MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut a) α = β = o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0, = 59,232 0,232 = 0, = 13,92

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92"

Transkriptio

1 MAB Kertaustehtävien ratkaisut 10. a) α = β = , , b) α = 11,987 0,987 = 0, = 59, 0, = 0, 60 = 1,9 α = ,9 = β = 95,4998 0, 4998 = 0, = 9,988 0, 988 = 0, = 59,8 β = ,8 = a) 6 79 mm = 6,79 m 0,0019 km = 1,9 m b) 0,0 ha = 0 m cm = 5,9 m c) cm = 4,5 l 0,64 m = 640 l 1 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 1

2 1. Pieni klmi: α = = 65 β Is klmi: β = ( ) = 40 Keskisuuri klmi: γ γ = = 80 α 1. a) 10 cm = 1,0 m A = 1,0 45 = 4 14, (m ) m = 41 a b) 84,5 cm = 0,845 m p = ,845 = 11,8 11 (m) Tdellisuudessa aitaa tarvitaan nin 11,5 m. 14. Kpiitaessa kuvaa suurennettiin 5 %. Kpin leveys li 4,5 cm ja krkeus 1,4 cm. Leveys alkuperäisessä: Krkeus alkuperäisessä: 4,5 19,6 (cm) 1,5 1,4 9,9 (cm) 1,5 15. Vieruskulmien summa n 180. α = = 140 Samankhtaiset kulmat α ja β vat yhtä suuret, kska surat l ja s vat yhdensuuntaiset. α = β = 140 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

3 16. Kartta, jnka mittakaava n 1 : , kpiidaan kpikneella 1,41-kertaiseksi. Tien pituus kpissa n 9,9 cm. Tien pituus alkuperäisessä kartassa n 9,9 1,41 7,0 (cm). Merkitään tien pituutta lunnssa :llä Kerrtaan ristiin. = (cm) cm = 7,0 km 17. a) A 4, 4,7 10, (cm ) b) Klmin A1 pinta-ala n A 1. Klmin A pinta-ala n A 1 4. Klmin A pinta-ala n A 1 1,5. Nelikulmin pinta-ala n A = 4 = 1. Klmin Ak pinta-ala n A k 1 1,5 5,5. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

4 18. Kahden ympyrän säteiden suhde n 5 : 7. a) Kska sekä säteen että kehän pituus vat pituusmittja, myös kehien pituuksien suhde n 5 : 7. b) Pinta-aljen suhde n mittakaavan neliö eli 5 : Klmin ABC sivujen pituudet vat 18,0 cm, 4,0 cm ja 0,0 cm. Sen kanssa yhdenmutisen klmin A B C pisin sivu n 9,0 cm. 18,0 9,0 0,0 Kerrtaan ristiin. y 4,0 9,0 0,0 Kerrtaan ristiin. 0 = 18,0 9,0 0y = 4,0 9,0 0 = 16,0 : 0 0y = 16,0 : 0 = 5,4 (cm) y = 7, (cm) 10. Pelln pinta-ala n 5 ha. Kartan mittakaava n 1 : Pelln pinta-ala kartalla n. Pinta-aljen suhde n mittakaavan neliö Kerrtaan ristiin = 5 : = 0, (ha) 0, ha = 0, a = 0,0005 cm = 0,05 dm = 5 cm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 4

5 11. Piin käsi n pulen metrin etäisyydellä seinästä. Varjn leveys n 15 cm ja Piin käden leveys 9,5 cm. Lampun etäisyys seinästä n. 0,5 15 9,5 9,5 = 15( 0,5) 9,5 = 15 7,5 15 5,5 = 7,5 : ( 5,5) = 1,6 1,4 (m) 1,4 m = 140 cm 1. Asuntesitteen kuvan mittakaava n 1 :. Kuvassa 10 m :n asunt n 4,8 cm :n suuruinen. 10 m = cm 4, Pinta-aljen suhde n mittakaavan neliö. 4, Kerrtaan ristiin. 4, : 4, Negatiivinen juuri ei käy. = 500 Mittakaava n 1 : 500. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 5

