VALON KÄYTTÄYTYMINEN RAJAPINNOILLA

Transkriptio

1 VALON KÄYTTÄYTYMINEN RAJAPINNOILLA 1 Johdanto 1.1 Valon nopeus ja taitekerroin Maxwellin yhtälöiden avulla voidaan johtaa aaltoyhtälö sähkömagneettisen säteilyn (esimerkiksi valon) etenemiselle väliaineessa. Tämän aaltoyhtälön yksi ratkaisu on tasoaalto E E 0 sin k r t B B 0 sink r t, (1) missä sähkökenttä E ja magneettivuon tiheys B ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tasoaallon etenemistä paikan r ja ajan t suhteen kuvaa aaltovektori k ja kulmataajuus. Tasoaalto etenee tyhjiössä nopeudella c m / s, (2) missä 0 on tyhjiön permittiivisyys ja 0 tyhjiön permeabiliteetti. Homogeenisessa ja isotrooppisessa väliaineessa aaltoyhtälön ratkaisu on myös muotoa (1), mutta aaltoliikkeen nopeus on nyt v 1, (3) missä ja ovat väliaineen permittiivisyys ja permeabiliteetti. Väliaineen taitekerroin määritellään tyhjiössä ja väliaineessa etenevien aaltojen nopeuksien suhteena n c v r r, (4) missä r ja r ovat väliaineen suhteellinen permittiivisyys ja suhteellinen permeabiliteetti. Kannattaa panna merkille, että ei-magneettisille materiaaleille ( r 1) kaava (4) yksinkertaistuu vielä hiukan. 1.2 Heijastus- ja taittumislait Kun muotoa (1) oleva tasoaalto (esimerkiksi lasersäde) saapuu kahden aineen rajapintaan, osa aallosta heijastuu takaisin ensimmäiseen aineeseen ja osa läpäisee rajapinnan jatkaen kulkuaan toisessa aineessa. Kokeellisesti on osoitettu, että taajuus ei muutu heijastuksessa eikä läpäisyssä. Merkitään tulevan (incident), heijastuneen (reflected) ja läpimenneen (transmitted) aallon sähkökenttiä seuraavasti: E i E i,0 sin r t E r E r,0 sin k r r t E t E t,0 sin k t r t (5) 1

2 r a Aalto tulee rajapintaan väliaineessaa 1, joten siinä on samanaikaisesti sekä tuleva että heijastunut aalto, kun taas väliaineessa 2 on vain rajapinnan läpäissyt aalto. Näin ollen kentät aineissa a 1 ja 2 ovat E 1 E i E r E 2 E t (6) Faradayn lain C E dl - d dt B da S (7) avulla voidaan näyttää [1], että sähkökentän pinnan suuntaisen komponentin tulee olla jatkuva kahden aineenn rajapinnallaa E 1P E 2P. (8) Yhtälöiden (6) ja (8) avulla voidaan kirjoittaa aineide ja 2 rajapinnalla sähkökentän jatkuvuusehto E ip E rp E E tp (9) Yhtälön (9) tulee olla voimassa kaikkina ajanhetkinä rajapinnan jokaisessa kohdassa. Tämä vaatimus johtaaa siihen, että yhtälöissä (5) on kaikkien vaihetekijöiden oltava yhtä suuria, ts. r t k r r t k t r t.. (10) Vähentämällä yhteinen tekijä t päädytään ehtoon r k r r k t r. (11) Kuva 1. Tasoaallon saapuminen rajapintaan. 2

3 Valitaan seuraavaksi tarkastelua varten suorakulmainen xyz-koordinaatisto siten, että tutkittava rajapinta on xz-tasossa ja tulevan aallon aaltovektori on xy-tasossa (kuva 1). Paikkavektorin origo tulee näin sijoitetuksi rajapinnalle, jota tarkasteltaessa r on rajapinnan suuntainen ja voidaan kirjoittaa r xu x zu z (12) Vektorit u x, u y ja u z ovat yksikkövektoreita. Tuleva aalto on xy-tasossa mutta heijastunut ja läpimennyt aalto voivat kulkea mielivaltaisiin suuntiin. Kirjoitetaan aaltovektorit:,x u x,y u y k r k r,x u x k r,y u y k r,z u z (13) k t k t,x u x k t,y u y k t,z u z. Sijoittamalla (12) ja (13) yhtälöön (11) saadaan, x x k r,x x k r,z z k t, x x k t,z z. (14) Koska yhtälön (14) on oltava voimassa kaikkialla xz-tasossa (rajapinnalla), niin saadaan,x k r,x k t,x k r,z k t,z 0. (15) Koska heijastuneella ja läpimenneellä aallolla ei ole z-komponenttia, on osoitettu, että tulevan, heijastuneen ja läpimenneen aallon aaltovektorit ovat kaikki samassa tasossa. Kuva geometriasta havaitaan lisäksi, että,x sin i k r,x k r sin r k t,x k t sin t. (16) Koska aaltovektoreille on voimassa / v 1 ja k r / v 1 k t / v 2, (17) saadaan kaavat (15), (16) ja (17) yhdistämällä lopulta 1 v 1 sin i 1 v 2 sin t 1 v 1 sin r. (18) Tästä havaitaan, että on voimassa heijastuslaki i r (19) ja taittumislaki (Snellin laki), jonka kirjoittamisessa on käytetty hyväksi yhtälöä (4). 3

4 sin i sin t v 1 v 2 n 2. (20) Osamäärää n 2 kutsutaan rajapinnan taitesuhteeksi. Jos > n 2 (eli valon nopeus aineessa 1 on pienempi kuin aineessa 2) riittävän suurella tulokulmalla saadaan tilanne, jossa taittunut säde kulkee pinnan suuntaisesti (sin t = 1) ja yhtälö (20) sievenee muotoon sin i n 2. (21) Kulmaa i kutsutaan tällöin kokonaisheijastuksen rajakulmaksi c ja ilmiötä kokonaisheijastukseksi. 2 Tavoitteet Laboratoriotyön tehtyään opiskelija: osaa selittää, mitä kokonaisheijastumisella tarkoitetaan osaa määritellä materiaalin taitekertoimen on harjoitellut mittaustulosten graafista esitystä ja suoran sovitusta pisteistöön 3 Laitteisto Kierrettävä kiekko, jonka alla kannatin Varjostin Laser Pleksikappale Kuva 2. Mittauslaitteisto. Mittauslaitteisto on kuvan 2 mukainen. Laitteiston valonlähteenä on Helium-Neon-laser, jonka valon aallonpituus He-Ne on 632,8 nm. Laserin sijaintia ja asentoa voidaan säätää. Valon heijastumista ja taittumista tutkitaan poikkileikkaukseltaan puoliympyrän muotoisen pleksikappaleen suoralla tasopinnalla. Tasopinnalle saadaan joko pleksi-ilma- tai pleksi-vesi-rajapinnat. Pleksikappaletta sekä siihen liittyvää 4

5 vesiallasta voidaan kiertää, ja heijastuneet ja taittuneet valonsäteet havaitaan varjostimella. Kumpikin pleksikappale on samaa pleksiä. Lista muista tarvittavista välineistä ja laitteiston osista: Kaksi irrallista pleksikappaletta (käsiteltävä varovasti) Kierrettävä kiekko, jossa paikka pleksilevylle (kiekko 1) Kierrettävä kiekko, jossa vesiallas (kiekko 2) Viivotin tai metrimitta Tislattua vettä (saadaan esim. ionivaihtajasta, joka on suurimman laboratoriohuoneen seinällä) Astia, esim. dekantterilasi Linssipaperia. Käsittele pleksikappaleita ja kiekkoja varoen. Ne ovat irrallisia! 4 Esitehtävät Lue työohje läpi ja vastaa alla oleviin kysymyksiin vastauslomakkeeseen. 1. a) Miten määritellään väliaineen taitekerroin? b) Mitä tarkoitetaan taitesuhteella? 2. Miten aaltoliikkeen etenemisnopeus v ja taitekerroin n liittyvät toisiinsa? Mikä on niin sanottu optinen matka (kts. esim.?????? oppikirja [1 3])? Miten johdat optisen matkan lausekkeen etenemisnopeuden ja taitekertoimen riippuvuudesta? Mikä on alla olevassa kuvassa optinen matka (kappaleet ovat homogeenisia)? r 1 n 2 r 2 3. Selvitä heijastumislain ja Snellin lain sisällöt. 4. Mitä tarkoitetaan a) kokonaisheijastuksella b) kokonaisheijastuksen rajakulmalla c) jos taitekertoimet ja n 2 tunnetaan, miten lasket kokonaisheijastuksen rajakulman? 5. Mitkä ovat likimain ilman, veden ja akryylimuovin ("pleksilasi") taitekertoimet? 5

6 5 Mittaukset Laboratoriotyössä mitataan lasersäteen taittumis- ja heijastuskulmia tulokulman funktiona lasi-ilma- ja lasivesi -rajapinnoissa. Tuloksista lasketaan kummassakin tapauksessa rajapinnan taitesuhde. Lisäksi lasketaan lasin ja veden taitekertoimet olettamalla ilman taitekertoimelle jokin perusteltu lukuarvo. Työssä etsitään myös kokonaisheijastuksen rajakulma. Kaikki mittaustulokset ja kysymysten vastaukset kirjataan vastauslomakkeelle, joita saa assistentilta. On suositeltavaa käyttää lyijykynää. Vastauslomake palautetaan lopuksi assistentille. 1. Mittaa kiekon kannattimen halkaisija. 5.1 Pleksi-ilma-rajapinta 2. Aseta kannattimen päälle kiekko 1, ja kiinnitä siihen varovasti pleksikappale kupera puoli laseriin päin (kuten kuvassa 2). 3. Kohdista lasersäde säätöruuveistaan siten, että se osuu mahdollisimman tarkasti pleksikappaleen tasaisen sivun keskikohtaan. (Miksi?) Voit myös tarkastella kuperasta reunasta heijastuneita säteitä, jotka tällöin osuvat takaisin säteen tuloaukkoon. 4. Kierrä kiekko sellaiseen asentoon, jossa pleksikappaleen tasainen sivu on mahdollisimman tarkasti kohtisuorassa lasersädettä vastaan. Tasaisen sivun kohta on merkitty kiekkoon. Huom. Lasersäde ei tällöin välttämättä osu varjostimen asteikon nollakohtaan. 5. Mittaa kiekon keskikohdan ja varjostimen kohtisuora etäisyys. 6. Mittaa valopisteen sijainti varjostimella (mm-asteikko). 7. Kierrä kiekkoa 0,5 cm välein. Merkitse muistiin pleksikappaleen tasaisen sivun poikkeamalukema s (kannattimen sivussa on asteikko) ja mittaa varjostimelta taittuneen säteen paikka L virhearvioineen. 8. Määritä erikseen kokonaisheijastuksen rajakulma. (Miten havaitset sen?) 5.2 Pleksi-vesi rajapinta 9. Vaihda kannattimeen se kierrettävä kiekko, jossa on vesiallas ja aseta siihen varovasti pleksikappale kupera puoli laseriin päin. 10. Kohdista laseria ja kierrä kiekkoa jälleen samoin kuin kohdissa 3 ja Täytä kiekon vesiallas tislatulla vedellä siten, että pleksikappaleen tasaisesta pinnasta noin 3/4 peittyy vedellä. 12. Kierrä alustaa 0,5 cm välein. Merkitse muistiin pleksikappaleen tasaisen sivun poikkeamalukema s ja mittaa varjostimelta taittuneen säteen paikka L virhearvioineen. 13. Määritä erikseen kokonaisheijastuksen rajakulma. 14. Tyhjennä allas vedestä ja sammuta laser. Kuivaa pleksikappale varovasti erikoispaperilla tai pehmeällä paperinenäliinalla (ei käsipyyhkeillä). Älä naarmuta sitä! 6 Tulosten käsittely 1. Selvitä sanallisesti ja kuvallisesti, miten mittaustuloksista saadut tulo- ( i ) ja taittumiskulmat ( t ) lasketaan ja määritä ne virheineen. 2. Laadi eri rajapinnoille graafinen esitys tulokulman sinin ja taittumiskulman sinin välisestä riippuvuudesta. Valitse akselit siten, että saat sovitettua pisteistöön teorian mukaisen mallin, jonka avulla voi määrittää rajapinnan suhteellisen taitekertoimen. 3. Määritä rajapintojen suhteelliset taitekertoimet virherajoineen ja niiden avulla lasin ja veden taitekertoimet virherajoineen. 4. Laske mittaamasi kokonaisheijastuksen rajakulma virheineen ja vertaa sitä mittauksilla saaduista taitekertoimien arvoista laskettuun. Onko taitekertoimien absoluuttisilla arvoilla merkitystä kokonaisheijastuksen rajakulman laskemisessa? 6

7 7 Pohdittavaa 1. Selvitä, mitä kokonaisheijastuksen rajakulmalla tarkoitetaan. Vertaa mittaamaasi kokonaisheijastuksen rajakulman arvoa mittaamiesi taitekertoimen arvoista laskettuun arvoon. Onko taitekertoimien absoluuttisilla arvoilla merkitystä kokonaisheijastuksen rajakulman laskemisessa? 2. Kommentoi tuloksia ja mainitse asioita, jotka aiheuttavat epävarmuutta lopputuloksiin. Esitä parannusehdotuksia koejärjestelyyn! Lähteet [1] Sähkömagnetismin oppikirjat, esim. I.S. Grant, W.R. Phillips, Electromagnetism, John Wiley, 1984, Luku 11.5 tai D.K. Cheng Field and Wave Electromagnetics Addison-Wesley, 1989, Luku