Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on Nelikulmion kulmien summa on 360.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360."

Transkriptio

1 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus on 000 cm. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan korkeus V Ah 000 cm V 000 h 0,8 cm A Vastaus: 0,8 cm Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhdenmuotoisuus 40. a) Kolmion kolmannen kulman suuruus on Kulman 7 vieruskulman on Koska l l, niin myös kulma α on 08. b) Muodostetaan yhtälöpari α α 80 Ratkaisemalla yhtälöpari saadaan α 7. Vastaus: a) α 08 b) α Kolmion suurin kulma on 67. Komplementtikulma: Suplementtikulma: Vastaus: Komplementtikulma on ja suplementtikulma on Nelikulmion kulmien summa on ,6 Suurin kulma on + 5 8, ,8. Vastaus: Suurin kulma on 0,8. 57

2 405. Kulman 54 vieruskulma on Koska nelikulmion summa on 60, niin Kulman vieruskulma on Koska nelikulmion summa on 60, niin y Vastaus: 6, y Koska kolmion suurin kulma on yhtä suuri kuin kaksi muuta kulmaa yhteensä, niin suurimman kulman suuruus on 80 : 90. Vastaus: Suurimman kulman suuruus on a) Lasketaan sivujen pituuksien suhde : b) Lasketaan sivujen pituuksien suhde : 5 6 Vastaus: a) 68 b) Mittakaavalla on matkan pituus kartalla on 5 cm. Mittakaavalla : matkan pituus kartalla on. Muodostetaan kääntäen verrannollisuus : Vastaus: Matka kartalla on 67 cm Arkki A4: leveys 97 mm korkeus 0 mm A5-arkki muodostetaan taittamalla A4 arkki pidemmän sivun keskeltä kaksin kerroin. Taitetusta sivusta muodostuu arkin A5 korkeus. 58

3 Arkki A5: leveys 0 mm korkeus: 97 mm : 48, 5 mm 49 mm A arkin leveys muodostuu kertomalla A4 arkin korkeus kahdella. A4 arkin leveys muuttuu A arkin korkeudeksi. Arkki A: leveys: 0 mm 40 mm korkeus: 97 mm Vastaus: Arkki A5: 49 mm 0 mm, A: 97 mm 40 mm 40. Maalimenekki on suoraan verrannollinen maalattavaan pinta-alaan. A A 6 A 6 A Eli maalia kuluu 56 0,5 cl 8,4 cl. Vastaus: 8 cl 4. a) V 500 V V 76 cm b) 0, 4 V 7V 64 0, 64 0, V 0, 474 dm 7 Vastaus: a) 76 cm b) 0,5 dm 4. a) A k A, 5 cm 8 k 50 cm

4 b) k V V k, dm Vastaus: a) dm b) Massa on suoraan verrannollinen tilavuuteen 0,60 kg 0 m m 0 0,6 kg m 80 kg Vastaus: 80 kg 44. Pikkuympyröiden ala yhteensä r A π π r Ison ympyrän ala A π r Suhde π r A A π r Vastaus: 50 % 45. Lasketaan suhde V, V V, V, V Vastaus:, % 46. V k, 0 V k, 0 ( ) A k, 0,9 A Vastaus:,9 % 60

5 Kulmien piirtäminen harpilla ja viivaimella 4. Piirrä kolmion sivun päätepisteistä lähtien ympyrät, jotka leikkaavat pareittain kahdessa pisteessä. Yhdistä pisteet, jolloin saat sivujen keskinormaalit. Keskinormaalit leikkaavat samassa pisteessä. 4. Piirrä suora. Mittaa suoralta 4,0 cm:n pituinen jana. Piirrä suoralle normaali, joka kulkee janan toisen päätepisteen kautta. Mittaa normaalilta,0 cm:n pituinen jana, jonka toinen päätepiste on suoralla. Piirrä suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. 4. a) Piirrä suora. Piirrä suoralle normaali. Mittaa annetun janan pituus harpilla. Alkaen suoran ja normaalin leikkauspisteestä piirrä annettu janan pituus säteenä ympyrän kaari, joka leikkaa sekä suoraa, että sen normaalia. Yhdistä ympyrän kaaren ja suoran sekä ympyrän kaaren ja normaalin leikkauspisteet, jolloin saat tasakylkisen kolmion, jonka kyljen pituus on annetun janan mittainen. b) Piirrä suora. Piirrä suoralle normaali. Puolita saatu suora kulma. Mittaa annetun janan pituus harpilla. Alkaen suoran ja suoran kulman puolittajan leikkauspisteestä piirrä annettu janan pituus säteenä ympyrän kaari, joka leikkaa sekä suoraa, että kulman puolittajaa. Yhdistä ympyrän kaaren ja suoran sekä ympyrän kaaren ja kulman puolittajan leikkauspisteet, jolloin saat tasakylkisen kolmion, jonka kyljen pituus on annetun janan mittainen. 44. Piirrä suora. Piirrä harpilla suoralla oleva piste keskipisteenä sama säteisen ympyrän kaaret, jotka leikkaavat suoraa. Alkaen saaduista leikkauspisteistä piirrä kaksi ympyrän kaarta, jotka leikkaavat toisiaan kahdessa pisteessä. Yhdistä saadut leikkauspisteet, jolloin saat suoran normaalin. 45. a) Piirrä suora. Merkitse suoralle piste. Piirrä harpilla suoralla oleva piste keskipisteenä sama säteisen ympyrän kaaret, jotka leikkaavat suoraa. Alkaen saaduista leikkauspisteistä piirrä kaksi ympyrän kaarta, jotka leikkaavat toisiaan kahdessa pisteessä. Yhdistä saadut leikkauspisteet, jolloin saat suoran normaalin. b) Piirrä suora ja sen ulkopuolelle piste. Piirrä harpilla suoran ulkopuolella oleva piste keskipisteenä sama säteisen ympyrän kaaret, jotka leikkaavat suoraa. Alkaen saaduista leikkauspisteistä piirrä kaksi ympyrän kaarta, jotka leikkaavat toisiaan kahdessa pisteessä. Yhdistä saadut leikkauspisteet, jolloin saat suoran normaalin. 46. Piirrä kolmion sivun päätepisteistä lähtien ympyrät, jotka leikkaavat pareittain kahdessa pisteessä. Yhdistä pisteet, jolloin saat sivujen keskinormaalit. Keskinormaali leikkaa sivua sen keskipisteessä. Yhdistä kulmien kärjet vastaisten sivujen keskipisteisiin. Mediaanit leikkaavat samassa pisteessä. Piirrä suora, joka kulkee mediaanien leikkauspisteen kautta ja joka leikkaa annettua suoraa. Siirrä annetulle suoralle muodostunut kulma mediaanien leikkauspisteeseen Piirrä suorien leikkauspiste keskipisteenä ympyrän kaari, joka leikkaa molempia suoria ja piirrä sama kaari mediaanien leikkauspisteeseen.. Mittaa suorien välisen kaaren pituus ja siirrä tämä pituus mediaanien keskipisteenä piirretylle säteelle alkaen leikkauspisteen kautta kulkevan suoran ja mediaanien leikkauspiste keskipisteenä piirretyn säteen leikkauspiste. Piirrä suora mitatun kaaren loppupisteen ja mediaanien leikkauspisteen kautta, jolloin saat kysytyn suoran. 6

