Olkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon X määritelty relaatio, jonka laki on. yr 1 x xry.

Transkriptio

1 Olkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon X määritelty relaatio, jonka laki on yr 1 x xry. Siis R 1 = { (y, x) Y X (x, y) R }.

2 Olkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon X määritelty relaatio, jonka laki on yr 1 x xry. Siis R 1 = { (y, x) Y X (x, y) R }. Esimerkki. Olkoon R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 1)}. Sen käänteisrelaatio on R 1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1)}.

3 Käänteisrelaation R 1 nuolikuvio on muuten sama kuin relaation R, paitsi että nuolten kulkusuunnat vaihtuvat. Jos lähtöjoukko halutaan vasemmalle puolelle, niin nuolikuvio on piirrettävä uudestaan vaihtamalla joukkojen paikkaa.

4 Käänteisrelaation R 1 nuolikuvio on muuten sama kuin relaation R, paitsi että nuolten kulkusuunnat vaihtuvat. Jos lähtöjoukko halutaan vasemmalle puolelle, niin nuolikuvio on piirrettävä uudestaan vaihtamalla joukkojen paikkaa. Esimerkki käänteisrelaation nuolikuviosta, digraafista (eli polkukuviosta) ja matriisista Taululla.

5 Esimerkki. Olkoon X kaikkien TaY:ssa opiskelleiden ihmisten joukko ja Y kaikkien TaY:ssa opettajana toimineiden joukko.

6 Esimerkki. Olkoon X kaikkien TaY:ssa opiskelleiden ihmisten joukko ja Y kaikkien TaY:ssa opettajana toimineiden joukko. Määritellääan relaatio R X Y säännöllä: xry x on (ollut) y:n oppilas.

7 Esimerkki. Olkoon X kaikkien TaY:ssa opiskelleiden ihmisten joukko ja Y kaikkien TaY:ssa opettajana toimineiden joukko. Määritellääan relaatio R X Y säännöllä: xry x on (ollut) y:n oppilas. Tällöin sen käänteisrelaation sääntö on yr 1 x y on x:n opettaja.

8 Esimerkki. Olkoon X kaikkien TaY:ssa opiskelleiden ihmisten joukko ja Y kaikkien TaY:ssa opettajana toimineiden joukko. Määritellääan relaatio R X Y säännöllä: xry x on (ollut) y:n oppilas. Tällöin sen käänteisrelaation sääntö on yr 1 x y on x:n opettaja. Kirjoittamalla x:n paikalle y:n ja y:n paikalle x:n saamme sen muotoon xr 1 y x on y:n opettaja.

9 Olkoon R X Y ja olkoon S Y Z. Siis relaation R maalijoukko on sama kuin relaation S lähtöjoukko. Näiden relaatioiden yhdistetty relaatio R S on joukosta X joukkoon Z määritelty relaatio, jonka sääntö on

10 Olkoon R X Y ja olkoon S Y Z. Siis relaation R maalijoukko on sama kuin relaation S lähtöjoukko. Näiden relaatioiden yhdistetty relaatio R S on joukosta X joukkoon Z määritelty relaatio, jonka sääntö on x(r S)z y Y : xry ysz.

11 Olkoon R X Y ja olkoon S Y Z. Siis relaation R maalijoukko on sama kuin relaation S lähtöjoukko. Näiden relaatioiden yhdistetty relaatio R S on joukosta X joukkoon Z määritelty relaatio, jonka sääntö on Toisin sanoen x(r S)z y Y : xry ysz. R S = { (x, z) X Z y Y : (x, y) R (y, z) S }.

12 Olkoon R X Y ja olkoon S Y Z. Siis relaation R maalijoukko on sama kuin relaation S lähtöjoukko. Näiden relaatioiden yhdistetty relaatio R S on joukosta X joukkoon Z määritelty relaatio, jonka sääntö on Toisin sanoen x(r S)z y Y : xry ysz. R S = { (x, z) X Z y Y : (x, y) R (y, z) S }. Alkiot x X ja z Z ovat siis keskenään relaatiossa R S joss nuolikuviossa päästään x:stä nuolia pitkin z:aan.

13 Jos R on joukon X relaatio, voidaan muodostaa yhdistetty relaatio R 2 = R R. Siis xr 2 y pätee joss relaation R polkukuviossa x:stä päästään y:hyn kahden nuolen pituisella reitillä.

14 Jos R on joukon X relaatio, voidaan muodostaa yhdistetty relaatio R 2 = R R. Siis xr 2 y pätee joss relaation R polkukuviossa x:stä päästään y:hyn kahden nuolen pituisella reitillä. Vastaavasti merkitsemme R 3 = (R R) R, jne.

15 Jos R on joukon X relaatio, voidaan muodostaa yhdistetty relaatio R 2 = R R. Siis xr 2 y pätee joss relaation R polkukuviossa x:stä päästään y:hyn kahden nuolen pituisella reitillä. Vastaavasti merkitsemme R 3 = (R R) R, jne. Esimerkki. Olkoon R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1)} ja S = {(1, 2), (2, 1), (3, 3))}. Mikä on R S, S R, R 2, S 2, S 3, S 4,...? Taululla.

16 Yleistämme nyt relaatioiden yhdistämisen määritelmän luopumalla R:n maalijoukon ja S:n lähtöjoukon samuudesta.

17 Yleistämme nyt relaatioiden yhdistämisen määritelmän luopumalla R:n maalijoukon ja S:n lähtöjoukon samuudesta. Olkoon R X Y ja olkoon S U Z. Menettelemme kuten edellä, mutta meidän on vaadittava, että y Y U. Saamme relaatiolle R S säännön

18 Yleistämme nyt relaatioiden yhdistämisen määritelmän luopumalla R:n maalijoukon ja S:n lähtöjoukon samuudesta. Olkoon R X Y ja olkoon S U Z. Menettelemme kuten edellä, mutta meidän on vaadittava, että y Y U. Saamme relaatiolle R S säännön x(r S)z y Y U : xry ysz

19 Yleistämme nyt relaatioiden yhdistämisen määritelmän luopumalla R:n maalijoukon ja S:n lähtöjoukon samuudesta. Olkoon R X Y ja olkoon S U Z. Menettelemme kuten edellä, mutta meidän on vaadittava, että y Y U. Saamme relaatiolle R S säännön x(r S)z y Y U : xry ysz eli R S = { (x, z) X Z y Y U : (x, y) R (y, z) S }.

20 Relaatioille voidaan suorittaa joukko-opin laskutoimituksia. Käänteisrelaatio Esimerkki. Jos R X Y ja S X Y ovat relaatioita, niin niiden yhdiste R S on myös relaatio joukosta X joukkoon Y.

21 Relaatioille voidaan suorittaa joukko-opin laskutoimituksia. Käänteisrelaatio Esimerkki. Jos R X Y ja S X Y ovat relaatioita, niin niiden yhdiste R S on myös relaatio joukosta X joukkoon Y. Relaation R S sääntö on x(r S)y (xry xsy).

22 Relaatioille voidaan suorittaa joukko-opin laskutoimituksia. Käänteisrelaatio Esimerkki. Jos R X Y ja S X Y ovat relaatioita, niin niiden yhdiste R S on myös relaatio joukosta X joukkoon Y. Relaation R S sääntö on x(r S)y (xry xsy). Vastaavasti myös R S ja R \ S ovat relaatioita, ja niiden säännöt ovat x(r S)y (xry xsy) x(r \ S)y (xry x Sy)

23 yhdistäminen ei yleisessä tapauksessa ole vaihdannaista, sillä jos R X Y ja S Y Z, missä X Z =, niin S R =, kun taas R S on yleensä epätyhjä.

24 yhdistäminen ei yleisessä tapauksessa ole vaihdannaista, sillä jos R X Y ja S Y Z, missä X Z =, niin S R =, kun taas R S on yleensä epätyhjä. Seuraava esimerkki osoittaa, että vaihdantalaki ei päde vaikka tarkastellaan vain yhdessä joukossa X määriteltyjä relaatioita.

25 yhdistäminen ei yleisessä tapauksessa ole vaihdannaista, sillä jos R X Y ja S Y Z, missä X Z =, niin S R =, kun taas R S on yleensä epätyhjä. Seuraava esimerkki osoittaa, että vaihdantalaki ei päde vaikka tarkastellaan vain yhdessä joukossa X määriteltyjä relaatioita. Esimerkki. Olkoot X = {a, b}, R = {(a, a), (a, b)} ja S = {(b, a)}. Tällöin R S = {(a, a)}, mutta S R = {(b, a), (b, b)}.

26 yhdistäminen ei siis noudata vaihdantalakia, mutta se noudattaa kuitenkin liitäntälakia.

27 yhdistäminen ei siis noudata vaihdantalakia, mutta se noudattaa kuitenkin liitäntälakia. Lause 3. Olkoot R X Y, S Y Z ja T Z U relaatioita. Tälllöin R (S T ) = (R S) T.

28 yhdistäminen ei siis noudata vaihdantalakia, mutta se noudattaa kuitenkin liitäntälakia. Lause 3. Olkoot R X Y, S Y Z ja T Z U relaatioita. Tälllöin R (S T ) = (R S) T. Todistus. Taululla. Liitäntälain perusteella voimme jättää sulut pois ja siis kirjoittaa R S T. Vastaavasti voimme menetellä, kun yhdistettäviä relaatioita on useampia.

29 Jos R on joukossa X määritelty relaatio, niin merkitsemme R n = R R (n kpl).

30 Jos R on joukossa X määritelty relaatio, niin merkitsemme R n = R R (n kpl). Tälllöin xr n y, jos ja vain jos relaation R polkukuviossa alkiosta x päästään alkioon y reitillä, jossa on n nuolta.

31 Jos R on joukossa X määritelty relaatio, niin merkitsemme R n = R R (n kpl). Tälllöin xr n y, jos ja vain jos relaation R polkukuviossa alkiosta x päästään alkioon y reitillä, jossa on n nuolta. Lisäksi on luonnollista määritellä R 0 = I X (joukon X identtinen relaatio) ja R n = (R 1 ) n.

32 Jos R on joukossa X määritelty relaatio, niin merkitsemme R n = R R (n kpl). Tälllöin xr n y, jos ja vain jos relaation R polkukuviossa alkiosta x päästään alkioon y reitillä, jossa on n nuolta. Lisäksi on luonnollista määritellä R 0 = I X (joukon X identtinen relaatio) ja R n = (R 1 ) n. Huom. Relaation potenssimerkintä on valitettavasti ristiriidassa karteesisen tulon potenssimerkinnän kanssa. Jos siitä aiheutuu väärinkäsityksen vaara, niin relaation R n-kertaista karteesista potenssia voidaan merkitä vaikkapa R (n).

33 Lause 4. Olkoot R ja S joukossa X määriteltyjä relaatioita. Tällöin (1) (R 1 ) 1 = R, (2) R S R 1 S 1, (3) (R S) 1 = R 1 S 1, (4) (R S) 1 = R 1 S 1, (5) (R S) 1 = S 1 R 1. Todistus. (osittain) Taululla.