MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

Transkriptio

1 MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto

2 Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf Gripenbergin ja Harri Varpasen laatimiin saman kurssin aikaisempiin kalvosarjoihin. Kiitokset heille käyttöön antamastaan materiaalista! Otaniemessä Riikka Kangaslampi 1 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

3 Joukko-oppi

4 Joukko Matematiikan kaikki rakenteet ja niitä koskevat väitteet voidaan ilmaista joukkojen avulla. Esimerkki 1 N = {0, 1, 2, 3,...} on luonnollisten lukujen joukko. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} on kokonaislukujen joukko, Z + = {1, 2, 3,...} positiiviset ja Z = {..., 3, 2, 1} negatiiviset kokonaisluvut. { } Q = p q : p, q Z, q 0 on rationaalilukujen joukko. R on reaalilukujen joukko. Joukkoja voi määritellä millaisia haluaa, vaikkapa A = { lammas, klemmari, 16, π, ikuisuus } 2 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

5 Joukko Joukko-opissa peruskäsite on eli x A kun alkio x kuuluu joukkoon A ja x / A kun alkio x ei kuulu joukkoon A. Merkintätapoja: {2, 4, 5, 8} on joukko jonka alkiot ovat 2, 4, 5 ja 8. {lauseke : ehto} on joukko johon kuuluu lausekkeen antamat alkiot kun ehto on voimassa, esim. { x 2 : 2 < x < 10, x on kokonaisluku } = {9, 16, 25,..., 81}. Tyhjä joukko: = {} on joukko, johon ei kuulu yhtään alkiota, eli x on aina epätosi. A = B jos on totta, että x A jos ja vain jos x B, esimerkiksi {1, 2, 2, 3} = {3, 2, 1}. 3 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

6 Joukko-opin perusmerkintöjä Yhdiste tai unioni: x A B jos ja vain jos x A tai x B. A B Leikkaus: x A B jos ja vain jos x A ja x B. A B Joukkoerotus: x A \ B jos ja vain jos x A mutta x / B. A B Komplementti: A c = Ω \ A jos A Ω ja on selvää mikä Ω on. A 4 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

7 Joukko-opin perusmerkintöjä Osajoukko: A B jos jokainen A:n alkio on myös B:n alkio. B A Aito osajoukko: A B, jos A B, mutta A B. Huom: Usein osajoukkoa merkitään A B, jolloin aito osajoukko on A B. Yhtäläisyys: A = B jos A B ja B A. Potenssijoukko: P(A) on joukon kaikkien osajoukkojen muodostama joukko. Tulojoukko: A B = {(a, b) : a A, b B}, missä (a, b) on järjestetty pari eli kahden alkion lista, jossa a on ensimmäisenä ja b toisena. 5 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

8 Joukko-opin perusmerkintöjä Esimerkki 2 Jos A = {0, 2, 4}, B = {1, 3, 5} ja C = {0, 1, 2, 3, 4}, niin A C ja B C. Esimerkki 3 Jos A = {1, 2, 3}, niin P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }. Esimerkki 4 {0, 1} {2, 1} = {(0, 2), (0, 1), (1, 2), (1, 1)}. 6 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

9 Joukko-opin perusmerkintöjä Merkintä A tarkoittaa joukon A alkioiden lukumäärää. Esimerkki 5 Jos A = 5 ja B = 9, niin mitkä seuraavista eivät kelpaa luvuksi A B missään tilanteessa? a) 4 b) 6 c) 9 d) 10 e) 14 f) 20 Vastaus: a,b ja f. 7 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

10 Joukko-opin perusmerkintöjä Esimerkki 6 Päteekö A (B C) = (A B) (A C)? Tutki piirtämällä Venn-diagrammit joukoista A, B C, A (B C), A B, A C ja (A B) (A C), kun A, B ja C ovat kuten alla. A B C Vastaus: kyllä 8 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

11 Perusjoukko Kylässä on miespuolinen parturi, joka ajaa niiden ja vain niiden miesten parran, jotka eivät aja omaa partaansa. Ajaako parturi oman partansa? (ns. Russelin paradoksi) Joukko-oppi ei aina ole niin yksinkertaista! Käytännössä joukot ovat aina tietyn perusjoukon (eng. domain of discourse, universal set of discourse) osajoukkoja. Russellin paradoksi voidaan välttää vaatimalla taustalle perusjoukko X, jonka osajoukkoja kaikki tarkasteltavat joukot ovat. 9 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

12 Indeksöity joukkoperhe Olkoon X perusjoukko ja A 1, A 2, A 3,... X joukkoja. Tällöin on indeksöity joukkoperhe. {A k } k=1 Merkitään A k = {x X : x A k jollakin k Z + } k=1 A k = {x X : x A k kaikilla k Z + } k=1 10 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

13 Indeksöity joukkoperhe Esimerkki 7 Olkoon X = R ja A k = [0, 1 k ] (suljettu väli). Osoita, että a) b) k=1 A k = [0, 1] k=1 A k = {0} Todistus taululla 11 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

14 Logiikka

15 Väitelause Määritelmä 8 Väitelause (eng. statement) on lause, joka on joko tosi tai epätosi. Esimerkki 9 Väitelauseita: 2 Z, 5 = 2, luvun π miljoonas desimaali on 7. Nämä eivät ole väitelauseita: Onko = 4? Tämä lause on epätosi. Usein väitelauseet ovat muotoa kaikille x A pätee P(x) tai jollekin x A pätee P(x). Nämä lyhennetään usein x A : P(x) ja x A : P(x). 12 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

16 Esimerkkejä väitelauseista x R : x 2 > 0 a R : x R : ax = x n Z : m Z : m = n + 5 n Z : m Z : m = n + 5 Mistä tahansa bileistä löytyy kaksi ihmistä, jotka tuntevat yhtä monta ihmistä samoista bileistä. Keskustelutehtävä: Mitkä näistä väitteistä ovat totta? Tosia toinen ja kolmas, epätosia ensimmäinen ja neljäs. Viides jätetään myöhemmäksi. 13 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

17 Negaatio Miten muodostaa negaatio väitteelle kaikille x A pätee P(x)? (1) Esimerkki 10 Esitetään väite jokainen luonnollinen luku voidaan esittää alkulukujen tulona muodossa kaikille x N pätee P(x), missä P(x) = x voidaan esittää alkulukujen tulona. Negaatio tälle on on olemassa luonnollinen luku, jota ei voida esittää alkulukujen tulona eli jollekin x N ei päde P(x). 14 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

18 Negaatio Yleisesti: Olkoon B niiden alkioiden joukko, joille P(x) pätee. Tällöin väite (1) saa muodon A B. Tämän negaatio on A B, ts. jollekin x A pätee x / B. Siten väitteen (1) negaatio on jollekin x A ei päde P(x). Samoin väitteen jollekin x A pätee P(x) negaatio on kaikille x A pätee ei-p(x) eli millekään x A ei päde P(x). Edellä palautettiin negaation muodostaminen (voi olla vaikeaa) osajoukkouden määritelmään ja sen negaatioon (helppoa). 15 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

19 Loogiset konnektiivit Väitelauseita voi yhdistää loogisilla konnektiiveilla: Lisäksi jo tutut kvanttorit: implikaatio = ekvivalenssi negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai kaikille jollekin 16 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

20 Loogiset konnektiivit Sopimus Implikaatio P Q on matematiikassa tosi aina, kun P on epätosi. Esimerkki 11 Väite x R : (x 2 < 0 x = 23) on tosi, koska x 2 < 0 on epätosi kaikilla x R. Implikaation totuustaulu: P Q P = Q E E T E T T T E E T T T 17 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

21 Loogiset konnektiivit Identtisesti tosia lauseita sanotaan tautologioiksi. Esimerkki 12 Seuraavat lauseet ovat tautologioita, mikä voidaan nähdä esimerkiksi totuustaulun avulla: P P (kaksoiskiellon poisto) P P (vaihtoehtopakko) (P = Q) ( Q = P) (kontraponointilaki) (P Q) ((P = Q) (Q = P)) (ekvivalenssilaki) Esimerkiksi ekvivalenssilain mukaan kahden väitteen yhtäpitäväksi osoittaminen voi tapahtua osoittamalla ne erikseen toistensa seurauksiksi. 18 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

22 Loogiset konnektiivit Esimerkki 13 Tutkimusmatkailija saapuu rehtien ja retkujen saarella T-risteykseen, jossa maleksii yksi saaren asukas. Miten matkailija saa yhdellä kysymyksellä selville, onko kaupunki oikealla vai vasemmalla? Merkitään: P = kaupunki on oikealla ja Q = asukas on retku ja kysytään päteekö P Q. P Q P Q asukkaan vastaus kyllä E E T T E T E T T E E E T T T E 19 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

23 Kontrapositio Määritelmä 14 Väitteen jos P, niin Q eli P = Q kontrapositiivinen väite on jos ei-q, niin ei-p eli Q = P. Esimerkki 15 Väitteen (perusjoukkona R) jos x > 0, niin x 3 0 kontrapositio on jos x 3 = 0, niin x / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

24 Kontrapositio Lause 16 Väite ja sen kontrapositio ovat loogisesti yhtäpitäviä. Todistus. Merkitään väitettä P Q. Väite on epätosi ainoastaan yhdessä tapauksessa eli silloin, kun P on tosi ja Q on epätosi. Tarkastellaan sitten kontrapositiota ( Q) ( P). Kontrapositio on vastaavasti epätosi silloin, kun Q on tosi ja P on epätosi. Toisin sanoen kontrapositio on epätosi täsmälleen silloin, kun Q on epätosi ja P on tosi. Koska väite ja kontrapositio ovat tosia / epätosia samoissa tilanteissa, lause on todistettu. 21 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

25 Käänteinen väite Määritelmä 17 Väitteen P = Q käänteinen väite on Q = P. Huomio. Käänteinen väite on eri asia kuin väitteen kontrapositio. Väite ja sen kontrapositio ovat yhtäpitäviä, mutta väitteen totuusarvosta ei voi päätellä käänteisen väitteen totuusarvosta yhtään mitään. Esimerkki 18 Reaalilukuja koskevan väitteen jos x > 0, niin x 3 0 (tosi) käänteinen väite on jos x 3 0, niin x > 0 (epätosi). 22 / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

26 Todistamisesta Matematiikan väitelauseet voidaan aina esittää muodossa A B, toisin sanoen muodossa x X : x A = x B. Tällaisen väitteen suora todistus on yksisuuntainen päättelyketju, joka lähtee oletuksesta x A ja etenee johtopäätökseen x B. Väitteen epäsuora todistus käyttää hyväksi yhtäpitävää kontrapositiota B c A c eli x X : x / B = x / A. Toisin sanoen tehdään vastaoletus x / B ja edetään jälleen yksisuuntaisella päättelyketjulla ristiriitaan x / A. Väite A B on epätosi täsmälleen silloin, kun x A x B on epätosi jollekin x X. Siten väitteen A B todistaminen vääräksi edellyttää, että löydämme vastaesimerkin: alkion x A, jolle x / B. Tarkemmin: harjoitus / 23 R. Kangaslampi MS-A0402

27 MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 2: Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto

28 Relaatiot

29 Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A joukkoon B on mikä tahansa joukko R A B. Joukko A on relaation R lähtöjoukko, joukko B sen maalijoukko. Jos A = B, sanotaan, että R on relaatio joukossa A. Huomautus Määritelmää yllä kutsutaan usein myös binääriseksi relaatioksi. (Vastaavasti voidaan määritellä n-paikkainen relaatio joukkojen A 1,..., A n välillä joukon A 1... A n osajoukkona.) Sovelluksia mm. Relaatiotietokannat, ohjelmointikielten kääntäjät. 1 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

30 Relaatio Esimerkki 2 Olkoon A = {1, 2, 3, 4}. Määritellään relaatio R joukossa A säännöllä R = {(a, b) : a on b:n tekijä}. Tällöin R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}. Huom: Yllä jaollisuutta (a, b) R on tapana merkitä a b. Yleisestikin relaatioon pyritään liittämään sopiva symboli (esim., =,, ) ja merkitsemään vastaavasti. Merkitsemme tällä kurssilla yleistä relaatiota a b emmekä arb kuten lähteissä. 2 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

31 Relaatio suunnattuna verkkona Esimerkki 3 Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {a, b} ja R = {(0, a), (0, b), (1, a), (2, b)}. Tällöin relaatio R voidaan esittää suunnattuna verkkona kuten alla: a b Kysymys Jos A = m ja B = n, montako relaatiota on olemassa joukosta A joukkoon B? (Vastaus: 2 mn.) 3 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

32 Relaatioiden luokittelua Määritelmä 4 Relaatio joukossa A (merkitään ) on refleksiivinen, jos x A : x x symmetrinen, jos x, y A : x y y x transitiivinen, jos x, y, z A : (x y ja y z) x z antisymmetrinen, jos x, y A : (x y ja y x) x = y. Esimerkki 5 Joukon Z relaatio = on refleksiivinen, symmetrinen, transitiivinen ja antisymmetrinen. Joukon N relaatio (jaollisuus) on antisymmetrinen, refleksiivinen ja transitiivinen. 4 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

