MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto
Kombinatoriia
Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan matematiian edustaja joo professorien, lehtorien tai matematiian pääaineopiselijoiden jouosta. Jos professoreita on 12, lehtoreita 8 ja pääaineopiselijoita 83 (ja uaan ei uulu ahteen ryhmään), niin uina monella tavalla valinta voidaan tehdä? 12+8+83=103 tavalla 1 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Summaperiaate Lause 2 (Summaperiaate) Oloot A 1,..., A n erillisiä äärellisiä jouoja: i {1,..., n}: A i <, i, j {1,..., n}: i j A i A j =. Tällöin A 1... A n = A 1 +... + A n. Todistus. Taululla (indutio). Muistetaan viime viiolta: A = m taroittaa, että on olemassa bijetio A {1,..., m}. 2 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Kyyhyslaaperiaate Esimeri 3 Montao opiselijaa on urssilla oltava, jotta vähintään seitsemän heistä saisi saman arvosanan (0-5)? 37 opiselijaa. Idea: Jos n palloa asetetaan :hon laatioon, niin ainain yhteen laatioon tulee vähintään n palloa. Tässä esiintyi attofuntio: x = min {m Z : m x} 3 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Kyyhyslaaperiaate Lause 4 (Kyyhyslaaperiaate) Oloot A ja B äärellisiä jouoja. Jos f : A B on miä tahansa funtio ja jos A > B, niin f ei voi olla injetio. (Yleisemmin: jos n N: A > n B, niin b B : f 1 ({b}) n + 1.) Todistus. Todistus taululla: vastaoletus ja summaperiaate. Vaia lause on ilmeinen, se esiintyy päättelyissä yllättävän usein; s. Boo of Proof -irjan luu 12.3. 4 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Kyyhyslaaperiaate Esimeri 5 Oloon m N ja oloon S m aiien oreintaan m-pituisten bittijonojen jouo. Määritellään paausmenetelmä jouossa S m funtiona S m S m 1. Paausmenetelmä on häviötön, jos funtio on injetio. Kyyhyslaaperiaatteen nojalla ei ole olemassa yleistä häviötöntä paausmenetelmää, osa selvästi S m > S m 1 aiilla m. (Erioistapausissa on olemassa häviöttömiä paausmenetelmiä, jota äyttävät hyväseen tunnettuja tiedostoraenteita.) 5 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Tuloperiaate Esimeri 6 Kirjahyllyssä on viisi fysiian irjaa, seitsemän tietoteniian irjaa ja ymmenen matematiian irjaa. Monellao eri tavalla hyllystä voidaan valita asi eri alan irjaa? 155 tavalla. Otetaan vastausen perusteluun työalusi tuloperiaate: 6 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Tuloperiaate Lause 7 (Tuloperiaate) Oloot A 1,..., A n äärellisiä jouoja. Tällöin A 1... A n = A 1... A n. Jouon A 1... A n := {(a 1,..., a n ): a i A i aiilla i} alioita sanotaan järjestetyisi listoisi (tai äärellisisi jonoisi). 7 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Tuloperiaate Nyt saadaan esimerin ysymyseen vastaus perusteltua näppärästi: Rataisu Oloot F, T ja M fysiian, tietoteniian ja matematiian irjojen jouot. Tällöin sallitut valinnat ovat jouon (F T ) (F M) (T M) aliot. Summaperiaatteen nojalla valintoja on F T + F M + T M appaletta, joten tuloperiaatteen nojalla irjat voidaan valita eri tavalla. F T + F M + T M = 35 + 50 + 70 = 155 8 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Tuloperiaate Tuloperiaatteen todistus. Tapaus n = 1 selvä. Tehdään tapaus n = 2; yleinen tapaus samoin indutiolla. Oloon A = ja B = m; meritään A = {a 1,..., a } ja B = {b 1,..., b m }. Tällöin A B = i=1 j=1 m {(a i, b j )}, missä jouot {(a i, b j )} ovat erillisiä, joten summaperiaatteen nojalla A B = m {(a i, b j )} = i=1 j=1 m 1 = m = A B. i=1 j=1 9 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Tuloperiaate Huomio Edellä esiintyi uusi merintä; yleisesti määritellään (X = perusjouo) n A := { x X : x A jollein {1,..., n} } =1 ja n A := { x X : x A aiille {1,..., n} }. =1 Nämä ovat yhdisteen ja leiausen yleistyset useammalle uin ahdelle jouolle. (Vastaava merintä äärettömälle yhdisteelle ja leiauselle toi nähtiin jo äärettömän jouoperheen yhteydessä.) 10 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Tuloperiaate Esimeri 8 Todistetaan, että äärellisen jouon A osajouojen luumäärä on P(A) = 2 A : Oloon A = n; meritään A = {a 1,..., a n }. Määritellään {0, 1} n := {0, 1} {0, 1} (n-pituiset bittijonot) ja funtio f : P(A) {0, 1} n asettamalla f (B) = (i 1,..., i n ), missä { 1, jos aj B, i j = 0, muulloin. Tällöin f on bijetio, joten jouon mahtavuuden määritelmän ja tuloperiaatteen nojalla P(A) = {0, 1} n = 2 n = 2 A. Aiheesta taremmin / eri tavalla: Boo of Proof, luu 3.1. 11 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Kertoma Määritelmä 9 Luvun n N ertoma (eng. factorial) n! määritellään reursiivisesti: 0! = 1 ja! = ( 1)! aiilla 1. Tällöin indutiolla saadaan tuttu aava n! = 1 2... (n 1) n. 12 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Kertoma Esimeri 10 Kuina monta nollaa on luvun 10! lopussa? Entä luvun 100! lopussa? Luvun 10! = 1 2 3 4 }{{} 5 6 7 8 9 }{{} 10 ysi nolla toinen nolla lopussa on asi nollaa. Ysi tulee teijästä 10 ja toinen ertomalla teijä 5 millä tahansa parillisella luvulla. Jäljelle jääviä luuja ertomalla nollia ei synny lisää. Luvun 100! lopussa on 24 nollaa (luvun 5 moniertoja on tulonteijöiden jouossa 20, niistä 4 myös luvun 25 moniertoja). 13 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Kertoma Esimeri 11 Jos n:stä meristä muodostetaan :n pituisia merijonoja ilman samojen merien toistoa, niin mahdollisia tapoja on n (n 1)... (n ( 1) ) = n (n 1)... (n + 1). Kun lavennetaan luvulla (n )! = 1... (n ), saadaan n! järjestettyjen merijonojen (ilman toistoa) luumääräsi (n )!. 14 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Osajouojen luumäärä Jos A on äärellinen jouo ja A, niin -alioista A:n osajouoa utsutaan josus -ombinaatiosi jouossa A. Termi viittaa siihen, että uin -alioinen osajouo saadaan valitsemalla aliota jouosta A ilman, että järjestysellä on meritystä. Lause 12 Jos A = n ja {0,..., n}, niin -alioisia A:n osajouoja A on ( ) n! n!(n )! =: appaletta. 15 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Osajouojen luumäärä Todistus. Aiemmasta tiedämme, että erilaisia :n alion järjestettyjä listoja n! (ilman toistoa) on appaletta. Toisaalta aliota (n )! voidaan järjestää! tavalla, joten osajouojen (järjestämättömiä n! listoja ilman toistoa) luumäärä saadaan jaamalla luu (n )! luvulla!. 16 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Binomierroin Termiä ( n ), missä n, N ja 0 n, utsutaan binomiertoimesi. Se voidaan määritellä joo aavalla (uten edellisessä alvossa) tai osajouojen luumääränä. Pätee ( ( n 0) = n ( n) = 1 ja n ) ( 1 = n n 1) = n. Tapana on määritellä myös ( n ) = 0, un n + 1. Esimeri 13 Kuina monella tavalla voidaan muodostaa 75 henilön jouosta 9 hengen omitea ja sille 4 hengen hallitus? ( 75 )( 9 ) ( 9 4 = 75 )( 75 4 ) 4 9 4 = 15825048394050 tavalla 17 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Binomierroin Lause 14 (Pascalin aava) ( ) ( ) n n 1 = 1 ( n 1 + ). Todistus. Oloon A = n ja a A. Jaetaan -alioiset A:n osajouot ahteen luoaan sen muaan, uuluuo alio a jouoon vai ei. Osajouoja, joihin alio a uuluu, on ( n 1 1) appaletta ja osajouoja, joihin alio a ei uulu, on ( ) n 1 appaletta. 18 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Binomierroin Esimeri 15 Äseisen tulosen ( ) n = ( ) n 1 + 1 ( ) n 1 eli ( ) ( ) n + 1 n = + 1 ( ) n avulla saadaan raennettua Pascalin olmio, un lisäsi muistetaan ( n ) ( 0 = n ) n = 1 aiille n. (Taululla.) 19 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Binomiaava Lause 16 Kaiilla n N ja aiilla x, y R pätee (x + y) n = n =0 ( ) n x y n. Todistus 1 (ombinatorinen) Kun (x + y) errotaan itsellään n ertaa ja tulo lasetaan aui, saadaan summa jossa esiintyy termejä x y n ullein = 0, 1,..., n. Kuina monta ertaa termi x y n esiintyy, un on iinnitetty? 20 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Binomiaava Todistus 1 (jatuu) Termi x y n saadaan, un tulon (x + y)(x + y)... (x + y) (termejä n pl) auilasussa valitaan täsmälleen ertaa x eli täsmälleen n ertaa y. Tämä voidaan tehdä ( ) ( n = n ) n tavalla. Todistus 2 (indutio) Kun n = 1, aava saa muodon x + y = x + y. Oletetaan, että väite pätee jollein n. Tällöin (x + y) n+1 = (x + y)(x + y) n 21 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Binomiaava Todistus (jatuu) (ind.) = (x + y) = x =0 n =0 ( ) n x y n n ( ) n x y n + y =0 n ( ) n x y n =0 n ( ) n n ( ) n = x +1 y n + x y n +1 =0 =0 ( n 1 ( ) ( n n ( ) n = x n+1 + )x +1 y n + y n+1 + )x y n +1 =1 22 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Binomiaava Todistus (jatuu) n 1 ( ) n n = x n+1 + x +1 y n + =0 =1 n ( ) n = x n+1 + x y n ( 1) + 1 =1 n (( ) n = x n+1 + + 1 =1 (Pascal) n ( n + 1 = x n+1 + =1 ( ) n x y n +1 + y n+1 n =1 ( ) n x y n +1 + y n+1 ( )) n x y n ( 1) + y n+1 ) x y n ( 1) + y n+1 23 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Binomiaava Todistus (jatuu) n+1 ( ) n + 1 = x y (n+1). =0 Esimeri 17 Todistetaan ahdella tavalla, että n ( n =0 ) = 2 n. Tapa 1. 2 n = (1 + 1) n = n =0 ( n ) 1 1 n = n =0 ( n ). 24 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Binomiaava Tapa 2. Jouossa, jossa on n aliota, on yhteensä 2 n osajouoa. Näistä -alioisia on ( n ) appaletta. Esimeri 18 Misi 4 n = n Misi ( ) ( n = n n 1 Vastaus: =0 3( n 1)? )? Kuten tapa 1 yllä; 4 = 1 + 3. Valitaan n:n ihmisen jouosta :n henilön omitea ja sille puheenjohtaja. Yhtälön vasemmalla puolella valitaan ensin omitea ja sitten puheenjohtaja, oiealla puolella valitaan ensin puheenjohtaja ja sitten loput omiteasta. 25 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Multinomiertoimet Esimeri 19 Eräs henilö aioo valita 100 päivää vuonna 2017, joina hän juosee 10 ilometrin lenin, 200 päivää, joina hän juosee 5 ilometrin lenin, ja 65, joina hän ei harrasta liiuntaa. Monellao tavalla hän voi tehdä nämä valinnat? Jos ensin valitaan 365 päivän jouosta 100 päivää, jolloin hän juosee 10 ilometrin lenin, niin vaihtoehtoja on ( 365 100). Jos jäljellä olevista 365 100 = 265 päivistä valitaan 200 päivää, jolloin hän juosee 5 ilometrin lenin, niin vaihtoehtoja on ( 265 200). Kaiien vaihtoehtojen luumääräsi tuloperiaatteen nojalla tulee ( ) 365 100 ( ) 265. 200 26 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Multinomiertoimet Huomataan, että ( ) ( ) 365 265 100 200 = = = 365! 100! (365 100)! 265! 200! (265 200)! 365! 265! 100! 265! 200! 65! 365! 100! 200! 65!. Vaiuttaa järevältä, osa toisaalta yse onin siitä, uina monella tavalla 365 päivän jouo voidaan jaaa olmeen pistevieraaseen osajouoon, joissa on 100, 200 ja 65 aliota. Tämän innoittamana määritellään multinomierroin: 27 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Multinomiertoimet Määritelmä 20 (Multinomierroin) ( ) n = n 1, n 2,..., n m n! n 1! n 2!... n m!, un n = n 1+n 2 +...+n m. ( ) n Meritys: on vaihtoehtojen luumäärä un n 1, n 2,..., n m jouo A jaetaan osajouoisi A j, j = 1,..., m siten, että m j=1 A j = A, A i A j = un i j, ja A j = n j. Esimeri 21 Äseisen esimerin vastaus siis toisin irjoitettuna on ( ) 365 365! := 100, 200, 65 100! 200! 65!. 28 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Seulayhtälö Kahdelle jouolle: A B = A + B A B. Esimeri 22 Montao 8:n pituista bittijonoa joo alaa yösellä tai päättyy ahteen nollaan? Vastaus: 2 7 + 2 6 2 5 = 128 + 64 32 = 160. Kolmelle jouolle: A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3. 29 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Seulayhtälö Esimeri 23 (Erastotheneen seula) Määritetään uina moni luvuista 1,..., 100 on jaollinen olmella, seitsemällä tai yhdellätoista. Meritään jolloin A 3 = { n {1,..., 100}: n on jaollinen olmella }, A 7 = { n {1,..., 100}: n on jaollinen seitsemällä }, A 11 = { n {1,..., 100}: n on jaollinen yhdellätoista }, A 3 = 33, A 7 = 14, A 11 = 9, A 3 A 7 = 4, A 3 A 11 = 3, A 7 A 11 = 1, A 3 A 7 A 11 = 0. 30 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Seulayhtälö Siten seulayhtälön nojalla A 3 A 7 A 11 = A 3 + A 7 + A 11 A 3 A 7 A 3 A 11 A 7 A 11 + A 3 A 7 A 11 = 33 + 14 + 9 4 3 1 + 0 = 47 luua luvuista 1,..., 100 on jaollisia olmella, seitsemällä tai yhdellätoista. 31 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Seulayhtälö Kun olmen jouon tapausessa meritään S 1 = A 1 + A 2 + A 3, S 2 = A 1 A 2 + A 1 A 3 + A 2 A 3 ja S 3 = A 1 A 2 A 3, niin yhtälö saa muodon A 1 A 2 A 3 = 3 ( 1) 1 S. =1 32 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Seulayhtälö Lause 24 (Seulayhtälö) Jos A 1,..., A n ovat äärellisiä jouoja, niin missä A 1... A n = S = B n ( 1) 1 S, (1) =1 i B A i ja summaus yllä tapahtuu yli aiien jouon {1,..., n} osajouojen B, joille B =. 33 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Seulayhtälö Todistus. Joainen x A 1... A n tulee lasetusi täsmälleen erran yhtälön (1) vasemmalla puolella. Todistetaan, että näin tapahtuu myös yhtälön (1) oiealla puolella. Oloon siis x A 1... A n. Meritään symbolilla m sitä, moneeno aluperäisistä jouoista aliomme x uuluu: m := { {1,..., n}: x A }. Jos i {1,..., m}, niin x uuluu ( ) m i :een i:n jouon leiauseen, ja jos i {m + 1,..., n}, niin x ei uulu yhteenään i:n jouon leiauseen. 34 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402
Seulayhtälö Todistus (jatuu) Siten x tulee lasetusi yhtälön (1) oiealla puolella m ( ) m ( 1) i 1 = 1 i i=1 ertaa, sillä m i=0 ( 1)i 1( ) m i = (1 1) m = 0. (Huomio. Seulayhtälö on summaperiaatteen yleistys.) 35 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402