4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Transkriptio

1 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

2 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty d) Janan AB ja pohjan välinen kulma on sama kuin janan AB ja janan AC välinen kulma, 5,. e) Appletissa mittaamalla janan pituudeksi saadaan 1,7, joka ei ole tarkka arvo. Määritetään janan AG pituus tarkasti. Kohdassa c mitattiin janojen CG ja AC väliseksi kulmaksi 90, jolloin muodostuu suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on AG ja kateetit ovat AC ja CG. Kateetin CG pituus on 1, koska se on yksi kuution sivuista. Kateetti AC on pohjan lävistäjä. Ratkaistaan pohjan lävistäjän AC pituus. Pohja on neliö, joten sen puolikas on suorakulmainen kolmio ABC.

3 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kolmion ABC sivut AB ja BC ovat molemmat pituudeltaan 1. Merkitään janan AC pituutta kirjaimella x. Ratkaistaan pituus Pythagoraan lauseella. AB + BC = AC = x x = x = (tai x = ). Merkitään janan AG pituutta kirjaimella y. Ratkaistaan pituus y Pythagoraan lauseella. CG + AC = AG 1 + ( ) = y 1 + = y y = y = (tai y = ) Janan AG pituus on.. a) Jos kuution sivun pituus alussa on a, sen tilavuus on a a a = a. Kun kuution sivun pituus kolminkertaistetaan, sivun pituus on a. Tilavuus on tällöin a a a = 7a. Tilavuus kasvaa 7 kertaiseksi. b) Kuution, jonka sivun pituus on a, yhden sivutahkon pinta-ala on a a = a. Kuutiossa on kuusi tahkoa, joten yhteenlaskettu pinta-ala on 6a. Kun sivun pituus kolminkertaistetaan, yhden sivutahkon pinta-ala on a a = 9a. Sivutahkojen yhteenlaskettu pinta-ala on 6 9a = 54a = 9 (6a ). Pinta-ala kasvaa 9 kertaiseksi.

4 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Avaruusgeometrian peruskäsitteitä YDINTEHTÄVÄT 401. a) Merkitään pohjatahkon lävistäjän pituutta kirjaimella x. Koska särmiö on suorakulmainen, pohjatahkon lävistäjä ja sivut 5 ja 4 muodostavat yhdessä suorakulmaisen kolmion. Ratkaistaan lävistäjän pituus x Pythagoraan lauseen avulla = x 41 = x x = 41 (tai x = 41 ) Pohjatahkon lävistäjän pituus on 41. b) d = d = d = 45 d = 45 (tai d = 45 ) d = 95 5 Avaruuslävistäjän pituus on 5.

5 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Avaruuslävistäjän ja pohjatahkon välinen kulma on sama kuin avaruuslävistäjän ja pohjatahkon lävistäjän välinen kulma. Avaruuslävistäjä, pohjatahkon lävistäjä ja särmiön sivu, jonka pituus on, muodostavat suorakulmaisen kolmion, jonka kateetit ovat pituudeltaan ja 41. Ratkaistaan kulma tangentin avulla. tan 41 17,4... Kulma on 17,. 40. a) b) Avaruuslävistäjä on suorakulmaisen särmiön sisällä pisin mahdollinen etäisyys. Lasketaan avaruuslävistäjän pituus. d = d = 655 d = 655 (tai d = 655 ) d = 80,77 Avaruuslävistäjän pituus 81 cm on lyhyempi kuin tangon pituus 85 cm, joten tanko ei mahdu laatikkoon.

6 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Maljakkojen mittakaava on Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. 1, 0 ( ) x 1, 0 8 x 7 8 x 7 :8 x 7, Suurempaan maljakkoon mahtuu,4 litraa vettä A II, B I, C I, D II k a) Esimerkiksi pyramidi ABCDE tai särmiö ABCFGE. b) Esimerkiksi pyramidi ABCF.

7 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 406. a) Huoneen seinien pinta-ala saadaan, kun lasketaan särmiön sivujen pinta-ala, josta vähennetään ikkunan ja oven pinta-ala = (cm ) Huoneen seinien pinta-ala on 0 m. b) Ensimmäisellä maalauskerralla maalia tarvitaan ja toisella maalauskerralla 9,74 m 1 m / l, l. 9,74 m 7m /l 4,48... l Maalia kuluu yhteensä 4,48 l +,478 l 6,7 l. 10 litran maalipurkki riittää maalaamiseen a) Särmän AB ja janan AF välinen kulma on kolmion ABF kulma A, jota merkitään kirjaimella. Kolmio ABF on suorakulmainen, koska suorakulmaisen särmiön särmät AB ja BF ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Kolmion ABF kateetit ovat AB ja BF ja hypotenuusa AF. Sivun AB pituus on ja sivun BF pituus on 6. Kulma voidaan laskea tangentin avulla. tan 6 6,4... 6,4 Särmän AB ja janan AF välinen kulma on 6,4.

8 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Avaruuslävistäjän DF ja pohjatahkon välinen kulma on sama kuin avaruuslävistäjän DF ja sen projektion DB välinen kulma. Jana DB on pohjatahkon lävistäjä. Kulma on kolmion BDF kulma D, jota merkitään kirjaimella. Kolmio BDF on suorakulmainen, koska suorakulmaisen särmiön särmä BF on kohtisuorassa pohjatahkoa vastaan. Kateetin BF pituus on 6. Pohjan lävistäjän BD pituus saadaan Pythagoraan lauseen avulla. BC + CD = BD 4 + = BD BD = 5 BD = 5 (tai BD = 5) Kulma saadaan laskettua tangentin avulla. tan , , Avaruuslävistäjän DF ja pohjatahkon välinen kulma on 50,.

9 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Avaruuslävistäjän DF ja särmän DA välinen kulma on kolmion ADF kulma D, jota merkitään kirjaimella. Lasketaan kolmion ADF kaikkien sivujen pituudet. Sivu AD on pituudeltaan 4. Avaruuslävistäjän DF pituus on DF = DF = 61 DF = 61 (tai DF = 61 ). Sivun AF pituus saadaan laskettua suorakulmaisesta kolmiosta ABF Pythagoraan lauseella. AB + BF = AF + 6 = AF AF = 45 AF = 45 (tai AF = 45 ) AF = 5 Kulma voidaan ratkaista kosinilauseen avulla.. AF = AD + DF AD DF cos 45 = cos = 8 61 cos : ( 8 61 ) cos = 8 61 = 59,19 59, Avaruuslävistäjän DF ja särmän DA välinen kulma on 59,.

10 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) Mitattu kulma on kolmion AFH kulma A. Kolmion AFH kaikki sivut ovat kuution tahkon lävistäjiä, eli keskenään yhtä pitkiä. Kolmio on tasasivuinen, joten sen kaikki kulmat ovat 60.