33 Ekvivalenssirelaatio Määritelmä 6 Jos relaatio on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen, sitä kutsutaan ekvivalenssirelaatioksi tai lyhyesti ekvivalenssiksi. Esimerkki 7 C-ohjelmointikielen kääntäjä tarkistaa muuttujien nimistä vain kahdeksan ensimmäistä merkkiä ja mikäli ne ovat samoja, katsoo muuttujat samoiksi. (Lähde: Rosen.) Määritellään äärellisten merkkijonojen joukossa relaatio R asettamalla (x, y) R, jos x = y tai jos x:n ja y:n kahdeksan ensimmäistä merkkiä ovat samat. Tällöin R on ekvivalenssi. 5 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

34 Ekvivalenssirelaatio Ekvivalenssirelaatio ilmaisee yleistä samuutta. Riippuu tilanteesta, millä kriteereillä samuus määritellään, mutta jokainen ekvivalenssirelaatio jakaa joukkonsa samojen alkioiden muodostamiin ekvivalenssiluokkiin: Määritelmä 8 Olkoon R ekvivalenssirelaatio joukossa A (merkitään ). Alkion a A ekvivalenssiluokka on joukko [a] = {x A : a x}. 6 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

35 Ekvivalenssirelaatio Pätee Jos joukossa A on annettu ekvivalenssi, niin sen ekvivalenssiluokat jakavat A:n erillisiin osiin. Toisin sanoen kaikille a, b A pätee joko [a] = [b] tai [a] [b] =. Tarkemmin: Book of Proof, 11.2 & 11.3, erityisesti kuva sivulla 184. (Moduloluvut ovat neljännen viikon asiaa.) 7 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

36 Järjestysrelaatio Vastaavasti määritellään yleinen järjestyksen käsite relaationa, joka on antisymmetrinen ja transitiivinen. Tarkemmin harjoitustehtävässä 11, jossa tutustutaan osittaisiin järjestyksiin (eng. partial order; poset = partially ordered set). 8 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

37 Funktiot

38 Funktio Määritelmä 9 Funktio joukosta A joukkoon B on relaatio f joukosta A joukkoon B siten, että kullekin lähtöjoukon alkiolle a löytyy täsmälleen yksi maalijoukon alkio b, jolle (a, b) f. Esimerkki 10 lähtöjoukko maalijoukko lähtöjoukko maalijoukko 9 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

39 Funktio Huomioita Funktio siis rajoittaa relaatiota kahdella tavalla: 1) kaikkien lähtöjoukon alkioiden on oltava relaatiossa jonkun maalijoukon alkion kanssa, 2) maalijoukon alkio on yksikäsitteinen. Tapana on funktion tapauksessa merkitä f (a) = b eikä (a, b) f. Funktiota f joukosta A joukkoon B merkitään lyhyesti f : A B. 10 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

40 Funktio Huomioita (jatkuu) Määritelmä tarkasti: a A, b, c B : ( f (a) = b ja f (a) = c ) b = c. Joskus funktiolle ei tarvita kirjainta; voidaan esimerkiksi ilmaista reaaliluvun korottaminen neliöön funktiona R R, x x 2. (Tässä f (a) = b on korvattu ilmaisulla a b.) Tarkemmin: Book of Proof, / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

41 Funktio Esimerkki 11 Funktion f = {(x, 4x + 5) : x Z} Z Z määrittelyjoukko (domain) on Z maalijoukko (codomain) on Z arvojoukko (range) on {4x + 5 : x Z} = {..., 7, 3, 1, 5, 9,...} Esimerkki 12 Lukujono on funktio N R. Algoritmien nopeuksien vertailukohteena käytetään lukujonoja muotoja f (n) = log k n, f (n) = n k ja f (n) = k n (jollekin k N) sekä näiden yhdistelmiä. 12 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

42 Injektio, surjektio, bijektio Määritelmä 13 Funktio f : A B on injektio (tai yksi-yhteen ), jos x, y A : x y f (x) f (y) surjektio (tai peittävä ), jos b B a A : f (a) = b bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Esimerkki 14 injektio surjektio bijektio 13 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

43 Injektio, surjektio, bijektio Esimerkki 15 Onko kuvaus f : Z Z Z, f (n) = (2n, n + 3), bijektio? Kuvaus on injektio, jos f (n) = f (m) = m = n. Nyt: f (n) = f (m) = (2n, n + 3) = (2m, m + 3) = (2n = 2m) (n + 3 = m + 3) = (n = m) (n = m) = n = m eli kuvaus todellakin on injektio. Kuvaus on surjektio, jos kaikilla (x, y) Z Z on olemassa n Z siten, että f (n) = (x, y), eli että (2n, n + 3) = (x, y). Tämä ei ole totta: esimerkiksi jos (x, y) = (2, 5), pitäisi olla samanaikaisesti 2n = 2 ja n + 3 = 5 eli n = 1 ja n = 2. Kuvaus siis ei ole bijektio. 14 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

44 Injektio, surjektio, bijektio Bijektiiviset funktiot voidaan kääntää: Määritelmä 16 Bijektiivisen funktion f : A B käänteisfunktio on funktio g : B A, missä g(b) on se yksikäsitteinen luku a, jolle f (a) = b. Huomioita Voidaan osoittaa, että käänteisfunktio on yksikäsitteinen (ts. jos g ja h ovat f :n käänteisfunktioita, niin g = h). Funktion f käänteisfunktiota merkitään f 1. Merkintää f 1 käytetään eri tarkoituksessa alkukuvan käsitteen yhteydessä, tästä lisää hetken kuluttua. 15 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

45 Injektio, surjektio, bijektio Määritelmä 17 Bijektiivistä funktiota A A (oletetaan A < ), kutsutaan joukon A permutaatioksi. Esimerkki 18 Olkoon A = {1, 2, 3}. Määritellään permutaatio f : A A asettamalla ( f (1) ) = 3, f (2) = 2, f (3) = 1. Tiiviimmin matriisina: f =. Nyt f 1 = f / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

46 Yhdistetty funktio Määritelmä 19 Funktioiden f : A B ja g : B C yhdistetty funktio on g f : A C, (g f )(x) = g ( f (x) ). Huomioita Määritelmässä f :n maalijoukko = g:n lähtöjoukko. Määritelmä toimii myös, kun f :n maalijoukko g:n lähtöjoukko. Yhdistäminen ei ole vaihdannainen (eng. commutative): yleensä g f f g. Yhdistäminen on liitännäinen (eng. associative): f (g h) = (f g) h. Tarkemmin: Book of Proof, luku / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

47 Yhdistetty funktio Esimerkki 20 Määritellään ( joukon ) {1, 2, ( 3} permutaatiot ) f = ja g =. Tällöin ( ) ( ) g f = ja f g = / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

48 Kuva ja alkukuva Tilanteessa f (a) = b sanotaan, että b on a:n kuva ja a on b:n alkukuva. (Funktiota kutsutaan joskus nimellä kuvaus.) Sama terminologia on voimassa yleisemmin joukoille: Määritelmä 21 Olkoon f : X Y. Joukon A X kuva on joukko {f (a) : a A} Y. Joukon B Y alkukuva on joukko {x X : f (x) B} X. Joukon A kuvaa merkitään f (A) ja joukon B alkukuvaa merkitään f 1 (B). 19 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

49 Kuva ja alkukuva Huomioita Kuva ja alkukuva ovat aina hyvin määriteltyjä. Erityisesti alkukuva f 1 (B) on aina olemassa, vaikka f ei olisi bijektio. Kuvan ja alkukuvan määritelmät toimivat myös relaatiolle. Itse asiassa mikä tahansa relaatio voidaan kääntää (ks. BoP luku 12.5), mutta funktion käänteisrelaatio ei ole funktio ellei alkuperäinen funktio ole bijektio. Jos f : A B on bijektio, niin {f 1 (b)} = f 1 ({b}) kaikille b B. Tarkemmin: Book of Proof, luku / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

50 Funktiot ja joukko-operaatiot Lause 22 Kaikille funktioille f ja kaikille lähtö- tai maalijoukon osajoukoille A, B pätee: A B f (A) f (B) A B f 1 (A) f 1 (B) f (A B) = f (A) f (B) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) f 1 (A \ B) = f 1 (A) \ f 1 (B). Siis: Alkukuva säilyttää kaikki joukko-operaatiot, mutta kuva vain yhdisteen ja osajoukkouden. 21 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

51 Funktiot ja joukko-operaatiot Erityisesti siis lauseen kaksi viimeistä eivät yleisesti päde kuvajoukoille, kuten vastaesimerkit etsimällä huomaamme: Esimerkki 23 (Tehtävä) Etsi sellainen esimerkkifunktio ja joukot, joille f (A B) f (A) f (B) f (A \ B) f (A) \ f (B). Ensimmäiseen kohtaan sopii vastaesimerkiksi tilanne, jossa A B on tyhjä joukko, mutta f (A) f (B) ei, ja toiseen vastaavasti tilanne, jossa f (A) \ f (B) on tyhjä joukko, mutta f (A \ B) ei ole. 22 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

52 Joukon mahtavuus Määritelmä 24 Kaksi joukkoa A ja B ovat yhtä mahtavia, jos on olemassa bijektio A B. Tällöin merkitään A = B. Huomioita A = n tarkoittaa, että on olemassa bijektio A {1, 2,..., n}. Joukko A on äärellinen jos on olemassa n N siten, että A = n. Jos joukko ei ole äärellinen, se on ääretön. Määritelmässä joukkojen A ja B ei tarvitse olla äärellisiä. Joukko A on numeroituva (eli numeroituvasti ääretön) jos A = N ja ylinumeroituva jos A > N. 23 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

53 Joukon mahtavuus Esimerkki 25 Pätee N = Z = Q R. Joukot N, Z ja Q ovat siis numeroituvia ja R on ylinumeroituva. Todistus: N = Z. Koska funktio f : N Z, missä f (0) = 0, f (2k 1) = k ja f (2k) = k kun k 1, on bijektio, niin joukot ovat yhtä mahtavia. 24 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

54 Joukon mahtavuus Todistus: N = Q. N = Q, koska voimme järjestää murtoluvut jonoon, ja siis konstruoida bijektion, seuraavalla tavalla: Hypäten jo listalla olevien lukujen yli saamme seuraavan bijektion: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 1, f (4) = 1 2, f (5) = 2, f (6) = 3, f (7) = 4, f (8) = 3, f (9) = 1 2, f (10) = 1 3, f (11) = 3, f (12) = 4, f (13) = 5, / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

55 Joukon mahtavuus Todistus: Q R. Todistus on harjoitustehtävänä. 26 / 26 R. Kangaslampi MS-A0402

56 MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 3: Kombinatoriikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto

57 Kombinatoriikka

58 Summaperiaate Esimerkki 1 Opetusohjelmakomiteaan valitaan matematiikan edustaja joko professorien, lehtorien tai matematiikan pääaineopiskelijoiden joukosta. Jos professoreita on 12, lehtoreita 8 ja pääaineopiskelijoita 83 (ja kukaan ei kuulu kahteen ryhmään), niin kuinka monella tavalla valinta voidaan tehdä? =103 tavalla 1 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

59 Summaperiaate Lause 2 (Summaperiaate) Olkoot A 1,..., A n erillisiä äärellisiä joukkoja: i {1,..., n}: A i <, i, j {1,..., n}: i j A i A j =. Tällöin A 1... A n = A A n. Todistus. Taululla (induktio). Muistetaan viime viikolta: A = m tarkoittaa, että on olemassa bijektio A {1,..., m}. 2 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

60 Kyyhkyslakkaperiaate Esimerkki 3 Montako opiskelijaa on kurssilla oltava, jotta vähintään seitsemän heistä saisi saman arvosanan (0-5)? 37 opiskelijaa. Idea: Jos n palloa asetetaan k:hon laatikkoon, niin ainakin yhteen laatikkoon tulee vähintään n k palloa. Tässä esiintyi kattofunktio: x = min {m Z : m x} 3 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

61 Kyyhkyslakkaperiaate Lause 4 (Kyyhkyslakkaperiaate) Olkoot A ja B äärellisiä joukkoja. Jos f : A B on mikä tahansa funktio ja jos A > B, niin f ei voi olla injektio. (Yleisemmin: jos n N: A > n B, niin b B : f 1 ({b}) n + 1.) Todistus. Todistus taululla: vastaoletus ja summaperiaate. Vaikka lause on ilmeinen, se esiintyy päättelyissä yllättävän usein; ks. Book of Proof -kirjan luku / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

