Kuvien ehostus taajuustasossa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kuvien ehostus taajuustasossa"

Transkriptio

1 Luku 4 Kuvien ehostus taajuustasossa Ranskalainen matemaatikko Jean Babtiste Joseph Fourier esitti 1807, että mikä tahansa jaksollinen funktio voidaan esittää eritaajuisten sinien ja kosinien painotettuna summana. Tämä summa tunnetaan nykyisin Fourier-sarjana. Fourier n keksintö oli niin vallinneet ajattelutavat mullistava, että vasta yli vuosisata myöhemmin se hyväksyttiin maailmanlaajuisesti matemaatikoiden keskuudessa. Kuvassa 4.1 on yksiulotteisesta tapauksesta esimerkki, jossa on sinien ja kosinien summana saatu alimpana esitetty jaksollinen funktio. Myös sellaiset funktiot, jotka eivät ole jaksollisia, mutta joiden integraali on äärellinen, voidaan esittää painofunktiolla kerrottujen sinien ja kosinien summana. Tämä tunnetaan Fourier-muunnoksena ja sen käyttöarvo sovelluksissa on Fouriersarjoja suurempi. Fourier-sarja ja -muunnos ovat erityisen hyödyllisiä siksi,että niiden avulla aika- tai tilatason funktio voidaan esittää Fourier-tasossa eli taajuustasossa, josta voidaan palata käänteismuunnoksella takaisin funktion alkuperäiseen esitysmuotoon hävittämättä mitään informaatiota tämän prosessin aikana. Signaalinkäsittelylle erityisen tärkeää oli diskreetin Fourier-muunnoksen (DFT) toteuttavan nopean Fourier-muunnosalgoritmin (FFT) keksiminen 1950-luvulla. Kuva 4.1: Alin funktio on saatu neljän ylemmän funktion summana.

2 46 Digitaalinen kuvankäsittely I 4.1 Fourier-muunnos Jatkuvalle yhden muuttujan funktiolle f(x) Fourier-muunnos määritellään kaavalla F (u) = f(x)e j2πux dx, missä j = 1 on imaginaariyksikkö. Tästä päästään takaisin alkuperäiseen funktioon f(x) käänteisellä Fourier muunnoksella f(x) = F (u)e j2πux du. Edelliset kaksi yhtälöä muodostavat Fourier-muunnosparin jatkuvalle yksiulotteiselle tapaukselle. Näissä kaavoissa ei esiinny siniä eikä kosinia, mutta ne saadaan eksponenttifunktiosta Eulerin kaavalla e jθ =cosθ+j sin θ. Kahden muuttujan jatkuvaaikainen Fourier-muunnos saadaan kaavasta F (u, v) = ja käänteismuunnos saa tässä tapauksessa muodon f(x, y) = f(x, y)e j2π(ux+vy) dxdy F (u, v)e j2π(ux+vy) dudv. Digitaalisessa kuvankäsittelyssä jatkuvia funktioita enemmän kiinnostavat diskreetit funktiot. Diskreetille yhden muuttujan funktiolle f(x), x = 0, 1,..., M 1, Fouriermuunnos on F (u) = 1 M M 1 x=0 f(x)e j2πux/m, u =0, 1,...,M 1. Tämä ondiskreetti Fourier-muunnos (DFT) ja sen käänteisoperaatio on käänteinen diskreetti Fourier-muunnos (IDFT), jokamääritellään f(x) = M 1 u=0 F (u)e j2πux/m, x =0, 1,...,M 1. Tälle Fourier-muunnosparille ekvivalentti muoto saadaan siirtämällä kerroin 1/M muunnoksesta käänteismuunnokseen tai asettamalla kummallekin kaavalle kerroin 1/ M.Kutenf(x), niin myös F (u) on nyt siis diskreetti funktio. Kaksiulotteisessa diskreetissä tapauksessa M N kuvalle f(x, y) Fourier-muunnospari on F (u, v) = f(x, y) = 1 MN M 1 x=0 M 1 N 1 u=0 v=0 N 1 f(x, y)e j2π(ux/m+vy/n), y=0 F (u, v)e j2π(ux/m+vy/n), u = 0, 1,...,M 1, v = 0, 1,...,N 1, x = 0, 1,...,M 1, y = 0, 1,...,N 1.

3 4.1 Fourier-muunnos 47 Tässä jälleen vakiokerroin voi olla jaettu muunnosparille muullakin tavoin, kunhan vakiokertoimien tulona saadaan 1/(MN). DFT on näytteistetty versio jatkuvasta Fourier muunnoksesta, joten se ei sisällä kaikkia taajuuksia. Se sisältää kuitenkin kaikki ne taajuudet, jotka tarvitaan kuvan esittämiseksi taajuustasossa. Fourier-muunnos voidaan ajatella matemaattisena prismana, joka erottelee funktion osiinsa taajuuden mukaan samaan tapaan kuin lasiprisma erottelee näkyvän valon väreihin säteilyn taajuuden mukaan. Kaksiulotteisella diskreetillä Fouriermuunnoksella on mm. seuraavat ominaisuudet: F (u, v) =R(u, v)+ji(u, v) = F (u, v) e jφ(u,v) (kompleksisuus) F (u, v) = R 2 (u, v)+i 2 (u, v) (Fourier-spektri) [ ] φ(u, v) =tan 1 I(u,v) (vaihekulma) R(u,v) P (u, v) = F (u, v) 2 = R 2 (u, v)+i 2 (u, v) (tehospektri) F (0, 0) = 1 M 1 N 1 MN x=0 y=0 f(x, y) (kuvan keskiarvo). Jos kuva f(x, y) on reaalinen, niin voimassa ovat lisäksi seuraavat symmetriaominaisuudet: F (u, v) =F ( u, v) (konjugaattisymmetria) F (u, v) = F ( u, v) (Fourier-spektrin symmetria). Kaksiulotteisen diskreetin Fourier-muunnoksen siirto- eli translaatio-ominaisuudet ovat f(x, y)e j2π(u 0x/M+v 0 y/n) F (u u 0,v v 0 ), (4.1) f(x x 0,y y 0 ) F (u, v)e j2π(ux 0/M +vy 0 /N ), (4.2) missä kaksisuuntainen nuoli kertoo oikean puolen olevan vasemman puolen diskreetin Fourier-muunnoksen. Vastaavasti vasen puoli on oikean puolen käänteinen diskreetti Fourier-muunnos. Tavallisesti Fourier-spektrikuvat näytetään siten, että F (0, 0) on siirretty spektrikuvan keskelle, mikä voidaan toteuttaa muunnosparin (4.1) avulla käyttäen arvoja u 0 = M/2 jav 0 = N/2. Tällöin arvot M ja N rajoitetaan parillisiksi, jotta niiden puolikkaat ovat kokonaislukuja. Tässä tapauksessa josta saadaan muunnosparille muoto e j2π(u 0x/M+v 0 y/n) = e jπ(x+y) =( 1) x+y, f(x, y)( 1) x+y F (u M/2,v N/2). Kuva siis kerrotaan ennen muunnosta funktiolla ( 1) x+y, jolloin taajuustasossa F (0, 0) siirtyy kohtaan (M/2, N/2). Palattaessa tilatasoon käänteismuunnoksella kerrotaan saatu tulos samaten funktiolla ( 1) x+y oikean tuloksen saamiseksi. Tämä

4 48 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 4.2: kokoinen kuva, jossa on 10 5-suorakulmio (vas.), kuvan Fourier-spektri (kesk.) ja sama spektrikuva, kun F (0, 0) on siirretty kohtaan (M/2,N/2)(oik.). origon siirto tekee spektrikuvat havainnollisemmiksi ja helpottaa niiden analysointia ja muokkausta. Kuvassa 4.2 näkyy keskellä, miltä spektrikuva näyttää ilman origonsiirtoa. Oikealla on sama spektrikuva, mutta siinä origo on siirretty kuvan keskelle. Muunnosparista (4.2) nähdään, että siirto tilatasossa vastaa vaiheen muutosta taajuustasossa. Tällä ei ole vaikutusta Fourier-spektriin, koska e j2π(ux 0 /M +vy 0 /N ) =1. Fourier-muunnosoperaattori I[ ] ondistributiivinen yhteenlaskun suhteen I [f 1 (x, y)+f 2 (x, y)] = I [f 1 (x, y)] + I [f 2 (x, y)] ja skaalausinvariantti I [af(x, y)] = ai [f(x, y)]. Näiden ominaisuuksien avulla voidaan kirjoittaa I [af 1 (x, y)+bf 2 (x, y)] = ai [f 1 (x, y)] + bi [f 2 (x, y)] eli Fourier-muunnosoperaattori I[ ] on lineaarinen. Muunnos ei ole distributiivinen kertolaskun suhteen eli yleensä I [f 1 (x, y) f 2 (x, y)] I [f 1 (x, y)] I[f 2 (x, y)]. Kokoskaalaukselle on voimassa yhteys I [f(ax, by)] = 1/ ab F (u/a, v/b).

