Mat-2.04 Tlastollse aalyys perusteet / Ratkasut Aheet: Avasaat Korrelaato ja assosaato Hypotees, Järjestyskorrelaatokertomet, χ 2 -rppumattomuustest, Korrelaatokerro, Pstedagramm, Päätössäätö, Nollahypotees, p-arvo, Rppumattomuude testaame, Spearma rho, Test, Testsuure, Testsuuree ormaalarvo, Vahtoehtoe hypotees, Yhteesopvuustest, Ylee hypotees. Pstedagramm ja korrelaato (a) (b) (c) (d) Ratkasu: (a) Geero STATISTIX-ohjelma satuaslukuja tuottavlla alohjelmlla tedostoo BINORM seuraavat muuttujat (50 havatoa): U: N(0,) V: N(0,) Muodosta STATISTIX-ohjelma trasformaatolla tedostoo BINORM kaksulottesta ormaaljakaumaa N 2 (µ, µ 2, σ 2, σ 2 2, ρ) oudattavat muuttujapart (ks. kaavoja tehtäve lopussa): (X, Y): N 2 (0, 20,, 4, 0.95) (X2, Y2): N 2 ( 5, 2, 9,, 0.4) (X3, Y3): N 2 (0, 0,,, 0.7) Prrä pstedagrammt (U, V), (X, Y), (X2, Y2), (X3, Y3) ja arvo de perusteella muuttuje välste korrelaatode merkt ja suuruusluokat. Arvo satuaslukuje geero ostumsta estmomalla geerotuje muuttuje artmeettset keskarvot, otosvarasst ja otoskorrelaatokertomet muuttujaparelle (U, V), (X, Y), (X2, Y2), (X3, Y3) ja vertaamalla tä vastaave teoreettste tuuslukuje arvoh. Testaa muuttujaparssa (X3, Y3) ollahypoteesa H 0 : ρ = 0.7 Satuaslukuje geerot Geerodaa tedostoo BINORM satuaslukuja jakaumasta N(0,) muuttujks U, V: (U, V): N 2 (0, 0,,, 0) Data > Trasformatos Trasformato Expresso U / V = NRadom (0,) TKK Ilkka Mell (2005) /23
Trasformodaa muuttujat U ja V 2-ulottesta ormaaljakaumaa N 2 (µ, µ 2, σ 2, σ 2 2, ρ) oudattavks satuasmuuttuje pareks (X, Y), (X2, Y2), (X3, Y3): (X, Y): N 2 (0, 20,, 4, 0.95) (X2, Y2): N 2 ( 5, 2, 9,, 0.4) (X3, Y3): N 2 (0, 0,,, 0.7) Data > Trasformatos Trasformato Expresso X / X2 / X3 = σ * U + µ Data > Trasformatos Trasformato Expresso Y / Y2 / Y3 = σ 2 (ρ * U + Sqrt( ρ * ρ) * V) + µ 2 (b) Pstedagrammt Muodostetaa muuttujapare (U, V), (X, Y), (X2, Y2), (X3, Y3) parettaset pstedagrammt: Statstcs > Summary Statstcs > Scatter Plot X Axs Varables = U / X / X2 / X3 Y Axs Varables = V / Y / Y2 / Y3 TKK Ilkka Mell (2005) 2/23
(U, V): N 2 (0, 0,,, 0) X-Axs Varables = U Y-Axs Varables = V Scatter Plot of V vs U.6 0.7-0.2 V -. -2.0-2.9-2.2 -.4-0.6 0.2.0.8 U Muuttujat U ja V äyttävät lähes korrelomattomlta. (X, Y): N 2 (0, 20,, 4, 0.95) X-Axs Varables = X Y-Axs Varables = Y Scatter Plot of Y vs X 24 2 Y 8 5 7.8 8.6 9.4 0.2.0.8 X Muuttujat X ja Y äyttävät vomakkaast postvsest korrelotueta. TKK Ilkka Mell (2005) 3/23