6 Suorakulmainen kolmio 47. Piirrä suora. Mittaa suoralta,5 cm:n pituinen jana. Piirrä suoralle normaali, joka kulkee janan toisen päätepisteen kautta. Piirrä janan toinen päätepiste keskipisteenä ympyrän kaari, jonka pituus on 8,0 cm ja joka leikkaa normaalia. Ympyrän kaaren ja normaalin leikkauspiste on kolmion kolmas kärkipiste. Piirrä suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. 48. Pythagoraan lauseella cm 4 cm Kolmion ala A 6 cm Vastaus: Kolmion ala on 6 cm 49. C 5,0 cm,0 cm 8 cm α 0 A D B 0 Huippukulman puolikas α 65 Kolmiosta ADC saadaan sin sin 65 6,... Kolmion kanta AB 6, 5... cm cm Vastaus: Kanta on cm. 40. Kulmien summa Kulmat ovat 0, 60 ja 90, joten kolmio on suorakulmainen ja voidaan käyttää trigonometrisia funktioita. 40, Sivu a (cm) tan 0 a Sivu b (cm) 40, a 40, 0 40, 69, tan 40, sin0 b 40, b 0 40, 80, sin Vastaus: Muut sivut ovat 6,9 cm ja 8,0 cm. 6

7 4. Kolmion sivun pituus (dm) , 0, Muistikolmion avulla h 0, h 0, Kolmion pinta-ala 0, 0, dm dm A 90, dm 9, dm 4 Vastaus: Kolmion pinta-ala on,9 dm. 4. a) Jyrkkyys 6 % Vaakasuora etäisyys a Pystysuora korkeusero on 0,06a 006, a Tällöin tanα 006, a α 4, b) Jyrkkyys % 0, a tanα 0, a α 74, Vastaus: a),4 b) 7,4 4. Pythagoraan lauseella 5 + ( + 7) ± 4 4 ( 576) ,8 (ei käy) , Kateettien pituudet ovat cm ja cm Kolmion piiri p 5 cm + cm + cm (5 + 0) cm 59,7 cm 6

8 Pinta-ala A cm cm cm 44 cm 8 Vastaus: Kolmion piiri on 59,7 cm ja pinta-ala 44 cm. 44. Suorakulmaisesta kolmiosta tan tan Vastaus: Kraatterin syvyys on 500 m. 45. Piirretään kolmio käyttäen kulmaviivainta. Mitataan viivaimella kolmion korkeus h, cm, 0 cm, cm Kolmion pinta-ala, 7 cm A 46. Tasasivuisen kolmion sivun pituus (dm) Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 4 F H G I K J +, 5 5, : 4 45,, > dm,5 dm,5 Kolmion pinta-ala on A dm,6 dm 6 Vastaus: Kolmion pinta-ala on,6 dm. 47. Pythagoraan lauseella + ( 0 ) : Toinen osa , 0 0 Vastaus: Osat 4,55 niveltä ja 5,45 niveltä. 455, 64

9 48. Muistikolmioista 0, 5, Vastaus: Mittarin metrin tulee olla,5 m pitkä. Tylpän kulman sini ja kosini 49. a) cos α 0,, jolloin α 7 b) cos α 0,, jolloin α 07 c) sin α 0,, jolloin α 7 tai Vastaus: a) 7 b) 07 c) 7 tai a) -koordinaatti ilmaisee kulman kosinin, joten cos α 0,56. y-koordinaatti ilmaisee kulman sinin, joten sin α 0,88 b) cos α 0,075 sin α 0, a) cos α 0,767, joten α 9,9 b) cos α 0,4, joten α 98, c) sin α 0,8, joten α 54, tai α 80 54, 5,7 d) sin α 0,65, joten α 9,4 tai α 80 9,4 40,6 44. a) cos α 0,58, joten α,5 b) sin α 0,65, joten α 9, tai α 80 9, 50,7 Tylppä kulma on 50, a) Kehäpisteen -koordinaatti ilmaisee kulman kosinin, joten cosα 0, 69 Kehäpisteen y-koordinaatti 0, 69 + y y ± y 0,99 Kulman sini sin α 0,99 b) Kulman kosini cosα 0, 7 Kehäpisteen y-koordinaatti 0, 7 + y 0,69 y 0 Kulman sini sin α 0,976 y y ( 0,7) 0 y 0,976 65

10 c) Kulman kosini cosα 0,9 Kehäpisteen y-koordinaatti 0,9 + y y 0,9 y 0 y 0,98 Kulman sini sin α 0,98 d) Kosini on välillä cosα, joten kulmaa ei ole. Sinilause 444. a) Olkoon tuntemattomat kulmat α ja β. Kulma α sinilauseella 8, 6, 5 sin80 sinα 8, sinα 6, 5sin 80 6, 5sin 80 sinα Kulma on terävä 8, α 48, 49 Kulma β β , 5 5, 5 Sivu 8, sin 5,5 sin 80 sin 80 8,sin 5,5 8, sin 5,5 6,5 cm sin 80 8, cm α β 80 6,5 cm b) Kolmas kulma on Olkoon 80 kulman vastainen sivu ja viereinen sivu y. Sivu (cm) 6, 5 sin80 sin 78 sin 78 6,5sin80 6, 5sin 80 6, 9 y sin ,5 cm 66

11 Sivu y (cm) y 6, 5 sin sin 78 y sin 78 6,5sin 6, 5sin y,9 sin 78 Vastaus: a) Kulmat ovat 48,5, 5,5 ja sivu 6,5 cm. b) Kulma on 78 sekä sivut,9 cm ja 6,9 cm a) Kulma α sinilauseella 4 5 sin0 sinα 4sinα 5sin0 5sin0 sinα Kulma α on terävä 4 α 6,0 Kulma β β Sivu (m) 4 sin 4 sin0 sin0 4sin 4 4sin 4 4, 8 sin0 4 m β 5 m 0 α b) Kulma α sinilauseella 7,0 9,0 sin 6 sinα 7,0sinα 9,0sin6 9,0sin 6 sinα Kulma α on terävä 7,0 α 4, Kulma β β , 9, 7 6 9,0 dm β α 7,0 dm 67

12 Sivu (dm) 7,0 sin9,7 sin 6 sin 6 7,0sin9,7 7, 0sin9, 7 sin 6,9 Vastaus: a) Kulmat ovat 6,0 ja 4,0 sekä sivu 4, m b) Kulma ovat 4, ja 9,7 sekä sivu,9 dm Terävä kulma α 7,, 4 sin 5 sinα 7,sinα,4sin 5, 4sin 5 sinα Kulma α on terävä. 7, α,8 Kolmas kulma γ 80 5,8,8 Pinta-ala α 7, m,4 m sin,8 6,5 m A 7, m γ 5,4 m Vastaus: Ala on 6,5 m Kolmas kulma on Suurin sivu on suurimman kulman vastainen sivu. 4 sin 70 sin85 sin 70 4sin85 4sin85 4, 4 sin 70 4sin85 Pinta-ala A 4 sin 5,58 sin Vastaus: Suurin sivu on 4,4 ja ala on,58. 68

13 448. Lasketaan kulmat: , josta 5. Kulmat ovat siis 45, 60, 75. Lasketaan sinilauseella toinen sivu (cm) sin 75 sin 60 sin 75 sin 60 sin 60 0,76 sin 75 sin60 Pinta-ala cm cm sin 45 45,6 cm A sin cm Vastaus: Ala on 45,6 cm Ala ) a sin sin 45 A ab γ a a a a Vastaus: Ala on a Tasasivuisen kolmion kaikki kulmat ovat 60. Tasasivuisen kolmion sivu a (m) A 60 m A absin γ a a sin sin 60 a 60 : 4 4 a 60, a a, a Vastaus: Sivun pituus on 40 m,77 m. 69

