BM20A5820 Integrlilskent j sovellukset Jouni Smpo 16. helmikuut 2016
Sisältö 1 Integrointitekniikoit 2 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts)...................... 2 1.2 Sijoitus (Method of Substitution).......................... 3 1.3 Käänteinen sijoitus (Inverse Substitution)..................... 3 1.4 Rtionlifunktion integrli............................. 4 1.5 Epäoleellinen integrli (Improper integrl)..................... 5 1.6 Numeerinen integrointi................................ 6 2 Integrlilskennn sovelluksi 9 2.1 Kppleen tilvuus.................................. 9 2.1.1 Pyörähdyskppleen tilvuus......................... 9 2.2 Käyrän krenpituus j pinnn pint l...................... 11 2.2.1 Pyörähdyspinnn pint l......................... 11 2.3 Mss, momentti j msskeskipiste......................... 12 2.3.1 Pistemäiset msst.............................. 12 2.3.2 Ei-pistemäiset msst............................. 13 2.3.3 Homogeenisen tsokppleen pinopiste eli keskipiste........... 14 3 Prmetriset käyrät 15 3.1 Krteesisen muodon käyristä prmetrisiin esitysmuotoon............. 15 3.2 Sileät prmetriset käyrät.............................. 15 3.3 Prmetristen käyrien tngentti- j normlisuort................ 16 3.4 Krenpituus j pint-l.............................. 16 3.4.1 Krenpituus................................. 16 3.4.2 Pyörähdyskppleen pint-l........................ 17 3.4.3 Tso-lueen pint-l............................. 17 3.5 Npkoordintit j npkäyrät........................... 18 3.5.1 Npkoordintit............................... 18 3.5.2 Npkäyrät.................................. 18 3.6 Etenemisnopeus prmetrisell käyrällä....................... 19
1 Integrointitekniikoit Tässä kppleess esiteltävät eriliset integroimistekniikt ovt tärkeässä rooliss mm. kun Kehitetään tpoj lske integrlej "käsin" (kvkirjojen kvt, tietokoneiden symbolinen lskent) Thdotn muotoill integrli eriliseen muotoon mhdollisesti tehokkmp rtkisu/lskent vrten Thdotn muunt olemss olevi integrleihin liittyviä kvoj erilisiin koordintistoihin Integrleille lsketn likirvoj numeerisesti Useimmt tässä kppleess esitetyt menetelmät eivät kuitenkn kuulu kurssin ydinlueeseen vn esitellään lähinnä yleissivistykseksi. Myöhemmissä kppleiss j hrjoitustehtävissä erityisesti sijoitukset integrleiss j epäoleelliset integrlit tulevt esiintymään usemmin, muit tekniikoit ei välttämättä juuri trvitse jos hllitsee ihn lukion perusintegroinnin j kvkirjojen käytön. Numeerinen integrointi on erittäin tärkeä ihe sinänsä, mutt kosk sille on omt kurssins niin se lähes ohitetn tällä kurssill. 1.1 Osittisintegrointi (Integrtion by prts) Jos integroitv funktio voidn esittää khden funktion U j V tulon, voidn hyödyntää tulon derivoimissääntöä d (U(x)V (x)) = U(x)dV dx dx + V (x)du (1) dx Integroidn molemmt puolet j järjestellään termejä, jolloin sdn eli lyhyesti U(x) dv dx = U(x)V (x) dx UV = UV Integrointivkio mukn vst viimeisen integroinnin jälkeen Usein knntt kokeill seurv: V (x) du dx (2) dx U V (3) Jos integroitv funktio on muoto polynomi eksponentti, sini ti kosinifunktio, vlitn U = polynomi Jos integroitvss funktioss on mukn funktio, jok on helposti integroitviss, vlitn tämä funktio = V Esimerkki 1.1. Osittisintegrointi käyttäen osoit integrlille I n = x n e x dx oikeksi reduktiokv I n = x n e x + ni n 1 j lske sen vull mitä on I 4 kun x = 0. Osittisintegrointi toimii myös määrätyn integrlin knss: UV = / b UV U V (4) Esimerkki 1.2. Olkoon I n = π/2 sin n (x)dx. Osoit todeksi reduktiokv I 0 n = n 1I n n 2 j lske sen vull mitä on I 3 j I 4. 2