62 Kyyhkyslakkaperiaate Esimerkki 5 Olkoon m N ja olkoon S m kaikkien korkeintaan m-pituisten bittijonojen joukko. Määritellään pakkausmenetelmä joukossa S m funktiona S m S m 1. Pakkausmenetelmä on häviötön, jos funktio on injektio. Kyyhkyslakkaperiaatteen nojalla ei ole olemassa yleistä häviötöntä pakkausmenetelmää, koska selvästi S m > S m 1 kaikilla m. (Erikoistapauksissa on olemassa häviöttömiä pakkausmenetelmiä, jotka käyttävät hyväkseen tunnettuja tiedostorakenteita.) 5 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

63 Tuloperiaate Esimerkki 6 Kirjahyllyssä on viisi fysiikan kirjaa, seitsemän tietotekniikan kirjaa ja kymmenen matematiikan kirjaa. Monellako eri tavalla hyllystä voidaan valita kaksi eri alan kirjaa? 155 tavalla. Otetaan vastauksen perusteluun työkaluksi tuloperiaate: 6 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

64 Tuloperiaate Lause 7 (Tuloperiaate) Olkoot A 1,..., A n äärellisiä joukkoja. Tällöin A 1... A n = A 1... A n. Joukon A 1... A n := {(a 1,..., a n ): a i A i kaikilla i} alkioita sanotaan järjestetyiksi listoiksi (tai äärellisiksi jonoiksi). 7 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

65 Tuloperiaate Nyt saadaan esimerkin kysymykseen vastaus perusteltua näppärästi: Ratkaisu Olkoot F, T ja M fysiikan, tietotekniikan ja matematiikan kirjojen joukot. Tällöin sallitut valinnat ovat joukon (F T ) (F M) (T M) alkiot. Summaperiaatteen nojalla valintoja on F T + F M + T M kappaletta, joten tuloperiaatteen nojalla kirjat voidaan valita eri tavalla. F T + F M + T M = = / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

66 Tuloperiaate Tuloperiaatteen todistus. Tapaus n = 1 selvä. Tehdään tapaus n = 2; yleinen tapaus samoin induktiolla. Olkoon A = k ja B = m; merkitään A = {a 1,..., a k } ja B = {b 1,..., b m }. Tällöin A B = k i=1 j=1 m {(a i, b j )}, missä joukot {(a i, b j )} ovat erillisiä, joten summaperiaatteen nojalla A B = k m {(a i, b j )} = i=1 j=1 k m 1 = km = A B. i=1 j=1 9 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

67 Tuloperiaate Huomio Edellä esiintyi uusi merkintä; yleisesti määritellään (X = perusjoukko) n A k := { x X : x A k jollekin k {1,..., n} } k=1 ja n A k := { x X : x A k kaikille k {1,..., n} }. k=1 Nämä ovat yhdisteen ja leikkauksen yleistykset useammalle kuin kahdelle joukolle. (Vastaava merkintä äärettömälle yhdisteelle ja leikkaukselle toki nähtiin jo äärettömän joukkoperheen yhteydessä.) 10 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

68 Tuloperiaate Esimerkki 8 Todistetaan, että äärellisen joukon A osajoukkojen lukumäärä on P(A) = 2 A : Olkoon A = n; merkitään A = {a 1,..., a n }. Määritellään {0, 1} n := {0, 1} {0, 1} (n-pituiset bittijonot) ja funktio f : P(A) {0, 1} n asettamalla f (B) = (i 1,..., i n ), missä { 1, jos aj B, i j = 0, muulloin. Tällöin f on bijektio, joten joukon mahtavuuden määritelmän ja tuloperiaatteen nojalla P(A) = {0, 1} n = 2 n = 2 A. Aiheesta tarkemmin / eri tavalla: Book of Proof, luku / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

69 Kertoma Määritelmä 9 Luvun n N kertoma (eng. factorial) n! määritellään rekursiivisesti: 0! = 1 ja k! = (k 1)! k kaikilla k 1. Tällöin induktiolla saadaan tuttu kaava n! = (n 1) n. 12 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

70 Kertoma Esimerkki 10 Kuinka monta nollaa on luvun 10! lopussa? Entä luvun 100! lopussa? Luvun 10! = }{{} }{{} 10 yksi nolla toinen nolla lopussa on kaksi nollaa. Yksi tulee tekijästä 10 ja toinen kertomalla tekijä 5 millä tahansa parillisella luvulla. Jäljelle jääviä lukuja kertomalla nollia ei synny lisää. Luvun 100! lopussa on 24 nollaa (luvun 5 monikertoja on tulontekijöiden joukossa 20, niistä 4 myös luvun 25 monikertoja). 13 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

71 Kertoma Esimerkki 11 Jos n:stä merkistä muodostetaan k:n pituisia merkkijonoja ilman samojen merkkien toistoa, niin mahdollisia tapoja on n (n 1)... (n (k 1) ) = n (n 1)... (n k + 1). Kun lavennetaan luvulla (n k)! = 1... (n k), saadaan n! järjestettyjen merkkijonojen (ilman toistoa) lukumääräksi (n k)!. 14 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

72 Osajoukkojen lukumäärä Jos A on äärellinen joukko ja k A, niin k-alkioista A:n osajoukkoa kutsutaan joskus k-kombinaatioksi joukossa A. Termi viittaa siihen, että kukin k-alkioinen osajoukko saadaan valitsemalla k alkiota joukosta A ilman, että järjestyksellä on merkitystä. Lause 12 Jos A = n ja k {0,..., n}, niin k-alkioisia A:n osajoukkoja A on ( ) n! n k!(n k)! =: k kappaletta. 15 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

73 Osajoukkojen lukumäärä Todistus. Aiemmasta tiedämme, että erilaisia k:n alkion järjestettyjä listoja n! (ilman toistoa) on kappaletta. Toisaalta k alkiota (n k)! voidaan järjestää k! tavalla, joten osajoukkojen (järjestämättömiä n! listoja ilman toistoa) lukumäärä saadaan jakamalla luku (n k)! luvulla k!. 16 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

74 Binomikerroin Termiä ( n k), missä n, k N ja 0 k n, kutsutaan binomikertoimeksi. Se voidaan määritellä joko kaavalla (kuten edellisessä kalvossa) tai osajoukkojen lukumääränä. Pätee ( ( n 0) = n ( n) = 1 ja n ) ( 1 = n n 1) = n. Tapana on määritellä myös ( n k) = 0, kun k n + 1. Esimerkki 13 Kuinka monella tavalla voidaan muodostaa 75 henkilön joukosta 9 hengen komitea ja sille 4 hengen hallitus? ( 75 )( 9 ) ( 9 4 = 75 )( 75 4 ) = tavalla 17 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

75 Binomikerroin Lause 14 (Pascalin kaava) ( ) ( ) n n 1 = k k 1 ( n 1 + k ). Todistus. Olkoon A = n ja a A. Jaetaan k-alkioiset A:n osajoukot kahteen luokkaan sen mukaan, kuuluuko alkio a joukkoon vai ei. Osajoukkoja, joihin alkio a kuuluu, on ( n 1 k 1) kappaletta ja osajoukkoja, joihin alkio a ei kuulu, on ( ) n 1 k kappaletta. 18 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

76 Binomikerroin Esimerkki 15 Äskeisen tuloksen ( ) n = k ( ) n 1 + k 1 ( ) n 1 k eli ( ) ( ) n + 1 n = + k k 1 ( ) n k avulla saadaan rakennettua Pascalin kolmio, kun lisäksi muistetaan ( n ) ( 0 = n ) n = 1 kaikille n. (Taululla.) 19 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

77 Binomikaava Lause 16 Kaikilla n N ja kaikilla x, y R pätee (x + y) n = n k=0 ( ) n x k y n k. k Todistus 1 (kombinatorinen) Kun (x + y) kerrotaan itsellään n kertaa ja tulo lasketaan auki, saadaan summa jossa esiintyy termejä x k y n k kullekin k = 0, 1,..., n. Kuinka monta kertaa termi x k y n k esiintyy, kun k on kiinnitetty? 20 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

78 Binomikaava Todistus 1 (jatkuu) Termi x k y n k saadaan, kun tulon (x + y)(x + y)... (x + y) (termejä n kpl) aukilaskussa valitaan täsmälleen k kertaa x eli täsmälleen n k kertaa y. Tämä voidaan tehdä ( ) ( n k = n ) n k tavalla. Todistus 2 (induktio) Kun n = 1, kaava saa muodon x + y = x + y. Oletetaan, että väite pätee jollekin n. Tällöin (x + y) n+1 = (x + y)(x + y) n 21 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

79 Binomikaava Todistus (jatkuu) (ind.) = (x + y) = x k=0 n k=0 ( ) n x k y n k k n ( ) n x k y n k + y k k=0 n ( ) n x k y n k k k=0 n ( ) n n ( ) n = x k+1 y n k + x k y n k+1 k k k=0 k=0 ( n 1 ( ) ( n n ( ) n = x n+1 + )x k+1 y n k + y n+1 + )x k y n k+1 k k k=1 22 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

80 Binomikaava Todistus (jatkuu) n 1 ( ) n n = x n+1 + x k+1 y n k + k k=0 k=1 n ( ) n = x n+1 + x k y n (k 1) + k 1 k=1 n (( ) n = x n k 1 k=1 (Pascal) n ( n + 1 = x n+1 + k=1 k ( ) n x k y n k+1 + y n+1 k n k=1 ( ) n x k y n k+1 + y n+1 k ( )) n x k y n (k 1) + y n+1 k ) x k y n (k 1) + y n+1 23 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

81 Binomikaava Todistus (jatkuu) n+1 ( ) n + 1 = x k y (n+1) k. k k=0 Esimerkki 17 Todistetaan kahdella tavalla, että n ( n k=0 k) = 2 n. Tapa 1. 2 n = (1 + 1) n = n k=0 ( n k ) 1 k 1 n k = n k=0 ( n k). 24 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

82 Binomikaava Tapa 2. Joukossa, jossa on n alkiota, on yhteensä 2 n osajoukkoa. Näistä k-alkioisia on ( n k) kappaletta. Esimerkki 18 Miksi 4 n = n Miksi k ( ) ( n k = n n 1 Vastaus: k=0 3k( n k 1)? k)? Kuten tapa 1 yllä; 4 = Valitaan n:n ihmisen joukosta k:n henkilön komitea ja sille puheenjohtaja. Yhtälön vasemmalla puolella valitaan ensin komitea ja sitten puheenjohtaja, oikealla puolella valitaan ensin puheenjohtaja ja sitten loput komiteasta. 25 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

83 Multinomikertoimet Esimerkki 19 Eräs henkilö aikoo valita 100 päivää vuonna 2017, joina hän juoksee 10 kilometrin lenkin, 200 päivää, joina hän juoksee 5 kilometrin lenkin, ja 65, joina hän ei harrasta liikuntaa. Monellako tavalla hän voi tehdä nämä valinnat? Jos ensin valitaan 365 päivän joukosta 100 päivää, jolloin hän juoksee 10 kilometrin lenkin, niin vaihtoehtoja on ( ). Jos jäljellä olevista = 265 päivistä valitaan 200 päivää, jolloin hän juoksee 5 kilometrin lenkin, niin vaihtoehtoja on ( ). Kaikkien vaihtoehtojen lukumääräksi tuloperiaatteen nojalla tulee ( ) ( ) / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

84 Multinomikertoimet Huomataan, että ( ) ( ) = = = 365! 100! ( )! 265! 200! ( )! 365! 265! 100! 265! 200! 65! 365! 100! 200! 65!. Vaikuttaa järkevältä, koska toisaalta kyse onkin siitä, kuinka monella tavalla 365 päivän joukko voidaan jakaa kolmeen pistevieraaseen osajoukkoon, joissa on 100, 200 ja 65 alkiota. Tämän innoittamana määritellään multinomikerroin: 27 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

85 Multinomikertoimet Määritelmä 20 (Multinomikerroin) ( ) n = n 1, n 2,..., n m n! n 1! n 2!... n m!, kun n = n 1+n n m. ( ) n Merkitys: on vaihtoehtojen lukumäärä kun n 1, n 2,..., n m joukko A jaetaan osajoukoiksi A j, j = 1,..., m siten, että m j=1 A j = A, A i A j = kun i j, ja A j = n j. Esimerkki 21 Äskeisen esimerkin vastaus siis toisin kirjoitettuna on ( ) ! := 100, 200, ! 200! 65!. 28 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

86 Seulayhtälö Kahdelle joukolle: A B = A + B A B. Esimerkki 22 Montako 8:n pituista bittijonoa joko alkaa ykkösellä tai päättyy kahteen nollaan? Vastaus: = = 160. Kolmelle joukolle: A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3 + A 1 A 2 A / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

87 Seulayhtälö Esimerkki 23 (Erastotheneen seula) Määritetään kuinka moni luvuista 1,..., 100 on jaollinen kolmella, seitsemällä tai yhdellätoista. Merkitään jolloin A 3 = { n {1,..., 100}: n on jaollinen kolmella }, A 7 = { n {1,..., 100}: n on jaollinen seitsemällä }, A 11 = { n {1,..., 100}: n on jaollinen yhdellätoista }, A 3 = 33, A 7 = 14, A 11 = 9, A 3 A 7 = 4, A 3 A 11 = 3, A 7 A 11 = 1, A 3 A 7 A 11 = / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

