Lisää unkarilaisia matematiikan tehtäviä koululaisille

Transkriptio

1 Lisää unkarilaisia matematiikan tehtäviä kululaisille Käännös: Meri Kähkönen. Gemetria. Paperista leikatun klmin sivujen pituudet vat 8 cm, 0 cm ja cm. Klmi taitetaan pitkin yhden kulman läpi kulkevaa suraa niin, että lyhin ja pisin sivu tulevat päällekkäin. Saadaan kaksikerrksinen sa ja yksikerrksinen sa. Tdista, että yksikerrksinen sa n tasakylkinen klmi. Yksikerrksinen sa n klmi ja n siis tdistettava PC ' BC'. PC' B, Klmi APC n taitettu klmiksi APC ', jten D DAPC'. Jana AP pulittaa kulman CAC ', jten kulmat CAP ja PAC ' vat yhtä suuret. AC ' AC 8, jten BC ' 4. Klmin sisäkulman pulittajasura jakaa kulman vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa, jten Û BP x, PC 8x PC BP 8 x+ 8x 0Û x PC 8 4, PC ' PC 4 BC'.. Onk lemassa muuta taskuvita kuin x-neliö, jnka pinta-ala n ja piiri 4? Esim.. ABCD n tasakylkinen pulisuunnikas. Lävistäjää BD jatketaan kärjen D yli kyljen pituuden verran, ja saadaan piste L. K n piste lävistäjällä AC, ja sen etäisyys pisteestä C n sama kuin kyljen pituus. Tdista, että janjen AB ja CD sekä janjen AK ja BL mudstamien surakulmiiden pinta-alat vat samat.

2 On siis tdistettava, että AB DC AK BL AB DC AK BL Û ac (e - b)(e + b) Û e b - ac Kska klmin ABC ksinilause n e b + c - bccs(80 - a), riittää sittaa, että c - bccs(80 -a) ac : c c - b cs(80 - a ) a eli c - a cs(80 -a ) tai b csa a - c b. Jälkimmäinen pitää paikkansa. 4. Kuperan nelikulmin ABCD lävistäjät leikkaavat pisteessä M. Jatka lävistäjää AC A:n tiselle pulelle MC:n pituuden verran pisteeseen E, ja jatka lävistäjää BD B:n tiselle pulelle MD:n pituuden verran pisteeseen F. Osita, että EF n yhdensuuntainen sivujen AD ja BC keskipisteitä yhdistävän janan kanssa. Nimetään pisteestä M lähtevät vektrit MA a, MB b, MC c ja MD d. ME a - c ja MF b - d Þ EF a - c - b + d. Vektri pisteestä M janan AD keskipisteeseen n ( a + d ) ja janan BC keski-. Tällöin sivujen AD ja BC keskipisteitä yhdistävä jana n a + d + b + c a + d - b - c. pisteeseen ( b + c) ( ) ( ) ( ) FE 5. Klmissa ABC kärjestä C piirretty krkeusjana leikkaa sivun AB pisteessä T. Sivujen AC ja BC ulkpulille piirretään surakulmaiset klmit CAD ja CBE siten, että surat kulmat vat kulmissa A ja B. Tdista, että CDE CED, kun ADTB ja BETA.

3 Mudstetaan pythagraan lauseet klmiille ATC ja CAD: b + y m () CD + x b () Sijitetaan kaava () kaavaan (): CD + x + y m () Vastaavasti pythagraan lauseet klmiille BTC ja CBE vat: a + x m (4) CE + y a (5) Sijitetaan kaava (4) kaavaan (5): CE + y + x m (6) Kaavista () ja (6) seuraa: CD CE ja kska kyseessä vat pituudet, jtka vat aina psitiiviset: CD CE. Klmi CDE n siis tasakylkinen, jllin sen kantakulmat vat yhtä suuret, CDE CED. 6. Punaisen palln pinnalla n 0 valkista täplää. (Täplät vat pallkaltin mutisia). Palln ympärysmitta n 54 cm ja täplien kehän pituus cm. Mntak prsenttia palln pinta-alasta n täplien peitssa? Palln ympärysmitta n 54cm 54 cm, jten sen säde n r» 8, 59cm. p Palln pinta-ala n A 4 p» 5cm p r 4 (8,59cm) 97,. Pallkaltin mutisen täplän pinta-ala n A pr h p BK CK.

4 r n sellaisen ympyrän säde, jnka piiri n cm : r», 75cm. p h CK r - OK. Jana OK Saadaan Pythagraan lauseen avulla:» OK r - r 8,59 -,75 8, 4cm eli h 8,59cm - 8,4cm 0, 8cm ja A» cm pr h p 8,59cm 0,8cm 9, 7 Täplien yhteenlaskettu pinta-ala n 0 9,7cm 9,6cm ja tämän suus kk palln pinta-alasta n 00%»,45%. 9,6 cm 97,5cm 7. Nelikulmin klme sivua vat a 4, b 9 ja c. Sivujen a ja b välisen kulman suuruus n 0 ja sivujen b ja c välisen kulman 90. Miten suuri n lävistäjien välinen kulma? Piirretään pisteestä D Sivua AD khtisuraan leva jana, jka leikkaa sivun AB pisteessä E. Tutkitaan klmita ADE: Kska < DAE 0 ja < ADE 90, niin < AED Sivun AD pituus tuntien vidaan saadaan muistiklmin avulla AE 8 ja DE 4. Yhdistetään pisteet C ja E janalla, jllin mudstuu klmi EBC. Sen kateetit vat EB AB - AE 9-8 ja BC, jten sen hyptenuusa EC, < CEB 60 ja < ECB 0. Klmista DEC tiedetään nyt sen sivujen pituudet: EC, ED 4 ja CD, jten sen kulmien suuruudet saadaan muistiklmista: < DEC 90, < DCE 0 ja < EDC 60. Klmit ADC ja DCB vat yhdenmutiset, sillä < < DCB ADC AD DC ja DC CB 4

5 Kska klmi DCE n saatu kiertämällä klmita ADC, n sivujen AC ja DB välinen kulma sama kuin sivujen AD ja DC välinen kulma, eli , jka n siis kysytty lävistäjien välinen kulma. 8. Klmin sivujen pituudet vat kknaislukuja. Yhden sivun pituus n 7 ja tämän vastainen kulma n 60. Mikä visi lla klmin pinta-ala? Klmin kahden sivun pituuksia ei tiedetä, merkitään näitä sivuja a ja b. Tiedetään, että yksi kulmista n 60, jten klmin ala n sin 60 ab t ab ab Ksinilause: a + b - ab Û 49 a + b - ab ( a - b) + ab Kska ab n psitiivinen, lausekkeella ( a - b) n 7 mahdllista arva. Symmetrian vuksi vidaan lettaa a b. Js a - b 6, niin ab 49-6, mikä ei anna kknaislukuratkaisuja. Js a - b 5, niin ab , jten a 8, b Tutkimalla kaikki vaihtehdt löytyy vielä kaksi mahdllista tapausta: a - b, ab 49-40, a 8, b 5 a - b 0, a b 7 Vastaavat pinta-alat vat t 6, t 0 ja 49 t Stadinin nurmikka rajittaa kaksi yhdensuuntaista 00 metrin mittaista janaa sekä niitä yhdistävät kaksi 00 metrin mittaista puliympyrää. Kuinka paljn ympyrän, jnka piiri n 400 metriä, pinta-ala n suurempi kuin nurmikn? Puliympyrän kehä 00 pr 00 m Û r m p Nurmikentän pinta-ala 5

6 A æ00 ö 00 p r + r p ç m è p ø p p Ympyrän, jnka piiri n 400 m, säde n 400 R ja pinta- p ala A æ 400 ö p R p ç m. è p ø p Pinta-aljen suhde A A p 0000 p Neliöt ABCD ja BEFG piirretään niin, että neliön ABCD sivu a ja neliön BEFG sivu b vat vierekkäin. Ilmita termejä a ja b käyttäen nelikulmin ala, kun sen kärjet kärjet vat janjen AB, BE, FC ja DG keskipisteissä. Merkitään AD a ja EF b. F F 4 n pulisuunnikkaan ABGD sivujen AB ja DG keskipisteitä yhdistävä jana, jka n yhdensuuntainen janan AD kanssa ja jnka pituus n AD + BG a + b. Vastaavasti F F n pulisuunnikkaan EFCB sivujen BE ja CF keskipisteitä yhdistävä jana, jka n yhdensuuntainen janan BC kanssa ja jnka pituus n BC + EF a + b. Kska AB BC, niin nelikulmin F F F F4 sivut F F4 ja F F vat myös keskenään yhdensuuntaiset. Kska F F4 AD ^ AE n F FF F4 surakulmi. a b F F F B + BF +, jten F F F F4 n neliö ja sen pinta-ala n æ a + b ö ç. è ø 6

7 . Kuvassa levat kaksi kuutita vat saman tasn päällä. Niiden sivujen pituuksien summa n cm ja tilavuuksien summa 5,75 cm. Määritä mustan surakulmin pinta-ala. Tiedetään, että a + b, a + b 5, 75. Etsitään ratkaisu lausekkeelle ab. ( a + b) - ab( a b) a + b + jsta ( a + b) - ( a + b ) - 5,57 ab 0,475. ( a + b) Mustan surakulmin pinta-ala n 0,475 cm.,. Neliön keskipisteen kautta piirretään neljä ympyrää siten, että jkainen neliön kärjistä n yhden ympyrän keskipiste. Ympyrät leikkaavat neliön sivuja yhteensä kahdeksassa pisteessä. Tdista, että leikkauspisteet mudstavat säännöllisen kahdeksankulmin. Olkn neliön sivu yksikköä, x + y. Piirrettyjen ympyröiden säde n pulet neliön kulmasta kulmaan piirretystä halkaisijasta, jka n (Pythagraan lause), siis säde n. x -, y - Pythagraan lauseella saadaan: z ( - ) ( -) Siis z x, eli kaikki kahdeksankulmin sivut vat samanpituiset, jten se n säännöllinen. 7

8 . Onk mahdllista sittaa tasasivuinen klmi a) 007:ään b) 008:aan tasasivuiseen klmin? a) Jaetaan klmi ensin yhdeksäksi tasasivuiseksi klmiksi. Jaetaan sitten yksi saaduista klmiista neljäksi tasasivuiseksi klmiksi, jllin klmiiden kknaismäärä lisääntyy klmella. Tistetaan jak 666 kertaa. Klmiita n nyt b) Alitetaan jakamalla klmi neljäksi tasasivuiseksi klmiksi, ja jatketaan kuten edellä: Surakulman mutisen 0 m pitkän lukkahuneen katssa n kaksi lamppua. Lampuista lähtevä val mudstaa kartin, jnka huippukulma n 90. Yksi lampuista n katn keskellä ja se valaisee lattiaan ympyrän, jnka halkaisija n 6 metriä. Tisen lampun lampunvarjstin n käännetty niin, että valaistu alue lattiassa n niin pitkä, että siihen vidaan piirtää 0 metrin mittainen jana huneen pituuden suuntaisesti, mutta val ei su seiniin huneen päissä. Kuinka pitkä n lamppujen välinen etäisyys? Klmissa AGB sivun AB vastainen kulma ÐAGB 90 lauseesta seuraa: 0 AE EB EG 5., jten Thaleen Tiedetään, että CE ED EF (Thaleen lause).. Klmissa CFG ÐAGB 90, jten myös Klmista EFG saadaan Pythagraan lauseella: FG EG - FE 5-6, jten FG 4. 8

9 5. Klme tikkua asetetaan tisesta päästään kiinni tisiinsa pareittain khtisuraan tisiaan vasten. Tikkujen pituudet vat, ja. Kiinteä rakennelma asetetaan pöydälle niin, että tikkujen vapaat päät kskevat pöytää. Määritä yhteisen pisteen krkeus pöydän pinnasta. :n pituinen tikku kskettaa pöytää pisteessä A, :n pituinen tikku kskettaa pöytää pisteessä B ja :n pituinen tikku kskettaa pöytää pisteessä C. Tikkujen yhteinen piste n D, jka n rakennelman mudstaman klmiphjaisen pyramidin huippu. Kysytty krkeus n tämän pyramidin krkeus. Kska klmit vat tisiaan khtisuraan, mudstuu surakulmaisia klmiita, jista Pythagraan lauseella saadaan: AB + 4 5, BC 9 + ja AC Klmin ABC pisin sivu n siis BC. Merkitään sen vastaista kulmaa ÐBAC a. Ksinilauseella: csa, mistä cs a. 50 sin 49 a + cs a Û sin a -. Kun sin a > 0, niin sin a AB AC sina 50 7 AABC h 7 A ABC, V ABCD h 6 Tisaalta V ABCD, jten h Û h Niiden surakulmiiden alat, jtka saadaan, kun surakulmaista särmiötä leikataan taslla kahden samansuuntaisen reunan läpi, vi lla t 60, t 4 5 tai t 0. Laske surakulmaisen särmiön tilavuus ja pinnan pinta-ala. tiedetään: t a b + c 60, t b c + a 4 5 ja t c a + b 0 Yhtälöitä mukkaamalla saadaan: a b + a c 600, b c + a b 448 ja a c + b c 440 9

10 Lasketaan nämä yhtälöt yhteen ja jaetaan kahdella, jllin saadaan: a b + a c + b c 744 Vähennetään tästä vurtellen edelliset klme yhtälöä saadaan b c 44, a c 96 ja a b 04, jten bc, ac 6 ja ab 48 ( ab + ac + ) ( ) 9 A bc V ab ac bc

11 . Luvut, lausekkeet ja yhtälöt n jallinen lu-. Tdista: Js n n psitiivinen kknaisluku, niin 4n - vulla 7. tai 4 n + 4n ( 4 ) n 6 n n n parillinen: Olkn n k 4n k ³ - 6 k - k (6 + )(6 k- -6 k- + 6 k ) 7a, a ³, n n paritn: Olkn n k + 4n k ³ + 6 k- - k+ (6 + )(6 k -6 k- + 6 k ) 7b, b ³,. Mitkä alkuluvut vidaan ilmaista kahden psitiivisen jallisen kknaisluvun summana?,, 5, 7 ja ei vida ilmittaa 9 + 4, ,, 4k ( k - ) kun k ³ , 5 + 8,, 4k ( k - ), kun k ³ 4 Eli kaikki alkuluvut ³ vidaan kirjittaa.. Pelissä n käytössä punaista, 7 sinistä ja 0 vihreää pelimerkkiä. Pankki antaa yhdestä punaisesta ja yhdestä sinisestä pelimerkistä kaksi vihreää pelimerkkiä, yhdestä punaisesta ja yhdestä vihreästä kaksi sinistä pelimerkkiä, ja yhdestä sinisestä ja yhdestä vihreästä kaksi punaista pelimerkkiä. Näitä vaihtja tekemällä pelaajan tavitteena n saada haltuunsa vain yhden värisiä pelimerkkejä. Minkä värisiä?

12 Ensin pyritään siihen, että kahta väriä lisi yhtä paljn, jllin ne vidaan vaihtaa klmanteen väriin ilman, että yhtään jää yli. Kun yksi vähenee yhdellä, tinen lisääntyy kahdella, eli muuts lukumäärien ertuksessa, ertuksen ltava siis klmella jallinen, jtta päästään samaan lukumäärään ei käy 0-7 ei käy 0-9 jallinen klmella, siis vaihdetaan punaisiin klme kertaa, Nyt pelaajalla n 7 punaista, 4 sinistä ja 7 vihreää merkkiä. Vaihdetaan punainen ja vihreä kahdeksi siniseksi 7 kertaa, lpuksi jäljellä sinistä merkkiä. 4. Yhdeksän kknaislukua, jiden summa n 90, kirjitetaan ympyrän kehälle. Tdista, että löytyy neljä vierekkäistä lukua, jiden summa n vähintään 40. Olkt 9 lukua a, b, c, d, e, f, g, h ja i tässä järjestyksessä. Oletetaan, että neljän luvun summa n aina pienempi kuin 40. ( a + b + c + d ) + ( b + c + d + e) + ( c + d + e + 4( a + b + c + d + e < 60 f + g + h + i) < 60 f ) ( i + a + b + c) < 9 40 Saadaan ristiriita, jten löytyy neljä vierekkäistä lukua, jiden summa n vähintään Mitkä kknaislukuparit tteuttavat seuraavan yhtälön: ( x y ) - x? Mukataan yhtälön vasenta pulta:

13 ( x + ) [( x + ) - x][ ( x + ) + ( x + ) x + ( x + ) x + x ] (4x 8( x 8 ( 4 - x + x + 6x + 8) + x 4 + 4x + ) [ x + ) + ( x + ) ] ( x + ) [( x + ) + ] x + ja ( x + ) + vat keskenään jattmia. Js x a +, niin b ( x + ) + ( a ) + ( a ) Ts. etsimme kahta lukua, jiden välinen ertus n. Tällöin mahdllisia vat - ja 0 sekä 0 ja..tapaus: x + -, x -, mutta tisaalta ( x + ) + ¹ 0..tapaus: x + 0, x - ja siten ( x + ) + pätee. y 0, y 0 Vastaus: x -, y 0 vat mlemmat jallisia luvul- 6. Etsi psitiiviset kknaisluvut n, jille n + ja n - la 0. Ratkaisua: n + ( n + )( n - n + ) ja n - ( n + )( n -). Kska l0 n alkuluku, n kaksi mahdllisuutta: 0 + n, n ja 0n n + n 0k -, jssa k n mielivaltainen psitiivinen tekijä. 0 n - n + + ( n -) kska 0 n alkuluku 0n ( ) 0n - ei mahdllinen Þ ei ratkaisua

14 7. Ratkaise seuraava yhtälöryhmä, kun a, b, c ja d vat annettuja reaalilukuja: x + y + z + 4v a, y + z + v + 4x b, z + v + x + 4y c, v + x + y + 4z d Ratkaistaan v viimeisestä yhtälöstä ja sijitetaan se muihin yhtälöihin: () v d - x - y - 4z () - 7x -0y -z a - 4d () - x - 8y -0z b - d (4) - x - y - 7z c - d Ratkaistaan x yhtälöstä (4) ja sijitetaan se yhtälöihin () ja (): (5) x - y -7z -c + d (6) 4y + 6z a + 0d - 7c (7) - 4y + 4z b + d - c Lasketaan yhteen yhtälöt (6) ja (7): 40 z a + b - 9c + d z ( a + b - 9c + d ) 40 Sijitetaan z yhtälöön (7): y ( a - 9b + c + d) 40 Sijitetaan y ja z yhtälöön (5): x (-9a + b + c + d) 40 Sijitetaan x, y ja z yhtälöön (): v (a + b + c - 9d) 40 4

15 8. Etsi kaikki kknaislukuratkaisut yhtälölle x 4 + y. x y Û y - x Û ( y ) x. x ja y vat kaksi neliölukua, jiden ertus n. Luetellaan neliölukuja:, 4, 9, 6, 5, 6, 49 ( 49-6, suurempien lukujen ertus n suurempi, jten x ja jukssa) y näiden - ( ) y x 4 y tai y - x tai x - Ratkaisuja n siis neljä: x ja y x ja y - x - ja y x 4 - ja y4-9. Millä muuttujan v arvilla seuraavalla yhtälöryhmällä ei le ratkaisua? () x + y + z v () x + vy + z v () x + y + v z v Yhtälöiden () ja () ertus: x + vy + z v - x + y + z v vy - y 0 ( v -) y 0 (4) Yhtälöiden () ja () ertus: x + y + v z v - x + y + z v v z - z v - v 5

16 ( v -) z v( v -) ( v + )( v -) z v( v -) (5). v : y ja z vidaan valita mielivaltaisesti (yhtälöt 4 ja 5) ja x ratkaista esim. yhtälöstä ().. v ¹ ± : yhtälöstä (4) y 0 ja yhtälöstä (5) v x. v +. v -: esim. yhtälöstä (5) saadaan 0, jka n epätsi. Vastaus: Yhtälöryhmällä ei le ratkaisua, kun v -. v z ja esim. yhtälöstä () v - 0. Ratkaise yhtälö x + + y x - xy y, jssa x ja y vat kknaislukuja. Tutkitaan ensin, mitä arvja y vi saada. Muutetaan yhtälö mutn x - ( y + ) x + y - y 0. Yhtälöllä n ratkaisuja, kun sen diskriminantti n ei- negatiivinen eli D ( y + ) - 4( y - y) + 6y - y > 0. Käänteisesti y -6y - 0. Funktin y - 6y - kuvaaja n ylöspäin aukeava paraabeli, jten epäyhtälö pätee, kun - y + (funktin nllakhdat). Tällä välillä y vi saada kknaislukuarvt 0, tai. Kun y 0: x - x 0, jllin x 0 tai x. Kun y : x -x 0, jllin x 0 tai x. Kun y : x - x + 0, jllin x tai x. Kaikki mahdlliset ratkaisut vat siis (0,0), (0,), (,0), (,), (,), (,).. Ratkaise yhtälö (009x) lg (00 ). lg x lg 009 (009x) Muunnetaan lgaritmit samankantaisiksi: lg 009 (00x) lg

17 Kerrtaan nimittäjällä ( ¹ 0 ): (009x) lg 00 lg (00 ) Lgaritmin laskusääntöjä käyttäen: lg x lg + lg lg lg lg lg lg 009 x lg lg x - lg x - lg x lg x lg x x lg 00 + lg - - lg (lg lg lg 009 x 009 x). Kknaisluvuille a ja b, merkitköön a b lukua, jka n yhtä suurempi kuin eipienempi luvuista a ja b, ja merkitköön a * b lukua, jka n yhtä suurempi kuin eisuurempi luvuista a ja b. Ratkaise yhtälö ( x 00) * 0 x +. Tutkitaan erikseen neljä tapausta: 00 x : 0 x : < 00 x : ( x 00) * 0 x + 0*0 x + 0 x ( x 00)*0 x + 0*0 x ( x 00)*0 x + 0*0 x + 0 x + x 00 tsi epätsi ristiriita 7

18 4 > 0 x : Vastaus: x 00. ( x 00)*0 x + ( x + )*0 x + 0 x + x 00 ristiriita. Tdista, että lausekkeen a - ab + b arv n ei-negatiivinen, kun a ja b vat einegatiivisia reaalilukuja. ( a - b ) - b ( a - b) ( a - b) ( a( a + b) ) a - ab + b a - b a ³ 0, b ³ 0. Js a ³ b, niin a - b ³ 0. Tisaalta, kska b ³ 0, niin ab ³ b. Näin llen a + ab ³ b + b Þ a( a + b) - b ³ 0 ja kska einegatiivisten tekijöiden tul n ei-negatiivinen, niin ( - ) ³ 0 ( b) a( a + b) a - b.. Js a < b, niin a - b < 0. Tisaalta kska a ³ 0, niin ab < b. Näin llen a + ab < b + b Þ a( a + b) - b < 0 negatiivisen tekijän tul n psitiivinen, niin ( - ) > 0 ( b) a( a + b) a - b. a ³ b ja edelleen a < b ja edelleen. Kska kahden 4. Olkn x < y < z. Ratkaise seuraava yhtälö lunnllisten lukujen jukssa: x y z x x x + y-x z-x ( + + ) x 4 y 4 + z y-4 y-4 y-4 y 7 z-4 ( + ) + z

19 + z-7 x z-7 z vastaus: x 4 y 7 z 5. Ratkaise yhtälö + csx csx. Tiedetään, että csx cs x - ja sin x sin x cs x. csx csx cs x - sin x sin x (cs x -) cs x - ( - cs x) cs x 4cs x - cs x Yhtälö vidaan ratkaista: 4cs x - cs x + 4cs x - 4cs x - 4cs (cs x -)(4cs x - cs x + 0 x - ) 0 ) cs x x kp ) p cs x Þ cs x ± Þ x ± + lp, missä l Î Z

20 . Prsenttilaskenta. Vunna 006 vakuutusyhtiön tult lisääntyivät 5% ja ment 5% edelliseen vuteen verrattuna. Yhtiön vitt (tult ment) lisääntyi 40%. Kuinka mnta prsenttia tulista kului menihin vunna 006? T 006, 5T005, 006, 5M 005 M, T - M, ( T - M ) T 005 0, 8T006, M 005 M 006,5 æ T006 M 006,4ç 0,8T M è,5,4 T006 - M 006,T006 - M 006,5-006 æ,4 ö 0,T 006 ç - M è,5 ø M T , 0,55 55,%.,4 -, ö ø Yksityisyrittäjä n ttanut tuetun eurn lainan, jnka kiinteä vutuinen krk n 8%. Paljnk hänellä n lainaa 0 vuden kuluttua, js hän lyhentää lainaa jka vusi 000 eura? 0000,08 0 0, » 85,5,08-0

21 4. Lukujnt ja sarjat. Tdista, että jka neljäs luku Fibnaccin jnsta n jallinen klmella. (Fibnaccin jnssa a, a ja anan-+an- kaikilla, n.) Tdistus induktilla: i. Selvästi a 4 n jallinen klmella. ii. Oletetaan, että n a 4 n jallinen klmella, ja sitetaan, että myös a4 ( n+ ) n jallinen klmella. iii. a4 ( n+ ) a4n+ + a4n+ a4n+ + a4n+ + a4n+ ( a4n + a4n+ ) + a4n+ a4n + a4 n+. Tien laidassa levat rakennukset n numeritu peräkkäisillä parillisilla luvuilla. Lukujen summa krttelissa n 78. Olettaen, että krttelissa n vähintään 5 rakennusta, mikä visi lla neljännen rakennuksen luku? x + ( x + ) ( x + k) 78, k ³ 4, n aritmeettinen kaava. Mudstetaan aritmeettinen summa (x + k)( k + ) 78 ( x + k)( k + ) 78. Kska k ³ 5, niin k + 6,, 6, 9 tai 78. Kska x ³, viimeiset 4 lukua vat liian isja. Ensimmäisessä tapauksessa k 5, x Neljännen taln numer n

22 . Alla näkyvien kuviiden sarja kstuu yhä useammista tummista ja valkisista tasasivuisista klmiista. Sarjaa jatketaan n:nteen kuvin nähtävissä levan säännön mukaan. Kuinka paljn tummia klmiita yhteensä käytetään? 4 + ( + ) + ( + + ) ( n) ( + ) + ( + ) + ( + ) ( n + ) n ( n ) + ( n) æ n n + n + n + n ö n n + n + ç + è 6 ø 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( n + ) n 4. Kknaisluvut kirjitetaan ylös tiettyyn luvulla 50 jalliseen lukuun n asti. Tämän jälkeen kaikki luvun 50 mnikerrat pistetaan. Tdista, että jäljelle jääneiden lukujen summa n jnkin luvun neliö. Jäljelle jäävä sarja, kun mnikerrat pistetaan:,,,, 47, 48, 49, +50, +50,, 47+50, 48+50, 49+50, +00, +00,, 47+00, 48+00, 49+00, Merkitään k n 50 -

23 Mudstetaan aritmeettinen summa 49 ( (5 + k 50) 49(5( ( + k)) æ ( + k)( k + ) ö 49 5ç è ø (7 5( k + )) 5. a, b ja c vat klme, ei välttämättä peräkkäistä, termiä psitiivisten lukujen aritmeettisesta sarjasta. Kun + + 0, etsi aritmeettisen sarjan yleinen ertus. c - b a - c b - a a b c 0 ( c - b) bc + ( a - c) ac + ( b - a) ab c b - b c + a c - c a + b a - a b c ( b - a) + ab( b - a) + c( a - b ) c ( b - a) + ab( b - a) + a( a - b)( a + b) ( b - a)( c ab - ac - bc) ( b - a ) c( c - a ) + b( a - c ) b - a c - a c - b Jtta edellinen pätee, ltava [ ] ( )( )( ). a b, a c tai b c. Þ yleinen ertus n Surakulmaisen klmin sivujen pituudet mudstavat aritmeettisen sarjan. Määritä sivujen suhde. Tdista, että klmin sisään piirretyn ympyrän säde n aritmeettisen sarjan yleinen ertus. Sivujen pituudet vat a - x, a, a + x. Pythagraan lauseella + ( a - x) ( a x). ¹ 0 a + a, edellisestä yhtälöstä a 4x. Sivujen suhde: ( a - x) : a : ( a + x) x : 4x : 5x : 4 : 5. Merkitään A klmin pinta-ala ja r klmin sisään piirretyn ympyrän säde. A r Û A r( a + b + c) x 4x. a + b + c Kska x ¹ 0, niin x r.

24 5. Tdennäköisyyslaskenta. Petterin lempilevyllä n kappaletta. Hän pitää kahdeksannesta kappaleesta eniten. Kun hän laittaa levyn sittimeen, hän painaa nappia alittaakseen ensimmäisen kappaleen, jnka jälkeen hänen n painettava tista nappia seitsemän kertaa päästäkseen lempikappaleeseensa. Js hän säätää sittimen sittamaan kappaleet sattumanvaraisessa järjestyksessä, millä tdennäköisyydellä hän tällöin saavuttaa lempikappaleensa edellistä vähemmillä napin painalluksilla? Tdennäköisyys, että Petterin lempikappale n jllakin tietyllä paikalla (ensimmäinen, tinen, klmas jne.) n aina sama. Painalluksia n ltava vähemmän kuin 7 eli 0-6 (7 alkeistapausta), jten tdennäköisyys n 7 7» 64%.. Riku, Taneli ja Antti pelaavat pöytätennistä kaksi yhtä vastaan. Kun Taneli ja Antti pelaavat yhdessä Rikua vastaan, he vittavat Rikun klme kertaa niin usein kuin Riku heidät. Taneli vittaa pelin Rikua ja Anttia vastaan yhtä usein kuin häviää. Antti vittaa pelin Rikua ja Tanelia vastaan kaksi kertaa niin usein kuin häviää. Viimeksi he pelasivat kuusi peliä, kaksi jkaista pelaajayhdistelmää käyttäen. Millä tdennäköisyydellä Riku vitti ainakin kerran? Taneli ja Antti vs. Riku: P(Riku vittaa). 4 Riku ja Antti vs. Taneli: P(Riku vittaa). Riku ja Taneli vs. Antti: P(Riku vittaa). P(Riku vittaa ainakin kerran) - P(Riku ei vita kertaakaan) æ ö æ ö æ ö 5 - ç ç ç» 94%. è 4 ø è ø è ø 6. Jalkapalljukkueen valmentajan mukaan tdennäköisyys sille, että pelaaja tekee maalin rangaistusptkulla, n 95%. Mikä n tdennäköisyys sille, että viidestä pelaajasta tasan klme ei tee maalia rangaistusptkusta? 4

25 Alkeistapauksia (ketkä pelaajista tekevät maalin ja ketkä eivät) n yhteensä 0 kpl. Tdennäköisyys: - 0 (0,95 0,05 )», 0» 0,%. 4. Erään valtin ltssa arvtaan viisi numera väliltä -90. Lttkupngin staneet merkitsevät viisi numera jkaiseen kupnkiin. Mies sti kaksi kupnkia ja merkitsi niihin kymmenen eri numera kaikkiaan. Olettaen, että hänen kymmenestä numerstaan neljä sui ikeaan, millä tdennäköisyydellä hänellä li kupnki, jssa li a) neljä ikeaa numera? b) kaksi ikeaa numera? P(numer ikein) 0, 4, P(numer väärin) 0, 6 a) Kupngissa neljä ikeaa ja yksi väärä numer, mahdllisia yhdistelmiä 5 kpl. Oikeat numert vivat lla kummassa tahansa kahdesta kupngista. P(4 ikein samassa kupngissa) 4 5 P(neljä ikein, yksi väärin) 5 0,4 0,6» 5%. b) Viidestä numersta kaksi ikein, vaihtehtja 0 kpl. P(kaksi ikein samassa kupngissa) 0 0,4 0,6» 5%. 5. Kuusi krttia numeridaan yhdestä kuuteen ja sekitetaan. Klme krttia nstetaan peräkkäin ilman takaisinpana. Millä tdennäköisyydellä saatu lukujn n kasvava? Jnja yhteensä kpl. Kasvavia jnja 0 kpl:,,,,4,4,6,,6,4,5,,4,,5,5,6,4,5,4,6,,5,,6,,4,4,6,5,6,,6,4,5,,5,5,6 4,5,6 0 P(lukujn kasvava)» 7%

26 6. Numert 0,,,, 4, 5 ja 6 kirjitetaan satunnaisessa järjestyksessä. Millä tdennäköisyydellä saatu 7-numerinen luku (jka ei ala nllalla) n jallinen neljällä? Numert vidaan kirjittaa!( 5040) 7 järjestykseen, mikä n kaikkien alkeistapausten määrä. Luku n jallinen neljällä, js sen kahden viimeisen numern mudstama luku n jallinen neljällä. Luvun viimeiset numert vat siis 04,, 6, 0, 4,, 6, 40, 5, 56, 60 tai 64. Lukuja, jka päättyy 04, 0, 40 tai 60 n yhteensä 5! (5 jäljellä levaa numera vidaan järjestää näin mnella tavalla). Muissa tapauksissa n humiitava, ettei 0 saa lla luvun ensimmäinen numer. Luvun ensimmäinen numer vi siis lla jku neljästä numersta, ja seuraavat neljä numera vivat lla missä tahansa järjestyksessä, siis 4 4!. Yhteensä sutuisia alkeistapauksia n siis 4 5! ! ja kysytty tdennäköisyys 4 5! ! 6 n» 0, 5. 7! Klikka heitetään neljä kertaa. Sen jälkeen sitä heitetään uudelleen niin mnta kertaa kuin ensimmäisillä heitilla saatiin kruunia. Millä tdennäköisyydellä saadaan yhteensä vähintään viisi kruunaa? Klikka heitetään neljä kertaa, alkeistapauksia 4 6 kpl. Ensimmäisillä neljällä heitlla n saatava vähintään kruunaa, jtta näitä n mahdllista saada yhteensä 5. Mahdllisia tapja saada kruunaa n 4 (KKKL, KKLK, KLKK ja 4 LKKK) jten P(neljällä heitlla kruunaa). P(neljällä heitlla 4 kruunaa). 6 Js ensimmäisillä heitilla saadaan kruunaa, saadaan uutta heitta, jilla n saatava vähintään kruunaa. Klmella heitlla alkeistapauksia n 8. Sutuisia alkeistapauksia ( tai kruunaa) n 4 (KKK, KKL, KLK ja LKK). 4 Jten P(klmella heitlla vähintään kruunaa). 8 Js ensimmäisillä heitilla saatiin 4 kruunaa, saadaan 4 uutta heitta, jilla n saatava vähintään yksi kruuna. Sutuisia tapauksia 5 (kaikki paitsi LLLL), 5 P(neljällä heitlla vähintään yksi kruuna). 6 5 P(yhteensä vähintään 5 kruunaa) +» 8%

27 8. Eräiden karamellien myyntiä parantaakseen niitä valmistava yritys laittaa saan karamellipaketeista lahjakrtit. Jhtajat arviivat, että kampanja tulee lemaan tehkas ja kulut siedettäviä, mikäli tdennäköisyys, että kymmenen pakettia stava asiakas saa vähintään yhden lahjakrtin, n 50%. Mneenk pakettiin tulisi tällöin laittaa lahjakrtti? P( X ³ ) - P( X æ0ö 0) - ç è 0 ø æ ö ç è n ø æ n - ö 0 n - ç 0,5 Û» 0,9 Û n» 4,9. è n ø n Vastaus: keskimäärin jka 5. laatikkn. 0 0 æ n - ö ç è n ø 0,5. 9. Kuusivaunuisessa metrssa n neljä matkustajaa, jilla n flunssa. Millä tdennäköisyydellä metrssa n enintään kaksi vaunua, jissa n matkustajia, jilla n flunssa? Matkustajat vivat lla vaunuissa eri tavalla. Mahdllisia tapauksia n klme: a) Kaikki 4 sairasta matkustajaa yhdessä vaunussa, sutuisia alkeistapauksia 6. b) Kaksi sairasta yhdessä vaunussa, kaksi tisessa vaunussa. Sutuisia æ4ö æ6ö alkeistapauksia ç ç 90. èø èø c) Klme sairasta samassa vaunussa, neljäs eri vanussa. Sutuisia alkeistapauksia ç èø æ4ö Kysytty tdennäköisyys n Kahvilassa n kahden hengen pöytiä. Tällä hetkellä kahvilassa n kuusi asiakasta klmessa pöydässä. Heistä klme ju kahvia ja klme teetä. Millä tdennäköisyydellä kahvilassa n pöytä, jssa mlemmat asiakkaat juvat teetä? Jtta samassa pöydässä lisi kaksi teen jujaa, vivat he järjestäytyä :lla eri tavalla (ensimmäinen valitsee klmesta pöydästä, tinen 7

28 kahdesta vapaana levasta ja klmas kahdesta, jssa j istuu teen juja). Js kahta teen jujaa ei istu samassa pöydässä, n sillin kaikissa pöydissä yksi teen ja yksi kahvin juja. Tällaisia tapauksia n 8. Yhteensä alkeistapauksia siis n 0 ja P(n pöytä jssa kaksi teen jujaa) 0,6 60%. 0. Rakennuksen prtin vieressä n 0 pstilaatikka. Mainksia jakava mies kävelee hi ja laittaa mainksia viiteen pstilaatikkn. Myöhemmin tinen mainsten jakaja kulkee hi ja laittaa myös mainksia viiteen laatikkn. Millä tdennäköisyydellä vähintään kahdeksassa pstilaatikssa n mainksia? æ0ö Jakaja vi jakaa mainkset ç eri tavalla. Kun kaksi jakajaa jakaa mainksia, è 5 ø æ0ö n tapja ç. Tisen jakajan n jaettava mainksensa niin, että niitä tulee è 5 ø vähintään klmeen sellaiseen laatikkn, jihin ensimmäinen jakaja ei mainksia laittanut. æ5öæ5ö a) Kaikki 5 mainsta tyhjiin laatikihin: ç ç. è0øè5ø b) Yksi mains laatikkn, jssa n j mains, ja 4 tyhjiin laatikihin: æ5öæ 5ö ç ç 5 èøè 4ø c) Kaksi mainsta laatikihin, jissa n j mainkset, ja klme tyhjiin æ5öæ5ö laatikihin: ç ç 0. èøèø Kysytty tdennäköisyys: æ0ö ç è 5 ø ( ) æ0ö ç è 5 ø %. 8

29 6. Lisää tehtäviä Luvut, Lausekkeet ja yhtälöt x y ( x - y). Näytä, että lausekkeella + + y - - x x y + se n mielekäs, ja x + y. n vakiarv kaikilla x ja y, jille. x ja y vat reaalilukuja niin, että x + y ja x ³ y ³ 0. Mitä arvja x + y vi saada?. Ratkaise yhtälö ( + bx + 4) + ( bx + ax + 8) 0 ax kknaislukujen jukssa. a ja b vat kknaislukuja. 4. Plynmin p ( x) aste n krkeintaan neljä. Plynmilla n nllakhtia ja sillä n minimikhdat kun x - ja x 5. Olettaen, että plynmi q ( x) p( x -) n parillinen ja sillä n lkaalimaksimiarv 56, määritä plynmi p ( x). 5. Osita, että yhtälöryhmällä x - y + z 0, - x + y - z -, x + cy + z n ratkaisu, jka n riippumatn parametrin c arvsta. 6. Etsi kaikki kknaisluvut x, jille lausekkeen 6x - 67 y - 48z ratkaisu n a) alkuluku; b) mahdllisimman pieni kknaisluku. 9

30 Gemetria 7. Surakulmi, jnka sivut vat 5 cm ja 0 cm, kierretään lävistäjän ympäri. Mikä n syntyvän pyörähdyskappaleen tilavuus? 8. ABC n annettu klmi. Etsi jana, jka kulkee kärjen C läpi niin, että klmin ABD piiri n suurempi kuin klmin ABC piiri, kaikilla janalla levilla pisteillä D, jtka vat eri piste kuin C. 9. Kuinka mnta sellaista erimutista klmita n lemassa, jnka kaikkien kulmien asteluvut vat kknaislukuja? 0. Surakulmaisen klmin hyptenuusan pituus n c, ja klmin pinta-ala n Määritä klmin kulmien tarkat suuruudet. c t. 8. Katkaistun pyramidin phjasärmät ja sivusärmät vat kaikki neljän yksikön mittaiset. Päätytahkn sivut vat kaksi yksikköä. Mikä n suurin mahdllinen etäisyys katkaistun pyramidin kahden kärjen välillä?. Pelt rajittuu yhdeltä reunaltaan 50 metriä pitkään muuriin. Matti haluaa ympäröidä suurimman mahdllisen surakulmaisen alueen sähköaidalla lehmiensä laitumeksi. Miten hän saavuttaa tämän, js hänellä n 44 metriä jhta jnka hän vi kiinnittää maahan pylväillä, jiden välinen etäisyys n a) metri, b) metriä. Mikä n ympäröidyn alueen pinta-ala kummassakin tapauksessa?. Pulisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen pituudet vat a 0, c 5 ja ympäripiirretyn ympyrän säde n r 0. Mikä vi lla kylkien pituus? Mikä n pulisuunnikkaan pinta-ala? 0

31 4. Yhdistä surakulmin sivujen keskipisteet vastakkaisiin kulmiin. Näin saadut kahdeksan janaa mudstavat kahdeksankulmin. Miten suuren san kk surakulmin pinta-alasta tämä kahdeksankulmi mudstaa? 5. Surakulmainen klmi jaetaan klmin ja nelikulmin hyptenuusan khtisuralla pulittajalla. Nelikulmin lävistäjien pituuksien suhde n ( + ) :. Määritä klmin kulmien tarkat suuruudet. 6. Klmin ABC kärjet vat tasn pisteissä A ( 0,), B (,0) ja C ( c,6) n 7. Etsi c siten, että 0 < c <.. Klmin pinta-ala 7. Vinneliön, jnka sivun pituus n, terävä kulma n 60. Kuinka mnta sellaista ympyrää n, että vinneliön kärjet vat yhtä kaukana ympyrän kehältä? Mitkä vat ympyröiden säteet? 8. Tasasivuisen klmin ABC sivujen pituus n 6 cm. Ötökkä lähtee klmin kärjestä C ryömimään tasaista vauhtia, 4mm/s khti pistettä A. Samaan aikaan tinen ötökkä lähtee ryömimään pisteestä B khti pistettä C mm/s vauhdilla. Kauank kestää, kunnes ötökät vat mahdllisimman lähellä tisiaan ja mikä n tämän lyhimmän mahdllisen välimatkan pituus? 9. Etsi pinta-alaltaan mahdllisimman pieni tasakylkinen klmi, jka n piirretty puliympyrän ympäri niin, että sen kanta n puliympyrän halkaisijalla ja sen kyljet vat puliympyrän tangentit. 0. Palln sisällä n neljä yksikköpalla siten, että jkainen niistä sivuaa sekä isa palla että klmea muuta yksikköpalla. Kuinka suuren san isn palln tilavuudesta neljä yksikköpalla täyttävät?. Klmin kulmat B ja C yhdistetään pisteisiin, jtka jakavat kulmien vastaiset sivut klmeen yhtä suureen saan. Näin syntyvien janjen sisään mudstuu nelikulmi. Tdista, että nelikulmilla n lävistäjä, jka n yhdensuuntainen klmin sivun BC kanssa.

32 . Säännöllinen kuusikulmi pyörähtää symmetria-akseleidensa ympäri. Määritä syntyneiden kappaleiden pinta-aljen suhde.. Jatka neliön kumpaakin lävistäjää tiseen suuntaan neliön sivun pituuden verran. Kuinka mnta tasakylkistä klmita vidaan määrätä sivujen jatkjen päätepisteiden ja neliön kärkien avulla? 4. ABC n tasasivuinen klmi tasssa. Ajatellaan taskuvita jka mudstuu pisteistä, jiden etäisyys kärjestä A n pienempi tai yhtä suuri kuin klmin sivun pituus, ja etäisyys kärjistä B ja C suurempi tai yhtä suuri kuin klmin sivun pituus. Millä ehdilla taskuvin pinta-ala n suurempi kuin klmin pinta-ala? 5. P n piste sivulla AC ja Q n piste sivulla BC klmissa ABC. Pisteen P kautta kulkeva sura, jka n yhdensuuntainen sivun BC kanssa, leikkaa sivun AB pisteessä K ja pisteen Q kautta kulkeva sura, jka n yhdensuuntainen sivun AC kanssa, leikkaa sivun AB pisteessä L. Tdista, että js jana PQ n yhdensuuntainen klmin sivun AB kanssa, niin AKBL. 6. Neljäkäs mudstetaan neljästä metallitangsta, jtka liitetään tisiinsa kärjistä. Pidempi lävistäjä n alun perin cm pitkä. Neljäkästä puristetaan hieman kasaan pitempää lävistäjää vasten. Seurauksena tinen lävistäjä pitenee, kertaa niin paljn kuin pitempi lävistäjä lyhenee. Mitkä vat lävistäjien uudet pituudet? 7. Surakulmaisessa klmissa ABC n 0 kulma kärjessä B. D n sellaisen klmin ulkpulelle piirretyn neliön keskipiste, jnka yksi sivu n klmin hyptenuusa BC. Määritä kulma Ð ADB. 8. Tdista, että surakulmaisen klmin sisään piirretyn ympyrän halkaisija n yhtä pitkä kuin hyptenuusan ja tisen kateetin pituuksien ertus ja kaksi kertaa niin pitkä kuin hyptenuusan ja tisen kateetin pituuksien ertus. 9. Olettaen, että ympyrälle x - 6x + y - py vidaan piirtää kaksi khtisuraa tangenttia, jtka kulkevat rign kautta, mitä arvja muuttuja p vi saada?

33 0. Etsi ne surakulmaiset klmit, jiden sivujen pituudet vat kknaislukuja ja piiri yhtä suuri kuin pinta-ala.. Neliön ABCD kulman A kautta piirretään mielivaltainen sura (jka ei saa kulkea kulmien B ja C kautta) ja tälle suralle piirretään khtisurat kulmista B and D. Khtisurien ja suran leikkauspisteet vat B ja D. Tdista, että AB + AD BB + DD.. Olkn annettu kuusi eri pistettä tasssa niin, että ainakin klme mistä tahansa neljästä n samalla suralla. Tdista, että ainakin viisi pisteistä n samalla suralla.. Pisteet A, B, C ja D sijaitsevat samalla suralla tässä järjestyksessä ja AB BC. Piirrä janaa AD vastaan khtisurat pisteisiin B ja C. Pisteen B kautta piirretty khtisura leikkaa pisteissä P ja Q ympyrää, jnka halkaisija n AD. Vastaavasti pisteen C kautta piirretty khtisura leikkaa pisteissä K ja L ympyrää, jnka halkaisija n BD. Osita, että pisteiden P, K, L ja Q kautta kulkevan ympyrän keskipiste n B. 4. Surakulmainen klmi, jnka sivujen pituudet vat, 4 ja 5 leikataan kahteen saan suralla, jka n khtisurassa hyptenuusaa vastaan. Tinen sista n nelikulmi, jnka sisään vidaan piirtää ympyrä, jka sivuaa nelikulmin jkaista sivua. Tinen sa n surakulmainen klmi. Määritä surakulmin sivujen pituudet. 5. Tasakylkisen klmin ABC kannan AB keskipiste n F. Olkn D pisteen F khtisura prjekti sivulle BC. Olkn E janan DF keskipiste. Tdista, että CE ja AD vat khtisurassa keskenään. 6. Etsi kaikki kknaisluvut, jtka vivat lla säännöllisen mnikulmin kulmien astelukuja. 7. Olkn annettu jana BD, sekä pisteestä A janalle CD, pisteestä B janalle DA, pisteestä C janalle AB sekä pisteestä D janalle BC piirretyt khtisurat janat. Knstrui nelikulmi ABCD. (Ei tarvitse phtia mahdllisten ratkaisujen lukumäärää.)

34 Sekalaisia tehtäviä 8. Millä kantalukujärjestelmällä kertlasku pitää paikkansa? 9. Etsi kaikki psitiiviset kknaisluvut, jilla n yhtä mnta kuudella jallista tekijää, kuin tekijöitä, jtka eivät le kuudella jallisia. 40. Etsi kaikki sellaiset psitiiviset kknaisluvut, jilla saadaan tulkseksi 007, kun luvusta vähennetään kaikkien siinä esiintyvien numeriden summa. 4. Luentsalissa n 4 valaisinta. Jkaisessa valaisimessa vi lla krkeintaan 4 hehkulamppua. Kun hulthenkilökunta li asettanut saan valaisimista 4 lamppua, he humasivat, ettei lamppuja llut tarpeeksi. Sitten he jatkivat laittamalla valaisimiin klme lamppua, sitten kaksi lamppua, ja lppuihin valaisimiin yhden lampun. Mntak lamppua puuttui, js luentsalissa li kaksi kertaa niin mnta valaisinta yhdellä lampulla kuin valaisimia neljällä lampulla, ja valaisimia, jihin ei riittänyt lamppuja llenkaan, li pulet siitä, mitä valaisimia, jissa li klme lamppua? 4. Teemun matematiikan numeriden keskiarv li 4:n ja 5:n välillä ennen kuin ensimmäisen lukukauden viimeinen matematiikan ke palautettiin ppilaille. (Arvsanat unkarilaisessa kulussa vat :stä 5:een, 5 n erinmainen ja hylätty. Opettajat antavat jskus pulikkaita arvsanja, kuten ja puli, jka tarkittaa, että arvsana n :n ja 4:n välissä. Lpulliset numert vat kknaislukuja.) Opettaja sani Teemulle: 6 teistä teki tämän kkeen. Olen antanut myös pulikkaita numerita. Arvsanjenne vaihteluväli n, mdi n 4,5 ja mediaani n 4. Keskiarv n hunin mahdllinen, jnka 6 ppilaan ryhmä vi näillä ehdilla saada. Js saat kerta minulle, letk vinut saada kkeesta arvsanan 5, niin saat lukukauden arvsanaksi 5. Teemu sai arvsanan 5. Mitä hän vastasi pettajan kysymykseen? 4. Anna kirjittaa ylös kaksi mielivaltaista lunnllista lukua, jtka kstuvat samista numerista eri järjestyksessä. Hän vähentää pienemmän luvun suuremmasta, ja kert ertuksen mielivaltaisella lunnllisella luvulla. Sitten hän pistaa saadusta luvusta numern, jka ei le 0. Hän kert jäljelle jääneen luvun Pekalle. Hieman mietittyään Pekka saa arvata pistetun numern. Miten? 44. Kymmenen henkilön jukk meni elkuviin. He stivat liput viidelle vierekkäiselle paikalle kahdella eri rivillä. Ari ja Pentti halusivat istua vierekkäin, kun taas Susanna 4

35 ja Annika eivät halunneet istua vierekkäin. Kuinka mnta erilaista mahdllista istumajärjestystä li? numerisen yhdeksällä jallisen luvun numert lasketaan yhteen. Myös näin saadun luvun numert lasketaan yhteen, ja tämä tistetaan vielä kerran. Mikä lpullinen tuls visi lla? 46. Määritä funktin f ( x) ( x + a ) ( a - b )( a - c ) + ( x + b ) ( b - a )( b - c ) + ( x + c ) ( c - a )( c - b ) arvjukk; a, b ja c vat eri reaalilukuja. 47. Matematiikkakilpailussa li ratkaistavana klme tehtävää. 56 sallistujaa ratkaisi ainakin yhden tehtävän. sallistujaa ratkaisi kaikki tehtävät. Niistä, jtka ratkaisivat tisen tehtävän, klmannen tehtävän ratkaisi 0 enemmän kuin ensimmäisen tehtävän. Niiden lukumäärä, jtka ratkaisivat sekä ensimmäisen että tisen tehtävän, li 0 suurempi kuin niiden lukumäärä, jtka ratkaisivat vain klmannen tehtävän. Kaikki sallistujat, jtka ratkaisivat ensimmäisen ja klmannen tehtävän, ratkaisivat myös tisen tehtävän. Yhteensä 4 sallistujaa ratkaisi ainastaan ensimmäisen tai tisen tehtävän. Kuinka mni sallistuja ratkaisi klmannen tehtävän? 48. Kuinka mnta sellaista 9-numerista lukua n lemassa (kymmenjärjestelmässä), jtka vat jallisia luvulla, ja jissa esiintyy kaikki numert nllaa lukuun ttamatta? 49. Lahjatavarakaupassa n myynnissä 60 pääsiäiskrttia pinssa tiskillä. Asiakas jakaa krttipinn kahteen pinn, jissa kummassakin n vähintään kaksi krttia. Hän staa yhden krtin jmmastakummasta pinsta. Seuraava asiakas timii samalla tavalla: hän jakaa tisen pinista kahteen pinn (samalla säännöllä kuin edellä) ja staa krtin tisesta näistä pinista. Seuraava asiakas menettelee samin, ja niin edelleen. Onk näin timien mahdllista päätyä tilanteeseen, jssa jkaisessa pöydällä levassa pinssa n neljä krtti jkaisessa? 50. Mikä-Mikä-Maan parlamentin edustajista kstuvan pienen ryhmän jäsenet sallistuvat neljän kmitean timintaan. Jkainen ryhmän jäsen työskentelee kahdessa k- 5

36 miteassa, ja millä tahansa kahdella kmitealla n yksi yhteinen edustaja ryhmästä. Kuinka mnta edustajaa ryhmään kuuluu? 5. Js erääseen klminumeriseen lukuun lisätään sen numeriden summa, saatu luku kstuu klmesta samasta numersta. Js taas numeriden summa vähennetään alkuperäisestä luvusta, saadaan myös luku, jka kstuu klmesta samasta numersta. Mikä n alkuperäinen luku? 5. Viidestä tytöstä ja seitsemästä pjasta kstuva ryhmä lastentarhalaisia leikkii häitä. He valitsevat mrsiamen ja sulhasen, vihkijän, kaksi mrsiusneita, yhden bestmanin mrsiamelle ja yhden bestmanin sulhaselle, sekä kaksi tdistajaa. Klmella tytöistä n myös veli ryhmässä, muita sisaruspareja ei le. Mnellak eri tavalla valinnat vi tehdä, kun sisk ja veli eivät vi lla mrsian ja sulhanen, eikä vihkijä vi lla mrsiamen tai sulhasen sisk tai veli. (Mrsiusneidt vat tyttöjä ja bestmanit pikia. Tdistajien sukupulella ei le väliä.) 5. Julupukki jakaa 5 julukaramellia klmeen säkkiin niin, että jkaisessa säkissä n eri määrä karamelleja, mutta mitkä tahansa kaksi säkkiä sisältävät yhteensä enemmän karamelleja kuin klmas säkki. Kuinka mnella tavalla tämä n mahdllista? 54. Määritä tasn pisteparit ( y) x -. x + y x,, jiden krdinaatit täyttävät ehdt x + y 5 ja 55. Uuden vuden knserttiin lipun varanneiden henkilöiden lukumäärä n neliöluku. Js 00 henkilöä lisää varaisi lipun knserttiin, henkilöiden lukumäärä lisi jkin neliöluku +. Js vielä 00 henkilöä varaisi lipun, lisi lukumäärä taas jkin neliöluku. Kuinka mni henkilö varasi lipun? 56. Pikajuna hittaa tavarajunan samansuuntaista viereistä rataa pitkin. Paluumatkallaan pikajuna hittaa saman tavarajunan, nyt kulkien vastakkaiseen suuntaan. Pikajunan vauhdin suhde tavarajunan vauhtiin n sama kuin samansuuntaiseen hitukseen kuluneen ajan suhde vastakkaissuuntaiseen hitukseen kuluneeseen aikaan. Kuinka paljn npeampi pikajuna n kuin tavarajuna, js mlemmat kulkevat vakinpeutta? 6

37 57. Tdista, että kuusinumerisella luvulla ababab ei vi lla yli kaksinumerisia alkutekijöitä. 58. Pyöreän pöydän ympärillä istuu 0 henkilöä. Osa heistä n valehtelijita, sa puhuu ttta. Tiedämme, että jkaisen valehtelijan vierustvereista tasan yksi n valehtelija. Jkaiselta kysytään, mntak valehtelijaa hänen vieressään istuu. heistä vastaa, että tasan yksi, ja lput vastaavat, että mlemmat vierustverit vat valehtelijita. Mntak valehtelijaa pöydän ääressä istuu? 59. Eräällä kknaisluvulla n kaksi alkutekijää. Sen jakajien lukumäärä n kuusi ja sen jakajien summa n 8. Mikä luku n kyseessä? 60. Tukkukauppias myy kemikalitutteita ja paperitavarita. Hänellä n kntti, jnka tilavuus n m ja jhn mahtuu 5000 kg tutteita. Tnni kemikalitutteita vie tilaa m ja tnni paperitavarita m. Tukkukauppias tekee vitta eura tnnia khti kemikalitutteissa ja eura tnnia khti paperitavarissa. Miten suuren vitn hän vi krkeintaan tehdä myydessään yhden kntillisen tutteita? 6. Eräs kaksinumerinen luku kerrtaan neljällä ja näin saadun luvun perään kirjitetaan alkuperäinen luku. Näin saadulla luvulla n tasan kuusi jakajaa. Mikä alkuperäinen kaksinumerinen luku n? 6. Oletetaan, että allergiasta kärsivien ihmisten jukssa n suhteellisesti enemmän teini-ikäisiä, kuin kk väestössä, ja että teini-ikäisten jukssa urheilua harrastavien suus n suurempi kuin kk väestössä. Seuraak tästä, että urheilua harrastavien jukssa n suhteellisesti enemmän allergiasta kärsiviä? 6. Laivan kapteeni kirjitti kaavan d p h lkikirjaansa hrisntin etäisyydeksi. Valitettavasti numer p sttaantui, eikä siitä saanut selvää. d merkitsee etäisyyttä hrisnttiin kilmetreinä ja h tarkittaa katsjan silmien krkeutta meren pinnasta metreinä. Määritä p:n arv niin, että kaava n käytännössä mahdllinen. (Käytä maapalln säteenä 670km.) 64. Tdista, että n yhdistetty luku (ykköstä suurempi kknaisluku, jka ei le alkuluku). 7

38 65. Klmen psitiivisen luvun summa kerrtaan niiden käänteisarvjen summalla. Etsi pienin mahdllinen väli, missä tul vi lla. 66. Rsa, Inka ja Vilma päättivät ratkaista kaikki tehtävät matematiikan kirjastaan. Rsa ratkaisi a tehtävää, Inka b tehtävää ja Vilma c tehtävää päivässä. (Jkainen tehtävä tuli ratkaistuksi vain kerran.) Js Rsa lisi ratkaissut kertaa niin mnta tehtävää päivässä, kuin mitä hän ratkaisi, Inka seitsemän kertaa niin mnta ja Vilma yhdeksän kertaa niin mnta, lisi aikaa kaikkiaan kulunut 5 päivää. Js taas Rsa lisi ratkaissut neljä kertaa niin mnta, Inka kaksi kertaa ja Vilma klme kertaa niin mnta tehtävää, lisi aikaa kulunut 6 päivää. Kauank aikaa kului? 8