b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan

Transkriptio

1 A1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on esitett kokeen tulokset. Mss m p (kg) 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 Jksonik T (s) 0,890 1,09 1,26 1,43 1,55 ) Piirrä jksonjn neliö T 2 punnuksen mssn m p funktion, eli T 2 (m p ). b) Määritä jousen jousivkio k kuvj pun kättäen. ) (mx 3p) Lsketn jksonjn neliö: m p (kg) 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 T 2 (s 2 ) 0,792 1,188 1,588 2,045 2,403 Tulukon rvot sijoitetn (m p, T 2 )-koordintistoon. T 2 s b) (mx 3p) Värähtelijän jksonjn j tjuuden välinen htes on T = 1/ f, eli T = 2π mp missä k on jousen jousivkio. Neliöimällä llä olev htälö sdn k, T 2 = 4π2 k m p. (m p, T 2 )-kuvjn kulmkerroin on siis kääntäen verrnnollinen jousen jousivkioon. Kuvjn piirretstä kolmiost lsketn kulmkerroin: T 2 m p = 2,034 s 2 /kg. Täst sdn rtkistu jousen jousivkio k: ( T k = 4π 2 2 ) 1 = 19,4 kg m p s 2. Tehtävän trkkuus on kksi ti kolme numero T m p kg m p Kuvj. Pisteet muodostvt suorn T 2 = m p + b, missä b on kuvjn perusteell likimin noll.

2 A2 Kiekko A, jonk mss on 0,15 kg, liukuu tsisell kitkttomll pinnll osuen levoss olevn kiekkoon B, jonk mss ei tunnet. Törmäksen jälkeen kiekko A liikkuu nopeudell u A = 5,0 m/s suuntn α = 32 j kiekko B nopeudell u B = 5,5 m/s suuntn β = 45 (kuv). ) Määritä kiekon A nopeus ennen törmästä. b) Kuink pljon ssteemin mekninen energi pienenee törmäksessä? Srjoittiset rvot: m A u A u B α β (kg) (m/s) (m/s) ( ) ( ) A 0,15 5,0 5, B 0,15 5,5 4, C 0,15 7,0 7, D 0,15 6,0 6, A v A x A B α Tehtävän 2 kuv. ) (mx 3p) Kosk kiekkojen törmäksessä vikutt vin sisäisiä voimi, niin liikemäärä säil. eli komponenttimuodoss x : p i A + pi B = p f A + p f B m A v A = m A u A,x + m B u B,x = m A u A cos α + m B u B cos β : 0 = m A u A, + m B u B, = m A u A sin α m B u B sin β. β u A u B b) (mx 3p) Aluss vin kiekoll A on liike-energi: E AB,i = 1 2 m Av 2 A = 1 2 m Au 2 A ( cos α + sin α ) 2 = 3,6 J. tn β Törmäksen jälkeen ssteemillä on liike-energi E AB, f = 1 2 m Au 2 A m Bu 2 B = 1 ( ) 2 m A u 2 A + u sin α Au B = 3,4 J. sin β Ssteemin meknisen energin muutos on siis E = E AB, f E AB,i = 0,14 J E trk+1 E AB,i E AB, f (J) (J) (J) (J) A: -0,14-0,140 3,56 3,42 B: -0,65-0,648 4,31 3,66 C: -0,35-0,352 6,98 6,63 D: -0,23-0,235 5,13 4,89 Tehtävän trkkuus on kksi numero. -suunnn htälöstä voidn rtkist kiekon B mss: m B = m Au A sin α u B sin β. Sijoittmll llä olev htälö x-suunnn htälöön sdn rtkistu kiekon A lkunopeus: sin α v A = u A cos α + u A = 6,9 m/s. tn β v A trk+1 m B (m/s) (m/s) (kg) A: 6,9 6,89 0,102 B: 7,6 7,58 0,137 C: 9,6 9,65 0,105 D: 8,3 8,27 0,104

3 A3 Levkondensttorin vrus on 83 pc j jännite 12 V. Levkondensttorin levjen välinen etäiss on d (kuv ). ) Kuink suuri on kondensttorin kpsitnssi? (1p) b) Piirrä levjen väliin sähkökenttä E. (2p) c) Vrukseton tspksu metllilev, jonk pksuus on d/2, on tuotu levkondensttorin levjen väliin. Metllilev on htä etäällä molemmist kondensttorilevistä (kuv b). Kuink suuri on kondensttorin kpsitnssi metllilevn knss? (3p) Srjoittiset rvot: Q U (pc) (V) A B C D Q -Q d b Tehtävän 3 kuv. ) (mx 1p) Kondensttorin kpsitnssi sdn lskettu kondensttorin vruksen Q j jännitteen U vull b) (mx 2p) C = Q U = 6,9 pf. C trk+1 (pf) (pf) A: 6,9 6,92 B: 5,6 5,58 C: 6,1 6,08 D: 8,1 8,08 Homogeeninen kenttä levjen välissä. Kenttä suuntutuu positiivisest levstä negtiiviseen levn. +Q -Q d/2 c) (mx 3p) Sähkökentässä olevn vruksetomn metllilevn pinnoille snt influenssin vikutuksest pintvrukset, jotk kumovt sähkökentän johteen sisällä. Kosk vrus säil, niin roiss olev sähkökenttä E ps smn. Tp I: Kondensttorilevjen välinen jännite on summ eri lueiden jännitteistä U = E d d 2 + E d 4 = 1 2 Ed = 1 U = 6,0 V. 2 Levjen vrus säil (Q = Q), joten kondensttorin kpsitnssi metllilevn knss on C = Q U = 2 Q U = 2C. Tp II: Kondensttorissteemi on kuten kksi srjss olev levkondensttori, joiden kpsitnssi on C A = ε 0 d/4 = 4ε A 0 d = 4C. Ekvivlentti kpsitnssi, kun kondensttorit ovt srjss, on C = ( 1 C + 1 ) 1 ( 1 C = 4C + 1 ) 1 = 2C. 4C trk+1 (pf) (pf) A: 14 13,8 B: 11 11,2 C: 12 12,2 D: 16 16,2 C Tehtävän trkkuus on kksi numero.

4 A4 J. J. Thomson osoitti kokeellisesti vuonn 1897 elektronin olemssolon. Kokeess vrtut hiukkset (vrus q, mss m) tulevt smll vkionopeudell v khden vrtun levn väliin (pituus L = 0,109 m). Tullessn levjen väliin hiukksten nopeus on kohtisuorss sekä sähkö- että mgneettikentän knss. v B L E Tehtävän 4 kuv. Kokeess mgneettikenttä säädetään ensin nolln j mittn hiukksten poikkem (kuv). Poikkemlle pätee = qel2 2mv 2. Tämän jälkeen mgneettikenttää ksvtetn kunnes = 0. ) Hiukknen kulkee suorviivisesti levjen välissä, kun mgneettivuon tihes on 3, T j sähkökentän voimkkuus 3,05 kv/m. Määritä hiukksten mssn j vruksen suhde m/q, kun hiukksten poikkem on 3,71 cm mgneettikentän olless 0 T. b) Johd poikkemn luseke mgneettikentän olless 0 T. ) (mx 3p) Hiukksen liikkuess sähkö- j mgneettikentässä siihen vikuttvt voimt ovt tspinoss ti Newton II, eli FE + FB = 0 ti F E F B = 0. Tästä voidn rtkist hiukksen nopeus x F E F B v + _ + _ -suunnss hiukkst kiihdttää sähköinen voim, eli Newton II:st seur F E = m = qe = = F E m = qe m. Rtkisemll x-suuntisen liikkeen kvst ik t t = L v j sijoittmll jn t j kiihtvden lusekkeet -suuntisen liikeen kvn = 1 2 t 2 = 1 2 qe m ( ) L 2 v sdn hiukksen -suuntinen poikkem levjen jälkeen: = qel2 2mv 2. Tehtävän trkkuus on kolme numero. qe qvb = 0 = v = E B. Voimkuvio. Sijoittmll tämä nnettuun poikkemn kvn voidn rtkist hiukksen mssn j vruksen suhde: trk+1: 5, kg/c, m q = B2 L 2 2E = 5,65 kg C. b) (mx 3p) Hiukksen tulless levjen väliin, hiukksen liike on x-suunnss tsist j -suunnss tsisesti kiihtvää. Kun hiukknen on kulkenut levjen välin läpi, sen pikkkoordinteille pätee: L = vt = 1 2 t 2.

5 A5 Trkstelln kuvn kuutiot ( = 2,90 m) sähkökenttässä E = { 621 (V/m) i (x < 2 ) 621 (V/m) i (x > 2 ). ) Määritä sähkökentän vuo kuution jokisen sivun läpi. (4p) b) Kuink suuri on kuution sisällä olev kokonisvrus? (2p) Srjoittiset rvot: E (m) (V/m) A 2, B 3, C 3, D 3, S 1 (x = 0) S 3 ( = 0) z S 6 (z = ) x S 2 (x = ) S5 (z = 0) Tehtävän 5 kuv. ) (mx 4p) Suurimmlle oslle kuution sivuist sähköentän vuo on noll, sillä A E: Φ 3 = Φ 4 = Φ 5 = Φ 6 = 0 S 4 ( = ) b) (mx 2p) Kokonisvuo kuution läpi on Φ E = 6 Φ i = Φ 1 + Φ 2. i=1 Gussin lin mukn sähkökentän vuo suljetun pinnn läpi on verrnnollinen suljetun pinnn sisällä olevn kokonisvrukseen, eli Φ E = q ε 0 = q = ε 0 Φ E. q trk+1 (nc) (nc) A: 92,5 92,48 B: 61,9 61,90 C: 85,4 85,41 D: 78,3 78,31 Tehtävän trkkuus on kolme numero. Sivulle S 1 pätee Φ 1 = E1 A1 = ( E i) ( 2 i) = E 2 = 5220 Vm. Sivulle S 2 pätee Φ 2 = E2 A2 = (E i) ( 2 i) = E 2 = 5220 Vm. Φ trk+1 (Vm) (Vm) A: B: C: D:

6 A6 Oheisess kuvss johtvn kuoren keskipisteessä on tsisesti vrttu eristepllo (r = R 1, = +4,0 nc). Kuoren kokonisvrus on q 2 = +2,0 nc. ) Johd Gussin lki pun kättäen sähkökentän luseke johtvn kuoren sisäpuolell lueess R 1 < r < R 2. b) Miten vrus on jkutunut johtvn kuoren sisä- j ulkopintojen välillä? Perustele. Srjoittiset rvot: q 2 (µc) (µc) A 4,0 2,0 B 3,0 1,0 C 6,0 1,0 D 5,0 3,0 ) (mx 3p) Kosk vrusjkum on pllosmmetrinen, on sähkökentän vuo kuvn Gussin pinnn läpi: Φ E = E da = E da = E da = E4πr 2. Gussin pinnn mpäröimä kokonisvrus on q =. q 2 R 1 R 2 Tehtävän 6 kuv. q 2 r Gussin pint R 3 E da Gussin pinnn vlint. b) (mx 3p) Sähköstttisess tilnteess johteen sisällä sähköenttä on noll. Kentän olless noll on sähkökentän vuo kuvn Gussin pinnn läpi mös noll. Gussin list seur silloin, että Gussin pinnn mpäröimä kokonisvrus on noll. +q 2 - Gussin pint Gussin pinnn vlint. Johtvn pllokuoren sisäpinnn vrus on näin ollen q sp = j ulkopinnn vrus q up = + q 2, kosk vrus säil. q sp q up (nc) (nc) A: -4,0 6,0 B: -3,0 4,0 C: -6,0 7,0 D: -5,0 8,0 Tehtävän trkkuus on kksi numero. Sijoittmll vuon luseke j kokonisvrus Gussin lkiin, kvn (5), sdn sähkökentän voimkkuudelle lueess R 1 < r < R 2 : E4πr 2 = ε 0 = E = 4πε 0 r 2. Vektorimuodoss: E = 1 4πε 0 r 2 ˆr.