88 Seulayhtälö Siten seulayhtälön nojalla A 3 A 7 A 11 = A 3 + A 7 + A 11 A 3 A 7 A 3 A 11 A 7 A 11 + A 3 A 7 A 11 = = 47 lukua luvuista 1,..., 100 on jaollisia kolmella, seitsemällä tai yhdellätoista. 31 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

89 Seulayhtälö Kun kolmen joukon tapauksessa merkitään S 1 = A 1 + A 2 + A 3, S 2 = A 1 A 2 + A 1 A 3 + A 2 A 3 ja S 3 = A 1 A 2 A 3, niin yhtälö saa muodon A 1 A 2 A 3 = 3 ( 1) k 1 S k. k=1 32 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

90 Seulayhtälö Lause 24 (Seulayhtälö) Jos A 1,..., A n ovat äärellisiä joukkoja, niin missä A 1... A n = S k = B n ( 1) k 1 S k, (1) k=1 i B A i ja summaus yllä tapahtuu yli kaikkien joukon {1,..., n} osajoukkojen B, joille B = k. 33 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

91 Seulayhtälö Todistus. Jokainen x A 1... A n tulee lasketuksi täsmälleen kerran yhtälön (1) vasemmalla puolella. Todistetaan, että näin tapahtuu myös yhtälön (1) oikealla puolella. Olkoon siis x A 1... A n. Merkitään symbolilla m sitä, moneenko alkuperäisistä joukoista alkiomme x kuuluu: m := { k {1,..., n}: x A k }. Jos i {1,..., m}, niin x kuuluu ( ) m i :een i:n joukon leikkaukseen, ja jos i {m + 1,..., n}, niin x ei kuulu yhteenkään i:n joukon leikkaukseen. 34 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

92 Seulayhtälö Todistus (jatkuu) Siten x tulee lasketuksi yhtälön (1) oikealla puolella m ( ) m ( 1) i 1 = 1 i i=1 kertaa, sillä m i=0 ( 1)i 1( ) m i = (1 1) m = 0. (Huomio. Seulayhtälö on summaperiaatteen yleistys.) 35 / 35 R. Kangaslampi MS-A0402

93 MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto

94 Modulaariaritmetiikka

95 Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku n Z on jaollinen luvulla m Z, merkitään m n (lue: m jakaa n:n), jos on olemassa k Z, jolle n = km. Lause 2 (Jakoyhtälö) Olkoot a, b Z ja b 0. Tällöin on olemassa yksikäsitteiset q, r Z, joille 0 r < b ja a = qb + r. Toisin sanoen: jos a jaetaan b:llä, niin osamäärä q ja jakojäännös r määräytyvät yksikäsitteisesti. 1 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

96 Jakoyhtälö Todistetaan lause pienimmän alkion periaatteella, joka on loogisesti yhtäpitävä induktioperiaatteen kanssa. Todistus. Tarkastellaan Z:n osajoukkoa A = {a kb k Z}. Oletetaan ensin b > 0. Joukossa A on selvästi ei-negatiivisia alkioita. Valitaan niistä pienin ja merkitään sitä r:llä. Nyt joukon A määritelmän mukaan r = a kb jollekin k Z; merkitään tätä k:ta symbolilla q. 2 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

97 Jakoyhtälö Todistus (jatkuu) Luvut q ja r toteuttavat halutun yhtälön a = qb + r, joten tehtävänä on osoittaa epäyhtälö 0 r < b. Epäyhtälö r 0 on selvä, koska r oli pienin ei-negatiivisista alkioista. Tehdään vastaoletus r b, jolloin joukosta A löytyykin r:ää pienempi ei-negatiivinen alkio: a (q + 1)b = a qb b = r b 0, mikä on ristiriita sen kanssa, että r oli joukon A pienin ei-negatiivinen alkio. (Huom. oletettiin b > 0, joten a (q + 1)b < a qb = r.) Tapauksessa b < 0 korvataan ylläolevan todistuksen b luvulla b. 3 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

98 Jakoyhtälö Todistus (jatkuu) Jäljellä on vielä yksikäsitteisyys. Jos myös luvut q ja r toteuttavat annetut ehdot, niin r r = (q q )b. Tästä saadaan q q b < b, koska ehdoista 0 r < b ja 0 r < b seuraa r r < b. Siten on oltava q q < 1, ja koska q, q Z, on oltava q q = 0 eli q = q. Yhtälöstä r r = (q q )b seuraa edelleen r = r. Pienimmän alkion periaate sanoo, että epätyhjässä N:n osajoukossa on olemassa pienin alkio. Pienimmän alkion periaatetta käytettiin kohdassa, jossa valittiin A:sta pienin ei-negatiivinen alkio. 4 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

99 Kongruenssiluokat Määritelmä 3 Olkoon n N + eli n N ja n 0. Jos kokonaisluvuille a, b Z pätee n (a b), niin sanotaan, että a on kongruentti b:n kanssa modulo n ja merkitään a b (mod n) tai a n b. Määrittelevä ehto n (a b) sanoo, että a:lla ja b:llä on n:llä jaettaessa sama jakojäännös. Esimerkiksi 4 16 (mod 12); voi ajatella kellotaulua, jossa lasketaan modulo / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

100 Kongruenssiluokat Voidaan vähällä vaivalla todeta (taululla), että annetulle n:lle relaatio n on ekvivalenssirelaatio, joten se jakaa kokonaisluvut erillisiin ekvivalenssiluokkiin: Määritelmä 4 Olkoon n N +. Luvun a Z jäännösluokka modulo n on [a] n := {b Z a b (mod n)} Z. Jäännösluokan alkioita kutsutaan luokkansa edustajiksi. Esimerkki 5 Joukkoa [4] 12 = {..., 20, 8, 4, 16, 28,...} voidaan ajatella kellonajan 4 edustajina. 6 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

101 Kongruenssiluokat Esimerkki 6 Mikä on pienin ei-negatiivinen luku joukossa [27] 11? Vastaus: 5. Määritelmä 7 Olkoon n N +. Kaikkien jäännösluokkien modulo n joukkoa merkitään Z n (tai joskus Z/nZ), eli siis Huomio Z n = {[0] n, [1] n,..., [n 1] n }. a) Aina pätee [n] n = [0] n. b) Usein luvulle a Z on tapana kirjoittaa a mod n tarkoittamaan luokan [a] n edustajaa joukosta {0,..., n 1}. 7 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

102 Kongruenssiluokkien yhteen- ja kertolasku Määritelmä 8 Määritellään annetulle n N + ja annetuille a, b Z [a] n + [b] n := [a + b] n, [a] n [b] n := [ab] n. Esimerkki 9 Joukossa Z 3 = {[0] 3, [1] 3, [2] 3 } saadaan seuraavat yhteen- ja kertolaskutaulukot: + 3 [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] ja 3 [0] [1] [2] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [2] [0] [2] [1]. 8 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

103 Kongruenssiluokkien yhteen- ja kertolasku Tärkeitä huomioita Tapana on jättää alaindeksi pois, kun se käy ilmi asiayhteydestä. Usein jätetään myös luokkamerkit pois eli voidaan kirjoittaa esim = 0 joukossa Z 3 sen sijaan, että kirjoitettaisiin [7] 3 + [2] 3 = [0] 3 tai (mod 3). Laskutoimitukset ovat hyvinmääriteltyjä eli eivät riipu edustajien valinnasta. Esimerkiksi joukon Z yhteenlasku + voidaan mieltää funktiona Z Z Z, jolloin olennaista on, että kahdella luvulla on yksikäsitteinen summa. Nyt voisi periaatteessa käydä niin, että [2 + 3] 4 [6 + 7] 4, vaikka [2] 4 = [6] 4 ja [3] 4 = [7] 4. Näin ei kuitenkaan käy; todistus sivuutetaan. 9 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

104 Kongruenssiluokkien yhteen- ja kertolasku Lause 10 Joukon Z n yhteen- ja kertolasku toteuttaa joukosta Z tutut laskusäännöt: kaikille a, b, c Z n pätee a + b = b + a ja ab = ba (vaihdannaisuus) a + (b + c) = (a + b) + c ja a(bc) = (ab)c (liitännäisyys) a + 0 = a ja a 1 = a (neutraalialkioiden olemassaolo) a + ( a) = 0 (yhteenlaskun vasta-alkion olemassaolo) a(b + c) = ab + ac (osittelulaki). Nämä ovat ns. rengasaksioomat ja joukkoa Z n kutsutaankin usein jäännösluokkarenkaaksi. (Huom. alkiot a, b ja c ovat viime kädessä luokkia, eivät lukuja.) 10 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

105 Z vs. Z n eroavaisuuksia Taulukosta edellä puuttui kertolaskun vasta-alkion eli käänteisalkion olemassaolo. Alkion a käänteisalkiolla tarkoitetaan alkiota b, jolle a b = 1. Joukossa Z käänteisalkio on olemassa vain luvuille ±1. Osoittautuu, että joukossa Z n käänteisalkio on olemassa täsmälleen sellaisille luokille, joiden edustajilla ei ole n:n kanssa yhteisiä tekijöitä. Erityisesti jos n on alkuluku, niin käänteisalkio on olemassa kaikille Z n :n nollasta eroaville luokille. Tällaista rakennetta sanotaan kunnaksi; myös esimerkiksi Q ja R ovat kuntia. Toinen merkittävä eroavaisuus liittyy supistamiseen; joukossa Z n ei päde Z:sta tuttu supistussääntö ab = ac ja a 0 b = c paitsi silloin, kun a on kääntyvä (kuten tulemme näkemään). 11 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

106 Z vs. Z n eroavaisuuksia Esimerkki 11 Joukossa Z 6 on 2 4 = 2 1, mutta 4 1. Joukossa Z 7 on 2 4 = 1, joten 2 ja 4 ovat toistensa käänteisalkiot. Esimerkki 12 Mikä on jakojäännös, kun luku jaetaan luvulla 9? Jakoyhtälö: = 9q + r, joten joukossa Z 9 pätee r = (koska 9q = 0). Kysymys siis kuuluu: Mitä on mod 9? Joukossa Z 9 : 4 2 = 7, 4 3 = = 7 4 = 1 ja = (4 3 ) = 1 7 = 7. Siten vastaus on / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

107 Jaollisuustestejä Mitä tarkoittaa luvun esittäminen kymmenjärjestelmässä? Esimerkiksi 2875 = Merkitään yleisesti n = d 0 + d d k 10 k, jolloin luvun n N esitys 10-kantaisessa järjestelmässä on muotoa n = d k d k 1... d 1 d 0. (Yleensä oletetaan lisäksi d k 0, jolloin 10 k n < 10 k+1.) 13 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

108 Jaollisuustestejä Esimerkki 13 Kymmenjärjestelmän luku on kolmella jaollinen täsmälleen silloin, kun sen numeroiden summa on kolmella jaollinen. Miksi? Lähdetään siitä, että 3 n n 0 (mod 3). Edelleen, jos n = d 0 + d d k 10 k, niin joukossa Z 3 pätee n = 0 d 0 + d d k 10 k = 0 d 0 + d d k = 0, sillä joukossa Z 3 on 10 m = 1 kaikilla m N. 14 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

109 Jaollisuustestejä Esimerkki 14 Kymmenjärjestelmän luku on viidellä jaollinen täsmälleen silloin, kun sen viimeinen numero (ykkösen kerroin) on viidellä jaollinen. Miksi? Kuten edellä, mutta nyt lasketaan joukossa Z 5, jossa 10 0 = 1 ja 10 m = 0 kaikilla m / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

110 Kongruenssiyhtälöistä Milloin yhtälöstä ax b (mod n) voidaan ratkaista x, ja miten se ratkaistaan? Määritelmä 15 (käänteisalkio) Luvun a Z n käänteisalkio on sellainen luku b Z n, jolle ab 1 (mod n); merkitään b = a 1. Esimerkki 16 Joukossa Z 5 luvun 3 käänteisalkio on 2; muita ei ole. Jos käänteisalkio on olemassa, se on yksikäsitteinen. (Taululla.) Joukossa Z 6 luvulla 3 ei ole käänteisalkiota. 16 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

111 Kongruenssiyhtälöistä Milloin yhtälöstä ax b (mod n) voidaan ratkaista x, ja miten se ratkaistaan? Määritelmä 15 (käänteisalkio) Alkion a Z n käänteisalkio on sellainen alkio b Z n, jolle ab 1 (mod n); merkitään b = a 1. Esimerkki 16 Joukossa Z 5 alkion 3 käänteisalkio on 2; muita ei ole. Jos käänteisalkio on olemassa, se on yksikäsitteinen. (Taululla.) Joukossa Z 6 alkiolla 3 ei ole käänteisalkiota. 17 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

112 Kongruenssiyhtälöistä Lause 17 Alkiolla a Z n on käänteisalkio täsmälleen silloin, kun syt(a, n) = 1. Muistetaan: Suurin yhteinen tekijä (greatest common divisor) syt(a, b) on suurin luku, joka jakaa molemmat luvut a ja b niin, että lopputulos on kokonaisluku. Oikeastaan syt-kohdassa puhutaan luokan a Z n mistä tahansa edustajasta. Jatkossakin puhutaan luvuista a Z n tarkoittaen tätä. 18 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

113 Kongruenssiyhtälöistä Todistus. Oletetaan ensin, että syt(a, n) = 1. Tällöin Eukleideen algoritmin nojalla on olemassa luvut x, y Z siten, että 1 = xa + yn. Nyt luku x kelpaa luvun a käänteisalkioksi, koska yn 0 (mod n). Jos käänteisalkio on olemassa, ts. jos ab 1 (mod n), niin (mod)-määritelmän mukaan n (ab 1) eli ab 1 = kn jollekin k Z. Luku syt(a, n) jakaa luvut a ja n ja siten myös summan ab kn eli luvun 1. On siis oltava syt(a, n) = / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

114 Kongruenssiyhtälöistä Lause 18 (Seuraus edellisestä lauseesta) Jos a Z n on kääntyvä (eli jos a:lla on käänteisalkio), niin yhtälöllä ax b (mod n) on jokaiselle b Z n yksikäsitteinen ratkaisu x Z n. Todistus. Kertomalla yhtälön ax = b molemmat puolet vasemmalta käänteisalkiolla a 1 saadaan x = a 1 b. 20 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

115 Kongruenssiyhtälöistä Esimerkki 19 Joukon Z 10 kääntyvät alkiot ovat 1, 3, 7 ja 9. Vastaavat käänteisalkiot ovat 1, 7, 3 ja 9. Ratkaistaan yhtälö 7x = 9 joukossa Z 12. Yhtälö ratkeaa, koska luvulla 7 on käänteisalkio joukossa Z 12, nimittäin se itse. Kertomalla yhtälön molemmat puolet 7:lla saadaan x = 63 = 3. Joukossa Z 5 kaikki nollasta eroavat alkiot ovat kääntyviä; pätee 1 1 = 1, 2 1 = 3 ja 4 1 = / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

116 Kongruenssiyhtälöistä Edellisen lauseen nojalla kaikki nollasta eroavat alkiot ovat kääntyviä joukossa Z p, kun p on alkuluku. Edelleen pätee Lause 20 (Fermat n pieni lause) Kun p on alkuluku, niin kaikille a Z pätee a p a (mod p). Todistus Luvuille a 0 (mod p) väite pätee. Koska p on alkuluku, on kaikilla a 0 (mod p) käänteisalkio; tällaisille väite on yhtäpitävä väitteen a p 1 1 (mod p) kanssa. 22 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

117 Kongruenssiyhtälöistä Todistus (jatkuu) Olkoon siis a 0 joukossa Z p. Koska a on kääntyvä, pätee (ma p na) (m p n), erityisesti luvut a, 2a,..., (p 1)a ovat täsmälleen luvut 1,..., (p 1) eri järjestyksessä, ja siten niiden p 1 tulo on toisaalta (p 1)! ja toisaalta (ka) = a p 1 (p 1)!. Siten a p 1 1 (mod p) k=1 23 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

118 Fermat n pieni lause Esimerkki 21 Tarkistetaan, että Fermat n pieni lause pätee joukossa Z 7 : 1 6 = = = = 2 4 = = = = 4 2 = = = = 4 2 = = = = 2 4 = = = = / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

119 RSA-salausalgoritmi Käydään ensin läpi algoritmin toiminta esimerkinomaisesti. Oletetaan, että Liisa haluaa lähettää Pekalle salatun viestin tietokoneella. Tietokone generoi kaksi (oikeasti hyvin suurta) alkulukua, olkoot ne tässä p = 61 ja q = 53. Tietokone laskee tulot n = pq = = 3233 ja m = (p 1)(q 1) = = Tietokone generoi koodausavaimen k siten, että 0 < k < m ja syt(k, m) = 1; esimerkiksi k = 17. Tietokone laskee luvun d = k 1 joukossa Z m ; tässä d = Tietokone antaa Liisalle julkiseksi avaimeksi (salausta varten) luvut n = 3233 ja k = 17. Tietokone antaa Pekalle yksityiseksi avaimeksi (purkamista varten) luvut n = 3233 ja d = / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

120 RSA-salausalgoritmi Oletetaan, että Liisa haluaa koodata luvun (merkkijonon) s. Ensin hän tarvittaessa lisää s:n perään tyhjiä merkkejä siten, että luvulle pätee syt(s, n) = 1. Olkoon esimerkiksi s = 65. Liisa koodaa viestin laskemalla s k mod n; tässä mod 3233 = Pekka purkaa koodatun viestin c laskemalla c d mod n; tässä mod 3233 = 65. Kaksi kysymystä Miksi koodin murtaminen on vaikeaa? Miksi koodi toimii oikein? 26 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

121 RSA-salausalgoritmi Murtamisesta Jotta ulkopuolinen Eveliina pystyisi purkamaan viestin pelkän julkisen avaimen avulla, hänen pitäisi päätellä lukujen n ja k avulla luku d eli luvun k käänteisalkio joukossa Z m. Se selvittäminen on vaikeaa, koska hän ei tiedä lukua m. Luvun m selvittämiseksi hänen pitäisi selvittää alkuluvut p ja q, joiden tulo luku n on. Isojen lukujen jakaminen alkutekijöihin on vaikeaa! Ks. Wikipedia: RSA algorithm. 27 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

122 RSA-salausalgoritmi Koodi toimii, koska Fermat n pienen lauseen seurauksena saadaan Lause 22 Olkoot p ja q alkulukuja, n = pq ja m = (p 1)(q 1). Olkoon edelleen s sellainen, että syt(s, n) = 1, ja olkoon h (esimerkissämme h = kd) sellainen, että h = 1 joukossa Z m. Tällöin s h = s joukossa Z n. Pekka purki viestin laskemalla c d = (s k ) d = s kd modulo n, joten ylläolevan lauseen perusteella tämä todellakin on alkuperäinen viesti s. 28 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

123 RSA-salausalgoritmi Lauseen todistus Koska h = 1 mod m, niin h 1 = ym jollekin y Z. Siten s h = s 1+ym = s(s m ) y, joten riittää osoittaa, että s m = 1 mod n. Oletettiin syt(s, n) = syt(s, pq) = 1, joten s 0 mod p. Fermat n pienen lauseen mukaan s p 1 = 1 mod p. Edelleen s m = s (p 1)(q 1) = 1 q 1 = 1 mod p, samoin s m = 1 mod q. Siten sekä p että q jakavat luvun s m 1 ja koska p ja q ovat alkulukuja, niin myös niiden tulo n jakaa luvun s m 1, ts. s m = 1 mod n. 29 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

124 RSA-salausalgoritmi Esimerkki 23 (Vakoilutehtävä) Luennoitsija haluaa lähettää ystävälleen tiedoksi kissansa nimen, salattuna totta kai. Ystävä antaa julkisen avaimensa (7, 143) ja luennoitsija lähettää hänelle koodatun viestin 046, 048, 117, 001. Mikä on kissan nimi? Vihje: Aakkoset on alunperin muutettu numeroiksi siten, että a=01, b=02, jne. Vihje 2: Etsi q ja p siten, että qp = 143. Etsi sitten yksityinen avain d siten, että 7d 1 mod (p 1)(q 1). Pura koodi laskemalla kullekin salatulle kirjaimelle c lasku c d mod 143 ja tulkitse luvut kirjaimina. Vastaus: Kissa on Sima. 30 / 30 R. Kangaslampi MS-A0402

125 MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto

126 Ryhmät ja permutaatiot

127 Väritysongelma Jos meillä on 6 palloa, monellako tavalla voimme värittää 2 niistä vihreiksi ja muut valkoisiksi? Jos pallot ovat identtiset on vain yksi tapa, 2 väritetään vihreiksi ja 4 valkoisiksi. Jos pallot on numeroitu niin on ( 6 2) = 15 tapaa valita ne, jotka väritetään vihreiksi ja loput valkoisiksi. Jos pallot ovat säännöllisen 6-kulmion kulmissa ja tätä 6-kulmiota voi kiertää ja kääntää niin on 3 vaihtoehtoa: Mutta miten ratkaistaan monimutkaisemmat tämäntyyppiset ongelmat? 1 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

128 Permutaatio (kertaus) Määritelmä 1 Äärellisen joukon A permutaatio on bijektio A A. Kun A = {1,..., n}, niin joukon A kaikkien permutaatioiden joukkoa merkitään S n. Huomaa S n = n!. Kahdelle permutaatiolle f, g S n määritellään kertolasku asettamalla fg = f g. Huom. (fg)(x) = f ( g(x) ) eli kertominen tapahtuu oikealta vasemmalle. 2 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

129 Permutaatio (kertaus) Esimerkki 2 (matriisiesitys) Joukon {1, 2, 3} permutaatioille ( ) f = ( ) ja g = pätee Lisäksi tässä ( ) ( ) gf =, fg = f 1 = f ja g 1 = g, mutta tällainen ei päde yleisesti, esimerkiksi yllä (fg) 1 fg. 3 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

130 Permutaatio Permutaatiot voidaan esittää myös syklinotaatiolla. Esimerkki 3 ( ) α = Nyt ( näemme, ) että ja tästä saamme syklin Koska α(5) = 5, saamme syklin (5), joskin yhden pituista sykliä tosin ei ole tapana ottaa merkintään mukaan. ( ) Lopuksi näemme, että joten saamme syklin 6 7. Syklinotaatiolla voimme nyt kirjoittaa ( ) ( ) α = On myös ( muita ) ( esitystapoja ) syklien tuloina, esim. α = / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

131 Ryhmä Ryhmä on pari [G, ] missä G on joukko ja on funktio G G G, jolla on seuraavat ominaisuudet: Sulkeutuneisuus: a b G jos a ja b G. Liitännäisyys: (a b) c = a (b c) jos a, b ja c G. Neutraalialkio: On olemassa alkio e G siten, että e a = a e = a jos a G. Käänteisalkio: Jos a G, niin on olemassa alkio a 1 G siten, että a a 1 = a 1 a = e. 5 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

132 Ryhmä Esimerkki 4 Joukko S n varustettuna permutaatioiden kertolaskulla toteuttaa ryhmäaksioomat: sulkeutuneisuus: jos f, g S n, niin fg S n liitännäisyys: (fg)h = f (gh) pätee kaikille f, g, h S n neutraalialkion ( ) olemassaolo: identtiselle permutaatiolle e := pätee ef = fe = f kaikille f S n käänteisalkion olemassaolo: kaikilla f S n löytyy käänteisalkio g S n, jolle fg = gf = e. 6 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

133 Ryhmä Huomioita Käänteisalkion yksikäsitteisyys todistetaan kuten joukossa Z m. Siten on oikeutettua merkitä f :n käänteisalkiota f 1 :llä. Kun p on alkuluku, niin joukko (Z p \ {0}, ) eli Z p \ {0} varustettuna kertolaskulla on ryhmä, neutraalialkio on 1. Joukko (Z m, +) eli Z m varustettuna yhteenlaskulla on ryhmä kaikilla m N +, neutraalialkio on 0. Permutaatioiden ryhmä S n on ryhmistä tärkein, sillä voidaan osoittaa (Cayleyn lause), että jokainen äärellinen ryhmä on miellettävissä permutaatioryhmänä tai sellaisen aliryhmänä. 7 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

134 Ryhmän toiminta Esimerkki 5 Tarkastellaan tasasivuista kolmiota M kolmiulotteisessa avaruudessa. Kolmiota M voidaan kiertää kuudella eri tavalla siten, että M:n asento ei muutu: / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

135 Ryhmän toiminta Esimerkki 5 (jatkuu) Merkitään kiertoja seuraavasti: e = ei tehdä mitään r = kierretään kulman 2π/3 (120 ) verran vastapäivään sen akselin ympäri, joka on kohtisuorassa kolmion tasoa vastaan ja kulkee kolmion keskipisteen kautta s = kierretään kulman π (180 ) verran sen akselin ympäri, joka on kolmion tasossa ja puolittaa kulman paikassa 1. 9 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

136 Ryhmän toiminta Esimerkki 5 (jatkuu) e 2 3 r 2 3 r s 2 3 rs 2 3 r 2 s 10 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

137 Ryhmän toiminta Esimerkki 5 (jatkuu) Edellä siis: Kiertojen kertolasku tapahtuu suorittamalla kierrot peräkkäin (merkinnöissä oikealta vasemmalle). Valitut kaksi kiertoakselia pysyvät avaruudessa paikallaan. Kolmion kierrot voidaan samaistaa joukon {1, 2, 3} permutaatioihin. Esimerkiksi permutaatio (1)(23) tulkitaan siten, että kolmion kärki avaruuden paikassa numero 1 pysyy paikallaan ja kärjet paikoissa 2 ja 3 vaihtavat paikkaa. 11 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

138 Ryhmän toiminta Edellä sanotaan, että ryhmä S 3 toimii kolmiossa M. Jokainen ryhmän S 3 permutaatio voidaan tulkita kolmion symmetrian säilyttäväksi kierroksi kolmiulotteisessa avaruudessa. Sama ei päde neliölle, esimerkiksi permutaatio (123)(4) rikkoisi neliön eikä siten olisi kierto. Säännöllisen n-kulmion kaikkien kiertojen ryhmää sanotaan diedriryhmäksi ja merkitään D n. 12 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

139 Ryhmän toiminta Diedriryhmässä on 2n alkiota (taululla n = 4): Merkitään r:llä kiertoa kulman 2π/n verran sen akselin ympäri, joka on kohtisuorassa monikulmion tasoa vastaan ja kulkee monikulmion keskipisteen kautta. Tällöin r n = e ja kierron r monikertoja on n kappaletta: e, r, r 2,..., r n 1. Lisäksi voidaan kiertää kulman π verran minkä tahansa monikulmion lävistäjän tai sivun kohtisuoran puolittajan suhteen, näin saadaan n kiertoa lisää. Osoittautuu, että jälkimmäiset n kiertoa saadaan, kun valitaan vain yksi lävistäjä tai puolittaja (mikä tahansa) ja merkitään π-kiertoa sen suhteen s; sen jälkeen muut n 1 ovat rs, r 2 s,..., r n 1 s. Pätee myös rs = sr / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

140 Ryhmän toiminta Diedriryhmä voidaan samaistaa permutaatioryhmän S n aliryhmän kanssa. (Lisää hetken kuluttua.) D n generoituu kierroista r ja s, ts D n = {r j s k : j, k Z}, merkitään D n = r, s. Yllä s 2 = e ja r n = e eli joukossa D n on 2n alkiota. 14 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

141 Aliryhmät ja Lagrangen lause Neliön kiertoryhmä (taululla, s on lävistäjä 1 3, pysyy avaruudessa paikallaan): D 4 = r, s = {e, r, r 2, r 3, s, rs, r 2 s, r 3 s}. Jos samaistetaan ryhmän D 4 alkiot joukon {1, 2, 3, 4} permutaatioihin, niin D 4 = { (1)(2)(3)(4), ( ), (1 3)(2 4), ( ), (1)(3)(2 4), (1 2)(3 4), (1 3)(2)(4), (1 4)(3 2) }. Tämä on joukon S 4 aliryhmä, sillä D 4 S 4 ja D 4 muodostaa itsessään ryhmän, jolla on sama neutraalialkio kuin S 4 :llä. 15 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

142 Aliryhmät ja Lagrangen lause Lause 6 (Lagrange) Jos G on äärellinen ryhmä ja H on sen aliryhmä, niin H on G :n tekijä. Esimerkiksi S 4 = 24 ja D 4 = 8, joka on 24:n tekijä. Todistus. Määritellään alkion g G sivuluokka: gh = {gh : h H} G. Voidaan osoittaa (osoittamalla, että funktio H gh, h gh on bijektio), että sivuluokat ovat yhtäsuuria; lisäksi ne jakavat G:n erillisiin osiin. Siten, koska eh = H on yksi sivuluokka, niin G :n on oltava H :n monikerta. 16 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

143 Rata Määritelmä 7 Olkoon G S n ryhmä, joka toimii joukossa M (esim. kolmion kärjet). Pisteen x M rata on [x] G := {g(x) : g G} M. Usein merkitään vain [x]. Voidaan osoittaa, että joukon M relaatio x y x [y] G on ekvivalenssi, joten radat jakavat M:n erillisiin luokkiin. Esimerkki 8 Jos M = {1, 2,..., 6}, f = (1 2)( ) S 6 ja G = f, niin G:n määräämät radat joukossa M ovat [1] = [2] = {1, 2} ja [3] = [4] = [5] = [6] = {3, 4, 5, 6}. 17 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

144 Kiinnittäjäaliryhmä Määritelmä 9 Jos ryhmä G toimii joukossa M ja jos x M, niin pisteen x kiinnittäjäaliryhmä on G x := {g G : g(x) = x} G. Kiinnittäjä todellakin on aliryhmä, joten Lagrangen lauseen nojalla G x jakaa G :n kaikilla x M. 18 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

145 Kiinnittäjäaliryhmä Esimerkki 10 (jatkoa edelliseen) Jos M = {1, 2,..., 6}, f = (1 2)( ) S 6 ja G = f = { e, f, f 2, f 3} = { e, f, (1)(2)(3 5)(4 6), (1 2)( ) }, niin kiinnittäjäaliryhmät ovat ovat G 1 = G 2 = {e, f 2 } ja G 3 = G 4 = G 5 = G 6 = {e}. Näiden koot (2 ja 1) jakavat luvun G = / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

146 Kiintopistejoukko Määritelmä 11 Jos ryhmä G toimii joukossa M ja jos g G, niin permutaation g kiintopistejoukko on M g := {x M : g(x) = x} M. Esimerkki 12 (jatkoa edelliseen) Jos M = {1, 2,..., 6}, f = (1 2)( ) S 6 ja G = f = { e, f, f 2, f 3} = { e, f, (1)(2)(3 5)(4 6), (1 2)( ) }, niin kiintopistejoukot ovat M e = M, M f = M f 3 = ja M f 2 = {1, 2}. 20 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

147 Radan koko Lause 13 Jos ryhmä G toimii joukossa M ja jos x M, niin radan [x] koko saadaan laskettua kaavasta [x] = G / G x. Todistus. Merkitään G x = H (aliryhmä) ja merkitään kaikkien H:n sivuluokkien joukkoa G/H. Tällöin funktio G/H [x] G, gh gx on bijektio, joten joukon [x] G koko on sama kuin sivuluokkien lukumäärä, joka puolestaan saadaan jakamalla G:n koko H:n koolla (kaikki sivuluokat olivat yhtä suuria). 21 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

148 Radan koko Esimerkki 14 (jatkoa edelliseen) Jos M = {1, 2,..., 6}, f = (1 2)( ) S 6 ja G = f = { e, f, f 2, f 3} = { e, f, (1)(2)(3 5)(4 6), (1 2)( ) }, niin aiemmin saimme radoiksi [1] = [2] = {1, 2} ja [3] = [4] = [5] = [6] = {3, 4, 5, 6} ja kiinnittäjäaliryhmiksi G 1 = G 2 = {e, f 2 } ja G 3 = G 4 = G 5 = G 6 = {e}. Lause toimii; esimerkiksi [1] = G / G / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

149 Ratojen lukumäärä Lause 15 (Burnsiden lemma) Jos ryhmä G toimii joukossa M, niin ratojen lukumäärä on kiintopistejoukkojen kokojen keskiarvo: 1 M g. G g G 23 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

150 Ratojen lukumäärä Todistus Merkitään n = { (g, x) G M : gx = x }. Permutaatiota g G vastaavien parien (g, x) lukumäärä on M g, joten n = M g. g G Toisaalta alkiota x M vastaavien parien (g, x) lukumäärä on G x, joten n = G x, x M 24 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

151 Ratojen lukumäärä Todistus (jatkuu) saadaan M g = G x. g G x M Radan [x] G koko on G / G x ja rata on sama kaikille y [x] G, joten G y = [x] G G x = G. y [x] G Merkitään ratojen lukumäärää k:lla, jolloin ylläolevan nojalla G x = k G, x M ja jakamalla G :llä ollaan valmiita. 25 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

152 Ratojen lukumäärä Esimerkki 16 (jatkoa edelliseen) Jos M = {1, 2,..., 6}, f = (1 2)( ) S 6 ja G = f = { e, f, f 2, f 3} = { e, f, (1)(2)(3 5)(4 6), (1 2)( ) }, niin aiemmin saimme radoiksi {1, 2}, {3, 4, 5, 6} ja kiintopistejoukoiksi M e = M, M f = M f 3 =, M f 2 = {1, 2}. Kiintopistejoukkojen kokojen keskiarvo on 1 4 ( M e + M f + M f 2 + M f 3 ) = 1 ( ) = 2 4 eli sama kuin ratojen lukumäärä. 26 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

153 Sykli-indeksi

154 Sykli-indeksi Jos a on joukon X permutaatio niin a:n sykli-indeksi on monomi ζ a,x (t 1,..., t n ) = t j 1 1 t j tn jn missä j k on a:n k-pituisten ratojen lukumäärä. Jos G on ryhmä joukon X permutaatiota niin G:n sykli-indeksi on ζ G,X (t 1,..., t n ) = 1 G ζ a,x (t 1,..., t n ). a G 27 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

155 Sykli-indeksi Esimerkki 17 Olkoon G ryhmä, joka muodostuu kaikista alla olevan verkon solmujen sellaisista permutaatioista f, että jos solmujen a ja b välillä on kaari, niin myös solmujen f (a) ja f (b) välillä on kaari Koska solmuilla 3 ja 4 on 3 naapuria niin joko f (3) = 3 ja f (4) = 4 tai f (3) = 4 ja f (4) = 3. Solmut 1 ja 2 kuvautuvat solmun f (3) naapureille ja samoin solmut 5 ja 6 kuvautuvat solmun f (4) naapureille. 28 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

156 Sykli-indeksi Esimerkki Näin ollen kyseiset permutaatiot ovat: (1), (1 2), (5 6), (1 2)(5 6), (3 4)(1 5)(2 6), (3 4)(1 6)(2 5), (3 4)( ) ja (3 4)( ). Seuraavaksi on laskettava näiden permutaatioiden ratojen pituudet: 29 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

157 Sykli-indeksi Esimerkki 17 (jatkuu) (1) : 6 rataa, joissa on 1 alkio. (1 2), (5 6) : 4 rataa, joissa on 1 alkio, 1 rata, jossa on 2 alkiota. (1 2)(5 6) : 2 rataa, joissa on 1 alkio, 2 rataa, joissa on 2 alkiota. (3 4)(1 5)(2 6), (3 4)(1 6)(2 5) : 3 rataa, joissa on 2 alkiota. (3 4)( ), (3 4)( ) : 1 rata, jossa on 2 alkiota, 1 rata, jossa on 4 alkiota. Näin ollen sykli-indeksi on ζ G,X (t 1, t 2, t 3, t 4 ) = 1 ) (t1 6 + t 2 8 1t t1t t t 2 t 4 30 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

158 Pólyan värityslause

159 Pólyan värityslause Olkoon G ryhmä joukon X permutaatioita ja olkoon K = {v 1, v 2,..., v r } joukko värejä, joilla X :n alkioita väritetään. Silloin termin v i 1 1 v i v r ir, kerroin polynomissa ζ G,X (v v 1 r, v v 2 r,..., v n v n r ) on niiden X :n väritysten lukumäärä, joissa väriä v j käytetään täsmälleen i j kertaa ja jotka eivät ole ekvivalentteja G:n toiminnassa. Jos käytetään r väriä mutta, muita rajoituksia ei ole, niin ζ G,X (r, r,..., r) on niiden X :n väritysten lukumäärä, jotka eivät ole ekvivalentteja G:n toiminnassa. 31 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

160 Pólyan värityslause Esimerkki 18 (Nelikulmion symmetriat) Olkoon X = {0, 1, 2, 3} ja tarkastellaan yo. nelikulmion symmetrioita. Meillä on siis seuraavat permutaatiot syklinotaatiolla: (0)(1)(2)(3), (0)(1 3)(2), ( ), (0 1)(2 3), (0 2)(1 3), (0 2)(1)(3), ( ) ja (0 3)(1 2), joista 4 on rotaatioita ja 4 peilauksia. Näiden permutaatioiden muodostama ryhmähän on diedriryhmä D / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

161 Pólyan värityslause Esimerkki 18 (Nelikulmion symmetriat jatkuu) Monellako tavalla voidaan värittää solmut niin, että yksi on musta, yksi valkoinen ja kaksi punaista? Kaksi väritystä ovat samoja, jos rotaatiolla ja/tai peilauksella saadaan toinen toisesta. Ryhmän D 4 sykli-indeksi saadaan permutaatioiden sykli-indeksien keskiarvona, ja permutaation sykli-indeksi on t j 1 1 t j tn jn jos permutaatiolla on j k rataa, joiden pituus on k, k = 1, 2,..., n. Tässä tapauksessa sykli-indeksiksi tulee ζ D4,X (t 1, t 2, t 3, t 4 ) = 1 8 ( t t1t t 4 + t2 2 + t2 2 + t1t t 4 + t2 2 ). 33 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

162 Pólyan värityslause Esimerkki 18 (Nelikulmion symmetriat jatkuu) Erilaisten väritysten lukumäärä on nyt termin mvp 2 (m=musta, v=valkoinen, p=punainen, näitä kaksi) kerroin polynomissa ζ D4,X (m + v + p, m 2 + v 2 + p 2, m 3 + v 3 + p 3, m 4 + v 4 + p 4 ) = 1 8 (m + v + p) (m + v + p)2 (m 2 + v 2 + p 2 ) (m2 + v 2 + p 2 ) (m4 + v 4 + p 4 ) = m 4 + m 3 p + 2m 2 p 2 + mp 3 + p 4 + m 3 v + 2m 2 pv + 2mp 2 v +p 3 v + 2m 2 v 2 + 2mpv 2 + 2p 2 v 2 + mv 3 + pv 3 + v 4 eli 2. (Tarkistus ajattelemalla: Kaksi punaista voivat olla vierekkäin tai vastakkain. Tämän valinnan jälkeen on sama miten päin musta ja valkoinen valitaan, peilaamalla ne vaihtavat paikkaa.) 34 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

163 Pólyan värityslause Esimerkki 19 (Pólyan lause ja ristinolla) Meillä on 3 3-ruudukko ja olemme kirjoittaneet kahteen ruutuun x:n, kahteen o:n ja 5 ruutua on tyhjinä. Tämä on tehtävissä ( 9 2,2,5) = 756:lla eri tavalla, jos paperi pidetään paikallaan. Jos voimme kiertää paperia kulman 0, π 2, π tai 3π 2 verran keskipisteen ympäri, niin näiden vaihtoehtojen lukumäärä pienenee. Ensin pitää selvittää miten π 2 kulman rotaation generoima ryhmä toimii ruudukolla ja erityisesti mikä on tämän toiminnan sykli-indeksi. Eli pitää määrittää erilaisten ratojen pituudet. Tulokset ovat seuraavanlaiset: Identiteettifunktiolla (rotaatio 0) on 9 rataa, joihin kaikkiin kuuluu 1 ruutu. 35 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

164 Pólyan värityslause Esimerkki 19 (Pólyan lause ja ristinolla, jatk.) Kierrolla kulman π 2 verran on 2 rataa, joilla molemmilla on 4 ruutua (toinen sisältää kulmaruudut, toinen niiden välillä olevat ruudut) ja 1 rata johon kuuluu 1 ruutu (ruutu keskellä). Sama pätee jos kierretään kulman 3π 2 verran. Jos kiertokulma on π, niin saamme 4 rataa, joilla molemmilla on 2 ruutua (vastakkaiset kulmat ja vastakkaiset ruudut niiden välillä) sekä 1 rata johon kuuluu 1 ruutu. Sykli-indeksiksi saamme näin ollen ζ G,X (t 1, t 2,..., t 9 ) = 1 4 (t t 1 t t 1 t 4 2). 36 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

165 Pólyan värityslause Esimerkki 20 (Pólyan lause ja ristinolla, jatk.) Jotta voisimme laskea ei-ekvivalenttien väritysten lukumäärän, korvaamme muuttujan t j lausekkeella x j + o j + t j. Tällöin termin x 2 o 2 t 5 kerroin on ei-ekvivalenttien väritysten lukumäärä, kun ruudukossa on kaksi kertaa x ja o ja viisi ruutua tyhjänä (t). Termin x 2 o 2 t 5 kerroin lausekkeessa (x + o + t) 9 on ( 9 2,2,5), lausekkeesta 2(x + o + t)(x 4 + o 4 + t 4 ) 2 ei tule yhtään x 2 o 2 t 5 -termiä ja termin x 2 o 2 t 5 kerroin lausekkeessa (x + o + t)(x 2 + o 2 + t 2 ) 2 on ( 4 1,1,2). Vaihtoehtojen lukumääräksi tulee siis 1 4 (( 9 2, 2, 5 ) ( )) = 1 ( ) = , 1, / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

166 Pólyan värityslause Resepti väritysten lukumäärien etsimiseen on siis seuraava: Selvitä tarkasteltavalla joukolla toimivan permutaatioryhmän permutaatiot ja niiden radat. Määrää permutaatioiden sykli-indeksit ja niiden keskiarvona ryhmän sykli-indeksi. Sijoita ryhmän sykli-indeksin lausekkeeseen muuttujan t j tilalle haluamasi värit potenssiin j, eli t j = v j 1 + v j v j k, kun v i ovat käytössä olevat värit Termin v n 1 1 v n v n k k kerroin kertoo, montako sellaista väritystä on, jossa esiintyy täsmälleen n i kertaa väri v i. Pólyan värityslauseen todistus löytyy esim. MyCourses-sivulla annetusta lisämateriaalista. 38 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402

167 MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 6: Verkkoteoria Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto

168 Verkkojen peruskäsitteitä

169 Motivaatiota (...) networks may be used to model a huge array of phenomena across all scientific and social disciplines. Examples include the World Wide Web, citation networks, social networks (e.g., Facebook), recommendation networks (e.g., Netflix), gene regulatory networks, neural connectivity networks, oscillator networks, sports playoff networks, road and traffic networks, chemical networks, economic networks, epidemiological networks, game theory, geospatial networks, metabolic networks, protein networks and food webs, to name a few. (Grady & Polimeni: Discrete Calculus. Springer 2010.) 1 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

170 Verkko Suunnattu verkko on pari [V, E], missä V on joukko, jonka alkiot ovat verkon solmut ja E on joukon V V osajoukko, jonka alkiot ovat solmujen väliset (suunnatut) kaaret eli linkit. Suuntaamaton verkko (tai vain verkko) on pari [V, E] missä V on joukko, jonka alkiot ovat verkon solmut ja E {{a, b} : a, b V } on verkon solmujen välisten kaarien joukko. Jos verkon kahden solmun välillä on kaari, niin ne ovat toistensa naapureita ja kyseisen kaaren päätesolmut. Suuntamaton verkko [V, E] on yksinkertainen, jos {v, v} = {v} / E kaikilla v V ja suunnatun verkon tapauksessa jos [v, v] / E kaikilla v V. 2 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

171 Verkko Esimerkki 1 Montako kaarta n-solmuisessa yksinkertaisessa verkossa voi enintään olla? ( ) n Vastaus:. Tällaista verkkoa kutsutaan täydelliseksi. 2 3 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

172 Verkko Verkon [V, E] polku (solmusta v 0 solmuun v n ) on jono [v 0, v 1,..., v n ], missä v j V, j = 0, 1,..., n ja jokaisella j = 1,..., n on olemassa kaari solmujen v j 1 ja v j välillä. Polun [v 0, v 1,..., v n ] pituus on n. Verkon [V, E] sykli (tai kierros) on sen polku [v 0, v 1,..., v n ] missä v n = v 0. Polku [v 0, v 1,..., v n ] on yksinkertainen jos v j v k, 0 j < k n. Sykli [v 0, v 1,..., v n ] on yksinkertainen jos [v 0, v 1,..., v n 1 ] on yksinkertainen ja suuntaamattomassa verkossa n 2. 4 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

173 Verkko Esimerkki 2 (Yhtenäinen, ei-yksinkertainen verkko) Punaisella on piirretty yksinkertainen sykli [1, 2, 6, 8, 10, 7, 4, 1] ja vihreällä polku [3, 5, 9, 11, 12, 9], joka ei ole yksinkertainen. Solmujono [1, 2, 3, 4, 5, 6] ei sen sijaan ole polku, koska esimerkiksi {3, 4} ei ole kaari. 5 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

174 Solmun aste Määritelmä 3 Verkon (V, E) solmun v V aste on deg(v) = {A E : v A} eli niiden kaarien lukumäärä, joiden toinen päätepiste on v. Lause 4 (Kättelylemma) Jokaiselle verkolle (V, E) pätee deg(v) = 2 E. v V Todistus. Käydään kaaret läpi yksi kerrallaan. Kukin kaari kasvattaa solmujen astelukujen summaa kahdella, sillä kunkin kaaren molemmissa päissä on solmu, joiden astelukuun kaari lasketaan kerran. Siispä kaarien lukumäärä on puolet solmujen astelukujen summasta. 6 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

175 Solmun aste Esimerkki 5 Lasketaan kättelylemman avulla kaarien lukumäärä täydellisessä verkossa K n = (V, E), jossa siis V = n ja E sisältää kaikki mahdolliset kaaret. Toisaalta deg(v) = n 1 kaikilla v V, joten deg(v) = n(n 1). v V Toisaalta (kättelylemma) 2 E = deg(v), joten v V E = 1 ( ) n 2 n(n 1) =. 2 7 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

176 Verkkoisomorfismi Isomorfismilla tarkoitetaan sellaista kahden joukon välistä bijektiota, joka säilyttää joukon rakenteen; esimerkiksi ryhmä- tai verkkorakenteen. Määritelmä 6 Kaksi verkkoa (V 1, E 1 ) ja (V 2, E 2 ) ovat isomorfiset, jos on olemassa niiden välinen isomorfismi eli bijektio f : V 1 V 2 jolle {u, v} E 1 {f (u), f (v)} E 2. Isomorfiset verkot ovat esitystä vaille samat. Esimerkiksi solmujen asteluvut ja syklien pituudet ovat samoja. 8 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

177 Verkkoisomorfismi Esimerkki 7 Ovatko alla olevat verkot isomorfiset? 3 2 c b 4 1 d a 5 6 e f Eivät. Vasemmanpuoleisessa verkossa ei ole yhtään sykliä, jonka pituus olisi 3, mutta sellaisia on oikeanpuoleisessa verkossa. Tästä seuraa, etteivät verkot voi olla isomorfiset. 9 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

178 Verkkoisomorfismi Esimerkki 8 Ovatko alla olevat verkot isomorfiset? 2 1 b a 5 e 3 4 c d Kyllä. Isomorfismiksi verkkojen välille kelpaa esim. ψ : V 1 V 2, missä ψ(2) = c ja ψ(4) = e (tai päinvastoin), jolloin täytyy olla ψ(1) = d, ψ(3) = b ja ψ(5) = a. 10 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

179 Kävely verkolla Määritelmä Kävely verkolla (V, E) on jono solmuja (v 0,..., v n ) siten, että {v i, v i+1 } E kaikilla i = 0,..., n 1. Luku n on kävelyn pituus. Kävely alkaa solmusta v 0 ja päättyy solmuun v n. Jos v 0 = v n, niin kävely on suljettu. Kävely voidaan ilmaista myös jonona kaaria (e 1,..., e n ) siten, että kahdella peräkkäisellä kaarella on yhteinen solmu. Käsitteellinen ero polun (path) ja kävelyn (walk) välillä: polku voidaan kävellä kahteen eri suuntaan. 11 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

180 Yhtenäisyys Määritelmä Verkko on yhtenäinen, jos sen jokaisen kahden solmun välillä on kävely. (Yhtäpitävästi: polku.) Solmujen joukon relaatio u v u:n ja v:n välillä on polku on ekvivalenssi, joka jakaa verkon solmut yhtenäisiin ekvivalenssiluokkiin eli komponentteihin. 12 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

181 Eulerin kävely Määritelmä 9 Verkon Eulerin kävely on kävely, joka käy läpi verkon kaikki kaaret täsmälleen kerran. Vastaavasti Eulerin sykli: Eulerin kävely, jossa lähtöpiste = päätepiste. Sovellus: Chinese postman problem Postimiehen kannattaa etsiä jakelualueelleen reitti, jossa samaa katua ei kävellä kahdesti ja jossa palataan lähtöpisteeseen. Tällainen löytyy täsmälleen silloin, kun jakelualueen ruutukaavasta löytyy Eulerin sykli. (Kadut = kaaret, katujen risteykset = solmut.) 13 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

182 Eulerin kävely Lause 10 (Euler 1736) Yhtenäisellä verkolla on Eulerin sykli täsmälleen silloin, kun sen jokaisen solmun aste on parillinen. Todistus ( ) Jos verkolla on Eulerin sykli, niin sykli (kävely) saapuu kuhunkin solmuun yhtä monta kertaa kuin se lähtee ko. solmusta. ( ) Olkoon verkon (V, E) jokaisen solmun aste parillinen. Verkolla (V, E) on ainakin yksi sykli: 14 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

183 Eulerin kävely Todistus (jatkuu) Aloitetaan kävely mielivaltaisesta solmusta ja valitaan kullakin askeleella uusi kaari kunnes joku solmu toistuu. (Verkko on äärellinen, joten joku solmu toistuu lopulta. Siihen asti voidaan asteiden parillisuuden nojalla valita aina uusi kaari.) Kun edellä löydetyn syklin kaaret poistetaan E:stä, niin saadun verkon (V, E ) kaikkien solmujen aste on edelleen parillinen. (Huom. poistettiin syklistä pelkät kaaret.) Siten verkolla (V, E ) on jälleen vähintään yksi sykli, ja voidaan toistaa syklien poistamista kunnes yhtään kaarta ei jää jäljelle. Näin alkuperäinen kaarien joukko E on yhdiste erillisistä sykleistä. 15 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

184 Eulerin kävely Todistus (jatkuu) Erilliset syklit voidaan edelleen asettaa järjestykseen siten, että peräkkäisillä sykleillä on yksi yhteinen solmu. (Jos tämä ei onnistuisi, niin verkko ei olisi yhtenäinen.) Etsitty Eulerin sykli saadaan, kun kävellään erilliset syklit läpi järjestyksessä seuraavasti: siirrytään seuraavaan sykliin heti kun kohdataan yhteinen solmu, viimeinen sykli kierretään kokonaan, ja lopuksi peruutetaan samojen yhteisten solmujen kautta ja kierretään syklit loppuun. 16 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

185 Eulerin kävely Esimerkki 11 (Terveisiä ala-asteelta) Voiko alla olevan kuvion piirtää nostamatta kynää paperista? Eli: onko vastaavalla verkolla Eulerin sykli? Vastaus: Kyllä. Perustelemme sen seuraavalla seurauksella edellisestä lauseesta: 17 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

186 Eulerin kävely Seuraus Verkolla on Eulerin kävely, joka ei ole sykli. Verkolla on täsmälleen kaksi solmua, joiden aste on pariton. Todistus. Kaksi paritonasteista solmua syntyy, kun poistetaan Eulerin syklistä yksi kaari, ja toisinpäin (yhdistetään paritonasteiset solmut kaarella). 18 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

187 Hamiltonin kävely Määritelmä 12 Verkon Hamiltonin kävely on kävely, joka käy läpi verkon kaikki solmut täsmälleen kerran. Vastaavasti Hamiltonin sykli: Hamiltonin kävely, jossa lähtöpiste = päätepiste ja välissä olevat solmut käydään läpi täsmälleen kerran. Siinä missä Eulerin kävelylle löytyi helppo kriteeri algoritmeineen, niin Hamiltonin kävely on vaikeampi juttu. Yhtäpitävää ehtoa ei tunneta! 19 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

188 Hamiltonin kävely Riittävä ehto: Lause 13 Lause (G. Dirac 1952) Jos verkolla on n 3 solmua siten, että kullekin solmulle v pätee deg(v) n/2, niin verkolla on Hamiltonin sykli. Todistus. Sivuutetaan. Ks. esim. s_theorem 20 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

189 Naapurimatriisi Jos [V, E] on verkko, jossa on m solmua V = {v 1,... v m }, niin sen naapurimatriisi on m m-matriisi 1, {v j, v k } E, A(j, k) = 0, {v j, v k } / E. Lemma 14 Jos n 1 niin A n (j, k) on n-pituisten polkujen lukumäärä solmusta v j solmuun v k. (Todistetaan kurssilla MS-E1050 Graph Theory) 21 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

190 Naapurimatriisi Esimerkki 15 Verkon naapurimatriisi on A = / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

191 Naapurimatriisi Esimerkki 15 (jatkuu) Nyt A 2 = ja A 3 = , Matriisin A 3 alkio A 3 (1, 2) = 3 kertoo, että solmusta 1 solmuun 2 on kolme polkua, joiden pituus on 3. Nämä ovat [1, 3, 1, 2], [1, 2, 1, 2] ja [1, 2, 3, 2]. 23 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

192 Solmujen väritykset

193 Solmujen värittäminen Määritelmä 16 Verkon G = (V, E) solmuväritys on funktio ω : V {1, 2,..., k} (jollekin k) siten, että {u, v} E ω(u) ω(v). Pienintä lukua k, jolle tällainen funktio löytyy, sanotaan verkon G kromaattiseksi luvuksi ja merkitään χ(g). Esimerkki / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

194 Solmujen värittäminen Esimerkki 18 Täydelliselle n-solmuiselle verkolle K n pätee χ(k n ) = n χ(g) = 1 E = 0 χ(g) = 2 G on kaksijakoinen χ(g) 3: ei tunnettua kriteeriä. Kaarien väritys voidaan määritellä vastaavasti. Sille eivät kuitenkaan päde samat tulokset! 25 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

195 Sovellus: konfliktiverkot Esimerkki 19 Viisi opiskelijaa A, B, C, D ja E tekevät kuutta eri projektityötä seuraavissa ryhmissä: 1. A, B, C 2. B, D 3. B, C 4. B, E 5. A, C 6. D, E. Jos kunkin projektin tekeminen valmiiksi kestää kokonaisen päivän kultakin ryhmän jäseneltä, onko mahdollista saada kaikkia projekteja valmiiksi vähemmässä kuin kuudessa päivässä? 26 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

196 Sovellus: konfliktiverkot Esimerkki 19 (jatkuu) Muodostetaan konfliktiverkko G, jonka kuusi solmua numeroidaan ryhmien mukaisilla numeroilla 1 6 ja jossa solmujen välillä on kaari ryhmillä on yhteisiä jäseniä Tällöin kaikkien projektien saaminen valmiiksi on mahdollista χ(g) päivässä. 27 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

197 Sovellus: konfliktiverkot Esimerkki 19 (jatkuu) Koska solmut {1, 2, 3, 4} ja niitä yhdistävät kaaret muodostavat täydellisen verkon K 4, niin on oltava χ(g) 4. Toisaalta näemme kuvasta, että solmut 5 ja 2 voidaan värittää samalla värillä, samoin solmut 6 ja Siten χ(g) = 4 eli neljä päivää riittää. 28 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

198 Sovellus: ohjelmointikielen kääntäjä Ohjelman silmukan (for, while) suorittaminen nopeutuu, kun kääntäjä tallentaa silmukassa toistuvasti käytetyt muuttujat tavallisen muistin asemesta suorittimen muistiin. Toisaalta suorittimen muistia käytettävissä vähän. Muodostetaan verkko G, jonka solmut ovat silmukassa käytetyt muuttujat ja solmujen välillä on kaari jos niitä vastaavien muuttujien on silmukkaa suoritettaessa oltava käytössä yhtäaikaa. Tarvittavien suoritinmuistipaikkojen määrä on tällöin χ(g). 29 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

199 Solmujen värittäminen ahneella algoritmilla Kromaattisen luvun löytäminen on vaikea ongelma: ei tunneta algoritmia, jonka nopeus solmujen lukumäärän kasvaessa olisi polynominen. Kuitenkin seuraavan kalvon ahne algoritmi on usein hyödyllinen sekä käytännössä että osana teoreettisia todistuksia ( by the greedy algorithm... ). Ahneen algoritmin antama luku riippuu järjestyksestä, jossa algoritmi käy läpi verkon solmut, ja ainakin yksi solmujen järjestys antaa verkon kromaattisen luvun. (Mietitään kohta miksi.) 30 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

200 Solmujen värittäminen ahneella algoritmilla Helppo, mutta ei välttämättä optimaalinen tapa solmujen värityksen löytämiseksi on seuraava ahne algoritmi: Ahne algoritmi Aseta solmut johonkin järjestykseen: [v 1, v 2,..., v n ]. Aseta värit johonkin järjestykseen: [c 1, c 2,..., c r ]. Väritä ensimmäinen solmu ensimmäisellä värillä, eli ω(v 1 ) = c 1. Jos solmut v 1,..., v k on väritetty, niin väritä solmu v k+1 ensimmäisellä käytettävissä olevalla värillä siten, että ehto ettei naapureita väritetä samalla värillä toteutuu, eli ω(v k+1 ) = c j missä j = min {i 1 : {v p, v k+1 } E & p k ω(v p ) c i }. 31 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

201 Solmujen värittäminen ahneella algoritmilla Esimerkki 20 Väritetään äskeinen konfliktiverkko ahneella algoritmilla, solmun numerojärjestyksessä ja värit järjestyksessä punainen, sininen, vihreä, keltainen, oranssi, violetti / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

202 Solmujen värittäminen ahneella algoritmilla Lause 21 Olkoon verkon G solmujen suurin asteluku k. Tällöin χ(g) k + 1. Todistus. Kullakin solmulla on enintään k naapuria, joten enintään k väriä riittää naapurien värittämiseen, ja siten itse solmu voidaan värittää jollakin (k + 1):stä ensimmäisestä käytettävissä olevasta väristä. 33 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

203 Virittäjäpuut

204 Puu Määritelmä 22 Puu on yhtenäinen, syklitön verkko. Määritelmä 23 Juurrettu puu on puu, jonka yksi solmu v 0 on valittu sen juureksi. Tällöin solmun v taso (eng. level) on kävelyn (v 0,..., v) pituus solmu on lehti (eng. leaf) jos se on tasolla i eikä sillä ole naapureita tasolla i + 1. Esimerkki 24 Sukupuut, tiedostopuut, valintapuut. 34 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

205 Virittäjäpuu, painotettu verkko Määritelmä 25 Yhtenäisen verkon virittäjäpuu on puu, joka sisältää verkon kaikki solmut. (Tällainen löytyy aina; poistetaan sykleistä kaaria. Huom. ei yksikäsitteinen.) Määritelmä 26 Painotettu verkko on verkko G = (V, E) varustettuna painofunktiolla w : E R. Verkon kokonaispaino on w(g) = e E w(e). Esimerkki 27 Kaupungit yhdistettyinä datakaapeleilla; w(e) on kaapelin e hinta, tai sähköverkot; w(e) on johtimen e resistanssi. 35 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

206 Minimaalinen virittäjäpuu (eng. MST) Määritelmä 28 Painotetun verkon G minimaalinen virittäjäpuu on sellainen G:n virittäjäpuu T, jolle w(t ) w(u) mille tahansa G:n virittäjäpuulle U. Ahne algoritmi (Prim) Valitaan kaari e 1, jonka paino on minimaalinen. Valitaan e 1 :n naapurikaari e 2, jonka paino on e 1 :n naapurikaarien joukossa minimaalinen. Jatketaan: joka vaiheessa valitaan tähänastisten kaarien naapurien joukosta minimaalinen siten, että puurakenne (yhtenäisyys, ei syklejä) säilyy Näin saadaan minimaalinen virittäjäpuu T, jonka kaaret ovat {e 1,..., e n }. 36 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

207 MST (= Minimal Spanning Tree) Esimerkki 29 (Virittäjäpuu Primin algoritmilla) 3 A B 6 5 F C 5 3 E 6 D 37 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

208 MST Miksi edellä saatu virittäjäpuu T todella on minimaalinen? Olkoon U T toinen virittäjäpuu ja olkoon e k = {u, v} ensimmäinen kaarista {e 1,..., e n }, joka ei ole U:n kaari. Kävellään u:sta v:hen puussa U; olkoon e tämän kävelyn ensimmäinen kaari, joka ei ole joukossa {e 1,..., e k 1 }. Tällöin ahneen algoritmin nojalla w(e k ) w(e). Korvataan kaari e kaarella e k. Virittäjäpuu U tulee korvattua virittäjäpuulla U k, jolle w(u k ) = w(u) w(e) + w(e k ) w(u). Olkoon e k+1 ensimmäinen T :n kaari, joka ei ole U k :n kaari. Toistetaan samaa prosessia; saadaan virittäjäpuiden jono U, U k,..., U n = T siten, että w(t ) = w(u n ) w(u n 1 )... w(u k ) w(u). 38 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

209 MST Edellä esitelty ahne MST-algoritmi oli Primin algoritmi. Toinen ahne algoritmi on Kruskalin algoritmi: valitaan kaari e 1, jonka paino on minimaalinen valitaan kaari e 2, jonka paino on minimaalinen joukossa E \ {e 1 } kussakin vaiheessa hylätään sellaiset kaaret, jotka muodostaisivat syklin; jatketaan kunnes virittäjäpuu. Esimerkit näistä algoritmeista verkkotehtävissä. 39 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

210 MST Esimerkki 30 (Virittäjäpuu Kurskalin algoritmilla) 3 A B 6 5 F C 5 3 E 6 D 40 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

211 Lopuksi

212 Jatkoa? Monta diskreetin matematiikan aihealuetta jäi käsittelemättä. Hyvä niin, tästä voi sitten jatkaa eteenpäin! Diskreetin matematiikan jatkokursseja: MS-C Algebran perusrakenteet MS-E Graph theory MS-E Combinatorics MS-E Number theory MS-E Galois theory 41 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

213 Jatkoa? Verkoista kiinnostunut hyötyy myös tilastotieteestä, esim. MS-C Tilastollisen analyysin perusteet MS-C Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit ja diskreetistä optimoinnista esim. MS-C Optimoinnin perusteet MS-E Linear programming MS-E Nonlinear programming unohtamatta tietotekniikan laitoksen verkkoihin ja algoritmeihin liittyviä kursseja. 42 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

214 Lopuksi Palautekysely aukeaa lähipäivinä, vastauslinkki tulee sähköpostitse. Jos haluat osallistua loppukokeeseen, muista ilmoittautua Oodissa. 43 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402

215 Lopuksi Suurkiitos kaikille! 44 / 44 R. Kangaslampi MS-A0402