ( ) + ( )] EI 4 =- q 8 ma = (,45 ) =,546 q EI () = q [ - 4( )] q 8 j = j = 48EI 9 ma = ( ) = q 8 8 Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 94

29 Tapaus Tukireaktiot ja taiutusmomentti Taipuma ja kiertymät tuilla b ( a ) a ( b = + = + ) ( ) = [ ab ( ) - b ( + a)( ) 6EI ab ab +< - a> ] =-, =- ab a b ( ) = + - < - a> = a ( ) = EI ma = ( a) = a + - b j = j = 6 ab =- =- a b b = ( a - ) a =- ( b - ) ( ) = [ b ( a -)- 6 ab +< - a> ] q = = q = =- q () = q [ ( )] ma = ( ) = q 4 = -b a - + ab EI -< - a> ] ( ) [ ( )( ) ( ) ab = ( a) = ( b- a) EI j = j = 4 q 4 ( ) = [( ) - ( ) + ( ) ] 4EI 4 q ma = ( ) = 84EI j = j = Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 95

30 .4 Yhteenlasku- eli superpositioperiaate Yhteenlaskuperiaate on käytännöllinen apuäline palkin oima- ja siirtymäsuureiden määrittämiseen, erityisesti, jos on käytettäissä almiita ratkaisuja yksinkertaisille perustapauksille. Näitä löytyy alan oppi- ja käsikirjoita ja myös taulukosta.. Jos määritetään staattisesti määrätyn palkin oimasuureita, edellytetään, että siirtymät oat pieniä (geometrinen lineaarisuus). uussa tapauksessa edellytetään lisäksi, että palkki on lineaarisesti kimmoista materiaalia (fysikaalinen lineaarisuus). Tarkastellaan palkkia, jota kuormittaa kuormitus q, ( ) joka oidaan jakaa osakuormiksi q ( ), i=,, n, jolloin i n q( ) = å q ( ). (.6) i= i Olkoon ensin kysymyksessä staattisesti määrätty palkki, jonka osakuormista aiheutuat taiutusmomentit i( ), i=,, n tunnetaan. Näin ne toteuttaat differentiaaliyhtälöt i =- qi. askemalla nämä yhtälöt puolittain yhteen saadaan n n n =- q Þ ( ) =-q å å å i i i i= i= i= Koko kuormituksesta q ( ) aiheutua taiutusmomentti ( ) toteuttaa astaaasti differentiaaliyhtälön =- q. Vertaamalla iimeksi mainittuja yhtälöitä toisiinsa nähdään, että n ( ) = å ( ). (.7) i= i Kuormituksesta q ( ) aiheutua taiutusmomentti ( ) oidaan siis määrittää osakuormituksista qi ( ) aiheutuien taiutusmomenttien i( ) summana. Helposti nähdään, että tämä tulos koskee myös kaikkia muita staattisesti määrätyn palkin oimasuureita. Olkoon sitten kysymyksessä lineaarisesti kimmoinen joko staattisesti määrätty tai määräämätön palkki, jonka osakuormista aiheutuat taipumat Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 96

31 i ( ), i=,, n tunnetaan. Näin ne toteuttaat differentiaaliyhtälöt ( EI ) = q. askemalla nämä yhtälöt puolittain yhteen saadaan i i n n n ( EI ) = q Þ ( EI ( )) = q å å å i i i i= i= i= Koko kuormituksesta q ( ) aiheutua taipuma ( ) toteuttaa astaaasti differentiaaliyhtälön ( EI ) = qi. Vertaamalla iimeksi mainittuja yhtälöitä toisiinsa nähdään, että n ( ) = å ( ). (.8) i= i Kuormituksesta q ( ) aiheutua taipuma ( ) oidaan siis määrittää osakuormituksista qi ( ) aiheutuien taipumien i ( ) summana. Helposti nähdään myös, että tämä tulos koskee myös kaikkia muita palkin siirtymä- ja oimasuureita. Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 97

32 Esimerkki.8: Ratkaise superpositioperiaatetta ja taulukkoa. hyäksi käyttäen oheisen palkin taiutusmomentin arot pisteissä ja sekä taipuma pisteessä. Palkki on tasajäykkä ( EI = akio ). 4 4 D Ratkaisu: (a) Kuorma pisteessä : 4 4 D ( a) = ( ) = ( -< - > ) = ( a) = ( ) = ( -< - > ) = ( - ) = ( a) 4 4 = ( ) = [ ( + ) - ( ) + < - > ] 6EI = [ - + ] = 6EI EI (b) Kuorma pisteessä : 4 4 D Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 98

33 ( a) = ( ) = ( -< - > ) = ( a) = ( ) = ( -< - > ) = 4 ( b) = ( ) = [ ( + ) - ( ) + < - > ] = 6EI 48 EI Superpositioperiaate: ( a) ( b) 5 = + = + = ( a) ( b) = + = + = ( a) ( b) 7 = + = + = 768 EI 48 EI 768 EI Rak-54. Rakenteiden mekaniikan perusteet, luennot 99