11 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Vaijerien välinen kulma on sellaisen kolmion kulma, jonka sivut ovat 7,0 m, 7,0 m ja kontin katon lävistäjän pituus x. Kontin katon lävistäjän pituus x voidaan ratkaista Pythagoraan lauseella. 6,1 +,4 = x x = 4,97 x = 6,55 (tai x = 6,55 ) Kulma voidaan ratkaista kosinilauseella. x = 7,0 + 7,0 7,0 7,0 cos 4,97 = 49,0 + 49,0 98 cos 98 cos = 55,0 :98 cos = 0,56 = 55,8 56 Vaijerien välinen kulma on 56. b) Vaijerin ja kontin katon välinen kulma on sama kuin vaijerin ja vaijerin projektion välinen kulma. Tämä kulma on a-kohdan kolmion kulma.

12 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska kolmio on tasakylkinen, sen kantakulmat ovat yhtä suuret. Kolmion kulmien summa on 180, josta tiedosta ratkaistaan. + = 180 = 180 = ,8 = 14,16 : = 6,08 Vaijerin ja kontin katon välinen kulma on Tuuttien mittakaava on k = Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio eli 4 64 ( ) Tilavuuksien suhde on 64 0,51, joten pienemmän tuutin tilavuus on % isomman tilavuudesta.

13 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään pienimmän astian tilavuutta kirjaimella x. Pienimmän ja keskimmäisen astian tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. x 0 ( ),5 6 x 1000,5,5 197 x x 1,1... x 1,1 (l) Pienimmän astian tilavuus on 1,1 litraa. Merkitään suurimman astian tilavuutta kirjaimella y. Suurimman ja keskimmäisen astian tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. y ( ),5 6 y 4096,5,5 197 y y 4,66... y 4,7 (l) Suurimman astian tilavuus on 4,7 litraa. 41. a) Merkitään Vapaudenpatsaan korkeutta kirjaimella x. Mittakaava on pienoismallin ja todellisen patsaan korkeuksien suhde. 1 9, 500 x 1x 9, 500 x 4600 (cm) Vapaudenpatsaan korkeus on 4600 cm = 46 m. b) Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. 1 ( ) Patsaan tilavuus on eli 15 miljoonaa kertainen.

14 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Jos mitat kasvavat 50 %, on uusi mitta 1,5 kertainen vanhaan verrattuna, eli mittakaava on 1 : 1,5. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö, eli (1 : 1,5) = 1 :,5. Pinta-ala kasvaa,5 kertaiseksi, eli se kasvaa 15 %. b) Jos mitat pienenevät 0 %, on uusi mitta 0,8 kertainen vanhaan verrattuna, eli mittakaava on 1 : 0,8. Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio, eli (1 : 0,8) = 1 : 0,51. Tilavuus pienenee 49 %. c) Jos tilavuus kasvaa 75 %, on uusi tilavuus 1,75 kertainen vanhaan verrattuna. Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. k 1, 75 k 1, 75 k 1,05... Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. k 1,75 1,45... Pinta-ala kasvaa 45% Jos lasit ovat yhdenmuotoiset, on tilavuuksien suhde mittakaavan kuutio. Mittakaava on Mittakaavan kuutio on 8 0,96. 7 Tilavuuksien suhde on 1 0, Koska tilavuuksien suhde ei ole yhtä suuri kuin mittakaavan kuutio, lasit eivät ole yhdenmuotoiset.

15 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Objekti on mahdoton, koska jos janoja jatketaan, eivät sivut kohtaa toisiaan. Kyseesä on ns. optinen harha, jossa silmä ja aivot tulkitsevat kaksiulotteisena piirretyn kuvan kolmiulotteiseksi väärin. b) Esimerkiksi:

16 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 416. Koska henkilö seisoo räystään keskikohdalla, muodostuu kuvan mukainen tasakylkinen kolmio, jonka yksi sivu on 1 m ja kysytty kulma on tämän sivun vastainen kulma. Tasakylkisen kolmion kahden muun sivun pituus x saadaan ratkaistua Pythagoraan lauseella kuvassa olevasta suorakulmaisesta kolmiosta ,7 = x x = 40,89 x = 0,07 x 0 (m) Kulma voidaan ratkaista kosinilauseella. 1 = x + x x x cos 144 = 40, ,89 40,89 cos 661,78 = 805,78 cos : ( 805,78) cos = 0,81 = 4,8 = 5 Henkilö näkee räystää 5:n kulmassa.

17 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Sivusärmän ja pohjatahkon välinen kulma on sivusärmän ja sivusärmän projektion välinen kulma. Koska tetraedri on säännöllinen, sivusärmän projektio on pohjatahkolle piirretyn korkeusjanan suuntainen. Merkitään tetraedrin sivusärmän BD pituutta kirjaimella a. Pohjatahkolle piirretyn korkeusjanan BF pituus voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla. BF + FA = AB BF ( 1 a) a 1 BF a a 4 BF a 4 BF a(tai BF a) Koska tasasivuisen kolmion korkeusjanojen leikkauspiste E on myös mediaanien leikkauspiste, jakaa piste E korkeusjanan BF suhteessa : 1. Jana BE on pituudeltaan a a.

18 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kysytty kulma on suorakulmaisen kolmion BED kulma B. Kulma voidaan ratkaista kosinin avulla. cos BE BD a cos a cos 54, ,7 Kulma on 54, Ison tetraedrin sisälle asetetun pienen tetraedrin särmän pituus on puolet ison tetraedrin sivun pituudesta. Ison ja pienen tetraedrin mittakaava on : 1, joten niiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio 8 : 1. Jos pienen tetraedrin tilavuus on V, on ison tetraedrin tilavuus 8V. Neljän pienen tetraedrin tilavuus on 4V, joten oktaedrin tilavuus saadaan vähentämällä ison tetraedrin tilavuudesta pienten tetraedrien tilavuus 8V 4V = 4V. Oktaedrin tilavuuden suhde neljän tetraedrin tilavuuksien summaan on 4V : 4V = 1 : 1.

19 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Esimerkiksi kuusikulmiopohjainen pyramidi. b) Esimerkiksi c) Esimerkiksi ikosaedri, jonka yksi kärki on painunut sisään. d) Kappale, jonka yksi poikkileikkaus on ympyrä, yksi kolmio ja yksi ympyrä.

20 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) Suorakulmion lyhemmän sivun pituus on ikosaedrin sivun pituus a. Merkitään suorakulmion toisen sivun pituutta kirjaimella b. Poikkileikkauskuva suorakulmoista: Sivun b pituus on a + y. b = a + y y = b a Toisaalta sivun b pituus on sellaisen tasasivuisen kolmion kannan pituus, jossa kyljet ovat pituudeltaan ikosaedrin tahkon korkeusjanan pituiset h ja jonka korkeus on y.