(X2, Y2): N 2 ( 5, 2, 9,, 0.4) X-Axs Varables = X2 Y-Axs Varables = Y2 3.6 Scatter Plot of Y2 vs X2 2.8 2.0 Y2.2 0.4-0.4-3 -8-3 2 X2 Muuttujat X2 ja Y2 äyttävät leväst postvsest korrelotuelta. (X3, Y3): N 2 (0, 0,,, 0.7) X-Axs Varables = X3 Y-Axs Varables = Y3 Scatter Plot of Y3 vs X3.9.0 0. Y3-0.8 -.7-2.6-2.2 -.4-0.6 0.2.0.8 X3 Muuttujat X3 ja Y3 äyttävät melko vomakkaast egatvsest korrelotueta. TKK Ilkka Mell (2005) 4/23
(c) Tuusluvut Lasketaa muuttuje U, V, X, Y, X2, Y2, X3, Y3 artmeettset keskarvot ja varasst: Statstcs > Summary Statstcs > Desrptve Statstcs Descrptve Varables = U, V, X, Y, X2, Y2, X3, Y3 DESCRIPTIVE STATISTICS VARIABLE MEAN VARIANCE U -0.2297 0.8202 V -0.607 0.6940 X 9.7703 0.8202 Y 9.463 2.9057 X2-5.689 7.385 Y2.7609 0.636 X3-0.2297 0.8202 Y3 0.0460 0.893 Vertaa geerodusta havaosta laskettuja artmeettsa keskarvoja ja varasseja geerossa käytettyh 2-ulottese ormaaljakauma parametre arvoh: Muuttuja Odotusarvo Varass U 0 V 0 X 0 Y 20 4 X2 5 9 Y2 2 X3 0 Y3 0 Erot havatoje geerossa käytettyje parametre arvoje ja geerodusta havaosta laskettuje vastaave otossuurede arvoje välllä evät ole yhdessäkää tapauksessa kov suura. Tos varasst äyttävät oleva systemaattsest jok verra la peä. Erot johtuvat satuasvahtelusta ja/ta satuaslukugeeraattor omasuukssta. TKK Ilkka Mell (2005) 5/23
Pearso otoskorrelaatokerro lasketaa kaavalla jossa r s xy xy = = ss x y = xy = ( x x)( y y) 2 2 ( x x) ( y y) = = s = ( x x)( y y) o x- ja y-havatoarvoje otoskovarass, s 2 2 x = ( x x ) = o x-havatoarvoje varass, s 2 2 y = ( y y ) = o y-havatoarvoje varass sekä s x ja s y ovat vastaavat otoskeskhajoat. Lasketaa korrelaatot muuttujaparesta (U, V), (X, Y), (X2, Y2), (X3, Y3): Statstcs > Lear Models > Correlatos (Pearso) Correlato Varables = U, V / X, Y / X2, Y2 / X3, Y3 CORRELATIONS (PEARSON) U V -0.89 CASES INCLUDED 50 MISSING CASES 0 CORRELATIONS (PEARSON) X Y 0.9539 CASES INCLUDED 50 MISSING CASES 0 TKK Ilkka Mell (2005) 6/23
CORRELATIONS (PEARSON) X2 Y2 0.285 CASES INCLUDED 50 MISSING CASES 0 CORRELATIONS (PEARSON) X3 Y3-0.7854 CASES INCLUDED 50 MISSING CASES 0 Vertaa geerodusta havaosta laskettuja korrelaatota geerossa käytettyh 2-ulottese ormaaljakauma parametr arvoh: Muuttujapar Korrelaato U, V 0 X, Y 0.95 X2, Y2 0.4 X3, Y3 0.7 Erot havatoje geerossa käytettyje parametr arvoje ja geerodusta havaosta laskettuje vastaave otossuurede arvoje välllä evät ole yhdessäkää tapauksessa kov suura. Erot johtuvat satuasvahtelusta ja/ta satuaslukugeeraattor omasuukssta. (d) Korrelaato testaame Testataa muuttujaparssa (X3, Y3) ollahypoteesa H 0 : ρ = 0.7 ku geerodusta havaosta laskettu korrelaato o 0.7854. Käytetää testssä Fsher z-muuoksee perustuvaa testsuuretta + r + ρ 0 log log 2 r 2 ρ0 z = 3 TKK Ilkka Mell (2005) 7/23
Jos ollahypotees H 0 : ρ = ρ 0 pätee, testsuure z o jakautuut approksmatvsest stadardodu ormaaljakauma mukaa: z a N(0,) Testsuuree arvoks saadaa z =.364 Stä vastaava p-arvo 2-suutaselle vahtoehtoselle hypoteeslle o p = 0.8804 Ste ollahypotees H 0 : ρ = 0.7 jää vomaa. Testsuuree arvoa vastaava p-arvo määrääme tapahtuu seuraavalla operaatolla: Statstcs > Probablty Fuctos Fucto = Z 2-tal (x) x = -.364 2. Pstedagramm ja korrelaato STATISTIX-tedostossa TUPAKKA o aettu seuraavat tedot maasta: (a) (b) (c) Ratkasu: KULUTUS = savukkede kulutus per capta 930 SAIRAST = keuhkosyöpätapauste lukumäärä per 00 000 heklöä 950 Prrä aestosta pstedagramm (KULUTUS, SAIRAST) ja arvo se perusteella muuttuje välse korrelaato merkk ja suuruusluokka. Laske aestosta Pearso tulomomettkorrelaatokerro. Laske aestosta Pearso tulomomettkorrelaatokerro, ku jätät USA: pos. Vertaa tulosta (b)-kohda tuloksee. Kommetteja? Tedosto TUPAKKA havatomet saadaa äkyv seuraavalla operaatolla: Data > Labels > Value Labels Source Varable = MAA TKK Ilkka Mell (2005) 8/23
Aesto vodaa tulostaa seuraavalla operaatolla: Fle > Prt Prt Varables = MAA, KULUTUS, SAIRAST TUPAKKA CASE MAA KULUTUS SAIRAST Islat 220 58 2 Norja 250 90 3 Ruots 30 5 4 Kaada 50 50 5 Taska 380 65 6 Itavalta 455 70 7 USA 280 90 8 Hollat 460 245 9 Svets 530 250 0 Suom 5 350 GB 45 465 (a) Pstedagramm Muodostetaa pstedagramm muuttujaparsta (KULUTUS, SAIRAST): Statstcs > Summary Statstcs > Scatter Plot X Axs Varables = KULUTUS Y Axs Varables = SAIRAST 490 Scatter Plot of SAIRAST vs KULUTUS 400 SAIRAST 30 220 USA 30 40 00 500 900 300 KULUTUS TKK Ilkka Mell (2005) 9/23
Kuvo perusteella savukkede kulutuksella ja sarastavuudella o melko vomakas postve korrelaato: Savukkede kulutuksella ja sarastuvuudella ol keskmäär seuraava yhteys: Mtä eemmä maassa poltett savukketa per capta 930 stä eemmä sellä ol 20 vuode kuluttua keuhkosyöpätapauksa per 00 000 asukasta. (b) Korrelaatokerro kaklle havaolle Lasketaa korrelaato muuttujaparlle (KULUTUS, SAIRAST): Statstcs > Lear Models > Correlatos (Pearso) Correlato Varables = KULUTUS, SAIRAST TUPAKKA CORRELATIONS (PEARSON) KULUTUS SAIRAST 0.740 CASES INCLUDED MISSING CASES 0 (c) Korrelaatokerro, ku USA jätetää pos Jätetää USA (Case = 7) pos: Data > Omt/Select/Restore Cases Omt/Select/Restore Expresso Omt Case = 7 Lasketaa korrelaato muuttujaparlle (KULUTUS, SAIRAST): Statstcs > Lear Models > Correlatos (Pearso) Correlato Varables = KULUTUS, SAIRAST TUPAKKA CORRELATIONS (PEARSON) KULUTUS SAIRAST 0.940 CASES INCLUDED 0 MISSING CASES 0 TKK Ilkka Mell (2005) 0/23
USA: posjättäme kasvattaa korrelaatota vomakkaast, ts. tupaka ja keuhkosyövä yhteys tulee vomakkaamm es, jos USA jätetää pos. Oko ä okeutettua tehdä? Pstedagramma katsellessa huomaa, että USA:ssa o poltettu ete savukketa per capta 930, mutta keuhkosyöpätapauste lukumäärä per 00 000 heklöä 950 o ollut va keskmääräe. Vosko USA olla musta masta pokkeava havato? Kyllä! USA:ssa poltett 930 vaarattomampa savukketa ku muualla: USA:ssa poltett 930 paljo flttersavukketa, ku muualla poltett edellee pääasassa fltterttömä savukketa. Lsäks amerkkalassavukkede tupakka ol tavallsest medompaa ku muualla poltettuje savukkede tupakka. Johtopäätös: Pokkeavat havaot saattavat väärstää tlastollse aalyys tuloksa. Pokkeave havatoje tustame ja vakutukse selvttäme ovat keskee osa tlastollsta aalyysa. 3. Pstedagramm ja korrelaato STATISTIX-tedostossa DATA2 o aettu 0 havatoa muuttujsta X ja Y. (a) (b) (c) Ratkasu: (a) Prrä aestosta pstedagramm (X, Y) ja arvo se perusteella muuttuje välse korrelaato merkk ja suuruusluokka. Laske aestosta Pearso tulomomettkorrelaatokerro. Vertaa (a)-kohda kuvaa ja (b)-kohdassa laskettua korrelaatokerrota. Kommetteja? Pstedagramm Muodostetaa pstedagramm muuttujaparsta (X, Y): Statstcs > Summary Statstcs > Scatter Plot X Axs Varables = X Y Axs Varables = Y TKK Ilkka Mell (2005) /23
Scatter Plot of Y vs X 8 6 Y 4 2 0-3 - 3 X Kuvosta vodaa päätellä, että muuttuje X ja Y otoskorrelaato = 0. Mks? Johtopäätös seuraa otoskovarass s = ( X X)( Y Y) XY = geometrsesta tulkasta: Otoskovarass kaava summalausekkeessa = jokae term ( X X)( Y Y) ( X X)( Y Y ) vastaa suorakatee pta-alaa varustettua etumerkllä, joka rppuu pstee (X, Y ) sjasta artmeettste keskarvoje määräämä pstee( X, Y ) suhtee. Yo. kuvossa psteet sjatsevat symmetrsest suora X = 0 suhtee, jollo jokasella psteellä (X, Y ) o vastpste ( X, Y ). Vastaavat termt otoskovarass kaava summalausekkeessa ovat vastakkasmerkkset ja kumoavat summassa tosesa. TKK Ilkka Mell (2005) 2/23
Ks. alla olevaa esmerkkkuvaa: 8 Scatter Plot of Y vs X ( X, Y ) ( X, Y) 6 Y 4 ( X, Y ) 2 0-3 - 3 X (b) Korrelaatokerro Lasketaa korrelaato muuttujaparlle (X, Y): Statstcs > Lear Models > Correlatos (Pearso) Correlato Varables = KULUTUS, SAIRAST DATA2 CORRELATIONS (PEARSON) X Y 0.0000 CASES INCLUDED 0 MISSING CASES 0 Korrelaatokerro = 0 eljä desmaal tulostustarkkuudella (tse asassa koee laskutarkkuudella). TKK Ilkka Mell (2005) 3/23
(c) Kommetteja Koska muuttuje X ja Y otoskorrelaatokerro = 0, muuttuje X ja Y välllä e vo olla leaarsta tlastollsta rppuvuutta. Se sjaa muuttuje X ja Y välllä o eksakt el tarkka epäleaare rppuvuus Y = X 2 Johtopäätös: Satuasmuuttuje korrelomattomuudesta e välttämättä seuraa de rppumattomuutta. Se sjaa satuasmuuttuje rppumattomuudesta seuraa aa de korrelomattomuus. 4. Spearma järjestyskorrelaatokerro Erää tlastollse data-aalyys kurss suortus koostu harjotustyöstä ja tetstä, jotka kummatk arvot pste 0-00. Kurss osallstuje joukosta pomtt satuasest 0 opskeljaa. Hedä psteesä o aettu alla olevassa taulukossa ja STATISTIX-tedotossa KURSSI. Tett 8 62 74 78 93 69 72 83 90 84 Harjotustyö 76 7 69 76 87 62 80 75 92 79 (a) (b) (c) (d) (e) Prrä aestosta pstedagramm ja arvo se perusteella muuttuje välse korrelaato merkk ja suuruusluokka. Laske Pearso tulomomettkorrelaatokerro ja testaa ollahypoteesa, että psteet tetstä ja harjotuystyöstä ovat korrelomattoma. Laske Spearma järjestyskorrelaatokerro ja testaa ollahypoteesa, että psteet tetstä ja harjotuystyöstä ovat korrelomattoma. Laske Spearma järjestyskorrelaatokerro käyttäe kaavaa mssä 6 = = ρ S 3 D 2 D = R( X ) R( Y) o X- ja Y-havatoarvoje rake erotus. Laske Spearma järjestyskorrelaatokerro soveltamalla Pearso tulomomettkorrelaatokertome kaavaa X- ja Y-havatoarvoje rake muodostam lukupareh. TKK Ilkka Mell (2005) 4/23
Ratkasu: (a) Pstedagramm Muodostetaa pstedagramm muuttujaparsta (TENTTI, HTYO): Statstcs > Summary Statstcs > Scatter Plot X Axs Varables = TENTTI Y Axs Varables = HTYO 92 Scatter Plot of HTYO vs TENTTI 86 80 HTYO 74 68 62 62 70 78 86 94 TENTTI Muuttuje HTYO ja TENTTI välllä o selvää postvsta korrelaatota: Opskeljat meestyvät kurss molemmssa osossa keskmäär samalla tavalla. TKK Ilkka Mell (2005) 5/23
(b) Pearso tulomomettkorrelaatokerro ja test korrelomattomuudelle Lasketaa korrelaato muuttujaparlle (X, Y): Statstcs > Lear Models > Correlatos (Pearso) Correlato Varables = HTYO, TENTTI KURSSI CORRELATIONS (PEARSON) HTYO TENTTI 0.7759 CASES INCLUDED 0 MISSING CASES 0 Testataa ollahypoteesa H 0 : ρ = 0 Testsuure r t = 2 r 2 oudattaa ollahypotees H 0 pätessä t-jakaumaa vapausaste 2. Statstcs > Assocato Tests > Correlatos (Pearso) Correlato Varables = HTYO, TENTTI KURSSI CORRELATIONS (PEARSON) HTYO TENTTI 0.7759 P-VALUE 0.0083 CASES INCLUDED 0 MISSING CASES 0 Testsuuree t arvoa vastaava p-arvo o 0.0083. Ste ollahypotees H 0 vodaa hylätä %: merktsevyystasolla. TKK Ilkka Mell (2005) 6/23
(c) Spearma järjestyskorrelaatokerro ja test korrelomattomuudelle Statstcs > Assocato Tests > Spearma Rak Correlatos Correlato Varables = HTYO, TENTTI KURSSI SPEARMAN RANK CORRELATIONS, CORRECTED FOR TIES HTYO TENTTI 0.773 MAXIMUM DIFFERENCE ALLOWED BETWEEN TIES 0.0000 CASES INCLUDED 0 MISSING CASES 0 Testataa ollahypoteesa Testsuure H 0 : ρ = 0 ρs t = 2 ρ 2 S oudattaa ollahypotees H 0 pätessä suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa N(0,). t-testsuuree arvoks saadaa t = 2.98 jota vastaava p-arvo 2-suutaselle vahtoehtoselle hypoteeslle o p = 0.00359 Ste ollahypotees H 0 vodaa hylätä %: merktsevyystasolla. p-arvo määrääme tapahtuu seuraavalla operaatolla: Statstcs > Probablty Fuctos Fucto = Z 2-tal (x) x = 2.98 TKK Ilkka Mell (2005) 7/23
(d) Spearma järjestyskorrelaatokertome laskeme Lasketaa Spearma järjestyskorrelaatokerro käyttäe kaavaa mssä 6 = ρ S = 3 D 2 D = R( X ) R( Y) o X- ja Y-havatoarvoje raklukuje erotus. Muodostetaa es tedostoo KURSSI X- ja Y-havatoarvoje rakluvut, de erotukset ja erotuste toset potesst: Data > Trasformatos Trasformato Expresso RTENTTI = Rak (TENTTI) Data > Trasformatos Trasformato Expresso RHTYO = Rak (HTYO) Data > Trasformatos Trasformato Expresso D = RTENTTI - RHTYO Data > Trasformatos Trasformato Expresso D2 = D * D TKK Ilkka Mell (2005) 8/23
Tedosto KURSSI äyttää trasformaatode jälkee seuraavalta: KURSSI CASE TENTTI HTYO RTENTTI RHTYO D D2 8 76 6 5.5 0.5 0.25 2 62 7 3-2 4 3 74 69 4 2 2 4 4 78 76 5 5.5-0.5 0.25 5 93 87 0 9 6 69 62 2 7 72 80 3 8-5 25 8 83 75 7 4 3 9 9 90 92 9 0-0 84 79 8 7 Määrätää seuraavaks muuttuja D2 arvoje summa: Statstcs > Summary Statstcs > Descrptve Statstcs Descrptve Varables = D2 KURSSI DESCRIPTIVE STATISTICS VARIABLE N SUM D2 0 46.500 Sjottamalla summa = D 2 = 46.50 Spearma korrelaatokertome kaavaa saadaa ρ S = 0.782 mkä o melke sama ku kohdassa (c) saatu tulos. Ero johtuu stede (= egl. te) erlasesta kästtelytavasta. TKK Ilkka Mell (2005) 9/23
(e) Spearma järjestyskorrelaatokertome laskeme 2 Lasketaa Spearma järjestyskorrelaatokertome arvo soveltamalla Pearso tulomomettkorrelaatokertome kaavaa X- ja Y-havatoarvoje raklukuh: Statstcs > Assocato Tests > Correlatos (Pearso) Correlato Varables = RHTYO, RTENTTI KURSSI CORRELATIONS (PEARSON) RHTYO RTENTTI 0.773 CASES INCLUDED 0 MISSING CASES 0 Tulos o sama ku kohdassa (c) saatu tulos, mutta e ole sama ku kohdassa (a) alkuperässtä havatoarvosta laskettu Pearso tulomomettkorrelaatokertome arvo. 5. χ 2 -rppumattomuustest Eräässä kyselytutkmuksessa kartotett Flordaa vmese kolme vuode akaa tomtasa srtäede yrtyste sytä srtymsee. Yrtykset ol jaettu tomalasa suhtee kolmee luokkaa: Teollsuus, Kauppa, Tursm Essjase perustelu srtymselle sa valta yhde seuraavsta kolmesta: Myötee tekologaympärstö, Verohelpotukset, Työvoma saatavuus Srtyede yrtyste joukosta pomtt ykskertae satuasotos ja yrtykset luoktelt rst tomalasa ja srtymse perustelu suhtee 9 luokkaa. Tulokset o aettu alla olevassa frekvesstaulukossa ja STATISTIX-tedostossa MUUTTO. Tomala Syy srtymsee Teollsuus Kauppa Tursm Tekologaympärstö 53 25 0 Verohelpotukset 67 36 20 Työvoma saatavuus 30 40 33 Ovatko tomala ja srtymse perustelu rppumattoma tekjötä? TKK Ilkka Mell (2005) 20/23
Ratkasu: Olkoo Tekjä A = Syy srtymsee Tekjä B = Tomala ja olkoo ollahypoteesa Havatut frekvesst: Odotetut frekvesst: jossa H 0 : Tekjät A ja B ovat rppumattoma O j = havattu frekvess A-luokassa ja B-luokassa j, =, 2,, r, j =, 2,, c E R C Huomaa, että j j RC = = = c j= r = O j j O j R = luokkafrekvess A-luokassa C j = luokkafrekvess B-luokassa j Nollahypotees H 0 pätessä testsuure χ ( O E ) r c 2 2 j j 2 = a χ = j= Ej ( f ) jossa f = (r )(c ) TKK Ilkka Mell (2005) 2/23
χ 2 -rppumattomuustest Statstcs > Assocato Tests > Ch-Square Test Model Specfcato = Table Table Varables = TEOL, KAUPPA, TURISMI MUUTTO CHI-SQUARE TEST FOR HETEROGENEITY OR INDEPENDENCE VARIABLE CASE TEOL KAUPPA TURISMI +-----------+-----------+-----------+ OBSERVED 53 25 0 88 EXPECTED 42.44 28.58 6.98 CELL CHI-SQ 2.63 0.45 2.87 +-----------+-----------+-----------+ 2 OBSERVED 67 36 20 23 EXPECTED 59.32 39.95 23.73 CELL CHI-SQ 0.99 0.39 0.59 +-----------+-----------+-----------+ 3 OBSERVED 30 40 30 00 EXPECTED 48.23 32.48 9.29 CELL CHI-SQ 6.89.74 5.94 +-----------+-----------+-----------+ 50 0 60 3 OVERALL CHI-SQUARE 22.49 P-VALUE 0.0002 DEGREES OF FREEDOM 4 CASES INCLUDED 9 MISSING CASES 0 χ 2 -testsuuree arvo o 22.49 ja stä vastaava p-arvo o 0.0002, ku vapausasteta o 4. Ste ollahypotees stä, että tekjät A = Tomala B = Syy srtymsee ovat rppumattoma hylätää kaklla tavaomaslla merktsevyystasolla. TKK Ilkka Mell (2005) 22/23
Lte: Satuaslukuje geerot 2-ulottesesta ormaaljakaumasta Oletetaa, että rppumattomat satuasmuuttujat U ja V oudattavat stadardotua ormaaljakaumaa U ~ N(0,) V ~ N(0,) Määrtellää satuasmuuttujat () X = σ U + µ 2 ( ) Y = σ ρu + ρ V +µ 2 2 jossa µ, µ 2, σ > 0, σ 2 > 0 ja ρ + ovat reaalsa vakota. Tällö jossa ( XY, ) N ( µ, µ, σ, σ, ρ) 2 2 2 2 E( X) = µ E( Y) = µ 2 Var( X) = σ Var( Y) = σ Cor( XY, ) = ρ 2 2 2 Ste rppumattomat stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ) oudattavat satuasmuuttujat vodaa muutaa muuoksella () kaksulottesta ormaaljakaumaa oudattavaks satuasmuuttuje parks. Estety trasformaato avulla vodaa rppumattomsta stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ) oudattavsta satuasluvusta geeroda kaksulottesta ormaaljakaumaa oudattava satuaslukuje pareja. TKK Ilkka Mell (2005) 23/23