14 45. Kolmion kanta sinilauseella,64 sin07,56 sin 46,76 sin 46, 76, 64sin07, 56, 64sin07, 56 6, 54 sin 46,76 Kolmion ala A,64 6,54 sin 5,68 45, A C,64 07,56 5,68 46,76 B Vastaus: Ala on 45,. 45. Kolmas kulma on Kolmio ei siis ole suorakulmainen. Lasketaan ensin toinen sivu sinilauseella 4 sin 45 sin sin 45 4sin05 4sin05 5, sin 45 4sin05 Pinta-ala A 4 sin 0 5,46 sin45 Vastaus: Kolmio ei ole suorakulmainen, ala on 5,46. km 45. Neljännestunnissa kuljettu matka s vt h km h 4 Kolmion ABD kulmat D ja B D B Sivun AB pituus y (km) kolmiosta ABD C y sin sin4 sin4 y 8,0... sin Kysytty lyhin etäisyys (km) 8 sin 5 y y D sin4 ysin 5 y s 5 sin sin4 sin 5,5 A sin y B 70

15 Pisteestä A kuljettava matka AC (km) AC cos 5 y y sin4 AC y cos 5 y sin sin4 AC cos 5 7, sin Matkaan kuluu AC 7, 44...km t 0,60...h 7 min v km h Vastaus: Saari näkyy 7 minuutin kuluttua 90 o kulmassa, laskettaessa aika pisteestä A. Etäisyys on silloin,5 km Heijastuksen tapahtuessa järvestä tulokulma on yhtä suuri kuin heijastuskulma. Kolmion ACP kulmat A C P P Kolmion ABC sivu (m) 0 sin 65 0,0... sin 65 Sinilauseella kolmion ACP sivu y (m) y h y sin7 sin sin7 0 A 6 y 5 65 sin sin 65 0 m 0sin y 68,7... sin 65 sin B C D Pilven korkeus järven pinnasta h (m) h sin 65 y 0sin7 h ysin 65 y sin 65 sin 0sin7 h sin 65 sin 65 sin 0sin7 h 5,6 sin Vastaus: Pilven korkeus järven pinnasta on noin 50 metriä. 7

16 Kosinilause 455. a) Sivu c (m) c c 9,0 + 8,0 8,0 9,0 cos cos 4, c 0 c 45 44cos 4,67 8,0 m Kulma α 8, 0, 67 4 sinα sin 4 9,0 m,67sinα 8,0sin 4 8, 0sin 4 sinα Kyseessä on terävä kulma, 67 α 6,5 c Kulma β , 5 9, 5 Pinta-ala 8,0 m 9,0 m sin4 4,6 m A b) Sivu c (cm) c 7,0 +,0 7,0,0 cos80, c 0 Kulma α c 58 4 cos80 7, 7, 0 7, sinα sin80 7,sinα 7, 0sin 80 7,0sin80 sinα Kyseessä on terävä kulma 7, α 75,5 7,0 cm c 80,0 cm Kulma β , 5 4, 5 Pinta-ala,0 cm 7,0 cm sin80 0, cm A Vastaus: a) Sivu on,67 m, kulmat 6,5 ja 9,5 sekä ala 4,6 m b) 7, cm, 75,5, 4,5, 0, cm a) Sivu c (m) c cos0 c cos0 5 5, 9 c m 0 6 m 7

17 Kulma α 6 5 sinα sin0 6sin0 sinα 5 6sin0 sinα 5 α 9, Kulma β , 40,9 Kyseessä on terävä kulma b) Kulma α 7,0 5 sin0 sinα 7, 0sinα 5sin0 5sin0 sinα 7,0 α,8 Ei käy. Kyseessä on tylppä kulma α 80,8 58, Kulma β 80 58, 0,8 Sivu c (cm) c 5 + 7,0 5 7,0 cos,8 c 74 0 cos,8 8, 0 5 cm c 7,0 cm Vastaus: a) Sivu on 5,9 cm, kulmat 9, ja 40,9. b) Sivu on 8, cm, kulmat,8 ja 58, Lasketaan ensin tunnettujen sivujen välinen kulma α sinilauseen avulla. 8,5 6, sinα sin 5 8,5sin 5 6,sinα c 8,5sin 5 sinα Kyseessä on terävä kulma 5 6, 8,5 m α 50,70 Kolmas kulma β 80 50, , 6, m Pinta-ala 8,5 m 6, m sin94, 6,7 m A Vastaus: Ala on 6,7 m. 7

18 458. Sivu c (cm) c 4,0 + 7,0 4,0 7,0 cos 48, c 0 4,0 cm β c c 65 56cos 48 5, 47 Kulma α 5, 47 4, 0 sin 48 sinα 5,47sinα 4,0sin 48 4,0sin 48 sinα Kyseessä on terävä kulma. 5, 47 α 4,5 Toinen kulma β , 5 97, 5 Vastaus: Kolmas sivu on 5, cm, kulmat ovat 4,5 ja 97,5. 48 α 7,0 cm 459. Kolmion kolmas sivu kosinilauseella cos0 cos ( ) ( ) 4 ± , , 8 Ei käy Tylppä kulma α, 8 sinα sin 0 8sinα,sin 0, sin 0 sinα 8 α 44,5 Ei käy α 80 44,5 5,5 Terävä kulma β 80 5,5 0 4,5 0 4 α 8 β Vastaus: Kolmas sivu on,, kulmat ovat 5,5 ja 4,5. 74

19 460. Ratkaistaan yksi kulma α kosinilauseella ja toinen kulma sinilauseella cosα 7 5 0cos 5 cosα 0 α 0 Kulma β 7 5 sin0 sin β 7sin β 5sin0 5sin0 sin β Terävä kulma 7 β 8, Kolmas kulma γ ,,8 α 7 β α 5 γ Pinta-ala A 5 sin0 6,50 Vastaus: Kulmat ovat 0, 8, ja,8. Ala on 6, Sivu c (m) c cos, c 0 a m c cos, 47 β Kulma β α c,47 5 sin sin β,47sin β 5sin 5sin sin β Kyseessä on terävä kulma., 47 β 40,9 b 5 m Kolmas kulma β 80 40,9 06 Vastaus: Kolmas sivu on,47 m, kulmat ovat 40,9 ja

20 46. Sivu α α b 0 β 5 a 704 β 408cos cos 5 + Kulma α sinilauseella sinα sin 5 704sin 5 sinα 0 α 80, α 80 80, 99, 9 Kolmas kulma β , 74, 9 β , 9 55, ( ) ( ) 408cos 5 ± 408cos , ,847 Vastaus: Kolmion sivu on joko 689 m sekä kulmat 80, ja 74,9 tai kolmion sivu on joko 587 m sekä kulmat 99,9 ja 55,. Monikulmiot 46. Koska säännöllinen kuusikulmio muodostuu kuudesta tasasivuisesta kolmiosta, niin 5 0 ja kuusikulmion sivu on 0,. Kuusikulmion piiri p 6 6, 0 m, 0 m. Vastaus: Kuusikulmion piiri on,0 m. 76