21 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Yhden suorakulmion ja ikosaedrin poikkileikkauskuva ylhäältä ja edestä. Saadaan y + ( b ) = h. Ikosaedrin tahko on tasasivuinen kolmio. Tasasivuisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. Yhden tahkon korkeusjanan pituus h voidaan ratkaista suorakulmaisesta kolmiosta. h + ( a ) = a h = a ( a ) h = 4 a Sijoitetaan y ja h yhtälöön y + ( b ) = h. ( b a ) ( b ) a 4 b aba b a 4 4 b aba 0 b aba 0 a( 5 1) a( 51) b (tai b ) b 1 ( 5 1) a Suorakulmion sivujen pituuksien suhde on kultaisen leikkauksen suhde.

22 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Lieriö YDINTEHTÄVÄT 41. a) Lieriön pohja on ympyrä, jonka säde on. Pohjaympyrän ympärysmitta on π = 4π. Lieriön korkeus on 5. A = 4π 5 = 0π b) Lieriön pohja on tasasivuinen kolmio, jonka sivun pituus on. Pohjan ympärysmitta on = 6. Lieriön korkeus on 5. A = 6 5 = 0 c) Lieriön pohja on kuusikulmio, jossa on kaksi pituudeltaan 5 olevaa sivua, kaksi pituudeltaan olevaa sivua ja kaksi pituudeltaan olevaa sivua. Pohjan ympärysmitta on = 0. Lieriön korkeus on. A = 0 = 40

23 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty mm 4. a) Pohjan säde on = 6 mm. Pohjien pinta-ala on π 6 = 59π (mm ). Pohjan ympärysmitta on π 6 mm = 7π mm ja lieriön korkeus on 10 mm. Vaipan ala on 7π 10 = 7416π (mm ). 59π π = 1441,1 (mm ). Pohjien ja vaipan yhteenlaskettu pinta-ala on 1000 mm. b) V = π 6 10 = 41964,9 (mm ) Tilavuus on mm = 0,4 dm = 0,4 l = 4, dl. 4. a) Kappale on suorakulmainen särmiö. Särmiön pohja on suorakulmio, jonka pinta-ala on 6 cm 17 cm = 4 cm. Särmiön korkeus on 17 cm. V = 4 cm 17 cm = 714 cm Kappaleen tilavuus on 710 cm.

24 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Kappale on suora ympyrälieriö. Pohjan ympärysmitta on 0 cm. Ratkaistaan pohjaympyrän säde. π r = 0 : π r 0 4, (cm) π Pohjan pinta-ala on π r = π 4,774 = 71,6 (cm ) Lieriön korkeus on 8 cm. V = 71,6 8 = 57,9 (cm ) Kappaleen tilavuus on 570 cm.

25 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Nurmikentän pinta-ala on 105 m 68 m = 7140 m. Koska tilavuus on pinta-alan ja korkeuden tulo, saadaan korkeus tilavuuden ja pinta-alan osamääränä. V Ah : A h V A 0000 m h,8 m 7140 m Kerroksen paksuus olisi,8 m. 45. Kuution särmän pituus on 14,0 cm, jolloin kuution tilavuus on 14,0 = 744 (cm ). Pohjaympyrän halkaisija ja lieriön korkeus ovat samat kuin kuution 14,0 cm särmän pituus. Pohjaympyrän säde on = 7,0 cm. Lieriön tilavuus on π 7,0 14,0 = 155,1 (cm ). Lieriön ja kuution tilavuuksien suhde on 155,1... 0, Lieriön tilavuus on kuution tilavuudesta 79 %.

26 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 46. a) Taivutetaan lieriö siten, että sen korkeus on 10 mm ja pohjan ympärysmitta 97 mm. Määritetään pohjaympyrän säde. πr1 97 : π r 97 1 π r 47, Lasketaan lieriön tilavuus. V π r1 10 = , (mm ) 4π Taivutetaan toinen lieriö siten, että sen korkeus on 97 mm ja pohjan ympärysmitta 10 mm. Määritetään pohjaympyrän säde. πr 10 : π r 10 π r,4... V r π 97 =10481, (mm ) 4 Lieriöiden tilavuudet ovat mm = 1,5 dm = 1,5 l ja mm = 1,0 dm = 1,0 l V ,... b) Tilavuuksien suhde on 1, V ,8... Sen lieriön, jonka korkeus on 10 mm, tilavuus on 41 % suurempi kuin pienemmän..

27 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Lieriön korkeus on 10 cm ja tilavuus 1 l = 1 dm = 1000 cm. Ratkaistaan näiden tietojen avulla pohjaympyrän säde r. V πr 10 πr :10 πr 100 : π r 100 π r 100 (tai r 10 ) π π r 10 π Pohjan ympärysmitta on πr = πr 0π 5, (cm). π Pellin mitat ovat 5 cm ja 10 cm. 48. Metalliverkot voidaan asetella siten, että kompostorin pohjaneliön sivu on 70 cm ja korkeus 90 cm tai pohjaneliön sivu 90 cm ja korkeus 70 cm. Lasketaan tilavuus kummassakin tapauksessa. V (cm ) V (cm ) Lasketaan tilavuuksien suhde. V , V Pienemmän tilavuus on 78 % isomman tilavuudesta. Verkot tulee asetella siten, että pohjaneliön sivun pituus on 90 cm ja korkeus 70 cm. Jos se kasataan toisin, tilavuudesta menetetään %.

28 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva purkin poikkileikkauksesta. sin 1 0 6,96... Kulma on a) Jos langan reitti piirretään vaippaan ja vaippa avataan, on langan pituus sama kuin vaipan lävistäjän pituus. Vaipan pituus on pohjaympyrän ympärysmitta p = πr = π 10,0 cm = 6,8 cm Langan pituus x saadaan ratkaistua Pythagoraan lauseella. x = p + 16 x = 6, x =40,8 x = 64,8 x 64,8 (cm) Langan pituus on 64,8 cm.

29 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Jos kierroksia on kaksi, on langan pituus kuvan mukainen. y = p + 8 y = 6, + 8 y = 4011,84 y = 6, Koko langan pituus on y = 6, = 16,67 17 (cm). Langan pituus on 17 cm. 41. Ratkaistaan mitan pohjan säde tilavuuden avulla. V = 1 l = 1 dm = 1000 cm. V = A p h πr 15 = 1000 : 15π r = 1, r = 4,60 (tai r = 4,60 ) Pohjan halkaisija on r = 9,1 (cm) Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Merkitään 0,5 l mitan pohjan halkaisijaa kirjaimella x. x 0,5 1 9,1... x 91,01... x 7,1... x 7, (cm) Puolen litran mitan pohjan halkaisija on 7, cm.

