SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

Samankaltaiset tiedostot
TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

5 Epäoleellinen integraali

Riemannin integraalista

Riemannin integraali

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.

5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

Matematiikan tukikurssi

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

ANALYYSIN TEORIA A JA B

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

ANALYYSI I, kevät 2009

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Sarjat ja integraalit

Sarjojen tasainen suppeneminen

Kertausta ja täydennystä

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

3 Integraali ja derivaatta

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

ANALYYSI I, kevät 2009

Riemannin integraalista

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

6 Integraalilaskentaa

ANALYYSI I, kevät 2009

Matematiikan tukikurssi

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

2 Epäoleellinen integraali

Pertti Koivisto. Analyysi C

Funktiojonon tasainen suppeneminen

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Kuinka määritellään 2 3?

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Pertti Koivisto. Analyysi B

Analyysi III S

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Analyyttinen lukuteoria

Lebesguen integraali

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Viikon aiheet. Pinta-ala

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

2.2 Monotoniset jonot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

1. Yhtälöiden ratkaisemisesta Olkoon f välillä [a, b] jatkuva funktio, jolle f(a) f(b) < 0. Bolzanon lauseen [A1]

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

Lisää määrätystä integraalista Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Suorat, käyrät ja kaarevuus

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

Lebesguen mitta ja integraali

Vektoriarvoisten funktioiden analyysiä

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

Numeerinen integrointi.

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä

Funktion approksimointi

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille P

Konvergenssilauseita

funktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

Toispuoleiset raja-arvot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille P

Integraalilaskenta. Määrätty integraali

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

Matematiikan tukikurssi

Transkriptio:

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin. Tekstissä viittn muihin mtemtiikn kursseihin seurvsti: A Anlyysi A2 Anlyysi 2 VeM Vektorit j mtriisit LA Linerilgebr EA Euklidiset vruudet Esitietoin vditn ensimmäisen vuoden nlyysin kurssit kurssit A j A2. Ve- M:st käytetään inostn yhtälöprien lkeellisimpi ominisuuksi. LA:hn j EA:hn viittn sellisiss kohdiss, joiss on luonnollinen yhteys näiden kurssien sisältöön, näiden kurssien sioit ei kuitenkn trvit esitietoin. Anlyysin tuloksiin viitttess käytetään Kilpeläisen lukuvuoden 2002-2003 kurssimonisteen numerointi. A:ssä määriteltiin lukujono:. Funktiojonot (.) ( k ) k= = ( k ) k N = ( k ) =, 2, 3,..., k R kikill k N. Jono ( k ) k= suppenee, jos jollekin b R pätee (.2) ɛ > 0 N ɛ siten, että k N ɛ = b k < ɛ. Luku b on jonon ( k ) rj-rvo, b = lim k k. Yleistämme tämän käsitteen tilnteeseen, joss reliluvut k korvtn funktioill: Määritelmä.. Olkoon A R j olkoot f k : A R, k N, funktioit. (.3) (f k ) k= = (f k ) k N = (f k ) = f, f 2, f 3,..., on funktiojono. Esimerkki.2. A = [0, ]. Asettmll kikill k N, f k : [0, ] R, (.4) f k (x) = x k, smme funktiojonon (f k ) k=. Nyt siis (.5) f (x) = x, f 2 (x) = x 2, f 3 (x) = x 3,... Versio: 3. syyskuut 2003.

2 JOUNI PARKKONEN Huomutus.3. Jono joukoss A on kuvus : N A. Määritelmän. tpuksess A = {f : A R}. Lukujonoille A = R. Hlumme trkstell funktiojonojen suppenemist. Ensin on mietittävä, milloin kksi funktiot on lähellä toisin. Määritelmä.4. Olkoon A R j olkoot f, g : A R funktioit. Funktioiden f j g etäisyys on (.6) d(f, g) = sup f(x) g(x). x A Esimerkki.5. Olkoon f : R R, f(x) = 0. () Olkoon g : R R, g(x) = x. Tällöin (.7) d(f, g) = sup 0 x = sup x =. x R x R (b) Olkoon h : R R, h(x) = /( + x 2 ). Nyt (.8) d(f, h) = sup + x 2 x R Kosk x 2 0 kikill x R, niin /( + x 2 ) kikill x R. Toislt h(0) =, joten d(f, h) =. Khden funktion etäisyys voi siis oll. Muuten d on kuten metriikk, vert EA. Määritelmä.6. Olkoon A R j olkoot f k : A R, k N, funktioit. Funktiojono (f k ) k= suppenee () pisteittäin (kohti funktiot f), jos on funktio f : A R siten, että (.9) lim k f k(x) = f(x) kikill x A. Tällöin funktio f on funktiojonon (f k ) pisteittäinen rjfunktio. (b) tsisesti (kohti funktiot f), jos on N N j funktio f : A R siten, että d(f k, f) <, kun k N j (.0) lim k d(f k, f) = 0, kun rj-rvo lsketn osjonolle f N, f N+, f N+2,.... Tällöin funktio f on funktiojonon (f k ) tsinen rjfunktio. Huomutus.7. () Määritelmän.6 (b)-kohdss oletmme etäisyyden olevn äärellinen joistin indeksistä lähtien, jott smme kvn.0 lukujonon. (b) Suppenevn funktiojonon joidenkin funktioiden etäisyys rjfunktiost voi siis oll, kuitenkin vin äärellisen monen. Esimerkki.8. Olkoon funktiojono (f k ) k= kuten esimerkissä.2 (). A:ssä osoitettiin, että (.) x [0, [ = lim k xk = 0. Toislt k = kikill k. Siis funktiojono (f k ) k= suppenee pisteittäin kohti funktiot f : [0, ] R, (.2) f(x) = { 0, kun x [0, [,, kun x =.

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 f + ɛ f k f f ɛ Kuv. Tsinen suppeneminen Kuitenkin (.3) d(f k (x), f) = sup x [0,] f k f k (x) f(x) ( k 2 ) f ( k 2 ) = 2 0 = 2 kikill k N. Siis funktiojono (f k )) k= ei suppene tsisesti inkn kohti funktiot f. Näyttää siltä, että pisteittäisen rjfunktion f epäjtkuvuus pisteessä iheutt sen, että jono (f k ) k= ei suppene tsisesti. Ongelmn voi tässä tpuksess korjt rjoittumll lyhyemmälle välille: Olkoon ]0, [. Funktiojono ( ) f k [0,] ) k= suppenee tsisesti kohti 0-funktiot välillä [0, ]: (.4) sup f k (x) 0 = sup x k = k, x [0,] x [0,] kosk funktio f k on (idosti) ksvv kikill k (ktso A). Edellä totesimme jo, että lim k k = 0. Huom, että funktiojono ( f k ]0,[ ) ) k= ei suppene tsisesti kohti 0-funktiot. Funktiojonon tsisell suppenemisell on selkeä Kuvn mukinen geometrinen tulkint: Kun k on iso, f k :n kuvj mhtuu f:n kuvjn ɛ-ympäristöön. Seurvt kksi lusett ntvt ehtoj tsiselle suppenemiselle. Cuhyn ehdon etu (kuten A:ssä lukujonojen tpuksess) on se, että rjfunktiot ei trvitse tunte. Luse.9. Olkoon A R. Olkoot f k, f : A R, k N, funktioit. Funktiojono (f k ) k= suppenee tsisesti kohti f:ää, jos j vin jos (.5) ɛ > 0 N N : x A f k (x) f(x) < ɛ, kun k N. Todistus. Hrjoitus. Huomutus.0. Tsinen suppeneminen määritellään usein Luseen.9 ehdoll. Luse. (Cuhyn ehto tsiselle suppenemiselle). Olkoon A R. Olkoot f k : A R, k N, funktioit. On funktio f : A R siten, että funktiojono (f k ) k= suppenee tsisesti kohti f:ää, jos j vin jos (.6) ɛ > 0 N N s.e. (m N j n N) = f n (x) f m (x) < ɛ x A. Todistus. Hrjoitus. Todistuksen ide on sm kuin A:n vstvlle tulokselle. Seurvss pisteittäisen j tsisen suppenemisen perusominisuuksi:

4 JOUNI PARKKONEN 0.8 0.6 0.5.5 2 Kuv 2. Esimerkin.5(b) funktioiden f, f 2,... f 5 kuvjt. Luse.2. () Jos funktiojono (f k ) k= suppenee tsisesti kohti funktiot f, niin se suppenee pisteittäin kohti funktiot f. (b) Funktiojonon (tsinen/pisteittäinen) rjfunktio on yksikäsitteinen. Todistus. () Olkoon x A. Olkoon f tsinen rjfunktio. Supremumin määritelmän perusteell (.7) 0 f k (x) f(x) sup f k (y) f(y) 0, y A kun k. (b) Lukujonon rj-rvo on yksikäsitteinen. Siis pisteittäinen rjfunktio on yksikäsitteinen. Tsisen rjn yksikäsitteisyys seur ()-kohdst. Pisteittäinen suppeneminen on heikko ominisuus, esimerkiksi jtkuvien funktioiden muodostmn jonon pisteittäinen rjfunktio ei välttämättä ole jtkuv, kuten Esimerkki.8 osoitt. Tsinen suppeneminen säilyttää jtkuvuuden j rjoitetull välillä määriteltyjen funktioiden Riemnn-integroituvuuden. Luse.3. Olkoon A R j olkoot f k : A R jtkuvi funktioit kikill k N. Jos funktiojono (f k ) k= suppenee tsisesti kohti funktiot f : A R, niin f on jtkuv. Todistus. Tsisen suppenemisen nojll kikill ɛ > 0 on N ɛ N siten, että (.8) k N ɛ = f k (x) f(x) < ɛ x A. Olkoon x 0 A. Osoitmme, että f on jtkuv x 0 :ss. Olkoon ɛ > 0 j m N ɛ. Funktio f m on jtkuv x 0 :ss, joten on δ > 0 siten, että (.9) (x A j x x 0 < δ) = f m (x) f m (x 0 ) < ɛ. Siis (.20) f(x) f(x 0 ) = f(x) f m (x) + f m (x) f m (x 0 ) + f m (x 0 ) f(x 0 ) f(x) f m (x) + f m (x) f m (x 0 ) + f m (x 0 ) f(x 0 ) < 3ɛ epäyhtälöiden (.8) j (.9) j kolmioepäyhtälön nojll. Seurus.4. Olkoon (f k ) k= funktiojono siten, että f k on jtkuv kikill k N. Jos (f k ) k= suppenee pisteittäin kohti epäjtkuv funktiot, niin (f k) k= ei suppene tsisesti.

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 5 Esimerkki.5. () Esimerkki.8 osoitt, että jtkuvien funktioiden muodostmn jonon pisteittäinen rjfunktio voi oll epäjtkuv. (b) Olkoot f k : [0, [ R, k N, kx, kun 0 x k, (.2) f(x) = 2 kx, kun k < x 2 k, 0, kun x > 2 k. Funktio f k on jtkuv jokisell k N, j se svutt mksimins pisteessä /k: f k (/k) = k N (Kuv 2). Jokisell x [0, [ on K x N siten, että k N x = f k (x) = 0. Siis funktiojono (f k ) k= suppenee pisteittäin kohti 0- funktiot. Jos (f k ) k= suppenee tsisesti, niin Luseen.2 mukn sen tsinen rjfunktion on 0-funktio. Kuitenkin (.22) d(f k, 0) = sup f k (x) 0 f k (/k) =, x [0, [ joten (f k ) k= ei suppene tsisesti. () On tsisesti suppenevi funktiojonoj (f k ) k N siten, että f k : R R on epäjtkuv kikill k N, mutt (f k ) k N :n tsinen rjfunktio on jtkuv. (Hrjoitus) A2:st plutmme mieliin Riemnnin ehdon: Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv, jos j vin jos kikill ɛ > 0 on porrsfunktiot g : [, b] R j h : [, b] R siten, että (.23) g f h (.24) j h g < ɛ. Ehdon (.23) toteuttv funktio g on f:n lporrsfunktio j h on f:n lporrsfunktio. Luse.6. Olkoon I = [, b] suljettu j rjoitettu väli. Olkoot f k : I R, k N, Riemnn-integroituvi funktioit siten, että funktiojono (f k ) k N suppenee tsisesti kohti funktiot f : I R. () Tällöin f on Riemnn-integroituv. (b) Olkoon I. Olkoot F, F k : I R, (.25) F (x) = j (.26) F k (x) = x x f(t)dt f k (t)dt, k N. Tällöin funktiojono (F k ) k= suppenee tsisesti kohti funktiot F. Todistus. () Olkoon ɛ > 0. Kosk (f k ) k N suppenee tsisesti, on N N siten, että (.27) d(f N, f) = sup f N (x) f(x) < ɛ. x I Funktio f N on rjoitettu, kosk se on Riemnn-integroituv. On siis M > 0 siten, että f N (x) M kikill x I. Ehdost (.27) seur, että f(x) M + ɛ kikill x I, joten myös f on rjoitettu.

6 JOUNI PARKKONEN 0.8 0.8 0.6 0.6 0.6 0.8 0.6 0.8 Kuv 3. Tsisen rjfunktion integrli Funktioll f N on porrsfunktiot h j h + siten, että h f N h + j (.28) h + h < ɛ. Ehdost (.27) seur, että porrsfunktio (h + + ɛ) on f:n yläporrsfunktio, j porrsfunktio (h ɛ) on f:n lporrsfunktio. Ktso kuv 3. Lisäksi (.29) (b) Hrjoitus. (h + + ɛ) Luse.6 (b) nt erityisesti (.30) lim k (h ɛ) = d f k = h + h + 2 <ɛ + 2(b )ɛ = ( + 2(b )) ɛ. d lim f k, k jos funktiojono (f k ) k N suppenee tsisesti kohti rjfunktiot f. Derivtn suppeneminen ei ole yhtä yksinkertist: Esimerkki.7. Olkoot f k : [, ] R, f k (x) = xe kx2. (Kuv 4.) Funktio f k on jtkuv j n kert jtkuvsti derivoituv kikill n N, joten sen äärirvojen trkstelemiseksi riittää tutki pisteet ± j derivtn nollkohdt. (Tähän riittää huomttvsti vähäisempikin säännöllisyys, ktso A2.) (.3) f k(x) = e kx2 + xe kx2 ( 2kx) = ( 2kx 2 )e kx2. Siis f (x) = 0 x = ±/ 2k. Kosk (.32) pätee f k (±) =e k j ( f k ± ) = e 2, 2k 2k (.33) sup f k (x) 0 = mx f(x) = mx x [,] x [,] { } e k, e 2 0. 2k k ɛ

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 - -0.5 0.5 - - 0.75 0.5 5 - -0.5 0.5-5 -0.5-0.75 - Kuv 4. Esimerkin.7 funktioiden f, f 2, f 3, f 4, f 5 j f 00 (ylempi kuv) j niiden derivttojen (lempi kuv) kuvjt Siis (f k ) k= suppenee tsisesti kohti 0-funktiot. Luseen.6 nojll siis (.34) lim k x f k = 0. Kuitenkin f k (0) = kikill k N, mutt 0-funktion derivtt on kikkill 0. Siis derivttojen jono ei suppene edes pisteittäin kohti 0-funktion derivtt. Funktiojonon j sitä vstvn derivttojen jonon rjfunktioiden välillä on yhteys seurvn luseen tilnteess: Luse.8. Olkoot f k : [, b] R jtkuvi, välillä ], b[ derivoituvi funktioit. Jos on x 0 ], b[ siten, että lukujono (f k (x 0 )) k= suppenee j on g :], b[ R siten, että (f k ) k= suppenee tsisesti kohti g:tä, niin () funktiojono (f k ) suppenee tsisesti välillä ], b[ kohti rjfunktiot f, j (b) funktio f on derivoituv välillä ], b[ j f = g. Todistus. Funktiosrjojen yhteydessä luvuss 4. Deprtment of Mthemtis nd Sttistis, P.O. Box 35, 4004 University of Jyväskylä, Finlnd E-mil ddress: prkkone@mths.jyu.fi