Laplace-muunnos: määritelmä

Transkriptio

1 Laplace-muunnos: määritelmä Olkoon f : [, [ R funktio. Funktion f Laplacen muunnos määritellään yhtälöllä F(s) = L(f) := f(t)e st dt edellyttäen, että integraali f(t)e st dt suppenee. Riittävä ehto integraalin suppenemiselle: f on eksponentiaalisesti rajoittunut f(t) M 1 e rt, kaikille t, jossa M 1 ja r ovat positiivisia vakioita. Laplacen muunnos on määritelty esimerkiksi kaikille rajoitetuille ja jatkuville funktioille.

2 Laplacen muunnoksen olemassaolo Muunnoksen määritelmä tarkoittaa raja-arvoa F(s) = L(f) = M f(t)e st dt = lim f(t)e st dt, M mikäli ko. raja-arvo on olemassa ja äärellinen. Olkoon funktio f : [, ] R eksponentiaalisesti rajoitettu eli on olemassa positiiviset vakiot M 1 ja r siten, että f(t) M 1 e rt, t. Kaikilla positiivisilla arvoilla M > on voimassa arvio M f(t)e st dt M f(t)e st dt M = M 1 ( 1 e (s r)m ). s r M 1 e (r s)t dt

3 Riittävän suurilla parametrin s arvoilla pätee s r >. Tällöin on voimassa arvio F(s) = f(t)e st dt M 1 s r, s > r. Laplacen muunnoksen määrittelevä integraali suppenee, kun s > r. Toisin sanoen Laplace-muunnos F(s) = L(f)(s) on määritelty kaikille s > r

4 Määritelmän mukaan laskettuja muunnoksia L(1) = e st dt = 1 s, s >, L(t) = t e st dt = ( 1 s )e st dt + t( 1 s )e st = 1, s >, s 2 L(e t ) = e t e st dt = L(e at ) = e at e st dt = e (1+s)t dt = 1 s+1, s > 1, e (a s)t dt = 1 s a, s > a.

5 Ominaisuuksia Lause Laplacen muunnos on lineaarinen operaattori. Olkoon L(f) = F(s) ja L(g) = G(s). Tällöin L(f + g) = L(f)+L(g), L(λf) = λl(f), kaikilla λ R. Perustelu: Olkoot L(f) ja L(g) olemassa. Tällöin ( f(t)+g(t) ) e st dt = = ( f(t)e st + g(t)e st) dt f(t)e st dt + g(t)e st dt. Pätee L(f + g) = L(f)+L(g). Vakion siirtäminen eteen kertoimeksi perustellaan samalla tavalla.

6 Laplace muunnos on yksikäsitteisesti määrätty. Käänteismuunnos ei ole yksikäsitteinen; mutta Jatkuvien funktioiden luokassa funktion f ja sen Laplacen muunnoksen L(f) välillä on yksi-yhteen vastaavuus. Lause Olkoon f : [, [ R jatkuva ja olkoon L(g) jatkuvan funktion g Laplacen muunnos. Tällöin on voimassa yhtäpitävyys L(f) = L(g) f = g.

7 Käänteismuunnos Jos tarkasteltavat funktiot ovat jatkuvia, niin voidaan määritellä käänteismuunnos L 1 siten, että L 1 (F(s)) = L 1 (L(f)) = f(t), L(L 1 (F(s))) = F(s). Käänteismuunnos on lineaarinen operaattori. Lause Olkoon L(f) = F(s) ja L(g) = G(s). Tällöin kaikilla λ R L 1 (F(s)+ G(s)) = L 1 (F(s))+L 1 (G(s)), L 1 (λf(s)) = λl 1 (F(s)).

8 Perustelu: Laplacen muunnoksen lineaarisuuden ja käänteismuunnoksen määrittelyn nojalla L 1 (F(s)+G(s)) = L 1 (L(f)+L(g)) = L 1 (L(f + g)) = f + g = L 1 (L(f))+L 1 (L(g)) = L 1 (F(s))+L 1 (G(s)). Vakion siirtäminen eteen kertoimeksi perustellaan samalla tavalla.

