MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI
|
|
|
- Hannes Manninen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Hrjoitustehtävien rtkisut Ari Tuomenlehto - 0 -
2 Hrjoitustehtävien rtkisut 1. ) = + 8 = 1 (+ 4) 7 = 7 7 = , 61+ 1, , 0 + 0,11 = 61, 6 61, 6. 4., 456 1, 945 = 0, , 6,4 + 0, ,6, = 119, , 86 1, 6 +, (10 7) ( ) 4xy 4 ( 10) ( ) y = = + = + = + = = 4x 0 4 ( 10) ) ( ) ( = = = = = = = = = 1 ( ) ) (9,4 m) + (11, 41m) = 17, 47 m 17 m 8. ( ( c d) 9. b c + d 10. ) 4x + 8y 5x + 6 y = ( 4 5) x + (8 6) y = 9x + y = (1 1) + (1 1) + + ( 1+ ) = + b b b b b b b 11. ) x + 1 (4 5 x) = x x = 7x x(1 + y) + y( x) = x + xy + y yx = x + y c) + + = x x x ( x 4x x 7) 1 x x x x 4x x 7 = x x + x x + x x + + = x + x ) (4 5x 4 y) = 4 5x 4y = 1 15x 1y - 1 -
3 1. ( x + y)( + 4 z) = x ( ) x 4z + y ( ) + y 4z = x 4xz 9y + 1yz = x 9y 4xz + 1yz 1. ) 0 5x 40y 0 5x 40y = = 6 x 8y z 6xz + yz 10z 6xz yz = + = 5 x + y z z z z 14. ) 4mn 6n + n = m n n + n 1 = n(m + 1) ( + c) x + y( + c) = ( + c)( x + y) c) y xz = 1 y + ( 1) + xz ( 1) = ( 1) ( y + + xz) 15. ) c) d) 4x 4x 8x = = b 5y b 5y 15by 4 p 4 1p p = = 7w 7w 7w 1 1 : 5 = = = b b 5 b 5 10b x 5 : z x w x = = w = xw 5y w 5y 5z 5y 5z 5yz 16. ) c) d) (14 4bc bc = 8xy xy 64xyz 16xz (16 xz = 4y ( ( ) b + c b + c b + c = = b + c b + c ( b+ c b + c ( b + c) = = xb + xc x ( b + c) x 17. ) c) d) ) ) 4) ( = + = = = ( x x x x + ( x + 1) + = = = = x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 ) ) x + x + ( x + ) ( x + ) x + 9 x + 4 x x x = + = + = = ) 1 ( ) + 5 = = = = = y y y 1 ( y) y y y y y - -
4 17. e) z+ ) z+ 1) 1 ( z + ) 1 (z + 1) z + 6 z + 1 = = z + 1 z + (z + 1)( z + ) (z + 1)( z + ) (z + 1)( z + ) (z + 1)( z + ) z + 6 (z + 1) z + 6 z 1 z + 5 = = = (z + 1)( z + ) (z + 1)( z + ) (z + 1)( z + ) 18. ) c) 19. ) c) d) 0. ) c) ( ) + 5 = = = = = 1+ 5 = = = = = 8 8 x y y y y y = = = x y x x x x = 1 = = = ( 1) ( 1) ( 1) x + y ei voi sieventää 4 5x + y ( (4 ( z) z 4z z = = = (4 y) 4 y 16y 4y ( b c ) = ( b ) ( c ) = b c = b c ( x y z ) x y z ( x y z ) ( x y z ) ( x y z ) ( b c ) : = : = ( b c ) b c ( b c ) ( b c ) ( b c ) ( x y z ) 4 4 ( x y z ) ( b c ) ( x ) ( y ) ( z ) ( ) ( b ) ( c ) x y z b c = = = ( b c ) ( x y z ) ( b ) ( c ) ( x ) ( y ) ( z ) b c x y z b c x y z z = = b c x y z c ) c) 1 1 x ( + x x x x = = = x( + ( + ( + ( + ( c) ) c b c b + b + c + + = + + = b c bc bc bc bc bc 1 x x 1 1 x x 1 x (1 )( x + ) = 1 x + 1 x = x + 1 x x 1 x 1 x x x 1 x 1 x ( x 1) x 1 x 1 = x + 1 = x 1+ = x 1+ 1 = x x 1 x 1 x 1 ( x - -
5 1. d) e) f) b 1 1 b 1 b 1 b b b b ( b+ 1 b + 1 b + 1 b + 1 ( b + 1) = : = = = b b b + 1 b ( b + 1) b ) ) ( + ) : ( + ) = ( + ) : ( + ) ) ( ( + 1) ( + ) : = ( + ) : = : = = 1 1 ( ( + 1) + = = = + = + = ( + )( ) = + 4 ( ) 4 ( ) 4 = = + =. ) c) d) e) ) + + b ( + ( + + b + b + b = = + b ( + ( + ( + ( + ( + b + b + b ) b b b b b ( b + b ) b + b = = = = = ( ) ( ) + b + b + b + b + b y) ) y 5 y 5y + (1 )( ) = = + = + = y y y y y y y y y y y y ( x ) ( 1) x x x x x x ( x ) : + 1 = ( ) : + 1 = + 1 = + 1 = x 1+ 1 = x x x x x x x 1 x ( )( x + y) = x + y x y = x y = x y y x y y x x y x y x = = = = 1 ) = : = (1 ) = 1. ) 0, 5 = 0,5 c) = = = = 1000 = = 100 = ) x x x ( + 1) = + 1 = = 9 = x x x - 4 -
6 4. c) 6 x ( x ) x x = = = y ( y ) y y 9 d) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( 4 7 ) ( 4 7 ) ( ) + ( 4 7 ) = ( ) ( 4 7 ) ( 4 7 ) ( ) = 8 ( ) ( 4 7 ) = = 8 9 = 8 = 5. ) 7x = 5 : 7 jetn puolittin luvull 7, jok supistuu vsemmlt 5 x = 7 kx = m : k jetn puolittin k :ll, jok supistuu vsemmlt m x = k c) 7x + = 11x 5 siirretään termejä + 5 = 11x 7x suoritetn yhteenlskut j vihdetn puolet keskenään 4x = 7 : 4 jetn puolittin luvull 4, jok supistuu vsemmlt 7 x = 4 d) x + b = cx + d siirretään termejä x cx = d b erotetn yhteinen tekijä x x( c) = d b jetn puolittin ( c) :llä jok supistuu vsemmlt d b x = c - 5 -
7 1 6. ) + 4 = x kerrotntn puolittin x :llä x x + 4x = 1 siirretään termejä 4x = 1 4x = : 4 1 x = 1 = verrnto, kerrotn ristiin x + 4 x x + = 4 x siirretään termejä x + x = 4 4x = : 4 1 x = 7. ) F = m : m F m = F = m W W 1 W U = = CU = CU C W C = U :U c) U P = R R RP = U : P U R = P - 6 -
8 7. d) Q = mc T : mc Q T mc = Q T = mc E R + r 8. ) = verrnto, kerrotn ristiin e r E r = e ( R + r) Er = er + er Er er = er erotetn yhteinen tekijä r r( E e) = er : ( E e) jetn puolittin ( E e) :llä jok supistuu vsemmlt er r = E e 1+ B A = C 1 B (1 + B) C A = (1 B) kerrotn puolittin (1 B) :llä jok supistuu oikelt 1 B A (1 B) = (1 + B) C A AB = C + BC siirretään termejä A C = AB + BC vihdetn puolet keskenään AB + BC = A C B( A + C) = A C : ( A + C) A C B = A + C p c) (1 + ) = b 100 p + = b p = 100b p = 100b 100 : 100b 100 p = - 7 -
9 8. d) = ( )( )( ) : p( p )( p A p p p b p c A p c p( p )( p b ) = A c = p p( p )( p 9. Olkoon ensimmäisestä kokeest trvittv pistemäärä n. Tällöin toisen kokeen pistemäärä on n + 1, kolmnnen n + j neljännen n +. Sdn yhtälö n + ( n + 1)( n + )( n + ) = 66, jonk rtkisu on n = W 65 7,h 60 W 65 7,h % = 100 % 1,8% 8700 kwh Wh 1. Olkoon veroton hint ennen lennust M. Tällöin verollinen hint ennen lennust oli ( M + M ) = 1, M Alennuksen jälkeen verollinen hint oli ( M + M ) = 1,08 M. 100 Näinollen lennus oli 1, M 1, 08 M = 0,14 M. 0,14 M Alennus oli siis 100 % 11,5%. 1, M. Kun kurkun mss oli 400g j vesipitoisuus 99%, oli kurkuss muut inett kuin vettä eli ns. 1 kiintoinett 1%. Kiintoineen mss oli siis 400g 4g 100 =. Viikon kuluttu (vettä oli hihtunut siten, että) vesipitoisuus oli enää 98%. Tällöin kiintoineen osuus oli %. Kurkun mss rtke yhtälöstä 4g 100 m =, jost rtkisu on 00g
10 . Olkoon lisättävä määrä m (kg). Suoln määrään perustuen sdn yhtälö 15, 11, 1, 6,7 + m = ( m + 6,7), jonk rtkisu on m 106,4kg , 11, 1, 6,7 + m = ( m + 6,7) , ,11m = 0,1m + 4,5141 5, , 5141 = 0,1m 0,11m 1, 064 = 0, 01m m = 106,4kg 4. Olkoon bruttoplkk M ( ). Tällöin nettoplkk on M = 0,65M, 100 lyhennysten j korkojen jälkeen jäljellä on 100 4,5 0,65M = 0,4575M, 100 kulustsmenojen jälkeen säästöön jää , 0,4575M = 0,054496M, 100 sdn yhtälö 0,054496M = 109, jonk rtkisu on M = ) x x + 1 = 0 ( ) ± ( ) ± 0 x = = = 1 1 (ns. kksoisjuuri) x(x ) = 1+ x(1 x) x x = 1+ x x x + x x x + 1 = 0 5x 6x + 1 = 0 ( 6) ± ( 6) ± 16 6 ± 4 x = = = = , 1-9 -
11 5. c) x+ ) x ) x + x 4 = 1 x x + ( x + )( x + ) ( x )( x 4) = 1 ( x + )( x ) ( x + )( x ) x x x x x x x x x x x x = x x x x = 1 x 4 x 4 x x x x ( 6 + 8) = 1 x 4 x x x x = 1 x 4 10x 4 = 1 ( x 4) x 4 10x 4 = x 4 0 = x 4 10x + 4 x 10x = 0 x( x 10) = 0 x = 0 ti x =
12 6. Suorien osien pituudet ovt 1000 π r 500 = 500 π r (jolloin p.o. r < 159 ). π Säde r rtke yhtälöstä π π (500 r)r + r = π π 1000r r + r = π r r + = ,08 r 57, 0015 (ei käy) π π (500 r)r + r = Kenttälueen pituudeksi sdn s = r + (500 π r) 61, π 61, m s
13 7. Olkoon pieneen ltikkoon mhtuv määrä m (kg). Tällöin pieniä ltikoit trvittisiin 0000 kpl m j suuri 0000 kpl. m + 80 Sdn yhtälö = 100. m + 80 m m m + 80 = m( m + 80) 0000( m + 80) 0000m = 100 m( m + 80) = m m m m 100m m = 0 9,7 kg m (-17) 8. c β ) = 16,8 mm j c =,7 mm 16,8 sinα =,7 + b = c b = c b c α b 16,8 α = rcsin 45,1 β 90, 0 45,1 = 44,9,7 (,7 mm) (16,8 mm) 16,7 mm = = - 1 -
14 8 b = 58,km j β = 5,0 α = 90,0 β = 90,0 5,0 = 65,0 α tnα = b b b = 58,km tn 65,0 15 km b sin β = c csin β = b c : sin β b 58,km c = = 18km sin β sin 5,0 c b β - 1 -
15 8. c) c β = 1,4 mm j b = 6,8mm α b c = + b = (1,4 mm) (6,8 mm) 0,0 mm 1, 4 tnα = = = 0,5 b 6,8 α = rctn 0,5 6, 6 α = 6,6 β = 90,0 6,6 = 6,4-14 -
16 9. c 56,6,76 m sin 56,6 = c c c sin 56,6 =,76 m : sin 56,6,76 m,76 m c =,1m sin 56,6,76 m tn 56,6 = tn 56,6 =,76m : tn 56,6,76m = 1,8 m tn 56,6-15 -
17 40. B D A AC 6, 0 Olkoon kulm ACD α. Kolmiost ABC sdn: cosα = = BC 6, 68 6,0 cosα = 6,68 6,0 α = rccos 5, 684 6,68 AD sinα = AC AC AD = AC sinα = 6,0cm sin 5,684,61cm C
18 41.,95m β b Oheisess suorkulmisess kolmioss pätee : b = :. Lske α, β, j b. tnα = = b α = rctn, 7 β = 90,0 α = 90,0,7 = 56, α Merkitään = s j b = s. Täällöin Pythgorn luseell sdn ( s) + ( s) = (,95m) ( s) + ( s) = (,95m) 4s + 9 s = (,95m) 1 s = (,95 m) 1 (,95 m) s = 1 s = (,95m) 1 (,95m) = s = 1,64 m 1 (,95 m) b = s =,45m
19 4. A B 17 C D E F G H I AC = 90, FI = EH = 0, GH = 4 DF cos17 = 90 DF = 90 cos17 HI = EF = 90 cos17 4 BE tn17 = EF BE= tn17 EF = tn17 (90 cos17 4) x = BH = EH + BE = 0 + tn17 (90 cos17 4)
20 4. 5,00 m x x Kolmion l on x x ( x) + x = (5m) 5x = 5m = x ( knt kert korkeus/ ). Pythgorn luseen perusteell pätee: x = 5m. Siis kolmion l on 5m 44. h 6,0 h tn 6,0 = 11 m 11 m h = 11 m tn 6,0 81,4m 11 m
21 45. s 5,0 5,0 km 5,9 km cos5,0 = s s s cos5,0 = 5,9 km : cos5,0 5,0 km s = 8,1km cos5,0-0 -
22 46. s 4660 α tnα = 1 α = rctn 18, cosα = s s s cosα = 5160 : cosα s = 5440 cosα cos18, Kyllä voi, kosk < km = 10 m 1mm 10 m = 6 1km = (10 m) = (10 ) m = 10 m 10 mm = m = 10 m V = 10 mm 1km = 10 m 10 m = 10 m = m
23 49. 1m 1km = 10 l 1l = 10 m = 10 m 9 1km = (10 m) = (10 ) m = 10 m 9 9 1km = 10 m 1m = 10 km 1l = 10 m = km = 10 km 9 1 V = 5, l = 5, km 0,km α π (4,56 m) = 15,77 m π (4,56 m) 15,77 m 60 α = 86,9 π (4,56 m) 17, 51. Sdn yhtälö π r =,16 m 8,40 m , π r =,16 m 8,40 m : π 100 0,17,16 m 8,40 m r = π 0,17,16 m 8,40 m r = 0,85m π 5. π t = =,5dm/min (4, dm) 9,dm 146min h 6min 4 5. Sdn yhtälö π (10 cm) h = π (9 cm), jost rtkistun 4 π (9 cm) h = 9,7 cm π (10 cm) - -
24 Olkoon α kuvss olev 4,0 m:n jännettä vstv keskuskulm. α 1 α Tällöin sin = 67,8 α 14, , 76 1 Pienemmän segmentin l on π 1 1 sin14, m 60 Suuremmn segmentin l on π 1 m 19 m 9 m - -
25 55. h tn 0 = r r = h tn 0 h r 0. Sijoittmll tämä krtion tilvuuden kvn sdn 1 1 h V r h h V h π h = π = π = tn 0 (tn 0 ) π h (tn 0 ) (tn 0 ) π = (tn 0 ) V = π (tn 0 ) V (tn 0 ) 8,0m h = =,07 m π π - 4 -
26 56. h α ) Reiän tilvuus on sm kuin sellisen suorn ympyrälieriön tilvuus, jonk pohjn säde on 0,9cm j korkeus h.,5cm cos4,0 = h,5cm h = cos4,0,5cm V = π (0,9cm) 10,7cm cos4,0,5cm 0,0cm = π (0,9cm) cosα,5cm cos α = π (0,9 cm) 0,0cm α 7,7-5 -
601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI
SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä
Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,
Ristitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
Sinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja
RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Arkkitehtimatematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Arkkitehtimatematiikan koe..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x =? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat
Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015
PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
2 Kuvioita ja kappaleita
Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
Tekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa
Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi
S Fysiikka III (EST), Tentti
S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen
A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA
MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A
3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion
.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek
S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä
Ratkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5
Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =
Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.
K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat
Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)
Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.
KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Harjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat
Harjoitustehtävät, joulukuu 013, (ehkä vähän) vaativammat Ratkaisuja 1. Viisinumeroinen luku a679b on jaollinen 7:lla. Määritä a ja b. Ratkaisu. Luvun on oltava jaollinen 8:lla ja 9:llä. Koska luku on
VEKTOREILLA LASKEMINEN
3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on
205. a) 139 :n kulman vieruskulma on = Siis suorat s ja l eivät ole yhdensuuntaiset.
Lisätetäviä Peruskäsitteitä 0. ) Kulm on smnkotinen kulmn knss, joten kosk s j l ovt ydensuuntiset, on. b on :n ristikulm, joten myös b. b) b on smnkotinen kulmn 0 knss j kosk s j l ovt ydensuuntiset,
Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014
Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014 Ratkaisuja Sulkeissa oleva nimi osoittaa, että kyseinen ratkaisu perustuu asianomaisen henkilön kilpailuvastaukseen. 1. Oletetaan, että
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit
0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
Sarjaratkaisun etsiminen Maplella
Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 6.3.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Luku 1 = = = + = + 3 ( 7) = 2 + = + = = = = = + 1+ = + 1+ = + 1= = + 1 = = b) ( ) + = + = + c)
Luku ) 8 8 + = + 6 6 ) ) + = + = = b) ) 7 := 7 := 7 : ) ) 9 6 7 7 = 7 := = = ( 7) ( 7) b) 5 5 5 5 + : = + 6 6 ) + + + = + + + 9 ) 5 5 6) 5+ 5 = + = = = 6 6 6 6 = + + + = + + = + + = + = 9 9 9 ( c) ) 9
Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit
a b c d
2.. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 203 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P. Tiedetään, että neliöjuuret 2 ja 7 ovat irrationaalilukuja (tämä seuraa aritmetiikan
VEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi
6 Kertausosa. 6 Kertausosa
Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)
1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.
Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 168. h = 16,5 cm = 1,65 dm 1 = = :100. 2,5dm 1, dm. Vastaus 30 cm. = 2,
Pyramidi Geomeria eävien rakaisu sivu 68 00,5 l,5 dm 6,5 cm,65 dm Apoja π r π r r π,5dm,08... dm r ( ± ) π π, 65 dm 00 l dm 000 cm Ap 000 0 000 00 :00 000 0 ( cm) 00 asaus 0 cm d r,057... dm cm asaus cm
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä
YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne
YMPYRÄ Ympyrä opetus.tv:ssä Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne KAPPALEEN TERMEJÄ 1. Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana
Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten
.4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell
c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).
Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause
Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin
LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT
Lyhyt mtemtiikk YO-vlmennus 8. mliskuut 00 LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE RATKAISUT. Trkstelln yhtälöpri, polynomin sievennöstä j lusekkeeseen sijoittmist. ) Rtkistn jälkimmäisestä yhtälöstä x, jolle
Juuri Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Vektorit. Vektori LUVUN. YDINTEHTÄVÄT 0. Piste P jakaa janan BC suhteessa : eli kahteen yhtä suureen osaan. Siten CP CB u ja DP DC CP DC CBv u u v. Vastaavasti DQ DA AQ DA ABu v. 7 7 0. a) Pisteen koordinaatit
Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.
ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut
MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015
MATEMATIIKKA Mtemtiikk pintkäsittelijöille Peruslskutoimitukset Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ 1. Lskujärjestys 1. Murtoluvuill lskeminen. Suureet j mittyksiköt. Potenssi. Juuri 6. Tekijäyhtälöiden rtkiseminen
3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
a b c d
.. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin
Kokeile ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! Miten opit parhaiten?
Miten opit parhaiten? Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! n Voit harjoitella kotoa käsin huippusuositulla Mafynetti-ohjelmalla. Mukaan kuuluu 4 täysimittaista harjoituskoetta!! n Harjoittelu
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Läpäisyehto: Kokeesta saatava 5. Uusintakoe: Arvosana määräytyy yksin uusintakokeen perusteella.
MAA7 Trigonometriset funktiot Arvosanan perusteet: koe 70 %, harjoitustehtävä 10 %, tuntitestit 20 %, lisäksi oppimisen ja työskentelyn havainnointi opettajan harkinnan mukaan (ks. OPS 6.2). Muu arviointi:
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnedinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua Lopullisessa arvostelussa
5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 30.7.018 5 TASOGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 3,5 m eri yksiköihin. 3,5 m = 35 dm = 350 cm = 3 500 mm ja 3,5 m = 0,035
Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
Kenguru 2019 Student lukio
sivu 0 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Koodi (ope täyttää): Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta
Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95
9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:
x+3 = n(y 3) y +n = 3(x n). Kun ylemmästä yhtälöstä ratkaistaan x = n(y 3) 3 ja sijoitetaan alempaan, saadaan
19.1. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ ÐÓÔÔÙ ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 2018 1. Eevalla ja Martilla on kokonaislukumäärä euroja. Martti sanoi Eevalle: Jos annat minulle kolme euroa, niin minulla on n-kertainen määrä rahaa sinuun
Analyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
MAA03.3 Geometria Annu
1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.
w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Suorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.
Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,
5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.
5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,