1 Geometrian käsitteitä 3. Suorat ja kulmat 3. Yksikönmuunnokset ja pyöristäminen 13. Yhdenmuotoisuus 19. Kolmiot 34. Kertaustehtäviä 47
|
|
|
- Ismo Aro
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1
2 Sisällysluettel Gemetrian käsitteitä Surat ja kulmat Yksikönmuunnkset ja pyöristäminen Yhdenmutisuus 9 Klmit 4 Kertaustehtäviä 47 Taskuvit 5 Pythagraan lause 5 Trignmetriaa 67 Mnikulmit 78 Ympyrä 9 Sektri 0 Ympyrän svelluksia Kertaustehtäviä 5 varuusgemetria 4 Lieriö 4 Karti 45 Pall 56 Kertaustehtäviä 65 Harjituskkeet 7 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
3 Gemetrian käsitteitä Surat ja kulmat. a) α b) α P LU KO L I LO K E a) Phjinen ja länsi vat khtisurassa tisiaan vastaan, jten kulma n 90. b) Phjisen ja etelän välinen kulma n 80. c) Killinen n phjisen ja idän pulivälissä, jten kulma n 45. d) Kvera kulma n 0 < α < 80. Phjisen ja lännen välinen kulma n 90 ja lännen ja lunaan kulma 45. Phjisen ja lunaan välinen kulma n : '' ' Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
4 a) ,9 b) , 4. a) ,948 0,948 > 0,5654 b) ,0 4,4 > 4,0 5. a) 69,078 0,078 0, ,468 steiden desimaalisa muutetaan minuuteiksi. 0,468 0, ,08 Minuuttien desimaalisa muutetaan sekunneiksi. 69, , ,7 b) 60,700 0,7 0,7 60 6,86 steiden desimaalisa muutetaan minuuteiksi. 0,86 0,86 60,6 Minuuttien desimaalisa muutetaan sekunneiksi.,7 6,6 6 0,700 0, , steiden desimaalisa muutetaan minuuteiksi. 0, 0, 60 Minuuttien desimaalisa muutetaan sekunneiksi. 60, Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 4
5 4,95 0,95 0, , steiden desimaalisa muutetaan minuuteiksi. 0, 0, 60 7,9 Minuuttien desimaalisa muutetaan sekunneiksi. 4, , a) b) c) a) b) Kell :n ja tuntisittimen välinen kulma n, Kell :n ja minuuttisittimen välinen kulma n Osittimien välinen kulma n c) Kell :n ja tuntisittimen välinen kulma n Kell :n ja minuuttisittimen välinen kulma n Osittimien välinen kulma n Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 5
6 8. O a) OD 90 b) BOC 80 c) BO 45 d) O 0 tai O a) α ja 74 asteen kulma vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. α α 06 β ja 74 kulma vat ristikulmia ja yhtä suuria. β 74 b) α-kulmat ja 86 asteen kulma mudstavat ikkulman, jnka suuruus n 80. α α α 94 : α a) Ristikulmat vat yhtä suuret. 50 asteen kulman ristikulma n 50. b) Vieruskulmien summa n asteen kulman vieruskulma n a) α-kulma n samankhtainen kulma 8 asteen kulman kanssa. Kska surat m ja n vat yhdensuuntaiset, samankhtaiset kulmat vat yhtä suuret. α 8 α ja β vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. α + β 80 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6
7 8 + β 80 8 β 6 b) Merkitään 7 asteen kulman ristikulmaa γ:lla Ristikulmat vat yhtä suuret. γ γ 7 γ ja α vat samankhtaisia kulmia. Kska surat m ja n vat yhdensuuntaiset, α γ 7 α ja β vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. α + β β 80 7 β 09. a) α ja 48 asteen kulma vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. α α α ja asteen kulma vat samankhtaisia kulmia. Kska samankhtaiset kulmat vat yhtä suuret, surat k ja l vat yhdensuuntaiset. b) α ja 84 asteen kulma vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. α α α ja 96 asteen kulma vat samankhtaisia kulmia. Kska samankhtaiset kulmat vat eri suuret, surat k ja l eivät le yhdensuuntaisia. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7
8 . α ja α + 0 vat ristikulmia. Ristikulmat vat yhtä suuret. α α + 0 α α 0 : α 5 α α + 0 Terävät kulmat vat α 5 45 α Tylpät kulmat vat terävien kulmien vieruskulmia α + β 80 α ja β vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. α β 6 β 6 + β β 06 : β 0 α β α + β 80 α ja β vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. α β + 04 β β β 76 : β 8 α 04 + β γ + α 80 γ ja α vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. γ 7 α 7α + α 80 8α 80 : 8 α,5 γ 7 α 7,5 57,5 7. a) Ristikulmien pulittajien välinen kulma n 80. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8
9 b) Vieruskulmien summa n 80. Kulman pulittajat vat α ja β. α β + ( α + β ) a) α α 5 b) 4 + β 60 4 β 6 c) γ γ α ja 5 asteen kulma vat ristikulmia, jten α 5. α ja 55 asteen kulma vat samankhtaisia kulmia. Kska samankhtaiset kulmat vat eri suuret, surat s ja l eivät le yhdensuuntaisia. α 0. β ja 5 asteen kulma vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. β β 45 α ja 5 asteen kulma vat samankhtaisia kulmia. Kska surat l ja s vat yhdensuuntaiset, α 5. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9