9 Derivaatan Laplace-muunnos Lause Olkoon f,f,...,f (n 1) jatkuvia ja eksponentiaalisesti rajoitettuja funktioita eli f (k) (t) M 1 exp(rt) kaikilla t >, k =,...,n 1. Jos derivaatta f (n) on paloittain jatkuva ja jos F(s) = L(f), niin L(f (n) ) = s n L(f) s n 1 f() s n 2 f ()... sf (n 2) () f (n 1) (). Erityisesti ensimmäisen ja toisen derivaatan muunnokset ovat L(f ) = sl(f) f(), L(f ) = s 2 L(f) sf() f ().

10 Laplacen muunnoksen soveltamisperiaate kaaviona. Differentiaaliyhtälö ja alkuehdot aika-alueessa Alkuarvotehtävän ratkaisu y(t). L( ) L 1 ( ) Tavallinen yhtälö ratkaisun muunnokselle s-alueessa. Ratkaisun muunnos Y(s).

11 Esim. 1 Ratkaise Laplacen muunnoksella alkuarvotehtävä Ratkaisu: y + 2y = e t, t >, y() = 2. Merkitään L(y) = Y(s). Derivaatan muunnos on L(y ) = sl(y) y() = sy(s) y(). Muunnetaan yhtälö puolittain L(y + 2y) = L(e t ) = 1 s+1. Vasemman puolen muunnos käyttämällä lineaarisuutta, derivaatan muunnoskaavaa sekä alkuarvoa L(y + 2y) = L(y )+2L(y) = sy(s) y()+2y(s) = (s + 2)Y(s) 2.

12 Saadaan s-alueessa yhtälö (s + 2)Y(s) 2 = 1 s+1. Ratkaistaan Y(s) = 1 (s+1)(s+2) + 2 s+2 = 2s+3 (s+1)(s+2). Muodostetaan osamurtokehitelmä Y(s) = 2s+3 (s+1)(s+2) = 1 s s+2. Määrätään ratkaisu käänteismuunnoksella y(t) = L 1 (Y(s))=L 1( 1 s ) s+2 =L 1( ) 1 s+1 +L 1 ( 1 s+2) = e t + e 2t.

13 Esim. 2 Laske Laplacen muunnokset L(sinωt) ja L(cosωt). Ratkaisu: Käytetään muunnoksen määritelmää ja lasketaan osittaisintegroinnilla integraalit: sin(ωt)e st dt = 1 ω cos(ωt)e st ( 1 ω cos(ωt))( s e st )dt 1 = lim M ω cos(ωm)e sm + 1 ω + 1 ω cos(ωt)( s e st )dt = L ω + sin(ωt) ( s e st ) ω 2 sin(ωt) (s 2 e st )dt ω 2

14 sin(ωt)e st dt = L ω sin(ωm) lim (s e sm ) M ω 2 = 1 ω s2 ω 2 sin(ωt)e st dt, s >, sin(ωt) (s 2 e st )dt ω 2 sillä raja-arvot häviävät, mikäli s >. Täten L 1 L 2 cos(ωm) = lim M = lim M ω e sm =, s >, sin(ωm) (s e sm ) =, s >. ω 2

15 Sinin muunnokselle saadaan yhtälö, L(sin(ωt)) = 1 ω s2 ω 2 L(sin(ωt)). Ratkaistaan L(sin(ωt)) = ω s 2 +ω 2, s >. Vastaavasti lasketaan kosinin muunnos. Kaavat ovat L(sin(ωt)) = ω, s >, s 2 +ω 2 L(cos(ωt)) = s, s >. s 2 +ω 2

16 Esim. 3 Ratkaise Laplacen muunnoksella alkuarvotehtävä Ratkaisu: y + 4y = 4e 2t, t >, y() = 2,y () = 1. Merkitään L(y) = Y(s). Toisen derivaatan muunnos on L(y ) = s 2 L(y) sy() y () = s 2 Y(s) sy() y (). Muunnetaan yhtälö puolittain L(y + 4y) = L(4e 2t ) = 4 s+2. Vasemman puolen muunnos käyttämällä muunnoksen lineaarisuutta, derivaatan muunnoskaavaa sekä alkuarvoja L(y + 4y) = (s 2 + 4)Y(s) 2s 1.

17 Saadaan yhtälö (s 2 + 4)Y(s) 2s 1 = 4 s+2. Ratkaistaan Y(s) ja kehitetään se osamurtoihin Y(s) = s2 +5s+6 (s+2)(s 2 +4) = 1 2 s s+2 s Ratkaisu saadaan käänteismuunnoksella y(t) = L 1( 1 2 s s+2 ) = 1 2 L 1( 1 s+2 s 2 +4 ) L 1( s s ) +L 1 ( 2 s ) = 1 2 e 2t cos(2t)+sin(2t).

18 Lisää muunnoskaavoja Lause Olkoon L(f) = F(s). Tällöin L(t n f(t)) = ( 1) n dn ds n [ F(s) ].

19 Perustelu: Yleinen tapaus induktiolla. Lasketaan tapaus n = 1. ( 1) d [ ] ds F(s) = d ds f(t)e st dt = f(t) s( e st ) dt = = L(tf(t)). tf(t)e st dt

20 Siirros s-alueessa Lause Jos L(f) = F(s) niin L(e at f(t)) = F(s a). Perustelu: Laskemalla saadaan L(e at f(t)) = e at f(t)e st dt = f(t)e (s a)t dt = F(s a).

21 Esim Määrää L(t sin(ωt)). 2. Määrää L(e at sin(ωt)). 3. Määrää L(e at t sin(ωt)). Ratkaisu: 1. Nyt L(tf(t)) = F (s) ja L(sin(ωt)) = ω. s 2 +ω 2 Tällöin L(t sin(ωt)) = d ( ) ω ds s 2 +ω = 2ωs. 2 (s 2 +ω 2 ) 2 2. Tässä L(e ct f(t)) = F(s c) ja L(sin(ωt)) = ω, joten s 2 +ω 2 L(e at sin(ωt)) = ω (s+a) 2 +ω Tässä L(e ct f(t)) = F(s c) ja L(t sin(ωt)) = 2ωs, (s 2 +ω 2 ) 2 joten L(e at 2ω(s + a) t sin(ωt)) = ((s + a) 2 +ω 2 ) 2.

22 Laplace-muunnos taulukko f(t) F(s) 1 1 s 1 t s 2 t n 1 1 (n 1)! s n ω sin ωt s 2 +ω 2 s cosωt s 2 +ω 2 e at 1 s a t a, a > 1 Γ(a+1) s a+1 f(t) F(s) e ct t 1 e ct tn 1 (n 1)! e ct sinωt e ct cosωt e ct t a, a > 1 (s c) 2 1 (s c) n ω (s c) 2 +ω 2 s c (s c) 2 +ω 2 Γ(a+1) (s c) a+1

23 Heavisiden askelfunktio Heavisiden yksikköaskelfunktio H: { 1, jos t >, H(t) =, jos t <. Siirros Heavisiden yksikköaskelfunktion muuttujapisteessä: { 1, jos t > c, H(t c) =, jos t < c. Siirron Laplace-muunnos: L(H(t c)) = 1 s e cs. Aikaviiveen ja viivästyksen muunnos: Lause Jos L(f) = F(s) niin L(H(t c)f(t c)) = e cs F(s), L 1 (e cs F(s)) = H(t c)f(t c).

24 Perustelu: Tulos seuraa muuttujan vaihdosta u = t c L(H(t c)f(t c)) = f(t c)e st dt c = f(u)e (u+c)s du = e cs F(s).

25 Esim. 5 Tutki seuraavia esimerkkejä. Piirrä kuviot. L 1( 1 s 3 e 3s) = 1 2 (t 3)2 H(t 3) = { 1 2 (t 3)2, t > 3,, t 3. L ( cos(2t) cos(2(t 2π))H(t 2π) ) = s(1 e 2πs ) s 2 + 4

26 Esim. 6 Ratkaise Laplacen muunnoksen avulla alkuarvotehtävä { y + 2y t, t < 1, + y = 1, t 1, y() = y () =.

27 Ratkaisu: Merkitään L(y) = Y(s). Muunnetaan yhtälö. L(y + 2y + y) = L(f) = F(s). Vasen puoli lasketaan käyttämällä derivaatan muunnoksen kaavoja L(y + 2y + y) = L(y )+2L(y )+L(y) = s 2 Y(s) y () sy() +2(sY(s) y())+y(s) = ( s 2 + 2s + 1 ) Y(s).