21 464. Suorakulmaisen kolmion korkeus h (dm) h + 5, 50, h 8,75, h 0 h 8, 75 4, , dm 875, dm Kuusikulmion ala A 6 65 dm. Vastaus: Kuusikulmion ala on 65 dm Suunnikkaan ala onh 7, josta h 6. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan sinα 6, josta suunnikkaan pienempi 0 kulma α 7. Suurempi kulma on β 80 α 4. Suorakulmaisesta kolmiosta AED saadaan 0 6 +, josta 8. Tällöin y 4. Kolmiosta BDE saadaan z 4 + 6, mistä z 5 7,. Vastaus: Suunnikkaan kulmat ovat 7 o ja 4 o. Lyhyempi lävistäjä on 7, cm Suorakulmaisesta kolmiosta ABC saadaan 4 + h 6, josta h 0 4, Suorakulmion ala on A kh 40, cm 447,... cm 8 cm. Suorakulmaisesta kolmiosta ADE saadaan sinα, josta α 480,... ja α 480, Vastaus: Suorakulmion ala on 8 cm ja lävistäjien välinen kulma Suorakulmion ala A s Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 6 + 8, josta 0. Neliön ala A n Alojen suhde on A n 00 08,... As 48 Neliön ala on, 08..., % suurempi kuin suorakulmion ala. Vastaus: Neliön ala on 08 % suurempi kuin suorakulmion ala. 77

22 468. Levyjen pinta-ala A 5 0, 5 m 0, m 0, m. Levyjen hinta on h 0, euroa 0, 46 euroa. Vastaus: Levyjen hinta on 0,46 euroa Pythagoraan lauseella + 4, josta, 5. Suorakulmaisesta kolmiosta ABD saadaan sinα 4, josta α 0, jolloin β Kolmiossa BCD kantakulmat ovat yhtä suuret, joten cos45 y, 4 josta y 4cos ,. Nelikulmion ala on A ,. Vastaus: Sivut ovat,, 8, ja 5,. Ala on , Yhden setelin ala on A 0, m 0, 06 m 0, m. 9 0, Peittyvä pinta-ala on A kok 0, m m, 4 km 5 Vastaus: Setelit peittäisivät,4 km. 800 kg kg 47. Olympialippu painoi 00, m 05 m m Suurimman lipun massa oli , 0... kg 00 kg. Vastaus: Suurin lippu painoi 00 kg Koska suunnikkaan sivujen pituudet ovat ja 6, niin pituudeltaan 6 oleva lävistäjä on lyhyempi lävistäjistä. Kolmiosta ABD lasketaan kosinilauseella kulma γ D cosγ E 68 cosγ 7 γ γ 9,88... A 6 B C Lasketaan kolmiosta ABE kosinilauseella lävistäjän puolikkaan pituus cos9,88..., cos9,88...,

23 Lävistäjän pituus,6... 6,6 Suunnikkaan ala A Akolmio 6 6 sin9,88...,8 Vastaus: Lävistäjän pituus on 6,6 ja suunnikkaan ala, Säännöllisen viisikulmion lävistäjät ovat yhtä pitkät. (5 ) 80 Viisikulmion kulman suuruus γ 08 5 Lävistäjän pituus + cos08, 0 8 8cos08 4,85 Vastaus: Lävistäjän pituus on 4,85. D E C 6 γ B A 474. Lasketaan nelikulmion ala molemmissa tapauksissa. Kolmiosta CED suunnikkaan korkeus h h 6 h Sivu CE 6 A F 4 Nelikulmion BEDF ala A (4 + ) h (4 + ) 6 Kolmiosta BHC suunnikkaan korkeus h h B C 4 h Sivu CH 4 Nelikulmion BEDF ala A (4 + ) h (4 + ) 6 () () D h E B h A 4 () C () H I 6 D Vastaus: Pienimmän nelikulmion ala on. 79

24 YMPYRÄ 475. Ensimmäisen radan säde r metriä. Toisen radan säde r +, metriä. Koska suorat s ovat molemmilla radoilla yhtä pitkät, niin ratojen pituuksien välinen ero on s+ π ( r+, ) ( s+ π r) s+ π r+ π, s π r π, 77,. Vastaus: Lähtöpaikkojen välinen etäisyys tulee olla 7,7 metriä Kulmaa α vastaava keskuskulma α, ja sen vieruskulma 80 α. P Kysytty kulma β (80 α) α 90 β A α 80 α α B Vastaus: α Tutkitaan kolmiota ABD. Sivu AB DF + FC Hypotenuusa BD BE + DE AB+ DE Pythagoraan lauseella + 5, josta 784 ja 8. Tällöin BC 8. Vastaus: BC a) Käytetään pituusyksikkönä neliön sivua s. Pystysakaran ala ilman kaarevia osia on 8 neliön ala eli 8s. Vaakasakaran ala ilman kaarevia osia on neliön ala eli s. Kaarevan osan ala saadaan vähentämällä neliön alasta neljäsosaympyrän alan s π s. 4 F I 5 Kaarevien yhteisala on 5 s πs HG 4 K J s πs s π, s 4 4 Kirjaimen kokonaisala 8s + s +,s,s F HG I K J b) Ala on A Aisopy Apienipy + Apienipy Aisopy π ( 60, cm ) 57cm. Vastaus: a) Ala on,. b) Ala on 57 cm. 6,0 cm 80

25 479. Säde R Suorakulmaisesta kolmiosta R sin 67,5,5 R,5sin67,5 R, Vastaus: Suurimman ympyrän säde on, cm. 67,5,5 cm R 480. Oven ala A ovi 0, m 0, m + π ( 05, m ) 84,... m. Lasin ala A lasi 6 ( 040, m ) + π (, 05 m ), m. Alojen suhde A lasi 69,... m 0, %. Aovi 84,... m Vastaus: Ovesta on % lasia.,05 m,0 m,0 m 40 cm 40 cm 48. Pienen ympyrän ala on π r 60,, josta r 60, π. Suuren ympyrän säde on R F HG A π R π 5 I 5 r 5 60, π. Ison ympyrän ala on 60, π 5 π KJ 60, cm cm 50 cm π Vastaus: Ison ympyrän ala on 50 cm Leikkausalue koostuu kahdesta segmentistä. Segmentin ala on Asegmentti Asektori Akolmio. r Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan cosα, r josta α 60 ja sektorin keskuskulma F α 0. Pythagoraan lauseella + r r H G I K J, josta r 4 ja r. Tällöin segmentin ala on 8

26 A segmentti 0 π r 60 F HG F HG r r π 4 I KJ I KJ π A Asegmentti r, r. Vastaus: Leikkausalueen ala on 48. Kolmion ala A k F HG π I r KJ r ja kysytyn alueen ala on, r.. Pythagoraan lauseella +, josta kolmion hypotenuusan pituus on. Kuun sirpin ala saadaan vähentämällä puoliympyrän alasta segmentin ala. Puoliympyrän ala A py π F HG I KJ π π π 60 4 π F π 4 4. Segmentin ala on Asegmentti Asektori Akolmio Kuun sirpin ala on A A A sirppi py segmentti HG I K J. Vastaus: Kuun sirpin ala on ja kolmion ala on Jana AD BC 6 Jana OQ QR RP, joten AB DC Piiri D O Q R P C Vastaus: 66 A B 485. Neliö ympyrässä Neliön sivu a Neliön ala a Ympyrän halkaisija r on yhtä suuri kuin neliön lävistäjä a eli 8 a r.

27 Alojen suhde A a 0,64 π neliö Aympyrä a π Ympyrä neliössä Neliön sivu on ympyrän halkaisija r Aympyrä πr π Alojen suhde 0,79 > 0,64 A ( r) 4 neliö Vastaus: Ympyrä neliössä täyttää suuremman osan Koska ympyrä kulkee pikkuneliöiden keskipisteiden kautta, sen säde on pikkuneliön lävistäjän puolikas. π Ympyrän ala A π Vastaus: Ala on π Sivu AB Kolmion ala A kolmio 6 76 Koska kolmion kulmien summa on 80 ja sektorit ovat saman säteisiä, sektoreista muodostuu puoliympyrä. Kysytty ala Akolmio Asektorit 76 π 8 76 π Vastaus: Ala on 76 π. A 6 G 8 45 F 8 B C PALLO d 488. Puolipallon säde r 70, m. Puolipallon pinta-ala on A r π π (, m ) 98πm 08 m. Koska grammasta kultaa voidaan takoa neliömetrin suuruinen levy, niin kultaa tarvitaan 08 g. Vastaus: Kultaa tarvitaan 08 g. 8

28 b g, Veden määrä V Ah r h 4 π 4π 6 70 km km km Vastaus: km 490. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan ,, josta 74, 0 ja 5, 7. Vastaus: Saaren etäisyys on 5,7 km. 49. Pythagoraan lauseella , josta 8 097, Etäisyys maan pinnasta on h R 8 097, km 6 70 km 700 km. Vastaus: Etäisyys maan pinnasta on 700 km. 49. Hillan massa 096 m 0, 0065 kg 6, 5 g. Koska dm hilloja kg painaa kg 000 g, niin hillan tilavuus on 0, 0065 dm 6, 5 cm. Hillan säde on 4 π r 65,, josta r 65, ja r 4π Vastaus: Hillan massa on 6,5 g, tilavuus 6,5 cm ja säde, cm. 65,,. 4π 49. Pallon säde R Kuopan reunaympyrän säde 0,8R Kuopan syvyys,0 Pythagoraan lauseella R (0,8 R) + ( R,0) 0, 64R + 4R 4 0 ± R ( 0,64) ( 0,64) ( 4) 4 5,76 R 5, ,76 R, 5 < ei käy, 8 Pallon pinta-ala A 4π 5 0 Vastaus: Ala on 0 cm. R 0,8R R,0,0 84

29 494. Pallon halkaisija d Tasasivuisen kolmion sivu on 4d Tasasivuisen kolmion korkeus 4d d 66 d 4d 66 d 7, d A d 4d Vastaus: Pallon halkaisija on 66 cm 7, 4 cm. 4 + H 4d LIERIÖ 495. Yksikkömuunnos 00 l 0,00 m r pohjaympyrän säde π r 0, 000, 000, r ± 00,... π 0, Pohjaympyrän halkaisija on r 0,46 (m). Vastaus: 0,46 m 496. Yksikkömuunnos 5 cm,5 dm A A + A π 0, + π 0, 5, 99, (dm ) P V V A P h π 0, 5, 785, 79, (dm ) Vastaus: 7,9 dm, 00 cm 497. Yksikkömuunnokset 0,00 mm 0,00000 m ja km m V A h m 0,00000 m,0 m 000 l Vastaus: 000 l 498. a) kehän pituus p π 6, 0 7, 699 7, 7 b) Levyn ala- ja yläpuoli saadaan kahden ympyrän alojen erotuksena. Lisäksi lasketaan levyn ulko- ja sisäreunan ala, jotka ovat lieriöiden vaippoja. Lieriön korkeus on levyn paksuus mm 0, cm A ( π 6, 0 π 0, 75 ) + π 6, 0 0, + π 0, 75 0, 0 85

30 c) tilavuus V π 6,0 0,0 π 0,75 0,0,... 5, 0 g tiheys ρ, g/cm,...cm Vastaus: a) 7,7 cm b) 0 cm c), g/cm 6 m V 5,640 0 (dm ) ρ 0,700 V πr h :( πr ) V 0,0 m h V r π r 6 5, m h 8000 m 8 km π (0, 0 m) Vastaus: 8 km 9 6 5,640 0 dm 5,640 0 m, 0,0 m 500. Kiven tilavuus on yhtä suuri kuin lieriön, jolla on sama pohja kuin vesiastialla ja korkeutena,0 cm. V Ap h π 5, 0, 0 60 (cm ) Vastaus: 60 cm 50.,4 kg:n nestemäärän tilavuus on dm,0 kg:n nestemäärän tilavuus on,0, 4 dm 0,8 dm 8, cm Lasketaan lieriön korkeus h V Ah V 8, cm, A 90 cm 8, h :90 8,... h 9, 90 Vastaus: 9, cm 50. Kokonaisala on seinien ala vähennettynä ovien ja ikkunoiden alalla. A 4, 5, 8 +, 8, 8 5, 0 4, 48 Maalataan kahteen kertaan A 8,96 8, 96 Maalia 0 litraa 80, 86

31 Maalikerroksen paksuus maalin tilavuus cm 0,04 cm 0,4 mm maalattu pinta-ala cm Vastaus: 0 l ja 0,4 mm 50. Kuution särmä a 4 Maapallon tilavuus (680 km) π a 4 π a π km Vastaus: 0 00 km 504. Kuution tilavuus s a) suklaapallon säde s suklaan osuus V V suklaa kuutio 4 π ( s ) π 5,4% s 6 b) Palloja on rasiassa 8 kpl ja jokaisella sivulla on palloa rinnakkain jolloin niiden säde on 4 s. 4 8 π ( s) Vsuklaa suklaan osuus 4 π 5, 4% V s 6 kuutio c) Palloja on rasiassa 7 kpl ja jokaisella sivulla on palloa rinnakkain jolloin niiden säde on 6 s. V V suklaa kuutio 4 7 π ( s) 6 π 5,4% s 6 π π π Vastaus: a) 5,4 % b) 5, 4 % c) 5,4 %

32 505. Lieriön tilavuus V π r h π 5, 0 800π Lasketaan lieriöiden pohjien säteet. V π r h :( π h) V r π h r V π h 800π r π π r π π r4 π π r5 π Peräkkäisten lieriöiden säteiden suhteet r 50 5 r 5 5 r r r r 0 0 r 00 ) r Vastaus: Peräkkäisten lieriöiden säteiden suhde on vakio Koska korkeuden ja pohjan halkaisijan suhde on :, ovat korkeus ja pohjan säde yhtä suuret. V Ah π h h π h π h 68, h 68, π Apohja h F H G I 68, π π K J 4985,... π 88

33 Avaippa h h F H G 68, I π π K J 9, π A kok 4, , , 0 (m ) Vastaus: 5,0 m 507. särmiön pituus A 08, + 08, 09, + 09, 484, 484, V 08, 09, 80, (cm ) Vastaus: 70 cm 508. m V ρ 4 m pallo π 05,, 0 kg 5,9... kg m jalusta ,,,, 89,... kg Jalustan sisällä olevan pallosegmentin massa m segm F I π HG 0,,,, K J, 0 m kok 89, , , kg Vastaus: 700 kg b g 9,5... kg 509. a) πr ulko π 65, 96,... 9 b) πr sisä π 5, 50, , , Kerroksen paperimäärän keskiarvo 6, , 5 5, Kerroksia yhteensä 7,... 05, Paperia yhteensä 7,... 6,8 cm 7 00 cm 7 m Vastaus: a) 9 cm b) 4 cm c) 7 m 89

