98 kotitehtävä ------------------------------------------------Esimerkki: Isotrooppinen 100 :n lamppu on 2.0 m:n korkeudella lattiasta (ks. edelliset esimerkit). Sen säteilyintensiteetti on I e = 8.0 sr ja lattiaan kohdistama säteilytysvoimakkuus Ee = 2.0 2. m Oletetaan, että kaikki teho emittoituu punaisena (650 nm) valona. Laske valovoima ja valaistusvoimakkuus lattialla lampun alla. Ratkaisu: Herkkyyskäyrästä luetaan V (650nm)» 0.10, joten K (650nm) = 685 0.10 = 68.5, ja lasketaan valovoima I v = 8.0 68.5» 550 sr sr ja valaistusvoimakkuus Ev = 2.0 2 68.5 = 137 2» 140 lx m m ------------------------------------------------Esimerkki: Pieni valonlähde, jonka pinta-ala on 50 cm2, säteilee isotrooppisesti 500 :n teholla valoa, jonka aallonpituus on 500 nm. Laske a) lähteestä tuleva valovirta, b) lähteen valovoima, c) lähteen pinnan valaisemisvoimakkuus, d) valaistusvoimakkuus levyllä joka on 2 m:n etäisyydellä ja kohtisuorassa tulevaa valoa vastaan, e) levyssä olevan pienen reiän läpi pääsevä valovirta, kun reiän halkaisija on 5 cm.
99 Ratkaisu: Lähteen säteilyvirta F e= 500 ja siän herkkyyskäy-rästä luemme 500 nm:n kohdalta V (500nm)» 0.3. = 103 103 b) Valovirta jakautuu tasaisesti kaikkiin suuntiin, eli avaruuskuaan w = 4p. Valovoimaksi saamme a) Valovirta F v = 500 0.3 685 F v 103 103 = = 8196» 8200cd Iv = w 4p sr sr c) Lähteen pinnalta valovirta lähtee 50 cm2:n alalta, joten valaisemisvoimakkuus on F v 103 103 6 = = Mv = 20.6 10 A 50 10-4 m 2 m2 d) Valovirta jakautuu tasaisesti 2 m:n säteiselle pallopinnalle, joten valaistusvoimakkuudelle 2 m:n etäisyydellä laskemme F v 103 103 = 2 = 2049 2» 2.0 103 lx Ev = A 4p (2 m) m e) Pienen reiän pinta-ala on A = p r 2, r = 2.5 cm. Reiän kohdalla valaistusvoimakkuus on kohdan d) mukainen, joten valovirta reiän läpi on F v = Ev A = 2049 2 p (2.5 10-2 m) 2 = 4.0 m -------------------------------------------------
Suureet vielä englanniksi: 100 Radiometriset: 1 Säteilyenergia Radiant energy 2 Säteilyenergian tiheys Radiant energy density 3 Säteilyvirta Radiant flux 4 Säteilemisvoimakkuus Radiant exitance 5 Säteilytysvoimakkuus Irradiance 6 Säteilyintensiteetti Radiant intensity 7 Radianssi Radiance Fotometriset: 1 Valomäärä Luminous energy 2 Valomäärän tiheys Luminous energy density 3 Valovirta Luminous flux 4 Valaisemisvoimakkuus Luminous exitance 5 Valaistusvoimakkuus Illuminance 6 Valovoima Luminous intensity 7 Luminanssi Luminance
101 4.8 MUSTAN KAPPALEEN SÄTEILY (Blackbody radiation) Musta kappale on kappale, jolla on täydelliset absorptio- ja emissio-ominaisuudet. Musta kappale absorboi kaiken siihen osuvan säteilyn. Toisaalta se on myös täydellinen emittoija. Mikään kappale ei voi samassa lämpötilassa emittoida enemmän kuin musta kappale. Mustan kappaleen säteilylain esitti Max Planck v. 1900. Lain mukaan säteilemisvoimakkuus aallonpituutta kohti (spektraalinen säteilemisvoimakkuus, spectral radiant exitance) on 2p hc 2 æ 1 ö Ml =, l 5 çè ehc /( l kt ) - 1 ø (4.8.1) missä h, c ja k ovat Planckin vakio, valon tyhjiönopeus ja Boltzmann'in vakio. Huomaa M l :n yksikkö /m3 = (/m2)/m, joka on siis säteilemisvoimakkuuden yksikkö jaettuna metrillä. Seuraavan sivun kuvassa M l on piirretty eri lämpötiloissa. Käyrä saa maksimiarvon aallonpituudella, jolle on voimassa hc (4.8.2) = 2.88 10-3 m K. axt = 5k Käyrän huippukohta siis siirtyy lämpötilan muuttuessa ja tulosta sanotaankin ienin siirtymälaiksi. Mustan kappaleen kokonaissäteilemisvoimakkuus saadaan integroimalla yli kaikkien aallonpituuksien: M = ò M ldl. 0 Integrointi johtaa tulokseen (laskuharjoitus):
102 M =s T 4, (4.8.3) missä s = 5.67 10-8 m-2 K -4 on ns. Stefan-Boltzmannin vakio. Tulos (4.8.3) on ns. Stefan-Boltzmannin laki. ------------------------------------------------Esimerkki: Musta kappale on 1.0 mm:n halkaisijainen reikä ontelosäteilijän seinässä. Lämpötila on 6000 K. (a) Millä aallonpituudella musta kappale säteilee eniten aallonpituusyksikköä kohti? (b) Kuinka suuri säteilyteho (säteilyvirta) tulee aukosta aallonpituusalueella 510.0-511.0 nm?
103 Ratkaisu: (a) ienin siirtymälaista (4.8.2) laskemme ax 2.88 10-3 m K = = 480 nm 6000 K (b) Tarkasti ottaen pitäisi laskea integraali M = ò M ldl, l2 missä l1 = 510.0 nm ja l2 = 511.0 nm. Nyt kuitenkin aallonpituuskaista on niin lyhyt, että M l ei juurikaan muutu sillä välillä. Otetaan siis M l vakiona ulos integraalista. Lasketaan sen arvo vaikkapa keskiarvolla l = (l1 + l2 ) / 2 = 510.5 nm. Ensin välitulos l1 (6.626 10-34 Js)(2.998 108 m/s) hc = = 4.6962-9 -23-1 l kt (510.5 10 m)(1.381 10 J K )(6000K) ja sitten 2p (6.626 10-34 Js)(2.998 108 m/s) 2 æ 1 ö Ml = ç 4.6962 (510.5 10-9 m)5-1 ø èe = 9.944 1013 /(m2 m) Säteilytehoksi pinta-alayksikköä kohti integroimme siis M = 9.944 10 ò dl m 2 m 510.0nm 13 511.0nm = 9.944 1013 /(m 2m) 10-9 m = 99.44 103 /m 2. Reiästä A = p r 2 = p (0.5 10-3 m) 2 = 0.7854 10-6 m2 tuleva kokonaisteho aallonpituusalueella 510.0-511.0 nm on siis MA = (99.44 103 )(0.7854 10-6 ) = 0.0781 -------------------------------------------------
104 4.9 VALON LÄHTEITÄ (Sources of optical radiation) Lähteet: A. Aurinko, taivas B. Hehkuvat kappaleet - mustankappaleen säteilijä - globar - volfram lanka C. Purkauslamput - spektrilamput, monokromaattiset lamput - suuren intensiteetin lähteet a) hiilikaari b) salamavalo c) zirkoniumkaari - loistelamput D. Puolijohdediodit (LED) E. Laserit A. Aurinko Maan iakehän ulkopuolelta mitattuna auringon säteilyn tehotiheys aallonpituuden funktiona vastaa lähes täydellisesti mustan
109 4.10 SÄTEILYN ILMAISIMIA (Detectors of radiation) Iaisimet: A. Termiset detektorit - termopari ja termopylväs - termistori, bolometrit - pyrösähköiset detektorit - Golay B. Kvanttidetektorit - valokenno, valomonistin - fotojohtavat iaisimet - fotojänniteiaisimet - valokuvauslevy A. Termiset detektorit Termiset detektorit perustuvat siihen, että iaisimeen osuva säteily lämmittää iaisinta. Termopari (termoelementti) perustuu lämpösähköiseen iiöön: Kun kahden eri metallijohtimen (esim. kupari ja konstantaani) päät liitetään yhteen ja liitoskohtaa lämmitetään, syntyy liitoskohtaan pieni jännite. Jos johtimien toisetkin päät liitetään yhteen saadaan suljettu virtapiiri. Jos liitoskohdat ovat eri lämpötilassa, kulkee piirissä sähkövirta. Termopylväässä on useita termopareja kytkettynä sarjaan. Termistori on pieni puolijohdekomponentti, jonka sähkövastus muuttuu lämpötila funktiona. Bolometrissä on kappale metallia (esim. kupari) tai puhdasta puolijohdetta (esim. germanium), ja säteilyn iaiseminen perustuu vastuksen muuttumiseen lämpötilan funktiona. Etenkin infrapunasäteilyä mitattaessa bolometrit
113 5 VALON ETENEMINEN Optisella alueella (infrapuna, näkyvä, ultravioletti) sähkömagneettinen kenttä värähtelee hyvin suurella taajuudella (luokkaa 10 15 Hz). Vastaavasti aallonpituus on hyvin lyhyt (luokkaa 10-5 cm). On siis odotettavissa, että hyvä approksimaatio valon etenemistä kuvaaviksi laeiksi saadaan, jos aallonpituuden annetaan tyystin hävitä, ts. mennä nollaksi. Osoittautuukin, että näin saatu approksimaatio on niin tarkka, että poikkeamat siitä (erilaiset diffraktioiiöt) tulevat esille vain erityisen tarkoissa ja huolellisesti laadituissa koeolosuhteissa. Optiikan aluetta, jossa valon aallonpituus jätetään huomiotta (l 0), sanotaan geometriseksi optiikaksi, koska tässä approksimaatiossa optiikan lait voidaan formuloida geometrian sääntöjen avulla. Geometrisessa optiikassa valo etenee äärettömän ohuita käyriä, ns. säteitä (rays), pitkin. Jos säde ei ole äärettömän ohut (esimerkiksi lasersäde) puhutaan sädekimpusta (pencil of rays). Säteiden lisäksi valon etenemistä kuvataan aaltorintamilla (wave fronts, ks. sivu 4), jotka edustavat 3ulotteisessa aallossa vakiovaiheen pintoja. Säteet ovat homogeenisessa ja isotrooppisessa väliaineessa aina kohtisuorassa aaltorintamia vastaan.
114 Säteille voidaan antaa tarvittaessa myös polarisaatio-ominaisuuksia. Ylempi kuva edustaa ns. luonnollista eli polarisoitumatonta valoa, jossa sähkökenttävektorin suunta vaihtelee nopeasti ja satunnaisesti. Alemmassa kuvassa on esitetty lineaarisesti polarisoitunut valonsäde. Geometrisen optiikan approksimaatio pätee hyvin, kun valon aallonpituus suhteessa optisten komponenttien dimensioihin on hyvin pieni. Kun tämä ehto ei toteudu, valon aaltoluonne synnyttää uusia iiöitä, kuten esimerkiksi interferenssi ja diffraktio. Aaltoluonteesta johtuvat optiset iiöt kuuluvat ns. fysikaalisen optiikan (physical optics) aihepiiriin, johon perehdymme myöhemmin tässä kurssissa. 5.1 HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN Valon säteen kulkua ohjaavat geometrisen optiikan lait voidaan tiivistää seuraavasti: 1) Säteet kulkevat suoraviivaisesti isotrooppisessa, homogeenisessa väliaineessa (homogeeninen = optiset ominaisuudet ovat samat kaikkialla, isotrooppinen = optiset ominaisuudet ovat samat kaikkiin suuntiin). 2) Heijastuminen kahden aineen rajapinnassa (kuva seuraavalla sivulla) tapahtuu siten, että tuleva säde (incident) ja heijastunut säde (reflected) ovat samassa tasossa, ns. tulotasossa ja heijastuskua on yhtä suuri kuin tulokua: q r = qi (5.1.1)
115 3) Taittuminen kahden aineen rajapinnassa tapahtuu siten, että säde noudattaa taittumislakia eli ns. Snelliuksen lakia: sin q i nt (5.1.2) = = vakio, sin q t ni missä q t on taitekua. On huomattava, että myös taittunut säde (refracted) on tulotasossa. 4) Jos valonsäteen kulku käännetään vastakkaissuuntaiseksi, säde palaa lähtöpisteeseensä. (Säteen kulku on käänteinen). Tuleva säde ja rajapinnan normaali määrittelevät tulotason. Kuvassa se on siis paperin taso. Nämä geometrisen optiikan peruslait voidaan johtaa jo 1600-luvulla esitetyistä valon etenemisen periaatteista (Huygensin periaate ja Fermat'n periaate). Periaatteiden avulla pyrittiin ymmärtämään teoreettisesti valon luonnetta sekä sitä mekanismia, jolla valo etenee. Lait saadaan myös Maxwellin yhtälöistä.
116 ------------------------------------------------Esimerkki: Paksupohjaisessa lasimaljassa on vettä. Vedessä etenevä valonsäde osuu maljan pohjaan tulokualla q a = 60.0. Laske heijastuskua q r ja taitekua q b, kun veden taitekerroin on na = 1.33 ja lasin nb = 1.52. Ratkaisu: Heijastuslaki: q r = q a = 60.0 Taittumislaki: na sin q a = nb sin qb n 1.33 Þ sin qb = a sin q a = sin 60.0 = 0.75777 nb 1.52 Þ q b = arcsin(0.75777) = 49.268» 49.3 ------------------------------------------------Materiaalin ns. optinen tiheys määräytyy taitekertoimen mukaan. Mitä suurempi taitekerroin sitä tiheämpi materiaali on optisesti. Edellisessä esimerkissä valo siirtyi optisesti harvemmasta aineesta optisesti tiheämpään, ts. na < nb, josta seurasi tulos qb < q a, ts. säde taittuessaan rajapinnalla kääntyi kohti normaalia.
117 5.2 HUYGENSIN PERIAATE Huygensin mukaan valolähteen jokainen piste lähettää jatkuvasti pieniä valopulsseja, jotka etenevät palloaaltoina valon nopeudella joka suuntaan ja joiden yhteisvaikutuksena syntyy aaltorintama. Edelleen aaltorintaman jokainen piste toimii sekundäärisenä palloaaltojen lähteenä niin, että myöhemmän ajanhetken uusi aaltorintama muodostuu sekundääristen aaltojen verhokäyrästä. Vasemmassa kuvassa etenee tasoaaltorintama. Geometrinen säde on aina kohtisuorassa aaltorintamaa vastaan, joten tasoaaltorintama edustaa suoraan etenevää sädettä. Huygensin periaatteen avulla voidaan mm. johtaa heijastus- ja taittumislait. Esimerkiksi taittumislaki saadaan seuraavasti: Jo Huygens havaitsi, että valo taittuu kahden aineen rajapinnassa kohti normaalia, kun se siirtyy (optisesti) harvemmasta aineesta (optisesti) tiheämpään aineeseen, esimerkiksi iasta veteen. On siis voimassa qi > qt ja taittuminen voidaan esittää säteiden ja aaltorintamien avulla seuraavasti (kuva seuraavalla sivulla): Valo saapuu väliaineesta i ja taittuu väliaineeseen t. Aaltorintama ABC kohtaa rajapinnan kohdassa DEF. Pisteestä D lähtevä palloaalto etenee aineessa t matkan DM samassa ajassa kuin säde kulkee aineessa i matkan FI. Siis molempien aika on DM FI aika = =, vt vi
118 v t on valon nopeus vä- missä v i on valon nopeus väliaineessa i ja liaineessa t. Toisaalta kuvan geometriasta ja edellistä tulosta soveltaen saamme sinqi FI / DI FI sinq = DM / DI = i = v DM v. Aineen taitekerroin n määritellään suhteena t n= c/ v, missä c on valon tyhjiönopeus ja v nopeus ko. väliaineessa. Taittumislaki saa tutun muodon i i t t t n sinq = n sinq. (5.2.1)
119 5.3 FERMAT'N PERIAATE Fermat'n periaatteen mukaan valo kulkee kahden pisteen välisen matkan siten, että aikaa kuluu mahdollisimman vähän, ts. ajalla on ääriarvo (minimi). Myös Fermat'n periaatteesta voidaan johtaa geometrisen optiikan perusaksiomat. Esimerkiksi taittumislaki saadaan viereisestä kuvasta laskemalla ensin valon käyttämä aika pisteestä A pisteen O kautta pisteeseen B. Kirjoitetaan aika muuttujan x avulla ja minimoidaan se. Lasku johtaa suoraan taittumislakiin (5.2.1). Lisäkommentti: Fermat'n periaate on esimerkki variaatio-laskennasta, jossa yleisesti pyritään minimoimaan jokin määrätty integraali. Esimerkkimme tapauksessa integraali on ds, v (s) A B t=ò (5.3.1) missä v ( s ) on valon nopeus radan kohdassa s. ------------------------------------------------Esimerkki: Valonsäde läpäisee kohtisuorasti L-paksuisen lasilevyn z-akselin suunnassa (kuva). Laske a) läpäisyaika t0, kun levyn taitekerroin on vakio n0 ja b) läpäisyaika t, kun taitekerroin kasvaa jatkuvasti z-suunnassa yhtälön n = n0 (1 + 3az 2 ) mukaan. Tässä a on positiivinen vakio.