5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)
|
|
- Marja Lattu
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät tekokuut j ehkäpä oikekin kuu löydetään ellipsin muotoiselt rdlt, jonk toisess polttopisteessä M on. Kuten ympyrä j preli myös ellipsi voidn määritellä urkäsitteen vull: ******************************************************************** MÄÄRITELMÄ 3: Ellipsi on tson niiden pisteiden joukko, joihin khdest kiinteästä pisteestä, polttopisteestä, mitttujen etäisyyksien summ on vkio. ******************************************************************** P = (x,y) d 1 d F 1 F Kyseisen ehdon täyttäville pisteille sdn yksinkertisin yhtälö, kun vlitn polttopisteet x-kselilt symmetrisesti origon suhteen. Merkitään F1 = ( c, 0) j F = ( c, 0), missä c > 0. Tällöin polttopisteiden väli F1 F = c. Merkitään edelleen etäisyyksien (polttosäteiden) summ d1 + d = PF1 + PF =, missä > 0. Määritelmää trkoin sovelten tson mielivltinen piste on ellipsillä täsmälleen silloin, kun edellä kirjoitettu ehto PF1 + PF = d1 + d = toteutuu. Vkioille j c on voimss 0 < c <, sillä mtk polttopisteestä toiseen on pisteen P kutt pitempi kuin suorint tietä ts. c <. Ellipsin rjtpuksil-
2 le sllitn joskus yhtäsuuruusmerkitkin tämän sivun ensimmäisellä rivillä kirjoitetuss kksoisepäyhtälössä. Stt oll, että c = 0, jolloin polttopisteet yhtyvät origoss j tällöin on kyseessä ympyrä. Jos ts käy niin, että c =, urehdon toteuttv pistejoukko on x-kselill olev jn pituudeltn. Näytetään ennen vrsinisen uryhtälön johto, että ellipsin pisteelle P = (x,y) on in voimss ehto x, kosk näyttöprosessist irto sellist oheistieto, jok on välttämätöntä vrsinisen uryhtälön täsmällisessä johtmisess. d1 = ( x + c) + y = x + cx + c + y d = ( x c) + y = x cx + c + y jost vähentämällä yhtälöt puolittin sdn d1 d = ( d1 d)( d1 + d) = 4xc (*) Ken nyt tit hyvin geometri, luultvsti tuntee sellisen tuloksen, että kolmioss in on khden sivun summ suurempi, mutt erotus pienempi kuin kolms sivu. Niinpä on jälkimmäisen ominisuuden nojll kolmioss F1 F P F1 P F P c, missä yhtäsuuruusmerkin mukinen mukinen rjtpus ei oikestn enää kolmio olekn. Siispä on d1 d c. Jetn yhtälö (*) luvull 4 j otetn oikest (cx) puolest itseisrvo ei-negtiivisuuden vrmistmiseksi. Jos nimittäin piste P sijitsee y-kselin vsemmll puolell, niin cx < 0. d1 d d1 d ( d1 + d) c cx = = = c <, kosk c <. Kosk edellisen mukn cx c j c > 0, sdn jkmll c:llä tulos x. Ellipsin uryhtälölle sdn määritelmän mukn luksi ( x + c) + y + ( x c) + y =, jost neliöjuuri poistuu, kun ennen neliöönkorottmist neliöjuurilusekkeist toinen siirretään yhtäsuuruusmerkin toiselle puolelle. Tämän siirron jälkeen
3 yhtälön molemmt puolet ovt ei-negtiiviset. Lähtöyhtälön vsemmll puolell olevt kksi neliöjuurt ovt molemmt ei-negtiiviset (kosk neliöjuuri ei koskn ole negtiivinen), j kun khden ei-negtiivisen summ on > 0, niin on myöskin :n j toisen neliöjuuren erotus ei-negtiivinen. Siirretään siis toinen neliöjuuri j korotetn yhtälö toiseen: ( x + c) + y = ( x c) + y ( ) x + cx + c + y = 4 4 ( x c) + y + x cx + c + y 4 ( x c) + y = 4 4cx : 4 ( x c) + y = cx Viimeksi kirjoitetun yhtälön molemmt puolet ovt edelleen ei-negtiiviset, sillä edellä stiin cx < c <. Korotetn uudelleen neliöön: 4 ( x cx + c + y ) = cx + c x 4 x cx + c + y = cx + c x ( c ) x + y = ( c ) Sijoitetn viimeksi kirjoitettuun muotoon = c : x + y = :, jolloin sdn lopult x y + = 1 ( ** )
4 Viimeksi kirjoitetust yhtälöstä nähdään heti, että jos piste P = (x,y) on ellipsin piste, niin myös pisteet ( x,y), (x, y) j ( x, y) toteuttvt ellipsin yhtälön. Kuvj on siis symmetrinen sekä origon että kummnkin koordinttikselin suhteen. Origo voidn sno ellipsin keskipisteeksi. Ellipsi leikk x-kselin pisteissä (,0) j (,0), j näiden pisteiden välinen jn, pituudeltn on nimeltään ellipsin isokseli. Vstvsti ellipsi leikk y- kselin pisteissä (0, ) j (0,), joiden välinen jn, pituudeltn, on ellipsin pikkukseli. Kosk yhtälössä ( ** ) vsemmll puolell kumpikin termi on ei-negtiivinen, ei kumpikn niistä voi oll yli ykkösen. Tästä seur pitsi jo johdnnoss tiedoksi putkhtnut tulos x myös se, että y 1 y y y Ellipsi x y + = 1 sijitsee näin ollen kokonisuudessn sen suorkulmion sisällä, jot rjoittvt suort x = ± j y = ± sivuten sen sivuj niissä pisteissä, joiss ellipsi koht koordinttikseleit. c c
5 Esim. 1 Määritä ellipsin 9x + 5y = 5sijinti, polttopisteet j piirrä se. Annettu yhtälö ei ole muoto ( **), mutt tähän päästään jkmll molemmt puolet luvull 5. Tällöin sdn x y + = j nähdään, että ellipsi sijitsee ltikoss x = 5j y = 3. Kosk + c =, niin c = 4. Polttopisteet ovt siis ( 4,0) j (4,0). Edellä olevien tietojen perusteell pystyt helposti pääpiirtein piirustmn ellipsin vihkoosi!!! Suorit piirtäminen!!!! x y Esim. Määrää ellipsin + = 1 sisään piirretyn neliön sivun pituus. P = (x,y) Symmetrin nojll origo on ellipsin sisään piirretyn neliön keskipiste j suor y = x tämän neliön toinen lävistäjä. Kun vlitn koordintiston I neljänneksestä piste P = (x,y), missä suor y = x leikk ellipsin, niin ovt tämän pisteen molemmt koordintit positiiviset. Itse siss on kyseessä piste (x,x), jonk koordintit sdn selville rtkisemll ellipsin j suorn muodostmst yhtälöprist muuttuj x > 0. Neliön sivun pituus on tällöin x.
6 Kun ellipsin yhtälöstä poistetn nimittäjät, niin päädytään yhtälöön x + y = j kun tähän sijoitetn y = x, sdn edelleen x + x = ( + )x =, jonk positiivinen rtkisu x = j neliön sivun pituus siis on x =. + + Jos ellipsi x y + = 1 siirretään niin, että sen keskipisteeksi tulee origon sijst piste ( xo, yo), kuitenkin niin, etteivät kselien suunnt muutu j kun muistetn prelin siirron yhteydessä tutut koordintistomuutokset, uuden ellipsin yhtälö ilmeisesti on ( x xo) ( y yo) + = 1. Jos tämä stetn polynomin muotoon suoritten potenssiin korotukset j nimittäjien poistminen, sdn muoto Ax + By + cx + dy + e = 0 olev yhtälö. Tämä ero ympyrän yhtälöstä vin siinä, että toisen steen termien kertoimet ovt erisuuret, kun ne ympyrän yhtälössä ovt in smt. Neliöksi täydentämällä tällinen yleistä muoto olev yhtälö voidn stt ns. keskipistemuotoon, jost ellipsin keskipiste näkyy j pystytään helposti määrittämään se ltikko, jonk sisällä ellipsi sijitsee. Mikäli ellipsin kselit eivät ole koordinttikseleiden suuntiset, yhtälöön tulee toisen steen sektermi (kuten prelin yhtälössäkin käy ellei johtosuor ole kummnkn koordinttikselin suuntinen). Tällisest yhtälöstä on vike nlysoid, mitä tsokäyrää se esittää vi esittääkö mitään. Ellipsin määritelmän nojll tällisi yhtälöitä voidn kyllä jo lukiokurssinkin nojll joht.
7 ****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4: Hypereli on tson niiden pisteiden joukko, joihin khdest kiinteästä pisteestä, polttopisteestä, mitttujen etäisyyksien erotus on vkio. ****************************************************************** Ellipsin j hyperelin määritelmät erovt toisistn vin yhdellä snll! y P = (x,y) d 1 d F 1 = ( c,0) F = (c,0) Sijoitetn hypereli koordintistoon luksi ivn smll tvll kuin ellipsikin; polttopisteet x-kselille symmetrisesti origon suhteen, siis pisteisiin ( c,0) j (c,0), missä c > 0 j olkoon polttosäteiden erotus tässäkin. Osoitetn kuitenkin ennen uryhtälön johto, että hyperelin jokisen pisteen x-koordintti toteutt ehdon x, kun ellipsin tpuksess epäsuuruusmerkki oli toisin päin. Onp si vielä niinkin, että hyperelille 0 < < c. Minkähän tki? d = ( x + c) + y = x + cx + c + y d = ( x c) + y = x cx + c + y 1 jost vähentämällä yhtälöt puolittin sdn d d = ( d d )( d + d ) = xc (***) Tsen pitää muistell kolmion sivujen suuruussuhteit, ts. sitä, että kolmioss on khden sivun summ suurempi kuin kolms sivu. Sovelletn tätä tieto kolmioon F1 F P j todetn, että PF1 + PF F1 F. Tämä trkoitt sitä, että d1 + d c. Kun vielä itse määritelmästä sdn kuvss käytetyin merkinnöin d1 d =,
8 missä itseisrvot ovt trpeen, kosk kyseinen erotus on negtiivinen pisteen P sijitess y-kselin vsemmll puolell, niin muokten yhtälöä (***) cx = d1 d ( d1 d)( d1 + d d1 d ( d1 + d) c = = = c, jost c:llä jkmll tulos jo näkyykin. Suoritettu lskelm näet sisältää tiedon cx c x. Hyperelin yhtälön johto lähtee määritelmän mukisesti edellisen sivun kuvn merkinnöin ehdost PF1 PF = d1 d =, missä itseisrvoj ei trvit, jos P sijitsee y-kselin oikell puolell. Jos P sijitsee y-kselin vsemmll puolell, on d pitempi kuin d1. Tällöin määritelmän mukinen ehto on ilmn itseisrvoj kirjoitettviss muotoon PF PF1 = d d1 = PF1 PF = d1 d = ( x + c) + y ( x c) + y = x + c + y = x c + y ± ( ) ( ) missä otetn +, jos P on y-kselin oikell puolell j sitten, jos P on y- kselin vsemmll puolell. Tällä vrmistetn se, että yhtälön molemmt puolet ovt positiiviset ennen neliöönkorotust. Kun sellinen toimenpide suoritetn, sdn ( ) ( ) ( ) x + cx + c + y = x cx + c + y ± 4 x c + y + 4 4cx 4 = ± 4 x c + y cx = ± x c + y Kun neliöjuuren edessä on plus-merkki, on P iemmin sovitun mukisesti y-kselin oikell puolell ts. x > 0, jolloin cx = cx >, jolloin viimeksi sdun
9 yhtälön molemmt puolet ovt positiiviset. Jos ts P sijitseekin y-kselin vsemmll puolell, siis x < 0, on neliöjuuren edessä miinus-merkki j tällöin yhtälön molemmt puolet ovt negtiiviset, eivät siis inkn toistens vstlukuj. Kerrotn nyt yhtälö ennen uutt neliöönkorotust ( 1):llä ti ei, jok tpuksess tämä opertio ei tuo vierst km mukn j sdn 4 c x cx + = ( x cx + c + y ) 4 c x cx + = x cx + c + y ( ) = ( ) x c y c Kosk hyperelille c >, merkitään c =, j kun tämän sijoituksen jälkeen yhtälö jetn : ll, tulln muotoon x y = 1 ( **** ) Kuten todettiin, ellipsin j hyperelin määritelmät erosivt toisistn vin yhdellä snll. Nyt voidn hvit, että niiden yhtälöissäkään ei ole kuin yhden merkin ero. Yhtälöiden kuvjt erovt toisistn silti vrsin huomttvsti. Toki luss kuvtull tvll koordintistoon sijoitettu hypereli on ellipsin tvoin symmetrinen origon j koordinttikseleiden suhteen. Se leikk x-kselin pisteissä (,0) j (,0) j näitä kht pistettä snotn hyperelin huipuiksi. Huippujen välinen jn = polttosäteiden erotus, on nimeltään hyperelin poikittiskseli. Pisteiden (,0) j (,0) välistä jn kutsutn hyperelin liittokseliksi. Jos hyperelin puolikselit j ovt yhtäsuuret, hypereli on tssivuinen. Ellipsin tpuksess tällinen ei oikestn ollut mhdollist j jos olikin, silloin ktseltiin jo ympyrää. Vikk hyperelille (****) onkin voimss x, ltikoll x = j y = on kuvjn knnlt vrsin huomttv merkitys. Kun piirretään minittu suorkulmio j sille lävistäjäsuort y = x j y = x, niin hypereli voidn piirtää sivumn suorkulmiot huippupisteissään (,0) j (,0) j lähestymään minittuj lävistäjäsuori itseisrvoltn suurill x:n
10 rvoill. Hypereli koostuu siten khdest erillisestä krest, jotk ovt keskenään yhteneväiset. Se, että hypereli x: n ksvess todellkin lähestyy suorkulmion lävistäjien määräämiä suori j sivu niitä äärettömän kukn, voidn perustell rvioimll smss neljänneksessä olevn lävistäjäsuorn j hyperelin kren y-koordintin erotust. Symmetrisyistä riittää tutki tilnne koordintiston I neljänneksessä. Lsketn mielivltiseen x:n rvoon (> 0) liittyvä jnn AB pituus j ktsotn miten tälle käy x:n rjttomsti ksvess. Kosk jn AB on y-kselin suuntinen, sen pituus sdn suorn päätepisteiden y-koordinttien erotuksen. A B Ilmeisesti tämä erotus on positiivinen, kun pisteen A y-koordintist vähennetään pisteen B y-koordintti:
11 AB = x x x x x x x x = ( + )( = x + x = x x + =. x + x x + x Stu jnn AB pituuden ntv luseke on määrätylle hyperelille ( j vkioit) osoittjns puolest vkio eli ei linkn riipu muuttujst x. Kun x sitten rjttomsti ksv, eli x, niin lusekkeen nimittäjä ksv yli kikkien rjojen. Sellinen murtoluseke, missä osoittj on vkio, j nimittäjä hirmuisen suuri (j molemmt positiiviset) on rvoltn likimin noll j siis jnn AB pituus on sitä pienempi, mitä suurempi on x. Näin on voitu sitovsti osoitt, että itseisrvoltn suurill x:n rvoill hypereli on sitä lähempänä puheen olleen suorkulmion lävistäjäsuor, mitä suurempi x on. Tällisi, tvllisimmin suori viivoj, joit jonkun funktion tikk tsokäyrän kuvj (jok ei välttämättä ole funktion kuvj!) sivu äärettömän kukn, snotn o. funktion ti käyrän symptooteiksi. Näihin pltn murtofunktioiden tutkimisen yhteydessä differentililskennss. Asymptooteill onkin murtofunktioiden kuvjien piirtämisessä ivn keskeinen merkitys. Hyperelin symptoottein ovt in suort x y = 1 y = ± x Jos hypereli sijoitetn koordintistoon toisin, polttopisteet F 1 = (0, c) j F = ( 0, c) kiinnitetään siis y-kselille, niin tälle sdn urmääritelmästä lähtien johdetuksi yhtälö y x x y = 1 = 1. Tätä snotn liittohypereliksi. Sen poikittiskselin pituus on j liittokselin. Kummllkin hyperelillä on smt symptootit, yhtä suuret polttopisteiden välit, polttovälit (=c) j ne sivuvt edellä monesti minittu suorkulmiot huipuissn.
12 Esim. 3 Määritä hyperelin 4x 9y = 36 puolikselit, polttopisteet j symptootit. Stetn yhtälö muotoon (****) jkmll 36:ll: 4x 9y x y 4x 9y = 36 = 1 = Nähdään välittömästi, että puolikselit ovt = 3 j =. Näin ollen x symptootit ovt y = ±. 3 Kosk hyperelille c = +, niin c = 3 + = 13. Vstus: Puolikselit: = 3 j = Asymptootit y = ± x j polttopisteetf1 = ( 13,0)jF = ( 13,0) 3 Kuvion piirtämistä vrten on lskettu, että kun x = ± 4,niiny ± Yhtälö (x x ( y y ) o ) o = 1 o, o. Tämän hyperelin polttopisteet sijitsevt suorll y = y o j pisteen ( xo, yo ) kutt kulkevt, suorien y = ± x suuntiset suort, siis suort ( y yo ) = ( x xo) ovt hyperelin symptootit. esittää hypereliä, jonk symmetrikeskus, keskipiste on ( x y ) Esim. 4 Hyperelin käyttö merenkuluss. Olkoot F 1 j F kksi kiinteää pistettä j X luksen sijintipikk. Rdiosemt pisteissä F 1 j F lähettävät yhtäikispulssi, joiden lukselle spumisen ikero nt etäisyydet XF 1 j XF. Kun myöskin semien välinen etäisyys (= c = erään hyperelin polttoväli) tunnetn, pystytään määrittämään, millä hyperelillä lus sijitsee. Minitut rdiosemt sijitsevt tämän hyperelin polttopisteissä. Olkoot 3 F kolms kiinteä piste, joss niin ikään sijitsee jotkin rdiotjuussignli lähettävä sem. Aluksen on tietenkin pystyttävä erottmn, miltä
13 semlt mikin signli spuu. Jos esimerkiksi oletetn että lindeksillä 3 vrustettu sem lähettää signlin eri tjuudell, kuin F, mutt että sem F 1 : ss lähettää sekä F : n että F3 :n tjuutt. Kun tunnetn väli F 1F3 j tämän jnn päätepisteissä olevien semien lähettämien signlien lukselle spumisen ikero, sdn määritetyksi myös mtk XF 3, niin silloin tiedetään luksen sijitsevn eräällä toisell hyperelillä. Näin ollen lus sijitsee minittujen hyperelien josskin leikkuspisteessä. Toivottvsti niistä vin yksi on merellä!!!
( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
LisätiedotParaabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.
5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
LisätiedotMITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
Lisätiedot2.1 Vaillinaiset yhtälöt
.1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön
LisätiedotLINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
Lisätiedot1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
Lisätiedot7.lk matematiikka. Geometria 1
7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,
LisätiedotR4 Harjoitustehtävien ratkaisut
. Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x
LisätiedotSarjaratkaisun etsiminen Maplella
Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.
Lisätiedot3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A
3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä
LisätiedotTee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
Lisätiedot601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.
Lisätiedot763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014
763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotPolynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
LisätiedotMatematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää
Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt
LisätiedotPythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause
Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)
Kertusos Kertusos ). ) : j 7 0 7 ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. ) 0 7 9 7 0 0 Kertusos
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotVEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1
VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Lisätiedot766319A Sähkömagnetismi, 7 op Kertaustehtäviä, 1. välikokeen alue Vastaukset tehtävien jälkeen
76619A Sähkömgnetismi, 7 op Kertustehtäviä, 1. välikokeen lue Vstukset tehtävien jälkeen 1. Kolme pistevrust sijitsee xy-koordintistoss ll olevn kuvn mukisesti. Vrus +Q sijitsee kohdss x =, toinen vrus
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
LisätiedotViikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
LisätiedotParaabeli suuntaisia suoria.
15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista
Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
LisätiedotTehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
Lisätiedot.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek
S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()
LisätiedotYmpyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotSuorat, käyrät ja kaarevuus
Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.
LisätiedotTeoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta
Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on
LisätiedotKertaustehtävien ratkaisut
Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,
LisätiedotSisällys. Alkusanat. Alkusanat. Tehtävien ratkaisuja
Sisällys Alkusnt Tehtävien rtkisuj Vektorit (MAA) Vektoreill lskeminen Vektorit geometrin käytössä 9 Vektorit koordintistoss Lisätehtäviä Todennäköisyys j tilstot (MAA) Tilstot Todennäköisyys Todennäköisyysjkum
LisätiedotMikrotalousteoria 2, 2008, osa III
Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
LisätiedotSUORAKULMAINEN KOLMIO
Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili
LisätiedotTasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.
KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
Lisätiedot6 Kertausosa. 6 Kertausosa
Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)
LisätiedotT Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.
T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä
Lisätiedotkartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi
5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
Lisätiedot4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI
4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.
Lisätiedot3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.
3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
Lisätiedot4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
Lisätiedot2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt
. Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
LisätiedotTYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.
TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk
Lisätiedot5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet
.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina
LisätiedotNäytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.
Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä
Lisätiedot5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)
LisätiedotMonikulmio on suljettu, yhtenäinen tasokuvio, jonka muodostavat pisteet ja näitä yhdistävät janat
MAB: Monikulmiot Aluksi Tässä luvuss käsitellään pljon monikulmioit sekä muutmi tärkeimpiä esimerkkejä monikulmioiin liittyvistä leist. Näistä leist edottomsti tärkein ti inkin kuskntoisin on Pytgorn luse.
LisätiedotNumeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja
582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko
Lisätiedot