6 06. Ertumari juksee jalkapallkentän nurkasta nurkkaan. Kuinka pitkän matkan hän juksee? Kentän mitat vat 64 m 100 m. Ertumari kävelee surakulmin lävistäjää pitkin: = = m 64 m Negatiivinen juuri ei käy. = 118,7 10 (m) 07. Ympyrän mutisen hpeisen kaulakrun ympärysmitta n 4,0 cm. p = r Krun säde n r = 4,0 : r 4,0 6, ,7 (cm). 08. Teltan pääty n tasakylkinen klmi. Se n,6 m leveä ja reunjen pituus n,4 m. h + 1,8 =,4 h +,4 = 5,76,4 h =,5 h,5 h = 1, ,587 (m) Negatiivinen juuri ei käy. h,4 Klmin pinta-ala n A k,6 1,587,8566,9 (m ).,6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6

7 09. Sisu peri isäidiltään pulisuunnikkaan mutisen metsäpalstan. Sen yhdensuuntaisten sivujen pituudet vat 1, km = 1 00 m ja 1,5 km = m ja sivujen välinen etäisyys 10 m. A a b h (m ) m = 4 00 a = 4 ha Taulun sivujen pituuksien suhde n 6 : 8 ja lävistäjän pituus 1,7 m. Lasketaan Pythagraan lauseesta. (6) + (8) = 1, =, =, =,89 : 100 = 0,089 1, ,089 Negatiivinen juuri ei käy. = 0,17 (m) Sivut vat 6 = 6 0,17 = 1,0 (m) 8 = 8 0,17 = 1,6 (m). Pulikkaan pinta-ala n 1,0 1,6 A k 0,696 (m ). Kk taulun pinta-ala n 0,696 = 1,87 1,4 (m ). 11. Ihmisen näkökenttä n pystysuunnassa nin 10º. 1 m krkea hieskivu peittää rinteessä seisvan Visan näkökentän. Lasketaan puun etäisyys Visasta. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7

8 10 65 tan65 10,5 tan65 = 10,5 10,5 tan65 : tan = 4,896 4,9 (m) 1. Säännöllisen 10-kulmin mutisen pulijukkueteltan pisin lävistäjä n 4,8 m sin18,4,4,4 m =,4 sin 18 = 0, ,741 (m) Teltan sivun pituus n = 0,741 = 1,48 1,5 (m). 1. Säilyketölkin phja n ympyrän mutinen. Phjan pinta-ala n 8 cm. Lasketaan säde. r = 8 : 8 r 8 r Vain psitiivinen juuri kelpaa. r =,47789,477 (cm) d = r =,477 = 6,954 7,0 (cm) 14. Pesäpallssa ktipesä n puliympyrä, jnka säde n 5,0 m. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8

9 Ktipesän turvaksi n tehty,0 m leveä suja-alue. Kk ympyrän pinta-ala n Att = r = 7. Sisäympyrän pinta-ala n Asis = r = 5. Suja-alueen pinta-ala n A suj a 1 ( 7 5 ) 7, (m ). 15. Tasakattiseen maktitaln tehdään harjakatt. Taln leveys n 7, m ja pituus 9,1 m. Katn reunat mudstavat asteen kulman vaakatasn suhteen. Reunjen halutaan jatkuvan 5 cm seinien yli. Lasketaan.,6 cs cs =,6 : cs,6 c s Pellin mitat: = 4, ,9 (m) 4,9 + 0,5 = 9,86 (m) 9,1 + 0,5 = 9,8 (m) Pellin pinta-ala: 9,86 9,8 = 91, (m ) 5 cm,6 m 16. Maailman suurimman puun ympärysmitta n 5,1 m. Oletetaan, että puun pikkipinta n likimain ympyrä. a) Ympärysmitta n p = d Puun halkaisija n d = 5,1 : Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9

10 d 5,1 7, ,0 (m). b) Puun pikkipinta-ala n A = r =,995 = 50,198 50,14 (m ). 50,14 m = 5014 m = m Yksi lapsi vie tilaa keskimäärin 700 cm, jten lapsia mahtuu , Lumin mpn npeusmittarissa n lukemat 0 60 km/h. Kun hän kiihdyttää mpnsa npeuteen 40 km/h,,5 cm pitkän sittimen kärki n kulkenut 6, cm:n matkan. Lasketaan kulma α sektrin kaaren kaavasta. b r 60,5 6, α = : 7 α = 10, Lasketaan ala apukuviiden avulla. 66 A1: A: A: 14 Kk surakulmin pinta-ala n A = 7 10 = 70. Klmin pinta-ala n Ak = 70 ( ) = 70 7 =. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 10