30 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Lyhin etäisyys on 6,4. b) Lyhin matka on suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituinen = x x = x = 41 x = 41 (tai x = 41 ) Lyhimmän matkan tarkka arvo on 41.

31 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Laatikon pohjan mitat ovat 7,0 cm = 1,0 cm ja 7,0 cm = 14,0 cm. Laatikon korkeus on 11 cm. Laatikon tilavuus on 1,0 cm 14,0 cm 11,0 cm = 4 cm. 7,0 cm Tölkin pohjan säde on =,5 cm. Yhden tölkin tilavuus on π,5 11 = 4, cm. Tölkkien tilavuus yhteensä on 6 4, cm = 59,9 cm. Laatikossa on ilmaa 4 cm 59,9 cm = 694,0 cm. 694,0... cm Laatikon tilavuudesta on ilmaa 0, %. 4 cm 44. Yhden kultagramman tilavuus saadaan jakamalla massa 1 g = 0,001 kg tiheydellä. 0,001 kg 8 0, dm 5, m 19, kg/dm Ajatellaan kultalanka lieriöksi, jolloin km = 000 m pitkän lieriön pohjan säde saadaan ratkaistua yhtälöstä V = A p h. = πr h 8 V 5, r, (m) πh π 000 Langan poikkileikkaus on r = 5, m 0,006 mm.

32 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Asunnon ilmatilavuus on 10 m,8 m = 6 m. Ajatellaan, että putkessa kulkevasta ilmasta muodostuu ympyrälieriö. Tämän lieriön tilavuus on V = πr h, kun r on putken säde, joka on 100 mm = 50 mm = 0,05 m. Ratkaistaan lieriön korkeus h. π 0,05 h 6 : π 0,05 h 6 π 0,05 h 4780,8...(m) Ilman tulee siis liikkua matka h kahden tunnin aikana eli 600 s = 700 sekunnissa. 4780,8... m Lasketaan nopeus v h 5, (m/s). t 700 s Nopeus on 6 m/s.

33 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 46. Pohjan kolmion ympärysmitta on 80 cm, joten sen yhden sivun pituus on 80 cm. Tasasivuisen kolmion kaikki kulmat ovat 60. Pohjakolmion pinta-ala on A sin 60 07,9...(cm ). 9 Lasketaan tilavuus V Ah ,... (cm ) 9. Särmiön tilavuus on cm = 18 dm = 18 l. Samasta kärjestä lähtevien sivutahkojen lävistäjät ja särmiön yksi pohjasärmä muodostavat kolmion. Sivutahkon lävistäjän pituus x saadaan laskettua Pythagoraan lauseella. x 60 ( 80 ) x x 0 97 (tai x 0 97 ) x 65,6... (cm)

34 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Ratkaistaan lävistäjien välinen kulma kosinilauseella. ( 80 ) x x xxcos 80 ( ) x cos x cos 89 97,4... Kulma on.

35 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Määritetään tynnyrin säde. Tynnyrin tilavuus on 00 l = 00 dm = 0, m. V πr h πr 1,1 0, : π 1,1 0, r π 1,1 r 0,8... Tynnyrin säde on 4 cm, joten öljyä on tynnyrissä yli puolet. Kuvaan merkitty kulma saadaan ratkaistua suorakulmaisesta kolmiosta, jonka hypotenuusa on ympyrän säde r ja toinen kateetti 0, m r = 0,081 m. 0, cos 0, ,9... Segmentin pinta-ala on 60 1 πr rrsin( ) 0,17...(m ) 60 Öljymäärän tilavuus on 0,17 1,1 = 0,147 (m ). Säiliössä on öljyä 14 l. Polttoaineen hinta olisi 14,7 l 4,67 mk/l = 666,4 mk Tynnyrin hinta on 100 mk, joten kokonaishinnaksi tulisi 766,4 mk. Ostaja teki hyvän kaupan.

36 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 1. vaihe: V = = 1. vaihe: Poistettavan kuution sivun pituus on 1, kuutioita on 7. V = 17 ( 1 ) Jäljelle jää siis 0 kuutiota, joiden jokaisen tilavuus on vaihe: Jokaisesta edellisessä vaiheessa jäljelle jääneestä 0 kuutiosta poistetaan 7 kuutiota. Jokaiseen kuutioon jää jäljelle 0 kuutiota, joiden sivun pituus on 1. Kappaleessa on 0 0 = 400 kuutiota. 9 V 400 ( 1 ) vaihe: Jokaisesta edellisessä vaiheessa jäljelle jääneestä 50:stä kuutiosta poistetaan 7 kuutiota. Jokaiseen kuutioon jää jäljelle 0 kuutiota. Kappaleessa on = 8000 kuutiota, joiden sivun pituus on 1. 7 V 8000 ( 1 ) n. vaihe Edellisten vaiheiden avulla voidaan päätellä tilavuus. n1 n1 V n ( n 1) n 1 7 ( ) 7 n1 15 b) Kokeilemalla havaitaan, että ( 0 ) 0, ja 7 Tilavuus on alle 1% 17. vaiheesta alkaen ( ) 0, Kun prosessia toistetaan loputtomiin, tilavuus kerrotaan aina luvulla 0 0,74..., jotta saadaan seuraavan vaiheen tilavuus. Tällöin tilavuus 7 lähestyy nollaa.

37 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Jos huoneen läpi kulkevasta putkesta ajatellaan leikattavaksi pala kohtisuorasti putken seinämää vastaan (punainen katkoviiva) ja tämä pala siirretään putken toiseen päähän, on kappale suora ympyrälieriö, jonka pohjan säde on sama kuin putken säde, eli 10 cm = 5 cm =0,05 m ja korkeus kuvaan merkitty x. Ratkaistaan x.,0 sin 70 x x x sin 70,0 :sin 70,0 x sin 70 x,19... (m) Lasketaan lieriön tilavuus. V π 0,05, , (m ). Putken tilavuus on 0,05 m = 5 dm = 5 l.

38 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Piirretään pohjasta kuva. Neliön sivun pituus on 1. x + a = 1 x = 1 a Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan a + a = x a = (1 a) a = 1 4a + 4a a + 4a 1 = 0 a = 1, 7 tai a = 0,9 Näistä ei kelpaa a:n arvoksi, koska se on suurempi kuin kuution särmän pituus 1. Kahdeksankulmion sivun pituus on 1a 1 1 ( ) 1 Särmiön vaipan ala on 8 ( 1) 1 = 8 8

39 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Särmiön pohjan ala saadaan, kun neliöstä vähennetään nurkkien kolmiot. A 1 pohja 11 4 aa 1a 1 ( ) ( ) ( ) V A pohja 1 Särmiön tilavuus on.

40 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kartio YDINTEHTÄVÄT 441. a) b) V V 1 r h 1 π π 5 15π

41 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Pohjaympyrän säde on 5 cm = 17,5 cm. A r pohja 17,5 96, (cm ) A rs vaippa 17,55 174, (cm ) b) Kappaleen kaikki tahkot ovat tasasivuisia kolmioita. Tasasivuisen kolmion kaikki kulmat ovat 60. A 1 pohja 44sin608 4 A 1 vaippa 44 sin 604 1

42 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Pyramidin pohja on neliö, jonka sivun pituus on 5 m. Pyramidin sivutahkot ovat tasakylkisiä kolmioita. Sivutahkon korkeusjanan pituus a voidaan ratkaista suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseella. a 17,5 a 17,5 a 78,75 a7,97... (tai a7,97...) Pyramidin korkeus h saadaan Pythagoraan lauseella. h h 17,5 a 17,5 78,75 h 476,5 h1,8... (tai h1,8...) Pyramidin tilavuus on V 1 A 1 pohja h 5 5 1, , (m ). Pyramidin vaippa koostuu neljästä tasakylkisestä kolmiosta. A 1 1 vaippa 4 5a 4 57, , (m )

43 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kartion pohjan säde on 5 cm = 1,5 cm. Kartion sivujanan pituus eli sektorin säde voidaan ratkaista suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseella. s s s s 1,5 4 7,5 7,06... (tai 7,06...) 7 (cm) Sektorin säde on 7 cm. Ympyräsektorin keskuskulman suhde koko ympyrän keskuskulmaan on sama kuin sektorin kaaren pituuden suhde koko ympyrän kehän pituuteen πs. Ympyräsektorin kaaren pituus on sama kuin kartion pohjan ympärysmitta, eli π 1,5 cm = 5π cm. 5 π 60 πs , , Sektorin säde on 7 cm ja keskuskulma on 166.

44 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Esimerkiksi: Molempien pyramidien pohja on kolmio ABC. Kummankin pyramidin korkeus on sama kuin kuution sivun pituus. Koska pyramideilla on sama pohjan pinta-ala ja sama korkeus, on niiden tilavuus sama.

45 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 446. Piirretään kuva. Kartion pohjan ympärysmitta on sama kuin sektorin kaaren pituus. Sektori on kolmasosa ympyrästä, jonka säde on 0 cm. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan kartion pohjan säde r. r 1 0 : r 1 0 r 6,66... r 6,7 (cm) Ratkaistaan kartion korkeus h suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseella. h r 0 h 0 r 0 h 400 ( ) h18,85... (tai h18,85...) h 19 (cm) Kartion korkeus on 19 cm.

46 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Pohjan säde on,0 cm. Kartion korkeus h voidaan ratkaista suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseella. h +,0 = 7,8 h = 7,8,0 h = 51,84 h = 7, (tai h = 7,) Lasketaan kartion tilavuus. 1 1 V πr h π,0 7,,6... (cm ) Lasketaan pohjan ja vaipan pinta-alat. Apohja r,0 98, (cm ). A rs. vaippa,07,87, (cm ) Kartion tilavuus on cm, pohjan pinta-ala on 8 cm ja vaipan pintaala on 74 cm.

47 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) A pohja 4,0 4,0 16,0 (cm ) Korkeus h voidaan ratkaista suorakulmaisesta kolmiosta, jossa toinen kateetti on korkeus h, toinen pohjaneliön halkaisijan puolikas ja hypotenuusa pyramidin särmän pituus,9 cm. Pohjan halkaisija d voidaan ratkaista Pythagoraan lauseella. 4,0 + 4,0 = d d = d = 4 (tai d = 4 ) Pohjaneliön puolikas on 4. h + ( ) =,9 h = 0,41 h = 0,640 (tai h = 0,640 ) Pyramidin tilavuus on V 1 A 1 pohja h 16,0 0,640...,41...,4 (cm ) Vaippa koostuu neljästä tasakylkisestä kolmiosta.

48 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sivutahkon korkeusjana voidaan ratkaista Pythagoraan lauseella. a, 0,9 a.9,0 a 4,41 a,1(tai a,1) A vaippa 1 4 4,0,1 16,8(cm ) Pyramidin tilavuus on,4 cm, pohjan pinta-ala on 16 cm ja vaipan pinta-ala on 17 cm a) Pyramidin pohja on säännöllinen kuusikulmio. Pohja voidaan jakaa kuudeksi kolmioksi, joiden kaikkien yksi kulma on Kolmiot ovat tasakylkisiä, joten niiden kaikki kulmat ovat 60. Kuusikulmion pohja muodostuu siis kuudesta tasasivuisesta kolmiosta, joiden sivun pituus on puolet halkaisijan pituudesta 8, eli 4. Pyramidin pohjan pinta-ala on A 1 pohja 6 44sin604. Pyramidin tilavuus on V 1 A 1 pohja h 4 4.

49 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Pyramidin vaippa muodostuu kuudesta tasakylkisestä kolmiosta, joiden kannan pituus on 4. Ratkaistaan kolmioiden korkeusjanan pituus b. Pohjan kolmioiden korkeusjana a voidaan ratkaista Pythagoraan lauseella. a + = 4 a = 1 a = (tai a = ) Ratkaistaan b Pythagoraan lauseella. b = 4 + a b = b = 8 b = 7 ( tai b = 7 ) Pyramidin vaipan ala on A 6 1 vaippa

50 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kartio on suurin mahdollinen, kun sen pohja on suurin mahdollinen ympyrä, joka mahtuu pohjaneliön sisälle ja korkeus yhtä suuri kuin kuution korkeus. Merkitään kuution sivun pituutta kirjaimella a. Tällöin kartion pohjaympyrän säde on a ja kartion korkeus on a. Kuution tilavuus on V aaaa. kuutio Kartion tilavuus on V kartio ( a ) a a a Vkartio Tilavuuksien suhde on 1 a. V kuutio a 1

51 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Merkitään pyramidin pohjan sivun pituutta a, jolloin pyramidin korkeus on a. Pohjan halkaisijan puolikas on b. Sivusärmän ja pohjan välinen kulma on sivusärmän ja sen projektion välinen kulma. Sivusärmän projektio on pohjan halkaisijan puolikas. Ratkaistaan b a:n avulla suorakulmaisesta kolmiosta. (a) + (a) = (b) 8a = 4b b = a b = a (tai b = a) 451. B ja C Ratkaistaan särmän ja pohjan välinen kulma suorakulmaisesta kolmiosta tangentin avulla. tan a b tan a a tan 1 5, Särmän ja pohjan välinen kulma on 5. A kohdassa on liian vähän tahkoja D-kohdassa ei muodostu pyramidia, vain kaksi kuusikulmiota päällekäin.

