Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I. Optiikka. Jyri Lehtinen. kevät Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos

Transkriptio

1 Optiikka Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos kevät 2013

2 5. Optiikka Geometrinen optiikka Peilit ja linssit Perussuureita Kuvausvirheet Aalto-optiikka Optiikan suunnittelu

3 5.1 Geometrinen optiikka Klassinen optiikka Valoa kuvataan suoraan etenevinä säteinä. Optiikan ongelmat muuttuvat geometrian ongelmiksi. Oletuksena on, että systeemin kaikki mittakaavat ovat paljon aallonpituutta suurempia. Käsittelyltään helpompaa kuin aalto-optiikka. Periaatteet tunnettu jo 280 e.a.a. (Euklides, Catoptrics)

4 5.1.1 Taitekerroin Valon nopeus väliainessa on v = c/n, missä c on valon tyhjiönopeus c = m/s. Tyhjiön taitekerroin on n 0 = 1. Muiden väliaineiden taitekertoimet ovat suurempia. Taitekerroin riippuu valon aallonpituudesta. Optisella alueella se tyypillisesti kasvaa aallonpituuden lyhentyessä. Taitekertoimen aallonpituusriippuvuus aiheuttaa dispersiota.

5 5.1.1 Taitekerroin Dispersion takia sininen valo etenee väliaineessa tyypillisesti hieman punaista hitaammin. Aallonpituuden lisäksi taitekerroin riippuu väliaineen tiheydestä, johon taas vaikuttaa lämpötila ja paine. Pienikin muutos väliaineen koostumuksessa voi aiheuttaa suuria muutoksia taitekertoimeen.

6 5.1.1 Vihreä väläys

7 5.1.2 Fremat n periaate Valo kulkee aina reittiä, jota pitkin kahden pisteen välisen matkan kulkemiseen kuluu mahdollisimman lyhyt aika. Rajapinnalla osa valosta heijastuu ja osa taittuu. Merkitään valon tulokulmaa θ 1, taittumiskulmaa θ 2 ja heijastuskulmaa φ.

8 5.1.3 Lakeja Heijastuslaki: φ = θ 1 Snellin laki: n 1 sinθ 1 = n 2 sinθ 2 Jos Snellin laissa sinθ 1 = n 2 /n 1, on θ 2 = 90. Tällöin taittuva säde kulkee väliaineiden rajapintaa pitkin ja tapahtuu kokonaisheijastus.

9 5.1.3 Lakeja Kokonaisheijastus on mahdollinen ainoastaan siirryttäessä optisesti paksummasta aineesta optisesti ohuempaan eli n 2 < n 1. Kokonaisheijastuksessa valoa ei mene lainkaan hukkaan ja sitä hyödynnetään monissa optiikan sovelluksissa.

10 5.2.1 Peilit Tähtitieteessä käytetyt peilit on yleensä joko hopeoitu tai aluminoitu. Koverat peilit toimivat kuperan linssin tavoin eli keräävät valoa yhteen. Paraboloidipeili heijastaa kaikki optisen akselin suuntaiset säteet yhteen polttopisteeseen.

11 5.2.2 Linssit Kaksi rajapintaa kaksi taittumista Valon kulku voidaan laskea taittumislain avulla. Linssiyhtälö: 1 a + 1 b = 1 f, missä a on kohteen ja b kuvan etäisyys linssistä ja f linssin polttoväli. Tähtitieteessä kohteet ovat käytännössä äärettömän kaukana optiikasta, jolloin kuva muodostuu polttovälin etäisyydelle linssistä.

12 5.2.2 Linssit Dispersion takia eri aallonpituudet taittuvat eri suuruisen määrän, jolloin syntyy värivirhettä.

13 5.3 Perussuureita Samat suureet pätevät sekä linsseille että peileille. f polttoväli (monielementtisissä systeemeissä efektiivinen polttoväli) D objektiivin halkaisija eli aukko

14 5.3 Perussuureita Kuvan mittakaava riippuu optiikan polttovälistä. Kun kohde näkyy kulmassa u, muodostuu siitä polttotasolle kuva, jonka korkeus on s = f tanu. Koska u on usein hyvin pieni, pätee approksimaatio s fu. Suurennus, ω = u/u = f/f.

15 5.3 Perussuureita D/f Aukkosuhde Suuremmalla aukkosuhteella saadaan aikaan kirkkaampi kuva. Tyypillisesti aukkosuhde merkitään käänteisesti f/n, missä n = f/d.

16 5.3 Perussuureita Lähtöpupilli on kollimaattorin (mm. okulaari) muodostaman yhdensuuntaisen valokimpun halkaisija, L = f D f = D ω Visuaalihavainnoissa meitä kiinnostavat myös: Maksimisuurennus silmän ja kaukoputken erotuskykyjen suhde ω max = e θ Minimisuurennus suurennus, jolla lähtöpupilli vastaa silmän pupillia d ω min = D d

17 5.4 Kuvausvirheet Käytännössä optiset systeemit eivät ole täydellisiä, vaan ne tuottavat kuvausvirheitä eli aberraatioita. Värivirhettä (kromaattista aberraatiota) esintyy ainoastaan linssielementeillä. Värivirhettä voidaan vähentää huomattavasti yhdistelemällä sopivista lasilaaduista valmistettuja linssejä. Korjattua linssiä kutsutaan apokromaatiksi.

18 5.4 Kuvausvirheet Pallomaiset optiset pinnat aiheuttavat palloaberraatiota, jossa eri etäisyydellä optisesta akselista kulkevat säteet kohdistuvat eri etäisyydellä oleviin polttopisteisiin. Koma on etenkin paraboloidipeilien ongelma, jossa vinossa tulevat valonsäteet kohdistuvat yhden polttopisteen sijasta viuhkamaiseen kuvioon. Koma on verrannollinen aukkosuhteen D/f neliöön ja optiselta akselilta mitatun etäisyyden neliöön.

19 5.4 Kuvausvirheet Jos optinen systeemi ei ole täysin symmetrinen, syntyy astigmaattisuutta. Tiettyjen optisten systeemien kuvakenttä on voimakkaan kaareva. Kuvaan voi myös tulla vääristymiä, mikäli mittakaava muuttuu kuvakentän alueella.

20 5.5 Aalto-optiikka Valon vuorovaikuttaessa aallonpituutensa suuruusluokkaa olevien kohteiden kanssa ei geometrinen optiikka enää toimi. hilat, ohuet kalvot, pienet hiukkaset Myös teleskoopin objektiivin suuret yksityiskohdat vaikuttavat kuvaan tavalla, jota geometrinen optiikka ei selitä. Yleispätevämpiä tuloksia varten on valoa käsiteltävä sähkömagneettisen kentän aaltoliikkeenä. Sähkökenttä E ja magneettikenttä B värähtelevät toisiaan vasten kohtisuorissa tasoissa.

21 5.5 Aalto-optiikka Sähkökentän yleinen aaltoratkaisu: E = E 0 exp[i(k r ωt)], missä k on säteilysuuntaan osoittava aaltovektori ja ω aallon kulmataajuus.

22 5.5 Aalto-optiikkaa Yksinkertaistetaan tilannetta olettamalla säteilyn tulevan suoraan havaitsijaa kohti. Tällöin sähkökenttä voidaan jakaa kahteen komponenttiin (Eulerin kaava, e ix = cosx +i sinx): E x = E 1 cos(ωt) E y = E 2 cos(ωt +δ)

23 5.5 Aalto-optiikka Yleisessä muodossa yhtälöt esittävät elliptisesti polarisoitunutta valoa (a). Jos E 1 = E 2 ja δ = 90, puhutaan ympyräpolarisoituneesta valosta (b). Jos δ = 0, puhutaan lineaarisesti polarisoituneesta valosta (c).

24 5.5.1 Stokesin parametrit Polarisoituneen valon sähkövektori piirtää taivaalla ellipsiä, jonka positiokulma määritellään (yleensä) ellipsin ison akselin ja pohjoissuunnan väliseksi kulmaksi. Polarisoitunut valo voidaan kuvata Stokesin parametrien avulla I I x +I y Q (I x I y )cos(2θ) U Qtan(2θ) V Qtan(2β)sec(2θ), missä tanβ = b/a ja a ja b ovat polarisaatioellipsin akselit.

25 5.5.1 Stokesin parametrit Parametrit kuvaavat valon kokonaisintesiteettiä (I), lineaarista polarisaatiota (Q ja U) ja pyöröpolarisaatiota (V). Kokonaispolarisaatio: I 2 p = Q 2 +U 2 +V 2. Jos I x = I y eli Q = U = V = 0, sanotaan säteilyn olevan polarisoitumatonta.

26 5.5.1 Stokesin parametrit Stokesin parametrit kuvaavat säteilyä muuten täydellisesti, mutta eivät ota huomioon vaihetta. Ne soveltuvat siis vain tilanteisiin, joissa valo ei ole koherenttia. Säteen kohdatessa optisen elementin muuttuu Stokesin vektori (I,Q,U,V) T, Muutosta voidaan kuvata Müllerin matriisilla.

27 5.5.2 Fresnelin kaavat Aalto-optiikan avulla voidaan laskea, kuinka intensiteetti jakautuu väliaineiden rajapinnalla. Saapuvaa säteilyä kuvaa sähkökenttä, jonka heijastavan pinnan suuntainen komponentti on E ja tätä vasten kohtisuora komponentti E. Heijastuneen säteilyn vastaavat komponentit ovat E ja E ja taittuneen E ja E.

28 5.5.2 Fresnelin kaavat Heijastuskertoimet: R = n 2cosθ 1 n 1 cosθ 2 n 1 cosθ 2 +n 2 cosθ 1 R = n 1cosθ 1 n 2 cosθ 2 n 1 cosθ 1 +n 2 cosθ 2 Läpäisykertoimet: T = T = 2n 1 cosθ 1 n 1 cosθ 2 +n 2 cosθ 1 2n 1 cosθ 1 n 1 cosθ 1 +n 2 cosθ 2

29 5.5.2 Fresnelin kaavat Fresnelin kertoimilla ilmaistuna E = E R E = E R E = E T E = E T

30 5.5.2 Fresnelin kaavat Saapuvan, heijastuneen ja taittuneen säteilyn intensiteetit ovat I = E 2 +E2 I = (E )2 +(E )2 I = n 2cosθ 2 n 1 cosθ 1 [(E )2 +(E )2 ] (Huom! Taittuneen valon I kaavasta puuttuu kurssikirjassa kerrointermi n 2 cosθ 2 n 1 cosθ 1. Kerroin seuraa valon muuttuneesta kulkusuunnasta ja nopeudesta taittumisen jälkeen ja on oleellinen energian säilymisen kannalta, eli että I + I = I.) Jos saapuva säteily on polarisoitumatonta, on E = E ja I I = 1 2 (R2 +R2 )

31 5.5.2 Brewsterin kulma Kulmassa tanθ 1 = n 2 n 1 saapuva säteily on heijastuessaan täysin polarisoitunutta Kulma tunnetaan Brewsterin kulmana. Brewsterin kulmaa käytetään yleisesti täysin polarisoituneen valon tuottamiseen.

32 5.5.3 Interferenssi Kun kaksi valonsädettä kohtaavat, niiden sähkövektorit interferoivat keskenään. Jos säteiden vaiheet muuttuvat hitaasti toistensa suhteen, muodostuu interferenssistä havaittava kuvio. Ilmiötä käytetään optiikassa mm. kalvopinnotteissa (heijastusten esto) interferenssisuotimissa (vain haluttujen aallonpituuksien läpäisy).

33 5.5.4 Diffraktio Aaltorintaman muodostavat säteet voivat saapua perille äärettömän montaa eri reittiä. Eri mittaisia reittejä saapuvat säteet ovat keskenään eri vaiheissa ja interferoivat konstruktiivisesti tai destruktiivisesti. Yhteenlaskettua aaltojen amplitudijakaumaa kutsutaan yleisesti Fresnelin diffraktioksi. Tämä on tyypillisesti hyvin työläs laskea.

34 5.5.4 Diffraktio Jos kohde ja kuvataso ovat kaukana diffraktiota aiheuttavasta aukosta, eri reittien väliset kulmat poikkeavat toisistaan vain vähän ja puhutaan Fraunhoferin diffraktiosta. Huomattavasti helpompi laskea. Esimerkki mm. teleskoopin erotuskyky.

35 5.5.4 Diffraktio Pyöreän aukon aiheuttaman diffraktiokiekon säde on (radiaaneissa) θ sinθ = 1.22 λ D Tämän mukaan märitetty teleskoopin erotuskyky on Rayleigh n kriteeri.

36 5.6 Optiikan suunnittelu Materiaalien valinta Aukkosuhteen valinta (pieni D/f pienentää kuvausvirheitä) Optisten pintojen muodot ja materiaalit

37 5.6 Optiikan suunnittelu Käytännössä tietokoneavusteista Huomioitavaa: Hinta Paino Valmistuksen vaikeus

38 5.6 Esimerkki: Hubblen onglema Peili hiottu väärin Syynä vioittunut kalibrointilaitteisto ja ongelmia laadunvalvonnassa Reunoilta 2µm väärässä muodossa voimakas palloaberraatio Korjattiin linssijärjestelmällä, joka vei yhden havaintolaitteen paikan.

39 5.7 Lisätietoa Hecht, Optics, Addison-Wesley Smith & King, Optics and Photonics, Wiley