1.2 Sijoitus (Method of Substitution) Yhdistetyn funktion derivtt määritellään d dx f(g(x)) = f (g(x)) g (x) (5) Integroimll puolittin, sdn f (g(x)) g (x) dx = f(g(x)) + C (6) Erityisesti jos sisäfunktio g(x) on monimutkinen luseke, voi edellisen kvn käyttö tuntu joskus hnkllt. Tekemällä sijoitus u = g(x) (j täten du = g (x) dx) sdn kv yksinkertisempn muotoon f (g(x)) g (x) dx = f (u)du + C = f(g(x)) + C (7) Määrätyn integrlin knss pitää ott huomioon, että sijoituksess integroimisrjt muuttuvt. Olkoon g() = A j g(b) = B: f (g(x)) g (x) dx = B A f(u) du (8) Esimerkki 1.3. Lske integrli e 3 e 2 1 t(ln(t)) 4 dt käyttäen sijoitust u = ln(t). Neliöksi täydentäminen on eräs suorn sijoituksen yleisimmistä käyttötilnteist: stetn luseke Ax 2 + Bx + C muotoon ( Ax 2 + Bx + C = A x + B ) 2 4AC B2 + (9) 2A 4A j sijoitetn u = x + B 2A. Esimerkki 1.4. Integroi funktio 1 16x 2 +16x 2 käyttäen hyväksi tieto että D(cos 1 (x)) = 1 1 x 2. 1.3 Käänteinen sijoitus (Inverse Substitution) Sijoitetn integrliin x = g(u), jolloin sdn x=b x= f(x)dx (10) f (g(u)) g (u)du (11) Näin stu integrli voi näyttää vikemmlt kuin lkuperäinen, mutt on joskus helpommin rtkistviss. Muutmi perusvinkkejä sijoituksiksi: Jos integrliss on tekijä 2 x 2, se sdn usein yksinkertisempn muotoon sijoituksell x = sin θ eli θ = sin 1 x (käänteinen sinisijoitus, inverse sine substitution). 3
Jos integrliss on tekijä 2 + x 2 1 ti, se sdn usein yksinkertisempn muotoon sijoituksell x = tn θ eli θ = tn 1 x (käänteinen tngenttisijoitus, inverse tngent x + 2 substitution). Jos integrliss on tekijä x 2 2 ( > 0), se sdn usein yksinkertisempn muotoon sijoituksell x = sec θ eli θ = sec 1 x (käänteinen seknttisijoitus, inverse secnt substitution). Kosinin j sinin rtionlifunktio sdn joissin tpuksiss muutettu x:n rtionlifunktioksi sijoituksell x = tn θ 2, eli θ = tn 1 x. Esimerkki 1.5. Integroi luseke 1 x 2 x 2 2. 1.4 Rtionlifunktion integrli Trkstelln integrlej, jotk ovt muoto P (x) dx, (12) Q(x) missä P j Q ovt muoto n x n + n 1 x n 1 + + 2 x 2 + 1 x + x 0 (13) olevi polynomej, missä n on polynomin ste.osmäärää P (x)/q(x) kutsutn rtionlifunktioksi Jos P :n ste on sm ti suurempi kuin Q:n, voidn suoritt jkolsku, jonk tuloksen sdn polynomi + R(x)/Q(x), missä R:n ste on pienempi kuin Q:n. Trkstelln siis integrlej R(x) dx, (14) Q(x) joiss R:n ste on pienempi kuin Q:n. Jos Q:n ste = 1 (linerinen nimittäjä), Q(x) = x + b, missä < 0. Tällöin R(x):n ste on oltv 0, ts. R(x) = c j R(x)/Q(x) = c/(x + b). Sijoituksell u = x + b sdn c x + b dx = c du u = c ln u + C = c ln x + b + C (15) Neliöllinen nimittäjä: xdx = 1 x 2 + 2 2 ln(x2 + 2 ) + C xdx = 1 x 2 ln 2 2 x2 2 + C dx = 1 x 2 + 2 tn 1 x + C dx = 1 x 2 ln x + C (16) 2 2 x+ Kolme ensimmäistä sdn sdn johdettu suorll sijoituksell j viimeinen käyttämällä osmurtohjotelm: Oletetn, että Q voidn jk n:ään lineriseen tekijään: Q(x) = (x 1 )(x 2 ) (x n ), (17) 4
missä i j, jos i j, 1 i, j n. Tällöin P (x)/q(x):n osmurtohjotelm voidn kirjoitt muotoon P (x) Q(x) = A 1 + A 2 A n + (18) x 1 x 2 x n Jos Q sisältää jottomn 2. steen tekijän x 2 + px + q, muodostetn osmurtoluku Ax + B x 2 + px + q (19) Huom. Tätä muoto voidn käyttää vikk tekijä x 2 + px + q ei olisikn joton. Jos jokin Q(x):n linerinen ti neliöllinen termi toistuu m kert, trvitn P (x)/q(x):n hjotelmss m murtoluku vstmn ko. tekijää: esimerkiksi jos Q:ll on tekijä (x ) m, trvitn osmurtokehitelmään termit A 1 x + A 2 (x ) 2 + A m (x ) m (20) Esimerkki 1.6. Integroi osmurtokehitelmän vull lusekkeet 6x2 +10x+2 3x+1. (x 1)x 2 x j 2 1 x(x 2 +3x+2) x 4 2x 3 2x 1 j 1.5 Epäoleellinen integrli (Improper integrl) Määrätty integrli, jok on tyyppiä I = f(x)dx, (21) missä integroitv funktio f on jtkuv suljetull, äärellisellä välillä [, b], s äärellisen rvon. Tällist integrli kutsutn oleelliseksi integrliksi (proper integrl). Jos otetn huomioon myös seurvt mhdollisuudet 1. Joko = ti b = ti molempi 2. f ei ole rjoitettu, kun x lähetyy :t ti b:tä ti molempi puhutn epäoleellisist integrleist. Ensimmäisessä tpuksess on kyseessä tyypin I, jälkimmäisessä tyypin II epäoleellinen integrli. Määritellään nämä seurvksi hiemn täsmällisemmin. Tyypin I epäoleelliset integrlit: Jos f on jtkuv välillä [, [, määritellään Smoin jos f on jtkuv välillä ], b] R f(x)dx = lim R f(x)dx (22) f(x)dx = lim R R f(x)dx (23) Jos yo. rj rvot ovt olemss, epäoleellinen integrli suppenee (konvergoi), jos eivät, se hjntuu (divergoi). 5