52 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Lasi on suoran ympyräkartion muotoinen, jossa pohjaympyrän säde on 7,8 cm : =,9 cm ja korkeus 5,4 cm. 1 π,9 5,4 86,01... (cm V ) Lasiin mahtuu juomaa 86 cm = 0,086 dm = 0,086 l = 8,6 cl. b) Juoma ja lasi ovat yhdenmuotoiset kartiot. Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Merkitään kaadetun juoman korkeutta kirjaimella x. 4,0 ( x ) 8,6... 5,4 4,0 x 157,464 8, ,464 x x x 7,... 4, , (cm) Juoman pinta nousee 4, cm korkeudelle. 45. Kartio ja siihen valutettu vesi ovat yhdenmuotoiset, jolloin niiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Kartioiden mittakaava on 1 :, koska vettä on puoleenväliin kartion korkeudesta. Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio, eli 1 : 8. Altaan täyttäminen kestää 0 minuuttia, joten kun veden tilavuus on 1 8 koko altaan tilavuudesta, on kulunut 1 0 min,75 min min 45 s 8.

53 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Varjostimen pinta-ala saadaan, kun kokonaisen kartion vaipan pinta-alasta vähennetään pienen kartion vaipan pinta-ala. Täydennetään katkaistu kartio kokonaiseksi kartioksi. Merkitään katkaistun osan korkeutta kirjaimella x. Koko kartion pohjan halkaisija on 18 cm, joten säde on 9 cm. Katkaistun osan pohjan halkaisija on 10 cm, joten säde on 5 cm. Katkaistu osa ja kokonainen kartio ovat yhdenmuotoiset. Määritetään katkaistun osan korkeus x. x 5 x x709x 4x 70 :4 x 17,5 (cm) Kokonaisen kartion sivujanan s pituus voidaan ratkaista Pythagoraan lauseella suorakulmaisesta kolmiosta. 9 + (14 + x) = s 9 + ( ,5) = s s =,76 (cm) Ratkaistaan katkaistun osan sivujanan pituus. x + 5 = a a = 17,5 + 5 a = 18, (cm) Lasketaan varjostimen pinta-ala. Akokonainen Akatkaistu π 9sπ 5a640, (cm ) Varjostimen verhoiluun tarvitaan 640 cm kangasta.

54 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Piirretään kuva. Merkitään kartion sivujanan pituutta kirjaimella s. Pohjaympyrän halkaisija on 1, joten säde on 6. Korkeus on 8. Lasketaan lieriön pinta-ala. A lieriö = π 6 + π 6 8 = 168π Määritetään kartion sivujanan pituus vaipan laskemista varten. Kartion sivujanan pituus s voidaan ratkaista Pythagoraan lauseella suorakulmaisesta kolmiosta. s = s = 100 s = 10 ( tai s = 10) A kartio = π 6 + π 6 10 = 96π Pinta-alojen suhde on A A kartio lieriö Pinta-alojen suhde on 4 : 7. 96π 4 168π 7 b) Merkitään pohjaympyrän sädettä r, jolloin pohjaympyrän halkaisija on r. Korkeus on r. Lasketaan kartion sivujanan pituus. s = (r) + r s = 5r s = 5 r (tai s = 5 r) A lieriö = π r + π r r = 6πr A kartio = π r + π r 5 r = π(1 + 5 )r Pinta-alojen suhde on A A kartio lieriö π(1 5) r πr 6

55 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 456. Kuution tulee olla sellainen, että sen neljä kärkeä koskettaa kartion vaippaa ja neljä kärkeä on kartion pohjalla. Piirretään kuva. Tarkastellaan kartion poikkileikkausta. Merkitään kuution sivun pituutta kirjaimella a. Ratkaistaan kuution pohjan halkaisija suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseen avulla. d =a + a d = a d = a (tai d = a )

56 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Poikkileikkauskuvion kolmiot ovat yhdenmuotoiset, koska niissä on molemmissa suora kulma ja lisäksi yhteinen kulma (kk). Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhde on vakio. a d 4 a d 4 a a a4( a) 4a8 4a 8a 8 :8 a Kuution tilavuus on a =.

57 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Merkitään pohjaympyrän sädettä kirjaimella r. Sektorin kaaren pituus on pohjaympyrän ympärysmitta. Lasketaan kaaren pituus. b 10 π a πa. 60 Ratkaistaan kartion pohjaympyrän säteen pituus r. πr πa r a Kartion sivujana on a. Ratkaistaan kartion korkeus h suorakulmaisesta kolmiosta. h r a h a r h a ( a ) h 9a a 9 9 h 8a 9 h 8 a(tai h 8 a) h a Lasketaan kartion tilavuus. 1 1 V r h ( a ) a a. 81 Kartion tilavuus on a. 81

58 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) 1. Piirretään pohjaympyrä.. Piirretään ympyrän keskipisteen kautta suora ja suoralle normaali.. Ympyrän ja suorien leikkauspisteet ovat pohjaneliön kärkipisteet. Piirretään neliö. 4. Täydennetään pohjaympyrä lieriöksi ja neliö pyramidiksi, jotka ovat yhtä korkeat. 5. Sivusärmän ja pohjan välinen kulma on sivusärmän ja projektion välinen kulma. Sivusärmän projektio pohjalla on pohjan halkaisijan puolikas. Merkitään kulma. b) Merkitään pohjaympyrän halkaisijaa kirjaimella a. Tällöin pyramidin pohjan halkaisija on a ja korkeus on a. Lasketaan kulma suorakulmaisesta kolmiosta, jossa toinen kateetti on pyramidin korkeus a ja toinen kateetti pohjan halkaisijan puolikas a. tan a a tan 6,4... 6,4 Kulma on 6,4.

59 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Pyramidin pohjaksi voidaan ajatella kuution tahkon puolikas, jonka pinta-ala on 1. Tätä tahkoa vastaan kohtisuorassa on pyramidin särmä, joka on myös kuution särmä. Pyramidin korkeus on siten 1. Pyramidin tilavuus on V b) Pyramidin suurimman tahkon sivun pituus a on sama kuin kuution tahkon halkaisija. Ratkaistaan a suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseen avulla. a = a = a = (tai a = ) Suurin tahko on tasasivuinen kolmio, jonka jokainen kulma on 60. Suurimman tahkon pinta-ala on A 1 sin60 1. Muut tahkot ovat suorakulmaisia kolmioita, joiden kateetit ovat 1. Muiden tahkojen pinta-ala on A Pyramidin pinta-ala on.

60 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Suurimman tahkon ja sivusärmän välinen kulma on kuvaan merkitty kulma. Tahkon korkeusjanan pituus b voidaan ratkaista Pythagoraan lauseella. b ( ) 1 b 1 1 b 1 b 1 (tai b 1 ) Suurimman tahkon ja särmän välinen kulma voidaan ratkaista suorakulmaisesta kolmiosta. tan b 1 tan 1 5,6... 5, Suurimman tahkon ja sivusärmän välinen kulma on 5,.

61 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Täydennetään kartio kokonaiseksi. Katkaistun osan ja kokonaisen kartion pohjat ovat yhdenmuotoiset. Merkitään katkaistun osan korkeutta kirjaimella a. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Määritetään mittakaava kartioiden korkeuksista.

62 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ( h a A ) a a A A1 ( ha) a A A1 h aha a A A a ha h 1 (1 ) 0 A 1 A h 4h 4 (1 ) h A a A 1 1 (1 ) A A1 h 4h 4h 4h A A 1 (1 ) A A1 h h A A1 (1 ) A A1 1 A h( ) A A1 A A1 1 A ha ( ) A A1 A A1 A A ha ( ) A A1 A A1 ha ( ) A ( A A) 1

63 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Korkeuden tulee olla positiivinen. Koska A < A 1, on erotus A A 1 < 0. Jotta korkeus a olisi positiivinen, tulee osoittajankin olla negatiivinen, eli osoittajassa tulee olla erotus A A1. V V 1 1 iso Vpieni A1( ah) A a 1 (( A1 A ) a Ah 1 ) 1 1 (( A1 A ) 1 ( A A ha ) Ah 1 ) A ( A A) 1 A ) A A1 A1h A 1 ( ha ( ) ) 1 A ( AA 1 h A ( ) A1 ) A h ( A 1 AA 1 A )

64 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Pallo YDINTEHTÄVÄT 461. I tosi Jana AB on pallon säde. II epätosi Jana BC ei ole pallon halkaisija III tosi Isoympyrän kehän pituus on π r = π 10 = 0π. IV epätosi Isoympyrän pinta-ala on π r = π 10 = 100π. 46. a) Pohjan säde on 65 m : =,5 m. Hallin tilavuus on puolet pallon tilavuudesta. 1 4 V, ,6... Hallin tilavuus on 7000 m. b) Hallin katon pinta-ala on sama kuin puolipallon pinta-ala. 1 4,5 A 666,6... Hallin katon pinta-ala on 6600 m. 46. Pienen pallon säde on 6 cm : = cm ja ison 8 cm : = 4 cm. Lasketaan jäätelön tilavuus kummassakin vaihtoehdossa. Vpienet 4 6, (cm ) 4 Viso 4 68, (cm ) Kannattaa ottaa iso, koska sen tilavuus on suurempi kuin kahden pienen.

65 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kulma = 90 66,5 =,5. Pohjoisen napapiirin säde on r. sin,5 r r 670sin,5 r 540,0... (km) Lasketaan napapiirin pituus. πr = π 540,0 = 15959, (km). Pohjoisen napapiirin pituus on km a) Pallon keskipiste on kuution lävistäjien leikkauspiste ja pallo koskettaa kuution tahkoja tahkon halkaisijoiden leikkauspisteessä. 1. Piirretään neliö ja täydennetään se kuutioksi.. Piirretään kuutiolle kaksi lävistäjää. Pallon keskipiste on lävistäjien leikkauspiste.

66 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuution yhdelle tahkolle lävistäjät. Pallo sivuaa tahkoa lävistäjien leikkauspisteessä. Piirretään pallo. b) Olkoon kuution särmän pituus a. Pallon halkaisija on tällöin myös a, eli säde on a. Kuution tilavuus on a. Pallon tilavuus on 4 ( a ) 4 a a. 8 6 Tilavuuksien suhde on a 6. a 6

67 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 466. a) Kakun säde on 0cm = 10 cm. Lasketaan puolipallon tilavuus. 1 4 V ,... Kakun tilavuus on 100 cm. b) Lasketaan puolipallon pinta-ala ,... Sokerimassapinnan pinta-ala on 60 cm. c) ,... 61, Palan tilavuus on 60 cm Kuoren tilavuus saadaan kun koko appelsiinin tilavuudesta vähennetään kuorettoman osan tilavuus. Appelsiinin säde on 11cm = 5,5 cm. Lasketaan koko appelsiinin tilavuus. V 4 koko 5,5 696,9... (cm ). Kuorettoman osan säde on 5,5 cm 0,6 cm = 4,9 cm. Lasketaan kuorettoman osan tilavuus. V 4 kuoreton 4,9 49,8... (cm ) Lasketaan kuoren tilavuus. V kuori = 696,9 49,8 = 04,1 (cm ) Kuoren osuus koko appelsiinin tilavuudesta on 04,1... 0, %. 696,9...

68 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Ratkaistaan pallon säde, kun pinta-ala tunnetaan. A4r 4r 16 :4 r 4 r (tair ) Lasketaan pallon tilavuus. 4 4 V r 4 8 b) Ratkaistaan pallon säde, kun tilavuus tunnetaan. V 4 r 4 r 6 4r 108 : r 4 r 7 r (tair ) Lasketaan pallon pinta-ala. A = 4π = 4π 9 = 6π

69 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Lyhin matka on Seinäjoen kautta kulkevaa pituuspiiriä, eli maapallon isoympyrää pitkin. Matka on sektorin kaaren pituus. 647 = 6 + (47 : 60) = 6,78 Lasketaan sektorin kaaren pituus. 6, ,0 10 6, ,0 10 (m) 60 Etäisyys on m = 7000 km.

70 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kulma = 90 66,5 =,5. Pohjoisen napapiirin säde on r. Ratkaistaan r suorakulmaisesta kolmiosta sinin avulla. sin r r 671sin,5 r 540,4... (km) Tunnelin AB pituus on suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus. r + r = AB AB = r AB = 540,4 AB = 59,71 AB 590 (km) Tunnelin pituus on 590 km. b) Lasketaan kaaren AB pituus , , (km) 60 Kaaren pituus on 990 km.

71 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään kuution särmän pituutta kirjaimella a. Pallon halkaisija on sama kuin kuution avaruuslävistäjän pituus d a a a a a. Pallon säde on r a. Kuution tilavuus on a. Pallon tilavuus on 4 4 r ( a ) 4 a 8 a. Kuution ja pallon tilavuuksien suhde on a. a

72 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Merkitään pallon säde r. Lasketaan pallon tilavuus. Pallon säde voidaan ratkaista kuvaan muodostuvan suorakulmaisen kolmion avulla. Kolmion toinen kateetti on pituudeltaan (4 r) cm ja toinen kateetti cm. Pythagoraan lauseen avulla muodostetaan yhtälö, josta ratkaistaan r. (4 r) + = r 16 8r + r + 4 = r 8r = 0 : ( 8) r =,5 (cm) Jäätelöpallon tilavuus on V 4 4 pallo r,5 65, (cm ) Vohveliosan tilavuus on V 1 vohveli 11 46,07... (cm ) Jäätelö ei mahdu vohveliin.

73 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään seinämän paksuutta kirjaimella x. Palloon tarvittavan messingin tilavuus saadaan, kun koko pallon tilavuudesta vähennetään sisälle jäävän onton osan tilavuus. 100 mm Pallon säde r on puolet halkaisijasta, eli r = Lasketaan pallon tilavuus V r ( rx) 5,0 (5,0 x) = 50 mm= 5,0 cm. Pallon tilavuus voidaan selvittää myös pallon massan avulla. Massa on tiheyden ja tilavuuden tulo, joten tilavuus saadaan, kun massa 150 g = 0,150 kg jaetaan tiheydellä 7,8 kg/dm. 0,150 kg V 0, dm 19,... cm 7,8 kg/dm Saadaan yhtälö, josta ratkaistaan x ,0 (5,0 x) 19, x = 0,0619 x 0,06 (cm) Pallon seinämän paksuus on 0,6 mm.

74 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Ratkaistaan pallon säde r kuvaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseen avulla. 1 + (r 5,0) = r r 10r + 5 = r 10r = 194 : ( 10) r = 19,4 (cm) Pallon tlavuus on 4 4 V r 19,4 058,9... (cm ) 0, (m ) Massa on tiheyden ja tilavuuden tulo. m = 0, = 40,8 40 (kg) Kuulan massa on 40 kg.

75 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 475. Jos pallon säde on r on kartion pohjan halkaisija r, eli kartion pohjan säde on r. Lasketaan suoran ympyräkartion tilavuus. 1 ( ) Vkartio r h r h. 1 Pallon tilavuus on V 4 pallo r. Merkitään tilavuudet yhtä suuriksi ja ratkaistaan kartion korkeus h.. rh 4 r 1 1 rh16 r : r, r0 h16r Kartion korkeuden tulee olla 16-kertainen pallon säteen pituuteen verrattuna Kuution pohjan keskipiste ja puolipallon leikkausympyrän keskipiste ovat sama piste. Halkaistaan kappaleet pitkin kuution pohjan halkaisijaa ja tutkitaan poikkileikkausta. Merkitään kuution särmää kirjaimella a, jolloin kuution pohjan halkaisijan pituus d voidaan ratkaista Pythagoraan lauseella. a + a = d d = a d = a (tai a ) Piirretään kuva poikkileikkauksesta.

76 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Ratkaistaan puolipallon säde r suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseen avulla. a ( a) r r a a 4 r a r a (tai r a) Lasketaan molempien kappaleiden tilavuudet. V aaaa kuutio V 1 4 puolipallo r ( a) a Vkuutio Tilavuuksien suhde on a 1 0, Vpuolipallo a Kuution tilavuus on 6 % puolipallon tilavuudesta.

77 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Appelsiinien keskipisteet voidaan yhdistää siten, että muodostuu säännöllinen neliöpohjainen pyramidi. Pyramidin jokaisen särmän pituus on kahden appelsiinin säde eli r. Koko rakennelman korkeus on kyseisen pyramidin korkeus h lisättynä kahden appelsiinin säteellä, koska rakennelman pohja ja huippu ovat säteen etäisyydellä appelsiinin keskipisteestä. Pyramidin korkeus h voidaan ratkaista pyramidin sisään piirretyn suorakulmaisen kolmion avulla. Ratkaistaan pohjan halkaisijan pituus d. (r) + (r) = d d = 8r d = r (tai d = r ) Ratkaistaan pyramidin korkeus h. h ( r ) ( r) h r 4r h r h r (taih r) Rakennelman korkeus on rrr ( ) r.

78 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Appelsiinien keskipisteet yhdistettäessä muodostuu säännöllinen kolmiopohjainen pyramidi. Jokainen pyramidin särmä on pituudeltaan 4r. Jokainen pyramidin tahko on tasasivuinen kolmio. Pyramidin korkeusjana h leikkaa pohjatahkon pisteessä, jonka etäisyys kärjestä on a. Tämä piste on korkeusjanojen leikkauspiste. Piirretään kuva pyramidin pohjasta. Pohjatahkon korkeusjana b puolittaa kannan. Pohjatahkon korkeusjanan pituus b voidaan ratkaista Pythagoraan lauseella. b + (r) = (4r) b = 16r 4r b = 1r b = r (tai b = r) Tasasivuisessa kolmiossa korkeusjanat ovat myös kulmanpuolittajia. Kulmanpuolittajalauseen perusteella a = b = r 4 r. Ratkaistaan pyramidin korkeus h.

79 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a h (4 r) h 16r a 4 h 16 r ( r) 16 h 16r r 9 96 h r 9 h r h4 r (taih4 r) Rakennelman korkeus on 4 rrr ( 4 ) r ( ) r a) Kun ympyrä jaetaan yhtä suuriksi sektoreiksi, lähestyy sektoreiden muoto kolmion muotoa. Tällaisen kolmion korkeus lähestyy ympyrän säteen pituutta r, kun sektoreiden määrä kasvaa suureksi. Kun sektoreita on n kappaletta, yhden kolmion kannan pituus on p n. Kolmioiden yhteenlaskettu pinta-ala on 1 p An r 1 pr. n

80 Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Pallo voidaan levittää appletin mukaisesti auki, jolloin pallon tilavuus muodostuu kartioiden tilavuuksista. Kartioita on n kappaletta, joten yhden kartion pohjan pinta-ala on A. Kartion korkeus on likimain n pallon säde r, kun kartioiden lukumäärä kasvaa suureksi. Kartioiden yhteenlaskettu tilavuus on V n 1 A r 1 ra. n c) Koska pallon tilavuus on 1 V ra ja toisaalta V 4 r, voidaan tilavuudet kirjoittaa yhtä suuriksi ja ratkaista pallon pinta-ala A. 1 ra 4 r ra 4 r : r A4r Piirretään pallo, jonka säde on r.. Piirretään pallon pinnalle piste.. Piirretään kartio, jonka pohjan keskipiste on pallon keskipiste, kärki pallon pinnalla oleva piste ja säde sama kuin pallon säde r.