Kuinka määritellään 2 3?

Transkriptio

1 Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1, Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin käsitettä. Luku 2 3 voidaan määritellä kaavalla 2 3 = sup{2 p p Q ja p 3}. Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta / 189

2 Reaalilukupotenssit Määritelmä Kun x 1, luvun x reaalilukupotenssi x r missä r R määritellään asettamalla x r = sup{x p p Q ja p r}. Kun 0 < x < 1 ja r R, asetetaan ( ) 1 r x r = x Lause Olkoon x > 0 ja r, s R. Tällöin x (r+s) = x r x s x rs = (x r ) s. Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta / 189

3 Lukujonot ja niiden raja-arvot Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta / 189

4 Lukujonon määritelmä Lukujonossa (a n ) n=1 jokaista positiivista kokonaislukua n Z + vastaa reaaliluku a n R. Määritelmä Lukujono on muotoa (a 1, a 2, a 3,...) missä a n R kaikilla n = 1, 2,.... Lukujonoa merkitään (a n ) n=1 tai lyhennetysti (a n ). Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta / 189

5 Esimerkkejä Esimerkki Kaava a n = 2 n määrää lukujonon (a n ) n=1. Tämä on siis jono (2, 4, 8, 16, 32, 64,...). Esimerkki Piin desimaalit määräävät lukujonon (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3, 3, 8, 3, 2, 7, 9, 5, 0, 2, 8, 8, 4, 1, 9, 7, 1, 6, 9, 3, 9, 9, 3, 7, 5, 1,...). Tämä on hyvin määritelty lukujono, vaikka ei olekaan selvää kaavaa, joka antaisi jonon alkiot a n. Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta / 189

6 Huomautuksia 1 Lukujono (a 1, a 2,...) voidaan ajatella funktioksi f : Z + R missä f (n) = a n kaikilla n = 1, 2, Lukujonon indeksointi voi alkaa myös muusta kokonaisluvusta kuin 1. Esimerkiksi jonoa (0, 1, 2, 3,...) voidaan merkitä (a n ) n=0, a n = n. 3 Jono (a n ) n=1 voidaan esittää graafisesti kuvaajan avulla, esittämällä pisteparit (n,a n ) (x,y)-tasossa. Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta / 189

7 Lukujonon graafinen esitys (π:n desimaalijono) a n n Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta / 189

8 Jonon a n = 1/n kuvaaja a n 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0, n Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta / 189

9 Esimerkki Tutkitaan jonoa (a n ) n=1, missä a n = 1 n. Kuinka suuri luvun n tulee olla, jotta luvun a n etäisyys luvusta 0 on pienempi kuin 0,1? Kuinka suuri luvun n tulee olla, että luvun a n etäisyys luvusta 0 on pienempi kuin 0,03? Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta / 189

10 Raja-arvon määritelmä Määritelmä Luku a R on jonon (a n ) n=1 sellainen N ɛ Z + että raja-arvo mikäli kaikilla ɛ > 0 on olemassa Merkitään a a n < ɛ kaikilla n > N ɛ. a = lim n a n tai a n a kun n. Tällöin sanotaan, että jono (a n ) n=1 suppenee pisteeseen a. Jos jono ei suppene mihinkään pisteeseen sanotaan, että jono hajaantuu. Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta / 189

11 Formaali versio ja tulkinta Raja-arvon määritelmä voidaan kirjoittaa lyhennysmerkinnöin seuraavasti. Luku a on jonon (a n ) n=1 raja-arvo mikäli ɛ > 0, N ɛ Z +, n > N ɛ : a a n < ɛ. Määritelmän tulkintaa: Jonon alkiot saadaan mielivaltaisen lähelle raja-arvoa a, kun edetään tarpeeksi pitkälle jonossa ja tämä koskee kaikkia jonon alkioita jostain tietystä kohdasta alkaen. Tässä mielivaltaisen lähelle viittaa lukuun ɛ, joka on mielivaltainen virhetermi (voi olla kuinka pieni tahansa kunhan on aidosti positiivinen). Vastaavasti tarpeeksi pitkälle viittaa indeksiin N ɛ, joka yleensä riippuu luvusta ɛ. Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta / 189

12 Geogebra-demo jonon suppenemisesta Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta / 189

13 Esimerkki suppenevasta jonosta Perustellaan tarkasti että jonon ( 1 n ) n=1 raja-arvo on 0. Jokaiselle ɛ > 0 pitäisi löytää sellainen luku N ɛ Z + (joka saa riippua luvusta ɛ) että 0 1 < ɛ n kaikilla n > N ɛ eli 1 n < ɛ kaikilla n > N ɛ. Aiemmassa esimerkissä huomattiin että 0 1 < 0,1 kaikilla n > 10. n Jos siis ɛ = 0,1, niin luku N 0,1 = 10 toteuttaa vaaditun ehdon. Myös mikä tahansa muu kokonaisluku N > 10 kelpaisi N 0,1 :n arvoksi. Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta / 189

14 Esimerkki jatkuu... Kun ɛ = 0,001, voidaan valita N 0,001 = 1000: 1 < 0,001 kaikilla n > n Olkoon nyt ɛ > 0 mielivaltainen (eli mikä tahansa positiivinen luku, emme vain tiedä mikä). Asetetaan 1 N ɛ = ɛ missä merkitsee ylöspäin pyöristystä. Tällöin 1 n < ɛ kaikilla n > N ɛ. Täten määritelmän ehto toteutuu (jokaiselle ɛ > 0 löytyy sopiva N ɛ ) ja täten 1 lim n n = 0. Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta / 189

15 Esimerkki hajaantuvasta jonosta Jono ( 1, 1, 1, 1, 1, 1,...) ei suppene mihinkään pisteeseen. Oletetaan että a on jonon (a n ) n=1 raja-arvo, kun a n = ( 1) n. Asetetaan ɛ = 0,5. Määritelmän nojalla on olemassa sellainen N ɛ Z +, että a a n < ɛ kaikilla n > N ɛ. Olkoon k = 2N ɛ ja l = k + 1 jolloin k > N ɛ ja l > N ɛ. Täten 2 = 1 ( 1) = a k a l = a k a + a a l a k a + a a l = a a k + a a l < ɛ + ɛ = 1, missä käytettiin hyväksi myös kolmioepäyhtälöä. Tämä on ristiriita, joten raja-arvoa a ei voi olla olemassa. Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta / 189

16 Jonon a n = ( 1) n kuvaaja a n 1 n 1 Pekka Salmi FUNK 27. syyskuuta / 189