11 7 t a n 1 4 α1 = 60,551 60,6 6 t a n 1 6 β1 = 45 α = ,6 = 74,74 74,7 α = = 45 t 1 0 a n 1 β = 84,894 84,9 β = ,9 = 50,71 50,7 γ = ,7 50,7 = 54,6 19. Kuru seis Rapajen rannalla. Hän näkee jen vastarannan 1 vaakatasn alapulella. Oman rannan pulella jki n 48 hrisntin alapulella. Kuru tekee havaintnsa 1,75 m:n krkeudelta. 1,75 tan78 1,75 1,75 1 = 1,75 tan78 = 8,1 8, (m) y y 1,75 tan 4 1,75 y = 1,75 tan4 y = 1,5757 1,576 (m) Jen leveys n 8, 1,576 = 6,657 6,7 (m). 0. Ympyrän sektrin keskuskulma pienenee puleen ja säde kaksinkertaistuu. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 11

12 Keskuskulma alussa ja säde r. Sektrin pinta-ala ennen muutsta: A s1 60 r Sektrin pinta-ala muutksen jälkeen: A s 1 60 (r) r r 60 Pinta-ala kaksinkertaistuu. 1. Ympyrän kaaren pituus n 1, cm ja säteen 14,0 cm. Lasketaan kaarta vastaavan jänteen pituus. 14,0 1, α = : α = 87, ,17 Surakulmaisen klmin kulma n 87 4,585 sin4, = 14 sin 4, = 9,6501 9,65 (cm) Jänteen pituus n = 9,65 = 19,04 19, (cm).. Kartin sisään laitettiin pall kuvan mukaisesti. sin7,5,5,5 sin7,5 =,5 : sin7,5 7,5 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 1

13 ,5 sin7,5 = 7, ,580 (cm) Kartin krkeus n,5 + 7,580 = 11,079 11,1 (cm).. Kynnysmatt n ympyrän segmentin mutinen. Sen krkeus n 5 cm ja leveys 90 cm. Lasketaan säteen pituus Pythagraan lauseella. r = (r 5) + 45 r = (r 5)(r 5) + 05 r = r 5r 5r r = r 70r : +70r 70r = 50 : 70 r = 46,485 46,4 (cm) Lasketaan kulman α suuruus. sin 45 46,4 α = 75,740 75,74 α = 151,48 Klmin pinta-ala n A k 90 (46,4 5) Sektrin pinta-ala n 514,5 (cm ). A s 151, ,4 849, ,71 (cm ). Matn pinta-ala n A = 849,71 514,5 = 5,6 00 (cm ) 00 cm = dm. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 1

14 99. Suran ympyrälieriön mutisen jumalasin sisäsan krkeus ja suuaukn halkaisija vat mlemmat 6,7 cm. r d 6,7,5 (cm) V = Ap h = r =,5 6,7 = 6,1 6 (cm ),0 litrasta (=,0 dm = 000 cm ) virvitusjumaa saa täysiä lasillisia ,7eli 1 täyttä lasillista Rantapalln ympärysmitta n 8 cm. r = 8 : 8 r 1, (cm) Tilavuus n V 4r 4 1, , (cm ) Pallssa n ilmaa 9 00 cm = 9, dm = 9, l Suran ympyrälieriön phjaympyrän halkaisija n 6,0 cm. Lieriön vaipan ala n 4 cm. Av = dh 6,0 h = 4 : 6,0 h 4 6,0 h = 1,41 1 (cm) 40. Surakulmaisen särmiön tilavuus n 50 cm. Särmiön phja n neliö, ja särmiön phjaneliön sivun pituus n pulet särmiön krkeudesta. Merkitään phjaneliön sivun pituutta :llä. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 14