10 . a) Etelän ja kaakn välinen kulma n 45. b) Phjisen ja kaakn välinen kulma n P. a) ,86 E K 5,86 < 5,85 b) ,5 9,5 9,5, yhtä suuret. a) b) Kell :n ja tuntisittimen välinen kulma myötäpäivään: ,5 Kell :n ja minuuttisittimen kulma myötäpäivään n 70. Osittimien välinen kulma n 70 0,5 67,5. 4. a) α + β 80 α ja β vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. α β + 40 β β β 40 : β 70 α 40 + β b) β + α 80 β ja α vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. β α α + α 80 4α 80 : 4 α 45 β α 45 5 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
11 5. a) 6,869 N 0,869 0, ,84 steiden desimaalisa muutetaan minuuteiksi. 0,84 0, ,04 Minuuttien desimaalisa muutetaan sekunneiksi. 6, , ,904 E b) 60,454 N 0,904 0, ,084 steiden desimaalisa muutetaan minuuteiksi. 0,084 0, ,04 Minuuttien desimaalisa muutetaan sekunneiksi. 8, , Nähtävyys n Olavinlinna. 0,454 0, ,4 steiden desimaalisa muutetaan minuuteiksi. 0,4 0,4 60 7,44 Minuuttien desimaalisa muutetaan sekunneiksi. 60, , ,87 E 0,87 0,87 60,7 steiden desimaalisa muutetaan minuuteiksi. 0,7 0,7 60 4, Minuuttien desimaalisa muutetaan sekunneiksi.,87 4, 4 Nähtävyys n Turunlinna. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
12 6. 7. a) b) Surat s ja l vat yhdensuuntaiset. c) BDE 45, kska se n kulman DBC kanssa samankhtaisen kulman ristikulma ja surat s ja l vat yhdensuuntaiset. d) EBD 45, kska kulmat EBD ja DBC vat yhteensä 90 ja DBC n 45. BD Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
13 Yksikönmuunnkset ja pyöristäminen 8. a),7 m 7 dm b),7 m 70 cm c),7 m 700 mm d),7 kg 700 g 9. a),0 l 0 dl b) 0,4 l 4 dl c) cl, dl d) 50 ml,5 dl 0. a),5 a 50 m b) 0,05 ha,5 a 50 m c) 85 dm 0,85 m. a) 75 a,75 ha b) 0,05 km,5 ha c) 400 m 4 a 0,4 ha. a) 0 dm 0 l b) 0,5 m 50 dm 50 l c) cm 8,500 dm 8,5 l d) mm 5 cm 0,05 dm 0,05 l. a) dm 5 m b) 0 dl l dm 0,00 m c) 50 l 50 dm 0,5 m Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
14 d) cm 540 dm 0,54 m 4. a),7 l 7 dl b),7 l 700 ml c),7 kg/dm,7 kg 700 kg/m 0,00 m d) 0,007 kg 0,00dm,7 g/cm,7 kg/dm 5. a) 40 ml 0,4 l 0, l < 40 ml b) 0,086 m 86 dm 86 l 87 l > 0,086 m c) cl 000 l 000 dm cl > 400 dm 6. Muutetaan 0, hehtaarin pinta-ala m :ksi. 0, ha 0 a 000 m Tntin hinta n /m 000 m Lhkaistavan kaistaleen leveys n 50 cm,50 m. Surakulmin mutisen alueen pinta-ala n,50 m 7 m 9,5 m,95 a. Hyvitys n 500 /a,95 a 94,50. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 4
15 8. a), m 00 dm 00 l 00 l 80 5 l Mittauksia tarvitaan 80. b),5 dl 0,5 l 0,5 dm 0,0005 m 0,0 m 0,0005 m 0 Mittauksia tarvitaan Muutetaan tilavuus m :ksi cm 96 dm 0,096 m Laatta painaa 0,096 m 700 kg/m 59, kg 60 kg. 40. a) Vähintään klme merkitsevää numera. Kknaisluvun perässä levat nllat vivat lla merkitseviä asiayhteydestä riippuen. b) 0,0065 neljä merkitsevää numera. Desimaaliluvun alussa levat nllat eivät le merkitseviä. c) 4 4,9 seitsemän merkitsevää numera. d) 0,00400 viisi merkitsevää numera. Desimaaliluvun lpussa levat nllat vat merkitseviä. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 5
16 4. a) 9,8 0 b) a) 0,000 6 km 0,000 km b) 0,000 6 km 0,000 km c) 0,000 6 km 0,000 km 4. a),54 km +,0 km 4,84 km 4,8 km b),54 m,0 m,5 6 m,5 m 44. a),500 kg +,5 kg 5,000 kg 5,0 kg b) 0,5 km m 50 m m 600 m 0,60 km c) 4,4 cm cm 5,4 cm 50 cm 50 cm 5, dm d) 65 m 5 cm 65 m 0,5 m 6,75 m 60 m 45. a) Surakulmin pinta-ala pituus leveys,5 m 4,6 m 57,5 m 58 m b) idan määrä n surakulmin piirin pituus eli,5 m +,5 m + 4,6 m + 4,6 m 4, m. 46. a) Oikea tuls: 5,6 +,07 + 4,85,8, Jnan tuls: 5, +, + 4,9, Virhe:,, 0, b) Oikea tuls: 5,6,07 4,85 7, Jaanan tuls: 5,, 4,9 8,567 9 Virhe: 9 7 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6
17 47. Mm m km , ,6 0, , cm m ha , , ,4 0,0074 cm dm m , ,6 0, a) klme merkitsevää numera b),09 klme merkitsevää numera c) 54,00 neljä merkitsevää numera d) 0,0098 kaksi merkitsevää numera e),000 viisi merkitsevää numera f) 0,090 kaksi merkitsevää numera 5. a) mg 0,509 kg 0,509 kg > 0,5 kg, mg suurempi b) 0,007 ha 0,7 a 70 m dm cm cm > cm, 0,007 ha suurempi 5. Mökkitien leveys n 5 m ja pituus,4 km.,4 km 400 m a) Mökkitien pinta-ala n 5 m 400 m m 60 a,6 ha. b) Vukra n vudessa 400 /ha,6 ha 440. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7
