MAA 9. HARJOITUSTEHTÄVIÄ

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MAA 9. HARJOITUSTEHTÄVIÄ"

Transkriptio

1 MAA 9. HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Surakulmaisessa klmissa n 7. kulma ja tämän vastainen kateetti n 5 mm. Laske hyptenuusa ja viereinen kateetti.. Surakulmaisessa klmissa n 74 kulma ja tämän viereinen kateetti n 1 m. Laske puuttuvien sivujen pituudet.. Surakulmaisen klmin hyptenuusa n 16 ja kateetti 14,4. Laske terävien kulmien asteluvut. 4. Pulisuunnikkaan mutisen tntin kantasivut vat 8 m ja 49 m. Mainitussa pulisuunnikkaassa n kaksi suraa kulmaa ja yksi 66 kulma. Mikä n tntin pinta-ala ja tntin hinta, kun neliömetri maata maksaa 1. Kuvi n ehdttmasti piirrettävä! 5. *Tasakylkisen klmin kanta n 6 ja kylki 4. Laske klmin ympäri piirretyn ympyrän säde. 6. Tasakylkisen klmin kanta n 5 ja krkeus 6. Laske klmin sisään piirretyn ympyrän säde. 7. Tähystäjä seis laivan keulassa 11 m krkeudella merenpinnasta. Kun laiva n khdassa A, majakan val näkyy 11 kulmassa vaakatasn nähden. Neljä minuuttia myöhemmin khdassa B val näkyy 6 kulmassa. Mikä li laivan vauhti, kun tiedetään, että majakan val n 88 m krkeudella meren pinnasta ja majakka n pisteiden A ja B kanssa samalla suralla. 8. Muunna radiaaneiksi a 7 b 1 c 5 d 9. Ympyrän säde n 7 ja kulman, jnka kärkipiste sijaitsee ympyrän keskipisteessä, kyljet erttavat kehältä kaaren, jnka pituus n 1. Laske a keskuskulman suuruus radiaaneissa ja muunna se asteiksi, b sektrin ala c kaarta vastaavan jänteen pituus 1(9

2 1. Kuinka suuri n ympyrän säde, js siinä rad suuruista keskuskulmaa 18 vastaavan kaaren pituus n täsmälleen yhden kilmetrin. (Likiarv n vähän yli 5 km, mutta anna tarkka arv myös. 11. Kuinka kaukaa katsttuna maapall näkyy yhden radiaanin suuruisessa kulmassa, kun Maan säde n nin 67 km. Ilmita kyseinen etäisyys Maan pinnasta mitaten. 1. Piirrä neliö ja jaa se lävistäjällä kahteen yhteneväiseen surakulmaiseen klmin. Piirrä myös tasasivuinen klmi ja jaa se krkeusjanalla kahteen keskenään yhteneväiseen surakulmaiseen klmin. Täydennä näin syntyneiden klmiiden sivujen suuruussuhteita hyväksi käyttäen seuraava taulukk: Kulma sin cs tan Surakulmaisen klmin mutisen tasapaksun teräslevyn kateetit vat 16 cm ja cm. Levy leikataan kahteen saan suuremman terävän kulman kärjestä lähtevää kulmanpulittajaa pitkin. Kuinka mnta % a pienemmän levyn ala n suuremman alasta? b suuremman levyn ala n pienemmän levyn alaa suurempi? 14. Käyttäen hyväksi tehtävän 1 tulsta (jka tivttavasti li ainakin asteissa mitatuille kulmille tuttu sekä funktiiden sin ja cs jaksllisuutta, määritä a sin b cs c cs Määrää sin, cs ja tan, kun kulman kehäpisteen krdinaatit vat 1 (,. Aseta tämä piste yksikköympyrän kehälle ja ilmita, mikä n 5 5 sen kulman asteluku, jta se vastaa. (9