5 4.2 Suodatus taajuustasossa 49 Kuvan kierron (rotaation) vaikutus taajuusesitykseen on yksinkertaisinta esittää siirtymällä napakoordinaatistoon. Merkitään x = r cos θ, y = r sin θ, u = ω cos ϕ, v = ω sin ϕ, jolloin tilatasossa uudet muuttujat ovat r ja θ ja taajuustasossa ω ja ϕ. Kierretään kuvaa tilatasossa kulman θ 0 verran, jolloin f(r, θ + θ 0 ) F (ω, ϕ + θ 0 ) eli taajuustasoesitys kiertyy saman kulman θ 0 verran. Vastaavasti kierto taajuustasossa vastaa saman kulman verran kiertoa tilatasossa. Diskreetillä Fourier-muunnoksella saatava taajuustason esitys on jaksollinen (periodinen), joten F (u, v) =F (u + M,v) =F (u, v + N) =F (u + M,v + N). Erityisen tärkeää on huomata, että diskreetin Fourier-muunnoksen määritelmä tuo mukanaan jaksollisuuden myös tilatason funktiolle f(x, y). Kuva ei siis olekaan se äärellinen kaksiulotteinen M N-signaali, joka se todellisuudessa on, vaan ääretön jaksollinen kaksiulotteinen signaali, jossa jaksollisuus on kaavan f(x, y) =f(x + M,y) =f(x, y + N) =f(x + M,y + N) mukainen. Tämä siis tarkoittaa sitä, että M N-kuva on vain yksi jakso jaksollisesta kaksiulotteisesta signaalista. Oikean lopputuloksen saamiseksi on tärkeää ottaa tämä jaksollisuus huomioon tehtäessä taajuustasossa operaatioita, joiden vastineet tilatasossa käyttäisivät laskennassa M N-alueen ulkopuolisia arvoja. Jaksollisuus on otettava huomioon esim. seuraavan aliluvun taajuustason suodatuksessa. 4.2 Suodatus taajuustasossa Fourier-muunnoksen jokainen muunnostermif (u, v) koostuu kaikkien kuvan arvojen eksponenttifunktiolla painotetusta summasta. Tämä tekee mahdottomaksi suorien yhteyksien vetämisen kuvan kunkin komponentin ja taajuustason komponenttien välille. Kuitenkin on mahdollista vetää yleisluontoisia yhteyksiä kuvan tilatasonominaispiirteiden ja taajuustason taajuuskomponenttien välille. Taajuushan voidaan ajatella muutoksen nopeutena ja onkin intuitiivisesti helppoa yhdistää kuvan harmaasävytasojen muutosnopeus taajuuksiin, eli nopeat harmaasävymuutokset korkeisiin taajuuksiin ja hitaat mataliin. Hitaimman muutoksen komponentti löytyy taajuustason origosta (u = v =0).Tämähän vastasi kuvan keskiarvoa. Taajuustason origosta poispäin liikuttaessa taajuus kasvaa. Jos tarkastellaan esimerkiksi huonetta esittävän kuvan spektriä, niin matalilta taajuuksilta löytyvät hitaat harmaasävyvaihtelut huoneen tasaisilla pinnoilla.korkeammilla taajuuksilla puolestaan

6 50 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 4.3: Kuva (ylh.) ja sen Fourier-spektrikuva (alh.). näkyvät nopeat harmaasävymuutokset esim. huoneessa olevien esineiden reunat ja muut suuret muutokset harmaasävytasossa. Kuvassa 4.3 on esimerkki, josta voi hahmottaa edellisenlaisia yhteyksiä tila- ja taajuustason komponenttien välillä. Tässä kuvan erisuuntaisista reunoista tulevat spektrikomponentit on helppo erottaa toisistaan. Kannattaa huomata, että spektrikuvassa taajuuskomponentit ovat 90 asteen kulmassa kuvassa oleviin niitä vastaaviin reunoihin nähden. Taajuus- ja tilatason komponenttien välisiä yleisiä yhteyksiä voidaan käyttää hyödyksi kuvien taajuustasossa tehtävässä suodatuksessa ja sitä kautta kuvien ehostamisessa. Suotimen impulssivasteen h(x, y) kaksiulotteinen DFT on H(u, v), jota

7 4.2 Suodatus taajuustasossa 51 kutsutaan suotimen taajuusvasteeksi. Taajuustasossa suodatus tehdään seuraavasti: 1) Kerrotaan kuva f(x, y) funktiolla ( 1) x+y Fourier-muunnoksen keskittämiseksi. 2) Lasketaan kohdassa 1) saadun kuvan DFT F (u, v). 3) Kerrotaan F (u, v) taajuusvasteella H(u, v). 4) Lasketaan kohdassa 3) saadun tuloksen käänteinen DFT. 5) Otetaan kohdan 4) tuloksen reaaliosa. 6) Kerrotaan kohdan 5) tulos funktiolla ( 1) x+y. Yleensä arvotf (u, v) ovat kompleksisia. Tässä monisteessa käsiteltävien suotimien taajuusvasteet H(u, v) puolestaan tyypillisesti ovat reaalisia. Kohdassa 3) näiden kahden kertolasku suoritetaan niin, että kerrotaan alkioittain funktion F (u, v) sekä reaali- että imaginaariosa taajuusvasteella H(u, v). Tällaiset suotimet eivät muuta suodatettavan signaalin vaihetta, koska vaihekulman laskukaavassa φ(u, v) =tan 1 [ H(u, v)i(u, v) H(u, v)r(u, v) ] =tan 1 [ I(u, v) R(u, v) Kun sekäkuvaf(x, y) että taajuusvaste H(u, v) ovat reaalisia, niin kohdan 4) tuloksen pitäisi olla reaalinen. Käytännössä kuitenkin tietokoneella laskettaessa tulee pieniä pyöristyksistä johtuvia virheitä, joiden johdosta kohdan 4) tuloksen imaginaariosat yleensä eroavat nollasta. Tästä syystä suodatuksessa tarvitaan vaihe 5), jossa nämä imaginaariosat jätetään huomioimatta. Lineaariset tilatason suodatusmenetelmät voidaan tulkita kahden M N-kokoisen funktion f(x, y) jah(x, y) konvoluutiona f(x, y) h(x, y) = 1 MN M 1 N 1 m=0 n=0 ]. f(m, n)h(x m, y n) missä miinusmerkit merkitsevät funktion h peilaamista origonsa suhteen. Konvoluutioteoreema koostuu kahdesta Fourier-muunnosparista: f(x, y) h(x, y) F (u, v)h(u, v), f(x, y)h(x, y) F (u, v) H(u, v). Ylempi osa konvoluutioteoreemasta kertoo, että konvoluutio tilatasossa vastaa kertolaskua taajuustasossa, ja alempi, että kertolasku tilatasossa vastaa konvoluutiota taajuustasossa. Konvoluutiossa funktiot oletettiin M N-kokoisiksi. Tavallisesti tilatasossa suotimet ovat huomattavasti suodatettavaa kuvaa pienempiä. Jos siis halutaan suunnitella suodin taajuustasossa, mutta toteutus haluttaisiin tehdä tilatason suodatuksella, niin käänteismuunnoksella saatava M N-kokoinen tilatason suodin ei laskennalliselta kannalta ole järkevä. Käytännössä voidaan kuitenkin tehdä esimerkiksi niin, että suunnitellaan pienempi tilatason suodin käänteismuunnoksesta saadun suuremman tilatason suotimen pohjalta.

8 52 Digitaalinen kuvankäsittely I f(m) f(m) h(m) h(m) h( m) h( m) h(x m) h(x m) f(x) h(x) f(x) h(x) Kuva 4.4: Vasemmalla kahden diskreetin funktion konvoluutio ja oikealla sama konvoluutio, kun funktiot on oletettu jaksollisiksi. Konvoluution yhteydessä on tärkeää muistaa edellisessä aliluvussa esitetty diskreetin Fourier-muunnoksen tila- ja taajuustason signaalien jaksollisuus. Koska kuvat eivät todellisuudessa ole jaksollisia, voi konvoluution seurauksena kuvan reunoille tulla virheellisiä arvoja, jotka johtuvat siitä, että näiden arvojen laskennassa on ollut mukana kuvan ympärillä olevien muiden jaksojen pisteitä. Kuvassa 4.4 näkyy tämä ilmiö yksiulotteisessa tapauksessa. Vasemmalla näkyy kahden diskreetin funktion konvoluutio ja oikealla näiden samojen funktioiden konvoluutio, kun DFT:n mukanaan tuoma jaksollisuus on otettu huomioon. Ylimmillä riveillä ovat konvoloitavat funktiot ja kolmannella rivillä näistä toinen on peilattu origon suhteen. Neljännellä rivillä on esitetty yhdelle arvolle x peilatun funktion siirto tämän arvon x verran. Neljännen ja ensimmäisen rivin funktiot kerrotaan keskenään pisteissä m =0, 1,...,M 1, lasketaan tulokset yhteen ja jaetaan arvolla M. Tästä saadaan konvoluution arvo tällä muuttujan x arvolla. Sama toistetaan kaikille muuttujan x arvoille, jolloin tuloksena saadaan alarivissä esitetyt funktiot. Näistä vasemmassa näkyy oikea tulos, mutta oikealla jaksollisuus on aiheuttanut konvoluution tulokseen päällekkäistymistä.

9 4.2 Suodatus taajuustasossa 53 Jaksollisuudesta aiheutuva päällekkäistyminen voidaan estääkäyttämälläalku- peräisten funktioiden sijaan niihin nollia riittävä määrä lisäämällä (zero padding) saatuja laajennettuja funktioita. Jos funktiossa f(x) olialunperina pistettä ja funktiossa h(x) B pistettä, niin laajennetut funktiot ovat { f(x), 0 x A 1 f e (x) = 0, A x P ja h e (x) = { h(x), 0 x B 1 0, B x P, missä P A + B 1. Kuvan 4.4 funktioiden laajennetut funktiot ja niiden konvoluutio on esitetty kuvassa 4.5. Tästä voidaan nähdä, että nollien lisääminen korjasi tilanteen ja saatu tulos on oikea. Samalla tavoin nollia voidaan lisätä myös kak- f e (m) h e (m) h e ( m) h e (x m) f e (x) h e (x) Kuva 4.5: Konvoluutio laajennetuilla funktioilla.