15 = 50 = 50 : = = 5,5944 5,59 (cm) Krkeus n h = = 5,59 = 11,186 11, (cm). 40. Minttu sti elkuvanäytökseen evääksi ppcrneja, jita myytiin suran ympyräkartin mutisessa kannettmassa pahvipakkauksessa. Pakkauksen krkeus li 1,5 cm ja suuaukn halkaisija 9,0 cm. r d 9,0 4,5 (cm) Lasketaan sivujanan pituus s. s = 4,5 + 1,5 s = 176,5 s 176,5 Vain psitiivinen juuri kelpaa. s = 1,85 1,9 (cm) Vaipan ala n Av = rs = 4,5 1,9 = 187, (cm ). 190 cm = 1,9 dm 404. Sisu tekee 5 cm paksuun jäähän pyöreän avannn. Avannn halkaisija n 55 cm. Avannsta kairataan pis ympyrälieriön mutinen jääkimpale. r d 55 7,5 (cm) V = Ap h = r h = 7,5 5 = 59 95, (cm ) Avannsta pistettavan jään massa, kun jään tiheys n 0,9 g/cm, n m = ,9 = , (g) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 15

16 g = 55 kg Säännöllisen neliöphjaisen pyramidin phjasärmän pituus n 14,0 cm. Pyramidin sivutahkjen ja phjan välinen kulma n 68. Lasketaan krkeus h. tan68 h 7 7 h h = 7 tan h = 17,56 17, (cm) Tilavuus n V A p h 14,0 14,0 17, 1 1, (cm ) cm = 1,1 dm 406. Taln 6,0 m = 600 cm pitkän seinän viereen tehdään hiekan avulla tasainen kallistus, niin että sadevedet valuvat talsta pispäin. Kallistettavan alueen leveys n,5 m = 50 cm. Hiekkakerrksen syvyydeksi halutaan seinän vierestä 40 cm ja,5 metrin päässä seinästä 0 cm. Hiekka n lieriönä, jnka phjat vat pulisuunnikkaita. Pulisuunnikkaan pinta-ala n A p (cm ). Hiekan tilavuus n V = Ap h = = (cm ) cm = 5 50 dm = 550 l Hiekkaa hankitaan 640 litran säkeissä, jten säkkejä tarvitaan ,0... eli 9 kpl Palllla ja kuutilla n sama tilavuus, 1,0 l = 1,0 dm. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 16

17 Lasketaan palln säde sen tilavuudesta. V 4 r 4 r 1 4r = : 4 r r 4 4 r = 0,605 0,60 (dm) Palln pinta-ala n A = 4r = 4 0,60 = 4,805 4,8 (dm ). Lasketaan kuutin sivun pituus sen tilavuudesta. V = a = 1,0 a 1,0 a = 1,0 (dm) Kuutin pinta-ala n A = 6a = 6 1,0 = 6,0 (dm ). Kuutin pinta-ala n palln pinta-alasta 6,0 1,46...1,4 14, %. 4,8 Kuutin pinta-ala n 14, % 100 % = 4, % 4 % suurempi kuin palln. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 17

18 408. Helsingistä Utsjelle n matkaa linnuntietä pitkin km. Maapalln ympärysmitta n km. Lasketaan maapalln säde R. R = : R R = 666, , (km) Matka linnuntietä pitkin n kaaren pituus. b 60 r α = : α = 10,5 10,5 5,175 Lasketaan. sin5, , 6 66, = 6 66, sin5,175 = 574, , (km) Matka lyhenee 1150 = , = 1,56 1,6 (km) Suralle ympyräkartille kääritään vaippa ympyrän sektrista, jnka säde n s = 15,0 cm ja keskuskulma 5. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 18

19 Sektrin kaari n b 60 5 r 60 15,0 61,59 (cm). Sektrin kaari n phjaympyrän kehä. b = d : b d 61,59 d 19,588 (cm) 19,588 r 9,79165 (cm) Lasketaan kartin krkeus. h + 9,79165 = 15,0 9,79165 h 15,0 r h = 19,16 h 19,16 Vain psitiivinen juuri kelpaa. Ympyräkartin tilavuus n h = 11,656 11,6 (cm) V r h 9, , , (cm ) cm = 1,14 dm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 19