34 50. Hämähäkin lyhin reitti on joko katon tai lattian kautta suoraviivaisesti, kumpaakin kautta tulee matkaksi m + 0 m + m 4 m Tehtävästä saa haastavamman, jos kärpänen on esimerkiksi vastakkaisen seinän nurkassa, jolloin särmiö joudutaan levittämään tasoon ja käyttämään Pythagoraan lausetta. Vastaus: 4 m 5. 4,5 cosα 9 α 60 Ympyräsektorin keskuskulma β 60 α 40 Ympyräsektorin ala 40 8 A π sin0 54π Veden tilavuus 8 V 54π + 0 cm 500cm,5l 4,5 4,5 β α 9 Vastaus:,5 l 5. astian tilavuus 98,5 8,5 veden korkeus h veden tilavuus 9 h 99h jäätyneen veden tilavuus, 99h 08, 9h Saadaan yhtälö 08,9h 8,5 h 5 Vastaus: Vettä voi laittaa 5 cm verran. 5. pohjan säde r korkeus r + 5 Tilavuus π r ( r+ 5) 8 π : π r + 5r 8 0 Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on r eli polynomin yksi tekijä on r. Muut juuret saadaan tekijöihin jakamalla. 90

35 r + 7r+ 4 r r + 5r 8 r ± r 7r 7r 4 ± r 4r 8 4r ± 8 0 Muut juuret r + 7r+ 4 0 ± ± r ei reaalijuuria Vastaus: Pohjan säde on. KARTIO 54. Kartion korkeus h h h 80 5 h 9,5... V πr h π (5 cm) 9, 5... cm cm, m A A + A π (5 cm) + π 5 cm 80 cm 0000 cm,0 m pohja vaippa Vastaus:, m,,0 m 55. Kartion sivujana s s 6 + s ± 80 s 8,6... Avaippa π rs π 8, (cm ) tanα 6 α 65 Vastaus: 00 cm, 65 9

36 56. V r h V h 5,0 r 5,0 75,0 r 5,0 : (5,0 ) r π 5,0 dm, 5,0 dm π π π 75,0 5,0π r 75,0 5,0π r,65... Pohjan halkaisija r 5, dm Vastaus:,5 dm 57. a) Kyseessä on neliöpohjainen pyramidi, jonka sivutahot ovat tasasivuisia kolmioita. Tasasivuisen kolmion korkeusjana a a a ± 75 a 8,66... A Pyramidin korkeus h h + 5 a h ± e j 75 5 h 50 7, V A h ,... 0 b) Kyseessä on ympyräkartio, jonka sivujana on,4 m. 7 A vaippa π, 4, Kartion pohjaympyrän kehän pituus 7 πr 60 π 4, r 0,48 A pohja π r π 0, 48 0, A kok,69 + 0,78 4, (m ) Kartion korkeus h h + 0,48,4 h ± 5, 596, 5...,4 m 7 9

37 V π 0, 48, , 57 (m ) Vastaus: a) Pinta-ala 70, tilavuus 40 b) Pinta-ala 4, m, tilavuus 0,57 m 58. Kartion pohjan säde,4 cm Kartion sivujana s Kartion korkeus h Vaipan ala π rs 65,8 r,4 65,8 s,4π Pythagoraan lauseella 65,8 h,4 4,,4π Tilavuus V πr h π, 4 4, 900 Massa m Vρ π,4 4, 5,8 000 Vastaus: Tilavuus on 900 cm ja massa 000 g. 59. Pyramidin korkeus h h + 40,0 0,0 h ± 800 h,... V 80, 0, (cm ) 4 (dm ) A A pohja + A vaippa , 0 0, (cm ) h,4 s Vastaus: 4 dm, cm 50. Sivutahkokolmion korkeus a a +,5 a ± 96, 75 a 9,9... Pyramidin korkeus h h +,5 a h ± 96, 75 5, h 64, 5 6,

38 V 6, (cm ) A + 4 9, (cm ) Vastaus: 900 cm, 400 cm 5. Hiekkaa tunnissa 60, 0 cm 60 cm Kartion korkeus h π h h 60, 0 80 h 9, (cm) π Vastaus: 60 cm ja,9 cm 5. Yhdenmuotoisista kolmioista h h+ 6, 7 6, 6,,6 h,6h + 4,7 h 4,7 Alaosan katkaistun kartion tilavuus V,6 (4,7 + 6,7),6 4,7 9,97 Yläosan kartion tilavuus V ,,,... V kok 9,97 +,489...,46... m V ρ, 46..., 7 0 kg 0000 kg 0 t Vastaus: 0 t 5. Kuution särmä 8,0 m Sisällä olevan kuution särmä,4 m Seinän paksuus 0, m Katkaistut pyramidit Koska katkaistut pyramidit ovat kuution sisällä symmetrisesti vastakkain, on katkaistun pyramidin korkeus ison kuution särmä pienen kuution särmä 8,0 m,4 m, m. 94

39 Kokonaisen pyramidin korkeus: h h, 8, 0, 4,4 h 8,0 h 8,4 h 4 V katkpyr 8,0 4,4 ( 4,0,) 78,78... (m ) Katkaistun pyramidin sivutahkot ovat puolisuunnikkaita, joiden kannat ovat 8,0 m ja,4 m. Koska puolisuunnikkaat ovat kuution pohjalävistäjän suuntaisesti, puolisuunnikkaan korkeus saadaan kuutioiden pohjalävistäjien avulla: Ison kuution pohjan lävistäjä on 8,0 m (neliön lävistäjä on s, jossa s on neliön sivu) Pienen kuution pohjan lävistäjä,4 m Kun ison kuution pohjalävistäjästä vähennetään pikkukuution pohjanlävistäjä, saadaan kahden puolisuunnikkaan korkeus ja yhden puolisuunnikkaan korkeus on 8, 0, 4, 5... Puolisuunnikkaan muotoisia ja 0 cm paksuisia sivutahkoja on 8 kpl. 8, 0 +, 4 Vkok Valin pyramidi + 8,5... 0,0 0 (m ) m V ρ 0, 0 0 kg 0000 kg 0 t Vastaus: 0 t 54. Oktaedrit koostuvat kahdesta neliöpohjaisesta pyramidista. Pyramidien pohjaneliöiden lävistäjät ovat 5, 0 ja 0 Pyramidien korkeudet: h 5 + F H G I K J h ± 5 5 h,55... h F H G I K J h ± h 7,

40 h 0 + F H G I K J h ± h 4, V kok , , , (cm ) Vastaus: cm 55. Kartion pohjan ja pallon säde r Pinta-alojen summa πr + πrs+ 4πr 5 π : π, s 7 5r + 7 r ± (7 ) 45(5) r 5 7 ± 756, 5 r r < 0 ei käy r 4 0 Kartion korkeus h saadaan Pythagoraan lauseella h (7 ) (4 ) 6 V Tilavuuksien suhde V kartio pallo π π 4 Vastaus: V V kartio pallo 96

41 56. Pohjasärmä s Pinta-ala 4 0 s+ s 84 s + 0s ± 0 4 ( 84) s 0 96 s < 0 ei käy s Pyramidin korkeus h saadaan Pythagoraan lauseella suorakulmaisesta kolmiosta, jonka hypotenuusa on apoteema 0,0 ja toisena kateettina pohjaneliön sivun puolikas 6. h Tilavuus V 8 84 Pyramidin massa m V ρ 84 5,55 0 Vastaus: Massa on 0 g 57. Kartion pohjan säde R Pallon säde r Pinta-ala πr + πrs 54 π : π, s 7 R + 7 R 54 0 ± R 7 ± 7,5 R 7 6 R < 0 ei käy R 4 7 (7 ) 4 ( 54) 97