10 54 Digitaalinen kuvankäsittely I siulotteisessa tapauksessa. Tällöin alkuperäiset funktiot ovat A B-kokoinen kuva f(x, y) jac D-kokoinen kuva h(x, y) ja niiden laajennetut kuvat ovat { f(x, y), 0 x A 1 0 y B 1 f e (x, y) = 0, A x P B y Q ja h e (x, y) = { h(x, y), 0 x C 1 0 y D 1 0, C x P D y Q, missä P A + C 1jaQ B + D 1. Kuvassa 4.6 on esimerkki laajennetusta kuvasta h e (x, y). Tässä esimerkkitapauksessa A = B = C = D ja koko P Q on pienin mahdollinen, jolloin laajennetun kuvan koko x- ja y-suuntiin on kaksinkertaistunut ja kokonaispistemäärä on nelinkertaistunut. Kuvan 4.6 vasemmassa yläkulmassa näkyy alkuperäinen kuva h(x, y), joka on alipäästösuotimen impulssivaste. Laajennettuja kuvia käyttäen saadaan suodatuksen jälkeen tulokseksi P Q-kokoinen kuva, josta otetaan lopuksi vain alkuperäisen suodatettavan kuvan kokoinen A B alue, jonka vasen yläkulma on kohdassa C/2,D/2, missä tarkoittaa alaspäin pyöristämistä. Näin saadaan oikea suodatustulos, jossa ei ole jaksollisuudesta aiheutuneita virheellisiä arvoja. Kuva 4.6: Alipäästösuotimen impulssivasteen reaaliosa laajennettuna kuvana h e (x, y).

11 4.2 Suodatus taajuustasossa 55 Jatkossa oletetaan, että taajuusesitys on keskitetty edellä esitetyn mukaisesti, jolloin siis taajuus F (0, 0) on siirretty kohtaan (M/2,N/2). Taajuustasossa suodatuksen oletetaan myös tapahtuvan laajennetuin kuvin, jolloin päällekkäistymisestä ei ole vaaraa Pehmennys taajuustason suodatuksella Pehmennyksessä halutaan vaimentaa korkeita taajuuksia. Taajuustasossa siis halutaan päästää läpi keskialueen matalat taajuudet ja vaimentaa kauempana olevat taajuudet. Tarkastellaan tässä kolmea taajuustason alipäästösuodintyyppiä: ideaalista, Butterworth-tyyppistä ja gaussista alipäästösuodinta. Ideaalinen alipäästösuodin Ideaalinen alipäästösuodin on yksinkertaisin alipäästösuodintyyppi. Siinä kaikki etäisyyttä D 0 kauempana taajuustason keskipisteestä olevat taajuuskomponentit vaimennetaan kokonaan ja muut taajuudet päästetään sellaisenaan läpi. Kaksiulotteinen ideaalinen alipäästösuodin on siis muotoa: H(u, v) = { 1, D(u, v) D 0 0, D(u, v) >D 0, missä D 0 on suotimen rajataajuus ja D(u, v) on pisteen (u, v) etäisyys taajuustason keskipisteestä. Jos suodatettava kuva f(x, y) onm N-kokoinen, niin myös kuvan DFT F (u, v) on samankokoinen ja sen keskipiste on kohdassa (M/2,N/2). Keskittämisestä johtuentässä keskipisteessä on siihen siirretty taajuustason matalin taajuus eli kuvan keskiarvo. Minkä tahansa pisteen (u, v) etäisyys keskipisteestä saadaan laskettua kaavalla D(u, v) = (u M/2) 2 +(v N/2) 2. Kuvassa 4.7 on kuvattu ideaalisen alipäästösuotimen taajuusvaste H(u, v) kolmella eri tavalla: kuvana, perspektiivikuvana ja säteittäisenä poikkileikkauksena. Tässä luvussa käsitellyt suotimet ovat ympyräsymmetrisiä taajuustason keskipisteen suhteen. Tällöin säteittäinen poikkileikkauskin riittää määrittelemään taajuusvasteen. Ideaalisuus tulee tämän suotimen nimeen siitä, että sepäästää kaikki D 0 -säteisen

12 56 Digitaalinen kuvankäsittely I H(u, v) v D 0 D(u, v) u u Kuva 4.7: Ideaalinen alipäästösuodin kuvana, perspektiivikuvana ja säteittäisenä poikkileikkauksena. v ympyrän sisällä jaympyrällä olevat taajuudet läpi vaimentamatta niitä lainkaan ja vaimentaa kaikki ympyrän ulkopuolella olevat taajuudet puolestaan täysin. Ideaalisuodin voidaan tietokoneella toteuttaa juuri sellaisena kuin se on edellä kuvattu. Elektroniikkakomponenteilla taasen ei voida toteuttaa ideaalisuotimen jyrkkää siirtymää päästökaistalta estokaistalle. Kuvassa 4.8 on esimerkki ideaalisella alipäästösuotimella suodattamisesta. Siinä alkuperäinen kokoinen testikuva on suodatettu ideaalisilla alipäästösuotimilla, joiden rajataajuudet D 0 ovat 5, 10, 15, 50 ja 80. Kuvasta nähdään, että rajataajuuden kasvaessa sumentuminen vähenee, mutta samanaikaisesti suodin vaimentaa kohinaa heikommin. Ideaalisuotimen ongelmana on rengastuminen, jokaon helppo havaita suodatetuista kuvista viimeistä lukuun ottamatta. Rengastumisen vuoksi ympäristöstään erottuvat pisteet saavat ympärilleen renkaita ja myös reunat saavat ympärilleen varjokuvia. Kuten tästä suodatusesimerkistä voi huomata, ideaalinen alipäästösuodatus ei yleensä ole sovelluksissa käyttökelpoinen rengastumisen vuoksi.

13 4.2 Suodatus taajuustasossa 57 ideaali 0.05 taajuustasossa ideaali 0.1 taajuustasossa ideaali 0.15 taajuustasossa ideaali 0.5 taajuustasossa ideaali 0.8 taajuustasossa Kuva 4.8: Ylhäältä vasemmalta riveittäin: alkuperäinen testikuva ja ideaalisella alipäästösuotimella saadut suodatustulokset, kun D 0 =5, 10, 15, 50, 80.

14 58 Digitaalinen kuvankäsittely I v H(u, v) 1 n =1 n =2 n =3 n =4 D 0 D(u, v) u u Kuva 4.9: Butterworth-alipäästösuodin kuvana, perspektiivikuvana ja säteittäisenä poikkileikkauksena neljällä eri asteluvulla n. v Butterworth-alipäästösuodin Yksi tärkeimmistä alipäästösuodintyypeistä on Butterworth-alipäästösuodin, jonka taajuusvaste asteluvulla n on muotoa H(u, v) = 1 1+(D(u, v)/d 0 ) 2n, missä D 0 on suotimen rajataajuus ja D(u, v) on pisteen (u, v) etäisyys taajuustason keskipisteestä. Rajataajuuden kohdalla, eli kun D(u, v) = D 0, taajuusvaste H(u, v) saa arvon 0.5. Kuvasta 4.9 nähdään, että suotimen asteluku määrää kuinka jyrkästi suodin käyttäytyy rajataajuuden ympäristössä. Asteluvun kasvaessa siirtymä jyrkkenee ja suotimen ominaisuudet lähestyvät ideaalisuotimen ominaisuuksia. Jos asteluku on 1, ei esiinny rengastumista. Myöskään asteluvulla 2 rengastumista ei kuvista tavallisesti huomaa, vaikka sitä pienessämäärin ilmeneekin. Tätä suuremmilla asteluvuilla rengastuminen voimistuu, mikä rajoittaa korkeampien astelukujen käyttöä sovelluksissa. Kuvassa 4.10 on suodatettu asteluvun 2 Butterworth-alipäästösuotimella sama kuva kuin ideaalisella alipäästösuotimella kuvassa 4.8 käyttäen samoja rajataajuuksia D 0.Rengastumineneitällä asteluvulla ole näkyvää ja suodatustuloksissa voidaan havaita pehmeä siirtymä sumentuneesta terävään rajataajuuden funktiona.

15 4.2 Suodatus taajuustasossa 59 Butterworth 0.05 taajuustasossa Butterworth 0.1 taajuustasossa Butterworth 0.15 taajuustasossa Kuva 4.10: Ylhäältä vasemmalta riveittäin: alkuperäinen testikuva ja asteluvun 2 Butterworth-alipäästösuotimella saadut suodatustulokset, kun D 0 = 5, 10, 15, 50, 80.

16 60 Digitaalinen kuvankäsittely I v H(u, v) 1 D 0 =10 D 0 =20 D 0 =30 D(u, v) u u Kuva 4.11: Gaussinen alipäästösuodin kuvana, perspektiivikuvana ja säteittäisenä poikkileikkauksena eri rajataajuuksilla. v Gaussinen alipäästösuodin Gaussinen alipäästösuodin saadaan kaavalla H(u, v) =e D2 (u,v)/2d 2 0, missä D 0 on jälleen suotimen rajataajuus ja D(u, v) pisteen (u, v) etäisyys taajuustason keskipisteestä. Gaussisen alipäästösuotimen erityisominaisuus on, että senimpulssivaste on myösgaussinen, mikätarkoittaasitä, ettäsuodin eivoituottaarengastumisilmiötä tilatasossa. Kuvassa 4.11 on tämän suodintyypin taajuusvaste H(u, v) kolmella eri tavalla: kuvana, perspektiivikuvana ja säteittäisenä poikkileikkauksena. Kuvassa 4.12 on suodatettu gaussisella alipäästösuotimella sama testikuva kuin muillakin alipäästösuotimilla käyttäen samoja rajataajuuksia D 0. Tulokset muistuttavat paljon Butterworth-alipäästösuotimella saatuja tuloksia, mutta gaussisella ei saavutettu aivan niin paljon pehmentymistä kuin Butterworth-alipäästösuotimella, minkä voi huomata esimerkiksi vertailemalla keskirivin kuvia. Ero on kuitenkin pieni ja gaussisella on etuna se, että sillä suodatettaessa voidaan olla varmoja, ettei kuvassa näy rengastumista. Joissakin sovelluksissa vaaditaan jyrkkä siirtymä rajataajuuden kohdalla, jolloin Butterworth-alipäästösuodin sopivalla asteluvulla on gaussista parempi valinta. Jyrkkyyden hintana tosin on myös lisääntynyt rengastuminen.

17 4.2 Suodatus taajuustasossa 61 Gauss 0.05 taajuustasossa Gauss 0.1 taajuustasossa Gauss 0.15 taajuustasossa Gauss 0.5 taajuustasossa Gauss 0.8 taajuustasossa Kuva 4.12:Ylhäältä vasemmalta riveittäin: alkuperäinen testikuva ja gaussisella alipäästösuotimella saadut suodatustulokset, kun D 0 =5, 10, 15, 50, 80.

18 62 Digitaalinen kuvankäsittely I Terävöittäminen taajuustason suodatuksella Taajuustasossa terävöittäminen voidaan tehdä ylipäästösuotimilla, jotka vaimentavat matalat taajuudet ja päästävät läpi korkeat. Tämä on juuri päinvastainen operaatio kuin alipäästösuodatuksessa ja ylipäästösuodin H hp voidaankin saada edellisen aliluvun alipäästösuotimista H lp kaavalla H hp (u, v) =1 H lp (u, v). Kuvassa 4.13 näkyvät edellisen aliluvun alipäästösuotimia vastaavien ylipäästösuotimien taajuusvasteet H(u, v) kolmella eri tavalla: perspektiivikuvana, kuvana ja säteittäisenä poikkileikkauksena. u v u v u v v v v u u u H(u, v) H(u, v) H(u, v) D(u, v) D(u, v) D(u, v) Kuva 4.13: Ideaalisen, Butterworth-tyyppisen (n = 2) ja gaussisen ylipäästösuotimen perspektiivikuvat (ylärivi), kuvat (keskirivi) ja säteittäiset poikkileikkaukset (alarivi).

19 4.2 Suodatus taajuustasossa 63 Ideaaliselle, Butterworth-tyyppiselle ja gaussiselle ylipäästösuotimelle saadaan alipäästösuotimien avulla kaavat { H(u, v) = 0, D(u, v) D 0 1, D(u, v) >D 0 H(u, v) = 1 1+(D 0 /D(u, v)) 2n D 0 H(u, v) = 1 e D2 (u,v)/2d 2 0. Kuvassa 4.14, on esitetty edellisillä kaavoilla saadut tulokset rajataajuuksilla = 5, 15, 45. Ideaalisuotimella saaduissa tuloksissa näkyy rengastuminen eri- Kuva 4.14: testikuvasta ideaalisella (ylh.), Butterworth-tyyppisellä(n =2) (kesk.) ja gaussisella (alh.) ylipäästösuotimella saadut suodatustulokset, kun D 0 = 5, 15, 45.

20 64 Digitaalinen kuvankäsittely I tyisesti keskimmäisestä kuvasta. Kahdella muulla suodintyypillä saadut tulokset ovat paremmat kuin ideaalisuotimella saadut. Pienimmällä rajataajuudella kapeiden esineiden reunat sulautuvat yhteen. Reunojen ja kohinaisten suorakulmioiden ympäristöön tulee hohdetta, vaikka näiden alueiden pitäisi vakioarvoisina näkyä mustina. Sama toistuu vähäisemmässä määrin myös toisella rajataajuudella. Korkeiden taajuuksien korostus eli high-boost-suodatus voidaan taajuustasossa toteuttaa kaavalla H hb (u, v) =A H lp (u, v) =(A 1) + H hp (u, v). Toinen korkeiden taajuuksien korostustapa on high-frequency emphasis: H hfe (u, v) =a + bh hp (u, v), missä a 0jab>a.Näissä kahdessa viimeisessä operaatiossa tuloksena on siis alkuperäisen kuvan terävämpi ja mahdollisesti vaaleampi versio, eikä vain reunat ja yksityiskohdat sisältävä ylipäästösuodatuksen tulos Homomorfinen suodatus Homomorfiseksi suodatukseksi kutsutaan suodatusta, jossa kuvan epälineaarisuus linearisoidaan, kuva käsitellään lineaarisesti ja lopuksi palataan alkuperäiseen epälineaariseen esitysmuotoon. Aliuvussa 2.3 esitettiin, miten digitaalinen kuva voidaan esittää valaistuskomponentin i(x, y) ja heijastuskomponentin r(x, y) tulona f(x, y) =i(x, y)r(x, y), missä 0<i(x, y) < ja 0 <r(x, y) < 1. Koska Fourier-muunnos ei ole distributiivinen kertolaskun suhteen, valaistuskomponentin ja heijastuskomponentin käsittely erikseen taajuustasossa ei ole mahdollista. Logaritmioperaatiolla kertolasku voidaan muuttaa yhteenlaskuksi ja näin linearisoida edellinen yhtälö muotoon ln f(x, y) =lni(x, y)+lnr(x, y). Valaistuskomponentissa tapahtuvat muutokset ovat tavallisesti hitaita, kun taas heijastuskomponentissa tapahtuvat nopeat muutokset. Taajuustasossa matalat taajuudet liittyvät tavallisesti siis valaistuskomponenttiin ja korkeat heijastuskomponenttiin. Tätä karkeaa jaottelua voidaan käyttää suodatuksen pohjana, kun halutaan vähentää valaistusvaihteluja säilyttäen heijastusvaihtelut. Tämä voidaan toteuttaa esim. high-boost-suotimella, jolla logaritmoitu kuva suodatetaan. Suodatettu kuva palautetaan logaritmoinnin käänteisoperaatiolla alkuperäiseen esitysmuotoonsa. Luonnollisen logaritmin tapauksessa käänteisoperaatio on eksponenttioperaatio. Kuvassa 4.15 on esitetty kaaviokuva homomorfisesta suodatuksesta.

21 4.3 DFT:n toteuttamisesta 65 ln DF T H(u, v) DF T 1 exp f(x, y) g(x, y) Kuva 4.15: Homomorfinen suodatus kuvan ehostuksessa. 4.3 DFT:n toteuttamisesta Kaksiulotteinen diskreetti Fourier-muunnos voidaan esittää kahden peräkkäisen yksiulotteisen Fourier-muunnoksen avulla seuraavalla tavalla F (u, v) = 1 MN = 1 M = 1 M M 1 x=0 M 1 x=0 M 1 x=0 N 1 y=0 f(x, y)e j2π(ux/m+vy/n) ( e j2πux/m 1 N N 1 y=0 F (x, v)e j2πux/m, f(x, y)e j2πvy/n ) missä F (x, v) = 1 N 1 N y=0 f(x, y)e j2πvy/n.tämä kaksiulotteisen Fourier-muunnoksen separoituvuus tarkoittaa käytännössä sitä, että kuvan jokaiselle riville tehdään yksiulotteinen Fourier-muunnos, jolloin tuloskuva on F (x, v). Tämän jälkeen kuvan F (x, v) jokaiselle sarakkeelle tehdään yksiulotteinen Fourier-muunnos. Samaan tulokseen päädytään tekemällä yksiulotteinen Fourier-muunnos ensin kuvan sarakkeille ja sen jälkeen tuloksena saadun kuvan riveille. Myös kaksiulotteinen käänteinen Fourier-muunnos voidaan samaan tapaan laskea kahtena peräkkäisenä yksiulotteisena käänteisenä Fourier-muunnoksena. Joskus on hyödyllistä pystyä laskemaan käänteinen diskreetti Fourier-muunnos saman kaavan avulla kuin diskreetti Fourier-muunnos. Jos käänteismuunnoksen kaavasta otetaan kompleksikonjugaatti ja jaetaan molemmat puolet arvolla MN, saadaan 1 MN f (x, y) = 1 MN M 1 u=0 N 1 F (u, v)e j2π(ux/m+vy/n). v=0 Tällöin siis käänteismuunnos voidaan toteuttaa muunnoksen kaavalla, kun ennen muunnosta arvosta F (u, v) otetaan kompleksikonjugaatti ja muunnoksen jälkeen saadusta tuloksesta otetaan jälleen kompleksikonjugaatti ja kerrotaan arvolla MN. Koska kuva f(x, y) on tavallisesti reaalinen, ei jälkimmäistä kompleksikonjugointia tarvitse tehdä, sillä reaaliarvoiselle kuvalle f (x, y) =f(x, y). Yksiulotteinen diskreetti Fourier-muunnos voidaan toteuttaa nopealla Fouriermuunnoksella (FFT) kompleksisuudella O(N log 2 N) aikaisemmin annettuja kaavoja käyttäen saadun toteutustavan kompleksisuuden O(N 2 ) sijaan. Edellä näytettiin, että kaksiulotteinen diskreetti Fourier-muunnos voidaan toteuttaa kahden yksiulotteisen muunnoksen avulla. Tällöin voidaan käyttää laskennassa FFT-algoritmia ja saada erityisesti suurilla kuvakoilla huomattava laskennan nopeutuminen.

22 66 Digitaalinen kuvankäsittely I

23 Luku 5 Kuvien entistäminen Kuvien entistämisessä (restoration) on tavoitteena parantaa kuvia, kuten ehostuksessakin oli tavoitteena. Entistäminen kuitenkin poikkeaa ehostuksesta eikä yleensä ole niin heuristinen tai subjektiivinen prosessi kuin ehostaminen. Entistämisessä parantaminen pyritään tekemään mallintamalla kuvan huonontanutta huononnusprosessia. Pyrkimyksenä on siis löytää huononnusprosessin käänteisprosessi, jolla huonontuneesta kuvasta saadaan alkuperäinen kuva. Entistämismenetelmät määritellään tila- tai taajuustasossa sen mukaan, missä tasossa kukin menetelmä saadaan parhaiten esitettyä. Monisteessa käsiteltävissä tapauksissa entistämisen lähtökohtana on digitaalinen kuva ja enimmäkseen kohina oletetaan additiiviseksi. Kuvassa 5.1 on esitetty huononnus/entistämisprosessille tässä luvussa käytetty malli. Huonontumisessa huononnusprosessi H huonontaa alkuperäisen kuvan f(x, y) ja tämän jälkeen kuvaan lisätään vielä additiivista kohinaa η(x, y). Tuloksena on huonontunut kuva g(x, y), joka toimii entistämisen lähtökohtana. Tämän kuvan f(x, y) H η(x, y) g(x, y) ˆf(x, y) Kuva 5.1: Malli kuvan huononnus- ja entistämisprosesseille.

24 68 Digitaalinen kuvankäsittely I lisäksi entistämisessä tiedetään jotain huononnusprosessista ja jotain kohinasta. Entistämisessä tuloksena saadaan estimaatti ˆf(x, y), joka on tavallisesti sitälähempänä alkuperäistä kuvaa, mitä enemmän huononnusprosessista ja kohinasta tiedetään. Prosessi H oletetaan lineaariseksi ja paikkainvariantiksi. Kohina η puolestaan oletetaan korreloimattomaksi ja additiiviseksi. Tällöin voidaan kirjoittaa tilatasossa g(x, y) =h(x, y) f(x, y)+η(x, y), missä h(x, y) on tilatason huononnusfunktio ja merkitsee konvoluutiota. Diskreetin Fourier-muunnoksen avulla sama voidaan esittää taajuustasossa muodossa G(u, v) =H(u, v)f (u, v)+n(u, v), missä isolla kirjaimella merkityt muuttujat saadaan tilatason vastaavista muuttujista diskreetillä Fourier-muunnoksella. Seuraavassatarkastelussaoletetaanaluksi, että H(u, v) = 1 kaikilla arvoilla u ja v. Tällöin huonontuminen siis johtuu ainoastaan kohinasta. 5.1 Kohinamalleja Kuviin syntyy kohinaa pääasiassa kuvantamisprosessin ja/tai kuvien siirron aikana. Kuvassa 5.2 on esitetty kuvankäsittelysovelluksissa tavallisesti esiintyviä kohinatyyppejä antamalla niiden tiheysfunktiot. Jäljessä on listattu näiden jakaumien tiheysfunktiot kaavamuodossa. Normaalijakauma Rayleigh n jakauma Gammajakauma Eksponentiaalijakauma Tasajakauma Impulssikohina Kuva 5.2: Kuvankäsittelyssä tärkeitä kohinan tiheysfunktioita.

25 5.1 Kohinamalleja 69 Normaalijakauma p(z) = 1 2πσ e (z µ)2 2σ 2, missä z on harmaasävyarvo, µ on harmaasävyarvojen keskiarvo ja σ on niiden keskihajonta. Rayleigh n jakauma p(z) = { 2 b (z a) 2 (z a)e b, z a 0, z < a, missä b>0. Gammajakauma p(z) = { a b z b 1 (b 1)! e az, z 0 0, z < 0, missä a>0, b on positiivinen kokonaisluku ja! tarkoittaa kertomaa. Eksponenttijakauma p(z) = { ae az, z 0 0, z < 0, missä a>0. Tasajakauma p(z) = { 1, b a a z b 0, muulloin, missä b>a. Impulssikohinan jakauma P a, z = a p(z) = P b, z = b 0, muulloin.

26 70 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 5.3: Normaali-, Rayleigh- ja eksponenttijakautunutta kohinaa sisältävät testikuvat ja niiden histogrammit. Kuvassa 5.3 on kolmesta harmaasävyltään erilaisesta palkista koostuvasta testikuvasta tehty kolme kohinaista versiota lisäämällä kuvaan normaali-, Rayleigh- ja eksponenttijakautunutta kohinaa. Kunkin kohinaisen kuvan alla on esitetty sen histogrammi, josta pystyy tunnistamaan, mitä jakaumaa kuhunkin kuvaan on lisätty kohina noudattaa. Visuaalisesti kuvat ovat melko samanlaisia ja niistä kohinan jakaumaa on hankala tunnistaa paitsi siinä tapauksessa, että kyseessä olisi impulsiivinen kohina, joka eroaa selvästi muista kohinatyypeistä. Kuvantamisessa tai kuvien siirrossa niihin saattaa muodostua jaksollista kohinaa. Se on tässä luvussa käsiteltävistä kohinatyypeistä ainoa, joka ei tilatasossa ole riippumaton. Jaksollinen kohina on helpoin havaita ja suodattaa taajuustasossa. Kuvassa 5.4 on esimerkki kuvasta, johon on lisätty jaksollista sinimuotoista häiriötä. Taajuustasossa yksittäinen sinimuotoinen häiriö näkyy impulssiparina Fourier-spektrin symmetrian vuoksi. Myöhemmin tässä luvussa esitetään, miten tällaista kohinaa voi poistaa. Jos kohinan mallia ja parametreja ei tunneta ennalta, voidaan niitä estimoida kuvista. Jaksollisen kohinan taajuuksia voidaan etsiä spektristä korkeimpiaarvoja etsimällä. Tämä toimii kuitenkin vain, jos kohina on harvinaisen voimakasta tai sen taajuudesta on jonkinlaista etukäteistietoa. Riippumattoman kohinan tapauksessa voidaan kohinaa tutkia kuvaamalla tasaista ja tasaisesti valaistua aluetta. Tämä onnistuu, jos on käytettävissäjärjestelmä,jolla kuvat on otettu.siinä tapauksessa,että on vain kuva, mutta ei mahdollisuutta ottaa lisäkuvia samalla järjestelmällä, kohi-

27 5.1 Kohinamalleja 71 Kuva 5.4: Jaksollista kohinaa sisältävä kuva (ylh.) ja kuvan Fourier-spektri (alh.). nan jakaumaa voidaan tutkia mahdollisimman tasasävyisistä kuva-alueista. Kuvassa 5.5 on otettu suuremmista kuvista pienet melko tasasävyiset osakuvat, joiden histogrammit on esitetty kuvassa. Osakuvat voivat olla muunkin muotoisia kuin tämän esimerkin neliömuoto. Osakuvalle S voidaan laskea otoskeskiarvo ja otosvarianssi: µ = z i S z i p(z i ) ja σ 2 = z i S(z i µ) 2 p(z i ), missä z i :t ovat osakuvan S pisteiden harmaasävyarvot ja p(z i ) ovat niitä vastaavat osakuvalle lasketun normalisoidun histogrammin arvot. Tämän jälkeen histogrammia voidaan sovittaa jakaumiin, joilla on edellä saatu keskiarvo ja varianssi. Näistä jakaumista valitaan parhaiten sopiva sovelluksen kohinamalliksi.

28 72 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 5.5: Histogrammit pienistä melko tasaisista kuva-alueista, joilla on normaali-, tasa- ja gammajakautunutta kohinaa. 5.2 Entistäminen tilatasossa Jos kuvan huonontuminen johtuu ainoastaan kohinasta, niin huonontunut kuva saadaan tilatasossa kaavasta ja taajuustasossa kaavasta g(x, y) =f(x, y)+η(x, y) G(u, v) =F (u, v)+n(u, v). Näissä kohinatermit ovat tuntemattomia, joten kohinatermin vähentäminen vastaavasta funktiosta g(x, y) tai G(u, v) ei ole realistinen vaihtoehto. Siinä tapauksessa, että kohina olisi jaksollista, vähentäminen taajuustasossa voi olla mahdollista, mutta tässä aliluvussa kohinaa ei oleta jaksolliseksi. Pelkän additiivisen kohinan poisto onnistuu parhaiten tilatason suodatuksella. Tähän voidaan käyttää luvussa 3 tilatason ehostuksessa käytettyjä suotimia, mutta on olemassa myös muita hyviäsuotimia kuin tuossa luvussa esitellyt. Seuraavassa palataan joihinkin luvussa 3 esiteltyihin suotimiin ja lisäksi esitellään myös muita tähän tarkoitukseen sopivia tilatason suotimia Keskiarvosuotimia Merkitään kohdassa (x, y) olevan suorakaiteen muotoisen m n-maskin alle jäävien kuvan koordinaattiparien joukkoa merkinnällä S xy.tällöin erityyppisillä keskiarvosuotimilla saadaan kohinaisen kuvan g(x, y) harmaasävyarvoista ehostettu kuva ˆf(x, y) seuraavilla kaavoilla: aritmeettinen keskiarvo ˆf(x, y) = 1 g(s, t) mn (s,t) S xy

29 5.2 Entistäminen tilatasossa 73 geometrinen keskiarvo harmoninen keskiarvo ˆf(x, y) = g(s, t) (s,t) S xy ˆf(x, y) = mn (s,t) S xy 1 g(s, t) 1 mn kontraharmoninen keskiarvo ˆf(x, y) = (s,t) S xy g(s, t) Q+1 (s,t) S xy g(s, t) Q Näistä aritmeettinen keskiarvo on luvusta 3 tuttu lineaarinen keskiarvo ja kolme muuta ovat epälineaarisia keskiarvoja. Harmonisen ja kontraharmonisen keskiarvon tapauksessa mahdollisen nollalla jakamisen voi toteutuksessa kiertää esim.antamalla osamäärälle 1/g(s, t) arvoksi maksimiharmaasävyn, jos g(s, t) = 0. Kontraharmoninen suodin on hyvä poistettaessa joko suola- tai pippurikohinaa, mutta ei kykene poistamaan molemminpuolisia impulsseja. Kuvassa 5.6 on esimerkki, jossa kontraharmoninen keskiarvosuodin toimii hyvin, kun parametrin Q merkki on valittu oikein. Kun Q<0, suodin poistaa hyvin suolakohinaa, ja kun Q>0, se poistaa hyvin pippurikohinaa. Kun Q = 0, suotimesta tulee aritmeettinen keskiarvosuodin ja arvolla Q = 1 siitä tulee harmoninen keskiarvosuodin. Kuvassa 5.7 näkyy, mitä tapahtuu valittaessa parametrin Q merkki väärin Järjestysfunktioon perustuvia suotimia Luvussa 3 käsiteltiin myös hiukan järjestysfunktioon perustuvia epälineaarisia suotimia, jotka perustuvat maskin alle jäävien näytteiden järjestämiseen. Entistyksessä näistä suotimistakäyttökelpoisia ovat mm. seuraavat: mediaanisuodin maksimisuodin minimisuodin ˆf(x, y) = ˆf(x, y) = ˆf(x, y) = med {g(s, t)} (s,t) S xy max {g(s, t)} (s,t) S xy min {g(s, t)} (s,t) S xy

30 74 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 5.6: Ylärivi: Suolakohinainen kuva (vas.) ja pippurikohinainen kuva (oik.). Alarivi: Yllä oleva kuva suodatettuna 3 3-kokoisella kontraharmonisella keskiarvosuotimella arvolla Q = 1.5 (vas.)ja Q = 1.5 (oik.). Kuva 5.7: Kuvan 5.6 suolakohinainen kuva suodatettuna 3 3-kokoisella kontraharmonisella keskiarvosuotimella arvolla Q = 1.5 (vas.) ja pippurikohinainen kuva arvolla Q = 1.5 (oik.).

31 5.2 Entistäminen tilatasossa 75 keskipistesuodin ˆf(x, y) = 1 2 [ ] max {g(s, t)} + min {g(s, t)} (s,t) S xy (s,t) S xy alfa-säädetty keskiarvo ˆf(x, y) = 1 mn d (s,t) S xy g r (s, t), missä d [0,mn 1] on parillinen luku ja g r (s, t) =g(s, t) suuruusjärjestyksessä keskimmäisille mn d arvolle g(s, t) jag r (s, t) = 0 suuruusjärjestyksessä d/2 pienimmälle ja d/2 suurimmalle arvolle g(s, t). Yllä listatuista suotimista mediaani-, minimi- ja maksimisuodin ovat luvusta 3 tuttuja. Keskipistesuodin (midpoint filter) laskee minimi- ja maksimiarvojen välisen keskipisteen eli laskee näiden kahden arvon keskiarvon. Alfa-säädetty keskiarvosuodin (alpha-trimmed mean) puolestaan jättää pois d/2 pienintä ja d/2 suurinta arvoa ja laskee jäljelle jäävistä arvoista keskiarvon. Tämä suodin sopii hyvin tilanteisiin, joissa kuvassa on useamman tyyppistä kohinaa. Esimerkiksi impulsiivisen ja normaalijakautuneen kohinan yhdistelmälle tällä suodintyypillä voidaan saada hyvä suodatustulos. Kuvassa 5.8 on paljon suola-pippuri kohinaa sisältävä kuva, joka on suodatettu 3 3-mediaanisuotimella. Alkuperäisessä kuvassa on niin paljon kohinaa, että suodatuksen jälkeen kuvaan jää vielä melko paljon kohinapisteitä. Tämä suodatettu kuva voidaan suodattaa uudelleen samalla 3 3-mediaanisuotimella, jolloin kohinapisteet edelleen vähenevät. Kun sama operaatio tehdään vieläkolmannenkerranperäkkäin, ei tuloksessa näy häiritseviä pisteitä muualla kuin nollilla laajentamisesta johtuen reunoille jääneitä. Kuvia ei kuitenkaan kannata tarpeellista määrää enempää uudelleen suodattaa mediaanisuotimella, sillä suodatuskertojen määrän mukana kasvaa myös kuvan sumentuminen Adaptiivisia suotimia Edellä käsitellyt suotimet tekevät kaikille kuvan pisteille suodatuksen samalla suodinalgoritmilla ottamatta huomioon kuvan paikallista vaihtelua. Tässä aliluvussa tutustutaan kahteen yksinkertaiseen adaptiiviseen suotimeen, jotka mukautuvat kuvan paikallisiin ominaisuuksiin. Yhä käsitellään tapausta, jossa additiivinen kohina on ainoa kuvaa huonontanut tekijä. Tässä tapauksessa adaptiivisella suodatuksella päästään hyvään kohinan vaimennukseen tasaisilla alueilla yksityiskohtien ja reunojen säilyessä samanaikaisesti terävinä. Tämän suodatustuloksen paranemisen hintana on suodinten kompleksisuuden kasvu. Paikallinen kohinanpoistosuodin käyttää pisteen (x, y) naapurustoa S xy laskennassa. Sen sijaan, että suodatustulos olisi naapuruston keskiarvo, se säätyy naapuruston keskiarvon ja kohinaisen kuvan pisteen alkuperäisen arvon g(x, y) välillä

32 76 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 5.8: Ylärivi: Impulsiivista kohinaa sisältävä kuva(vas.) ja 3 3-mediaanisuotimella saatu tuloskuva (oik.). Alarivi: Mediaanisuodatettu ylärivin kuva uudelleen samalla suotimella suodatettuna (vas.) ja saatu tulos vielä kolmannen kerran samalla suotimella suodatettuna (oik.). seuraavien neljän parametrin avulla: (a) g(x, y) onkohinaisenkuvanpisteen(x, y) alkuperäinen arvo, (b) σ 2 η on kohinan varianssi koko kuvassa, (c) m L on pisteen (x, y) paikallisen naapuruston S xy pisteiden keskiarvo, (d) σ 2 L on pisteen (x, y) paikallisen naapuruston S xy pisteiden varianssi. Paikallisessa kohinanpoistosuotimessa säätö perustuu parametrien (b) ja (d) suhteeseen kaavan ( ) ˆf(x, y) = 1 σ2 η g(x, y)+ σ2 η m σl 2 σl 2 L = g(x, y) σ2 η [g(x, y) m σl 2 L ] mukaisesti. Tasaisilla harmaasävyalueilla suodin antaa lähempänä naapuruston keskiarvoa olevan ulostulon ja vaihtelevilla lähempänä arvoa g(x, y) olevan ulostulon.

33 5.2 Entistäminen tilatasossa 77 Parametreista ση 2 on ainoa, joka täytyy tietää taiestimoidaetukäteen. Muut parametrit lasketaan naapurustosta S xy.kaavasisältää oletuksen, että ση 2 σl 2.Todellisuudessa oletus ei aina pidä paikkaansa ja toteutuksessa tämä voidaan ratkaista esim. asettamalla ση 2/σ2 L =1,josσ2 η >σ2 L. Kuvassa 5.9 on testikuvaan lisätty additiivista normaalijakautunutta kohinaa. Kuva on suodatettu aritmeettisella ja geometrisella keskiarvosuotimella sekä adaptiivisella paikallisella kohinanpoistosuotimella, joissa kaikissa suotimen koko on 7 7. Aritmeettinen keskiarvo vaimentaa hyvin kohinaa, mutta sumentaa samalla paljon kuvan reunoja ja yksityiskohtia. Geometrisella keskiarvolla mustat arvot ovat ongelmallisia, sillä yksikin musta piste vie suotimen ulostulon nollaan. Tämä näkyy mustien alueiden vahvistumisena. Adaptiivinen suodin antaa selvästi parhaan tuloksen, jossa kohina on vaimentunut reunojen ja yksityiskohtien säilyessä terävinä. Mediaanisuodin toimii hyvin impulsiivisella kohinalla, kun kohinapiikkien osuus ei ole liian suuri. Kun molemminpuoleisia impulsseja on alle 20% ne saadaan yleensä poistettua tavallisella mediaanisuotimella ja sitäkin suurempia prosentuaalisia impulssimääriä pystytään poistamaan käyttämällä adaptiivista mediaania. Samoin kuin muutkin suotimet, adaptiivinen mediaanisuodin toimii kuvapisteen naapurustossa S xy. Erona muihin suotimiin on, että tämän naapuruston kokoa muutetaan Kuva 5.9: Ylärivissä: normaalijakautunutta kohinaa sisältävä kuva(vas.)ja7 7 aritmeettisen keskiarvosuotimen suodatustulos (oik.). Alarivissä: 7 7 geometrisen keskiarvosuotimen suodatustulos (vas.) ja 7 7 adaptiivisen paikallisen kohinanpoistosuotimen suodatustulos (oik.).

34 78 Digitaalinen kuvankäsittely I suodatuksen aikana. Otetaan käyttöön seuraavat merkinnät: z min = naapuruston S xy pienin harmaasävyarvo, z max = naapuruston S xy suurin harmaasävyarvo, z med = naapuruston S xy harmaasävyarvojen mediaani, z xy = harmaasävyarvo pisteessä (x, y), S max = naapuruston S xy suurin sallittu vaaka- ja pystykoko. Adaptiivinen mediaanisuodatus tehdään seuraavasti: Maskia kasvatetaan, jos z med = z min tai z med = z max kunnes kumpikaan ehdoista ei toteudu tai naapuruston koko >S max. Jos lopuksi naapuruston koko S max ja lisäksi z xy = z min tai z xy = z max, niin ulostulo on z med. Muutoin ulostulo on z xy. Kuvassa 5.10 on esimerkki, jossa impulsiivista kohinaa sisältävä kuva on suodatettu sekä tavallisella 7 7-mediaanisuotimella että adaptiivisella mediaanisuotimella. Adaptiivisen suotimen maskin maksimikoko on S max = 7 ja sillä saatu tulos on selvästi terävämpi kuin tavallisella mediaanilla saatu. Kohina poistui adaptiivisella mediaanilla yhtä hyvin kuin tavallisellakin. Kuva 5.10: Impulsiivista kohinaa sisältävä kuva suodatettuna 7 7-mediaanisuotimella (vas.) ja adaptiivisella mediaanisuotimella, jonka S max = 7 (oik.).

35 5.3 Jaksollisen kohinan poisto taajuustasossa Jaksollisen kohinan poisto taajuustasossa Jaksollista kohinaa voidaan poistaa kaistanestosuotimella taajuustasossa. Otetaan yksinkertaisena esimerkkinä taajuustasossa keskipisteen suhteen symmetrisesti ympyrän kehällä sijaitsevien kohinapiikkien poisto. Ideaalinen kaistanestosuodin saadaan tällöin kaavasta 1, D(u, v) <D 0 W 2 H(u, v) = 0, 1, D 0 W D(u, v) D W 2 D(u, v) >D 0 + W, 2 missä W on estokaistan leveys, D 0 on suotimen rajataajuus eli estokaistan keskikohta ja D(u, v) on pisteen (u, v) etäisyys taajuustason keskipisteestä. Samassa tapauksessa asteluvun n Butterworth ja gaussinen kaistanestosuodin saadaan kaavoista H(u, v) = 1 ( D(u, v)w 1+ D 2 (u, v) D0 2 ) 2n ja H(u, v) =1 e 1 2 ( ) D 2 (u, v) D0 2 2 D(u, v)w. Kuvassa 5.11 on hieman edellistä monimutkaisempi tapaus, jossa jaksollinen kohina saadaan poistettua ellipsinmuotoisella kaistanestosuotimella. Tässä esimerkissä nähdään kohinan poistuvan hyvin ja tulos on visuaalisesti kuvassa 4.3 olevan alkuperäisen kuvan kaltainen. Suodatuksella saatu muutos on niin suuri, että tällaista tulosta ei olisi mahdollista saada aikaan pienellä tilatason maskilla suodattamalla. Aikaisemmin taajuustasossa ylipäästösuodatuksen yhteydessä esitettiin ali- ja ylipäästösuotimen välinen yksinkertainen yhteys. Tämä sama yhteys on kaistanestosuotimen (bandreject filter) H br ja kaistanpäästösuotimen (bandpass filter) H bp välillä. Tällöin siis H bp (u, v) =1 H br (u, v).