20 Harjituskkeet Ke 1 1. a) Pythagraan lause: + 4,5 = 6,9 + 0,5 = 47,61 0,5 = 7,6 7,6 Negatiivinen juuri ei käy. = 5,06 5, (cm) b) Tasaisella maalla sijaitsevan lipputangn varjn pituus li 16,9 m, kun auringnsäteet khtasivat maanpinnan 8 asteen kulmassa. Lasketaan lipputangn krkeus. 16,9 tan 8 16,9 tan8 16,9 16,9 8 8, ,0 (m). a) Hevsta esittävän piirrskuvan leveys n 4,8 cm ja krkeus,4 cm. Kuvasta tetaan kpikneella suurenns. Suurennetun kuvan krkeus n 5,9 cm. Lasketaan suurennetun kuvan leveys verrannn avulla. 5,9,4 4,8 Kerrtaan ristiin.,4 = 5,9 4,8,4 = 8, :,4 = 8,94 8, (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0

21 b) Ympyrän pinta-ala n 4 cm. Lasketaan ympyrän säde. A = r r = 4 r 4 : Negatiivinen juuri ei käy. r =,656,7 (cm). Kartan mittakaava n 1 : Järven pinta-ala kartalla n 1 cm. Lasketaan järven tdellinen pinta-ala. Pinta-aljen suhde n mittakaavan neliö. A m A 1 n Kerrtaan ristiin. = = (cm ) cm = dm = m = 000 a = 0 ha =, km 4. Tasakylkisen klmin kannan pituus n 5,4 cm ja kylkien pituus 9,8 cm. Lasketaan klmin krkeus Pythagraan lauseella. h +,7 = 9,8 h + 7,9 = 96,61 7,9 h = 88,75 9,8 h 9,8 h 88,75 Negatiivinen juuri ei käy. 5,4 h = 9,407 9,41 (cm) Klmin pinta-ala n Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 1

22 A 9,41 5,4 5,467 5 (cm ). 5. Ympyrän halkaisija n 15,0 cm. Sektrin kaaren pituus n 5,0 cm. Lasketaan ympyrän sektrin keskuskulman suuruus. b 60 r 15,0 5, ,0α = : 15,0 α = 190, Suran ympyrälieriön mutisen vesisaavin krkeus n 8 cm ja phjan halkaisija 58 cm = 5,8 dm. Saaviin kaadetaan 150 litraa = 150 dm vettä. Lasketaan veden krkeus. r d 5,8,9 (dm) V = Ap h = r h,9 h = 150 8,41h = 150 : 8,41 h = 5,677 5,7 (dm) 5,7 dm = 57 cm Pinta jää suuaukn yläreunasta 8 57 = 5 (cm). 7. Khefrenin pyramidin phjasärmän pituus n 14,5 m. Pyramidin sivutahkjen ja phjan välinen kulma n 5. Laske pyramidin massa, kun kiviaineksen tiheys n 700 kg/m. Lasketaan krkeus. tan5 h 107,5 107,5 h = 107,5 tan5 h = 14,55 14, (m) h 5 107,5 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

23 V y A p h 14,5 14,5 14, ,55 (m ) Pyramidin massa n tilavuus kertaa tiheys. m = , = (kg) 8. Klmin kahden sivun pituudet vat 5, cm ja 7, cm ja sivujen välisen kulman suuruus n 1. Lasketaan sivun pituus. sin1 5, 5, = 5, sin1 =,67819,678 (cm) Lasketaan sivun y pituus. cs1 y 5, 5, y = 5, cs1 y = 4,4576 4,457 (cm) Lasketaan sivun z pituus. z = 7, y = 7, 4,457 =,84 (cm) Lasketaan sivun s pituus Pythagraan lauseen avulla. s =,84 +,678 s = 15,54 7, y 1 5, z s s 15,54 Negatiivinen juuri ei käy. s =,905,9 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut

24 9. Pall n pakattu mahdllisimman pieneen suran ympyrälieriön mutiseen laatikkn. Merkitään palln sädettä r:llä. Lieriön krkeus n r. h = r Lieriön tilavuus n VL = r h = r. Palln tilavuus n V P 4r. Palln tilavuuden suhde lieriön tilavuuteen n 4r : r 4r 1 r r 0, ,67 %. Lieriössä n tyhjää tilaa 100 % 66,67 % =, % %. Ke 1. a) Ympyrän halkaisija n 7,8 cm. r d 7,8,9 (cm) Ympyrän pinta-ala n A = r =,9 = 47,78 48 (cm ). b) cs67 4,7 cs67 = 4,7 4,7 cs 67 : cs67 1, ,0 (cm). a) Surakulmin mutisen hiekkakentän leveys n 6 m ja lävistäjän pituus 41 m. + 6 = 41 Pythagraan lause = = Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 4

25 1005 Negatiivinen juuri ei käy. = 1,70 (m) b) Pulisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen pituudet vat 11, cm ja 15,9 cm. Pulisuunnikkaan krkeus n 5,0 cm. Pulisuunnikkaan pinta-ala n a b 11, 15,9 A h 5,0 67,75 68 (cm ).. Lähes sura 1 km = cm pitkä maantie li kartalla 4 cm pitkä. Kartan mittakaava n eli 1 : Tasaisella maalla kasvanut puu kaatui myrskyssä niin, että pystyyn jääneen tyvisan krkeus li,1 m ja kaatunut latvasa sui maanpintaan 16 asteen kulmassa. Lasketaan kaatuneen latvasan krkeus. sin16,1,1 16 sin16 =,1,1 sin16 : sin16 7, ,619 (m) Puun krkeus n 7,619 +,1 = 9,719 9,7 (m). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 5

26 5. Kuutin kknaispinta-ala n 180 cm. Lasketaan sivun pituus pinta-alan avulla. A = 6 6 = 180 : 6 = 0 0 Vain psitiivinen juuri kelpaa. = 5,477 5,477 Kuutin tilavuus n V = = 5,477 = 164,9 160 (cm ). 6. Suran ympyräkartin mutisen kannellisen jäätelötuutin pakkauksen krkeus n 14,7 cm ja kannen halkaisija n 6,0 cm. Laske pakkauksen kknaispinta-ala. r d 6,0,0 (cm) Lasketaan sivujanan s pituus Pythagraan lauseen avulla. s = 14,7 +,0 s = 5,09 s 5,09 Vain psitiivinen juuri kelpaa. s = 15,009 15,00 (cm) Vaipan ala n Av = rs =,0 15,00 = 141,71 141,4 (cm ). Kannen ala n Ap = r =,0 = 8,74 8, (cm ). Kknaispinta-ala n Av + Ap = 141,4 + 8, = 169,7 170 (cm ). 170 cm = 1,7 dm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6

27 7. Ympyrän halkaisija n 7,0 cm. Ympyrän sisään n piirretty surakulmi, jnka pitemmät sivut vat kaksi kertaa niin pitkät kuin lyhyemmät sivut. Merkitään lyhyemmän sivun pituutta :llä, jllin pidemmän sivun pituus n. Pythagraan lause: + () = 7 + = = 49 5 = 49 : 5 = 9,8 9,8 Negatiivinen juuri ei käy. =,1049,10 (cm) Pidemmän sivun pituus n =,10 = 6,60. Surakulmin pinta-ala n A =,10 6,60 = 19,598 0 (cm ). 8. Venäjä n pinta-alaltaan maailman suurin valti. Sen pinta-ala n Av = km. Maapalln ympärysmitta n km, ja maapalln pinta-alasta n maa-alueita 9 %. Maapalln säde: R = : R R = 666, , (km) Maapalln pinta-ala: AM = 4r = 4 666, ,6 (km ) Maa-alueita: 0, ,6 = (km ) Venäjän pinta-alan suus maapinta-alasta: Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7

28 , % 9. Surakulmaisen klmin hyptenuusan pituus n 1. Klmin kateettien pituuser n pituusyksikköä. Merkitään pidempää kateettia :llä, jllin lyhyempi kateetti n. + ( ) = 1 + ( )( ) = = = 0 Tapa 1 a =, b = 4 ja c = 140 (4) (4) 4 1 (140) b b 4ac a Tinen kateetti: 9, ,4 tai , ,4 Negat. ei käy , ,4 Tapa = 0 : 70 = 0 a = 1, b = ja c = 70 ( ) ( ) 1 41( 70) b b 4ac a , ,4 tai 84 7, ,4 Negat. ei käy. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8