Tpuksess f(x)dx integrli jetn khteen osn f(x)dx = 0 f(x)dx + missä integrli suppenee, jos molemmt yo. integrlit suppenevt. 0 f(x)dx, (24) Tyypin II epäoleelliset integrlit: Jos f on jtkuv välillä ], b] j voi oll rjoittmton :n lähellä, määritellään f(x)dx = lim c + c f(x)dx. (25) Vstvsti jos f on jtkuv välillä [, b[ j voi oll rjoittmton b:n lähellä, f(x)dx = lim Esimerkki 1.7. Osoit että jos 0 < < c b c f(x)dx. (26) j 0 x p dx x p dx {suppenee kohti luku 1 p p 1, jos p > 1 hjntuu kohti :, jos p 1 {suppenee kohti luku 1 p 1 p, jos p < 1 hjntuu kohti :, jos p 1 (27) (28) Integrlin suppenemist voidn rvioid vertmll sitä tunnettuun integrliin: Oletetn, että < b j funktiot f j g ovt jtkuvi välillä (, b) j toteuttvt ehdon 0 f(x) g(x). Tällöin jos g(x)dx suppenee, niin myös f(x)dx suppenee j f(x)dx g(x)dx. (29) Smoin, jos f(x)dx divergoi kohti ääretöntä, niin tekee myös g(x)dx. Esimerkki 1.8. Osoit että 1 dx divergoi kohti ääretöntä j että sin(e x )dx 1 2+cos(xe x ) 1 konvergoi kohti jotin reliluku. 1.6 Numeerinen integrointi Numeerist integrointi voidn trvit mm. kun Määrätyn integrlin I = lskeminen on oll vike ti mhdotont f(x)dx (30) f:n lusekett ei ole stvill. Esim. jos on vin mittustuloksi y i jnhetkinä x i eli jotk ovt tuntemttomn funktion f rvoj f(x i ). 6
Käytännössä numeerinen integrointi voidn toteutt tietokoneell ti lskimell. Tutustumme seurvksi muutmn numeeriseen integroimismenetelmään. Puolisuunnikssääntö (Trpezoidl rule): Oletetn, että f(x) on jtkuv välillä [, b]. Jetn väli [, b] n:ään smnpituiseen osväliin, välien pituus h = (b )/n käyttäen n + 1 pistettä x 0 =, x 1 = + h, x 2 = + 2h,, x n = + nh = b. (31) Oletetn myös että f(x):n rvot näissä pisteissä tunnetn, eli y 0 = f(x 0 ), y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(x 2 ),, y n = f(x n ). (32) Approksimoidn integrli f(x)dx käyttäen em. pisteiden välisiä suori viivoj: summtn näin stujen puolisuunnikkiden pint lt j käytetään näin stu pint l integr- lin likirvon. Puolisuunnikssäännön ntm likirvo T n integrlille f(x)dx on ( 1 T n = h 2 y 0 + y 1 + y 2 y 3 + + y n 1 + 1 ) 2 y n ( ) = h n 1 y 0 + 2 y j + y n 2 j=1 (33) (34) Yksinkertisuudestn huolimtt puolisuunnikssääntö on melko tehoks menetelmä. Trkstelln esimerkiksi integrli 2 1 I = x dx. 1 Tämän integrlin rvo tunnetn, se on ln 2 = 0.69314718.... Lsketn se puolisuunnikssäännöllä j trkstelln tuloksen suppenemist: I T 4 = 0.69314718... 0.69702381... = 0.00387663 I T 8 = 0.69314718... 0.69412185... = 0.00097467 I T 16 = 0.69314718... 0.69339120... = 0.00024402 Keskipistesääntö: Oletetn jälleen, että f(x) on jtkuv välillä [, b]. Jetn väli [, b] n:ään smnpituiseen osväliin j muodostetn Riemnnin summ sellisten suorkiteiden pint loist, joiden korkeudet on lskettu n:n osvälin keskipisteissä. Jos h = (b )/n j oletetn m j = + (j 1 )h, kun 1 j n. Tällöin keskipistesäännön 2 ntm likirvo M n integrlille f(x)dx on n M n = f (f(m 1 ) + f(m 2 ) + + f(m n )) = h f(m j ). (35) j=1 7
Simpsonin sääntö: Oletetn edelleen, että f(x) on jtkuv välillä [, b] j jetn väli [, b] n:ään smnpituiseen osväliin. Approksimoidn f:n kuvj nyt prbelin krill. Vlitn kolme vierekkäistä pistettä ( h, y L ), (0, y M ) j (h, y R ) j sijoitetn nämä pisteet prbelin yhtälöön: y L = A Bh + Ch 2 y M = A (36) y R = A + Bh + Ch 2 Tällöin A = y M, 2Ch 2 = y L 2y M + y R j h h ( (A + Bx + Cx 2 )dx = h h Ax + B 2 x2 + C x3) = 2Ah + 2 3 3 Ch3 = h ( 2y M + 1(y 3 L 2y M + y R ) ) = h 3 (y L + 4y M + y R ) (37) Oletetn, että käytettävissä on sm dt kuin puolisuunnikssäännön tpuksess, jolloin sdn (oletten myös, että n on prillinen) x2 x 0 f(x)dx h 3 (y 0 + 4y 1 + y 2 ) x4 x 2 f(x)dx h 3 (y 2 + 4y 3 + y 4 ) xn x n 2 f(x)dx h 3 (y n 2 + 4y n 1 + y n ) (38) Lskemll nämä yhteen sdn Simpsonin säännön ntm likirvo integrlille f(x)dx:. f(x)dx S n = h 3 (y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y 4 + + 2y n 2 + 4y n 1 + y n ) = h 3 (y ends + 4y odds + 2y evens ) (39) Virherviot; Kikki edellä esitellyt menetelmät ovt käyttökelpoisi, virhervioiden olless seurvt: K(b ) f(x)dx T n h 2 K(b )3 = 12 12n 2 K(b ) f(x)dx M n h 2 K(b )3 = 24 24n 2 K(b ) f(x)dx S n h 4 K(b )5 = (40) 180 180n 4 Kksi ensimmäistä virherviot olettvt että f:n toinen derivtt on rjoitettu j viimeinen että f:n neljäs derivtt on rjoitettu välillä [, b]. 8
2 Integrlilskennn sovelluksi Määrättyjä integrlej voidn sovelt mm. kppleiden tilvuuksien, käyrien pituuksien, pintojen pint lojen, voimien, energioiden jne. lskemiseen. Tässä kppleess esitellään näistä muutmi. 2.1 Kppleen tilvuus Kppleen, jonk poikkileikkuspint l pikss x on A(x), tilvuus V välillä x =, x = b on V = A(x)dx (41) Voidn myös kirjoitt V = x=b dv, missä dv = A(x)dx on tilvuuselementti. x= Esimerkki 2.1. Määritä integroimll sellisen ympyräpohjisen (vinon) krtion tilvuus jonk korkeus on 10 metriä. Esimerkki 2.2. Määritä integroimll R-säteisen pllon tilvuus. 2.1.1 Pyörähdyskppleen tilvuus Kpplett, joll on jotin kseli vstn kohtisuorss suunnss ympyränmuotoinen poikkileikkus, kutsutn pyörähdyskppleeksi. Esittelemme nyt kksi eri tp lske pyörähdyskppleen tilvuus: 1. Jos lue R, jot rjoittvt y = f(x), y = 0, x = j x = b pyörähtää x kselin ympäri, kppleen poikkileikkuksen pint l on A(x) = π(f(x)) 2 j pyörähdyskppleen pint l on V = π (f(x)) 2 dx (42) 2. Sylinterin kuori menetelmä: Tsolue R, jot rjoittvt 0 y f(x), 0 < x < b pyörähtää y kselin ympäri, jolloin tilvuus V = 2π xf(x)dx (43) Huom. Jos voidn rtkist y yhtälöstä y = f(x) niin silloin myös ensimmäistä menetelmää voidn käyttää y-kselin ympäri pyörähtävän kppleen tilvuuden lskentn. R(x) dx x = x = b Kuv 1: V = π x=b x= [R(x)]2 dx 9
dy y = d R(y) y = c Kuv 2: V = π y=d y=c [R(y)]2 dy dx R(x) x = x = b Kuv 3: V = 2π x=b x= xr(x)dx y = d dy y = c R(y) Kuv 4: V = 2π y=d y=c yr(y)dy 10
2.2 Käyrän krenpituus j pinnn pint l Hhmottelln esin tp joll kren pituus voidn lske likimääräisesti. Olkoon AB pisteiden A j B välinen lyhin etäisyys. Oletetn, että pisteiden A j B välillä on käyrä C j vlitn käyrältä pisteet A = P 0, P 1, P 2,..., P n 1, P n = B j pproksimoidn A:n j B:n välisen viivn pituutt monikulmiopproksimtioll, eli yhdistämällä pisteet P 0, P 1 jne. suorill viivoill. Käyrän pituus tässä pproksimtioss on n L n = P 0 P 1 + P 1 P 2 + P n 1 P n = P i 1 P i. (44) Tällöin on voimss määritelmä: Käyrän C krenpituus pisteestä A pisteeseen B on pienin reliluku s siten, että jokiselle monikulmiopproksimtion ntmlle pituudelle L n pätee L n s. Käyrä, jonk krenpituus on äärellinen on suoristuv. Esimerkki 2.3. Määrittele välille [0, 1] sellinen funktio jonk kuvj ei ole suoristuv. Olkoon f välillä [, b] määritelty jtkuv funktio, joll on jtkuv derivtt f ko. välillä. Jos käyrä C on funktion f kuvj, ts. yhtälön y = f(x) kuvj, tämän käyrän krenpituus on ( ) 2 s = 1 + (f dy (x)) 2 dx = 1 + dx (45) dx Krenpituus voidn esittää myös krenpituuselementtien vull: missä s = x=b x= i=1 ds, (46) ds = 1 + (f (x)) 2 dx. (47) Esimerkki 2.4. Kivi heitetään pisteestä ( 1, 0) j se tippuu pisteeseen (1, 0). Oletetn että lentort noudtt yhtälöä y = x 2 1. Kuink pitkän mtkn kivi lensi? Esimerkki 2.5. Oletetn että rotkon ylittävä köysisilt noudtt n.k. "ketjukäyrän"yhtälöä f(x) = 0.1 cosh(x). Kuink pitkä kyösisilt on jos sen lkupiste on pisteessä (0, f(0)) j päätepiste pisteessä (1, f(1)). 2.2.1 Pyörähdyspinnn pint l Kun tsokäyrää kierretään käyrän tsoss olevn viivn suhteen, sdn pyörähdyspint. Pyörähdyspinnn pint l sdn kiertämällä käyrän krenpituuselementtejä nnetun viivn suhteen. Jos kierron säde on r, sdn nuh, jonk pint l on ds = 2πrds (48) Jos f (x) on jtkuv välillä [, b] j käyrää y = f(x) kierretään x kselin ympäri, sdun pyörähdyspinnn l on S = 2π x=b x= y ds = 2π Vstvsti kierrettäessä y kselin ympäri S = 2π x=b x= x ds = 2π 11 f(x) 1 + (f (x)) 2 dx. (49) x 1 + (f (x)) 2 dx. (50)
Esimerkki 2.6. Lske säteisen pllon pinnn pint l. Esimerkki 2.7. Prbelin y = x 2 + 2x + 10 x-kselin yläpuoleinen os pyörähtää x-kselin ympäri muodosten "kpselin". Mikä on tämän kpselin pint-l? Esimerkki 2.8. Käyrä y = x, 1 x 0 pyörähtää y-kselin ympäri. Mikä on pyörähdyspinnn pint-l? Joskus tsokäyrä on helpompi ilmist y:n kuin x:n funktion. Tällöin edellisissä kvoiss voidn yksinkertisesti viht y:n j x:n roolit: Jos g (y) on jtkuv välillä [c, d] j käyrää x = g(y) kierretään y kselin ympäri, sdun pyörähdyskppleen pint l on S = 2π y=d y=c x ds = 2π Vstvsti kierrettäessä x kselin ympäri S = 2π y=d y=c y ds = 2π d c d c g(y) 1 + (g (y)) 2 dy. y 1 + (g (y)) 2 dy. Esimerkki 2.9. Käyrä x = e y väliltä 0 y ln(2) pyörähtää x-kselin ympäri. Mikä on syntyvän pyörähdyspinnn pint-l? 2.3 Mss, momentti j msskeskipiste Oletetn, että kppleen tiheys pisteessä P on δ(p ) j δ(p ) on jtkuv kppleen kikiss pisteissä P. Jetn kpple pieniin tilvuuselementteihin j oletetn, että tiheys δ on likimäärin vkio elementin sisällä. Tällöin tilvuuselementissä V, jok sisältää pisteen P, olev mss M on j koko kppleen mss Integrlimuodoss; msselementti dm = δ(p )dv m = dm = m δ(p ) V (51) m = m δ(p ) V (52) δ(p )dv. (53) Edellisessä kvss mss on yleisessä muodoss j integroiminen hnkl (P R 3 jdv on kolmiulotteinen "elementti"!). 2.3.1 Pistemäiset msst Keskitytään nyt yksinkertistettuun 1-ulotteiseen tilnteeseen joss mss on keskittynyt pelkästään x-kselille tiettyyn pisteeseen: x kselill pikss x olevn mssn m momentti pisteen x = 0 suhteen on xm j pisteen x 0 suhteen (x x 0 )m. Jos useit mssoj m 1, m 2,... m n pikoiss x 1, x 2,... x n, kokonismomentti pisteen x = x 0 suhteen on yksittäisten momenttien summ: M x=x0 = (x 1 x 0 )m 1 + (x 2 x 0 )m 2 + + (x n x 0 )m n = n (x j x 0 )m j. (54) 12 j=1
Msssysteemin msskeskipiste on piste x, jonk suhteen kokonismomentti on noll, ts. 0 = n (x i x)m j = j=1 n n x j m j x m j (55) j=1 j=1 Msskeskipiste on siis x = n j=1 x jm j n j=1 m j = M x=0 m (56) Yleistetään seurvksi tilnnett 2-ulotteiseen tpukseen: mss m 1 on pisteessä (x 1, y 1 ), m 2 pisteessä (x 2, y 2 ) jne. Msssysteemin momentti y kselin (x = 0) suhteen on M x=0 = x 1 m 1 + x 2 m 2 + + x n m n = n x j m j (57) j=1 j x kselin (y = 0) suhteen M y=0 = y 1 m 1 + y 2 m 2 + + y n m n = n y j m j (58) j=1 Msskeskipiste xy tsoss on siis piste ( x, ȳ), missä x = M x=0 m = n j=1 x jm j n j=1 m j ȳ = M y=0 m = n j=1 y jm j n j=1 m j (59) Esimerkki 2.10. Puust rkennetun ympyrän muotoisen kynttelikön (säde R = 30 cm, pino 3 kg) msskeskipisteen thdottisiin olevn keskellä ympyrää- Puun epähomogeenisuuden vuoksi msskeskipiste ei olekkn missä pitäisi, vn hvitn että msskeskipiste onkin 3 cm ympyrän keskipisteestä. Minkä kokoinen (pistemäinen) mss pitäisi kiinnittää ympyrän kehälle jott msskeskipiste siirtyisi ympyrän keskipisteeseen? 2.3.2 Ei-pistemäiset msst Yleistetään seurvksi tilnnett siten että mss on vin x-kselill, mutt ei esiinny pistemäisenä. Oletetn, että mss on jkutunut x kselille siten, että tiheys δ(x) on jtkuv funktio välillä [, b]. Tällöin pituuselementissä dx pikss x on mss dm = δ(x)dx j sen momentti pisteen x = 0 suhteen on dm x=0 = xdm = dδ(x)dx. Kokonismomentti on j kokonismss joten msskeskipiste M x=0 = m = x = M x=0 m = xδ(x)dx (60) δ(x)dx, (61) xδ(x)dx δxdx. (62) Esimerkki 2.11. Suorn johdon pituus on L cm j sen tiheus etäisyydellä s cm johdon toisest päästä on δ(s) = sin(πs/l) g/cm (johto jtelln siis yksiulotteiseksi kppleeksi). Lske johdon mss. Missä on johdon msskeskipiste? 13
Seurv esimerkki yleistää edelliset tulokset 2-ulotteiseen (erikois)tpukseen. Esimerkki 2.12. Esim. lueess x b, 0 y f(x) olevn levyn, jonk tiheys pisteessä (x, y) on δ(x), mss on j momentit m = M x=0 = M y=0 = 1 2 δ(x)f(x)dx (63) xδ(x)f(x)dx δ(x)(f(x)) 2 dx. (64) Ann perustelu jälkimmäiselle kvlle sekä määritä msskeskipiste ( x, ȳ). 2.3.3 Homogeenisen tsokppleen pinopiste eli keskipiste Oletetn eo. kvoiss tiheys vkioksi, δ(x) = 1, sdn tsolueen x b, 0 y f(x) pinopisteeksi (centroid) ( x, ȳ), missä A = f(x)dx, M x=0 = x = M x=0 A, ȳ = M y=0 A xf(x)dx M y=0 = 1 2 (65) (f(x)) 2 dx (66) Esimerkki 2.13. Osoit että kolmion, jonk kärkipisteet ovt (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) j (x 3, y 3 ) pinopiste on ( x1 + x 2 + x 3 ( x, ȳ) =, y ) 1 + y 2 + y 3 (67) 3 3 Esimerkki 2.14. Ympyrän neljänneksen muotoist levyä kuv xy-tson pistejoukko {(x, y) R 2 x 2 + y 2 2, x 0, y 0}. Jos levy on tspksu j homogeeninen niin mikä on levyn pinopiste? Keskipisteen vull sdn lskettu kätevästi myös pyörähdyskppleiden tilvuuksi j pint-loj (Pppusin luse): Jos tsolue R kierretään suorn L suhteen siten, että muodostuu pyörähdyskpple, sdun kppleen tilvuus on V = 2π ra, (68) missä A on lueen R pint l j r on R:n keskipisteen etäisyys L:stä. Jos tsokäyrä C kierretään viivn L suhteen siten, että muodostuu pyörähdyspint, sdun pinnn pint l on S = 2π rs, (69) missä s on käyrän C pituus j r on C:n keskipisteen etäisyys L:stä. Esimerkki 2.15. xy tson neljännkesen tsolue, jonk keskipiste on pisteessä (10, 8), pyörähtää x-kselin ympäri. Näin muodostuneen pyörähdyskppleen tilvuudeksi stiin on 10 kuutiometriä. Mikä olisi ollut sellisen pyörähdyskppleen pint-l jok muodostuisi kun sminen tsolue pyörähtäisi y kselin ympäri? Esimerkki 2.16. Pisteitä (1, 0)j (0, 1) yhdistävä jn pyörähtää suorn x = 2 ympäri j muodost kiinteän kppleen. Lske Pppuksen luseen vull kppleen vipn pint-l. 14
3 Prmetriset käyrät 3.1 Krteesisen muodon käyristä prmetrisiin esitysmuotoon xy-tson tsokäyrä on krteesisess muodoss jos se on nnettu suorn x:n j y:n lusekkeen, esimerkiksi x 2 + y 2 = 4 ti y = x 2 ti y + sin(yx) = e x. Vihteluväliä x:lle j y:lle voidn trvittess rjoitt (esim. puoliympyrä). Krteesisess muodoss olev käyrä voi oll joskus hyvinkin vike nlysoid ti edes hhmotell krkesti. Toislt on hyvin helppo todet onko nnettu (x, y) pistepri käyrällä. Esimerkki 3.1. Jos kiven lentordn ennustetn noudtvn käyrää y = x 2 +10 niin osuuko se pisteessä (2,5) olevn kohteeseen? Tsoss olev käyrä C on prmetrinen, jos käyrään kuuluvt pisteet ovt muoto (f, g), missä f j g ovt funktioit jotk on määritelty smll välillä I. Yhtälöitä x = f(t), y = g(t), kun t I (70) kutsutn käyrän C prmetrisiksi yhtälöiksi ti prmetrisoinniksi. Riippumton muuttuj t on prmetri. Yleensä funktiot f j g ovt jtkuvi j vrsin usein prmetri t merkitsee ik. Prmetriksi voidn tietysti vlit jokin muukin symboli. Prmetrisen käyrän suunt on suunt, johon t ksv. Suunt esitetään käyrän kuvjss yleensä nuolell. Esimerkki 3.2. Hhmottele krkesti prmetrinen käyrä x = t 2, y = t + 1 välillä t [ 1, 2]. Hhmottele myös prmetrinen käyrä x = 2 sin(α), y = cos(α) kun α [0, 2π]. Prmetrisen käyrän pluttminen krteesiseen muotoon on usein mhdotont mutt joskus se onnistuu. Esimerkki 3.3. Plut prmetriset käyrät i) x = t 2, y = t+1 kun t [ 1, 2] j x = 2 sin(α), y = cos(α) kun α [0, 2π] tkisin krteesiseen muotoon. Krteesisess muodoss olevn käyrän prmetrisointi on yhtälill hnkl ongelm. Kun prmetrisointi on olemss, on sille lisäksi in useit eri vihtoehtoj j sopivn vlint voi riippu käytännön vtimuksist. Esimerkki 3.4. Etsi kksi oleellisesti erilist prmetrisoitu esitysmuoto suorlle y = x+1. 3.2 Sileät prmetriset käyrät Tsokäyrä on sileä, jos sillä on tngenttisuor jokisess pisteessä P j tngentti kääntyy jtkuvll tvll, kun P liikkuu pitkin käyrää. Oletetn nyt että prmetrisen esitysmuodon funktiot f j g ovt jtkuvi j derivoituvi pisteen t läheisyydessä. Sileydestä voidn tällöin todet: Tsokäyrä on sileä pisteessä (f( t), g( t) mikäli joko f ( t) 0 ti g ( t) 0. Jos f ( t) = 0 j g ( t) = 0 niin tsokäyrän sileydestä pisteessä (f( t), g( t) ei näiden tietojen perusteell void päätellä mitään. Tässä tpuksess derivttojen trkempi tutkiminen voi utt. 15
Esimerkki 3.5. Osoit että seurvt käyrät ovt vrmsti sileitä kun t 0 i) x = f(t) = t 2, y = g(t) = t 3, ii) x = f(t) = t 3, y = g(t) = t 6. Tutki myös ovtko ne sileitä vi eivät pisteessä t = 0. 3.3 Prmetristen käyrien tngentti- j normlisuort Jos f (t) 0 välillä I, C on sileä j sillä on jokisell t:n rvoll tngenttisuor, jonk kulmkerroin on dy dx = g (t) f (t). (71) Jos f (t) = 0 j g (t) 0, silloin tngenttti on pystysuor. Toislt jos g (t) 0 välillä I, C on sileä j sillä on jokisell t:n rvoll normlisuor, jonk kulmkerroin on dx dy = (t) f g (t). (72) Jos g (t) = 0 j f (t) 0, silloin normli on pystysuor (eli tngentti on vksuor). Jos f j g ovt jtkuvi j inkin toinen on nollst poikkev t 0 :ss, prmetriset yhtälöt { x = f(t 0 ) + f (t 0 )(t t 0 ) (73) y = g(t 0 ) + g (t 0 )(t t 0 ), missä < t <, esittävät käyrän x = f(t), y = g(t) tngenttisuor pisteessä (f(t 0 ), g(t 0 )). Vstvsti normlisuorn yhtälö on { x = f(t 0 ) + g (t 0 )(t t 0 ) (74) y = g(t 0 ) f (t 0 )(t t 0 ), missä < t <. Molemmt suort kulkevt pisteen (f(t 0 ), g(t 0 )) kutt, kun t = t 0. Esimerkki 3.6. Etsi ne pisteet väliltä t [0, 2π] joiss käyrällä x = cos(t), y = cos(e t ) on vksuor ti pystysuor tngentti. Määritä myös tngentti j normlisuorn kulmkertoimet pisteessä t = π/4. Muodost lisäksi prmetriset muodot tngentti j normlisuorn yhtälöille. 3.4 Krenpituus j pint-l 3.4.1 Krenpituus Olkoon C sileä prmetrinen käyrä, jonk yhtälö on x = f(t), y = g(t), t b siten, että f (t) j g (t) ovt jtkuvi välillä [, b], eivätkä ole yhtik nolli. Tällöin käyrän krenpituuselementti on (ds ds = ds ) 2 (dx ) 2 ( ) 2 dy dt dt = dt = + dt (75) dt dt dt j krenpituus s = t=b t= ds = Esimerkki 3.7. Lske prmetrisen käyrän pituus. (dx ) 2 + dt x = e t cos t, y = e t sin t, (0 t 2) 16 ( ) 2 dy dt (76) dt
3.4.2 Pyörähdyskppleen pint-l Jos sileä prmetrinen käyrä, jonk yhtälö on x = f(t), y = g(t), t b kierretään x kselin ympäri, sdun pinnn pint l on s = 2π t=b t= y ds = 2π Vstvsti y kselin ympäri kierrettäessä g(t) (f (t)) 2 + (g (t)) 2 dt (77) Esimerkki 3.8. s = 2π t=b x ds = 2π t= f(t) (f (t)) 2 + (g (t)) 2 dt (78) 3.4.3 Tso-lueen pint-l Mtemtiikk A1 kurssill integroidess (x-muuttujn suhteen) opittiin että pint-l tulkint pätee sellisenn vin jos integroitv funktio on koko jn x-kselin yläpuolell. Jos funktio käy välillä x-kselin lpuolell, pitää integrli jk osiin jos pint-l on se mikä kiinnost. Sm pätee myös prmetristen käyrien yhteydessä. Lisäksi se mihin suuntn käyrä on kulkemss vikutt määrätyn integrlin rvoon. Tutkitn seurvksi hiemn erilisi tpuksi Käyrän C yhtälö on x = f(t), y = g(t), t b, missä f on differentioituv j g jtkuv välillä [, b]. Jos f (t) 0 j g(t) 0 välillä [, b], niin C:n j x kselin väliin jäävän pinnn pint ln pint lelementti on da = ydx = g(t)f (t)dt j pint l A = Jos f (t) 0 j g(t) 0 välillä [, b], niin A = g(t)f (t)dt Jos f (t) 0 j g(t) 0 välillä [, b], niin A = g(t)f (t)dt g(t)f (t)dt (79) Jos f (t) 0 j g(t) 0 välillä [, b], niin A = g(t)f (t)dt, missä A on C:n, x kselin j pystysuorien suorien x = f() j x = f(b) rjoittmn lueen pint l. Yhdistämällä kksi edelliset, sdn A = g(t)f (t)dt = A 1 A 2, (80) missä A 1 on C:n j x kselin sen osn, jok koostuu pisteistä x = f(t) siten, että g(t)f (t) 0, väliin jäävä lue j A 2 on vstv lue, jok koostuu pisteistä, joille g(t)f (t) < 0. Esimerkki 3.9. Määritä käyrän x(t) = t 3 4t, y(t) = t 2, t [ 2, 2] silmukn pint-l. 17
3.5 Npkoordintit j npkäyrät 3.5.1 Npkoordintit Jos on trpeen tietää ti määritellä, kuink kukn j missä suunnss origost piste on, npkoordinttit ovt usein luonnollinen vlint krteesisten koordinttien semest. Npkoordintisto voidn määritellä origon O j siitä vksuorn oikelle ulottuvn np kselin vull. Tällöin pisteen P npkoordintit ovt r j θ, missä r on O:n P :n välinen etäisyys j θ on jnn OP j np kselin välinen kulm. Npkoordinttej merkitään yleensä hksuluill [r, θ] ti krisuluill (r, θ). Merkintätvst riippuen, seknnuksen vr lukuvälien ti krteesisen koordintiston pisteiden knss on ilmeinen j merkinnän ymmärtäminen jääkin usein siyhteydestä kiinni. Npkoordinttiesitys ei ole myöskään yksikäsitteinen, ts. npkoordintit [r, θ 1 ] j [r, θ 2 ] esittävät sm pistettä, jos θ 2 = θ 1 + 2nπ, missä n = 0, ±1, ±2,.... Npkoordinteille pätee myös [r, θ] = [ r, θ + π] Npkoordinttien j suorkulmisten koordinttien välinen muunnos: 3.5.2 Npkäyrät x = r cos θ x 2 + y 2 = r 2 (81) y = r sin θ tn θ = y x (82) Npkäyrät ovt erikoistpus prmetrisoidust käyrästä. Kun npkoordinteiss koordintti r sidotn koordinttiin θ, eli kirjoitetn jtelln r:ää θ:n funktion, r = f(θ), sdn Funktiot f(θ) kutsutn funktion f npkäyräksi. x = f(θ) cos(θ) x 2 + y 2 = r 2 (83) y = f(θ) sin(θ) tn θ = y x. (84) Npkäyrän määritelmästä seur suorn useit ominisuuksi: Npkäyrä, jonk yhtälö on r = f(θ θ 0 ) on käyrä r = f(θ) kierrettynä kulmn θ 0 verrn origon suhteen. Npkäyrä r = f(θ) lähestyy origo suunnst, joss f(θ) = 0. Olkoon piste P (ei origo) käyrällä r = f(θ). Tällöin kulm, jonk origost pisteeseen P kulkev suor j käyrän tngentin suuntinen suor muodostvt, sdn kvst Erityisesti jos f (θ) = 0, kulm Ψ = π/2. tn Ψ = f(θ) f (θ) Jos f(θ 0 ) = 0 j käyrällä on tngenttisuor pisteessä θ 0, tngenttisuorn yhtälö on θ = θ 0. Käyrän r = f(θ) j suorien θ = α j θ = β, (α < β) rjoittmn lueen pint l on A = 1 2 β 18 α (85) (f(θ)) 2 dθ (86)
Käyrän r = f(θ) krenpituuselementti on (dr ds = dθ ) 2 + r 2 dθ = (f (θ)) 2 + (f(θ)) 2 (87) Esimerkki 3.10. Mt kiertävän stelliitin kiertortn korjtn korkeudelt 100 km korkeudelle 110 km. siten että korjus tehdään viiden kierroksen ikn j korkeus nousee tsisesti stelliitin kiertokulmn nähden. Määritä npkäyrä jot pitkin stelliitti kulkee. Esimerkki 3.11. Lske krdioidin r = (1+cos θ) rjoittmn lueen pint l j reunviivn kokonispituus. 3.6 Etenemisnopeus prmetrisell käyrällä Edellä prmetrin on usein käytetty ik j käyrä nnettu muodoss x = f(t), y = g(t), t I. Jos jtelln että (f(t), g(t)) kertoo kppleen pikn xy-koordintistoss jnhetkellä t, niin x-kselin suuntinen liikenopeus on f (t) y-kselin suuntinen liikenopeus on g (t) kppleen vuhti on (f (t)) 2 + (g (t)) 2 Tämä joht siihen että vuhti joll käyrällä liikutn voi vihdell pljonkin eri jnhetkinä. Esimerkki 3.12. Kpple liikkuu pitkin ellipsiä x(t) = 4 sin(t), y(t) = 40 cos(t). Määritä kppleen vuhti jnhetkinä t = 0 j t = π/2. Jos kppleen etenemisnopeutt thdotn muutt, niin voidn kirjoitt x 1 = f(h(t)), y 1 = g(h(t)) (88) jolloin liikutn pitkin sm käyrää kuin lunperinkin, mutt vuhdill (f (h(t))) 2 + (g (h(t))) 2 h (t). Mikäli rvojoukko R(h) = I, niin (x 1, y 1 ) pisteet muodostvt täsmälleen smn joukon kuin pisteet (x, y). Esimerkki 3.13. Kpple kulkee pitkin suor x = 2t + 1, y = 4t siten että sen vuhti on suorn verrnnollinen lähdöstä kuluneeseen ikn, luss kpple on origoss j vksuunnss se kulkee positiivisen x-kselin suuntn. Asettmll vtimuksi etenemisnopeudelle ennlt setetull käyrällä, joudutn helposti tilnteisiin joiss vditn numeerisi rtkisuj. Esimerkki 3.14. Kpple kulkee vkionopeudell pitkin käyrää y = x 2, x [0, 1]. Minkälinen prmetrisointi kuvisi kppleen pikk jnhetkellä t? Vrsin tyypillisiä ovt tilnteet joiss kppleen vk- j pystysuuntinen nopeus on nnettu j kppleen liikert kiinnost. Esimerkki 3.15. Kpple liikkuu pystysuunnss nopeudell sin(t) j vksuunnss nopeudell 4 cos(2t). Mikä on kppleen liikert kun jnhetkellä t = 0 se on pisteessä (2,3)? 19
Myös tämäntyyppisistä tehtävistä tulee hyvin helposti sellisi että ne vtivt numeerisi rtkisumenetelmiä. Esimerkki 3.16. Ajnhetkellä t 0 kppleeseen vikutt vksuunnss voim te t j pystysuunnss voim sin(t). Määritä kppleen vk- j pystysuuntiset nopeudet jnhetkellä t kun hetkellä t = 0 kpple on origoss levoss. Kppleen Vksuuntisen koordintin trkk rvo ei pysty yleisesti lskemn mutt hhmottele krkesti kppleen liikert. 20