Sisällys. Alkusanat. Alkusanat. Tehtävien ratkaisuja

Transkriptio

1

2 Sisälls lkusanat Tehtävien ratkaisuja Gemetria (M) Tasgemetria Klmin ratkaiseminen 9 Yhtenevs ja hdenmutisuus 7 varuusgemetria *Piirtäminen ja mallintaminen 6 Lisätehtäviä 0 nalttinen gemetria (M) Piste ja sura Tisen asteen käriä 66 Yhtälöitä ja epähtälöitä 79 Lisätehtäviä 88 pains 00 Paav Jäppinen, lp Kupiainen, Matti Räsänen ja Kustannussakehtiö Otava Taitt: Paav Jäppinen Kpiintiehdt: Tämä tes n pettajan pas/pettajan kirja Tes n sujattu tekijänikeuslailla (0/6) Tekstisivujen valkpiiminen n kiellett, ellei valkpiintiin le hankittu lupaa Tarkista, nk ppilaitksellanne vimassaleva valkpiintilupa Lisätietja luvista ja niiden sisällöstä antaa Kpist r, wwwkpistfi/ Teksen kaikkien kalvphjien ja kkeiden valkpiinti petuskättöön n sallittua, mikäli ppilaitksellanne n vimassaleva valkpiintilupa Teksen tai sen san digitaalinen kpiiminen tai muuntelu n ehdttmasti kiellett lkusanat Tämä aineist liitt pitkän matematiikan ppikirjaan Lukin alculus :een ja se n tarkitettu helpttamaan pettajan tötä ja npeuttamaan tehtäviin tutustumista ineist sisältää kurssien Gemetria ja nalttinen gemetria tehtävien ratkaisuja Lähes kaikkien tehtävien ratkaisut n esitett Mukaan ei kuitenkaan le tettu aivan kaikkein helpimpia tehtäviä, jissa harjitellaan vain käsitteiden kättöä ja jtka vat melk mekaanisia Sitä vastin kaikki sveltamista, analsintia tai tdistamista edellttävät tehtävät n ratkaistu Tehtävien ratkaisuihin n pritt liittämään sanallista selvitstä ja havainnllistavia piirrksia Tavitteena n, että mös ppilaat tttuvat esittämään tarpeelliset perustelut ja laatimaan vastauksensa niin, että siitä kä ilmi, miten ratkaisu n ajateltu Tämä edellttää usein juuri tädentävän sanallisen selvitksen ja selkeiden piirrsten kättöä Tammikuussa 00 Tekijät Painpaikka: Otavan Kirjapain O Keuruu 00 ISN

3 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja Tehtävien ratkaisuja Gemetria Tasgemetria Kulmat a) terävä/kvera b) kupera c) tlppä/kvera d) kupera 0 a) 0 b) 0 c) 67, (= 60 + ) a) α = 90 = 6, β = 90 = b) α = 80 = 7, β = 80 = 08 c) α = 60 =, β = 60 = 6 0 d) 7, ( = ) a) 90 b) 90 Phjiskillinen n phjisen ja killisen väli-ilmasuunta, ja vastaavasti itäkaakk n idän ja kaakn väli-ilmansuunta a) 90 gn = , 60 = 8 b) rad 0,07 rad 60 7, c) 00 piirua = 00 = 6 d) rad 7, = 00 gn 6,7 gn Kun tuntiviisari kiert kulman, minuuttiviisari kiert kulman Tuntiviisarin kiertmäkulma 6, saadaan htälöstä = Tämä kulman arv vastaa aikaa min s Osittimet vat näin llen khtisurassa kell :: 7 a) i) = +, 8 ii) 09 = , b) i) 0, = 60 0, = 6, ja 0, = 60 0, = 6 Siis, = 6 6 ii) 0,06 = 60 0,06 =, 6 ja 0,6 = 60 0,6 = 6, jten,06 = 6 Yhdensuuntaiset ja leikkaavat surat 8 a) α = 80 7 = 76 b) α = 88 + = 9 < ED = 9, < ED = 0, < DE = 9 0 Surat s ja r eivät le hdensuuntaisia, sillä klmen suran leikkauspisteessä 70 :n kulman vieruskulma n 0 eikä, mikä edelltettäisiin surien hdensuuntaisuudelta

4 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja a) Klmin klmas kulma n 80 (7 + 7 ) = 9 Tällöin α = 80 9 = Saatu tuls nudattaa leistä lausetta: Klmissa n kahden kulman summa htä suuri kuin klmannen kulman vieruskulma b) Klmin kulmat vat 0, 80 = 6 ja80 (0 + 6 ) = 0 Täl- löin α = 80 0 = 76 α =, β = 80, γ = 00, δ = 80 Pulitetaan kulma α ja sen vieruskulma β Kska α + β = 80, niin α β + = 90 Tämä merkitsee, että kulman α ja sen vieruskulman β pulittajat vat khtisurassa tisiaan vastaan Js kulman suuruus n α, kulman suuruus n 90 α Kuvin mukaan α 90 α = 80 ( + ) = 80 = = z = v ja = u = w Ristikulmat vat htä suuret Js kahden kveran kulman samannimiset kljet vat khtisurassa tisiaan vastaan, kulmat vat htä suuret 6 a) Kulma α n kaltevuuskulman suuruinen eli 7, sillä näiden kahden kveran kulman samannimiset kljet vat khtisurassa tisiaan vastaan b) Kulma α = (= 90 ), kska sen kmplementtikulman kljet vat khtisurassa kaltevuuskulman samannimisiä klkiä vastaan α 90 -α D 7 Kska u = α + 0 ja 0 < α < 0, niin 0 < u <80 u α 0 8 Merkitään α :lla tulevan säteen ja ensimmäisen peilin välistä kulmaa ja β :lla pistuvan säteen ja tisen peilin välistä kulmaa Peiliin tuleva ja siitä heijastuva säde mudstavat peilin kanssa htä suuret kulmat Kuvan merkintöjen mukaan γ = 80 α β = 80 α (80 0 α) = 80 α 00 + α = 80 β β γ 0 α α Mnikulmit 9 Vain klmissa ja nelikulmissa lävistäjien lukumäärä n pienempi kuin sivujen lukumäärä 0 a) b) c) d) e) 6 Ohessa n esimerkkikuva 8-kulmista, jssa n maksimimäärä suria kulmia

5 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja a) ( ) 80 = 0 b) Yhtälön ( n ) 80 = 00 ratkaisuna n = 7 c) Mnikulmin kulmien summa ei vi lla , sillä htälöllä ( n ) 80 = ei le kknaislukuratkaisua Kirjan esimerkin mukaan ksi -kulmin kulma n Kuvan merkintöjen perusteella α = = 6, jllin β = 08 α = 6 (00 ) 80 (000 ) 80 a) = 7,6 b) = 79, Kun sivuluku kasvaa rajatta, kulman suuruus lähest lukua 80 6 Kk lipun pinta-ala n 8 = 98 pinta-alaksikköä (pa) Siniristin pinta-ala = 78 pa n 00 % 9, % kk lipun pinta-alasta 98 7 Olkn neliön sivun pituus Ertetusta alueesta saadaan htälö = 8, jnka ratkaisu = n neliön sivu Neliön ala n tällöin (m ) 8 Pulisuunnikkaan mutisen tntin pinta-ala n 60 + =000 Yhtälö saadaan mutn = 0, jsta ratkaistaan sivun pituus = 0 (m) 9 Varjstetun alueen pinta-ala lasketaan vähentämällä pulisuunnikkaan alasta klmen klmin pinta-alat 8 = m m m m = 6 m 0 Olkn neliön mutisen tntin sivun pituus (m) Taln sivujen pituudet vat tällöin ja (m) Piha-alueen pinta-ala n = 00 Yhtälön ratkaisuna = 80 (m ) Tntin ala n 80 m n( n ) 6-kulmissa n 9 lävistäjää n-kulmissa n lävistäjää Jkaisesta kärjestä lähtee klme lävistäjää vähemmän kuin mnikulmissa n kärkipisteitä eli jkaisesta kärjestä lähtee (n ) lävistäjää Jkainen lävistäjä tulee mukaan kahteen kertaan, siksi jakajana n luku 08 α α β Yhden laatan pinta-ala n = cm = cm Merkitään ristin levettä kirjaimella Kk alueen pinta-ala n ( + ) = Yhtälö sievenee mutn = 0 Ratkaisuna, tai 7, Näistä vain edellinen kelpaa vastaukseksi Ristin leves n, cm cm cm cm cm