29 Tinen kateetti: , ,4 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 ) Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h

Lisätiedot

1 Geometrian käsitteitä 3. Suorat ja kulmat 3. Yksikönmuunnokset ja pyöristäminen 13. Yhdenmuotoisuus 19. Kolmiot 34. Kertaustehtäviä 47

1 Geometrian käsitteitä 3. Suorat ja kulmat 3. Yksikönmuunnokset ja pyöristäminen 13. Yhdenmuotoisuus 19. Kolmiot 34. Kertaustehtäviä 47 Sisällysluettel Gemetrian käsitteitä Surat ja kulmat Yksikönmuunnkset ja pyöristäminen Yhdenmutisuus 9 Klmit 4 Kertaustehtäviä 47 Taskuvit 5 Pythagraan lause 5 Trignmetriaa 67 Mnikulmit 78 Ympyrä 9 Sektri

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

1 Kertausta geometriasta

1 Kertausta geometriasta 1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9] 2016 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 9] Avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille 1 SISÄLLYSLUETTELO 9. KURSSIN SISÄLTÖ... 3 9.0.1 MALLIKOE 1... 4 9.0.2 MALLIKOE 2...

Lisätiedot

pienempää, joten vektoreiden välinen kulma voidaan aina rajoittaa välille o. Erikoisesti on

pienempää, joten vektoreiden välinen kulma voidaan aina rajoittaa välille o. Erikoisesti on 5 Pistetul ja sen svellutuksia Kun kahdella vektrilla, a ja b n hteinen alkupiste, niiden määräämät pulisurat jakavat tasn kahteen saan, kahteen kulmaan, jtka vat tistensa eksplementtikulmia, siis kulmia,

Lisätiedot

2 Tasokuviot. Pythagoraan lause Pythagoraan lause suorakulmaiselle kolmiolle: a 2 + b 2 = c 2. a) Kolmion Pythagoraan lauseita ovat

2 Tasokuviot. Pythagoraan lause Pythagoraan lause suorakulmaiselle kolmiolle: a 2 + b 2 = c 2. a) Kolmion Pythagoraan lauseita ovat Taskuvit Pythagraan lause 133. Pythagraan lause surakulmaiselle klmille: a + b = c a c a) Klmin Pythagraan lauseita vat b ) = 6 + 7 3) 6 + 7 =. b) Klmin Pythagraan lauseita vat 1) u = s + t 3) t + s =

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE Matematiikan ke 5.6.014 Nimi: Henkilötunnus: VASTAUSOHJEET: 1. Keaika n tuntia (kl 1:00 14:00). Kkeesta saa pistua aikaisintaan kl 1:30..

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

2 = 31415,92... 2 31 000 m

2 = 31415,92... 2 31 000 m Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 6 40 Ympyän halkaisija d 00 m ja säde 00 m. a) kehän pituus p π d d 00 m π 68,... 60 ( m) b) pinta-ala π 00 m π 00 45,9... 40 a) ( ) 000 m a) kehän pituus 60 m

Lisätiedot

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI 1 SISÄLTÖ HUOLTOMATEMATIIKKA, MATERIAALI 1) Murtoluvut ) Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 3) Tasokuvioiden pinta-alat ja piirit 4) Kappaleiden tilavuudet 5) Suorakulmainen kolmio ja Pythagoran lause 6) Suorakulmaisen

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

MAA03.3 Geometria Annu

MAA03.3 Geometria Annu 1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita MAB: Avaruuskappaleita Aluksi Tässä luvussa emme tyydy enää pelkkään tasoon. Aiheena ovat nyt avaruuskappaleet eli kolmiulotteiset kappaleet. Tarkastelemme lieriötä eli sylinteriä, kartiota, särmiötä,

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

MAA 9. HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA 9. HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA 9. HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Surakulmaisessa klmissa n 7. kulma ja tämän vastainen kateetti n 5 mm. Laske hyptenuusa ja viereinen kateetti.. Surakulmaisessa klmissa n 74 kulma ja tämän viereinen kateetti