42 Kartion korkeus H saadaan Pythagoraan lauseella H (7 ) (4 ) 6 a) Tilavuus V π (4 ) 6 40 π 7 b) Kartionsivujana BC 7 DC H r 6 r Yhdenmuotoisista kolmioista ABC ja EDC (kk) saadaan verranto AB BC DE DC 4 7 r 6 r 7 4 r 7 r r 7 9 r Pallon tilavuus Vpallo π π 47,7 4 6 c) Pallon säde r Tilavuus 4 π r 40 π 4 r 8 r 4 Pallon pinta-ala A π π Vastaus: a) 40 7 cm π b) 4 cm 47,7 cm 6 π c) π cm cm 98

43 58. Kartio ja sen yläosa ovat yhdenmuotoisia. Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Saadaan verranto Täytettävä korkeus pohjasta lukien, 48 Vastaus: cm, 48 cm 59. Pohjan säde r Sivujana s s + Pohjaympyrän kehä π r s+, josta r π Vaipan ala s πrs π : π, r π s s π π s s 4π 0 ( ) ± ( ) 4 ( 4 π ) s s > π s Vastaus: π Pohjan säde r Korkeus r + 5 Tilavuus π r ( r+ 5) π : π r ( r+ 5) r + 5r

44 Kokeilemalla huomataan, että yksi juuri on r eli polynomin yksi tekijä on r. Muut juuret saadaan tekijöihin jakamalla. r + 6r+ 6 r r + 5r 6 r ± r 6r 6 6 r Muut juuret r + 6r+ 6 0 ± r 6r 6 6r ± ± r r r 6 < 0 ei käy 6+ < 0 ei käy Vastaus: Pohjan säde on. Harjoituskoe. a) Kosinilauseella kolmiosta RST saadaan r t + s tscosα t + s r cosα ts T h t R r s S b) Kolmion pinta-ala kanta korkeus A kanta s, korkeus h A sh c) sin(80 α) h t d) sinα sin(80 α) h t T h t 80 R r s S Vastaus: a) t + s r ts b) s h c) h t d) h t 00

45 . Säiliö ja siinä oleva vesi muodostavat yhdenmuotoiset kappaleet. Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Mittakaava on vastin janojen suhde. Veden tilavuus V v Säiliön tilavuus V s Lasketaan, kuinka mones osa säiliöstä on täyttynyt vedellä, loput on jäänyt tyhjäksi. V h v k k V h s Vv V s 8 Tilavuudesta jää loput tyhjäksi eli 7 87,5 % 8 8 Vastaus: Tyhjäksi jää 87,5 % tilavuudesta. h h. a) Mittakaava on :, joten piirroksen jokainen sivusärmä on puolet alkuperäisestä. Kavaljeeriperspektiivissä pysty- ja vaakasuorat viivat piirretään oikeassa mitassa. Eteen ja taaksepäin olevat viivat piirretään 45 :een kulmassa vaakatasoon nähden ja puolet lyhyempinä. b) Kuutioon mahtuu nestettä 5 cm 5ml,5 cl Vastaus: b),5 cl,0 cm,0 cm,0 cm 4. Jos kolmion piirtää harppia ja viivoitinta käyttäen, huomaa heti, että syntyy kaksi kolmiota. Laskemallakin sen toki saa. Tässä kolmion pinta-ala kannatta laske käyttäen kaavaa C A sivu sivu sin(sivujen välinen kulma) A AB AC sin 0 D 4,0 cm 4,0 cm A 0 6,0 cm B 0

46 Sivu AC saadaan kosinilauseella Merkitään AB c, BC a, AC b a b + c bccosα α 0, cos0, a 4,0 cm, c 6,0 cm b 6 b b + 6 b 6 ( 6 ) ± ( 6 ) 4 0 b b 6 ± b b 7 Pinta-ala A AB AC sin 0 AB 6,0 cm, AC ( + 7) cm tai AC ( 7) cm, sin0 A 6,0 cm ( + 7) cm,8 cm tai A 6,0 cm ( 7) cm,8 cm Vastaus: Pinta-ala on,8 cm tai,8 cm. 5. Alue A on ympyrän segmentti. Segmentin pinta-ala A α π r Akeskuskolmio 60 Piste D on puoliympyrän kaaren AB keskipiste, joten α 90 Keskuskolmio AOD on suorakulmainen kolmio, jonka kateetteina ovat ympyrän säteet. Ympyrän O säde r α 90 A π r Akeskuskolmio π π Alue A muodostuu sektorista BAC, josta vähennetään kolmio AOD ja sektori BOD. Sektorin BOD keskuskulma on 90, joten sen pinta-ala on neljäsosa koko ympyrän (säde ) alasta. 0

47 Sektorin BAC säde R 4. Keskuskulma BAC β 45, sillä kulma β on tasakylkisen, suorakulmaisen kolmion AOD kantakulma. β 45 AOD sektori BOD A πr A A π 4 π π Vastaus: Tummennettujen alueiden pinta-alat ovat A A π. 6. Suurin etäisyys h (km) Maapallon ympärysmitta km Maapallon keskipisteen ja tunnelin yläosan etäisyys (km) Maapallon säde r (km) Kysytty etäisyys saadaan tiedosta h r Maapallon säde r Ympyrän piiri π r on maapallon ympärysmitta km π r r π Jana lasketaan suorakulmaisesta kolmiosta OAS. α cos r α rcos Reposaari R r 00 km B h A O s Söderham S Tarvitaan siis kulman α suuruus. α Ympyrän kaaren RS b π pituus 60 Kaaren b pituus on Reposaaren ja Söderhamin välimatka 00 km. α b π r 60 α α α, 8 α 0,9 0

48 Etäisyys h α h r rcos α α h r( cos ) r, 0, 9 π h ( cos 0,9 ) 0,790 π Suurin etäisyys on 0,790 km 790 m Vastaus: Yläreunan suurin etäisyys on 790 m. 7. Kuution särmä a Kartion korkeus a Kartion pohjaympyrän säde r Jana DE on kuution pohjatahkon lävistäjä DE a + a DE a, DE > 0 D F A C r E B a a D a a E DE a Tilavuuksien suhde Vkuutio a a V kartio πr h πr a Suhteen laskemiseksi pitää säde r sanoa särmän a avulla. Kolmiot ABC ja FEC ovat yhden muotoiset ABC FEC C on yhteinen kk F A 90 Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinjanojen suhde on sama. AB CA a AB r, FE DE, CA a, CF a a a FE CF r a a a r a 04

49 Tilavuuksien suhde Vkuutio a a % %,9% V kartio πr h π( a ) a 4π π Vastaus: Kuution tilavuus on 75 %,9% kartion tilavuudesta. π 8. Kysytty etäisyys EC (m) saadaan suorakulmaisesta kolmiosta EFC. Kateetti EF DB y (m) Kateetti FC BC BF z (m) Pythagoraan lause y + z C Kolmiosta ABD kosinilauseella 5, 44 y,4 + 5,,4 5, cos 45,85 Kolmiosta ABC BC tan 60 5, BC 5, tan 60 BC 5, E, m D,4 m A y 5, m y z F B Kateetti FC z BC BF BF DE, m z 5,, Sipin ja Tipin etäisyys 5, 44 y + z y,85, z 5,, 5,44,85 + ( 5,, ) 5,44, , 7, 9 + 0, 4 5, , > 0 7, Vastaus: Lintujen etäisyys on 7, m. 05

50 Harjoituskoe. Pinta-ala A 5 ha m ja tien pituus a 5,8 km m, joten moottoritien alle jäävä alue on suorakulmion muotoinen. A ah h : h 98 Vastaus: Moottoritien leveys on 98 m.. Kolmion piiri 5 cm Kulman puolittajan vastainen sivu cm + 4 cm 7 cm Sivun y pituus y Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Sivu (cm) Kolmion kolmas sivu y 8 cm cm 6 cm y cm 4 cm Vastaus: Kolmion sivut ovat 7 cm, cm ja 6 cm.. Lasketaan ensin ulos tulevan jäälieriön tilavuus. Kasvanut tilavuus,08,5 l,6 l Ulos tulevan osan tilavuus,6 l,6 l 0,0 l 0 cm Lieriön korkeus h d,0 cm Lieriön pohjan ala A π π π cm Tulpan korkeus h (cm) V Ah A π cm, V 0 cm 0 π h : π 0 h 6, 4 π Vastaus: Tulppa työntyy 6,4 cm. 4. Lieriön korkeus 45 cm. Pohjan säde π r 60 :π 0 r π 06

51 Lieriön tilavuus V πr h π cm 45 cm cm 89 cm π π Toisen lieriön korkeus 60 cm. Pohjan säde π r 45 :π 45 r π Lieriön tilavuus V πr h π cm π 60 cm π cm cm V 4 Tilavuuksien suhde π. V 0 75 π Vastaus: Tilavuuksien suhde 4 :.. 5. Suorakulmion piiri on 8. 8 Pystysuora sivu y 9 Sivu + (9 ) ( 5) ( 8) 4 6 ± Sivu y y 9 6 y 9 6 Suorakulmion ala A 6 8 Vastaus: Suorakulmion ala on 8. y 6. Kulman A puolikas α 55 : 7,5 Sivu (cm) Kosinilauseella,7 + 6,00,7 6,00 cos 7,5, A 7,5 D y δ,7 cm α 7,5 C 6,0 cm β B

52 Sinilauseella,845...,7 sin 7,5 sin β,7sin7,5 sin β, kyseessä on terävä kulma β 9, Kolmion ABD kolmas kulma δ 80 9, ,9... Sivu y y,7 sin 7, 5 sin05, 9...,7sin 7,5 y sin05,9... y, Kolmion ala Vastaus: 5,0 cm A 6,00 (, ,96...)sin9, ,0 7. Onton osan tilavuus on puolet koko pallon tilavuudesta, joten V Vp π πr : π r r Lisäksi seinämän paksuus on,0 cm, joten r. Täten r r ) r r r : r r 9,7 R F C Vastaus: Pallon säde on 9,7 cm. 08 R D A R R B E

53 8. Kolmiot ABC ja ABD ovat yhdenmuotoiset (kk). R R R R R R FD R Sivuamissuhde DE R + R+ R Vastaus: Taso jakaa halkaisijan suhteessa :. HARJOITUSKOE. a) α 80 ( ) 7 b) Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan verranto α 0 5 Vastaus: a) 7 b) 4. Ala A muodostuu neliöstä, josta on leikattu 5π A π säteinen neljännesympyrä. A varj 5,0 8A 5π 5π Vastaus: 5 π 5 4. a) Alojen suhde on mittakaavan neliö 0 6 A A, 7 (m ) 6 09

54 b) Paino on suoraan verrannollinen tilavuuteen ja tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. m m 0,049 kg 49 g 7 Vastaus: a),7 m 4., 0 sin8,, 0 6,9 sin8, b) 49 g (m) Vastaus: 6,9 m 5. Tilavuus ( )( ) ( ) ± 05 < 0 ei käy Pinta-ala ( ) 98 Vastaus: 4 ja ala on Oletetaan, että silmät ovat,6 m korkeudella. 670 cosα 670, 006 α 0, , b π 670 5km 60 Vastaus: noin 5 km 0

55 7. Sivutahkokolmion korkeus a a a 55 Pyramidin korkeus h h + 0 a h ± 45 h 0, , V (m ) 0,65... tanα 0 α 64 Vastaus: 700 m, Halkileikkauskuvioon muodostuu pienempi tasasivuinen kolmio, jonka sivun pituus on 0. Yhdenmuotoisuussuhde on :, joten alkuperäisen ympyräkartion pohjan säde on 0. Kartion poikkileikkauskuvio on tasasivuinen kolmio, jonka sivu on 40. Kartion korkeus π Kartion tilavuus V π Vastaus: 8000π cm 4500 cm 0

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

1 Kertausta geometriasta

1 Kertausta geometriasta 1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 AVARUUSGEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. Muovinappulan tilavuus on V = 1 cm cm 4 cm = 8 cm 3 = 8000 mm 3. Tulostus kestää 3 8000 mm 3 800 s 10 mm / s =. Muutetaan aika minuuteiksi ja sekunneiksi. 800 s 13,333...

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

MAA03.3 Geometria Annu

MAA03.3 Geometria Annu 1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Geometria MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita.... painos 006 Tekijät

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 ) Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h

Lisätiedot

Avaruusgeometrian perusteita

Avaruusgeometrian perusteita Avaruusgeometrian perusteita Määritelmä: Kolmiulotteisen avaruuden taso on sellainen pinta, joka sisältää kokonaan jokaisen sellaisen suoran, jonka kanssa sillä on kaksi yhteistä pistettä. Ts. taso on

Lisätiedot

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12. Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Tekijä MAA3 Geometria

Tekijä MAA3 Geometria Tekijä MAA3 Geometria 29.9.2016 240 Kuva voidaan piirtää esimerkiksi GeoGebran 3D-piirtoalueessa. Piirtäminen voidaan esimerkiksi aloittaa piirtämällä suorakulmio pohjaksi ja syöttämällä sen jälkeen kartion

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 YMPYRÄ POHDITTAVAA 1. Piin likiarvo yhden desimaalin tarkkuudella on 3,1. Lasketaan piin likiarvoja vaihe vaiheelta, kunnes saavutetaan haluttu tarkkuus. 1 π = 4 = 4 1 1 1 π = 4 =,66... 1 3 1 1 1 π =

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät 6. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala. ( T ) 1. Täytä taulukko m 12 1,45 0,805 2. Täytä taulukko mm 12345 4321 765 23,5 7. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala.( T )

Lisätiedot

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI 1 SISÄLTÖ HUOLTOMATEMATIIKKA, MATERIAALI 1) Murtoluvut ) Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 3) Tasokuvioiden pinta-alat ja piirit 4) Kappaleiden tilavuudet 5) Suorakulmainen kolmio ja Pythagoran lause 6) Suorakulmaisen

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

a b c d

a b c d .. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 1 Monikulmiot Ennakkotehtävät 1. a) Taitetaan paperi kuvan mukaisesti lyhyempi sivu pidemmän sivun suuntaisesti. Kulma 45 on puolet suorasta kulmasta. 45 b) Kulma muodostuu a-kohdan taitoksen mukaan. 135

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne

YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne YMPYRÄ Ympyrä opetus.tv:ssä Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne KAPPALEEN TERMEJÄ 1. Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot