Luento 6. Järjestelmät

Lueno 6 Järjeelmän (yeemin) äie ja luoiue Lineaarinen aia invariani järjeelmä Impulivae Siirofunio Sabiiliuu Järjeelmien ooaminen oia..7 Järjeelmä Järjeelmä / Syeemi / Proei on objei, joa määriää relaaio ignaalijouon välillä. Järjeelmän ignaali jaeaan uein ulouureiiin ja lähöuureiiin Tuloignaali ova järjeelmää riippumaomia Lähöignaali iälävä järjeelmän uoamaa informaaioa. Tyypilliei järjeelmä reagoi lähöignaaleihin ja uoaa niiden perueella lähöignaali. Tällöin ulo- ja lähöignaalien välillä valliee aualieeiuhde. ulouuree SYSTEEMI lähöuuree..7

Järjeelmä Järjeelmän ulouuree jaeaan uein manipuloiaviin uureiiin ja ei-manipuloiaviin uureiiin (häiriö) Häiriö Manipuloiava ulouuree SYSTEEMI lähöuuree Järjeelmiä voidaan luoiella niiden ulo- ja lähöuureiden määrien muaan SISO Single Inpu-Single Oupu MISO Muliple Inpu Single Oupu SIMO Single Inpu Muliple Oupu MIMO Muliple Inpu Muliple Oupu..7 3 Järjeelmä Järjeelmä voidaan ajaella operaaorii F(.), joa uvaa ulouureen lähöuureei. (vr. mariiilla A erominen on uvau veorila x veorille y=ax) Eimerejä järjeelmä-operaaoreia: F( x ( )) = h( τ ) x ( τ ) d Konvoluuioinegraali = ( π ) Lineaarinen modulaaio F( x ( )) x ( )co f c..7 4

Järjeelmä Proei on auaalinen, jo vaeen y():n raaiemiei ajanheellä ei arvia heräeen ulevia arvoja u(τ), τ Jauva-aiainen proei: Seä ulo- eä lähöuuree ova jauva-aiaiia ignaaleja y()=f(u()) Dieei-aiainen proei: Seä ulo- eä lähöuuree ova direeiaiaiia ignaaleja y()=f(u())..7 5 Järjeelmä Lineaarinen järjeelmä: Järjeelmän oimina ei riipu heräeen ampliudia ja vaiheea. Sen uvaamieen riiää lineaarinen operaaori F: F(ax()bu())=aF(x())bF(u()) Eim. Paiiviia omponeneia oouva ähöpiiri Epälineaarinen järjeelmä: Järjeelmän generoima vae riippuu heräeen ampliudia ja ai vaiheea a : F(ax()) af(x()) Eim. Tehovahviin..7 6 3

Järjeelmä Deerminiinen järjeelmä Jo järjeelmän ila unneaan ieynä ajanheenä voidaan en vae ennuaa arai unneulle heräeelle. Eim. Eleroninen ai meaaninen järjeelmä Aia invariani järjeelmä: Järjeelmän oimina ei riipu ajaa. Aijan uheen muuuva järjeelmä: Järjeelmän oimina muuuu ajan funiona. Sen vae ii riippuu iiä minä ajanheenä heräe järjeelmään yöeään. Soainen aunnainen järjeelmä / proei Vaia järjeelmän ila ieynä ajanheenä unneaiiin, ei en vaea unneulle heräeelle voida ennuaa vaan e on aunnainen. Eim. Radioanava Saionäärinen oainen proei: Proein ilaollie ominaiuude eivä riipu ajaa. Epäaionäärinen proei: Proein ilaollie ominaiuude vaiheleva ajan muaan...7 7 Sabiiliuu Deerminiinen järjeelmä on BIBO (bounded inpu bounded oupu) abiili, jo ampliudirajoieun heräeen vae on ampliudirajoieu x() < F x() < ( ) Jo on olemaa x () < ien, eä F( x() ),, mua ampliudi rajoieun ini-muooien ignaalin vae on ampliudirajoieu ini-muooinen ignaali x() = Aco( π f φ), A < F( x() ) < järjeelmää uuaan marginaaliei abiilii. Muuoin järjeelmää uuaan epäabiilii...7 8 4

Lineaarinen aiainvariani järjeelmä u() h() y() Jauva-aiaien LTI-järjeelmän oiminaa uvaa lineaarinen differeniaaliyhälö n n m m d d d d y () a y () ay n () b u () b u () bu () n n m m m d = d d d joa n on järjeelmän eraluu Jo m n, niin järjeelmä on aio (proper): Vae ei riipu heräeen derivaaaa d/d u() Jo m<n, niin järjeelmä on vahvai aio (ricly proper): Tulouuren u arvo ajanheellä, u(), ei vaiua lähöuureen y arvoon ajanheellä, y()...7 9 Yleinen eiyapa LTI-järjeelmä n n d y() d u() a = b d = d = Jo m<n, niin määriellään b_=, =m,m,,n Aiaderivaaaa meriään uein pieellä d v () = v () d d v () = v () d n ( n) d v () = v() n d..7 5

Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Sähöpiirien peruomponeni Vau (reiani) v () = Ri () R i() Kela (induani) di() v () = L d Kondenaaori (apaiani) dv() i () = C d v () = id () C v() L i() v() C i() v()..7 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Meaanien järjeelmien peruomponeni Eenevä liie: Maaappale (ineria) dx () Fm( ) = m d Joui F () = Δ x() = ( x() x ()) Vaimennin dδx() dx() dx() Fb( ) = B = B d d d m x() x () B x () x () x ()..7 6

Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Meaanien järjeelmien peruomponeni Pyörivä liie: Hiaumomeni d θ() T () = J d J θ() J Väänöjoui T () = Δ θ() = ( θ () θ ()) θ() θ() Väänövaimennin dδθ() dθ() dθ() Tb( ) = B = B d d d θ() B θ()..7 3 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Viraujärjeelmien peruomponeni Läpivirauäiliö dv() = F () F () d Ideaalieoiin dv() C() = FC () () FC () () d Puiviive V C() = C( Td ()) = C F () Virau auon läpi F () = AR () Δ p () = AR () p() p() Tämä on eimeri epälineeaariea omponenia F () C () V() C () F () C () C () p () F () F() R A() V() F() V p () F () C ()..7 4 7

Eimeri Jännie x() on ulouure ja jännie y() lähöuure i( ) i( ) (a) (b) dy() di() i () = C y () = L d d x () = Ri () y () x () = Ri () y () x () y () x () y () i () = i () = R R di() dy() y () = L = i () d d C L dx() dy() y () = dy() = y () x () R d d d RC RC dy() R dx() = y () d L d..7 Vahvai aio järjeelmä 5 Aio järjeelmä Eimeri Jännie x() on ulouure ja jännie y() lähöuure i ( ) i ( ) dx( ) di( ) i( ) i( ) x() = Ri() i() i() d R C = d d C di () x() = Ri() L y() =, y() = i() R d Järjeelmää uvaa ny. aeen differeniaaliyhälö d y( ) R dy( ) y () = x() d L RC d LC LC..7 6 8

LTI-järjeelmä Sähöpiiriä uvaavien differeniaaliyhälöiden aeluu viiaa niiä eiinyvien varaoelemenien (ondenaaori ja ela) luumäärään. Jo piiriä ei ole varaoelemenejä, iä uuaan muiiomai. Eimeri muiiomaa piiriä: x() y ( ) R R R () = x() y..7 7 Laplace-muunno Signaali on auaalinen, jo v()=, un <. Kauaalien ignaalin Fourier-muunno Kauaalien ignaalin Laplace-muunno Jo Laplace muunno onvergoiuu alueea Re{}, aadaan iiä Fourier muunno valiemalla =iπf...7 8 9

Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Laplace-muunno Määrielmä: (f() on ajan funio ja F() on iä vaaava Laplace-aon eiy) { } F () L f () fe () d = = { } f () = L F() = F( ) e d iπ Jo raja-arvo ova olemaa, niin niille päee b i b i Loppuarvoeoreema Aluarvoeoreema lim f ( ) = lim F( ) lim f ( ) = lim F( ) Laplace-auluo on eiey eri läheiä hieman erilaiina (yleenä joo niin, eä ajan funio on helppo Laplacemuunaa ai niin, eä Laplace-aon eiy voidaan ääneimuunaa helpoi...7 9 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Laplace-eoreemoja Laplace-muunno Ajan funio F () f () T CF() CF() C f() C f () T a F ( a) e f ( ) T3 a, a e F() f ( a), > a T4 F a a f( a) T5 d F () d f () T6..7

Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Laplace-eoreemoja Laplace-muunno Ajan funio F( σ) dσ f( ) T7 F() F() f () τ f ( τ) dτ T8 F() f () f () T9 ( ) ( ) F () f() f() f() T n n n ( n ) ( n) ( ) () () () ( ) T F f f f f F() f() τ dτ f() τ dτ =..7 T Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Laplace-muunnopareja Laplace-muunno Ajan funio Laplace-muunno Ajan funio δ( ) M b a ( e e ) M9 ( a)( b) a b M b a ( ae be ) M ( a)( b) ab abb ( a) M3 a n in( a) M M4 a n n! co( a) M a e M5 a a a b e in( a) M3 a e M6 ( b) a ( a) b b n a e co( a) M4 e ( b) a M7 n ( a) n! a b δ() ( a b) e M5 ( a b e ) M8..7 ( a) a

Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Deerminiie eifunio Syeemin heräeenä u() äyeään uein euraavia ignaaleja Yiöimpulifunio (Diracin delafunio) R u() ; uδ () = δ() = S = zδ( d= ) ; muulloin Uδ () = Δ() = T Yiöaelfunio R u () ; = S T ; > Yiöpengerfunio R u () ; r = S T ; > U( )= Ur( )= u()..7 3 u() LTI-järjeelmä u() h() y() Taraellaan lineaaria aiainvariania järjeelmää n n m m d d d d y () an y () ay () bm u () bm u () bu (), n m n = n m m d d d d Oleeaan, eä järjeelmän aluarvo ova nollia: y () ()=d /d y()= un u () ()=d /d u()= un..7 4

LTI-järjeelmä Derivaaan Laplace-muunno LTI-järjeelmän Laplace muunno n n m d d d () () () n = d = d = d L y a y L b u n m n l a l Y() = b U() l= = Siirofunio m b Y() = H() = n U() n l a l =..7 5 Impulivae LTI-järjeelmälle päee yleiei Y() = H() U() Käyeään heräeenä impulia u()=δ(). U() = L{ δ () } = Y() = H() U() = H() H() on Impulivaeen Laplace muunno. Impulivae (painofunio) h() aadaan ääneimuunnoena: h () = L { H() } Laplace-muunno löyyy vaia järjeelmä olii epäabiili...7 6 3

Impulivae Lineaarien järjeelmän iirofunio voidaan eiää ahden polynomin M() ja N() avulla M() H() = = K N () M ( ) M z ( ) z...( zmz ) N ( ) N p ( ) p...( pn ) Mm z Nn z z Polynomin M() nollaohda M(z )= ova nimelään nollia (zero) M on nollan z aeluu M M M n_z =m Polynomin N() nollaohda N(p )= ova nimelään napoja (pole) N on navan p aeluu N N N n_p =n Yhälö N()= on nimelään araeriinen yhälö K> on vaio..7 7 Oamuroehielmä Oamuroehielmä iirofuniolle H(): np Ni Cij H() = K j i= j= ( pi ) C C C N = K... ( p ) ( p) ( p) C C C n... ( p ) n ( p) ( p)... Keroime N Cn C p n C p npnp... N n ( pn ) ( ) ( ) p p pn p p n p N i j d N ( ) ( ) i M Cij = z pi ( N )! Ni j i j d N( ) = pi..7 8 4

Eimeri (/3) Tehdään oheielle iirofuniolle oamuroehielmä 3 H() = ( ) ( ) Ooiaja ja nimiäjä polynomi: M() = ( 3) z = 3 ( ( )) ( ( )) N () = p = p = N = N = Aeluu on 3 Oamuroehielmä ulee olemaan muooa C C C H() = ( ) ( ) ( )..7 9 Eimeri (/3) Keroime laeaan aavalla: N i j d N ( ) ( ) i M Cij = z pi ( N )! Ni j i j d N( ) = pi Eli N d N ( ) M( ) C = z p ( ) i N! N N( ) d = p d 3 = = =! d = ( ) = N d N ( ) M( ) 3 C = z p ( ) i N! N d N() =! = = p = N d N ( ) M( ) 3 C = z p ( ) i N! N d N( ) = =! = p ( ) =..7 3 5

Eimeri (3/3) Kooaan uloe yheen: H() = ( ) ( ) Taraeaan vielä ( )( ) ( ) ( ) H() = ( ) ( ) ( ) 3 = = 3 ( ) ( ) ( ) ( ) OK..7 3 Impulivae LTI-järjeelmän impulivae voidaan irjoiaa muooon np Ni H() = K Cij j i= j= ( pi ) Kääneimuunno aadaan ovelamalla aavaa (M7) n a e L = n n! ( a) jolloin impulivaeei aadaan np N i C ij h () = L { H() } = L K j i= j= ( pi ) np Ni Cij j p = K e i i= j= ( j! )..7 3 6

LTI-järjeelmälle päee Y() = H() U() ( ) ( ) y () = hτ u τ dτ Sabiiliuu Oleeaan, eä heräeignaali u() on ampliudirajoieu u() M< Vae y() on ampliudirajoieu ja järjeelmä on abiili, jo ( ) ( ) ( ) y () hτ u τ dτ M hτ dτ < Toiin anoen, järjeelmä on abiili, miäli impulivae h() on ieiei inegroiuva h ( τ) dτ <..7 33 Sabiiliuu LTI-järjeelmän impulivae on muooa n Ni Cij j p h () = e i i= j= ( j! ) miä nava p ova ompleiluuja Jo Re{p }<, niin n Ni Cij j p h () = e i i= j= ( j! ) un ja h ( τ) dτ <..7 34 7

LTI-järjeelmä Jo järjeelmä on abiili, niin h():n ja y() Fourier muunno unneaan (y() on energiaignaali). Fourier-muunuvan ignaalin y() derivaaa voidaan lauua Y(f):n avulla: d F y() ( i π f ) Y( f) = d Oleeaan, eä heräe on Fourier-muunuva d F U() ( i π f ) U( f) = d..7 35 LTI-järjeelmän Fourier muunno Fourier muunneaan aluperäinen differeniaaliyhälö n n d d F y() an F y() a F{ y() n n } = d d m m d d m m m { } bf m u () b F u () F bu () d d Muunnoei ulee ( ) n m n l iπ f al( i π f ) Y( f) = b ( i π f ) U( f) l= = Suhdea Y(f)/U(f) uuaan järjeelmän iirofunioi Y( f) H( f) = U( f) m = ( π ) b i f n n l ( iπ f ) al ( iπ f ) =..7 36 8

Nava Nava aadaan raaiua araeriiea yhälöä N ( ) N ( ) N N() = p p...( p ) n N = = p =,,..., n Reaalien järjeelmälle h() nava eiinyvä omplei onjugaaipareina N () = ζω ω = ζω ± iω ζ ζ < = ζω ± ω ζ ζ ζ ω vaimennuerroin ominaiaajuu alivaimenneu ylivaimenneu Sabiiliuualue p = ωζ i ζ ω * p = ωζ i ζ ω ς = co( α) α Im Re..7 37 Nava Komplein napaparin vaiuu impulivaeeeen.6 Impule Repone ω H() = ζω ω Reonaniaajuu ωr = ω ζ Ampliude.5.4.3.. ζ< ζ= ζ> Underdamped Criically damped Overdamped ζ abiili, ei värähele ζ< abiili, värähelee ζ= marginaaliei abiili, värähelee, ei vaimene - ζ epäabiili, värähelee ζ - epäabiili, ei värähele -. 5 5..7 38 Ampliude 5 5-5 - -5 Sable Marginally able Unable Time (ec) Impule Repone - 5 5 Time (ec) 9

Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Nava Eäiyy imaginääriaelia uvaa eponeniaalia äyäyymiä (miä auempana imaginääriaelia ollaan iä nopeammin impulivae aavuaa loppuarvona (vaemmaa puoliaoa) ai araa ääreömyyeen (oieaa puoliaoa). Eäiyy reaaliaelia uvaa värähelyn aajuua (miä auempana reaaliaelia ollaan iä uurempi aajuu). Järjeelmä on iä nopeampi miä auempana en nava ova origoa Nopea eponeniaalinen äyäyyminen Im Hida eponeniaalinen äyäyyminen Re Nopea eponeniaalinen äyäyyminen oreaaajuinen värähely Im maalaaajuinen värähely Re maalaaajuinen värähely oreaaajuinen värähely..7 39 Im Nopea Nopea Re Hida Nopea Nopea Eimeri (/3) Taraellaan eimerin ähöpiiriä d y() R dy( ) y() = x() d L RC d LC LC R=, C=, L= Raaiaan iirofunio Laplace-muunamalla: d y( ) dy( ) y () = x() d d ( ) Y( ) = X ( ) Y() H() = = X ( ) ( )..7 4

Eimeri (/3) Nava N () = = ( p)( p) = ( ) i p = = ω i = =, ζ = p Re{p }<, joen järjeelmä on abiili. Oamuroehielmä Y() A B H() = = = X ( ) ( ) p p A pa B pb = ( p)( p) : A B= B= A : p A p B= ( i) A ( i) ( A) = A= i..7 4 Eimeri (3/3) Siirofunioi aadaan H() = i i i Kääneimuunno anaa ( i ) ( i ) ( ) () h () e e e in i a { } Le = a ix ix = = in( x) = ( e e ) i.35.3.5. h().5..5..7 -.5 3 4 5 6 7 8 9 4

Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Sabiiliuuei Jo unneaan yeemin nava (nimiäjäpolynomin nollaohda), niin abiiliuu on helppo odea. Juure voidaan määriää numeeriea polynomia ieraiiviilla laenaruiineilla (uen omenno eig, roo ai pole MATLABia). Eim. polynomille 3 4 roo([ 4 ]) an = -.36.8.77i.8 -.77i Jo join polynomin eroimia on nolla ai negaiivinen, niin polynomilla on vähinään yi juuri imaginääriaelilla ai oieaa puoliaoa...7 43 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Rouhin aavio Symbolieen laenaa oveluu Rouhin aavio: n a a a a a n a a a a a n b b b b n 3 b b b b n 4 c c c n 5 c c c z z 4 6 8 3 5 7 9 4 6 3 5 7 4 3 5 n n a a a a n..7 44 n a a a a a a b =, b =, b =, 4 6 4 a a a3 a a a5 a a a7 a a a a a a b =, b =, b =, 3 5 7 3 5 b b b b b b4 b b b6 b b b b b b b =, c =, c =, 4 6 4 b b b 3 b b b5 b b b7 z = a n Deerminani a a = a a a a a a

Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Rouhin aavio Rouhin aavion enimmäieä araeea olevien merinvaihojen luumäärä on amalla myö polynomin oieaa puoliaoa olevien juurien luumäärä. Jo yeemin araeriinen polynomi ijoieaan Rouhin aavioon, niin yeemi on abiili, jo enimmäieä araeea ei ole ainoaaaan merinvaihoa. Jo aavioa muodoeaea en enimmäieen araeeeen ulee nolla, niin en ilalle aavioon ijoieaan pieni poiiivinen luu ε ja jaeaan aavion muodoamia. Lopulliea aavioa voidaan laea merinvaihdo uimalla ε:a riippuvien ermien raja-arvo, un ε. Miäli aavioon muodouu oo rivi nollia, niin väliömäi nollariviä ylemmää riviä voidaan muodoaa polynomi, jolla aluperäinen polynomi on jaollinen...7 45 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Polynomi: Eimeri: Rouhin aavio 3 4 4 3 4 6 4 3 4 4 6 3 4 4 5 / 5 Kai merinvaihoa - ja - eli ai juura oieaa puoliaoa Ei merinvaihoja enimmäieä araeea eli ei juuria oieaa puoliaoa..7 46 3

Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Eimeri: Rouhin aavio Polynomi: 3 3 Saadaan nollarivi, jolloin ylemmälä rivilä aadaan polynomi jolla aluperäinen polynomi on jaollinen. Laeaan ämän polynomin derivaaa :n uheen ja ijoieaan e aavioon ja jaeaan d d ( ) =..7 Ei merinvaihoja, joen ei juuria oieaa puoliaoa 47 3 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Eimeri: Rouhin aavio Polynomi: 4 3 3 4 4 3 4 3 ε ( ε 36)/ ε 36 lim ε εε UVW = RST Enimmäieen araeeeen ulee nolla, jolloin orvaaan e pienellä poiiiviella luvulla ε ja jaeaan aavion muodoamia 4 3 4 3 ai merinvaihoa - ja - ai juura oieaa puoliaoa..7 48 4

Järjeelmien ooaminen oia Lineaarien järjeelmien apauea yiäiinen oayeemien malleia pääään laajojen järjeelmien malleihin lohoaavioalgebran avulla. Lohoaavioalgebraa peruelemenejä ova oajärjeelmiä uvaava iirofunio Siirofunio voiva peruua impulivaeen Laplace-muunnoeen H() Fourier-muunnoeen H(f) [=iπf]..7 49 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Lohoaaviomuunnoe: Signaali Lohoaavioia yiäinen ignaali voidaan viedä ueaan eri lohoon (ignaalin haaraanuminen). Lohoaavio on informaaioaavio ja informaaioa jaeaea e ei vähene vaan moniuu. Joaiea haaraa ulee ama informaaio. Y() = Y() = Y() = U() 3 U() Y () Y () Y 3() Eri ignaali voidaan yhdiää ummaelimen avulla. Summaelimeä voidaan ignaali laea yheen ai vähenää oiiaan. Eumeri ummaelimeä ignaalin ohdalla erova ignaalin eumerin ummalaueeea. Y () = U() U() U () U () U () U 3()..7 3 5 _ Y() 5

Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Signaalin uleminen lohon läpi Lohon lähöignaali (vae) aadaan eromalla uloignaali (heräe) lohon iirofuniolla U() G() Tämän peruaavan avulla voidaan johaa muunnoaava lohojen arjayennälle. Oeaan äyöön apumuuuja ε (), joa myöhemmin eliminoidaan U() G () Y () = G ()() ε Y () = G() G() U () = GTOT () U () ε () = G U() G () = G() G () TOT Y() = G()U() ε () G () Y() U() G ()G ()..7 5 Y() Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Signaalin uleminen lohon läpi Johdeaan ny muunnoaava rinnanyennälle U() ε() G () U() Y() U() ε() G () Y () = ε() ε() ε() = G() U() Y() = G() U() G() U() ε () = G() U() Y () = G() G() U () = G () U () G () = G() G() ( ) TOT TOT U() Y() G () G ()..7 5 6

Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Signaalin uleminen lohon läpi Taaiinyennän (ilmuayennän) muunnoaavai aadaan U() ε() Y() G () _ ε() Y() G () RY () = G() ε() S ε() = U() ε() Y () = G() bu () G() Y () g T ε () = G() Y() Y() = G() U() G() G() Y() b G() G() gy() = G() U() G () Y () = G G U () = G U G G () TOT () () TOT () = () () G() G () U() G () G ()G ()..7 53 Y() Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Lohoaaviomuunnoe: Peruyennä Peruyenöjen lohoaaviomuunnoe oouna: Sarjaan U() G () G () Y() U() G ()G () Y() Rinnan U() Silmuaan U() _ G () G () G () Y() Y() U() U() G () G () G () G ()G () Y() Y() G ()..7 54 7

Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Limiäie raenee Jo järjeelmää on limiäiiä raeneia, niin lohoaaviomuunnoe voidaan raaia algebralliei - uen perumuunnoaavoja johaea ai eliminoimalla limiäie raenee (iirämällä umma- ja haaraanumipieiä lohojen yli) ja ien äyämällä perumuunnoaavoja. Ei limiäiiä raeneia Limiäiiä raeneia..7 55 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Summa- ja haaraanumipieiden iirro Summapieen iiro vaaviraan ja myöäviraan - raaiaan G X U G U G X U G Y U b g b g Y= GU GU = G GU U = GG U GU x x GG = G G = G G x x G Y U G U G X U G Y U Y G b g b g Y= G GU U = GG U GU = GU GU x..7 56 Gx = GG 8

Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Summa- ja haaraanumipieiden iirro Haaraanumipieen iiro vaaviraan ja myöäviraan G Y G X Y U Y G G Y R S T Y = GGU = G U Y = GU U Y X G G = GG X Y G X U Y G G R S T Y = GU = G GU U Y X G= GXG GX = G G..7 Y = GU 57 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Summa- ja haaraanumipieiden iirro G G/G G G G GG G G G G/G G G G GG G..7 58 G 9

Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Summa- ja haaraanumipieiden iirro Summapieiden järjeyä voidaan vaihaa oien ummapieiden välillä U U U _ Y U _ Y Y = U U U3 U 3 U 3 Haaraanumipieiden järjeyä voidaan vaihaa oien haaraanumipieiden välillä Y Y U Y U Y Y = Y = Y3 = U Y 3 Y 3 Summapieiden ja haaraanumipieiden väliä järjeyä ei voida vaihaa..7 59 Nolla- ja yöloho Miäli lohon iirofunio on nolla, niin aiilla ulouureen arvoilla lähöuure on aina nolla. Tämä loho uvaa informaaioaoa - loho, iihen uleva ja iiä lähevä ignaali voidaan jäää poi lohoaavioa. U G Y U G Y..7 6 3

Nolla- ja yöloho Miäli lohon iirofunio on yi, niin aiilla ulouureen arvoilla lähöuure on aina ama uin ulouure ja yeinen loho voidaan jäää aavioa poi. Järjeelmien lohoaavioa on uein meriy loho miauelle ai oimilaieelle ja miäli oleeaan ideaalinen miau ai oimilaie, niin näiden lohojen iirofunio voidaan orvaa yöellä - ja jäää oonaan poi lohoaavioa. U G Y U G Y U G Y..7 6 Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Eimeri: limiäie raenee Raaiaan oheien järjeelmän oonaiiirofunio uloignaalia R lähöignaaliin Y algebralliei G () R() E() U() Y() G () G 3() _ R S T Y= GU G E U = GE 3 E= R GU 4 R S T Y GG G 3 = GG R = G R TOT 4 G 4() Y= GG E G E 3 E= R GG E Y= GG G E GG E= R..7 6 4 R S T b b 3 4 g g 3

Peruuu urin AS-74. Analoginen ääö luenomaeriaaliin Eimeri: limiäie raenee Raaiaan oheien järjeelmän oonaiiirofunio uloignaalia R lähöignaaliin Y lohoaaviomuunnoilla Siirreään E:n haaraanumipie U:n haaraanumipieen luo (haaraanumipieiden järjey voidaan vaihaa eenään), jolloin pääään eroon limiäiiä raeneia ja voidaan äyää aiaiemmin johdeuja peruyenöjen aavoja. G () R() E() U() Y() G () G 3() _ G 4() G ()/G () R() E() U() Y() G () G 3() _ G 4()..7 63 Eimeri: limiäie raenee Saadaan ama ulo uin lohoaavioalgebralla R() G () G ()G 4() U() G ()/G () G 3() Y() R() G () G ()G 3 () G ()G 4 () Y()..7 64 3

Lohodiagrammi Taraellaan n dimenioia lineaaria järjeelmää n = d = Inegroidaan molemma puole ( ) ( ) ( ) ( ) a y a y d a y dd a y d d n n n n n d y() d u() a = b d () () () () = bx b xd b xdd b xd d Raaiaan y() n ( y() = an y() d an y() dd a n () () () ) bx b x d b x dd n n n..7 65 b n Lohodiagrammi u ( ) y ( ) Σ Σ a n bn bn b Σ Σ Σ Σ Σ Σ a n a n a a..7 66 33

Lohodiagrammi Lohodiagrammia voidaan yineraiaa ( ) n d y() u() a = = d Inegroidaan yhälö ny n eraa () () ( ( ) ()) ( n () n ()) ( () ()) ay bu a y b u d n n n n a y b u dd a y b u d d ( y () = bu n () ( an y() bn u ()) d a n ( an y () bn u() ) dd ( ay () bu () ) d d)..7 67 Lohodiagrammi u() y( ) b n Σ a n bn bn Σ Σ a n a n b..7 Σ a 68 34

Eimeri Taraellaan. eraluvun järjeelmää 4 y y y = 3x x Inegroidaan molemmin puolin 4y = yd ydd 3 xd xdd x ( ) -3 Σ Σ Σ - 4 y()..7 69 Eimeri Vaihoehoiei 4 y y 3x = y x= z z = 4y y 3x z = z y 3x= 4y z = 4y y( ) x() z ( ) -3 Σ ( ) 4..7 7 z z ( ) Σ - 35

Lohodiagrammi Mielivalainen lineaarinen aiainvariani järjeelmä voidaan realioida äyäen joo derivaaoreia ai inegraaoreia. Boden vahviuäyrä deg Boden vaiheäyrä Derivaaori db/de ω 9 Inegraaori Boden vahviuäyrä -db/de Derivaaori vahviaa oreia aajuuia ja on ien herä ohinalle. Inegraaori puoleaan uodaaa ohinaa. => Lineaarinen järjeelmä annaaa realioida äyäen inegraaoreia..7 7 ω deg -9 Boden vaiheäyrä ω ω Operaaiovahviin Operaaiovahviin (Op-Amp) on inegroiu piiri Op-Amp omaa ai iäänuloa (non-invered ja invered -) Ominaiuuia Hyvin uuri vahviu (A> 6 ) Eriäin uuri iäänmenoimpedani Suurea impedania johuen, iäänmenevä virra ova lähe nollaa i = i Jo äyeään negaiivia aaiinyenää, niin v v v v i - v i ( ) v = A v v..7 7 36

Käyännöllinen inegraaori Analoginen inegraaori voidaan oeuaa äyäen operaaiovahviina Virual ground v v = i( ) v ( ) x( ) dy i() = C, i = i d R dy () x () = RC d () v y() = x() d RC..7 73 37