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät 6. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala. ( T ) 1. Täytä taulukko m 12 1,45 0,805 2. Täytä taulukko mm 12345 4321 765 23,5 7. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala.( T )

Lisätiedot

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan. KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden

Lisätiedot

Avaruusgeometrian perusteita

Avaruusgeometrian perusteita Avaruusgeometrian perusteita Määritelmä: Kolmiulotteisen avaruuden taso on sellainen pinta, joka sisältää kokonaan jokaisen sellaisen suoran, jonka kanssa sillä on kaksi yhteistä pistettä. Ts. taso on

Lisätiedot

Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1

Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1 Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1 Mittakaava Avainsanat: yhdenmuotoisuus, suurennos, pienennös, mittakaava, mittaaminen, pinta-ala, tilavuus, suhde Luokkataso: 3-9 Välineet: kynä,

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 AVARUUSGEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. Muovinappulan tilavuus on V = 1 cm cm 4 cm = 8 cm 3 = 8000 mm 3. Tulostus kestää 3 8000 mm 3 800 s 10 mm / s =. Muutetaan aika minuuteiksi ja sekunneiksi. 800 s 13,333...

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi lyhyesti. a) a, c, e, g, b),,, 7,, Ratkaisut: a) i ja k - oikea perustelu ja oikeat kirjaimet, annetaan

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne

YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne YMPYRÄ Ympyrä opetus.tv:ssä Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne KAPPALEEN TERMEJÄ 1. Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

Lisää unkarilaisia matematiikan tehtäviä koululaisille

Lisää unkarilaisia matematiikan tehtäviä koululaisille Lisää unkarilaisia matematiikan tehtäviä kululaisille Käännös: Meri Kähkönen. Gemetria. Paperista leikatun klmin sivujen pituudet vat 8 cm, 0 cm ja cm. Klmi taitetaan pitkin yhden kulman läpi kulkevaa

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE Matematiikan koe 1.6.2016 Nimi: Henkilötunnus: VASTAUSOHJEET 1. Koeaika on 2 tuntia (klo 12.00 14.00). Kokeesta saa poistua aikaisintaan klo

Lisätiedot

MATEMATIIKAN TYÖT KONNEVEDEN KENTTÄTYÖJAKSOLLA / KEVÄT 2015

MATEMATIIKAN TYÖT KONNEVEDEN KENTTÄTYÖJAKSOLLA / KEVÄT 2015 MATEMATIIKAN TYÖT KONNEVEDEN KENTTÄTYÖJAKSOLLA / KEVÄT 2015 Tehtäviin sisältyy Merikiikarin avulla suoritettavia mittauksia ja trigonometrian avulla suoritettavia laskutehtäviä. Tarvikkeet: Merikiikarit,

Lisätiedot

Fy06 Koe 20.5.2014 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/6

Fy06 Koe 20.5.2014 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/6 Fy06 Ke 0.5.04 Kupin Lysen luki (KK) /6 6p/tehtävä.. Kaksi varattua palla rikkuu lankjen varassa lähellä tisiaan. Pallt vetävät tisiaan puleensa 0,66 N vimalla. Pienemmän palln varaus n kaksinkertainen

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain.

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. OSA 3: GEOMETRIAA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. G. GEOMETRIAA Hannu ja

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

Sovelletun fysiikan pääsykoe

Sovelletun fysiikan pääsykoe Sovelletun fysiikan pääsykoe 7.6.016 Kokeessa on neljä (4) tehtävää. Vastaa kaikkiin tehtäviin. Muista kirjoittaa myös laskujesi välivaiheet näkyviin. Huom! Kirjoita tehtävien 1- vastaukset yhdelle konseptille

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä????

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä???? MAA5 - HARJOITUKSIA 1. Olkn ABCD mielivaltainen nelikulmi. Merkitse siihen vektrit a) AB b) CA ja DB. 2. Neljäkäs eli vinneliö n suunnikkaan erikistapaus. Mitkä seuraavista väitteistä vat tsia neljäkkäässä

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE Matematiikan koe 7.6.2005 Nimi: Henkilötunnus: Sain kutsun kokeeseen Hämeen amk:lta Jyväskylän amk:lta Kymenlaakson amk:lta Laurea amk:lta

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot