3. Kolmiulotteisten kohteiden esitys ja mallintaminen: jatkoa

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "3. Kolmiulotteisten kohteiden esitys ja mallintaminen: jatkoa"

Kai Elstelä
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 . Klmiultteisten khteiden esitys ja mallintaminen: jatka Mnikulmiverkkn nähden ilmeisiä etuja vat: eksakti analyyttinen esitysmut klmiultteinen mudn mukkaaminen mahdllista vähemmän muistitilaa vaativa Edeltävä tekstiluku keskittyi suurelta sin mnikulmiverkjen tarkasteluun, jssa mnikulmit livat esim. nelisivuisia tasn sia mudstettuna neljällä kärjellä ja neljällä särmällä, janalla. Seuraavaksi tarkastellaan esitysmutja, jiden primitiivit, perusalkit, vat nelisivuisia ja kaarevia. Näissä lapuissa n neljä kärkeä ja reunaa, jtka vat käyriä. Kyseessä n kuutillinen pinta. Svellustyyppeinä vat tietkneavusteinen suunnittelu (CAD) ja vaihtehtinen esitysmut mnikulmiverklle. Näillä eduilla varustettuna n hieman yllättävää, ettei esitysmut le tietknegrafiikassa eniten käytetty. Tämä jhtunee mukana levasta matemaattisesta frmalismista. Lappujen käyttö mahdllistaa hienjakisia yksityiskhtia ja tasaisia sia käsittäviä khteita, esim. ihmiskasvja. Mnikulmiverkkja svellettaessa täytyisi käyttää suurta määrää mnikulmiita. Tisaalta parametristen (muuttuja, jlla muta säädetään) lappujen käyttö vi lla mnimutkaista.. luku 10. luku ézier käyrät Osa niiden keskeisestä hyödystä CADsvelluksissa tulee kyvystä muuttaa khteen muta tavalla, jka säilyttää tasaisen pinnan. Tämä n kätevää verrattuna mnikulmiverkkihin. Näillä tarkkuus kärsii khta kärkiä siirrettäessä, mikä lähes varmasti vaikuttaa haitallisesti visuaaliseen tulkseen. Täten tulisi siirtää kärkien ryhmiä yksittäisten sijasta, mikä n hankalaa. Yhden kärjen vetäminen tuttaisi vain lkaalin piikin. Lappujen analyyttinen esitys eraa frmulinnin suhteen. Muutamat n nimetty kehittäjiensä mukaan luvulla Pierre ézier kehitti käyriä Renault autjen suunnittelussa. Parametristen esitysmutjen tavanmainen lähestymistapa n alittaa klmiultteisten käyrien kuvauksesta ja sitten yleistää pintihin eli lappuihin. Avaruuskäyrä mudstetaan asettamalla käyrän alkukhta yhteen kuutin kärjistä ja lppukhta vastakkaiseen kärkeen, kuten kuvassa.1. Kun käyrä n näin kiinnitetty, vääntämällä kuutita suuntaissärmiöksi (paralleelipipedi) vidaan käyrää mukata tarpeen mukaan mninaisesti. Käyrän kiinnitys tapahtuu seuraavasti: Käyrän alku ja lppupiste sijaitsevat suuntaissärmiön vastakkaisissa (sen mudstaman tilan läpi kulkien) kulmissa (kärjissä). Alkupisteessään käyrä n tangentiaalinen akselisuunnalle 0x. Lppupisteessään käyrä n tangentiaalinen akselisuunnalle 0z.. luku 1. luku 1

Seuraavaksi tarkastellaan esitysmutja, jiden primitiivit, perusalkit, vat nelisivuisia ja kaarevia. Näissä lapuissa n neljä kärkeä ja reunaa, jtka vat käyriä. Kyseessä n kuutillinen pinta.

2 Kuvattu gemetrinen käsite määrittelee yksikäsitteisesti jkaisen avaruuskäyrän, kun se n määritelty määrätynasteisena plynmina. Tällöin suuntaissärmiö ja samalla käyrä vat täysin määriteltävissä neljällä pisteellä, kntrllipisteiksi nimetyillä P 0, P 1, P ja P, jtka vat kuvan.1. mukaan määrätyt suuntaissärmiön kärjet. Näiden avulla vidaan määrätä niihin liittyvät tahkt, sivupinnat, ja vastaavasti symmetrian njalla lputkin. Kuva.1. Käyräesityksen ézierin käsite. Kun käyrän Q(u) alku ja lppupiste n em. tavalla kiinnitetty, sen kulku päätepisteiden välillä määritellään parametrin u avulla, missä 0 u 1. Parametrin arv muuttuu täten 0:sta 1:teen, jllin käyrä kulkee alkupisteestä lppupisteeseen. Samalla kntrllipisteitä skaalataan tai sekitetaan.. luku 14. luku 15 Jkainen käyrän piste määrätään skaalaamalla kntrllipisteitä kuutillisella plynmilla, jta kutsutaan kanta tai sekitusfunktiksi. Käyrä saadaan tällöin: Q( u) = Pi i i= 0 ézier käyrillä sekitusfunktit vat ernsteinin kuutiplynmeja: 0 1 = (1 u) = u = u Kuva.. esittää plynmit ja ézier käyrän taslle prjisituna. = u(1 u) (1 u) Kuva.. Käyrää pitkin kulkeminen parametrin u arva kasvattamalla n ekvivalenttia sen kanssa, että siirretään pystysuraa suraa u:ta kasvattaen, kun sura leikkaa kantafunktit. Suran leikkauspisteet määräävät arvt ekvivalenttia pistettä varten.. luku 16. luku 17

Näiden avulla vidaan määrätä niihin liittyvät tahkt, sivupinnat, ja vastaavasti symmetrian njalla lputkin. Kuva.1. Käyräesityksen ézierin käsite. Kun käyrän Q(u) alku ja lppupiste n em.

3 Kuvan.. mukaan painttamalla kutakin kantafunktita kntrllipisteellä ja laskemalla nämä yhteen saadaan avaruuskäyrän piste. Jkaiselle u:n arvlle, lukuunttamatta alku ja lppuarvja u=0 ja u=1, funktit vat eri suuria kuin 0. Tällöin kukin kntrllipiste vaikuttaa jkaiseen käyrän pisteeseen (paitsi päätepisteisiin). Alkupisteessä ainastaan 0 n eri suuri kuin 0. Tällöin n: Q ( 0) = P = P Lisäksi n: 0 ja Q(1) ( u) + = 1 Kntrllipisteet yhdistämällä saadaan nk. kntrllimnikulmi. Niitä muuttamalla saadaan uusia käyriä. Muutettaessa yksittäistä kntrllipistettä käyrän muta vidaan muuttaa intuitiivisella tavalla (kuva..). Kuva.. Kntrllipisteen P 1 siirtämisen vaikutus. ézier käyriä hyödynnetään runsaasti. Kuvassa.4. n esimerkki kirjainmerkin suunnittelusta. Siinä lunnstellaan merkin muta ézier käyrien avulla siirtämällä kntrllipisteitä.. luku 18. luku 19 Käyriä ja pintja käsittelevien algritmien kannalta n tärkeä minaisuus, että käyrä sisältyy aina kntrllimnikulmin määräämään knveksiin peitteeseen. Kaksiultteisen käyrän knveksi peite n kuvassa.5. Käyrien llessa määriteltyinä kntrllipisteiden lineaarikmbinaatiina käyrää vidaan muuntaa affiineilla muunnksilla, kiert, skaalaus, siirt jne. Tämä tehdään klmiultteisessa avaruudessa spivilla muunnksilla kntrllipisteiden suhteen. Muunnetaan ne, ja lasketaan käyrän pisteet. Kuva.4. Tämä kuvaa ézier käyriä käyttävää fntin suunnittelua. Kunkin käyräsegmentin kntrllipisteet käsittävät symblit: O + + O.. luku 10. luku 11

Alkupisteessä ainastaan 0 n eri suuri kuin 0. Tällöin n: Q ( 0) = P = P Lisäksi n: 0 ja Q(1) 0 + 1 + ( u) + = 1 Kntrllipisteet yhdistämällä saadaan nk. kntrllimnikulmi.

4 ézier käyräsegmenttien yhdistäminen Käyräsegmenttejä lunnllisesti yhdistetään, jtta saadaan mnimutkaisempia esityksiä. Kyse n palittaisesta plynmikäyrästä. Vaihtehtna lisi sveltaa krkeampiasteista plynmia, mutta se vaikeuttaisi matemaattista ja laskennallista käsittelyä. Yleisesti käytetään riittävän lyhyiksi pätkittyjä segmenttejä, jtka esitetään kuutillisina käyrinä. Kuva.5. Kuutillisen käyrän knveksi peite. Alue n mudstettu kntrllipisteiden avulla. Käyrät yhdistetään päistään. Vähimmäislähtökhtana n paikallinen jatkuvuus liitspisteissä, ja lisäksi vi lla ensimmäisen asteen eli tangentiaalinen jatkuvuus. Näiden er n nähtävissä kuvassa.6. Edellisessä tapauksessa segmentin lppupiste yhtyy seuraavan segmentin alkupisteeseen. Jälkimmäisessä tapauksessa liitskhdassa segmenttien tangenttivektrit täsmäävät (vakin puitteissa).. luku 1. luku 1 Sävytetyissä pinnissa paikallinen jatkuvuus ei le riittävän hyvä, sillä siinä liitskhdat visivat näkyä lpullisessa kuvassa. Kun kahden segmentin kntrllipisteet vat S i ja R i, ensimmäisen asteen jatkuvuus n vimassa ehdlla: ( S S) = k( R1 R0) Edellä kuva.4. li esimerkki mnisegmenttisestä ézier käyrästä. Kuvassa.7. esitetään tilanne, jssa n j lutu kaksisegmenttinen käyrä ja tämän muta muutetaan liitspisteessä S /R 0. Jatkuvuuden ylläpitämiseksi n peritava yhtä aikaa pisteillä R 1, S /R 0 ja S seuraavaan tapaan: Kuva.6. ézier käyräsegmenttien jatkuvuus: (a) paikallinen jatkuvuus ja (b) tangentiaalinen jatkuvuus.. luku 14. luku 15

Yleisesti käytetään riittävän lyhyiksi pätkittyjä segmenttejä, jtka esitetään kuutillisina käyrinä. Kuva.5. Kuutillisen käyrän knveksi peite. Alue n mudstettu kntrllipisteiden avulla.

5 Ylläpidetään janan R 1, S suuntaa ja siirretään liitspistettä alas pitkin tätä suraa (kuva.7. (a)). Ylläpidetään liitspisteen sijaintia ja kierretään janaa R 1, S k. pisteen suhteen (kuva.7. (b)). Siirretään kaikkia klmea kntrllipistettä lukittuna kknaisuutena (kuva.7. (c)). Täten käyttäjä pystyy käyttöliittymältään mukkaamaan usean segmentin sisältävien käyrien muta. Kuva.7. Kaksisegmenttisen ézier käyrän käsittely: (a) Janan R 1, S suunta säilyttäen siirretään jtakin klmesta kntrllipisteestä pitkin tätä janaa, (b) kierretään janaa liitspisteessä ja (c) siirretään kaikkia klmea kntrllipistettä kknaisuutena.. luku 16. luku 17 ézier käyrien minaisuuksien yhteenvet q ézier käyrä n plynmiaalinen, jnka aste n aina yhtä pienempi kuin kntrllipisteiden lukumäärä. Yleisesti käytetään astetta klme. Neliölliset käyrät eivät le tarpeeksi justavia, mutta astetta klme krkeammat tisivat mukanaan mnimutkaisuutta. q Käyrä nudattaa kntrllipistemnikulmin muta ja sitä rajitetaan knveksin peitteen sisälle, jka n mudstettu kntrllipisteillä. q Kntrllipisteet eivät käytä lkaalista kntrllia, vaan jkainen niistä vaikuttaa enemmän tai vähemmän kk käyrään (nähdään kuvasta.., jssa kantafunktit vat eri suuria kuin 0, paitsi päätepisteissä). q Ensimmäinen ja viimeinen kntrllipiste vat käyräsegmentin alku ja lppu. q Käyrän päätepisteissä levat tangenttivektrit vat yhtäpitäviä kntrllipistemnikulmin ensimmäisen ja viimeisen särmän kanssa. q Kntrllipisteiden siirtäminen vaikuttaa tangenttivektrien suuntaan ja suuruuteen. q Käyrä ei heilahtele eli skilli minkään suran suhteen useammin kuin kntrllipistemnikulmin (minaisuus nimeltä vaihtelunvähentäminen). Tämä vaikuttaa esitettävän pinnan lunteesen. q Käyrää vidaan muuntaa sveltamalla mitä tahansa affiinia muunnsta (niiden lineaarikmbinaatilla) kntrllipisteisiin. Käyrä n invariantti (ei muuta muta) sellaisille muunnksille.. luku 18. luku 19

(c)). Täten käyttäjä pystyy käyttöliittymältään mukkaamaan usean segmentin sisältävien käyrien muta. Kuva.7.

Samankaltaiset tiedostot

pienempää, joten vektoreiden välinen kulma voidaan aina rajoittaa välille o. Erikoisesti on

pienempää, joten vektoreiden välinen kulma voidaan aina rajoittaa välille o. Erikoisesti on 5 Pistetul ja sen svellutuksia Kun kahdella vektrilla, a ja b n hteinen alkupiste, niiden määräämät pulisurat jakavat tasn kahteen saan, kahteen kulmaan, jtka vat tistensa eksplementtikulmia, siis kulmia,