36 80 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 5.11: Jaksollista kohinaa sisältävä kuva (ylh.), sen Fourier-spektri (kesk. vas.), käytetty kaistanestosuodin kuvana (kesk. oik.) ja suodatuksen tulos (alh.).

37 5.3 Jaksollisen kohinan poisto taajuustasossa 81 Kuva 5.12: Kuvan 5.11 kohinaisesta kuvasta samassa kuvassa esitetyn kaistanestosuotimen avulla saadulla kaistanpäästösuotimella saatu suodatustulos. Kaistanpäästösuodin on hyödyllinen tutkittaessa eri taajuusvälien vaikutusta kuvaan. Kuvassa 5.12 on käytetty edellisen kuvan kaistanestosuotimesta saatua kaistanpäästösuodinta, jolloin on saatu esiin edellisestä kuvasta pois suodatettu jaksollinen kohina ja lisäksi päästetyllä kaistalla olleet kuvan taajuudet. Ideaalisesta, Butterworth-tyyppisestä ja gaussisesta suotimesta saadaan jokaisesta tehtyä myös vain tietyn taajuusalueen päästävä tai estävä suodin, jota kutsutaan notch-suotimeksi. Notch-suotimessa taajuusalue voi muodoltaan olla millainen vain, kuten esim. ympyrä tai suorakaide. Fourier-spektrin symmetrian vuoksi notch-suotimet ovat taajuustason keskipisteen suhteen aina symmetrisiä. Kuvassa 5.13 on esimerkki ideaalisesta, Butterworth-tyyppisestä ja gaussisesta notchestosuotimesta, joilla estettävä alueonympyrän muotoinen eikä sijaitse taajuustason keskipisteessä. Jos estettävä alue olisi taajuustason keskipisteessä, tulisi notchestosuotimesta ylipäästösuodin ja notch-päästösuotimesta alipäästösuodin. Notchpäästösuotimen (notch pass filter) H np ja notch-estosuotimen (notch reject filter) H nr välinen yhteys on tuttua muotoa H np (u, v) =1 H nr (u, v).

38 82 Digitaalinen kuvankäsittely I v u v u Kuva 5.13: Ideaalisen (ylh.), Butterworth-tyyppisen (n = 2) (vas.) ja gaussisen (oik.) notch-estosuotimen perspektiivikuvat. 5.4 Huononnusfunktion estimointi Luvun alussa esitettiin huononnusprosessi taajuustasossa kaavalla G(u, v) =H(u, v)f (u, v)+n(u, v), missä huononnusfunktio H oletettiin lineaariseksi ja paikkainvariantiksi. Otetaan nyt myös huononnusfunktio käsittelyyn mukaan edellä käsitellyn kohinan lisäksi. Tavallisesti entistämisessä huononnusfunktio joudutaan estimoimaan. Tämän estimoinnin kolme päätapaa ovat estimointi (1) havainnoista, (2) kokeilemalla ja (3) matemaattisella mallintamisella. Tavassa (1), eli havainnoista estimoinnissa, huononnusfunktion estimaatti yritetään saada huonontuneen kuvan avulla. Voidaan esimerkiksi ottaa kuvasta voimakkaan signaalin alueelta yksinkertaisia kohteita sisältävä osakuva g s (x, y), jolle tehdään estimaatti ˆf s (x, y). Tämän jälkeen olettaen kohinan vaikutuksen olevan mitätön voimakkaan signaalin alueella voidaan kirjoittaa v H s (u, v) = G s(u, v) ˆF s (u, v). Lopuksi funktion H s (u, v) ominaisuuksien avulla johdetaan funktion H(u, v) muoto. Tavassa (2), eli kokeilemalla estimoinnissa, on oltava käytössä samanlainen kuvantamisjärjestelmä kuin millä huonontunut kuva on saatu. Järjestelmä säädetään aluksi sellaiseksi, että sillä saadaan huonontuneen kuvan kaltaisia kuvia. Tämän jälkeen otetaan kuva madollisimman pienestä kirkkaasta pisteestä. Tällöin kuvassa nähdään järjestelmän impulssivaste. Impulssin DFT on vakio A, joka kertoo signaa- u

39 5.4 Huononnusfunktion estimointi 83 lin voimakkuuden. Tällöin huononnusfunktiolle saadaan estimaatti G(u, v) H(u, v) = A. Tavassa (3), eli matemaattisella mallintamisella estimoinnissa, mallinnetaan matemaattisesti kuvaa huonontanut ilmiö. Esimerkiksi ilmakehän turbulenssin aiheuttamaa huonontumista voidaan mallintaa kaavalla H(u, v) =e k(u2 +v 2 ) 5/6, missä k on turbulenssin luonteesta riippuva vakio. Jos kuvaa otettaessa kuvantamisjärjestelmä on ollut tasaisessa lineaarisessa liikkeessä kuvattavaan kohteeseen nähden, voidaan tätä mallintaa, kun tunnetaan aikariippuvat x-jay-suuntaiset liikekomponentit x 0 (t) jay 0 (t) ja valotusaika T.Tällöin huonontunut kuva saadaan tilatasossa kaavasta g(x, y) = T 0 f(x x 0 (t),y y 0 (t))dt. Tämä on jatkuva kaksiulotteinen funktio, jonka Fourier-muunnos on G(u, v) = = = 0 T 0 g(x, y)e j2π(ux+vy) dxdy [ T ] f (x x 0 (t),y y 0 (t)) dt e j2π(ux+vy) dxdy f(x x 0 (t),y y 0 (t))e j2π(ux+vy) dxdydt. Jatkuvalla Fourier-muunnoksella on DFT:n siirto-ominaisuutta muunnosparissa (4.2) vastaava siirto-ominaisuus, joka muunnosparina ilmaistuna on Tämän avulla saadaan muoto G(u, v) = T 0 f(x x 0 (t),y y 0 (t)) F (u, v)e j2π(ux 0(t)+vy 0 (t)). F (u, v)e j2π(ux 0(t)+vy 0 (t)) dt = F (u, v) eli huononnusfunktio on siis muotoa H(u, v) = T 0 T e j2π(ux 0(t)+vy 0 (t)) dt. 0 e j2π(ux 0(t)+vy 0 (t)) dt Otetaan esimerkkinä tasainen lineaarinen liike vain x-suuntaan funktion x 0 (t) = at/t mukaisesti. Tällöin siis y 0 (t) = 0 ja huononnusfunktioksi saadaan T T H(u, v) = e j2πux0(t) dt = e j2πuat/t dt = T 0 0 πua sin(πua)e jπua. ( (Viimeisin vaihe saadaan käyttämällä apuna esim. kaavaa sin(θ) = 1 2j e jθ e jθ).)

40 84 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 5.14: Alkuperäinen kuva (vas.) ja tasaisesta lineaarisesta liikkeestä (x 0 (t) = y 0 (t)) johtuen huonontunut kuva (oik.). Kuvassa 5.14 on huononnettu kuva tasaisella lineaarisella liikkeellä edelläesitetyn mukaisesti. Kuvassa liikkeet x- ja y-suuntiin ovat yhtä suuret. 5.5 Käänteissuodatus Käänteissuodatus (inverse filtering) on entistämismenetelmä, jota varten tarvitaan huononnusfunktio H(u, v). Jos huononnusfunktiota ei tunneta, se voidaan estimoida esim. edellisen aliluvun menetelmin. Entistäminen käänteissuodatuksella taajuustasossa tapahtuu kaavan ˆF (u, v) = G(u, v) H(u, v) mukaisesti, missä jakolasku suoritetaan alkioittain. Huononnusprosessin avulla saadaan edelleen N(u, v) ˆF (u, v) =F (u, v)+ H(u, v). Tässä kaavassa kiinnostavaa on se, että vaikka huononnusfunktio tunnettaisiin täsmälleen, niin entistyksen tuloksena ei saataisi alkuperäistä kuvaa, sillä kohina on satunnaista ja sen DFT on tuntematon. Tämän lisäksi kohina vahvistuu huomattavasti, kun H(u, v) saanollaa lähelläoleviaarvoja,jolloin osamääränn(u, v)/h(u, v) vaikutus muodostuu vallitsevaksi entistystuloksessa ˆF (u, v). Yksi tapa estää huononnusfunktion H(u, v) nollaa lähellä olevat arvot on rajoittua ainoastaan taajuuksiin, jotka sijaitsevat taajuustason keskipisteen lähistöllä. Tällä alueella on epätodennäköisempää, että huononnusfunktion arvot ovat nollan lähistöllä.

Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely

Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely Digitaalinen signaalinkäsittely Kuvankäsittely Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen, Signaalinkäsittelyn menetelmät,

Lisätiedot

Alipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi

Alipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi Alipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi Usein suodinsuunnittelussa on lähtökohtana alipäästösuodin (LPF), josta voidaan yksinkertaisilla operaatioilla muodostaa ylipäästö- (HPF), kaistanpäästö-

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys

Lisätiedot

Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa

Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Vierailuluento IMA-kurssilla Heikki Huttunen Lehtori, TkT Signaalinkäsittely, TTY heikki.huttunen@tut.fi Department of Signal Processing Fourier-muunnos

Lisätiedot

Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa

Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)

Lisätiedot

5. Kuvanennallistus. Kuvanennallistus 269

5. Kuvanennallistus. Kuvanennallistus 269 5. Kuvanennallistus Ennallistus eroaa korostamisesta edellisen ollessa objektiivista ja jälkimmäisen pikemmin subjektiivista käsittelyä, vaikka niiden menetelmissä on päällekkäisyyttä. Objektiivinen tarkoittaa,

Lisätiedot

Luku 3. Kuvien ehostus tilatasossa. 3.1 Taustaa

Luku 3. Kuvien ehostus tilatasossa. 3.1 Taustaa Luku 3 Kuvien ehostus tilatasossa Kuvan ehostamisessa päätavoitteena on käsitellä kuvaa siten, että saatu tulos soveltuu paremmin haluttuun käyttötarkoitukseen kuin alkuperäinen kuva. On siis sovelluskohtaista,

Lisätiedot

Mediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin

Mediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin Mediaanisuodattimet Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin niiden analysointiin on olemassa vakiintuneita menetelmiä

Lisätiedot

Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu

Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen,

Lisätiedot

4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa Perusteita

4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa Perusteita 4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa Fourier esitti v. 1807 idean, että laskien yhteen jaksollisia painotettuja funktioita voidaan esittää kuinka tahansa monimutkainen jaksollinen funktio. Kuva 4.1.

Lisätiedot

TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 2 (ver 1.0) Jyrki Laitinen

TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 2 (ver 1.0) Jyrki Laitinen TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 2 (ver 1.0) Jyrki Laitinen TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op), K2005 1 Suorita oheisten ohjeiden mukaiset tehtävät Matlab-ohjelmistoa käyttäen. Kokoa erilliseen

Lisätiedot

4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa

4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa 4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa Fourier esitti v. 1807 idean että laskien yhteen jaksollisia painotettuja funktioita voidaan esittää kuinka tahansa monimutkainen jaksollinen funktio. Kuva 4.1. esittää

Lisätiedot

IIR-suodattimissa ongelmat korostuvat, koska takaisinkytkennästä seuraa virheiden kertautuminen ja joissakin tapauksissa myös vahvistuminen.

IIR-suodattimissa ongelmat korostuvat, koska takaisinkytkennästä seuraa virheiden kertautuminen ja joissakin tapauksissa myös vahvistuminen. TL536DSK-algoritmit (J. Laitinen)..5 Välikoe, ratkaisut Millaisia ongelmia kvantisointi aiheuttaa signaalinkäsittelyssä? Miksi ongelmat korostuvat IIR-suodatinten tapauksessa? Tarkastellaan Hz taajuista

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

1 Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava:

1 Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava: Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava: Päästökaistan maksimipoikkeama δ p =.5. Estokaistan maksimipoikkeama δ s =.. Päästökaistan rajataajuus pb = 5 Hz. Estokaistan rajataajuudet sb = 95 Hz Näytetaajuus

Lisätiedot

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 2

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 2 1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 2 Miten spektri lasketaan moduloiduille ja näytteistetyille tietoliikennesignaaleille? KONVOLUUTIO JA KERTOLASKU 2 Kantataajuussignaali (baseband) = sanomasignaali ilman

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Digitaalinen kuvankäsittely T-61.5100 (5 op) L. Syksy 2005

Digitaalinen kuvankäsittely T-61.5100 (5 op) L. Syksy 2005 Digitaalinen kuvankäsittely T-61.5100 (5 op) L Syksy 2005 Luennot: Laskuharjoitukset: Jorma Laaksonen Jukka Iivarinen OPETUSMONISTE 2005 Luento #1 14.9.2005 2 1. Yleistä kurssista.......................

Lisätiedot

Digitaalinen kuvankäsittely T-61.247 (3 ov) L

Digitaalinen kuvankäsittely T-61.247 (3 ov) L 9.3 Lineaarinen alipäästösuodatus (3.6.)........ 7 Digitaalinen kuvankäsittely T-6.247 (3 ov) L Luento #3 24.9.24 9.4 Kuvan terävöittäminen ylipäästösuodatuksella (3.7). 75. Fourier-muunnoksen perusteet................

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe SGN-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 9.3.009 Sivuilla - on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I. Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I. Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet SMG-00: PIIRIANALYYSI I Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet alipäästösuodin ylipäästösuodin kaistanpäästösuodin kaistanestosuodin jännitevahvistus rajataajuus kaistanleveys resonanssi Suotimet:

Lisätiedot

TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Kuvasignaalit. Jyrki Laitinen

TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Kuvasignaalit. Jyrki Laitinen TL553 DSK, laboraatiot (.5 op) Kuvasignaalit Jyrki Laitinen TL553 DSK, laboraatiot (.5 op), K25 Suorita oheisten ohjeiden mukaiset tehtävät Matlab- ja VCDemo-ohjelmistoja käyttäen. Kokoa erilliseen mittauspöytäkirjaan

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2

2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2 HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.

Lisätiedot

Spektri- ja signaalianalysaattorit

Spektri- ja signaalianalysaattorit Spektri- ja signaalianalysaattorit Pyyhkäisevät spektrianalysaattorit Suora pyyhkäisevä Superheterodyne Reaaliaika-analysaattorit Suora analoginen analysaattori FFT-spektrianalysaattori DFT FFT Analysaattoreiden

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Luku 4 - Kuvien taajuusanalyysi

Luku 4 - Kuvien taajuusanalyysi Luku 4 - Kuvien taajuusanalyysi Matti Eskelinen 8.2.2018 Kuvien taajuusanalyysi Tässä luvussa tutustumme taajuustasoon ja opimme analysoimaan kuvia ja muitakin signaaleja Fourier-muunnoksen avulla. Aiheina

Lisätiedot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Suodattimet. Suodatintyypit: Bessel Chebyshev Elliptinen Butterworth. Suodattimet samalla asteluvulla (amplitudivaste)

Suodattimet. Suodatintyypit: Bessel Chebyshev Elliptinen Butterworth. Suodattimet samalla asteluvulla (amplitudivaste) Suodattimet Suodatintyypit: Bessel Chebyshev Elliptinen Butterworth Suodattimet samalla asteluvulla (amplitudivaste) Kuvasta nähdään että elliptinen suodatin on terävin kaikista suodattimista, mutta sisältää

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 1 (ver 1.0) Jyrki Laitinen

TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 1 (ver 1.0) Jyrki Laitinen TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 1 (ver 1.0) Jyrki Laitinen TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op), K2005 1 Suorita oheisten ohjeiden mukaiset tehtävät Matlab-ohjelmistoa käyttäen. Kokoa erilliseen

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Lineaarinen yhtälöryhmä

Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

Digitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento 4-7.04.2006

Digitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento 4-7.04.2006 Digitaalinen Signaalinkäsittely T5 Luento 4-7.4.6 Jarkko.Vuori@evtek.fi Z-taso Z-taso on paljon käytetty graafinen esitystapa jonka avulla voidaan tarkastella signaalien taajuussisältöjä sekä järjestelmien

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾. 24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ

Lisätiedot

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,

0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7, HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

SGN-1251 Signaalinkäsittelyn sovellukset Välikoe Heikki Huttunen

SGN-1251 Signaalinkäsittelyn sovellukset Välikoe Heikki Huttunen SGN-5 Signaalinkäsittelyn sovellukset Välikoe.. Heikki Huttunen Tentissä ja välikokeessa saa käyttää vain tiedekunnan laskinta. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla - on. Sivuilla 4-6 on. Vastaa

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Tietoliikennesignaalit & spektri

Tietoliikennesignaalit & spektri Tietoliikennesignaalit & spektri 1 Tietoliikenne = informaation siirtoa sähköisiä signaaleja käyttäen. Signaali = vaihteleva jännite (tms.), jonka vaihteluun on sisällytetty informaatiota. Signaalin ominaisuuksia

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe SGN-100 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 6.4.010 Sivuilla 1- on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,

Lisätiedot

Demo 1: Simplex-menetelmä

Demo 1: Simplex-menetelmä MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia. HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä

Lisätiedot

1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen

1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen Vastaa seuraaviin a) Miten määritetään digitaalisen suodattimen taajuusvaste sekä amplitudi- ja vaihespektri? Tässä riittää sanallinen kuvaus. b) Miten viivästys vaikuttaa signaalin amplitudi- ja vaihespektriin?

Lisätiedot

5. OSITTAISINTEGROINTI

5. OSITTAISINTEGROINTI 5 OSITTAISINTEGROINTI Kahden funktion f ja g tulo derivoidaan kuten muistetaan seuraavasti: D (fg) f g + f Kun tämä yhtälö integroidaan puolittain, niin saadaan fg f ()g()d + f ()()d Yhtälö saattaa erota

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 18.3.2008 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1 1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1 Millainen on signaalin spektri ja miten se lasketaan? SIGNAALIEN JA SPEKTRIN PERUSKÄSITTEITÄ 2 Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka graafinen

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Cubature Integration Methods in Non-Linear Kalman Filtering and Smoothing (valmiin työn esittely)

Cubature Integration Methods in Non-Linear Kalman Filtering and Smoothing (valmiin työn esittely) Cubature Integration Methods in Non-Linear Kalman Filtering and Smoothing (valmiin työn esittely) Ohjaaja: Valvoja: TkT Simo Särkkä Prof. Harri Ehtamo 13.9.2010 Aalto-yliopiston teknillinen korkeakoulu

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op

805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista

Lisätiedot

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI. 39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Jaksollisen signaalin spektri

Jaksollisen signaalin spektri Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 21.3.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2

Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2 Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2 Mallin rakentaminen mittausten avulla Epäparametriset menetelmät: tuloksena malli, joka ei perustu parametreille impulssi-, askel- tai taajusvaste siirtofunktion

Lisätiedot

e ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0,

e ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0, Harjoitus 5 1. Olkoot a > 0. Laske vaimenevan pulssin e ax, kun x > 0 fx) = 0, kun x < 0, ja voimistuvan pulssin gx) = konvoluution g f Fourier-muunnos. 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 apa 1: Konvoluution

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z 5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon

Lisätiedot

Lineaarinen optimointitehtävä

Lineaarinen optimointitehtävä Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä

Lisätiedot