3 16. Laadi yksikköympyrään cs :n ja tan :n merkkikaavi. 17. Määritä laskinta käyttämättä palautuskaavjen ja tehtävän 1 njalla sekä sin että cs, kun = a15 b 6 c d e f g Määritä laskimella kulmalle β kaksidesimaalinen likiarv, kun 9 < β < 18 ja a sin β = Kulman γ kehäpiste sijaitsee krdinaatistn IV neljänneksessä. Määritä sin γ (tarkat arvt!!!, kun tiedetään, että cs γ = 9.. Yksikköympyrään sijitetaan svitulla tavalla a b 159 c 4 d asteen kulma. Määritä laskimella kunkin kehäpisteen krdinaattien likiarvt kahden desimaalin tarkkuudella. 1. Kulmasta α tiedetään seuraavaa: 1 < α < 6 csα = 1 sinα = radiaaneissa.. Määritä α sekä asteissa että. Pisteiden A ja B välisen etäisyyden tiedetään levan m. Laskettava pisteen C etäisyys sekä A:sta että B:stä, kun tiedetään, että kulma CAB = 9,5 ja kulma ABC = 81,5 O.. Kitaristi Jhn Ruhn n llut hunilla teillä. Hänen aamuyöllä ktiin palatessaan hänelle n järjestetty väijytys. Ovela Jhn kiertää sen heisen kuvan mukaan. Paljnk hänen kulkemansa matka pitenee? Ilman väijytystä hän lisi vinut kulkea suraviivaisesti. 155 väijytys 158 m 1 4. *Piirrä harppia, viivitinta, ehkäpä astelevyäkin käyttäen klmi, jnka kaksi sivua vat 6, cm ja 5,1 cm ja jälkimmäisen sivun vastainen kulma 7,8. Laske klmin muut kulmat ja tuntemattman sivun pituus. (9

4 6 5. Määritä funktin f: f( = suurin ja pienin arv. Missä pisteissä cs 5 kumpikin näistä saavutetaan. Mikä n funktin f määritysjukk D f ja arv-jukk V f? Hahmttele kuvaaja näiden avulla pääpiirtein. 6. Piirrä samaan krdinaatistn funktiiden y = sin ja y = sin kuvaajat laskemalla taulukkn kummankin funktin arvja nin 1 välein esimerkiksi väliltä [, ] taikka käyttämällä graafista laskinta tahi tietknetta. 7. Osita ikeaksi integraalilaskennassa aika keskeinen kaava tan =. cs 8. Ratkaise yhtälöt a sin = b cs = ½ c tan = 1 ja merkitse kaikissa ratkaisun antavien kulmien kehäpisteet yksikköympyrään näkyviin. 9. Ratkaise yhtälöt a sin = 1 b cs = 1 1 c =. Kaikissa yksikköympyrä näkyvissä. Myös seuraavissa tan yhtälöissä!!!. Ratkaise yhtälöt a sin + sin + ½ = b sin + sin = Ratkaise yhtälö sin( = sin4. ( = + n = n, muunkinlainen vastausesitysmut saattaa lla täsmälleen ikein. Ratkaise yhtälö cs = cs4.. *Ratkaise yhtälö cs cs + 4 = 8cs ( ± + n 4(9

5 4. Ratkaise yhtälö cs sin cs = n 5. Ratkaise yhtälö sin( cs = ( = 5 6. Ratkaise yhtälö tan( = 1 ( = + n Ratkaise yhtälö sin = cs ( = + n 8. Määritä a cs75 bcs15 yhteen- ja vähennyslaskukaavjen avulla. (Tinen n Osita, että kaikilla reaaliluvuilla a cs( = cs bcs( + = cs sijittamalla ihan kylmästi ksinin vähennys- ja yhteenlaskukaavaan. 4. Mihin binmiin n svellettu sinin yhteenlaskukaavaa, kun n saatu lauseke 1 cs + sin?? 41. a Kehitä cs (cs :n plynmiksi ja a sin (sin :n plynmiksi sveltamalla yhteenlaskukaavja ja hksaamalla, että = Ratkaise yhtälö sin = sin. 4. Sveltamalla kaksinkertaisen ksinin kaavja määritä ksini. Humaa, että 45 =,5.,5 kulman sini ja 44. Jhda tangentin yhteenlaskukaava lähtemällä siitä, että sin( + y tan( + y = cs( + y ja sijita sitten saamaasi lausekkeeseen = y, jllin saat kaksinkertaisen kulman tangentin. Määritä sen avulla tan,5, äläkä säikähdä, js judut ratkaisemaan tisen asteen yhtälön. Saamasi kaavat tauluksta tarkista. 5(9

6 sin( pyy 45. Määritä seuraavat raja-arvt njautumalla tulkseen lim = 1: pyy pyy sin k tan 1 cs 1 cs a lim b lim c lim d lim. 46. Jhda funktiiden y = tan ja y = ct derivaatat ttamalla humin, että sin cs tan = ja ct = ja käyttämällä samäärän derivintikaavaa, cs sin 47. Funktin y = sin kuvaajan pisteeseen (a, sin a asetetaan nrmaali, jka leikkaa y-akselin pisteessä (,b, Määritä limb, kun tiedetään, että < a < a. Muistanet käyrän y = f( pisteeseen (, f( asetetun tangentin ja nrmaalin yhtälöt: tangentti : nrmaali : y y f ( f ( = = f ( 1 f ( ( ( 48. Olkn f( = sin(sin. Määritä f ( ja f. Määritä lpuksi kaikki ne :n arvt, jilla derivaatta f ( saa arvn nlla. 49. Osita, että käyrät y = sin ja y = cs leikkaavat tisensa pisteessä = 6. Missä kulmassa ne leikkaavat? Ohje: käyrien leikkauskulma n leikkauspisteeseen asetettujen tangenttien välinen kulma. 5. Puliympyrän sisään piirretään surakulmi, jnka a pinta-ala n mahdllisimman suuri b piiri n mahdllisimman pitkä. Määritä kumpaisessakin tapauksessa surakulmin kannan ja krkeuden suhde. Ohje: Ota muuttujaksi heiseen kuvin piirretty keskuskulma. 51. Määritä seuraavien lukujnjen yleinen termi: 4 a,, 5, 6, 4... b1, 4,16, 64,... c, 9, ,,, (9

7 5. Kirjita lukujnn ( a n viisi ensimmäistä termiä, kun n n a an = ( 1 b a1 = ja an+ 1 = an + n + 1 n 5. Määritä lukujnn (a n yleinen termi, kun jnn alkupää n seuraavanlainen: a,,,... b, 1 4 5,,,,, Määritä lukujnn an = n 5n + pienin luku. Ohje: Mieti, miten tässä visi käyttää reaalifunktin f: f( = 5 + ääriarvteriaa? 55. Osita tutkimalla ertusta an+ 1 an, että lukujn an = kasvava. n 1 n aidsti n 56. Tutki vastaavan reaalifunktin derivaatan merkin avulla lukujnn an = n + n mntnisuutta, ts. millä n:n arvilla jn kasvaa (aidsti ja millä n:n arvilla se vähenee (aidsti! n Kuinka mnennesta termistä alkaen jnn an = kaikki termit n + 1 pikkeavat jnn raja-arvsta vähemmän kuin kymmenestuhannessan? 58. Määritä n n + n lim. n 5n n Määritä lim ( n + 1 n. n 6. a Määritä jnn 7, 11, 15, yleinen termi. b Määritä jnn viideskymmenes termi. 61. Aritmeettisen jnn klmas luku n 11 ja kahdeksas luku n 1. Määritä jnn viidestista ja kahdeskymmenes seitsemäs luku. 6. Kuinka mnta nelinumerista, klmellatista jallista kknaislukua n? 7(9

8 6. Aritmeettisessa jnssa n yhdeksän ensimmäisen termin summa = 6 ja ensimmäinen termi = 1. Määrää jnn neljäs termi. 64. m paperia, jnka paksuus n.5 mm, rullataan sellaiselle hylsylle, jnka säde n 1. cm. Kuinka mnta kierrsta paperia rullaan tulee ja kuinka suuri n sitten rullan ulkhalkaisija? Humaa, että peräkkäiset kierrkset paperia hylsylle käärittynä mudstavat aritmeettisen jnn. 65. Jnsta 5, 1,, 4... löytyy luku 51. Kuinka mnes jnn luku se n? 66. Gemetrisessa jnssa n a4 + a5 = ja a9 + a1 = 975. Määritä jnn alusta klme ensimmäistä termiä. 67. Alipainepumppu pistaa jkaisella männän iskulla säiliössä levasta kaasusta % ja pumpun käyntinpeus n 1 iskua minuutissa. Kuinka kauan pumppu n llut käynnissä, kun kaasusta n pistettu 99,9 %? 68. Laske summat a + lg + (lg b + lg + lg + (lg + lg (lg lg Sievennä tulkset siinä erikistapauksessa, että n = 7 ja = 1 1. n Tiina saa kuukausirahaa 1, jtka tarkkana tyttönä tallettaa % tilille jkaisen kuukauden 1. päivänä. Paljnk tilillä n rahaa vuden kuluttua? Tilille n siis suritettu 1 talletusta, jista viimeinen n kasvanut krka tasan kuukauden ja ensimmäinen tasan vuden. 7. Mikk staa 65 eurn hintaisen pientilan ja maksaa siitä kaupantektilaisuudessa Jäljellä leva kauppahinta svitaan suritettavaksi vusittain 1 erissä , jne. Kesäkuun alussa 9 Mikka khtaa ihmeellinen nni, sillä saapuu tiet, että hänen Amerikissa asunut tätinsä n kullut. Tiedn mukana saapuu ikeaksi tdistettu jäljennös testamentista, jka kert tädin testamentanneen Miklle klmanneksen maisuudestaan, jnka rahaksi muuttamisen jälkeen hän pystyy maksamaan tilan velkasuuden (5 eura kknaisuudessaan. Kuinka suuren summan Mikk myyjälle maksaa , kun krkkanta n 5,5 %? 71. Perheellä n asuntlaina, jnka krk n 7,5% ja takaisinmaksuaika 1 vutta. Laina maksetaan tasaerin kuukausittain. Laske kuukausimaksun suuruus ja se, kuinka paljn perhe jutui maksamaan krkja. n 1 8(9

9 7. Alplla li % säästötilillä erään vuden alussa 15. Oli Alpnkin Amerikan täti kullut ja antanut perintöä. Alp nsti tililtä jkaisen kuukauden alussa 1 ja eli tuhlaajapjan tavin. Paljnk tilillä li rahaa vuden viimeisenä päivänä krkjen merkitsemisen jälkeen? 7. Kesällä 7 n pienessä maaseutulukissa haettavana yksi matemaattisten aineitten ja yksi rutsin ja englannin vanhemman lehtrin virka. Opiskeluajan lppupulella tulisesti rakastuneet Markus ja Suvi vat aviituneet ja ehtineet valmistuakin keväällä 7 vidakseen hakea mainittuja virkja. Mlemmat valitaan ja saisivat asunnn sta varten 1 lainan 6,5 % krlla 1 vudeksi. Laina svittaisiin lyhennettäväksi kuukausittain annuiteettiperiaatteella, mutta nyt n nurella parilla ankara miettiminen, kuinka suuren lainan he uskaltavat ttaa. Paikkakunnalla n useitakin käyttökelpisia asuntja myytävänä, mutta Suvi kauhistelee tulevan mahdllisen velkataakan hitmahdllisuuksia, ilmaisee pelka ansisidnnaisen äitiysrahan leikkaamiseen ja kyselee varvasti Markukselta, kuinka pitkälle tämän mielestä n haikaran tula siirrettävä. Kun vanhemman lehtrin lähtöpalkka yhdellä palvelulisällä n nin 4, jsta n maksettava vera 1%, ja kun nuret laskevat, että tisen palkalla hidetaan asuntlaina, pystyvätkö he ttamaan kuvatuilla ehdilla lainaksi 1. Js lainan annuiteetti pikkeaa humattavasti tisen pulisn nettpalkasta, laske sen lainan pääma, jsta he kykenevät vielä selviytymään. 74. Lainaa (pääma = K lyhennetään kerran vudessa. Kuinka mnta % enemmän judutaan maksamaan krka (lausuttava K:n avulla, js 7 % laina tetaan 15 vudeksi kuin js se tettaisiin 1 vudeksi. Laske svellutuksena krkjen er eurissa, js lainan pääma n 1. 9(9

pienempää, joten vektoreiden välinen kulma voidaan aina rajoittaa välille o. Erikoisesti on

pienempää, joten vektoreiden välinen kulma voidaan aina rajoittaa välille o. Erikoisesti on 5 Pistetul ja sen svellutuksia Kun kahdella vektrilla, a ja b n hteinen alkupiste, niiden määräämät pulisurat jakavat tasn kahteen saan, kahteen kulmaan, jtka vat tistensa eksplementtikulmia, siis kulmia,

Lisätiedot

MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92

MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92 MAB Kertaustehtävien ratkaisut 10. a) α = 15 16 1 16 1 15 60 β = 95 58 45 600 15,669 95 58 45 95,979 60 600 b) α = 11,987 0,987 = 0,987 60 = 59, 0, = 0, 60 = 1,9 α = 11 59 1,9 = 11 59 14 β = 95,4998 0,

Lisätiedot

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä????

Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä???? MAA5 - HARJOITUKSIA 1. Olkn ABCD mielivaltainen nelikulmi. Merkitse siihen vektrit a) AB b) CA ja DB. 2. Neljäkäs eli vinneliö n suunnikkaan erikistapaus. Mitkä seuraavista väitteistä vat tsia neljäkkäässä

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Fy06 Koe 20.5.2014 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/6

Fy06 Koe 20.5.2014 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/6 Fy06 Ke 0.5.04 Kupin Lysen luki (KK) /6 6p/tehtävä.. Kaksi varattua palla rikkuu lankjen varassa lähellä tisiaan. Pallt vetävät tisiaan puleensa 0,66 N vimalla. Pienemmän palln varaus n kaksinkertainen

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE Matematiikan ke 5.6.014 Nimi: Henkilötunnus: VASTAUSOHJEET: 1. Keaika n tuntia (kl 1:00 14:00). Kkeesta saa pistua aikaisintaan kl 1:30..

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

VIRTAPIIRILASKUT II Tarkastellaan sinimuotoista vaihtojännitettä ja vaihtovirtaa;

VIRTAPIIRILASKUT II Tarkastellaan sinimuotoista vaihtojännitettä ja vaihtovirtaa; VITAPIIIASKUT II Tarkastellaan sinimutista vaihtjännitettä ja vaihtvirtaa; u sin π ft ja i sin π ft sekä vaihtvirtapiiriä, jssa n sarjaan kytkettyinä vastus, käämi ja kndensaattri (-piiri) ulkisen vastuksen

Lisätiedot

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä?

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 3.2.2012 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Tämä ruutu näkyy ainoastaan esikatselutilassa.

Tämä ruutu näkyy ainoastaan esikatselutilassa. FINLAND_Decisin_Making_March_3_4cuntry_study(1) Tämä kysely n sa neljän maan vertailututkimusta, jssa tutkitaan päätöksenteka lastensujelussa Nrjassa, Sumessa, Englannissa ja Yhdysvallissa. Samat kysymykset

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

Taulukkolaskenta ja analytiikka (A30A01000) Excel-harjoitus 9 1/8 Avoin yliopisto Huhtikuu 2016

Taulukkolaskenta ja analytiikka (A30A01000) Excel-harjoitus 9 1/8 Avoin yliopisto Huhtikuu 2016 Taulukklaskenta ja analytiikka (A30A01000) Excel-harjitus 9 1/8 Avin ylipist Huhtikuu 2016 Oppimistavitteet: - Krk- ja kannattavuuslaskelmia Excelillä, NPV- ja IRR-funktit - Datan siistiminen pistamalla

Lisätiedot

Lisää unkarilaisia matematiikan tehtäviä koululaisille

Lisää unkarilaisia matematiikan tehtäviä koululaisille Lisää unkarilaisia matematiikan tehtäviä kululaisille Käännös: Meri Kähkönen. Gemetria. Paperista leikatun klmin sivujen pituudet vat 8 cm, 0 cm ja cm. Klmi taitetaan pitkin yhden kulman läpi kulkevaa

Lisätiedot

3. Kolmiulotteisten kohteiden esitys ja mallintaminen: jatkoa

3. Kolmiulotteisten kohteiden esitys ja mallintaminen: jatkoa . Klmiultteisten khteiden esitys ja mallintaminen: jatka Mnikulmiverkkn nähden ilmeisiä etuja vat: eksakti analyyttinen esitysmut klmiultteinen mudn mukkaaminen mahdllista vähemmän muistitilaa vaativa

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Excel 2013:n käyttö kirjallisen raportin, esim. työselostuksen tekemisessä

Excel 2013:n käyttö kirjallisen raportin, esim. työselostuksen tekemisessä Excel 2013:n käyttö kirjallisen raprtin, esim. työselstuksen tekemisessä Sisällysluettel EXCEL-TAULUKKOLASKENTAOHJELMAN PERUSTEET... 2 1. PERUSASIOITA... 2 2. TEKSTIN KIRJOITTAMINEN TAULUKKOON... 3 3.

Lisätiedot

MAKSETUISTA ELÄKKEISTÄ ELÄKESELVITTELYÄ VARTEN ETK:LLE ANNETTAVAN ELÄKEMENOTIEDOSTON SEKÄ PERINTÄTIEDOSTON TÄYTTÖOHJE VUODELLE 2013

MAKSETUISTA ELÄKKEISTÄ ELÄKESELVITTELYÄ VARTEN ETK:LLE ANNETTAVAN ELÄKEMENOTIEDOSTON SEKÄ PERINTÄTIEDOSTON TÄYTTÖOHJE VUODELLE 2013 1 (25) MAKSETUISTA ELÄKKEISTÄ ELÄKESELVITTELYÄ VARTEN ETK:LLE ANNETTAVAN ELÄKEMENOTIEDOSTON SEKÄ PERINTÄTIEDOSTON TÄYTTÖOHJE VUODELLE 2013 Sisällysluettel OSA I: ELÄKEMENOTIEDOSTON TÄYTTÖOHJE... 3 YLEISTÄ...

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Yhtiöistä - 11 on varmasti ara-rajoitusten alaisia, - kaksi todennäköisesti ara-rajoitusten alaisia ja - kolme vapaata ara-arajoituksista.

Yhtiöistä - 11 on varmasti ara-rajoitusten alaisia, - kaksi todennäköisesti ara-rajoitusten alaisia ja - kolme vapaata ara-arajoituksista. 1 LUONNOS 10.6.2008 YHTEENVETOA ASUNTOTOIMINNASTA KY:n lakatessa KY:llä levien asuntjen/talyhtiöiden siirtämistä kskevia vaihtehtja vat lähinnä: - asuntjen siirtäminen KY säätiöön suraan säätiön alaisuuteen

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

KTJkii-aineistoluovutuksen tietosisältö

KTJkii-aineistoluovutuksen tietosisältö KTJkii-aineistluvutuksen tietsisältö 2008-02-12 Versi 1.05 2009-02-10 Versi 1.06 2010-02-16 Versi 1.07 2011-02-14 Versi 1.08 2012-02-13 Versi 1.09 2013-02-25 Versi 1.10 2014-02-10 Versi 1.11 Yleistä Ominaisuustietjen

Lisätiedot

Fysiikan labra Powerlandissa

Fysiikan labra Powerlandissa Fysiikan labra Pwerlandissa Bumper Cars Bumper Cars n suuri autrata jka spii niin vanhille kuin nurillekin kuljettajille. Autt vat varustetut turvavöin ja autja vi ajaa yksin tai pareittain. Lievemmät

Lisätiedot

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö 10 Suran vektrimutinen htälö J aluki tarkatellaan -tan kuuluvaa, rign kautta kulkevaa uraa, niin ura n täin määrätt, mikäli tunnetaan en uunta. Tavallieti tämä annetaan uuntakulman tangentin = kulmakertimen

Lisätiedot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot

Calculus. Lukion PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN. Trigonometriset funktiot ja lukujonot Calculus Lukio MAA9 Trigoometriset fuktiot ja lukujoot Paavo Jäppie Alpo Kupiaie Matti Räsäe Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Trigoometriset fuktiot ja lukujoot (MAA9) Pikatesti

Lisätiedot

DNA OY:N LAUSUNTO KUSTANNUSSUUNTAUTUNEEN HINNAN MÄÄRITTELYYN SOVELLETTAVASTA MENETELMÄSTÄ SUOMEN TELEVISIOLÄHETYSPALVELUIDEN MARKKINALLA

DNA OY:N LAUSUNTO KUSTANNUSSUUNTAUTUNEEN HINNAN MÄÄRITTELYYN SOVELLETTAVASTA MENETELMÄSTÄ SUOMEN TELEVISIOLÄHETYSPALVELUIDEN MARKKINALLA 1 (6) Vivi 1110/230/2013 DNA OY:N LAUSUNTO KUSTANNUSSUUNTAUTUNEEN HINNAN MÄÄRITTELYYN SOVELLETTAVASTA MENETELMÄSTÄ SUOMEN TELEVISIOLÄHETYSPALVELUIDEN MARKKINALLA [Liikesalaisuudet merkitty hakasulkein]

Lisätiedot

Ongelma 1: Mistä joihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy?

Ongelma 1: Mistä joihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy? Ongelma : Mistä jihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy? 0-0 Lasse Lensu Ongelma : Miten vidaan pelata algritmisesti? 0-0 Lasse Lensu Ongelma : Onk mahdllista pelata ptimaalisesti? 0-0 Lasse

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Kuopion kaupunki Pöytäkirja 1/2016 1 (1) Kaupunkirakennelautakunta 7 27.01.2016. 7 Asianro 201/10.00.02.01/2016

Kuopion kaupunki Pöytäkirja 1/2016 1 (1) Kaupunkirakennelautakunta 7 27.01.2016. 7 Asianro 201/10.00.02.01/2016 Kupin kaupunki Pöytäkirja 1/2016 1 (1) 7 Asianr 201/10.00.02.01/2016 Puijnlaaksn etelärinteen tnttien luvutusehdt Kiinteistöjhtaja Jari Kyllönen Maamaisuuden hallintapalvelujen tukipalvelut Tekninen lautakunta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

Valtuutettu Antero Aulakosken valtuustoaloite Fennovoiman hankkeeseen valmistautumisesta

Valtuutettu Antero Aulakosken valtuustoaloite Fennovoiman hankkeeseen valmistautumisesta Valtuutettu Anter Aulaksken valtuustalite Fennviman hankkeeseen valmistautumisesta Valtuustalite Valtuutettu Anter Aulaksken valtuustkysymys 31.8.2015/Selntek Fennviman hankkeesta ja siihen valmistautumisesta:

Lisätiedot

Ongelma 1: Mistä joihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy?

Ongelma 1: Mistä joihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy? Ongelma : Mistä jihinkin tehtäviin liittyvä epädeterminismi syntyy? 0-0 Lasse Lensu Ongelma : Miten vidaan pelata algritmisesti? 0-0 Lasse Lensu Ongelma : Onk mahdllista pelata ptimaalisesti? 0-0 Lasse

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Maahantuojat: omavalvontasuunnitelman ja sen toteutumisen tarkastuslomakkeen käyttöohje

Maahantuojat: omavalvontasuunnitelman ja sen toteutumisen tarkastuslomakkeen käyttöohje Esittelijä Nurttila Annika Sivu/sivut 1 / 6 Maahantujat: mavalvntasuunnitelman ja sen tteutumisen tarkastuslmakkeen käyttöhje Tarkastuksen tavitteena n selvittää, nk maahantujalla mavalvntasuunnitelmassaan

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

KoiraNet-jalostustietojärjestelmän asetukset ja käyttöohjeet SPK:lle

KoiraNet-jalostustietojärjestelmän asetukset ja käyttöohjeet SPK:lle 1 KiraNet-jalstustietjärjestelmän asetukset ja käyttöhjeet SPK:lle Selaimen asetusten muuttaminen rtukhtaiseksi Sumen Kennelliitn Kiranet-jalstustietjärjestelmään pääsee SKL:n internet sitteesta www.kennelliitt.fi/fi/

Lisätiedot

Flash ActionScript osa 2

Flash ActionScript osa 2 Liiketalus syksy 2012 Flash ActinScript sa 2 Scripti-kieli Skriptikieli n tarkitettu skriptien eli kmentsarjjen tekemiseen. lyhyitä hjeita, siitä kuinka svelluksen tulisi timia Skripteillä autmatisidaan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Yleistä 1. Ratkaise yhtälöt. a) n n n n n 5 b) x 3 x 1 5 5 5 5 5 5 x 1 0 x c). Suureet x ja y ovat

Lisätiedot

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4

Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4 Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

Aktia-konsernin palkka- ja palkkioselvitys

Aktia-konsernin palkka- ja palkkioselvitys Aktia-knsernin palkka- ja palkkiselvitys Tämä selvitys nudattaa hallinnintikdin (1.10.2010) susitusta 47, jnka mukaan Aktian tulee selvittää Aktia Pankki Oyj:n (Aktia) timitusjhtajalle, muulle knserninjhdlle,

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

3 Lämpölaajaneminen ja tilanyhtälöt

3 Lämpölaajaneminen ja tilanyhtälöt Läölaajaneinen ja tilanyhtälöt Läölaajeneinen POHDI J ETSI - a) Kaksisetalliläöittarissa n liitetty yhteen kaksi eri ateriaalista valistettua etalliliuskaa, jtka läölaajenevat eri tavalla Kska tinen laajenee

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

2 arvo muuttujan arvolla

2 arvo muuttujan arvolla Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran

Lisätiedot

PAKKAUSSELOSTE. Livensa 300 mikrogrammaa/24 tuntia depotlaastari Testosteroni

PAKKAUSSELOSTE. Livensa 300 mikrogrammaa/24 tuntia depotlaastari Testosteroni PAKKAUSSELOSTE Livensa 300 mikrgrammaa/24 tuntia deptlaastari Teststerni Lue tämä pakkausselste hulellisesti, ennen kuin alitat lääkkeen käyttämisen. - Säilytä tämä pakkausselste. Vit tarvita sitä myöhemmin.

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

Ominaisuus- ja toimintokuvaus Idea/Kehityspankki - sovelluksesta

Ominaisuus- ja toimintokuvaus Idea/Kehityspankki - sovelluksesta www.penspace.fi inf@penspace.fi 15.6.2015 1 Ominaisuus- ja timintkuvaus Idea/Kehityspankki - svelluksesta 1. Yleistä Kun jäljempänä puhutaan prjektista, tarkitetaan sillä mitä tahansa kehittämishjelmaa

Lisätiedot

Etelä-Savon alueen arvio kulttuurin ja luovan talouden toimintaedellytyksistä 2013: kolmas sektori Etelä-Savossa vuosina 2009-2013

Etelä-Savon alueen arvio kulttuurin ja luovan talouden toimintaedellytyksistä 2013: kolmas sektori Etelä-Savossa vuosina 2009-2013 7.2.2014 Opetus- ja kulttuuriministeriö Kirsi Kaunisharju Sähköp. kirsi.kaunisharju@minedu.fi Arvi kulttuurin ja luvan taluden timintaedellytyksistä 2013, hjeistus 7.11.2013 Etelä-Savn alueen arvi kulttuurin

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Animation-codeciakäytetäänQuickTime-tiedostossa.Pakkausstrhdeontäysin määriiellää, pakattaessa vä1ille 1-100 %' Käytettäessä

Animation-codeciakäytetäänQuickTime-tiedostossa.Pakkausstrhdeontäysin määriiellää, pakattaessa vä1ille 1-100 %' Käytettäessä bl&nalinen Animatin Animatin-cdeciakäytetäänQuickTime-tiedstssa.Pakkausstrhdentäysin määriiellää, pakattaessa vä1ille 1-100 %' Käytettäessä säädettävissä. Kuvanlaatu 100%:nkuvanlaatuaeikuvanlaatuheikkene;menetelmänlsslesselihäviötön.

Lisätiedot

OPISKELIJOI- DEN TULOSTAMI- SESTA

OPISKELIJOI- DEN TULOSTAMI- SESTA OPISKELIJOI- DEN TULOSTAMI- SESTA Mika Siisknen Tiethallint tulstus_piskelijat.dcx 1 / 4 Sisällys 1. Yleistä tulstamisesta... 2 2. Vanha tulstusjärjestelmä (lasertulstimet ym.)... 3 3. Uusi tulstusjärjestelmä

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

SPL TAMPEREEN PIIRI: SEURATUTOROINTI

SPL TAMPEREEN PIIRI: SEURATUTOROINTI SPL TAMPEREEN PIIRI: SEURATUTOROINTI Tampellan esplanadi 6, 33100 Tampere, puh. 010 841 1880, fax 010 841 1888, www.pallliitt.fi/tampere Jaettu vastuu auttaa yhteisöä kehittymään Ihmisyhteisöt rakentuvat

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

HENKKARIKLUBI. Mepco HRM uudet ominaisuudet vinkkejä eri osa-alueisiin 1 (16) 28.5.2015. Lomakkeen kansiorakenne

HENKKARIKLUBI. Mepco HRM uudet ominaisuudet vinkkejä eri osa-alueisiin 1 (16) 28.5.2015. Lomakkeen kansiorakenne 1 (16) Mepc HRM uudet minaisuudet vinkkejä eri sa-alueisiin Khta: Kuvaus: Lmakkeen kansirakenne Lmakkeen kansirakenne Lmakkeet vidaan kategrisida tiettyyn lmakekategriaan. Tämä helpttaa käyttäjiä hakemaan

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

Automaatiojärjestelmät 18.3.2010 Timo Heikkinen

Automaatiojärjestelmät 18.3.2010 Timo Heikkinen Autmaatijärjestelmät 18.3.2010 Tim Heikkinen AUT8SN Malliratkaisu 1 Kerr muutamalla lauseella termin tarkittamasta asiasta! (2 p / khta, yhteensä 6 p) 1.1 Hajautus (mitä tarkittaa, edut, haitat) Hajautuksella

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

NAKKILAN LUKION OPPIKIRJALISTA LV. 2015-16

NAKKILAN LUKION OPPIKIRJALISTA LV. 2015-16 NAKKILAN LUKIO 22.5.2014 1 (4) Printie 13 29250 NAKKILA NAKKILAN LUKION OPPIKIRJALISTA LV. 2015-16 Oppiaine Oppikirja Kurssi Kustantaja ISBN ÄIDINKIELI Särmä Sumen kieli ja kirjallisuus P Otava 978-951-1-23436-4

Lisätiedot

LUUNTIHEYSMITTAUS. www.pkssk.fi

LUUNTIHEYSMITTAUS. www.pkssk.fi 1 (5) LUUNTIHEYSMITTAUS Hakusanat/synnyymit: fysilgia, steprsi, luukat, DEXA, DXA, luuntiheys, murtuma, lnkkamurtuma, T-scre, Z-scre, murtumariski, seulnta, D-vitamiini. 1. YLEISTÄ Osteprsi eli luukat

Lisätiedot

MUTKAPOLUN PÄIVÄKODIN ESIOPETUKSEN TOIMINTASUUNNITELMA 12.8.2013 31.5.2014. Auringonpilkkujen ryhmä. Päivänsäteiden ryhmä

MUTKAPOLUN PÄIVÄKODIN ESIOPETUKSEN TOIMINTASUUNNITELMA 12.8.2013 31.5.2014. Auringonpilkkujen ryhmä. Päivänsäteiden ryhmä MUTKAPOLUN PÄIVÄKODIN ESIOPETUKSEN TOIMINTASUUNNITELMA 12.8.2013 31.5.2014 Auringnpilkkujen ryhmä Päivänsäteiden ryhmä 1. YKSIKKÖ Mutkaplun päiväkti n Rajamäen uusin ja suurin 5-ryhmäinen päiväkti, jka

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot