2 Tasokuviot. Pythagoraan lause Pythagoraan lause suorakulmaiselle kolmiolle: a 2 + b 2 = c 2. a) Kolmion Pythagoraan lauseita ovat

Transkriptio

1 Taskuvit Pythagraan lause 133. Pythagraan lause surakulmaiselle klmille: a + b = c a c a) Klmin Pythagraan lauseita vat b ) = ) =. b) Klmin Pythagraan lauseita vat 1) u = s + t 3) t + s = u a) Pythagraan lause: = 6,8 + 9,6 = 138,4 = ± 138,4 Negatiivinen juuri ei käy. = 11, ,8 (m) b) Pythagraan lause: + 18 = = = 117 = ± 117 Negatiivinen juuri ei käy. = 10, (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 5

2 c) Pythagraan lause: + 19,7 = 30, ,09 = 906,01 388,09 = 517,9 = ± 517,9 Negatiivinen juuri ei käy. =,7578,8 (cm) 135. Klmi n surakulmainen, js sille pätee Pythagraan lause. a) Kateettien neliöiden summa: = 100 Hyptenuusan neliö: 10 = 100 Pythagraan lause pätee, jten klmi n surakulmainen. b) Kateettien neliöiden summa: + 1,5 = 6,5 Hyptenuusan neliö:,5 = 6,5 Pythagraan lause pätee, jten klmi n surakulmainen. c) Kateettien neliöiden summa: = 153 Hyptenuusan neliö: 15 = 5 Kska 153 5, Pythagraan lause ei päde eikä klmi le surakulmainen Lävistäjä n surakulmaisen klmin hyptenuusa. = 4, + 4, = 17, ,64 = 35,8 = ± 35,8 Negatiivinen juuri ei käy. = 5,9396 5,9 (cm) 4, cm 4, cm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 53

3 137. Surakulmin mutisen hiekkakentän mitat vat 100 m 150 m. Ukri kävelee surakulmin lävistäjää pitkin: 100 m = m = = = ± Negatiivinen juuri ei käy. = 180, (m) Aarni kävelee 150 m m = 50 m. Ukrin matka n = 0,8 = 8 % 50 lyhyempi kuin Aarnin a) Kateettien neliöiden summa: = 10 Hyptenuusan neliö: 11 = , jten luvut eivät tteuta Pythagraan lauseen ehta. b) Kateettien neliöiden summa: = 676 Hyptenuusan neliö: 6 = 676 Luvut tteuttavat Pythagraan lauseen ehdn. c) Kateettien neliöiden summa: = 3341 Hyptenuusan neliö: 58 = , jten luvut eivät tteuta Pythagraan lauseen ehta Näyttöpäätteen mitat vat 41 cm 6 cm. Merkitään päätteen lävistäjää :llä. = = = cm 6 cm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 54

4 = ± 357 Negatiivinen juuri ei käy. = 48,5489 (cm) 1 tuuma n,54 cm. Päätteen lävistäjä n tuumina 48,5489 = 19, ' '., Digikameran nestekidenäyttö n,5 tuumaa. Sivujen pituuksien suhde n 4 : 3. Muutetaan näytön halkaisijan pituus senttimetreiksi.,5 =,5,54 = 6,35 (cm) Merkitään sivujen pituuksia 3:llä ja 4:llä. Pythagraan lauseesta saadaan: (4) + (3) = 6, = 40, = 40,35 5 = 40,35 : 5 = 1,619 = ± 1,619 Negatiivinen juuri ei käy. = 1,7 (cm) Sivut vat 3 = 3 1,7 = 3,81 3,8 (cm) 4 = 4 1,7 = 5,08 5,1 (cm). 6, Tasasivuisen klmin sivun pituus n 16 cm. Krkeusjana pulittaa klmin kannan ja jakaa klmin kahdeksi surakulmaiseksi klmiksi. h + 8 = 16 h + 64 = h = 19 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 55

5 h = ± 19 Negatiivinen juuri ei käy. = 13, (cm) 14. Kissa kulkee 94 askelta phjiseen, kääntyy sitten itään ja kulkee 73 askelta. 73 = = = = ± Negatiivinen juuri ei käy. = 119,01 10 askeleen päässä Merkitään pisteiden A = (, 5) ja B = ( 3, 1) välistä etäisyyttä :llä. = = 41 = ± 41 Negatiivinen juuri ei käy. = 6,4031 6, Surakulmaisen klmin tinen kateetti n 5,0 cm. Hyptenuusa n 1,0 cm pitempi kuin tinen kateetti. Merkitään tista kateettia :llä. Sillin hyptenuusa n + 1,0. Pythagraan lauseesta saadaan: + 5,0 = ( + 1,0) + 5,0 = ( + 1,0)( + 1,0) + 5,0 = ,0 5,0 = + 1,0 1 = 4,0 : = 1,0 (cm) 5,0 + 1 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 56

6 145. Sänky n 10 cm leveä ja,10 m = 10 cm pitkä. Huneen leveys n,40 m ja pituus 3,90 m. Lasketaan sängyn lävistäjä. = = cm = ± = 41,86 4 (cm) Negatiivinen juuri ei käy. 10 cm 4 cm =,4 m Kska,4 m n suurempi kuin huneen leveys,40 m, Eelis ei vi kääntää sänkyään lattiaa pitkin Pienen taulun takana n kireä lanka, jnka pituus n 13,0 cm. Kun taulu pannaan rikkumaan naulasta, se laskeutuu 1,0 cm:n. = 1,0 + 6,5 = 43,5 = ± 43,5 Negatiivinen juuri ei käy. = 6,5764 (cm) Langan kknaispituus ripustuksessa: = 6,5764 = 13,158 13,15 (cm) Langan venymä n 13,15 13,0 = 0,15 (cm) 0,15 cm = 1,5 mm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 57

7 147. Pythagraan lauseesta saadaan: ( 5) + ( 10) = ( 5)( 5) + ( 10)( 10) = = = 0 a = 1, b = 30 ja c = 15 = ( 30) ± ( 30) ± 400 = 30 ± 0 = b ± = b 4ac a = = 5 tai = = 5 (ei käy, kska kateetin pituus ei vi lla pienempi kuin nlla) Kateettien pituudet vat 5 = 5 5 = 0 10 = 5 10 = Surakulmaisen klmin kateettien pituudet vat 7a ja 14a. Hyptenuusan pituus saadaan Pythagraan lauseesta. = (14a) + (7a) = 196a + 49a = 45a ± = 45a Negatiivinen juuri ei käy. 7a 14a = a 45 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 58

8 149. Tasakylkisen klmin kyljen pituus n klme kertaa niin suuri kuin klmin krkeus. Kannan pituus n 80 cm. Lasketaan klmin krkeus Pythagraan lauseella. (3) = = = : 8 = 00 = ± 00 Negatiivinen juuri ei käy. = 14,141 14,14 (cm) Klmin pinta-ala n 80 3 A = a h = 80 14,14 = 565,6 570 (cm ) 570 cm = 5,7 dm Leppäkerttupariskunta kulkee huneen lattian nurkasta keskellä katta levaan lamppuun. Naaras kävelee lyhyintä reittiä, ja urs lentää. Hune n 3,30 m leveä, 5,10 m pitkä ja,90 m krkea. Urksen lentreitti (sininen) Lasketaan y. z,90,90 y =,55 + 1,65 y 1,65 3,30 y = 9,5 5,10 Lasketaan. = y +,90 = 9,5 + 8,41 = 17,635 = ± 17,635 Negatiivinen juuri ei käy. = 4,1994 4,0 (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 59

9 Naaraan kävelyreitti. Kuvassa reitti n avattu tasn. z 1,65 m,90 m,55 m Lasketaan z. z =,55 + (,90 + 1,65) z = 6, ,705 z = 7,05 z = ± 7,05 Negatiivinen juuri ei käy. Naaraan kävelymatka n 5, 4,0 4,0 z = 5,158 5, (m) = 0, % pidempi a) = ,10 m = 10 cm = = ± Negatiivinen juuri ei käy. = 5,80 30 (cm) 30 cm =,3 m b) Lasketaan tikkaiden krkeus h. h + 60 = 154 h = h = 0 116,10 m h 10 cm 83 cm 154 cm h = ± Negatiivinen juuri ei käy. 14 cm = 1,4 m h = 141,83 14 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 60

10 15. Klmi n surakulmainen, js sille pätee Pythagraan lause. a) Kateettien neliöiden summa: 9,5 + 8,0 = 154,5 Hyptenuusan neliö: 11,5 = 13,5 Kska 154,5 13,5, Pythagraan lause ei päde eikä klmi le surakulmainen. b) Kateettien neliöiden summa: 4,5 + 6,0 = 56,5 Hyptenuusan neliö: 7,5 = 56,5 Pythagraan lause pätee, jten klmi n surakulmainen. c) Kateettien neliöiden summa: = 704 Hyptenuusan neliö: 5 = 704 Pythagraan lause pätee, jten klmi n surakulmainen Neliön mutisen kasvimaan sivun pituus n,50 m. Kasvimaan lävistäjälle istutetaan krkuksen sipuleita 5 cm:n välein. Lasketaan kasvimaan lävistäjän pituus Pythagraan lauseella. =,50 +,50 = 1,5 = ± 1,5 Negatiivinen juuri ei käy. = 3,5355 3,54 (m) 3,54 m = 354 cm Sipuleita mahtuu lävistäjälle,50 m,50 m 354 = 70,8 eli 70 sipulia Lumi Kins alitti aarteen piilttamisen suuren kuusen juurelta. Hän kulki 75 askelta etelään, kääntyi sitten länteen ja kulki 37 askelta eteenpäin, kääntyi tämän jälkeen vielä etelään ja kulki 16 askelta = 91 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 61

11 = = = ± Negatiivinen juuri ei käy. 75 = 98,3 98 askeleen päässä Tasakylkisen klmin kannan pituus n 4 cm ja kyljen pituus n 18 cm. Klmin krkeus h lasketaan Pythagraan lauseella. h + 1 = 18 h = h = 180 h = ± 180 Negatiivinen juuri ei käy. h = 13,41 13 (cm) 156. a) 37 h 4 18 Pisteiden välinen etäisyys d saadaan Pythagraan lauseesta. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6

12 d = (7 + 6) + (1 + 4) d = d = 194 d = ± 194 Negatiivinen juuri ei käy. d = 13,98 13,9 b) Pisteen A = (1, 7) etäisyys rigsta: d = d = 50 d = ± 50 Negatiivinen juuri ei käy. d = 7,0716 7,07 Pisteen B = ( 4, 6) etäisyys rigsta. d = d = 5 d = ± 5 Negatiivinen juuri ei käy. d = 7,111 7,1 Piste A n lähempänä riga Tasakylkisen klmin krkeus n 18 cm ja kanta 10 cm. = = 349 = ± 349 Negatiivinen juuri ei käy. = 18, ,68 (cm) Klmin piiri n ,68 = 47,36 47 (cm). 18 cm 5 cm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 63

13 158. Jalkapallkentän sivujen pituuksien suhde n 7 : 5. Kentän lävistäjän pituus n 19 m. (5) + (7) = = = : 74 = 4, = ± 4,878 Negatiivinen juuri ei käy. = 14,99 15 (m) Sivut vat 5 = 5 15 = 75 (m) 7 = 7 15 = 105 (m) Klmin sivujen pituudet vat 8, 8 ja 1. Lasketaan klmin krkeus. h + 6 = 8 h + 36 = h = 8 h = ± 8 Negatiivinen juuri ei käy. 8 h 8 h = 5,9150 5,91 (cm) Klmin pinta-ala n A = = 6 8 = 31, Likiarvilla: 1 5,91 A = = 31, tuumaisen laajakuvatelevisin sivujen pituuksien suhde n 16 : 9. Muutetaan näytön halkaisijan pituus senttimetreiksi. 7 = 7,54 = 18,88 (cm) Merkitään sivujen pituuksia 9:llä ja 16:llä. Pythagraan lauseesta saadaan: Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 64

14 (9) + (16) = 18, = = : 337 = 99,433 18, = ± 99,433 Negatiivinen juuri ei käy. = 9,96 (cm) Sivut vat 9 = 9 9,96 = 89,64 90 (cm) 16 = 16 1,7 = 159, (cm) Surakulmaisen klmin tinen kateetti n 10,0 cm. Tisen kateetin pituus n,0 cm lyhyempi kuin hyptenuusa. ( + ) = + 10 ( + )( + ) = = = 96 : 4 = 4 (cm) 16. Tasakylkisen klmin piiri n 98 cm. Klmin krkeus n 7 cm. + y = 98 = 98 y Surakulmaisen klmin lyhyempi kateetti n y 7 y 98 y = 49 y. Pythagraan lause: (49 y) + 7 = y (49 y)(49 y) + 7 = y y 49y +y + 49 = y y Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 65

15 98y = 450 : 98 y = 5 (cm) Kanta n = 98 y = 98 5 = 48 (cm) Punaisesta askartelupunksesta tehdään julukrttiin tnttulakki, jka n tasakylkinen klmi. Tnttulakin alasa n 1,0 cm lyhyempi kuin krkeus. Lakin reunan pituus n 6,5 cm. Lasketaan krkeus h Pythagraan lauseella. Surakulmaisen klmin lyhyempi kateetti n h 1 = 0,5h 0,5. Pythagraan lause: (0,5h 0,5) + h = 6,5 (0,5h 0,5)(0,5h 0,5)+ h = 6,5 0,5h 0,5h 0,5h + 0,5 + h = 4,5 4,5 h h 1 6,5 1,5h 0,5h 4 = 0 a = 1,5, b = 0,5 ja c = 4 h = ( 0,5) ± ( 0,5) 4 1,5 ( 4) 1,5 b ± = b 4ac a 0,5 ± 14,5 h =,5 0,5 + 14,5 0,5 14,5 h = = 6 tai h = = 5, 6 (negatiivinen juuri ei käy),5,5 Piiri: 6,5 + (6 1) = 18 Punsta tarvitaan: 18 5 = 450 (cm) 450 cm = 4,5 m Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 66

16 Trignmetriaa 164. a) tan35 = 0,700 b) sin7 = 0,951 c) cs5 = 0, a) sinα = 0,13 α = 7,065 7,1 b) csα = 0,765 α = 40,093 40,1 c) tanα = 1,853 α = 61,645 61, a) tan α = 7 4 b) c) sin α = cs α = a) tanβ = k h k α l b) sinβ = k l c) csβ = h l h β 168. a) sin0 = 6,8 6,8 = 6,8 sin0 =,35...,3 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 67

17 b) tan51 = =15 tan51 =18, (cm) c) cs55 = 31 cs55 = 31 : cs55 = 31 cs55 = 54,04 54 (cm) 169. a) tanα = 8 5 α = 57, b) csα = 15,7 18,0 α = 9,8... 9,3 c) sinα = 1 6 α = 7, Α = α B = β C = γ Α : tanα = 4 6 = 3 B : tanβ = 6 4 =1,5 α = 33, ,7 C : 90 β = 56, ,3 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 68

18 171. tanα = 5 44 α = 9, cm α 44 cm 17. sin30 = h,5,5 h =,5 sin30 h =1,5 1,3 (km) 173. sin5 = 85 sin5 = 85 : sin5 = 85 sin5 = 01, (cm) 01 cm =,01 m 174. sinα = 1,8,1 α = 58, csα = 1,70 3,50 α = 60, , tan78 = 10 = 10 tan78 = 47, (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 69

19 177. tanα = 13,0 11,5 α = 48, , sin15 = 91 sin15 = 91 : sin15 = 91 sin15 = 351, (m) 179. sin6 = 1,6 sin6 =1,6 : sin6 = 1,6 sin6 =15,306...=15,3 (m) puu: 1,6 +15,3 =16,9 17 (m) 180. csα = α = 37, , tan37, = h h = 70 sin37, h =163, (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 70

20 181. I: tanβ = 5 4 β = 51,34 III: tanγ = 3 3 γ = 45 α = ,34 = 83, sin47 = h A = h =190 sin47 h =138, ,96 (mm) , mm = 181 cm = , (mm ) 183. sin40 = 6,5 6,5 = 6,5 sin40 = 4, ,178 (cm) 10,0 4,178 A = = 0,89 1 (cm ) 184. α = = = 30 cs65 = 30 cs 65 = 30 : cs65 30 = cs65 = 544, ,3 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 71

21 y = 544,3 185 = 359,3 sin5 = h 359,3 359,3 h = 359,3 sin5 h =151, (cm) 150 cm =1,5 m 185. ( 3) h h A = = 8 h 3h = 8 h 3h = h 3h 56 = 0 a = 1, b = 3 ja c = 56 h = 3 ± ( 3) ( ) h = 3 ± 33 h = = 9, ,13 tai h = 3 33 Lasketaan kannan pituus h 3 = 9,13 3 = 6,13 tanα = 9 3,066 = 6, ,13 Negatiivinen juuri ei käy. α = 71, ,19 β =180 71,19 = 37,6 38 Kulmat vat 71, 71 ja 38. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7

22 186. a) cs34 = = 18 cs34 =14, (m) b) tan68 = 7 y y y tan68 = 7 : tan68 c) csα = y = 7 tan68 y =10, (cm) α = 44, sin5 = 50 sin5 = 50 : sin5 = 10 cm = 1, m 50 sin5 =118, (cm) 188. sin4 = 37 sin4 = 37 : sin4 = 37 sin 4 = 55, (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 73

23 189. tanα 1 = 7 α 1 =15, ,95 β 1 = ,95 = 74,05 tanα = 3 5 = 0,6 α = 30, ,96 tanβ = 4 3 β = 53, ,13 α = 90 α 1 α = 90 15,95 30,96 = 43,09 43,1 β =180 β 1 β =180 74,05 53,13 = 5,8 5,8 γ =180 43,09 5,8 = 84,09 84, tan16 = 6 h h h tan16 = 6 : tan16 A = h = 6 tan16 h = 90, ,67 (cm) 5 90, cm = 4 dm = 357,4 400 (cm ) 191. cs64 = 4, cs64 = 4, : cs64 = 9, ,6 (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 74

24 19. p = 8,0 cm p = + ( +,0) = 8, ,0 = 8,0 4,0 3 = 4,0 : 3 = 8,0 Kannan pituus n 8,0 cm ja kyljen pituus 10,0 cm. Lasketaan kulmien suuruudet. csα = 4 10 = 0,4 α = 66,418 66,4 β =180 66,4 = 47,16 47 tan66,4 = h 4 4 h = 4 tan66,4 h = 9, ,164 A = 9,164 8,0 = 36, (cm ) 193. Piirretään mallikuva. Kulman α suuruus n α = = 30 sin30 = h 9,0 9,0 h 9,0 cm α ,0 cm h = 9,0 sin30 h = 4,5 Klmin pinta-ala n 15,0 4,5 A = = 33,75 34 (cm ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 75

25 194. tanα = 1 3 = 1 3 α =18, β = = sin15 = 7 sin15 = 7 : sin15 = 7 sin15 = 7, (cm) p = = 68 (cm) 196. csα = α = 3, Kaukputken näkökentän pulikas n β. tan β = 57, β = 3, ,9 Kk näkökentän suuruus n α = β = 3,9 = 6,58 6, = tan40 6,5 6,5 = 6,5 tan40 = 5, ,4541 Piharakennuksen krkeus n 5, ,55 = 7,0041 7,0 (m). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 76

26 199. 1) cs1 = 5,0 5,0 = 5,0 cs1 = 4, ,891 ) sin1 = y 5,0 5,0 y = 5,0 sin1 y =1, ,040 3) z = 4,891 +,84 z = ± 31, Negatiivinen juuri ei käy. z = 5, ,65574 Puun krkeus n 1,8 + 5,656 = 7,455 7,5 (m). 00. sin46 = h 5,0 5,0 h = 5,0 sin46 h = 17,983 cs46 = y 5,0 5,0 y = 5,0 cs46 y = 17,366 (cm) 31,0 17,366 =13,634 =17, ,634 = 509,7445 = ± 509,7445 =,567...,6 (cm) Klmannen sivun pituus n,6 cm. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 77

27 Mnikulmit 01. Suunnikkaan pinta-ala n A = ah, missä a n suunnikkaan kanta ja h kantaa vasten piirretty krkeus. a) A = ah = 6,0 3,5 = 1 (cm ) b) A = ah =,0 6,5 = 13 (cm ) 0. 6,1 sin α = 8,3 α = 47,30 47 β = = 43 β = = 133 γ = β = 133 δ = α = Suunnikkaan pinta-ala n 8,0 m ja kanta 3, m. A = ah 3,h = 8,0 : 3, h = 8,0 =,5 (m) 3, 04. Suunnikkaan mutinen levy halutaan maalata vain tiselta pulelta. Levyn sivujen pituudet vat 130 cm ja 190 cm. Levyn terävän kulman suuruus n 48º. Maalia riittää 1,5 m :n maalaamiseen. sin 48 h = h = 130 sin48 h = 96, ,608 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 78

28 A = ah = ,608 = , (cm ) cm = 184 dm = 1,84 m Maali ei riitä. 05. Neljäkkään sivun pituus n 11,5 cm ja terävän kulman suuruus n 4º. Neljäkäs n suunnikas, jnka kaikki sivut vat yhtä pitkät. sin 4 h = 11,5 11,5 h = 11,5 sin4 h = 7, ,695(cm) A = ah = 11,5 7,695 = 88, (cm ) 06. Suunnikkaan sivut vat 13 cm ja 11 cm. Suunnikkaan ala n 89 cm. Lasketaan suunnikkaan krkeus h. 13 h = 89 : 13 h = 6, ,846(cm) Kulman α suuruus n sinα = 6, α = 38,48 38 β = = 5 β = = 14 γ = β = 14 δ = α = Salmiakin mutisen betnilaatan lävistäjien pituudet vat 33 cm ja 19 cm. 16,5 9,5 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 79

29 Lävistäjät jakavat kaakelin neljään yhdenmutiseen klmin. Klmin kateetit vat 33 =16,5 (cm) 19 = 9,5 (cm) Kaakelin pinta-ala n A = 4 16,5 9,5 = 313,5 (cm ) 313,5 cm = 3,135 dm 3,1 dm a + b 08. Pulisuunnikkaan pinta-ala n A = h, missä a ja b vat pulisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen pituudet ja h n pulisuunnikkaan krkeus. a) A = a + b 8,0 +16,0 h = 5, = 6,4 6 (cm ) b) A = a + b 4,5 + 31,0 h = 1,0 = 58, (cm ) 09. a) sin 84 h = 4,0 4,0 h = 4,0 sin84 h = 3, ,978 (m) h A = a + b 4,5 + 3,7 h = 3,978 =16, (m ) b) sin60 = h 6,0 h = 6 sin60 6 h h = 5, ,196 (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 80

30 A = a + b h = ,196 = 64,95 65 (m ) 10. tan60 = tan60 = 400 : tan60 = 400 tan 60 A = a + b = 30, ( ) h = 400 = (mm ) mm = 0,61 m 11. Suklaaharkn pikkipinta n tasakylkinen pulisuunnikas, jnka yhdensuuntaiset sivut vat 1,0 cm ja 9,0 cm ja terävä kulma n 45º. tan 45 A = a + b h = 1,5 1,5 h = 1,5 tan45 h = 1,5 (cm) 9,0 +1,0 h = 1,5 =15,75 16 (cm ) 1. Salajia varten juduttiin kaivamaan ja, jnka pikkileikkaus li pulisuunnikkaan mutinen. Pikkileikkauksen pinta-ala n 0,65 m. Ojan phjan leveys n 0,60 m ja kaivannn yläreunan leveys n 1,0 m. A = a + b 1,8 h = 0,65 0,6 +1, h = h = 0,65 0,9h = 0,65 : 0,9 h = 0,7 0,7 (m) h 1, 0,6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 81

31 13. Säännöllisen 10-kulmin sivun pituus n 5 cm. 10-kulmi mudstuu kymmenestä tasakylkisestä klmista. Tarkastellaan yhtä klmita. 360 = tan18 = 1,5 h h h tan18 = 1,5 : tan18 h 18 5 cm h = 1,5 tan18 h = 38, ,47 (cm) Yhden klmin pinta-ala: A k = 5 38,47 10-kulmin pinta-ala: = 480,875 (cm ) ,875 = 4 800, (cm ) cm = 48 dm 14. Kndiittri haluaa valmistaa säännöllisen kuusikulmin mutisen suklaaknvehdin. Suklaaknvehdin kahden vastakkaisen sivun etäisyys n 3,4 cm. 360 = 6 tan30 60 = 1,7 1,7 = 1,7 tan30 = 0, ,9815 (cm) Sivun pituus n = 0,9815 = 1,963,0 (cm). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8

32 15. Perinteisessä leijassa n kaksi ristikkäistä vartta, jtka mudstavat suran kulman. Lyhyempi varsi leikkaa pidemmän varren suhteessa 1 :. Leikkauskhta n lyhyemmän varren pulivälissä. Varsien päälle n pingtettu nelikulmin mutinen kangas. Varsien pituudet vat 58 cm ja 87 cm. Ylemmän klmin pinta-ala n A 1 = 58 9 = 841 (cm ). Alemman klmin pinta-ala n A 1 = Leijan pinta-ala n =168 (cm ). A 1 + A = = (cm ) 500 cm = 5 dm Haminan vanhaa keskustaa ympäröi tähden mutinen 1700-luvun linnitus. Sen sisällä n kahden ympyräkadun, ja niitä leikkaavan kahdeksan sädekadun asemakaava. Pikkuympyräkatu n 1,0 km:n mittainen säännöllinen kahdeksankulmi. 360 = Kahdeksankulmin sivun pituus: 1000 = 15 m 8 6,5 Merkitään :llä matkaa Pikkuympyräkadun ja Kasarmikadun kulmauksesta keskukseen. 6,5 tan,5 = tan,5 = 6,5 : tan,5 = 6,5 tan,5 = 150, (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 83

33 17. Klmin kulmien summa n 180º ja nelikulmin 360º. a) 360 = 6 60 Kuusikulmin yksi kulma n 60º = 10º. Kuusikulmin kulmien summa: 6 10º = 70º. b) 360 = kulmin yksi kulma n 180º 30º = 150º. 1-kulmin kulmien summa: 1 150º = 1 800º. c) 3-kulmi: 180º 4-kulmi: 360º = 180º 6-kulmi: 70º = 4 180º 1-kulmi: 1 800º = º Mnikulmin kulmien summaa kuvaa lauseke (n ) 180º = 5 7 0,5 tan 36 = h h h 36 0,5 h tan36 = 0,5 : tan36 h = 0,5 tan 36 Yhden klmin ala n A k = 0,5 tan 36 = 0,5 tan 36 Säännöllisen viisikulmin ala n 1,0 m. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 84

34 5 0,5 tan 36 =1,0 tan36 1,5 = tan36 : 1,5 = tan36 1,5 = ± tan36 1,5 Vain psitiivinen juuri kelpaa. = 0,763 0,76 (m) 0,76 m = 76 cm 19. a) Suunnikkaan pinta-ala n A = ah, missä a n suunnikkaan kanta ja h kantaa vasten piirretty krkeus. A = ah = 11,0 5,8 = 63,8 64 (cm ) a + b b) Pulisuunnikkaan pinta-ala n A = h, missä a ja b vat pulisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen pituudet ja h n pulisuunnikkaan krkeus. A = a + b (11,0 + 7,5) +11,0 h = 5,8 = 85,55 86 (cm ) 0. Musta: Keltainen: = (mm ) Pinta-ala yhteensä: = (mm ) = (mm ) Mustan suus: Keltaisen suus: = 0,5 = 50 % = 0,5 = 50 % Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 85

35 1. Tasasivuisen klmin kulmat vat 60 ja piiri n 30 cm. Merkitään klmin sivun pituutta :llä. Piiri n 3 = 30, jsta ratkaistaan. 3 = 30 : 3 h 30 = 10 Lasketaan krkeus h. cs30 h = h = 10 cs30 h = 8, ,66 (cm) 10 8,66 A = = 43,3 43 (cm ). Suunnikkaan sivujen pituudet vat 19,0 m ja 7,0 m, ja sivujen välisen tylpän kulman suuruus n 135º. Lasketaan tylpän kulman vieruskulman suuruus = 45. sin 45 h = 7,0 7,0 h = 7,0 sin45 h = 4, ,950 (m) A = ah = 19,0 4,950 = 94,05 94 (m ) 3. a) Musta nuli mudstuu pulisuunnikkaasta ja klmista. Pulisuunnikkaan pinta-ala n A = = (mm ). Klmin pinta-ala n Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 86

36 A = ( ) 50 Mustan nulen pinta-ala n = (mm ) = mm mm = 16 dm b) Nulen pinta-ala n mm = 0,16 m. 100 liikennemerkin mustan alueen pinta-ala n 100 0,16 =16 (m ). 1 litra maalia riittää 6 m :lle, jten maalia tarvitaan 16 =,666...,7 (l) Säännöllisen seitsemänkulmin sivun pituus n 18 cm. 360 = 7 51,43 h α α = 51,43 = 5,71 18 cm 9 tan 5,71 = h h h tan5,71 = 9 : tan5,71 9 h = tan 5,71 h = 18,69 18,69 (cm) Seitsemänkulmin pinta-ala n A = , cm = 1 dm. =1 177, (cm ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 87

37 5. Pulijukkueteltan phja n säännöllinen kahdeksankulmi, jnka pisin lävistäjä n 5,0 m. a) 360 = 8 45 α = 45 = sin,5,5 =,5,5 h 45,5 5 =,5 sin,5 = 0, ,9567 Sivun pituus n = 0,9567 = 1,913 1,9 (m). b) Lasketaan ensin teltan phjan kk pinta-ala. cs,5 h =,5,5 h =,5 cs,5 h =,30969,310 (m) 8-kulmin pinta-ala n A = 8 1,913,310 =17, ,68 (m ). Teltassa yöpyy 1 elämysmatkailijaa. Kullakin n käytössään 17,68 1 =1, ,5 (m ). 6. Klmin ABC kärjet vat A = (3, 1), B = (, ) ja C = ( 4, 3). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 88

38 a) Klmin pisin sivu n klmin A 3 hyptenuusa. Sen pituus saadaan laskettua Pythagraan lauseella. Merkitään AC =. = = 65 = ± 65 Negatiivinen juuri ei käy. = 8,06 8,1 b) Klmin suurin kulma n γ. 3 tan α = 1 6 tan β = 1 α = 71, ,56 β = 80, ,54 γ = ,56 80,54 = 117,9 c) A 1 : 1 1 = 1 A : 6 1 = 3 A 3 : 4 7 = 14 A 4 : 1 3 = 1, 5 Kk surakulmin pinta-ala n 7 4 = 8. Klmin ABC pinta-ala n 8 ( ,5) = 8 19,5 = 8,5. 7. Säännöllisen viisikulmin ja kahdeksankulmin sivujen pituus n 50 cm. Lasketaan kummankin kuvin pinta-ala. 5-kulmi: 8-kulmi: 360 = = 45 8 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 89

39 7 = = = =,5 α α h 36 h,5 5 5 tan36 = 5 h h 5 tan,5 = h h h tan36 = 9 : tan36 h tan,5 = 9 : tan,5 5 h = tan 36 5 h = tan,5 h = 34, ,41 (cm) h = 60, ,36 (cm) Viisikulmin ala n A 5 = ,41 = 4 301,5 (cm ) Kahdeksankulmin ala n A 8 = ,36 Pinta-aljen vertailu =1 07 (cm ) A 8 A = =1, % a Kahdeksankulmi n 181 % suurempi kuin viisikulmi. 8. Ilmastintikanavan pikkileikkaus n pulisuunnikas, jnka pinta-ala n 0,50 m = cm. Yhdensuuntaiset sivut vat 6 cm ja 80 cm pitkät. a + b Pulisuunnikkaan pinta-ala n A = h, missä a ja b vat pulisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen pituudet ja h n pulisuunnikkaan krkeus. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 90

40 h = h = : 14 h = 70,4 70 (cm) 9. Hangan tanssilava n säännöllinen 1-kulmi, jnka pinta-ala n 97 m. 360 = ,5 tan15 = h h 0,5 = h tan15 : tan15 h 15 h = 0,5 tan15 0,5 h 1 = 97 0,5 6h = 97 Sijitetaan h = tan15 0, tan15 = 3 tan15 = 97 tan15 3 = 97 tan15 : 3 = 99 tan15 = ± 99 tan15 Negatiivinen juuri ei käy. = 5,150 5, (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 91

41 Ympyrä 30. Ympyrän kehän pituus n p = πd tai p = πr, missä d n halkaisija ja r säde. a) p = π = 69,11 69 (cm) b) p = π 40 = 753, (mm) 31. Linnanmäen Rinkelin kahdelle ulkkehälle asennetaan juluvalt. Rinkelin halkaisija n 35 m ja kehän pituus n p = π 35 = 109, (m) Juluvalja tarvitaan 110 = 0 (m). 3. Ympyrän mutisen piirakkavuan ympärysmitta n 88 cm. p = πd Vuan halkaisija n π d = 88 : π d = 88 π = 8, (cm). 33. Vannerenkaan ympärysmitta n 36 cm. p = πr Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9

42 Vanteen säde n πr = 36 : π r = 36 π = 37, (cm). 34. Plkupyörän pyörä, jnka säde n 35 cm, pyörähtää kerran ympäri. a) Pyörän kulkema matka n sen kehän pituus. p = πr = π 35 = 19,91 0 (cm). b) 1 km:n matkalla pyörä tekee 1000 = 454, pyörähdystä., 35. Lumi Kinksen jalkapallvalmentaja käskee alkulämmittelyksi justa 450 m kentän keskiympyrää (säde 9,15 m) pitkin. Ympyrän kehän pituus n p = πr = π 9,15 = 57, ,49 (m). Lumi juksee ,49 = 7,8... 8kierrsta. 36. Pyryn kihlasrmuksen halkaisija n 1 mm ja Piin 18,5 mm. Lasketaan kummankin srmuksen kehän pituus. Pyry: p = πd = π 1 = 65, ,97 (m) Pii: p = πd = π 18,5 = 58, ,1 (m) Verrataan Pyryn srmuksen ympärysmittaa Piin srmuksen ympärysmittaan. Tarkilla arvilla: 1π 18,5π 18,5π = 0, % Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 93

43 Likiarvilla: 65,97 58,1 58,1 = 0, % 37. a-säteisen ympyrän kehän pituus: p 1 = πa a-säteisen ympyrän säde kasvaa yhdellä. Uuden ympyrän kehän pituus: p = π(a + 1) = πa + π Uuden ympyrän kehä n πa + π πa = π pidempi kuin alkuperäisen ympyrän. 38. Ympyrän pinta-ala n A = πr, missä r n ympyrän säde. a) A = πr = π 11 = 380, (cm ) b) Halkaisija n 37 cm. Säde n r = 37 =18,5 Pinta-ala n A = πr = π 18,5 =1 075, (cm ) cm = 11 dm 39. Pyöreä pikkuleipä, jnka halkaisija n 4,5 cm, päällystetään tmuskerilla. Pikkuleivän säde n r = 4,5 =,5 Päällysteen pinta-ala. n A = πr = π,5 =15, (cm ). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 94

44 40. Vähennetään CD-levyn halkaisijasta muvireunus: 10 = 118 (mm). CD-levyn säde n r = 118 = 59 Kk levyn pinta-ala n A = πr = π 59 =10 935, (mm ) Keskiympyrän halkaisija n 4 cm = 40 mm ja säde r = 40 = 0. Pinta-ala n A = πr = π 0 =1 56, (mm ) Metallisan pinta-ala n = (mm ) mm = 97 cm. 41. Ympyrän mutisen karvalankamatn kehän pituus n 4,4 m. a) p = πr Matn säde n πr = 4,4 : π r = 4,4 π = 0, ,70 (m) 0,70 m = 70 cm. b) Matn pinta-ala n A = πr = π 70 = , (cm ) cm = 150 dm = 1,5 m. 4. Tervapata-leikissä ympyrän pinta-ala n 0 m. a) A = πr Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 95

45 Tervapata-ympyrän säteen pituus saadaan pinta-alan avulla. πr = 0 r = ± 0 π : π Negatiivinen juuri ei käy. r =,531...,5 (m). b) Ympyrän kehän pituus n p = πr = π,5 = 15,83 16 (m). 43. Helsingin Hakaniemessä sijaitsevan Ympyrätaln yhden kerrksen pinta-ala n 670 m². a) Taln säteen pituus saadaan pinta-alan avulla. πr = 670 : π r = ± 670 π Negatiivinen juuri ei käy. r = 9, ,15 (m). Halkaisija n d = r = 9,15 = 58,30 58 (m). b) Taln kehän pituus n p = πd = π 58,30 = 183, (m). 44. Neliön pinta-ala n 50 ja ympyrän pinta-ala sama 50. Neliön pinta-ala n sen sivun neliö. Ratkaistaan sivun pituus a. a = 50 a = ± 50 Vain psitiivinen juuri kelpaa. a = 15, ,811 Neliön piiri n 4a = 4 15,811 = 63,44. Ratkaistaan ympyrän säde r. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 96

46 πr = 50 : π r = ± 50 π Negatiivinen juuri ei käy. r = 8, ,91 Ympyrän kehän pituus n p = πr = π 8,91 = 56,059 56,05 Ympyrän kehän pituuden ja neliön piirin suhde: 56,05 = 0, % 63, Ympyrän sisään piirretään mahdllisimman suuri neliö. Ympyrän säde n r. Lasketaan neliön sivun pituus Pythagraan lauseella. + = (r) = 4r : = r ± = r Negatiivinen juuri ei käy. Neliön pinta-ala n = ( r ) = r. Ympyrän pinta-ala n A = πr. Ympyrän pinta-alasta jää neliön ulkpulelle πr r (r = r (π ) = π = 0, %. πr πr π 46. Taitlentäjän silmukka n likimain ympyrän mutinen. Silmukan kehän pituus n 630 m. p = πd Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 97

47 Silmukan halkaisija saadaan kehän pituuden avulla. π d = 630 : π d = 630 π = 00, (m). 47. Mudstelmaluistelussa luistelijiden mudstama piiri n likimain ympyrän mutinen. Kska piirissä n 16 luistelijaa ja jkainen tarvitsee 75 cm tilaa, ympyrän kehän pituus n p = = 1 00 (cm). p = πr Ympyrän säde saadaan kehän pituuden avulla. πr = 1 00 : π r = 1 00 π 190 cm = 1,9 m. =190, (cm) 48. Jalkapallkentän keskiympyrän säde n 9,15 m. Lasketaan ympyrän pinta-ala. A = πr = π 9,15 = 63,0 63 (m ) 49. Pihakivun ympärysmitta n 97 cm. Puun halkaisija saadaan kehän pituuden avulla. π d = 97 : π d = 97 π = 30, (cm). Säde n r = 97 = 48,5 Pihakivusta tehdyn pölli-istuimen pinta-ala n A = πr = π 48,5 = 754, (cm ) 750 cm = 7,5 dm. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 98

48 50. Jääkiekkkaukaln keskiympyrän säde n 4,5 m. a) Keskiympyrän pinta-ala n A = πr = π 4,5 = 63, (m ). b) Jalkapallkentän keskiympyrän säde n 9,15 m ja pinta-ala A = πr = π 9,15 = 63, (m ). Jääkiekkkaukaln keskiympyrän ja jalkapallkentän keskiympyrän suhde: 63,0 63,6 63,0 = 0, % 51. Kk ympyrän säde n 30 mm = 3, dm. Kk ympyrän pinta-ala n A = πr = π 3, = 10,4π =3,1699 3,17 (dm ) Keltaisen keskustan säde n 3,0 1,15 0,10 = 1,95 (dm). Punaisen alueen pinta-ala n A = π 3,1 π 1,95 = 5,8075π = 18, ,4 (dm ) Keltaisten alueiden pinta-alat vat A = π 1,95 = 3,805π = 11, ,95 (dm ) A = π 3,0 π 3,10 = 0,63π = 1, ,979 (dm ) eli yhteensä 11,95 + 1,979 = 13,99 (dm ). Keltaisen alueen pinta-alan vi laskea myös kk ympyrän pinta-alan avulla. Punaisen suus n 18,4 = 0, %. 3,17 Keltaisen suus n 13,99 3,17 = 0, %. Keltaisen suus n myös 100 % 57 % = 43 %. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 99

49 5. Kaksi muurahaista kävelee uimarenkaassa, tinen sisäpinnalla ja tinen ulkpinnalla. Sisäpinnan halkaisija n 50 cm ja ulkpinnan 75 cm. Tarkilla arvilla: Sisäympyrän kehän pituus: p = πd = π 50 Ulkympyrän kehän pituus: p = πd = π 75 Vertailu: 75π 50π 50π = 0,5 = 50 % Ulkkehää kiertävä muurahainen kävelee pulet pidemmän matkan. Likiarvilla: Sisäympyrän kehän pituus: p = πd = π 50 = 157, ,08 (cm) Ulkympyrän kehän pituus: p = πd = π 75 = 35, ,6 (cm) Vertailu: 35,6 157,08 157,08 = 0,5 = 50 % 53. Lampi n likimain ympyrän mutinen, ja sen pinta-ala n m. Lampea kiertää rannassa pururata, jnka leveys n m. Pururadan ulkreuna reunustetaan pyöreillä rantakivillä (d = 15 cm). a) A = πr Ratkaistaan lammen säde r. πr = : π r = π r = ± 9800 π Negatiivinen juuri ei käy. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 100

50 r = 55, ,85 (m) Lammen ympärysmitta n p = πr = π 55,85 = 350, (m). b) Säde kasvaa metrillä: r = 55,85 + = 57,85 (m). Lammen ympärysmitta n sillin p = πr = π 57,85 = 363, (m) 363 m = cm. Kiviä tarvitaan = Kiviä tarvitaan nin Maapalln ympäri kierretään naru. Maapalln säde n km. Kun naru kulkee metrin krkeudella, sitä tarvitaan π 6370,001 π 6370 = 0, ,00683 (km) 0,00683 km = 6,83 m 6,3 m enemmän kuin sillin, kun se kulkee maan pinnalla. 55. Ympyrän ala n 400b. Ympyrän säde saadaan pinta-alan kaavasta: πr = 400b : π 400b r = π r = ± 400b π Negatiivinen juuri ei käy. r = 0b π Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 101

51 Halkaisija n d = r = 0b π = 40b π. Piiri n p = πd = π 40b π = 40b π. 56. Merkitään neliön sivun pituutta a:lla. Neliön piiri n sillin 4a. Ympyrän kehän pituus n yhtä suuri kuin neliön piiri. 4a = πr : 4 πr a = Neliön pinta-ala: a r πr = Ympyrän ala: πr π = 4 Neliön alan ja ympyrän alan suhde: πr π r 4 πr = πr πr π r 4πr =1 π = 0, % 4 Sektri 57. a) Sekuntiviisarin kärki n liikkunut pulet kelln ympärysmitasta eli 18 = 9,0 (cm). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 10

52 b) Sekuntiviisarin kärki n liikkunut neljässan kelln ympärysmitasta eli 18 = 4 4,5 (cm). 58. Kaaren b pituus n b eli α = 360 p α b = πr, 360 missä α n keskuskulman suuruus, p ympyrän kehän pituus ja r säde. a) b = 65 π 1 =13, (m) 360 b) b = 143 π 5 = 6, (cm) Jalkapallssa kulmaptkualue n pelikentän jkaisessa kulmassa 1 m:n säteellä kulmalipputangsta. Kulmaptkualueen kaari n b = 90 π 1 =1, ,6 (m) Kiekka heitetään betniympyrästä, jnka halkaisija n d =,5 m. Ympyrän säde n r = 1,5 m. Kiekn n laskeuduttava kentälle piirretyn sektrin sisäpulelle. Sektrin keskuskulma n 50. Yliastumiskaari n b = 50 π 1,5 =1, ,1 (m). 360 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 103

53 61. Hanna-mumm staa kaupasta pyöreään pöytäänsä pöytäliinan. Liina n taiteltu pakkaukseen kahdeksaan saan, jllin liinan reunasta n näkyvissä 19,8 cm. Mumm haluaa laittaa liinaan pitsireunuksen. Pitsireunusta tarvitaan 19,8 8 = 158,4 160 (cm) 160 cm = 1,6 m 6. Ympyrän kehän pituus n p = 33 m ja kaaren pituus b = 10 m. Kaarta vastaavan keskuskulman suuruus saadaan kaaren kaavasta. b α = 360 p α 33 = α = : 33 α = 109, Ympyrän säde n r = cm ja kaaren pituus b = 6 cm. Kaarta vastaavan keskuskulman suuruus saadaan kaaren kaavasta. b = α πr 360 α π = πα = : 44π α = π α = 15,66 16 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 104

54 64. Lulu-kira n kiinnitetty 14 m pitkällä hihnalla surakulmin mutisen taln nurkkaan. Taln mitat vat 9,0 m ja 13,0 m. α = = 70 b 1 = 70 π 14 = 65, ,973 (m) b = 90 π 1 =1, ,571 (m) 360 b 3 = 90 π 5 = 7, ,854 (m) 360 Lulu pystyy kulkemaan matkan b 1 + b + b 3 = 65, , ,854 = 75, (m). 65. a) Pulet ympyrästä n punaista. 80 = 40 (cm ). b) Klme neljässaa ympyrästä n punaista = 60 (cm 4 ). 66. a) Sektrin pinta-ala n A s α = 360 A eli A s α = 360 πr, missä α n keskuskulman suuruus, A ympyrän pinta-ala ja r säde. A s = π 13 =110, (m ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 105

55 b) A s = π 3 = 34, (cm ) 00 cm = dm 67. Metallinen kaulakru n mudltaan sektri, jnka säde n r = 3,1 cm ja keskuskulma α = 7. Krun pinta-ala n A s = π 3,1 =,64...,3 (cm ) 68. Merivartistn valvntatutkan valvntasektri n 45. Tutka havaitsee enintään 14, km:n päässä levat khteet. Tutkan valvma pinta-ala n A s = π 14, = 79, (km ) 69. Jääkiekkkaukalssa maalialue n puliympyrä, jnka säde n 1,8 m = 180 cm. a) Kska maalialue n puliympyrä, sen keskuskulma n 180. Maalialueen pinta-ala n A s = π 1,8 = 5, ,1 (m ). b) Puliympyrän reunat n tehty 5 cm leveällä punaisella maalilla. Sisäsan pinta-ala n A s 180 = π (180 5) = 48105, (cm ) cm = 481,1 dm = 4,811 m Maalialueesta n maalattu punaisella viivalla 5,089 4,811 = 0, ,5 %. 5, Sisu leikkaa pyöreästä tskakakusta sektrin mutisen 8 cm :n kkisen palan. Kakun halkaisija n 4 cm, jten säde n r = 1 cm. a) Kakkupalan keskuskulman vi laskea sektrin pinta-alan kaavasta. α A s = πr 360 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 106

56 α 360 π 1 = πα = : 144π α = 144π α =,8 b) Kk kakun pinta-ala n A = πr = π 1 = 45,38 45 (cm ). Yhden kakkupalan kk n 8 cm, jten samankkisia kakkupalja saa 45 = 16, Neliön mutisesta kartngista leikataan mahdllisimman suuri sektri. Neliön pinta-ala n A N = r. Sektrin pinta-ala n r 90 A s = πr. 360 Sektrin suus neliöstä n A S A N = πr r = 0, %. Neliöstä leikataan pis 100 % 79 % = 1 %. 7. Sektrin ala n A S = 460 cm ja kaaren pituus b = 37 cm. Sektrin säde lasketaan sektrin kaaren kaavasta. b = α πr 360 α π r = α π r =13 30 : π Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 107

57 13 30 r = πα = πα Sektrin keskuskulma lasketaan sektrin pinta-alan kaavasta. α A s = πr 360 α 360 π πα = 460 α (α,π π = π α πα = πα α = 6660 : α = 85, a) Kaulakrun kristesuuden pituus n b = 55 π 7,0 = 6, ,7 (cm). 360 b) Sektreita n kaikkiaan 4, jten yhden sektrin keskuskulma n 360 = Ympyrän säde n 1 r = = 61(cm). Onnenpyörän rsvsektrin pinta-ala n A s = α 360 π r = π 61 = 487, (cm ). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 108

58 74. Majakan valkisen valn sektri kert kulkukelpisen suunnan väylällä. Val valaisee 3 asteen kulmassa ja näkyvyys nrmaalilsuhteissa n 1 meripeninkulmaa. Yksi meripeninkulma n 1 85 m. r = = 4 m =,4 km Kulkukelpisen alueen pinta-ala n A s = π,4 = 99, (km ). 75. Kinksen perhe tilasi perhepitsan, jnka halkaisija li 38 cm. Pitsa jaettiin tasan viiteen saan. a) Pitsan säde n r = 38 =19 (cm).kk pitsan pinta-ala n A = πr = π 19 =1134, (cm ). Yhden palan pinta-ala n viidessa kk pitsasta = 6, (cm ). b) Pitsapalan keskuskulman suuruus saadaan sektrin pinta-alan kaavasta. α A s = πr 360 α 360 π 19 = 6, πα = : 361π α = π α = 71,99 7 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 109

59 76. Sasun autn npeusmittarin aukeamiskulma n 64º, jllin mittari näyttää lukemat 0 0 km/h. Sasu kiihdyttää npeudesta 80 km/h npeuteen 10 km/h. Osittimen pituus n 8,5 cm. Lasketaan ensin kulma, kun sitin siirtyy = 40 km/h = Kerrtaan ristiin. 0 = : 0 = 48 Lasketaan kulmaa vastaava kaaren pituus. b = 48 π 8,5 = 7, ,1 (cm) Kierrslukumittarin käyttösektrin säde n,3 cm ja pinta-ala n 11,1 cm. Keskuskulman suuruus saadaan sektrin pinta-alan kaavasta. α A s = πr 360 α 360 π,3 =11, ,9 πα = : 5,9π α = 40, Sisun veneen tuulilasinpyyhin n 45 cm pitkä, ja sen timintakulma n 1º. Pyyhkimen sulka n 35 cm pitkä. Kk sektrin ala: A s = π 45 = 155, (cm ) Sulan kärjen rajaama ala: A s = π 10 =106, ,5 (cm ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 110

60 Sulan pyyhkimä ala: ,5 = 049,5 000 (cm ) 000 cm = 0 dm 79. Hpeinen rannerengas n mudltaan ympyrä. Sen halkaisija n 5,8 cm. Renkaan kehästä puuttuu, cm, jtta renkaan saisi pujtettua käteen. Puuttuvan kaaren keskuskulman suuruus saadaan laskettua kaaren pituuden kaavasta. α b = πd 360 α π 5,8 =, ,8πα = 79 : 5,8π α = 43, Vuhi n kytketty surakulmin mutisen ladn nurkkaan 13 m pitkällä köydellä. Ladn mitat vat 10,0 m ja 7,0 m. α = = 70 Lasketaan sektreiden pintaalat. A 1 = π 13,0 = 398, ,0 (cm ) A = π 6,0 = 8, ,7 (cm ) A 3 = π 3,0 = 7, ,069 (cm ) Vuhen ulkilualue n A 1 + A + A 3 = 398,0 + 8,7 + 7,069 = 433, (m ). 81. Sektrin keskuskulma n 5, ja sektrin kaaren pituus n 16 cm. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 111

61 a) Ratkaistaan ympyrän säde sektrin kaaren pituuden kaavasta. b = α πr π r = πr = b) Ympyrän ala n : 50π r = 36, (cm) A = πr = π 36,67 = 4 4, (cm ) 4 00 cm = 4 dm. c) Sektrin ala n A s = π 36,67 = 93, (cm ). 8. Pienen ympyrän säde n r. Lasketaan pinta-ala sellaiselle ympyrälle, jnka säde n yhtä pitkä kuin pienen ympyrän kehän pituus. Pienen ympyrän kehän pituus n p = πr. Ympyrän pinta-ala n A = π (πr) = π 4π r = 4π 3 r. 83. Ympyrän sektrin keskuskulma kaksinkertaistuu ja säde pienenee puleen. Säde alussa n r ja keskuskulma α. Sektrin pinta-ala: α A s 1 = πr 360 Muutksen jälkeen säde n 0,5r ja keskuskulma α Sektrin pinta-ala muutksen jälkeen: A s = α 360 π( 0,5r ) = α 360 π 0,5r = α 360 π r 0,5 Pinta-ala pienenee pulella. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 11

62 Ympyrän svelluksia 84. a) Lasketaan tasakylkisen klmin kantakulmat = = 3,5 Lasketaan jänteen pituus. 3,5 0,5 5,3 cs3,5 = 0,5 5,3 0,5 = 5,3 cs3,5 : 0,5 = 10,6 cs3,5 = 8,939 8,9 (cm) b) 5,5 cs 0,5α = 6, 0,5α 6, 0,5α = 57,86 : 0,5 α = 115, ,5 85. Ympyrään, jnka säde n 14 cm, n piirretty jänne. Jännettä vastaava keskuskulma n 100. Lasketaan tasakylkisen klmin kantakulmat = = 40 Lasketaan jänteen pituus. 0, cs40 0,5 = 14 0,5 = 14 cs40 : 0,5 = 1,44 1 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 113

63 86. Ympyrään n piirretty 17,0 cm pitkä jänne. Jänteen keskikhdan etäisyys ympyrän kaaresta n,0 cm. Lasketaan säteen pituus Pythagraan lauseella. (r,0) + 8,5 = r (r,0)(r,0) + 7,5 = r r r r ,5 = r r 4r + 76,5 = 0 76,5 4r = 76,5 : ( 4) r = 19,06 19,1 (cm) 87. Jetr löytää maasta muvikaaren, jka leveys n 18,7 cm ja syvyys 4,0 cm. Lasketaan säteen pituus Pythagraan lauseella. (r 4,0) + 9,35 = r (r 4,0)(r 4,0) + 87,45 = r r 4r 4r ,45 = r r 8r + 103,45 = 0 103,45 8r = 103,45 : ( 8) r = 1,9781 1,98 (cm) Halkaisija n d = r = 1,98 = 5,856 5,9 (cm). 88. Ympyrästä, jnka säde n 15,0 cm, leikataan segmentti. Segmentin krkeus n klmassa ympyrän halkaisijasta. Lasketaan Pythagraan lauseella. + 5 = = 5 5 = 00 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 114

64 = ± 00 Negatiivinen juuri ei käy. = 14, ,14 (cm) Lasketaan kulman α suuruus. cs α = 5 15 α = 70,587 70,53 Keskuskulma n α = 70,53 = 141,06. Klmin pinta-ala n A k = 14,14 5 Sektrin pinta-ala n = 70,71 (cm ). A s = 141, π 15 = 76, ,97 (cm ). Segmentin pinta-ala n A = 76,97 70,71 = 06,6 06 (cm ). 06 cm =,06 dm 89. Laske kuvasta keskuskulman α suuruus. Lasketaan säteen pituus Pythagraan lauseella. (r 1,5) + 6,0 = r (r 1,5)(r 1,5) + 36 = r r 1,5r 1,5r +, = r r 3r + 38,5 = 0 38,5 3r = 38,5 : ( 3) r = 1,75 (cm) Lasketaan kulman α suuruus. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 115

65 sin α = 6 1,75 α = 8,074 8,07 Huippukulman suuruus n α = 8,07 = 56, Ympyrän halkaisija n 13,0 cm. 7,4 cm:n pituinen jänne jakaa ympyrän kahteen segmenttiin. Lasketaan klmin krkeus h Pythagraan lauseella. 3,7 + h = 6,5 13,69 + h = 4,5 13,69 h = 8,56 h = ± 8,56 Negatiivinen juuri ei käy. h = 5, ,344 (cm) Lasketaan kulman α suuruus. 3,7 sin α = 6,5 α = 34, ,70 Huippukulman suuruus n α = 34,70 = 69,40. Klmin pinta-ala n A k = 7,4 5,344 =19,774 (cm ). Sektrin pinta-ala n A s = 69, π 6,5 = 5, ,588 (cm ). Segmentin pinta-ala n A = 5,588 19,774 = 5,814 5,8 (cm ). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 116

66 91. Ympyrän segmentin krkeus n 9 mm ja jänne 96 mm. Lasketaan säteen pituus Pythagraan lauseella. (r 9) + 48 = r (r 9)(r 9) = r r 9r 9r = r r 58r = Lasketaan kulman α suuruus. 48 sin α = 54 α = 6,7339 6,73 Huippukulman suuruus n α = 6,73 = 15,46. Klmin pinta-ala n A k = 96 (54, 9) Sektrin pinta-ala n 58r = : ( 58) r = 54,41 54, (mm) =1 10, (mm ). A s = 15, π 54, = 3 18, (mm ). Segmentin pinta-ala n A = = (mm ) 000 mm = 0 cm. 9. Lasketaan kulman β suuruus sinin avulla. Surakulmaisen klmin hyptenuusa n = 3 (cm). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 117

67 sin β = 1 3 β =, β = 44, Kulman α suuruus n α =360 44, = 135, Pesäpallssa rajat mudstuvat syöttölautasen tangenteista. Syöttölautasen halkaisija n 600 mm ja lautasen keskipisteen etäisyys kulmasta n 569 mm. α sin = α = 31, α = 63, cs α =,1 9,5 α = 77,91 77,3 Huippukulman suuruus n α = 77,3 = 154,46. Kaaren pituus n α b = 154, π,1 = 5, ,7 (m). 95. Satelliitti kiertää Maata 3 00 km:n krkeudella. Maan ympärysmitta n km. Lasketaan maapalln säde. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 118

68 πr = : π r = π r = 6 366, ,198 (km) = 6 366, = 9566,198 (km) sin α = 6 366, ,198 α = 41, α = 83, Sinuhe seis Kapkaupungin Pöytävurella ja katselee merelle. Maapalln säde n km, ja Pöytävuri n nin 1086 m merenpinnan yläpulella. Sinuhen silmät vat 1,5 metrin krkeudella. Lasketaan kulman α suuruus. cs α = ,086 α = 1, ,0579 b = 1, π 6370 =117, (km) 97. Ympyrän halkaisija n 8,6 cm, jten säde n 4,3 cm. a) Lasketaan pisteen P etäisyys ympyrän keskipisteestä. sin5 = 4,3 sin5 = 4,3 : sin5 = 4,3 sin5 = 10, , (cm) b) Lasketaan pisteen P etäisyys ympyrän kehästä. d = 10,17 4,3 = 5,93 5,9 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 119

69 98. Autn renkaan säde lasketaan Pythagraan lauseella. (3 r) +,5 = r (3 r) (3 r) + 506,5 = r 104 3r 3r + r + 506,5= r r 64r ,5 = ,5 64r = 1 530,5 : ( 64) r = 3,9101 3,91 (cm) Halkaisija n d = r = 3,91 = 47,8 48 (cm). 99. Ympyrään, jnka säde n 5 cm, n piirretty 35 cm pitkä jänne. 17,5 sin α = 5 α = 44,470 44,43 Huippukulman suuruus n α = 44,43 = 88,86. Kaaren pituus n b = 88,86 π 5 = 38, (cm) Helsingin Kaivpuistssa hypätään Benji-hyppyjä 155 m:n krkeudelta. Maan ympärysmitta n km. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 10

70 Lasketaan maapalln säde. πr = r = 6366, ,198 (km) = 6366, ,155 = 6366,353 (km) csα = 6366, ,353 α = 0, ,3998 b = 0, = 44, (km) Trnin juurelta näkee 44 km:n päähän. Hrisntissa vi näkyä Tallinnan krkeimpia rakennuksia Lasketaan keskuskulman suuruus kaaren pituuden kaavasta. α = α 360 = : α = 9,16 Käytetään maapalln säteenä 6366 km. Lasketaan cs9,16 = cs9,16 = 6366 : cs9,16 = 6366 cs9,16 = 6 448, ,66 (km) y = = 6 448, = 8,66 8 (km) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 11

71 30. Päiväkdissa askarrellaan purjeveneitä, jtka vat ympyrän sektrin mutisia. Veneen alasa n ympyrän segmentti. Sen krkeus n 4,5 cm ja pituus 16,0 cm. a) Lasketaan säteen pituus Pythagraan lauseella. (r 4,5) + 8 = r (r 4,5)(r 4,5) + 64 = r r 4,5r 4,5r + 0, = r r Purjeen pinta-ala n 9r + 84,5 = 0 84,5 9r = 84,5 : ( 9) r = 9, ,361 (cm) 16 (9,361 4,5) A k = = 38, (cm ). b) Lasketaan kulman α suuruus. sinα = 8 9,361 α = 58, ,7 Huippukulman suuruus n α = 58,7 = 117,44. Kk veneen pinta-ala n A s = 117, π 9,361 = 89, (cm ). Veneen alasan pinta-ala n A = = 51 (cm ). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 1

72 303. Ympyrä, jnka säde n 19 cm, jaetaan 6 cm pitkällä jänteellä kahteen saan. Lasketaan kulma α. 13 sin α = 19 α = 43, ,17 Huippukulman suuruus n α = 43,17 = 86,34. Ympyrän kknaispinta-ala n A kk = πr = π 19 = 1 134, ,11 (cm ). Sektrin pinta-ala n A s = 86, π 19 = 71, ,00 (cm ). Klmin krkeus n 13 + h = h = h = 19 h = ± 19 Negatiivinen juuri ei käy. h = 13, ,86 (cm) Klmin pinta-ala n A k = 6 13,86 =180,18 (cm ). Pienen segmentin pinta-ala n A = 7,00 180,18 = 91,8 9 (cm ). Isn segmentin pinta-ala n A = 1 134,11 91,8 = 1 04, (cm ) cm = 10 dm. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 13

73 304. Lasketaan säteen pituus. sin 5 r = 0 r (0 r) (0 r)sin5 = r 0 sin5 r sin5 = r r 0 sin5 r sin5 r = 0 sin5 r ( sin5 1) = 0 sin5 : ( sin5 1) r r 0 r r = Halkaisija n 0 sin5 1 sin5 r = 5, ,9414(cm) d = r = 5,9414 = 11,888 11,9 (cm) Ympyrän segmentin jänne n yhtä pitkä kuin ympyrän säde, ja segmentin pinta-ala n 8,5 cm. Mudstuu tasasivuinen klmi, jnka kaikki kulmat vat 60. Klmin krkeus n r h + = r r 4 h + = r r 4 h r = r 4 h = ± r r 4 Negatiivinen juuri ei käy. r 3 h =. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 14

74 Segmentin pinta-alasta saadaan laskettua ympyrän säde πr r r 3 = 8,5 0,54r 0,433r = 8,5 0,091r = 8,5 : 0,091 r = 8,5 0,091 r = ± 8,5 0,091 Negatiivinen juuri ei käy. r = 9,664 9,7 (cm) Kertaustehtäviä 306. Ertumari juksee jalkapallkentän nurkasta nurkkaan. Kuinka pitkän matkan hän juksee? Kentän mitat vat 64 m 100 m. Ertumari kävelee surakulmin lävistäjää pitkin: = = m 64 m = ± Negatiivinen juuri ei käy. = 118,7 10 (m) 307. Ympyrän mutisen hpeisen kaulakrun ympärysmitta n 4,0 cm. p = πr Krun säde n πr = 4,0 : π r = 4,0 = 6, ,7 (cm). π Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 15

75 308. Teltan pääty n tasakylkinen klmi. Se n 3,6 m leveä ja reunjen pituus n,4 m. h + 1,8 =,4 h + 3,4 = 5,76 3,4 h =,5 h = ±,5 h = 1, ,587 (m) Negatiivinen juuri ei käy. h,4 Klmin pinta-ala n 3,6 A k = 3,6 1,587 =,8566,9 (m ) Sisu peri isäidiltään pulisuunnikkaan mutisen metsäpalstan. Sen yhdensuuntaisten sivujen pituudet vat 1, km = 1 00 m ja 1,5 km = m ja sivujen välinen etäisyys 310 m. A = a + b h = 310 = (m ) m = 4 00 a = 4 ha Taulun sivujen pituuksien suhde n 6 : 8 ja lävistäjän pituus 1,7 m. Lasketaan Pythagraan lauseesta. (6) + (8) = 1, =, =, =,89 : 100 = 0,089 1,7 6 8 = ± 0,089 Negatiivinen juuri ei käy. = 0,17 (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 16

76 Sivut vat 6 = 6 0,17 = 1,0 (m) 8 = 8 0,17 = 1,36 (m). Pulikkaan pinta-ala n 1,0 1,36 A k = = 0,6936 (m ). Kk taulun pinta-ala n 0,6936 = 1,387 1,4 (m ) Ihmisen näkökenttä n pystysuunnassa nin 130º. 1 m krkea hieskivu peittää rinteessä seisvan Visan näkökentän. Lasketaan puun etäisyys Visasta. 130 = 65 tan65 = 10,5 tan65 = 10,5 = 10,5 tan65 : tan = 4,896 4,9 (m) 31. Säännöllisen 10-kulmin mutisen pulijukkueteltan pisin lävistäjä n 4,8 m. 360 = α = = 18 sin18 =,4,4 18,4 m =,4 sin 18 = 0, ,741 (m) Teltan sivun pituus n = 0,741 = 1,48 1,5 (m). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 17

77 313. Säilyketölkin phja n ympyrän mutinen. Phjan pinta-ala n 38 cm. Lasketaan säde. πr = 38 : π 38 r = π 38 r = ± Vain psitiivinen juuri kelpaa. π r = 3, ,477 (cm) d = r = 3,477 = 6,954 7,0 (cm) 314. Pesäpallssa ktipesä n puliympyrä, jnka säde n 5,0 m. Ktipesän turvaksi n tehty,0 m leveä suja-alue. Kk ympyrän pinta-ala n A tt = πr = π 7. Sisäympyrän pinta-ala n A sis = πr = π 5. Suja-alueen pinta-ala n A suja 1 = ( π 7 π 5 ) = 37, (m ) Tasakattiseen maktitaln tehdään harjakatt. Taln leveys n 7, m ja pituus 9,1 m. Katn reunat mudstavat 33 asteen kulman vaakatasn suhteen. Reunjen halutaan jatkuvan 35 cm seinien yli. Lasketaan. 3,6 cs33 = cs 33 = 3,6 : cs 33 3,6 = cs33 = 4, ,93 (m) 35 cm 33 3,6 m Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 18

78 Pellin mitat: 4,93 + 0,35 = 9,86 (m) 9,1 + 0,35 = 9,8 (m) Pellin pinta-ala: 9,86 9,8 = 91, (m ) 316. Maailman suurimman puun ympärysmitta n 5,1 m. Oletetaan, että puun pikkipinta n likimain ympyrä. a) Ympärysmitta n p = πd Puun halkaisija n πd = 5,1 : π d = 5,1 π = 7, ,0 (m). b) Puun pikkipinta-ala n A = πr = π 3,995 = 50, ,14 (m ). 50,14 m = 5014 m = m Yksi lapsi vie tilaa keskimäärin 700 cm, jten lapsia mahtuu = 716, Lumin mpn npeusmittarissa n lukemat 0 60 km/h. Kun hän kiihdyttää mpnsa npeuteen 40 km/h, 3,5 cm pitkän sittimen kärki n kulkenut 6,3 cm:n matkan. Lasketaan kulma α sektrin kaaren kaavasta. b = α πr 360 α π 3,5 = 6, πα = α = 7π : 7π α = 103, Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 19

79 318. Lasketaan ala apukuviiden avulla. 6 6 A 1 : = A : = A 3 : = 14 Kk surakulmin pinta-ala n A = 7 10 = 70. Klmin pinta-ala n A k = 70 ( ) = = tanα 1 = 4 α 1 = 60,551 60,6 6 tan β 1 = 6 β 1 = 45 α = ,6 = 74,74 74,7 α = = tan β = 1 β = 84,894 84,9 β = ,9 = 50,71 50,7 γ = ,7 50,7 = 54, Kuru seis Rapajen rannalla. Hän näkee jen vastarannan 1 vaakatasn alapulella. Oman rannan pulella jki n 48 hrisntin alapulella. Kuru tekee havaintnsa 1,75 m:n krkeudelta. = 1,75 tan 78 1,75 1,75 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut y

80 = 1,75 tan78 = 8,331 8,33 (m) y = 1,75 tan 4 1,75 y = 1,75 tan4 y = 1,5757 1,576 (m) Jen leveys n 8,33 1,576 = 6,657 6,7 (m). 30. Ympyrän sektrin keskuskulma pienenee puleen ja säde kaksinkertaistuu. Keskuskulma alussa α ja säde r. Sektrin pinta-ala ennen muutsta: α A s 1 = πr 360 Sektrin pinta-ala muutksen jälkeen: A s = 1 α 360 π(r) = α π 4r = α π r 360 Pinta-ala kaksinkertaistuu. 31. Ympyrän kaaren pituus n 1,3 cm ja säteen 14,0 cm. Lasketaan kaarta vastaavan jänteen pituus. α π 14,0 = 1, πα = : 8π 7668 α = 8π α = 87, ,17 Surakulmaisen klmin kulma n 87 = 43,585 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 131

81 sin43,585 = 14 = 14 sin 43, = 9,6501 9,65 (cm) Jänteen pituus n = 9,65 = 19,304 19,3 (cm). 3. Kartin sisään laitettiin pall kuvan mukaisesti. sin7,5 = 3,5 3,5 sin7,5 = 3,5 : sin7,5 = 3,5 sin7,5 7,5 = 7, ,580 (cm) Kartin krkeus n 3,5 + 7,580 = 11,079 11,1 (cm). 33. Kynnysmatt n ympyrän segmentin mutinen. Sen krkeus n 35 cm ja leveys 90 cm. Lasketaan säteen pituus Pythagraan lauseella. r = (r 35) + 45 r = (r 35)(r 35) + 05 r = r 35r 35r r = r 70r : +70r 70r = 3 50 : 70 r = 46,485 46,43 (cm) Lasketaan kulman α suuruus. sinα = 45 46,43 α = 75, ,74 α = 151,48 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 13