28 Lausutaan oikea puoli askelfunktiota hyväksi käyttäen eli f(t) = t [ H(t) H(t 1) ] + H(t 1) = th(t) (t 1)H(t 1). Muunnos (lineaarisuus ja laskukaavat): F(s) = L ( f(t) ) = L ( th(t) ) L ( (t 1)H(t 1) ) = 1 s 2 1 s 2 e s. Ratkaisun muunnokselle saadaan yhtälö ( s 2 + 2s + 1 ) Y(s) = F(s) = 1 s 2 e s s 2,

29 Ratkaisu s-alueessa Y(s) = 1 ( 1 (s + 1) 2 s 2 e s ) 1 = s 2 s 2 (s + 1) 2 1 s 2 (s + 1) 2 e s. Osamurtokehitelmä G(s) := 1 s 2 (s + 1) 2 = 2 s + 1 s s (s + 1) 2, joten voimme määritellä apufunktion g(t) = 2L 1( 1) +L 1 ( 1 s + 2L 1( 1 s + 1 ) s 2 ) +L 1 ( 1 ) (s + 1) 2 = 2+t + 2e t + t e t.

30 Ratkaisu saadaan käänteismuunnoksella: y(t) = L 1( 1 s 2 (s + 1) 2 ) L 1 ( 1 s 2 (s + 1) 2 e s) = g(t) g(t 1)H(t 1) { 2+t + 2e t + t e t, t < 1, = 1+(2+t)e t (t + 1)e (t 1), t > 1.

31 Impulssin mallintaminen Mekaniikassa voiman F = F(t) impulssi aikavälillä [a,a+h] määritellään integraalina I = a+h F(t)dt. Suuri voima vaikuttaa lyhyen ajan (isku, törmäys). Tarkastelemme paloittain määriteltyä funktiota δ a,h (t) a { 1 h, a < t < a+h, δ a,h (t) =, muulloin, Sen impulssi on yksi yksikkö kaikilla parametrin h arvoilla.

32 Funktio δ a,h on kahden askelfunktion summa δ a,h (t) = 1 h[ H(t a) H(t (a+h)) ]. Sen Laplacen muunnos saadaan laskettua askelfunktion muunnoksen ja lineaarisuuden perusteella L(δ a,h ) = 1 [ e as e (a+h)s] as 1 e hs = e. hs hs Annamme aikavälin pituuden lyhentyä rajatta. Rajalla h merkitsemme "rajafunktiota" lim δ a,h(t) = δ(t a), h δ(t a) on ns. Dirac n deltafunktio.

33 Diracin deltafunktion omin. Dirac n deltafunktio ei varsinaisesti ole funktio, sillä sen ominaisuuksia {, t = a, δ(t a) = δ(t a)dt = 1., muulloin, ei voi olla tavallisella funktiolla. Dirac n deltan Laplacen muunnos saadaan Hospitalin säännön avulla L(δ(t a)) = e as.

34 Vaimennetun systeemin vaste kanttipulssiin Esim. 7 Ratkaise alkuarvotehtävä { y + 4y + 3y = y() = y () =. 1, < t < 1,, muulloin, Ratkaisu: Merkitään L(y) = Y(s).

35 Muunnetaan yhtälö L(y + 4y + 3y) = L(f) = F(s). Vasen puoli lasketaan käyttämällä derivaatan muunnoksen kaavoja L(y + 4y + 3y) = L(y )+4L(y )+3L(y) = s 2 Y(s) y () sy() + 4 ( sy(s) y() ) + 3Y(s) = ( s 2 + 4s + 3 ) Y(s). Oikean puolen muunnos määritelmän tai askelfunktion avulla: F(s) = f(t)e st dt = 1 e st dt = 1 s 1 s e s

36 Ratkaisun muunnokselle saadaan yhtälö Y(s) = Osamurtokehitelmä ( s 2 + 4s + 3 ) Y(s) = 1 s 1 s e s G(s) := 1 s(s 2 + 4s + 3) = Määritelläään apufunktio 1 s(s 2 + 4s + 3) e s. 1 s(s 2 + 4s + 3) = 1 s(s + 1)(s + 3) s 2 s s + 3, g(t) = L 1( 1 ) s(s + 1)(s + 3)

37 Apufunktio g(t) = 1 3 L 1( 1) 1 s 2 L 1( 1 ) 1 + s L 1( 1 ) s + 3 = e t e 3t. Ratkaisu saadaan käänteismuunnoksella: y(t) = L 1( 1 s(s 2 + 4s + 3) = g(t) g(t 1)H(t 1) = ) L 1 ( 1 s(s 2 + 4s + 3) e s) { e t e 3t, t < 1, 1 2 e t e 3t e (t 1) 1 6 e 3(t 1), t > 1.

38 Vaimennetun systeemin vaste impulssiin Esim. 8 Ratkaise alkuarvotehtävä y + 4y + 3y = δ(t a), y() = y () =. Ratkaisu: Merkitään L(y) = Y(s).

39 Muunnetaan yhtälö L(y + 4y + 3y) = L(δ(t a)) = e as. Ratkaisun muunnokselle saadaan yhtälö ( s 2 + 4s + 3 ) Y(s) = e as Osamurtokehitelmä G(s) := Y(s) = 1 s 2 + 4s + 3 e as s 2 + 4s + 3 = 1 (s + 1)(s + 3) = 2 s s + 3,

40 Apufunktio g(t) = L 1( 1 ) (s + 1)(s + 3) = 1 2 L 1( 1 ) 1 s L 1( 1 ) s + 3 = 1 2 e t 1 2 e 3t. Tehtävän ratkaisu saadaan käänteismuunnoksella: y(t) = L 1( G(s)e as) = L 1( 1 (s 2 + 4s + 3) e as) = g(t a)h(t a).

41 Erityisesti tapauksessa a = 1 saadaan {, t 1, y(t) = g(t 1)H(t 1) = 1 2 e (t 1) 1 2 e 3(t 1), t > 1. Kuviossa on vaimennetun systeemin vaste sekä kanttipulssiin, että hetkellä t = 1 annettuun impulssiin f(t)-f(t-1)*h(t-1) g(t-1)*h(t-1)

42 Konvoluutio Toisen kertaluvun vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävä y (t)+py (t)+qy(t) = f(t), y() =, y () =. Ratkaiseminen Laplacen muunnoksen avulla johtaa ratkaisun muunnoksen lausekkeeseen 1 Y(s) = F(s)G(s) = F(s) (s 2 + ps + q). Funktio G on differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävän kuvaaman lineaarisen systeemin siirtofunktio. Oletamme, että tunnemme funktion f Laplacen muunnoksen F. Funktion G käänteismuunnos g voidaan aina määrätä osamurtokehitelmän avulla.

43 Käänteismuunnokselle voidaan osoittaa laskukaava L 1 (Y(s)) = L 1 (F(s)G(s)) = f g, f g on funktioiden f ja g konvoluutio. Konvoluutio määritellään kaavalla (f g)(t) = t f(τ)g(t τ)dτ. Täten nolla-alkutilaisen vakiokertoimisen lineaarisen systeemin vaste y voidaan lausua herätteen f ja siirtofunktion käänteismuunnoksen eli impulssivasteen g konvoluution avulla y(t) = (f g)(t) = t f(τ)g(t τ)dτ.

44 Konvoluution laskusäännöt f g = g f, f (g h) = (f g) h, f (g 1 + g 2 ) = f g 1 + f g 2, f = f =.

45 Ne perustellaan kirjoittamalla kaavat auki ja käyttämällä integraalin laskusääntöjä. Jos alkuehdot nollasta eroavia, niin yhtälöä y (t)+py (t)+qy(t) = f(t), y() = a,y () = b vastaa s alueessa yhtälö (s 2 + ps + q)y(s) as b ap = F(s), Ratkaisun muunnos Y(s) = as + b+ap (s 2 + ps + q) + F(s) (s 2 + ps + q). Alkuehdoista riippuvan osan käänteismuunnoksen voi laskea osamurtokehitelmällä ja muunnoskaavoilla. Herätteestä riippuvan osan voi lausua systeemin impulssivasteen ja herätteen konvoluution avulla.

46 Funktioita ja niiden Laplace muunnoksia f(t) 1 1 s 1 t t n 1 (n 1)! sin ωt cos ωt F(s) s 2 1 s n ω s 2 +ω 2 s s 2 +ω 2 e at 1 s a t a, a > 1 Γ(a+1) s a+1

47 Laplace muunnoksen yleisiä kaavoja L(αf(t)+βg(t)) = αl(f(t))+βl(g(t)) L 1 (αf(s)+βg(s)) = αl 1 (F(s))+βL 1 (G(s)) L(e ct f(t)) = F(s c) L(t n f(t)) = ( 1) n F (n) (s) L(H(t c)f(t c)) = e cs F(s)) L(δ(t c)) = e cs L((f g)(t)) = F(s)G(s)