6 6 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja Ertettava pinta-ala (m ) n välillä 999 < < 6 00 Kska ,, ,60 ja , 66, n , 007 ja, ,006 Sivun pituus n mitattava 0,006 m:n eli 0,6 cm:n tarkkuudella Olkn hdensuuntaisten sivujen välinen etäiss, jka n samalla tisen hdensuuntaisen sivun pituus nnetuista ehdista saadaan htälö = 00 ja 8 + edelleen = 0 Ratkaisuista = 00 ja = vain jälkimmäinen kelpaa Yhdensuuntaisten sivujen välinen etäiss n m Kuvan merkintöjen mukaan ah =, 6 ja 7,0 bh = Näistä a,6 = Tisaalta saadaan b 7, 0 ah = ja, bh =, jista a = Kstt alue selviää htälöstä b,,6, = Tulksena n = 0,8 7,0 ha h h,6 a 7,0 b, h 6 Neljäkkään lävistäjät vat khtisurassa tisiaan vastaan, jllin tisen lävistäjän sat vat niiden klmiiden krkeusjanja, jihin tinen lävistäjä jakaa neljäkkään Kuvan merkintöjen l l( l ) l l mukaan neljäkkään ala n + = l - h l h Ymprä 7 Taimikkalueen säde r ratkaistaan htälöstä π r = m Tulksena n r =,8 m Näin llen aitaa tarvitaan π,8 m 70 m π 8 Yhden aluslevn pinta-ala n π cm π 0, Levjen hteinen massa n ,0006 m cm,6 cm,7 kg/m = 0,0006 6, kg m 9 Olkn d v srmuksen vanha halkaisija ja d u uusi halkaisija Saadaan htälö d u = d v, mittaksikkönä n millimetri Katkaistavan palan pituus n tällöin πd v πd u = πd v π( dv ) = πd v πd v + π = π (mm) Srmuksesta n pistettava millimetrin pala 0 Ratjen pituuksien er n πr πr = π( r r ) = 0 Tästä 0 r r = 8,0 (km) π

7 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 7 Merkitään mpröiden säteitä lhimmästä pisimpään kirjaimilla a, b ja c Yhtälöistä a + b =, 0; a + c = 7,0 ja b + c = 9,0 saadaan pienimmän mprän säteelle lukuarv, Pienimmän mprän ala n π, 7, (cm ) Tangentti n khtisurassa sädettä vastaan sen päätepisteessä Kska nelikulmin kulmien summa n 60, pätee htälö α + β =60, jsta α + β = 80 Keskuskulma O = 80 ( + ) = 0 Kstt kehäkulmat ja D vat tällöin 6 a) Kska kulmaa vastaava kehäkulma n 60 = 8, n kulma = 9 b) < = <D = 8 Kska tinen jänteiden leikkauspisteeseen mudstuneista kulmista n 80 9 = 87, saadaan htälö = 80, jnka ratkaisuna = c) D n mprän halkaisija, jten kulma D = 90 Näin llen < D = 90 8 = Saatu tuls n mös kulman asteluku Kuvin merkintöjen mukaan < O = α + α ja < OD = ( α + α ) Kun tisaalta < OD = β + β, saadaan β β α + α ( ) = β + β = + Ottamalla humin, β β että α =, nähdään väite α = ikeaksi 6 Keskuskulma n rad eli nin 7,, kun kaari n säteen pituinen Kaaren pituus saadaan kaavasta b α = 60 πr α Yhtälön r = πr ratkaisu antaa α:lle arvn , π 7 Mös säde pitenee 0 % Js alkuperäinen säde n r, uusi säde n,r, ja uusi pintaala π, r =,69 πr Pinta-ala n kasvanut 69 % α α β α β D O β 8 Jaetaan kstt alue neliön lävistäjällä kahtia Pulikkaan ala saadaan, kun 90 :n sektrin alasta vähennetään surakulmaisen klmin ala Kstt ala n π ( ) cm = ( 7π ) cm 8, cm r 9 Sijittamalla annettuun kaavaan h = r ja k = r saadaan = 9 Tällöin virhe pr- sentteina n 9r πr ( ) 00 % 0,8 % πr

8 8 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja π r 0 Ympräneljänneksen reunaviiva mudstuu kaaresta ( ) ja kahdesta säteestä (r ) πr 00 nnetuista tiedista mudstetaan htälö + r = 00, jsta r = Ympräneljänneksen pinta-ala n = = ( ) 66 (cm ) + π πr 00 π + π neliö = (r) = r,, = ( π) r ( π) r π r Hukkasuus = = 0, =, % r r r neliö r = ( ) ( π) r Hukkasuus = r = r r neliö = (8 ) = r Jatk kuten edellä mp,, mp = πr hukka r = π( ) = πr, π = 0, =, % mp r = 6π( ) = πr hukka = ( π) r Merkitään = mprän segmentit hteensä ja = neliön nurkkasat hteensä Tiedetään, että = Kun neliöön lisätään mprän segmentit ja saadusta summasta vähennetään mprä, saadaan neliön nurkkasat eli 8 r =, (cm) π 6 + πr = Tästä 6 r = ja π r Kska tangenttikulman kljet (kärkipisteestä sivuamispisteisiin luettuina) vat htä pitkät, saadaan kuvin merkinnöin D + = a + d + b + c = a + b + c + d ja + D = a + b + c + d a a D d d b b c c Merkitään surakulmaisen klmin kateetteja a:lla ja b:llä Lasketaan pulikuiden aljen summa a b ab ( a + b ) ab π + π + π = { 8 { 8 { 8 pulimprän pulimprän klmin a b pulimprän pinta-ala pinta-ala pinta-ala pinta-ala a + b

9 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 9 Klmin ratkaiseminen Surakulmainen klmi Tehtävä ratkaistaan testaamalla, tteuttavatk annetut luvut Pthagraan htälön a) ei le b) n c) ei le 6 Krkeus n 0, 8,, 8 (m),0, 8 Klmin krkeus n,0 6,, (cm) la n cm 87, 9 cm 9 Lev ei mahdu auksta kknaisena, sillä viaukn lävistäjä n, cm, ja se n pienempi kuin levn lhin sivu (0 cm) 60 Tikkaiden pituus n 6 +, 6, (m) Varastn etäiss tikkaiden alapäästä n 6,,7 (m) Rakennusten väli n, m +,7 m = 6, m 6 Lhemmän sivun pituus n , 8 (m) Näin llen pinta-ala n ,8 0 = 70 (m ) 6 Lhemmän kateetin pituus n 6, cm = 8, cm ja pitemmän kateetin 8, cm, cm Pinta-ala n tällöin 8, 8, cm 8, cm 0,6 cm () ( ) 60 () 6 Saadaan htälö =,, jnka ratkaisuna = 7, Neliön piiri n 0, (cm) ja pinta-ala = (, 7 ) 0 (cm ), cm 6 a) = sin0 0,0 (m); = cs0 8, (m) b) = 80 cs 0 76 (m); = 80 sin 0 (m) 6 c) = 6 cm; = 6 (cm) Tinen tapa laskea : = cs, jsta = 6 cs (cm) d) = 0 sin 66, 7 (cm); = 0 cs 66, 60 (cm) 6 Krkeus n 87,6 7, 8, (mm) Kantakulmalle α saadaan htälö 7, cs α =, jsta α 7,0 Huippukulma β 80 7,0 = 6,0 87,6

10 0 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 70 m 66 Havaintjen välillä kne lensi 0s = 0 000,6 s m = 0 km Krkeus (h) saadaan htälöstä h = 0 tan 0,8 (km) 67 nnettujen tietjen perusteella mudstuu surakulmainen klmi, jnka pidempi kateetti n 6 (km) ja viereinen kulma 0 Veneen etäisden majakasta ilmaisee lauseke 6 tan 0, (km) 6 km 0 68 Kuvan merkintöjen mukaan = 70 tan, 70 tan, =, jsta 0 Laiva n 0 metrin etäisdellä, 70 m 69 Olkn D neljäkäs ja E sen lävistäjien leikkauspiste Neljäkkään lävistäjät pulittavat tisensa ja vat khtisurassa tisiaan vastaan D Olkn E = ja E = Surakulmaisessa klmissa E n + ( ) = eli =, jsta E = Neljäkkään ala n = = 0 (cm ) 70 Surakulmaisen klmin hptenuusa n mprän halkaisija Tisen kateetin pituus r r r r saadaan Pthagraan lauseella Klmin pinta-ala n = 8 r πr Klmin ulkpulinen suus mprän alasta n 00% 8,6% πr 7 Olkn pis leikattavan san krkeus Se n tisena kateettina surakulmaisessa klmissa, jssa hptenuusana n sa auringn säteestä Kska suunnikkaan vastakkaiset sivut vat htä pitkät, tinen kateetti n m Saadaan m = tan, jsta = tan m, m m m 7 Saadaan kaksi tapausta: Kateettien pituudet vat ja + tai kateettien pituudet vat ja + ) Pthagraan lauseen mukaan + ( + ) = ( + ), jsta = 6 Sivujen pituudet vat,, +, ja 6 +, 6 6 ) Pthagraan lauseen mukaan + ( + ) = ( + ), jsta = Sivujen pituudet vat 0,87, +,7 ja +, 87

11 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 7 Kuvin merkintöjen mukaan ( ) = ( + a) + h,( ) = ( a) + h Kun tetaan humin, että h = a, saadaan ( ) + ( ) = ( + a) + a + ( a) + a = = ( ) Näin n sitettu, että klmi n surakulmainen Tdistus menee vastaavasti, js n lhempi tai htä pitkä kuin a h *7 Olkn tasasivuisen klmin sivu s ja mprän säde r Kun sivu lausutaan säteen avulla, saadaan s= r+ r = r( + ) Tällöin klmi s (r( + )) = = r ( + ) = = (6 + ) r 0 s r r r s r Tlpän kulman sini ja ksini 7 a) sin 0 = sin 0 = b) cs 0 = cs0 = 76 a) sin = b) sin c) cs = d) cs 78 a) sin sin(80 b) cs( 80 = sin = = cs ) = sin sin = sin ) + cs = cs + cs = 0 = 80 a) sin( 80 α) = sin α = 0,6 cs(80 α) = cs α = 0, 8 0 b) sin( 80 α) = sin α = cs(80 α) = cs α = ( ) = Yksikkömprässä levan surakulmaisen klmin hptenuusa n, kateetit ja Kska kulma β n tisessa neljänneksessä, n cs β = 8 Kska ksinilla n negatiivinen arv, n kseinen kulma tisessa neljänneksessä Tässä neljänneksessä sinin arvt vat psitiivisia Yksikkömprässä levan surakulmaisen klmin sivut vat, ja ( ) =, jista viimeksi saatu n sin α :n arv 9

12 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja Vinkulmainen klmi 8 a) = 7 sin 0 (cm ) b) = 8 sin 76 (m ) c) = (mm ) 8 a) γ = 80 (8, + 6,7 ) = 0 Sinilausetta sveltaen saadaan, b, c =, jsta b,99 (m), ja =, jsta c 6,6 (m) sin 8, sin 6,7 sin 8, sin0 0 7 b) Sinilauseella =, jsta β, sin09 sinβ 0 a α = 80 (09 +, ) = 7, 8 Nt =, jsta a 00 (cm) sin09 sin 7,8 8 Sinilauseella c v =, jsta c v, 0 (m/s) sin sin 86 Klmin huippukulma n 80 = 70 Pinta-ala n tällöin sin 70 0 (cm ) 87 Klmas kulma n 76, Kska pisintä sivua vastaa suurin kulma, n kulma 76, sivua vastaava kulma Merkitään laskettavia sivuja a:lla ja b:llä, jllin sinilauseen a b mukaan = = Näistä a 0, ja b 0, Klmin pintaala = 0, sin 7, 90 sin 7, sin 76, sin 66, Klmas kulma n = 6, Sinilauseen mukaan = = sin 8,06 sin 6, sin 77, 79 Näistä ratkaistuna 0 76 (m) ja 7 07 (m) 89 Pienin kulman n Kstt sivu ratkaistaan sinilauseella: 0 =, jsta sin 60 sin 0 sin 60 0 / = = = 6 sin / Kierttien pituus + saadaan ratkaisemalla htälöt = = sin 9 sin 9 sin Tällöin = Lentkne jutuu kiertämään nin km, mikä km möhästttää lenta = 0,7 h minuuttia 680 km/h 9 Yhdistämällä pisteet, ja P tisiinsa saadaan klmi, jnka klmas kulma P n P 86 88,7 Kstt etäiss P lasketaan htälöstä = Saadaan sin,9 sin 88, 7 P 0 (m)

13 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 9 a) Yhtälöstä 60 0 = sin α sin,0 60sin,0 saadaan sin α = ja 0,0 60 mm edelleen α 7, α 0 mm b) Tunnettujen sivujen välinen kulma n 80 ( + 7, ) =,6 Klmin pinta-ala n 0 60 sin,6 0(mm ) 9 Klmin PRL kulmat vat, ja Sivun PL pituus lasketaan sinilauseella: L PL,,sin =, jsta PL =, sin sin sin h Krkeus h =, sin 9, Lentkne n, kilmetrin krkeudella 9 P 9 Merkitään klmin kulmaa kirjaimella α Klmin () ala = 8 sinα = sinα, ja klmin DE E () α ala DE = sinα = sinα ljen suhde () D () DE sinα = = Klmin DE ala n näin llen % klmin alasta sinα 80 9 Lasketaan aluksi kulmat α ja β α = =, 80 6 ja β = = 9 Sinilauseella saadaan mpröiden säteet r ja r r : 60 = sin, sin ja 60 r = Ratkaisuina r 6,0 ja r 8, sin 6 sin 9, km r r O Tämän jälkeen selvitetään sektreiden ja vastaavien keskusklmiiden alat 6,0 78, 6,0 sektri O π klmio sin 96, , 8, 8, sektrip π klmip sin 6 9 Ympröiden 60 hteinen alue (kaksi segmenttiä) saadaan, kun sektreista vähennetään vastaavat keskusklmit ( 78 96) + ( 8 9) = 00 (mm ) = 0, (cm ) α β 6 P R 96 nnetut ehdt tättää sekä klmi että D Sinilauseen njalla = Tästä sin γ 0, 607, 6,,9 sin γ sin 9, 9 jnka ratkaisuna γ 9, tai γ 0, 9 Tällöin vastaa- 9,9 D 6, cm b β γ,9 cm

14 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja vasti β, 0 tai β 9, Sijittamalla saadut β :n arvt htälöön b,9 = saadaan b 9, (cm) tai b, 6 (cm) sin β sin 9, 9 97 Samaa kaarta vastaavina kehäkulmina < D = < = β Pulimprän sisältämänä kehäkulmana < D = 90 Olkn R mprän säde Tällöin surakulmaisesta b b klmista = sin β eli = R Sinilauseen vakisuhde ilmittaa siis klmin R sin β mpäri piirretn mprän halkaisijan pituuden Ksinilause 98 a) Klmas sivu saadaan htälöstä = cs Ratkaisuna (cm) b) Klmas sivu saadaan htälöstä = cs0 00 Tällöin (cm) c) Klmas sivu lasketaan Pthagraan lauseella Sivun pituus n mm 99 Taljen välinen etäiss ratkaistaan htälöstä = cs Etäiss n nin 0 metriä 00 a) Kulma α ratkaistaan htälöstä = csα Saadaan α, Samalla periaatteella saadaan kulmaβ Hieman lhempi tapa n kättää sinilausetta =, jsta β 8, 6 ja edelleen γ 06, sin, sin β Humautus: Sinilausetta kätettäessä n tiedettävä, nk tuntematn kulma terävä vai 0 tlppä Esimerkiksi htälöstä = saatettaisiin virheellisesti päätellä, että sin, sin γ γ 7,9 b) Ksinilauseen njalla a =,9 +,0,9,0 cs 9, 7, jsta,9,7 a,7 (cm) Sinilauseella =, jllin β, Näin llen klmas sin β sin 9, 7 kulma γ 7, c) Sinilauseen njalla =, jsta β 7, 6 Näin llen kulma γ, sin β sin 6, 9 Ksinilauseella c = + cs,, jsta c 6 (m) Vaikka klmi n tppiä ssk, ratkaisuja tulee vain ksi 0 Olkn klmas sivu Tällöin = 6,0 + 8,7 6,0 8,7 cs,0 7 ja edelleen 7,7 (cm) Sinilauseella saadaan 6,0 cm:n mittaisen sivun vastainen 6,0 7,7 kulma: =, jsta β 9, Klmas kulma n γ 9, 7 sin β sin, 0

15 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 0 Olkn matka rastille m Ksinilauseen mukaan = cs, jsta 9 (m) 0 Kulmamerkintä 7 0' tarkittaa, että kulman suuruus n 7 astetta ja 0 kulmaminuuttia ' = Näin llen 7 0' 7,8 Mastjen väli saadaan ksinilauseel- 60 la: =,7 +,6,7, 6 cs 7, 8, jsta edelleen, 8 (km) 0 Olkt ja suunnikkaan lävistäjät Ksinilauseen njalla =,8 +,6,8,6 cs ja =,8 +,6,8,6 cs(80 ) ja edelleen,8 (cm) ja 7,6 (cm) 0 Ksinilauseella saadaan kljen pituus ratkaistua htälöstä 78 = + cs 76, jsta 6, (mm) Tällöin klmin pinta-ala n 6, sin (mm ) Tisin: Klmin kantakulmat vat Sinilauseella saadaan kljen pituus 78 =, jsta 6, Klmin ala n 6, sin (mm ) sin sin Kstt etäiss ratkaistaan htälöstä = a + a a cs0 = a a ( ) = a, jsta = a 0 07 Jaetaan nelikulmi lävistäjällä l kahteen saan ja = = (cm ) Lävistäjän neliö l = 0 + = Kulmalle α saadaan α arv 7,9 htälöstä = + csα = sin 7,9 7 (cm ) Kk pinta-ala n nin cm + 7 cm = 0 cm 08 Sivu b lasketaan htälöstä,8 = b 8, sin,, jsta b, (cm) Sivu a pulestaan saadaan ksinilauseella: a = 8, +, 8,, cs, Tästä a,7 (cm) Sinilauseella selviää kulma β,,7 =, jsta β 7,7 Klmin klmas sin β sin, kulma γ 00, 0 09 Lävistäjä l lasketaan htälöstä l = + cs7, Tästä l, Sinilauseen njalla =, jsta α 9, 0 sin 7 sinα D Sen kmplementtikulma β, 0 Lasketaan heisen kuvin mukaiset pinta-alat ja b cm γ cm 0 cm a, β 8, cm l mm 7 l α β mm cm mm

16 6 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja = sin 7 77 (mm ) ja =, sin,0 (mm ) Kk pinta-ala n 08 mm Pinta-ala lunnssa n mm ha 0 Tädennetään kuvin suunnikas heisen piirrksen mukaisesti Sinilauseen njalla,0,8 =, jsta ε 6, 6 Tällöin sin 7,0 sin ε, cm γ 7,0 + 6,6 = 6, 6 ja β, Kulma δ δ γ ε n α :n kmplementtikulmana 08,0 Kätetään d hväksi tieta, että suunnikkaan vastakkaiset sivut 7,0 vat htä pitkät ja lasketaan d sinilausetta sveltaen, cm 7,0 β d,0 7,0 cm =, jsta d,9 (cm) sin, sin 7, 0 nnettuja pituuksia kättäen vidaan mudstaa kaksi ehdt tättävää nelikulmita 7,,0 cm α 7, 7, 0,8 8,6 7, β 0,8 8,6 β,8 α,8 Lasketaan ensin kulmat α ja β ksinilauseen avulla ja sitten saklmiiden alat kaavaa = bc sin α sveltaen Näistä pinta-alista hteen laskemalla saadaan nelikulmin ala Tulkset vat seuraavat: α,9 ja β 67, 8, saklmit 9,8 ja,7 ha, nelikulmi nin,6 ha α 8, ja β, 8, saklmit, ja,6 ha, nelikulmi nin 6, ha Ksinilausetta sveltaen lasketaan aluksi sivun pituus = 6, + 9,0 6, 9,0 cs 60 8,0 (cm) Keskuskulma O n kaksi kertaa kehäkulman suuruinen eli 0 Säde saadaan laskettua klmista DO D,0 = = sin 60, jsta r,6 (cm) r r * Tapaus Tapaus 9 9 α α 7 7 6, cm r D 60 0 O 9,0 cm Tapaus : Ksinilauseen mukaan = csα, jsta saadaan

17 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 7 = 0 6csα Kska 90 < α < 80, n < cs α < 0 Kun cs α = 0,,, ja kun cs α =, niin = 6 Ksmkseen tulevat,,, tai Tapaus : Ksinilauseen mukaan 9 = + 7 csα, jsta cs α ± ( cs α) + = Kun cs α = 0, n, 6 ja kun cs α =, niin = Tässä tapauksessa kseeseen tulevat arvt, ja Yhtenevs ja hdenmutisuus Yhtenevs a) < F b) D c) D a) sks b) sss c) ksk 6 a) Δ EHG ΔFHG (ssk, lisäeht vimassa surakulmaisille klmiille) b) Δ E Δ DE (sks) ja Δ DE Δ E (sks) c) Δ FD ΔDE (kks tai ksk) 7 Δ E Δ D (ssk), sillä E = D ja E = D letuksen mukaan ja kulma n hteinen Lisäeht tteutuu, sillä sivujen E ja D vastaiset kulmat ja vat mlemmat teräviä Yhtenevien klmiiden vastinkulmina < = < 8 Suunnikas määritellään nelikulmiksi, jnka vastakkaiset D sivut vat hdensuuntaiset Klmit ED ja E vat hteneviä E lauseen kks mukaan, sillä D = suunnikkaan vastakkaisina sivuina, < ED = < E ristikulmina ja < DE = <E samankhtaisina kulmina lävistäjän leikatessa hdensuuntaisia sivuja D ja Yhtenevien klmiiden vastinsivuina E = E ja DE =E Saatu tuls sittaa, että lävistäjät pulittavat tisensa 9 Kuvan nelikulmissa Δ D ΔD(sss) Sivu D n klmiille hteinen, = D ja samin D = letuksen mukaan Vastinsina <D = <D Samankhtaisia kulmia kskevan lauseen perusteella D Vastaavasti kulmien D ja D htäsuuruuden perusteella D Näin llen nelikulmi D suunnikas 0 Olkn piste P ehdn tättävä piste Δ OP ΔOP (ssk) Yhtenevslauseen edellts n vimassa, kska klmit vat surakulmaisia Yhtenevien klmiiden vastinkulmina < OP = <OP, jten piste P n kulman O pulittajalla O D P

18 8 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja D F E Tdistus: Δ DF Δ DE (kks), kska D = D letuksen mukaan, < DF = < DE samankhtaisina kulmina suran leikatessa kahta hdensuuntaista suraa ja < DF = < ED kuten edelliset kulmat ΔO ΔO (sss), kska O = O mprän säteinä, = letuksen mukaan ja O n hteinen sivu Yhtenevien klmiiden vastinkulmina < O = < O Kska kahden keskenään samansuuruisen kulman summa n 80, vat mlemmat suria kulmia Jana O n siis khtisurassa jännettä vastaan Klmit vat htenevät lauseen kks mukaan Tinen kulmapareista n ristikulmia, tinen samankhtaisia kulmia suran leikatessa kahta hdensuuntaista suraa Sivupari tulee letuksesta O Klmit E ja E vat hteneviä lauseen sss mukaan, sillä = neljäkkään sivuina, E hteinen sivu sekä E = E lävistäjän pulikkaina Vastinkulmina <E = < E Kska mainitut kulmat vat tistensa vieruskulmia, vat ne sillin suria kulmia D E a) P Tdistus: Δ OP Δ OP (ssk), kska O = O säteinä, < OP = < OP = 90 (säde n kh- tisurassa tangenttia vastaan) ja OP hteinen O sivu Yhtenevien klmiiden vastinsivuina P = P b) Yhtenevien klmiiden vastinkulmina < OP = < OP ja < PO = < PO 6 a) Oletus: n janan keskinrmaalin mielivaltainen piste Väite: = Tdistus: Δ D Δ D (sks) Nimittäin D = D, kska D n janan keskipiste Lisäksi < D = < D = 90 ja D n hteinen Yhtenevien klmiiden vastinsivuina = D b) Oletus: Piste n sellainen, että = Väite: Piste n janan keskinrmaalilla Tdistus: Tdistusta varten hdistetään piste janan keskipisteeseen D Tällöin Δ D Δ D (sss), kska = letuksen mukaan, D n hteinen ja D = D, sillä piste D n janan keskipiste Yhtenevien klmiiden vastinkulmina < D = < D Kska mainitut kulmat vat tistensa vieruskulmia, vat ne sillin suria kulmia Näin llen jana D ht janan keskinrmaaliin, jten väite n tsi D

19 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 9 7 Kun hdistetään pisteet ja E, havaitaan, että Δ ED Δ ED (sks) Tällöin E = E = a Vastaavasti Δ EF Δ F (sks), jten vastinsivuina = E = a Näin llen Δ E n tasasivuinen, jllin kulma β = 60 Tasasivuisen klmin krkeusjanana F = a Klmista F saadaan a tan α = =, jsta α Tällöin kulman a suuruus n likimäärin = 79 Vastaus: Klmin kulmat vat, 60 ja 79 D α β a E a F a Yhdenmutisuus 8 Mittakaava n : 0 000,0 cm 00 m; 60 mm, km; 7, dm km; 0 cm km;, m 8 km 9 a) HG = 70 cm b) =, cm c) mittakaava n : a) Ratkaisemalla verrant = saadaan = 9 (cm) b) Yhdenmutisista klmiista saadaan verrant =, jnka ratkaisuna 6 = (cm), Reitin pituus li cm =, km Keskinpeus li km/h Valkkankaan leveden n ltava 0 6 mm =,8 m Kuvan pinta-ala n 0 6 mm mm, m a 7,0 Mitat saadaan verrannista =,0,0 a,9 (m) ja b, 7 (m) ja b =,0,0,0 Näistä ratkaisemalla,7 km/h Kartan mittakaava k =, = = : Olkn neliön sivun pituus Klmiiden hdenmutisuuden perusteella saadaan 0 0 verrant =, jnka ratkaisuna = (mm) Näin llen neliön pinta-ala n = 90 (mm ) Pinta-aljen suhde n : = : = k, jten mittakaava k = 0, 0,707 Kirjaimen kk -arkilla n siis 0,707-kertainen -arkin kirjaimeen verrattuna Pienenns n näin llen 0,707 = 0,9 = 9, %

20 0 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 7 Tarkittakn Y pienen läklmin ja kk klmin pinta-alaa Klmiiden hdenmutisuuden perusteella saadaan verrant Y = Y + 6 = 06,, jsta Y = 0,6Y +,96 ja Y = 0, Y 6 0 Vastaavasti =, jsta = Y = 0, 0 (cm ) Y ,0,0,0 8 Pthagraan lauseella saadaan surakulmin D lävistäjä D = + 8 = Kuvissa Δ DE ~ Δ D (kk) Nimittäin < DE = < D = 90 Lisäksi < DE = < D, kska näiden kverien kulmien samannimiset kljet vat khtisurassa tisiaan vastaan Yhdenmutisista klmiista saadaan verrant 8 =, jnka ratkaisuna = 8 Kst- 8 t jana EF = = 8 (cm) D E F 8 9 Olkn klmissa sura kulma pisteessä Pisteestä piirrett krkeusjana khtaa hptenuusan pisteessä D Merkitään D = h Js D = a, n D = 7a Merkitään lisäksi = ja = Klmit D ja D vat hdenmutiset, sillä vastinkulmat vat htä suuret Tällöin = = Viimeisestä htälöstä a h h h 7a () D (7) saadaan h = a eli h = a Kun tämä sijitetaan a ensimmäiseen htälöön, saadaan = = Kateettien pituuksien suhde n a 7 : 7 0 Jatketaan tähtäsviivaa maahan asti Yhdenmutisista klmiista saadaan verrant,7 +, =, jsta etäisdelle tulee arv,88 Mastn krkeus h ratkaistaan h-,0 h,788 tälöstä = ja saadaan 7 m,0,788, m,0 m 0,0 m h Kun merkitään :lla kk klmin ja Y:llä läklmin pinta-alaa, vidaan hdenmutisuuden perusteella kirjittaa htälö Y = = h Tästä edelleen =, h h h h jllin = ja h = h = ( ) Kstt suhde h n = = : ( ) h h -

21 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja Klmin merkilliset pisteet Suurimman kulman vastaisen sivun pituus n 8,0 cm Kulmanpulittajalauseen mukaan = Tästä, Kstt sat vat,7 cm ja, cm Pthagraan lausetta kättäen lasketaan krkeudeksi h = 0 6 = 8 Klmin painpiste n keskijanjen leikkauspisteessä, jnka etäiss kannasta n klmassa keskijanasta (krkeusjanasta) eli 8cm = cm,7 cm 6 Tasasivuisessa klmissa krkeusjana ht keskijanaan Tasasivuisen klmin s krkeusjana h = Tällöin painpisteen etäiss klmin kärjestä n s h = = s 7 Piste O n klmin kahden sivun ja keskinrmaalien leikkauspisteenä htä kaukana klmin kaikista kärjistä Kska se n htä kaukana janan päätepisteistä, se sijaitsee mös janan keskinrmaalilla (ks tehtävä 6 b) Täten mös sivun keskinrmaali kulkee pisteen O kautta O 8 Pthagraan lauseella saadaan klmin hptenuusan arvksi 00 mm Merkitään E = ja D = Kulmanpulittajalauseen mukaan = ja = Edellisestä = 0 ja jälkimmäisestä = Pthagraan lau seella saadaan klmin sisään jäävien sien pituudet: D 00 +, (mm); E = (mm) 9 Kuvan suurin klmi havaitaan tasaklkiseksi, jten = 6 Kulmanpulittajalauseen perusteella = = Tästä = 8 9, 8 ja 80 = 6 = 6, 0 Kska klmi n tasaklkinen, sivu D = Tällöin krkeusjana D = 0 = 6 Ymprän säde r ratkaistaan htälöstä = ja saadaan r = 6 r 6 r 0 α α D O r α

22 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja Keskijanjen leikkauspisteeseen mudstuu klme surakulmaista klmita Sveltamalla näihin Pthagraan lausetta saadaan kuvan merkintöjen mukaan: b a b () + =, + () = ja + = c a Kahdesta ensimmäistä saadaan hteen laskemalla b a b a + = ( + ) = +, jsta a + b = ( + ) = c c Yksi klmin sivuista n 0,0 cm (,0 cm + 7,0 cm) Olkt kaksi muuta sivua ja 8 Kulmanpulittajalauseen mukaan =, jsta =, Klmin sivut 8 7 vat, cm, 0,0 cm ja,6 cm s Js klmin sivun pituus n s, n mpäri piirretn mprän säde r = ja sisään s r piirretn säde r s = Säteitten suhde = Ympröiden aljen suhde n 6 rs r ( ) = = Ympäri piirretn mprän ala n siis 00 ( ) % = 00 % suurempi kuin sisään piirretn mprän rs ala Kuvin merkintöjen mukaan Δ PD Δ PE (sks) Pisteeseen P mudstuvat kulmat vat ristikulmina htä suuria P = P, kska ne vat kumpikin kaksi klmassaa keskenään htä pitkistä mediaaneista Samin PD = PE keskenään htä pitkien mediaanien sina (ksi klmassa mediaanista) Yhtenevien klmiiden vastinsivuina D = E, ja kska vat vastaavien sivujen pulikkaita, n = Saatu tuls sittaa klmin tasaklkiseksi D P E Tasasivuisen klmin sisään ja mpäri piirrettjen mpröiden keskipisteet sijaitsevat klmin painpisteessä eli keskijanjen leikkauspisteessä O Se jakaa kunkin keskijanan suhteessa :, jten = ja siitä = sisään = π 9 = π, mpäri = π = 9π : = : sisään mpäri,0 cm O 6 Svelletaan sinilausetta mlempiin saklmiihin: p a q b b = ja = = Jaetaan sin α sinβ sin α sin(80 β) sin β htälöt pulittain tisillaan, jllin saadaan kulmanpulittajalause = α p a α q b b 80 a q β β p

23 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 7 Kuvan merkintöjen ja Pthagraan lauseen mukaan 0 = ( + 6) + ( 6 ), jsta edelleen 0+ 6 = 0 Yhtälön ratkaisuna 8 ja = Kateettien pituudet vat 8 cm ja cm = 8 Valitaan pituusksikkö niin, että klki n ja kanta 6 ksikköä Olkn O sisään piirretn ja P mpäri piirretn mprän keskipiste Vastaavat säteet lkt r ja R Klmin krkeusjanan pituudeksi saadaan 7 Kska O n kulman pulittajalla, n vimassa r verrant =, jsta r = Yhden- 7 r 7 mutisista klmiista E ja DP saadaan verrant 8 Ym pröiden aljen suhde n r : R = : = 9 : R = 6 r 6 O, jsta 7 E P R = D R Yhdenmutisuuden svelluksia 9 a) Yhtälöstä = saadaan =, b) Yhtälöstä 6( 6 + ) = ( + 9) saadaan =, 7 60 nnettujen tietjen perusteella saadaan htälö = 0, jnka psitiivisena juurena = 0, (cm) 6 a) Oheisen kuvin mukaan =, jsta = 8 Kk jänteen pituus n,0 cm + 8,0 cm =,0 cm b) Olkn pisteen kautta kulkevien jänteiden pituudet ja Yhtälön = psitiivinen juuri n = Kk jänteen pituus n tällöin 0,0 cm,0 cm 7,0 cm,0 cm,0 cm 6 Pthagraan lauseella saadaan sivun pituudeksi Kstn janan pituus ratkaistaan htälöstä =, jsta =, 6 Olkt ja kateetteja ja h krkeus Ratkaistaan htälöt Ensimmäisestä htälöstä = 80 = 8, 9 (cm), keskimmäisestä = 0 =, (cm) ja viimeisestä h = 6 =, 0 (cm) 0 = 8, 0 = ja 8 h h =

24 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 6 Olkn sivu D = Yhdenmutisista klmiista D ja vidaan mudstaa verrant = Psitiivisena ratkaisuna = 9 Pthagraan lauseella klmin 6 + krkeudeksi saadaan D = Klmin pinta-ala n = 0 6 Olkn hptenuusan sat ja 6 Mudstuneet pikkuklmit vat hdenmutisia (kk) Vastinsivuista mudstuu verrant =, jsta = 9 tai = 6 6 Vastinsivujen suhde n tällöin : 6 = : Klmit vat hdenmutisia mittakaavassa : 66 Merkitään tntin sivun pituutta :llä Yhdenmutisista klmiista saadaan verrant 7 =, jsta = 0 Näin llen ertettavan tntin pinta-ala n 900 m Oheisen kuvin merkinnöillä saadaan verrant =, jsta = 0 Surakulmaisesta klmista saadaan Pthagraan lauseella = 0 0 = 0 (cm) Vastaavasti klmista DE tulee janan D pituudeksi 0 60 = 60 0 (cm) 68 Tdistus: Δ P ~ Δ P (kk), kska < P hteinen, < P = < P samaa kaartaa vastaavina kehäkulmina Yhdenmutisuuden perusteella saadaan verrant P P =, jsta P = P P P P 0 E 60 D P 69 Kannan suuntaiset surat jakavat alkuperäisen klmin siin X, Y ja Z Mudstuu klme hdenmutista klmita, jiden krkeudet vat h, h ja h Yhdenmutisuuden perusteella saadaan verrannt: = ( ) = ja = ( ) = X h X h X + Y h X + Y + Z h 9 Edellisestä verrannsta Y = X ja jälkimmäisestä Z = X ljen suhde n näin llen X : Y : Z = X : X : X = : : X Y Z h h h 70 Kska ksms n pinta-aljen suhteesta, klmin kk ei vaikuta tulkseen Siksi vidaan eht sin α = tulkita niin, että klmin tisen kateetin pituus n ja hptenuusan Tällöin tinen D E kateeteista n Kska kulman pulittaja D jakaa vastaisen sivun viereisten suhteessa, n D = ja α h 0 7

25 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja D = Jana E n mediaani, jten E = ja edelleen ED = Klmiilla 7 E, ED ja D n kaikilla sama krkeus h Näin llen klmiiden aljen suhde n h : h : h = : : = : : 0 = 7 :: Merkitään :n ja F:n leikkauspistettä G:llä Yhdistetään pisteet D ja Kska klmit DE ja FE vat hdenmutisia (sks), vastinkulmina < DE = < FE Tästä sstä D F D E Vastaavasti hdenmutisista klmiista G ja D saadaan verrant G = =, jsta edelleen D G G = Tämä sittaa, että F pulittaa janan F varuusgemetria varuuden surat ja tast 7 vaakasura leikkaus: mprä/mprä pstsura leikkaus: surakulmi/klmi 7 Tasn ulkpulella levan pisteen kautta kulkee tarkalleen ksi tämän tasn suuntainen tas 7 a) Tasjen asennsta riippuen kahteen, klmeen tai neljään saan b) Osia vi lla,,, 6, 7 tai 8 7 Tsia vat a), c) ja d) 76 a) 90 b) 0 c) a) 90 b) 60 (Klmi EG n tasasivuinen) c) 78 Phjana levan surakulmin lävistäjä n a + b Tällöin avaruuslävistäjän pituus n ( a + b ) + c = a + b + c 79 Sateenvarj ( cm) mahtuu laukkuun, sillä laukun avaruuslävistäjän pituus n + +,9 (cm) 80 Tahkjen lävistäjien pituudet vat = + =, F = + = 0 ja F = + = Näistä pisin n Klmi F ei le surakulmainen, kska ( 0) + ( )

26 6 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 8 Merkitään heisen kuvan mukaisesti kuutin särmää a:lla varuuslävistäjän pituus n tällöin a Ympäri piirretn a mprän säde r = ja sisään piirretn mprän säde a a a rs = Säteiden suhde n r: rs = : = : a r r s a a 8 n tasasivuinen klmi, jnka sivun pituus n s ja krkeus s s 6 E = = Kska piste O n klmin s 6 s 6 keskipiste, n O = = Etäiss DO ratkaistaan surakulmaisesta klmista OD: D O E s s 6 s s DO = s ( ) = s = = s s s 8 Js kuutin särmä n s, avaruuslävistäjän pituus n s Kuvassa kulma α n terävä kulma surakulmaisessa klmissa, jnka tinen kateetti n s ja hptenuusa s Saadaan htälö cs α = =, jsta α, 7 Lävistäji- s s en välinen kulma n tällöin 80,7 70, s α s s 8 Olkn neliön sivun pituus s Taittamisen tulksena saadaan tasaklkinen klmi, jnka huippukulma α (O) n etsitt kulma Klmin klki s lasketaan klmista O Kantasivu pulestaan selviää klmista Tällöin = + = (s + s ) + s = 6s = s 6 s Kulma α lasketaan ksinilauseen avulla: α ( s 6) = ( s ) + ( s ) s s csα Rat- O s 6s + s + s kaistuna cs α = =, jsta α =0 s s 8 Oven lävistäjän pituus n l = , (cm) Sveltamalla kahdesti ksinilausetta saadaan kuvin merkinnöin a = c c csβ ja a = l l csα Yhdistämällä htälöt c ( csβ) tulee lävistäjien väliselle kulmalle htälö csα = l l a) Kun β =, lävistäjien välinen kulma n α 6,6 b) Kun β = 60, lävistäjien välinen kulma n α,8 c) Kun β = 90, lävistäjien välinen kulma n α,0 c = 89 cm β a α a l 8 cm

27 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 7 Säännölliset mnitahkkaat 86 a) 0 b) c) 87 a) b) 88 Leikkauskuvi n surakulmi, jnka kanta n 8,8 cm ( 6, ) ja krkeus 6, cm Pinta-ala n nin, cm 89 Maalattavan pinnan mudstaa kuutin pinta ( 6 0 cm = 600 cm ) sekä kahdesti pikkileikkauksena levan surakulmin ala ( 0 cm 0 cm 8 cm ) Kk pinta-ala n tällöin nin 880 cm 90 tetraedri heksaedri ktaedri 9 ktaedri kuuti 9 Palljen säteiden suhde n : a) Pinta-aljen suhde n mittakaavan neliö eli (: ) = : b) Tilavuuksien suhde n mittakaavan kuuti eli (: ) = : 8 9 Merkitään mittakaavaa :llä Tällöin 0,6 0, 0, = 7,, jsta = 00 Säiliön mitat vat,78 m,86 m,9 m 9 a) 8:ssa, ( n ) b) :ssä, 6( n ) c) :ssä, (n ) d) 8:ssa, aina nurkkapalat e) ei hdessäkään

28 8 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 9 Merkitään särmiä kirjaimilla a, b ja c Tällöin särmiön tilavuus V = abc Kun vedenkrkeudet ilmitetaan desimetreinä, saadaan säiliön tilavuudelle seuraavat klme htälöä: 0, a b =, (dm ); 0, a c =, (dm ) ja 0,6 b c =, (dm ) Kertmalla htälöt pulittain saadaan 0, 0, 0,6 ( abc) =,, jsta edelleen, abc =,8 (dm ) Säiliön tilavuus n,8 litraa 0, 0, 0,6 96 Kipsisen pienismallin tilavuus n Prnssipatsaan tilavuus n,9 m 8 00 V p V k 00 kg 0,00 kg = 00 kg/m = 0 0,0007 m,9 m kg/m 0,0007 m, ja massa 97 Mnitahkas Tahkja (T) Kärkiä (K) Särmiä (S) tetraedri 6 heksaedri 6 8 ktaedri 8 6 ddekaedri 0 0 iksaedri 0 0 Muuttujien välillä vallitsee htes S = T + K 98 7 dm Kuutiiden särmät vat, ja dm Kun kuutit liimataan hteen kuvan sittamalla tavalla, hteinen pinta-ala n pienin 99 Snt säännöllinen 6-kulmi (ikeanp kuvi) 00 Oletetaan, että k kappaletta säännöllisiä n-kulmiita khtaa tisensa samassa pisteessä Tällöin n vimassa eht k < 60, jssa murtlauseke tarkittaa ( n ) 80 n säännöllisen mnikulmin hden kulman suuruutta Epähtälö sievenee mutn kn ( ) < n, jssa k ja n Tutkitaan taulukimalla epähtälön paikkansa pitävttä k:n ja n:n eri arvilla (k, n) k(n ) < n tsi/epätsi kappale (, ) < 6 tsi tetraedri (, ) 6 < 8 tsi heksaedri (, ) 9 < 0 tsi ddekaedri (, 6) < epätsi (, ) < 6 tsi ktaedri (, ) 8 < 8 epätsi (, ) < 6 tsi iksaedri (, ) 0 < 8 epätsi (6, ) 6 < 6 epätsi (6, ) < 8 epätsi Vain lukuparit (, ), (, ), (, ), (, ) ja (, ) kelpaavat, mikä sittaa Platnin kappaleita lötvän vain nu edellä esitett viisi

29 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 9 Lieriö 0 Ämpäreiden sisältö ei mahdu tnnriin, sillä tnnrin tilavuus n 06,8 litraa ja ämpäreiden hteinen tilavuus 07,6 litraa 0 Phjamprän säde r ratkaistaan htälöstä π r cm = 000 cm Tästä r 8, cm ja halkaisija nin 7 cm 0 Kun merkitään alkuperäistä sivun pituutta kirjaimella, saadaan htälö ( 0) = 000, jnka ratkaisuna = = 0 + 0, (cm),8 +, 0 a) V =,0 8,7 m,7 m 808 / b) Pinn tilavuudesta li puuta 0,69 7 %,7 0 Phjan pinta-ala = 6 6, 0 (cm ) a) V = 6 cm 0 cm = 60 cm b) Vaippa mudstuu kuudesta surakulmista vaippa = 6 cm 0cm = 00cm c) Kk pinta kstuu vaipasta ja kahdesta phjasta kk = 00 cm + 6 cm = 0 cm 0,0 0,0 06 Kurman massa n 0, m 8900 kg/m kg 07 Yhtälöstä π r =, cm ratkaistuna phjan säde r 9, 66 cm Lieriön tilavuus V = π 9,66, cm 800 cm =,8 dm 08 a) m = (0, m) 00 kg/m =, kg b) Kultakuutin särmä s ratkaistaan htälöstä s 9 00 kg/m =, kg Ratkaisuna s 6, cm 09 Olkn pienemmän mitan halkaisija dm Mitat vat hdenmutisia ja tilavuuksien suhde n Näin llen suuremman mitan halkaisija n ja tilavuus vastaavasti V = π ( ), = (litra) Tästä ratkaisuna = 0, 7,π Phjan halkaisija n 7, cm 0 Lasketaan ensin katn lappeen leves Pthagraan lauseella:, +,, 6 (m),, Lasin tarve n kaikkiaan,,8 +,8,6 + +,, (m ) Phjan pinta-ala = 6 = (cm ) Särmiön krkeus h = 6,0 sin 60, (cm) Särmiön tilavuus V =, 6 (cm ) Vedenpinnan krkeus h saadaan Pthagraan lauseella: h =,, (m),0 +,0 Veden määrä sekunnissa n, m 0, m,8 m

30 0 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja V = π, 9,8 cm 96 cm = 0,96 dm Knttilän massa n lieriö 0,96 dm 890 kg/m = 0,96 dm 890 g/dm = 6g Tällöin palaika n 6 8 6, tuntia Vinn mprälieriön avattu vaippa n heisen kuvan kaltainen Kaarevan san halkaisijana vi lla jk hallin leves tai pituus, jten saadaan kaksi eri tapausta: V = 6 m + π 6 6 m 00 m tai V = 6 m + π 8 m 800m 6 Oikea tilavuus n cm = cm ja virheellinen tilavuus cm = 98 cm Pikkeama n,6 % stiaan jää 0 π 0 0 cm + 0, π 0 0 cm alasan lieriö 8 litraa vettä puliksi täsi läsan lieriö Olkn lieriön säde r ja krkeus h r r h h V V lieriö lieriö lieriö särmiö lieriö = πr : V = πr = 8r : särmiö särmiö h, V särmiö = π : + πrh = π(r + 8rh = (r = π : = r h + rh) + rh) 9 Tnnrin phjamprän säde r ratkaistaan htälöstä π r = (cm ) r,8 (cm) Kska tnnrin säde n pienempi kuin öljpinnan krkeus, n tilanne heisen kuvan mukainen csα =, jsta α 70 Pikkileikkauskuvi,8,8 n segmentti, jnka ala saadaan lisäämällä sektrin alaan klmin ala Sektrin ala n π, (cm ) Klmin ala n,8 sin0 8 (cm ) Segmentin ala n tällöin 7 cm α r Plttainetta tnnrissä n cm - r 7 = 76 (cm ) (litraa) Hankinnan hteisarv n 0, , jten kauppa kannatti cm cm

31 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 0 Olkn alkuperäinen särmä s Veteen putamisen jälkeen särmä n,0s ja kuutin tilavuus (,0s) Kuivaamisen jälkeen kuutin tilavuus n 0,9 (,0s),088 s, 09 s, jka n,9 % alkupe-,088s Tällöin särmän pituus n räistä särmää pitempi Karti,,, Siiln mahtuu viljaa V =, 9 kuutimetriä Vaipan ala n = π 0,0 8,0 00 (cm ) Kartin krkeus h lasketaan Pthagraan lauseella: h = 8,0 0,0,6 (cm) 0,0,6 Kartin tilavuus n V = π 8 00 (cm ) lasaan tarvitaan kangasta π (m ) ja läsaan π (m ) eli hteensä 970 m lasan tilavuus n π (m π 0 ja läsan tilavuus 0 (m ) Teltan kk ti- lavuus n 60 m Kartin akseli h, phjan säde d ) ja sivujana r mudstavat surakulmaisen klmi- n, jsta saadaan r = 6 + = 6 6,79 ( cm) uki levitett vaippa n sektri, ja sen keskuskulman asteluvulle α pätee = Tästä α 6π 60 π 6 α 60 66, Sektrin säde n 6, cm ja keskuskulma 66 6 a) Sivutahkna levan klmin krkeus n 9,0, 8, 6 (cm) Sivutahkjen,0 8,6 hteinen pinta-ala n 86, (cm ) Kknaispinta-ala 0 cm saadaan, kun vaipan alaan 86, cm lisätään phjan ala cm b) Pthagraan lauseella tulee pramidin krkeudeksi 8, cm, jten tilavuus n,0 8, V = 69 (cm ),0 m 6 Lasketaan kappaleiden tilavuudet: π,0,0 Vkarti =, (m ) ja h Vsärmiö =,0,0, =,0 (m ), jten särmiön tilavuus n pienempi ja särmiö thjennetään kartin Vedenpinnan krkeus h ratkaistaan kappaleiden hdenmutisuuteen perustuvasta htälöstä ( ),0 h =, jsta h 89 cm,0,,0 m

32 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 7 Taivutuksen tulksena mudstuu kuvan mukainen karti, jnka phjan piiri π 8,0 b = = π (cm) Yhtälöstä π = π saadaan kartin phjamprän säteeksi =,0 (cm) ja krkeudeksi h = 8,0,0 = 60 = (cm) a) V = πr h= π 0, (cm) b) = πrs+ πr = π 0, 80, + π 0, 6(cm) Kiviaineksen massa n m 700 kg/m = t Tästä kivimäärästä tulisi 900 kurmaa a) Osa n tasasivuinen klmi, jnka sivun pituus n 0 cm b) Pinta mudstuu klmesta htenevästä tasaklkisestä klmista ja hdestä tasasivuisesta klmista Pinta-ala n = + 0 (cm ) ja 0 0 (0 ) 0 0 tilavuus V = 70 (cm ) 8,0 cm h 0 Phjan pisin lävistäjä n kaksi kertaa kuusikulmin sivun pituinen eli 88,0 mm,0 V = 6 88,0 8 (cm ) Klmiiden hdenmutisuuden perusteella saadaan a =, jsta r h r a = Kska pienemmän kartin tilavuus n pulet ismman tilavuudesta, niin h π r h = πrh Yhtälön ratkaisuna = h a r h Kartin sivujanan pituus n 6, +,6 7, 9 (cm) Tasn levitett vaippa n mpräsektri, jnka säde n 7,9 cm Ksttä keskuskulmaa α vastaava kaari n α 8,9 cm Yhtälön π 7,9 = 8, 9 ratkaisuna keskuskulma α 0 60 Tädennetään kappale kartiksi kuvan mukaisesti Kuvaan mudstuneista hdenmutisista klmiista saadaan verrant = =, jsta = 60 Sivujanjen pituudet vat = ,8 ja vat = , 6 Vaipan ala n eli 0 dm π 6,6cm π 7 0,8cm 000 cm - 0 0

33 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja Oheinen kuva esittää pikkileikkausta tilanteesta Kska hdenmutisten kuviiden aljen suhde n mittakaavan (= säteiden suhde) neliö, saadaan kuvan perusteella hdenmutisista klmiista = ( ), jsta edelleen = Tämä n mös kuutin r r R R ulkpulisen ja kk kartin krkeuksien suhde Kuvan merkinnöillä saadaan r a R a =, R = ja r = ja edelleen = Tällöin + a R kartin krkeus n a + = a Tilavuuksien suhde n r a πr h π ( ) ( a) π a = = ( + ) 0,6 a a R a Kärjestä D phjataslle piirretn nrmaalin kantapiste P n phjaklmin keskipiste s eli mediaanien leikkauspiste O = tasasivuisen D klmin krkeusjanana Tetraedrin krkeus lasketaan surakulmaisesta klmista DP Kska mediaanien s s leikkauspiste jakaa mediaanit suhteessa :, n h s s P = O = = Pthagraan lauseen njalla DP = s ( ) = = 0, 8s s 6s s 6 s P O 9 6 Oktaedri mudstuu kahdesta vastakkain levasta neliöphjaisesta pramidista Phjaneliön lävistäjän pituus n s ja sen pulikkaan P:n pituus S- s veltamalla klmin P Pthagraan lausetta, saadaan s =, + ( ) ja edelleen s s =,, jsta s =, 6, (cm) s h P s *7 a) Olkn kuutin särmän pituus s ja pramidin krkeus h Surakulmaiset klmit O ja D vat hdenmutisia (kk) ja klmi O n tasaklkinen Siis mös kl- h s mi D n tasaklkinen, jten h = D = D = s Pramidin krkeuden ja särmän suhde n = = s h s s s O b) Khdan a) perusteella = s ja F s F = s Surakulmaisesta klmista α s β E F saadaan tan = =, jsta s α,6 α 7 Tällöin kulma β = 80 α 09 h D

34 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja s c) Yhden pramidin tilavuus n V p = (s) s = Rmbiddekaedrin tilavuus s Vr 6s n Vr = Vk + 6V p = (s) + 6 = 6s Tilavuuksien suhde n = = : V 8 s Pall 8 Padan tilavuus n V = π,0 dm 0 dm = 0 litraa 9 Kuren suus n π π, = 0 % π,, = 0 Olkn ismman palln tilavuus V, jllin pienemmän palln tilavuus n V Tilavuus V ratkaistaan htälöstä V + V = 0, l (dm ), jsta V = dm Ismman palln säde R saadaan htälöstä π R = Tästä R = 0, 0 (dm) π Vastaavasti pienemmän palln säde r ratkaistaan htälöstä π r = Tällöin r = 0, (dm) Palljen säteet vat,0 cm ja, cm 0π a) = π 0,90 0 (m ) b) m = π 0,90 m 0,078 kg/m 7 00 a) Pinta-aljen suhde n säteiden suhteen neliö eli ( ) p g 7 00 b) Tilavuuksien suhde n säteiden suhteiden kuuti eli ( ) a) V = 60 0 π 0,0 dm 0, litraa b) V = 6 0, l 0 litraa Valuun kätettävän materiaalin tilavuus V = 09, π, 60cm Yhden haulin tila- vuus V = π 0, cm Tällöin haulien lukumäärä n 09, π, 60 n = 800 π 0, Olkn alkuperäinen säde r Sillin kasvanut säde n,r,r a) Pinta-aljen suhde n ( ) =, la n kasvanut % r,r b) Tilavuuksien suhde n ( ) =,7 Tilavuus n kasvanut nin 8 % r

35 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 6 a) = π,0 cm cm b) V = π,0 0 c) Ulkpulelle jää 0,76 7,6 % 0 cm cm 7 Kuparin tihes n kg/m Palln kuren tilavuus V = m ρ =,0 kg/8 960 kg/m = 8,0 cm Sisäpalln säde 7, cm saadaan htälöstä π(8 ) 8,0 Tällöin kuren paksuus n 8,0 cm 7, cm = 0,76 cm = 7,6 mm 8 Kstt alue n vöhke, jnka pinta-ala = πrh Tällöin R n maapalln säde ja h vöhkkeen krkeus Oheisen kuvan merkintöjen perusteella h = R sin, = 670 sin, 0 (km) Pinta-ala n = π 670 0,0 0 (km ) Kstt prsenttisuus n,0 0 8 π % 0% h R, 8 9 Lasketaan aluksi kaltin krkeus h Surakulmaisesta klmista = sin 66,, jsta = r sin 66, Napa-alueesta mu- r dstuvan kaltin krkeus n h = r = r( sin 66, ) lueiden hteinen pinta-ala n navat = πrh = πr ( sin 66, ) Napa-alueiden hteinen suus kk maapalln alasta n navat πr ( sin 66, ) = = sin 66, 0,08 = 8, % πr pall r h 66, Phjisen pallnpuliskn trppisen alueen vöhkkeen krkeus k lasketaan htälöstä = sin, Tästä k = r sin, Trppisten alueiden hteinen pinta-ala n k r = πrk = πr sin, Trppisten alueiden trp suus kk maapalln alasta n trp πr sin, = = sin, πr pall 0,99 = 9,9% k r, 0 Olkn kuutin särmä a ja pikkupalln säde r Saadaan htälö, jsta r lasketaan a = a+ r + r+ r+ r a( ) = r( + ) r = a + a r r

36 6 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja Palljen hteinen tilavuus V = a + 8 π π a 8, a Palljen suus + kuutista n 8, a ( a) 0, 60 = 60, % Pallsektrin tilavuus lasketaan kaavalla V = π rh Tässä h n kaltin krkeus ja r palln säde Yhtälöstä 0 = πr, lasketaan palln säteelle arv r 8, Karti- n phjamprän säde karti 8, 6,, Kappaleen kknaispinta-alaksi tulee + = πr + πrh = πr( + h) π 8, (, +, ) (cm ) kaltti Linssin mudstaa kaksi htenevää pallsegmenttiä luksi lasketaan palln säde r htälöstä r = 8,0 + ( r,0), jsta saadaan r,7 (cm) Pallsegmenttien hteinen tilavuus n h,0 V = πh ( r ) π,0 (,7 ) 60 (cm ) r r -,0 8,0 Lieriön phjan säde R lasketaan htälöstä πr h = 000l cm l Phjan säde n R = 000 π Palln säde r saadaan htälöstä r = π R p π h pl Ratkaisuna r = 0 (cm) πh *Piirtäminen ja mallintaminen Gemetrian piirtämistehtäviä a) Piirretään aluksi mpräviiva, jnka keskipisteenä n piste P ja jka leikkaa suran kahdessa pisteessä Seuraavana piirretään näiden pisteiden väliselle janalle keskinrmaali b) Samalla tavalla kuin a-khdassa ertetaan suralta jana, nt mprän keskipiste n suran ulkpulella 8 Etsittävä piste n suran s ja janan keskinrmaalin leikkauspiste 60 a) Pulitetaan teiden välinen kulma Pulittajan ja jen leikkauspisteestä lötvät etsitt pisteet b) Piirretään janalle keskinrmaali Keskinrmaalin ja jen leikkauspisteessä n etsitt khta

37 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 7 6 Piirretään ensin neliö, jnka ksi sivu n halkaisijalla niin, että sivun keskipiste ja pulimprän keskipiste O htvät Valitaan O hmtetiakeskukseksi ja piirretään hmtetiasäteet kuvan sittamalla tavalla Näiden ja mprän kaaren leikkauspisteistä ja piirretään halkaisijalle nrmaalit D ja Vaadittu neliö n D D O 6 Piirretään ensin mprä, jnka keskipisteenä n annettu piste ja säteenä vähintään pulet pisteen ja suran välisestä etäisdestä Tämän jälkeen piirretään annetun suran suuntainen ja siitä edellä mainitun säteen etäisdellä leva sura Leikkauspisteet vat vaadittuja pisteitä Lisää pisteitä saadaan muuttamalla säteen pituutta 6 Piirretään mprälle kaksi jännettä ja niille keskinrmaalit Kadnnut keskipiste löt keskinrmaalien leikkauspisteestä 66 Klmi vidaan piirtää vain, js pisin janista n lhempi kuin kahden muun janan summa 67 Kska krdinaatistn mudstuvat klmit D ja E vat hdenmutisia (kk), saadaan ' 0 ' 0 verrannt = = k Tästä näkee helpsti tulksen ' = k( 0 ) + 0 ja 0 0 ' = k( + 0 ) 0 (, ) D (, ) (, 0 0) E Mallintaminen gemetriassa 68 Oheisen kuvan merkintöjen mukaisesti = π 8 + π + π 70 (m ),0 m 6,0 m,0 m,0 m 8,0 m 69 a) Kun liikennemerkit leikataan heisen kuvan mukaisesti, n kknaismäärä b) Liikennemerkkien hteenlaskettu pinta-ala n = 6,6 (m ), ja levn pintaala 6,9 (m ) Hukkapaljen suus n näin llen 6,9 6,6 0,0 =,% 6,9

38 8 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 70 Oletetaan astiat kannettmiksi V V V V V kuuti lieriö pata pramidi särmiö = 6 cm, kuuti = 80 cm 7 cm, lieriö 7 cm 7 cm, pata 7 cm = 8cm, pramidi 9 cm = 66 cm, = 8 cm särmiö Suurin tilavuus n pramidilla, vähiten materiaalia tarvitaan padan (pulipalln) valmistamiseen 7 Krkein mahdllinen kuljetus, jka n läsaltaan,0 m leveä ja mahtuu tunneliin, n,0, m, m krkea Tehtävässä mainittu, m krkea kuljetus ei siis mahdu kulkemaan tunnelista 7 Oheisessa kuvassa, jnka mittasuhteet n selvden vuksi muutettu, kstt etäiss n merkitt kirjaimella Se n kätännössä sama kuin meren pintaa pitkin laskettu matka Pthagraan lauseella = ( ,0) 670 (km) R,0 m, m R h 0 m 7 Kun jhtjen keskipisteet hdistetään kuvan mukaisesti, mudstuu neliö, jnka sivun pituus n mm ja lävistäjä mm Jhdt vaativat tilaa (6, + + 6,) mm, mm eivätkä siis mahdu putkeen, jnka sisähalkaisija n, mm 7 Phjiseen menevä laiva kulkee minuutissa 0, km, jten se n 9, km:n päässä tisen laivan alkuperäisestä paikasta Tämä laiva pulestaan n edennt länteen 7, km Oheinen piirrs esittää tilannetta minuutin kuluttua alkutilanteesta Laivjen välinen etäiss n e = 9, + 7, (km) 7, km e 9, km 7 Kk seinän pinta-ala n, m Ikkunan pituus ja krkeus ratkaistaan htälöistä ( ),, = ja ( ) =,67 ja = 0, 90 Ikkunan mitat vat,0,,7, 90 cm 67 cm 76 Taln julkisivuviiva ja näkösäteet määräävät klmin Piirretään sen mpäri mpräviiva Kuvassa näkvä, pisteen P sisältävä mprän kaari kstuu niistä pisteistä, jista julkisivu tulee kknaisuudessaan kuvaan Kaikki tämän kaaren sisältämät kehäkulmat vat nimittäin näkökulman α suuruiset P α α

39 Gemetria (M) Tehtävien ratkaisuja 9 0, π 77 a) Päädn piiri n 0, m + m, m Vaipan pinta-ala n, m, m, m Päädn pinta-ala n 0, m + 0, 0, m + π 0, m 0, m Kk pinta-ala n, m + 0, m,7 m b) Pakkauksen tilavuus n 0, m, m 0,6 m 78 Oheinen kuva esittää tilannetta Yhdenmutisista klmis ista mudstetun verrannn = ratkaisu- 0 na s = 60 (m) Näin llen autn npeus n 60 m,7 m/s 9 km/h s 00 mm 00 mm 00 mm 00 mm s 0 m m 0 m 0 m 79 lla levan kuvan merkintöjen mukaan suunnistajan kulkema matka mudstuu janasta ja kaaresta O = 600 O saadaan 00 cs( O ) = 87, Klmista , jsta 97, < O 8, 8 Tällöin < O 97, ja kaari π 00 9, 60 Kk matka n 87, m + 9, m 90 m 80 Svelletaan mudstuneisiin surakulmaisiin klmiihin Pthagraan lausetta a b c d a b a + c + c b = 0 = = 0 ja a b a + d + d b = 0 = 0 = 0 0 Merkitsemällä ikeat pulet htä suuriksi saadaan htälö 0 = 0 0, jsta = 00 (m) 8 Ylempi kuva esittää harjakattisen taln katt-san pikkileikkausta Kska h = 00, m,niin katn kaltevuus n : ja lappeen pituus l =, 00 m,6 m Kateaineen menekki n näin llen (vähintään), 6 0, 00 m = 7, 0 m lemmassa kuvassa nähdään aumakattisen taln l,00 m h h h l,00 m l,00 m