18 5. Neliömetrin hinta n 5. a) Tntin kk n 6,5a 650 m. Tntti maksaa 5 /m 650 m 50. b) Tntin kk n 0,5 a 500 m. Tntti maksaa 5 /m 500 m a) klmen merkitsevän numern tarkkuudella mm mm b) metrin tarkkuudella mm mm 55 m 55. a) Kerttu:,95 +,85 + 4,954 0,758 0,8 b) Pirkk:,0 +,9 + 5,0 0,9 c) Pirkn virhe: 0,9 0,8 0,8 0, ,9 % 56. Ongen painn tilavuus n 80 mm 0,080 cm 0, dm. Lyijyn tiheys n,5 kg/dm. Painn massa tilavuus tiheys m 0, dm,5 kg/dm 0, kg 0,000 9 kg 0,000 9 kg 0,9 g Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8
19 Yhdenmutisuus 57. a) cm krkean kuvan kk pienenee klmassaan, jten kuvan krkeus n klmassa alkuperäisestä. cm 4,0 cm b) Kuvan krkeus n kpissa 5, cm, jten sen alkuperäinen krkeus n klminkertainen. 5, cm 5,6 cm 6 cm 58. Linnunpöntön piirustuksen mittakaava n : 0. Pöntön tdellinen krkeus n 45 mm. Merkitään taulukkn mittakaava ja pöntön krkeus. mittakaava pönttö (mm) kuva x lunt 0 45 Mudstetaan tauluksta verrant ja ratkaistaan siitä pöntön kk piirustuksessa. 0 x 45 Kerrtaan ristiin. 0x 45 : 0 x 4,5 (mm) 59. Nelikulmi BCD n yhdenmutinen nelikulmin B C D kanssa. Sivun B pituus n,6 cm ja sivun BC, cm. Laske sivun B pituus, kun sivun B C pituus n 8,0 cm. Merkitään taulukkn nelikulmiiden sivujen pituudet. BCD (cm) B C D (cm) B B,6 x BC B C, 8,0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9
20 Mudstetaan tauluksta verrant ja ratkaistaan siitä sivun B pituus.,6, x 8,0 Kerrtaan ristiin.,x,6 8,0,x 0,8 :, x 6,5 (cm) 60. Kartan mittakaava n : Jaanan mökkitien pituus kartalla n 6,7 cm. Merkitään taulukkn mittakaava ja mökkitien pituus kartalla. Mittakaava Tie (cm) Kuva 6,7 Lunt X Mudstetaan tauluksta verrant ja ratkaistaan siitä tien pituus tdellisuudessa ,7 Kerrtaan ristiin. x x ,7 x (cm) cm, km 6. Piirustuksessa kneensan pituus n 45 mm. Piirustuksen mittakaava n 5:. Merkitään taulukkn mittakaava ja kneensan pituus. Mittakaava Osa (mm) Kuva 5 45 Lunt x Mudstetaan tauluksta verrant ja ratkaistaan siitä san pituus tdellisuudessa. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
21 5 45 x Kerrtaan ristiin. 5x 45 : 5 x (mm) 6. cm:n näyttöön mahtuva matka eri mittakaavilla: : cm cm km : cm cm 5 km : cm cm 0 km : cm cm 50 km : cm cm 00 km a) Näyttöön mahduttava 0 km, jten mittakaava n : b) Näyttöön mahduttava 50 km, jten mittakaava n : c) Näyttöön mahduttava 6 km, jten mittakaava n : d) Näyttöön mahduttava km, jten mittakaava n : Nelikulmit BCD ja EFGH vat yhdenmutisia ja tisiaan vastaavat sivut vat B ja EF. Sivun B pituus n cm. a) Sivun EF pituus n 4 m 4 00 cm. Mittakaava n ( eli 00 :. b) Sivun EF pituus n 0 mm cm. Mittakaava n : : a) 5 km:n pituinen tie kuvataan kartalla cm:n pituiseksi. 5 km cm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
22 Mittakaava n ( eli : b) Kartalla,8 cm:n levyinen pelt n lunnssa 570 m:n levyinen. 570 m cm Mittakaava n (,8, eli : Lepän perheen lhuneen kk n 6 x cm phjapiirrksessa, jnka mittakaava n : 50. Se pienennetään mittakaavaan : 00. Lasketaan ensin huneen tdellinen kk. Mittakaava Huneen pituus (cm) Huneen leveys (cm) Kuva 6 Lunt 50 x y 50 6 Kerrtaan ristiin. x x 50 6 x 800 (cm) 50 y y 50 y 650 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
23 Lasketaan sitten huneen kk pienemmässä mittakaavassa. Mittakaava Huneen pituus (cm) Huneen leveys (cm) Kuva x y Lunt x Kerrtaan ristiin x 800 : 00 x 4 (cm) y Kerrtaan ristiin y 650 : 00 y,5, (cm) 4,0 cm x, cm 66. a) Kun kuvin sivun pituus kaksinkertaistuu, pinta-ala kasvaa 4 n m kertaiseksi. b) Kun kuvin sivun pituus nelinkertaistuu, pinta-ala kasvaa 4 6 n m kertaiseksi. c) Kun kuvin sivun pituus kymmenkertaistuu, pinta-ala kasvaa m 0 00 kertaiseksi. n d) Kun kuvin sivun pituus n-kertaistuu, pinta-ala kasvaa m n n n kertaiseksi. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
24 67. Pienennetyn kuvan pinta-ala n 9 6 0,54 n m 5 % alkuperäisen kuvan pinta-alasta. 68. a) Suurennetun kuvan leveys n,0 8,0 0,4 0 (cm). b) Suurennetun kuvan pinta-ala n m n 0,4 8,0,69 69 % alkuperäisen kuvan pinta-alasta. Kuva n siis 69 % suurempi kuin alkuperäinen kuva. 69. Kartan mittakaava n : a) Pelln pinta-ala kartalla n 0,7 cm. Merkitään pelln tdellista alaa :lla. m n m n 0, , Kerrtaan ristiin. 0, (cm ) cm,8 ha ha b) Lammen pinta-ala n lunnssa 0,4 km cm. Merkitään lammen pinta-alaa kartalla :lla. m n Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 4
25 Kerrtaan ristiin : (cm ) 70. a) Kartan mittakaava n, : : b) Lammen pinta-ala kartalla n 7,0 cm. Mittakaava Pinta-aljen suhde Lammen pintaala (cm ) Kartta 7,0 Lunt x Mudstetaan taulukn viimeisistä sarakkeista verrant ja ratkaistaan siitä lammen pinta-ala ,0 Kerrtaan ristiin. x x 7, x (cm ) cm,75 ha,8 ha 7. Taln asuinpinta-ala n 95 m 9500 dm. Phjapiirrksessa taln leveys n m 4 cm ja pinta-ala,8 dm. Merkitään taln tdellista leveyttä x:llä. m n, x, Kerrtaan ristiin. x,8x :,8 x Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 5
26 x ± Negatiivinen juuri ei käy. x 00 (cm) 00 cm m 7. Maapalln säde n km cm. Karttapalln säde n 8,0 cm. a) Karttapalln mittakaava n (8 8, eli : b) Sumi n 00 km cm pitkä. Mittakaava Pituus (cm) Kartta x Lunt x Kerrtaan ristiin x : x,75,4 (cm) c) tlantin pinta-ala n lunnssa km². m n ,0 8, : ,5 70 (cm ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6
27 7. Lunnnsujelualueen pinta-ala n lunnssa 56 ha cm. Kartalla se n kuvattu,4 cm :n suuruiseksi. m n, x, x,4x :,4 x x ± Negatiivinen juuri ei käy. x Kartan mittakaava n : Muvailuvahan tilavuus n 5 dl. Siitä muvaillaan alkuperäisen pötkön kanssa yhdenmutisia pikkupötköjä, jiden krkeus n klmassa alkuperäisestä. a) Pikkupötköjä saadaan 7. 5 b) 0, , (dl) 7 V m 75. V n x 500 4,5 5,5 x 500 4,5 5,5 66,75x 8 97,5 : 66,75 x 96, (l) Tilavuus kutistuu 500 l 900 l 600 l. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7
28 76. Palljen halkaisijiden suhde n : 0. a) Pinta-aljen suhde n m n.,0 0 9 : b) Tilavuuksien suhde n V V V V m n 0. 7 : Kuvan kk n 0 x 5 cm. Kpiitaessa kuvaa suurennettiin 40 %. Suurenns n 40 %,40. Kpin mitat vat:, (cm),40 5 (cm) 4 x cm 78. Ilmakuvassa Sisun ktitaln pidemmän seinän pituus n cm, kun sen pituus lunnssa n m 00 cm. Pihasaunan pituus n kuvassa, cm. Ktitaln seinä (cm) Pihasauna (cm) Kuva, Lunt 00 x Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8
29 00, Kerrtaan ristiin. x x 00, x 440 : x 480 (cm) 480 cm 4,8 m 79. Mikrskppi suurentaa khteen suhteessa 00 :. Hyönteinen näyttää mikrskpissa,4 cm:n pituiselta. Mittakaava Hyönteinen (cm) Kuva 00,4 Lunt x 00,4 Kerrtaan ristiin. x 00x,4 : 00 x 0,007 (cm) 0,007 cm 0,07 mm 80. Kartan mittakaava n : a) Matka Villen luta Kallen lu n kartalla 8 cm. Mittakaava Matka (cm) Kuva 8 Lunt x Kerrtaan ristiin. x x x (cm) cm,6 km km Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9
30 b) Villen vanhempien mökkitien pituus n lunnssa, km cm. mittakaava matka (cm) Kuva x Lunt x Kerrtaan ristiin x : x 6 (cm) 8. a) Neliöiden sivujen suhde n 5 : 9. Neliöiden pinta-aljen suhde n m n : b) Surakulmin sivut x ja y kasvavat 0 % eli tulevat,0-kertaisiksi. Pinta-ala xy kasvaa,0x,0y,44xy. Pinta-ala tuli,44-kertaiseksi eli kasvu n 44 %. 8. Kartan mittakaava n : Metsätilan pinta-ala kartalla n, cm. Lasketaan tilan pinta-ala kartalla. m n, x Kerrtaan ristiin. x (cm ) cm 0 ha Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
31 8. Metsäpalstan pinta-ala n 7 ha Kartan mittakaava n : m n x x x : x 6,75 6,8 (cm ) 84. Mikrpiirin mallipiirrksen mittakaava n 0 :. Mikrpiirin san suuruus n kuvassa 64 cm. m n 64 x 0 64 x 0 Kerrtaan ristiin. 400x 64 : 400 x 0,6 (cm ) 0,6 cm 6 mm km pitkä järvi kuvataan kartalla 7,5 cm:n pituisena. 5 km cm Kartan mittakaava n (7,5 7, eli : Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
32 86. Etäisyys Kerimäeltä Savnlinnaan n kartalla 5 cm, mutta tdellisuudessa se n 5 km. Samalla kartalla n kuvattu metsätila, jnka kk n 50 ha cm. 5 km cm Kartan mittakaava n ( : : Lasketaan 50 ha:n metsätilan kk kartalla. m n x x Kerrtaan ristiin x : x 0,5 (cm ) 87. Läpän leveys 0 cm pienenee 0 cm:iin. a) Läppien leveyksien suhde n 0 : 0 :. b) Laukkuihin tarvittavien kankaiden pinta-aljen suhde n 4 9 eli 4 : 9. c) Pienempään laukkuun kuluu kangasta 9 4 0, ,56 56 % vähemmän kuin suurempaan laukkuun Lunnssa 0 a:n viljelypalstan pinta-ala n kartalla, cm. 0 a cm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
33 Lasketaan mittakaava. m n m (, n, m n m n Mittakaava n : Tilavuuksien suhde n V V m n. V V, Kerrtaan ristiin. V, V V, V,V Tilavuus n,-kertainen eli se n % liian suuri. 90. Rdksen klssin krkeus n m 00 cm. Pienisveistksen massa n 50 g ja krkeus 6,6 cm. Pienisveistksen ja alkuperäisen klssin krkeuksien suhde n (6,6 6, ,6 : 00 : 500. Tilavuuksien suhde n V V 500 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
34 V V V : V : Rdksen klssin massa n ,5 0 0 (g).,5 0 0 g kg kg Klmit 9. Klmin kaksi kulmaa vat ja 06. Kska klmin kulmien summa n 80, klmannen kulman x suuruus n x x 4 9. ah, missä a klmin kanta ja h krkeus. a) (cm ) b) (m ) 9. Klmin kulmien summa n 80. a) x x x 90 : x 0 Kulmat vat x 0, x ja 80. b) x x 80 4x 60 : 4 x 5 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 4
35 Kulmat vat x 5, x 5 45 ja a) Tasakylkinen klmi, jnka kanta n 4,8 cm pitkä ja kantakulmat vat 0. Krkeus n,4 cm.,4 4,8,6,4 (cm ) 0 4,8 cm b) Tasasivuinen klmi, jnka sivun pituus n 6, cm. Krkeus n 5,4 cm., 5,4 6,74 7 (cm 6 ) 6, cm 95. Merkitään klmin ensimmäistä kulmaa x:llä. x + (x + 0 ) x + x x 04 : x Merkitään kantakulmaa x:llä. x + x + x 80 5x 80 : 5 x 6 Kantakulmat vat x 6 ja huippukulma n x Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 5
36 97. a) Klmin pinta-ala n. b) Klmin pinta-ala n 5. Klmin pinta-ala n Nelikulmin pinta-ala n Klmin k pinta-ala n Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6
37 98. Klmin pinta-ala n 5 5. Klmin pinta-ala n 9 5,5. Klmin pinta-ala n Nelikulmin pinta-ala n Klmin k pinta-ala n k 6 5 4,5, γ ja 78 :n kulma vat vieruskulmia. Vieruskulmien summa n 80. γ Klmista: α + γ Klmin kulmien summa n 80. α γ ja β vat samankhtaisia kulmia. Ne vat yhtä suuret, kska surat s ja l vat yhdensuuntaiset. γ β 0 Eri suuria kulmia n kuusi kappaletta. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7
38 00. Kulma : 60 Tasasivuisen klmin kaikki kulmat vat 60. Kulma : 60 0 Kulma : Kulma 4: Kulma 5: Kulma 6: Kallen varjn pituus vierasvenesataman laiturilla n, m. Vieressä levan purjeveneen mastn varjn pituus laiturilla n 8, m. Kalle n 65 cm pitkä. Merkitään mastn pituutta x:llä. Mudstetaan verrant ja ratkaistaan siitä x., 65 8, Kerrtaan ristiin. x,x 65 8,,x 5 :, x (cm) 590 cm 5,9 m 0. Jen leveys n x. Kuvassa n kaksi yhdenmutista klmita. Mudstetaan verrant ja ratkaistaan siitä x. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8
39 5 + 5 x Kerrtaan ristiin (x + 5) 5 4 5x x 55 : 5 x 0, 0 (m) 0. Kulma n 8 ja B 68. Kulma D n 84 ja E 8. Sivu B n 7 cm ja BC 8,0 cm. Sivu EF n cm. Lasketaan kulman C suuruus C C 84 Humataan, että C D E. Kska klmin kaksi kulmaa vat yhtä suuret, klmit vat yhdenmutiset. Merkitään sivun DF pituutta x:llä. Mudstetaan verrant ja ratkaistaan siitä x. x 8 7 Kerrtaan ristiin. 7x 8 7x 96 : 7 x 5,647 5,6 (cm) 04. lkuperäisen ja pienen klmin pinta-aljen suhde n : 4. lkuperäisen klmin kannan pituus n 4,4 cm. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9
40 Merkitään pienen klmin kannan pituutta x:llä. n pienen klmin pinta-ala, n alkuperäisen klmin ala. 4 m n x 4 x 4,4 x Kerrtaan ristiin. 4 4,4 4x 9,6 : 4 x 4,84 x ± 4,84 Negatiivinen juuri ei käy. x, (cm) 05. Pöydän krkeus n 75 cm. Pitempi lauta n 0 cm ja liitskhta jakaa pitemmän jalan suhteessa 5 : h 5x 7x h Klmit vat yhdenmutiset, kska ristikulmat vat yhtä suuret ja samankhtaiset kulmat vat yhtä suuret. Mudstetaan verrant ja ratkaistaan siitä h. 5x h 75 7x h Supistetaan x:t ja kerrtaan ristiin. 5h 7(75 h) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 40
41 5h 55 7h + 7h h 55 : h 4,75 44 (cm) 06. Ranta 00 m x 00 x Tie + x 00 Kerrtaan ristiin. x : x x ± Negatiivinen juuri ei käy. x,0, (cm) Metsätien puleisesta sasta rantaviivaa n 00 m, m 87,87 m. Metsätien puleisen san mistaja saa rantaviivaa, m 87,87 m 4,6 m 4 m vähemmän kuin sisarensa. 07. a) Vieruskulmien summa n 80. α α 7 α Klmin kulmien summa n 80. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 4
42 x x 8 x b) α α x a) Klmin krkeus n 4,8 cm. 7,0 4,8 6,8 7 (cm ) b) Klmin pinta-ala n 5 7,5. Klmin pinta-ala n,5. Nelikulmin pinta-ala n 5 5. Klmin k pinta-ala n k 5 7,5, Klmin tinen terävä kulma n kaksi kertaa niin suuri kuin ensimmäinen. Merkitään ensimmäisen kulman suuruutta x:llä. Klmas kulma n 05. x + x x 75 : x 5 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 4
43 0. Tasakylkisessä klmissa kantakulma n neljä kertaa huippukulman suuruinen. Merkitään huippukulman suuruutta x:llä. x + 4x + 4x 80 9x 80 : 9 x 0 Huippukulma n 0 ja kantakulmat 80.. Viivaimen krkeus n 0 cm. Hannu n 0 m:n päässä puusta ja hänen jennettu kätensä n 55 cm pitkä. Merkitään puun krkeutta x:llä. Mudstetaan verrant ja ratkaistaan siitä x. x Kerrtaan ristiin. 55x x 600 : 55 x 0,90 (m). β (80 45 ) 7 γ Keskimmäisen klmin klmas kulma n α 80 (80 45 ) (80 85 ) 50. Klmin pinta-ala n 4 6. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 4
44 Klmin pinta-ala n 4. Klmin pinta-ala n 5 5. Nelikulmin pinta-ala n Klmin k pinta-ala n k Ktkan varj maassa li 80 m päässä sen lentkhdasta länteen. 5 m pituisen puun varj li 8 m pitkä. Merkitään ktkan lentkrkeutta x:llä. Mudstetaan verrant ja ratkaistaan siitä x. x Kerrtaan ristiin. 8x x 00 : 8 x 4,85 4 (m) 5. Klmi n likimain surakulmainen x 45 m x 67 m 50x x 05 : 50 5,0 m 5 m x 40,5 (m) 50 m Reunakivien pituus n 75 cm 0,75 m. Kiviä tarvitaan 40,5 0,75 54 (kpl). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 44
45 6. a) Sivun B pituus n 5 cm ja sivun B pituus n m 00 cm. ' B' B : b) Sivun B pituus n 96 cm ja sivun B pituus n, cm. ' B' B, 96 0 : 0 7. Säännöllinen yhdeksänkulmi kstuu 9 tasakylkisestä klmista. Kunkin klmin huippukulma n Kantakulma n β + 40 β 40 : β 70. Yhdeksänkulmin kulman suuruus n α a) Viisikulmi kstuu 5 tasakylkisestä klmista. Klmin huippukulma n Kantakulma n 80 7 α + 7 α 08 : α 54. Viisikulmin kulman suuruus n Kulmien summa n Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 45
46 b) Viisikulmin kulmat: 08 α β x + y + z 8,9 x + y h Klmit,, ja vat yhdenmutisia. x 8,9 Kerrtaan ristiin. x 8,9 : x 79, x ± 79, Negatiivinen juuri ei käy. + x 5,84 5,8 (cm) h 8,9 Kerrtaan ristiin. h 8,9 : h 58,4 h ± 58,4 Negatiivinen juuri ei käy. h 7,668 7,67 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 46
47 y 7,67 5,8,9, (cm) z 8,9 7,67,6,6 (cm) x 5, cm, y, cm ja z,6 cm Kertaustehtäviä 0. a) α 5 6 α β ,669 β , b) α,987 0,987 0, , 0, 0, 60,9 α 59, β 95,4998 0, , ,988 0, 988 0, ,8 β , a) 6 79 mm 6,79 m 0,009 km,9 m b) 0,0 ha 0 m cm 5,9 m c) cm 4,5 l 0,64 m 640 l Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 47
48 . Pieni klmi: α β Is klmi: β ( ) 40 Keskisuuri klmi: γ γ α. a) 0 cm,0 m, , (m ) 4 00 m 4 a b) 84,5 cm 0,845 m p ,845,8 (m) Tdellisuudessa aitaa tarvitaan nin,5 m. 4. Kpiitaessa kuvaa suurennettiin 5 %. Kpin leveys li 4,5 cm ja krkeus,4 cm. Leveys alkuperäisessä: Krkeus alkuperäisessä: 4,5 9,6 (cm),5,4 9,9 (cm),5 5. Vieruskulmien summa n 80. α Samankhtaiset kulmat α ja β vat yhtä suuret, kska surat l ja s vat yhdensuuntaiset. α β 40 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 48
49 6. Kartta, jnka mittakaava n : , kpiidaan kpikneella,4-kertaiseksi. Tien pituus kpissa n 9,9 cm. Tien pituus alkuperäisessä kartassa n 9,9,4 7,0 (cm). Merkitään tien pituutta lunnssa x:llä. 7 x Kerrtaan ristiin. x (cm) cm 7,0 km 7. a) 4, 4,7 0, (cm ) b) Klmin pinta-ala n. Klmin pinta-ala n 4. Klmin pinta-ala n,5. Nelikulmin pinta-ala n 4. Klmin k pinta-ala n k,5 5,5. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 49
50 8. Kahden ympyrän säteiden suhde n 5 : 7. a) Kska sekä säteen että kehän pituus vat pituusmittja, myös kehien pituuksien suhde n 5 : 7. b) Pinta-aljen suhde n mittakaavan neliö eli 5 : Klmin BC sivujen pituudet vat 8,0 cm, 4,0 cm ja 0,0 cm. Sen kanssa yhdenmutisen klmin B C pisin sivu n 9,0 cm. x 8,0 9,0 0,0 Kerrtaan ristiin. y 4,0 9,0 0,0 Kerrtaan ristiin. 0x 8,0 9,0 0y 4,0 9,0 0x 6,0 : 0 0y 6,0 : 0 x 5,4 (cm) y 7, (cm) 0. Pelln pinta-ala n 5 ha. Kartan mittakaava n : Pelln pinta-ala kartalla n x. Pinta-aljen suhde n mittakaavan neliö. x x Kerrtaan ristiin x 5 : x 0, (ha) 0, ha 0, a 0,0005 cm 0,05 dm 5 cm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 50
51 . Piin käsi n pulen metrin etäisyydellä seinästä. Varjn leveys n 5 cm ja Piin käden leveys 9,5 cm. Lampun etäisyys seinästä n x. x 0,5 x 5 9,5 9,5x 5(x 0,5) 9,5x 5x 7,5 5x 5,5x 7,5 : ( 5,5) x,6,4 (m),4 m 40 cm. suntesitteen kuvan mittakaava n : x. Kuvassa 0 m :n asunt n 4,8 cm :n suuruinen. 0 m cm 4, x 4, Pinta-aljen suhde n mittakaavan neliö. Kerrtaan ristiin. x 4,8x : 4,8 x x ± Negatiivinen juuri ei käy. x 500 Mittakaava n : 500. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 5
MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92
MAB Kertaustehtävien ratkaisut 10. a) α = 15 16 1 16 1 15 60 β = 95 58 45 600 15,669 95 58 45 95,979 60 600 b) α = 11,987 0,987 = 0,987 60 = 59, 0, = 0, 60 = 1,9 α = 11 59 1,9 = 11 59 14 β = 95,4998 0,
Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio
Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun
a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.
Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9
1 Kertausta geometriasta
1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat
Sisällys. Alkusanat. Alkusanat. Tehtävien ratkaisuja
Sisälls lkusanat Tehtävien ratkaisuja Gemetria (M) Tasgemetria Klmin ratkaiseminen 9 Yhtenevs ja hdenmutisuus 7 varuusgemetria *Piirtäminen ja mallintaminen 6 Lisätehtäviä 0 nalttinen gemetria (M) Piste
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa
Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi
2 Tasokuviot. Pythagoraan lause Pythagoraan lause suorakulmaiselle kolmiolle: a 2 + b 2 = c 2. a) Kolmion Pythagoraan lauseita ovat
Taskuvit Pythagraan lause 133. Pythagraan lause surakulmaiselle klmille: a + b = c a c a) Klmin Pythagraan lauseita vat b ) = 6 + 7 3) 6 + 7 =. b) Klmin Pythagraan lauseita vat 1) u = s + t 3) t + s =
Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.
Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,
Pituus- ja pinta-alayksiköt. m dm cm mm. km hm dam m. a) neljän pienen kohteen pituus millimetreiksi, senttimetreiksi ja desimetreiksi
Pituus- ja pinta-alayksiköt 1 Pituusyksiköt Pituuden perusyksikkö on metri, ja se lyhennetään pienellä m-kirjaimella. Pienempiä ja suurempia pituusyksiköitä saadaan kertomalla tai jakamalla luvulla 10,
5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 30.7.018 5 TASOGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 3,5 m eri yksiköihin. 3,5 m = 35 dm = 350 cm = 3 500 mm ja 3,5 m = 0,035
Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN
alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä
pienempää, joten vektoreiden välinen kulma voidaan aina rajoittaa välille o. Erikoisesti on
5 Pistetul ja sen svellutuksia Kun kahdella vektrilla, a ja b n hteinen alkupiste, niiden määräämät pulisurat jakavat tasn kahteen saan, kahteen kulmaan, jtka vat tistensa eksplementtikulmia, siis kulmia,
ONLINE-MATIKKALUOKKA YLÄKOULULAISILLE
MIKÄ ON ONLINE-MATIKKALUOKKA? Online-lukka n kerran viikssa kkntuva ryhmä, jssa kerrataan verkn välityksellä yläkulun matematiikan asiita. Jkaisella tapaamiskerralla n ma teemansa, jhn paneudutaan kkeneen
ONLINE-MATIKKALUOKKA YLÄKOULULAISILLE
MIKÄ ON ONLINE-MATIKKALUOKKA? Online-lukka n kerran viikssa kkntuva ryhmä, jssa kerrataan verkn välityksellä yläkulun matematiikan asiita. Jkaisella tapaamiskerralla n ma teemansa, jhn paneudutaan kkeneen
Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli
Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat
2 Kuvioita ja kappaleita
Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (
5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.
5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)
Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360
Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon
KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.
KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )
Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia
Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,
Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit
Geometrinen piirtäminen
Gemetrinen piirtäminen Nimet: Piirtäkää gemetrisesti nelikulmi, jnka kaikki sivut vat yhtä pitkät. Valmistautukaa selittämään muille, miksi piirtämistapa timii. Opettajalle Ehdtus tunnin rakenteesta: Alustusvaihe
A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen
A. Desimaalilukuja kymmenjärjestelmän avulla
1(8) Kymmenjärjestelmä desimaalilukujen ja mittayksiköiden muunnosten pohjana A. Miten saadaan desimaalilukuihin ymmärrystä 10-järjestelmän avulla? B. Miten saadaan mittayksiköiden muunnoksiin ymmärrystä
2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA
Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia
Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600
Tekijä 3 Geometria 7.10.016 47 Kartta on yhdenmuotoinen kuva maastosta, jolloin kartan pituudet ja maaston pituudet ovat suoraan verrannollisia keskenään. Merkitään reitin pituutta kartalla kirjaimella
α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.
K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset
Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy
GEOMETRIAN PERUSTEITA
GEOMETRIAN PERUSTEITA POHDITTAVAA. 2. Suurennoksen reunat ovat epäteräviä bittikarttakuvassa mutta teräviä vektorigrafiikkakuvassa.. Peruskäsitteitä ALOITA PERUSTEISTA 0. Kulma α on yli 80. Kulma β on
14 Monikulmiot 1. Nimeä monikulmio. a) b) c) Laske monikulmion piiri. a) 30,8 cm 18,2 cm. Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri on 25,0 cm.
1 14 Monikulmiot Nimeä monikulmio. a) b) c) kolmio nelikulmio 12-kulmio Laske monikulmion piiri. a) 4,2 cm b) 3,6 cm 11,2 cm 4,8 cm 3,6 cm 4,3 cm 30,8 cm 18,2 cm Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri
Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.
Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on
( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten
1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,
MAA5. HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit a) AB
MAA5 HARJOITUKSIA 1 Olkn ABCD mielivaltainen nelikulmi Merkitse siihen vektrit a) AB, b) CA ja DB 2 Neljäkäs eli vinneliö n suunnikkaan erikistapaus Mitkä seuraavista väitteistä vat tsia neljäkkäässä ABCD:
Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5
Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =
Summa 9 Opettajan materiaali Ratkaisut
Sisällysluettelo Laskutoimituksia Laskutoimitukset luvuilla Lausekkeiden sieventäminen 8 Yhtälöitä ja prosenttilaskentaa Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälö Prosenttilaskenta Tasogeometriaa Tasogeometrian
Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi lyhyesti. a) a, c, e, g, b),,, 7,, Ratkaisut: a) i ja k - oikea perustelu ja oikeat kirjaimet, annetaan
Suorakulmainen kolmio
Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2
MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA
MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin
B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE
AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE Matematiikan ke 5.6.014 Nimi: Henkilötunnus: VASTAUSOHJEET: 1. Keaika n tuntia (kl 1:00 14:00). Kkeesta saa pistua aikaisintaan kl 1:30..
7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen
7.lk matematiikka Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 15. Kolmio... 4 16. Nelikulmiot... 8 17. Monikulmiot... 12 18. Pituuksien ja pinta-alojen muutokset... 16 19. Pinta aloja
Kartio ja pyramidi
Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota
3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )
Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h
Ratkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
Lisää unkarilaisia matematiikan tehtäviä koululaisille
Lisää unkarilaisia matematiikan tehtäviä kululaisille Käännös: Meri Kähkönen. Gemetria. Paperista leikatun klmin sivujen pituudet vat 8 cm, 0 cm ja cm. Klmi taitetaan pitkin yhden kulman läpi kulkevaa
MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden
15. Suorakulmaisen kolmion geometria
15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen
Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.
Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.
1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.
203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C
Fy06 Koe 20.5.2014 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/6
Fy06 Ke 0.5.04 Kupin Lysen luki (KK) /6 6p/tehtävä.. Kaksi varattua palla rikkuu lankjen varassa lähellä tisiaan. Pallt vetävät tisiaan puleensa 0,66 N vimalla. Pienemmän palln varaus n kaksinkertainen
RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
MAA03.3 Geometria Annu
1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.
Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.
Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.
Kenguru 2011 Student (lukion 2. ja 3. vuosi)
sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kengurulikan pituus: Irrta tämä vastauslmake tehtävämnisteesta. Merkitse tehtävän numern alle valitsemasi vastausvaihteht. Jätä ruutu tyhjäksi, js et halua vastata
OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain.
OSA 3: GEOMETRIAA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. G. GEOMETRIAA Hannu ja
Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.
9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus
MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI
1 SISÄLTÖ HUOLTOMATEMATIIKKA, MATERIAALI 1) Murtoluvut ) Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 3) Tasokuvioiden pinta-alat ja piirit 4) Kappaleiden tilavuudet 5) Suorakulmainen kolmio ja Pythagoran lause 6) Suorakulmaisen
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Kappaleet II ja III ovat likimain lieriöitä.
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.018 6 AVARUUSGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 8A. a) Kappale II on likimain särmiö. Vastaus: II b) Kappaleet II ja III ovat likimain
4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.
Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1
Tekijät: Tarja Kokkila, Maija Salmivaara OuLUMA, sivu 1 Mittakaava Avainsanat: yhdenmuotoisuus, suurennos, pienennös, mittakaava, mittaaminen, pinta-ala, tilavuus, suhde Luokkataso: 3-9 Välineet: kynä,
Vastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x
Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
2 = 31415,92... 2 31 000 m
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 6 40 Ympyän halkaisija d 00 m ja säde 00 m. a) kehän pituus p π d d 00 m π 68,... 60 ( m) b) pinta-ala π 00 m π 00 45,9... 40 a) ( ) 000 m a) kehän pituus 60 m
Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä????
MAA5 - HARJOITUKSIA 1. Olkn ABCD mielivaltainen nelikulmi. Merkitse siihen vektrit a) AB b) CA ja DB. 2. Neljäkäs eli vinneliö n suunnikkaan erikistapaus. Mitkä seuraavista väitteistä vat tsia neljäkkäässä
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet
4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
Yksikkömuunnokset. Pituus, pinta-ala ja tilavuus. Jaana Ohtonen Språkskolan/Kielikoulu Haparanda-Tornio. lördag 8 februari 14
Yksikkömuunnokset Pituus pinta-ala ja tilavuus lördag 8 februari 4 SI-järjestelmän perussuureet ja yksiköt Suure Suureen tunnus Perusyksikkö Yksikön lyhenne Määritelmä Lähde: Mittatekniikan keskus MIKES
Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt
Mittaustarkkuus ja likiarvolaskennan säännöt Mittaustulokset ovat aina likiarvoja, joilla on tietty tarkkuus Kokeellisissa luonnontieteissä käsitellään usein mittaustuloksia. Mittaustulokset ovat aina
Koontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
10. Jänteiden keskinormaalit kulkevat ympyrän keskipisteen kautta.
Vastaukset: 1. tasasivuisessa kolmiossa on kaikki sivut yhtä pitkiä, tasakylkisessä kolmiossa on kaksi yhtä pitkää sivua. 1. Piirretään kolmion yksi sivu eli jana AB.. Otetaan jana AB säteeksi ja piirretään
3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet
3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin
Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla
Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla Valitse yläreunasta Näytä-valikosta CAS ja Piirtoalue. CAS-on laskinohjelma, piirtoalueen avulla saat kuviot näkyville tarvittaessa. Harjoitellaan ensiksi CAS-ikkunan
GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita
GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.
Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat
Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux
4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset
4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste
[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]
![[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]](/thumbs/38/17851210.jpg "[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]")
2016 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 9] Avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille 1 SISÄLLYSLUETTELO 9. KURSSIN SISÄLTÖ... 3 9.0.1 MALLIKOE 1... 4 9.0.2 MALLIKOE 2...
MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät
MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät 6. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala. ( T ) 1. Täytä taulukko m 12 1,45 0,805 2. Täytä taulukko mm 12345 4321 765 23,5 7. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala.( T )
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
Pythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,