Helsii Uiversity of Techology Laboratory of Telecommuicatios Techology S-38. Sigaaliäsittely tietoliieteessä I Sigal Processig i Commuicatios ( ov) Sysy 998 9. Lueto: Kaava apasiteetti ja ODM prof. Timo Laaso Vastaaotto torstaisi lo - Huoe, puh. 45 473 Sähöposti: timo.laaso@hut.fi otaatiosta Meritää ei-egatiivise reaaliarvoise futio aritmeettista esiarvoa: f f ( x) dx (. ), 3 missä itseisarvo o jouo ooaismitta (yl. itegroitiväli pituus). Vastaavasti määritellää geometrie esiarvo: f exp log e[ f ( x) ] dx (. ), 4 Voidaa osoittaa, että aia pätee f f (. 7 ),,..998 Teleteiia laboratorio Sivu ISI ja aava apasiteetti (LM.5) iaaa todettii jatuva-aiaise aistarajoitetu aussi aava apasiteetisi C Wlog ( + SR) bit/s missä W o (ysipuolie) aistaleveys ja SR o esimääräise sigaaliteho ja ohiateho suhde. Tulos pätee uitei vai olettae, että ohia o taajuussisällöltää valoista (aistalla W) aava ei aiheuta taajuusseletiivistä vaimeusta (josta seuraa ISIä!) Seuraavasi tarastellaa yleistä lieaarista aavaa värillisessä aussi ohiassa. Tämä tulos o täreä, sillä se ertoo rajat adaptiiviste orjaimie suoritusyvylle...998 Teleteiia laboratorio Sivu 3 Vedeaatoteoreema (LM.5.) Tarastellaa Kuva -9 lieaarista jatuva-aiaista aavamallia: x(t) H(jπf) Otetaa aavasta apea taajuussiivu f taajuudelta f. Meritää: S x (jπ f ) sigaali tehospetri taajuudella f..998 Teleteiia laboratorio Sivu 4 Σ (t) S (jπ f ) ohia tehospetri taajuudella f H(jπ f ) aava vaste taajuudella f y(t)
...Vedeaatoteoreema Oletetaa lisäsi että ooaisteho P s o rajoitettu. Lähetyssigaali x(t) spetri S x (jπ f ) halutaa valita ii että saavutetaa masimiapasiteetti. Kosa apea taajuussiivu voidaa olettaa valoise aussi ohia aavasi, siivu apasiteetisi saadaa Sx ( j f ) H( j f ) f C( j f ) f log π π π + S ( jπf ) f Sx ( jπf) H( jπf) f log + ( 6. ) S ( jπf)..998 Teleteiia laboratorio Sivu 5...Vedeaatoteoreema Raja-arvoprosessilla ja itegroimalla oo taajuusaluee yli saadaa ooaisapasiteetti: Sx ( jπf ) H( jπf ) C log + df S ( jπf ) Sx H log + df ( 7. ) S Määritetää yt optimaalie sigaali tehospetri site että apasiteetti masimoituu. Kooaisteho o rajoitettu (ja positiivie!): Ps Sxdf, Sx > ( 8. )..998 Teleteiia laboratorio Sivu 6 3...Vedeaatoteoreema Rajoitettu optimoitiprobleema voidaa muotoilla Lagrage ertoja avulla seuraavasti: Masimoidaa futio ( ) gs ( x, λ) log + Sx H / S df+ λ Ps Sdf x log + S H / S S df + λp ( 9. ) [ ( ) λ ] x x s Optimi löytyy derivaattoje ollaohdasta: g S l + S H / S H S x x g Ps Sxdf λ λ df..998 Teleteiia laboratorio Sivu 7...Vedeaatoteoreema Rataisu saadaa muotoo S L, f Sx H, muutoi (. ) missä L /lλ (irjassa paiovirhe!) valitaa ooaisteho P s muaa ja o se taajuusalue jossa saatu S x o positiivie. Tätä tulosta havaiollistaa Kuva -: rea P s S ( jπf ) H( jπf ) f..998 Teleteiia laboratorio Sivu 8 L 4
...Vedeaatoteoreema Kuvassa o esitetty aava amplitudivasteella ormalisoitu ohia tehospetri Kuvasta ähdää että lähetystehoa aattaa äyttää eite taajuusilla joissa ohiatehotiheys o piei aava vaste o suuri (piei vaimeus) Kooaisteho saadaa itegroimalla L: ja ormalisoidu spetri välie alue: S P S df L H df s x Kapasiteetti ja esiarvot (LM.5.3) Edellä johdetuissa aavoissa jäi rataisematta Lagrage ertoja λ (tai siitä riippuva parametri L) jota riippuvat ooaistehosta. Se rataistaa seuraavasi. äi apasiteetti saadaa pelästää aavaparametreista riippuvaa muotoo. Kaavasta (.) saadaa itegroimalla Ps S Sdf L H df x S L S / H ( 9. ) x L S / H S ( 9. ') x..998 Teleteiia laboratorio Sivu 9..998 Teleteiia laboratorio Sivu 5...Kapasiteetti ja esiarvot Sijoittamalla (.9) ap. lauseeesee (.9) saadaa S H C + L log df H S LH log df ( 3. ) S ja edellee äyttämällä geometrise esiarvo omiaisuutta log H log ( Hdf ) ( 5. )..998 Teleteiia laboratorio Sivu...Kapasiteetti ja esiarvot Saadaa LH L C log log S S H / Kaavasta (.9 ) saadaa L ja sijoitetaa: Ps / + S / H C log S / H..998 Teleteiia laboratorio Sivu ( 3. ) bit / s ( 3. ) Tämä o yleie lieaarise aava apasiteetti joa sisältää siis myös ISI vaiutuse. Se ertoo, mihi asti adaptiivisilla orjaimilla, aavaoodausella yms. osteilla voidaa aava apasiteettia oreitaa ostaa. 6
Esimeri -6 Ku ohia S o valoista, apasiteetisi saadaa missä SR + H C log bit / s (.33) H ( ) SR P / S Edellee, jos aava o H, aava redusoituu Shaoi perusmuotoo SR C + log Wlog( + SR) bit / s missä W o asipuolie aistaleveys...998 Teleteiia laboratorio Sivu 3 Esimeri: IR- ja IIR-aava apasiteetti. Tarastellaa. astee disreettiä aavamallia joa sisältää joo yhde olla tai ava joa säde o c.99. Vastaava aava apasiteetti eri sigaaliohiasuhteilla (valoista aussi ohiaa) äyy Kuvissa -4 ja -5. Miltäs äyttää? Mistä erot johtuvat? Capacity 5 Ideal ISI Capacity SR (db) SR (db) - 3-3 Kuva -4: IR-aava Kuva -5: IIR-aava..998 Teleteiia laboratorio Sivu 4 5 Ideal ISI 7 ODM-järjestelmät Ysi tapa äyttää tehoaasti lieaarista aavaa o s. ODM-teiia (Orthogoal requecy Divisio Multiplex) joa o moiatoaaltojärjestelmä. Seuraavassa johdetaa esi yleie orrelaattorivastaaotiraee ortogoaalisille moipulssijärjestelmille ja sitte tarastellaa ODM: toteutusta erioistapausea. Sovitettu suodi ja orrelaattori Vastaaottosuotime ja äytteeoto lähtösigaali: q y( τ) f ( t τ) dτ y( τ) f ( τ) dτ ( 69. ) t Ku vastaaottosuodi o sovitettu, f(t) h(-t), saadaa q y( τ) h( τ) dτ joa voidaa toteuttaa orrelaatioraeteella. Tätä orrelaatiovastaaottime ideaa voidaa soveltaa moissa äytäö järjestelmissä jota perustuvat usea lähetyspulssi äyttöö (mm. hajaspetri- ja moiatoaaltojärjestelmät)...998 Teleteiia laboratorio Sivu 5..998 Teleteiia laboratorio Sivu 6 8
Ortogoaalie moipulssimodulaatio Pulssiamplitudimodulaatiossa symbolit errotaa yhdellä valitulla pulssimuodolla g(t) ja lähetetää aavaa ysi errallaa: st () agt ( T) (. 6) Tämä voidaa yleistää tapausee jossa utai symbolia vastaa oma pulssimuoto, g (t),,,.., -:...Ortogoaalie moipulssimodulaatio Jotta pulssit ovat erotettavissa vastaaottimessa, vaaditaa ortogoaalisuus (+ ormalisoidaa tehot): saadaa ortogoaalie moipulssimodulaatio: gi() t gj *() t dt σδ g i j (. 64) st () ga ( t T) (. 63)..998 Teleteiia laboratorio Sivu 7..998 Teleteiia laboratorio Sivu 8 9 Korrelaatiovastaaoti moipulssimodulaatiolle Kuva 6-35: r(t) h (t) h (t) h - (t) hi() t hj *() t dt σδ h i j (. 68)..998 Teleteiia laboratorio Sivu 9 K K K - Tarastellaa järjestelmää jossa lähetetää ysi pulssista, h (t),,, -, jota ovat ortogoaalisia, eli Select largest ^...Korrelaatiovastaaoti moipulssimodulaatiolle Vastaaotettu sigaali o siis muotoa yt () h() t + t () (. 69) Korrelaatiovastaaoti muodostaa ristiorrelaatiotermiä K h() tytdt () h() th() tdt+ h() ttdt () (. 6) i i i i Ortogoaalisuusehdo muaa vai K poieaa ohiasta...998 Teleteiia laboratorio Sivu
CDM-järjestelmä Code Divisio Multiple ccess (CDM) eli oodijaomoiäyttöjärjestelmä Perustuu ortogoaalisii (tai lähes) biäärisevesseihi Eri äyttäjät äyttävät samaa taajuusaluetta (esim. oasiaaliaapelia, radio- tai optista aavaa - jopa siirtoa sähöverossa o tutittu!) Lähettime periaate (Kuva 6-56): Bits Bits Coder Coder a, a, Bits a,- Coder g - (t)..998 Teleteiia laboratorio Sivu g (t) g (t) Σ s(t) Moiatoaaltojärjestelmät Orthogoal requecy Divisio Multiplex (ODM), Discrete Multitoe (DMT) Valitaa pulssimuodot seuraavasti: g t T e j t w t () ω c () (. 667) missä w(t) o symboli mittaie suoraaide ja taajuudet valitaa π ωc,,,..., ( 668. ) T..998 Teleteiia laboratorio Sivu...Moiatoaaltojärjestelmät Disreettiaiaie toteutus: g e π w,,,..., ( 67. ) ( ) j /...Moiatoaaltojärjestelmät Lähettime toteutus IT: avulla (Kuva 6-54) a, s K Tässä ysi symboli o äyttee pituie. Ysi pulssi saadaa symboliarvoilla paiotettua ombiaatioa: IT T s ( ) jπ/ a e w, (. 67) a,- s - K - a, s p Σ r q a ^..998 Teleteiia laboratorio Sivu 3..998 Teleteiia laboratorio Sivu 4
...Moiatoaaltojärjestelmät Vastaaoti: Korrelaatiopai T:llä Vastaaotetut äytteet muotoa r s + z ( 673. ) Yhde orrelaattori laseta: jπ i/ K r e, i,,..., ( 674. ) i Moiatoaaltojärjestelmä etuja Kullei atoaallolle voidaa valita oma aaosto Sigaali tehospetri säädettävissä atoaalloittai aava muaa (apasiteeti masimoiti!) Moiäyttö: aavia voidaa jaaa joustavasti eri äyttäjille esim. radiojärjestelmissä Kaava evalisoiti helppoa..998 Teleteiia laboratorio Sivu 5..998 Teleteiia laboratorio Sivu 6 3